Цифровое моделирование непрерывных систем.

Имитационное моделирование является наиболее универсальным методом исследования систем и коли­чественной оценки характеристик их функционирования. При имитационном моделировании динамические процессы системы-оригинала подменяются процессами, имитируемыми в абстракт­ной модели, но с соблюдением таких же соотношений длительностей и временных последовательностей отдельных операций. Поэтому метод имитационного моделирования мог бы называться алгоритмическим или операционным. В процессе имитации, как при эксперименте с оригиналом, фиксируют определенные собы­тия и состояния или измеряют выходные воздействия, по которым вычисляют характеристики качества функционирования системы.

Имитационное моделирование позволяет рассматривать про­цессы, происходящие в системе, практически на любом уровне детализации. Используя алгоритмические возможности ПК, в ими­тационной модели можно реализовать любой алгоритм управле­ния или функционирования системы. Модели, которые допускают исследование аналитическими методами, также могут анализи­роваться имитационными методами. Все это является причиной того, что имитационные методы моделирования становятся основ­ными методами исследования сложных систем.

Методы имитационного моделирования различаются в зави­симости от класса исследуемых систем, способа продвижения модельного времени и вида количественных переменных пара­метров системы и внешних воздействий.

В первую очередь можно разделить методы имитационного моделирования дискретных и непрерывных систем. Если все элементы системы имеют конечное множество состояний, и пере­ход из одного состояния в другое осуществляется мгновенно, то такая система относится к системам с дискретным изменением состояний, или дискретным системам. Если переменные всех элементов системы изменяются постепенно и могут принимать бесконечное множество значений, то такая система называется системой с непрерывным изменением состояний, или непрерывной системой. Системы, у которых имеются переменные того и другого типа, считаются дискретно-непрерывными. У непрерывных систем могут быть искусственно выделены определенные состояния эле­ментов. Например, некоторые характерные значения переменных фиксируются как достижение определенных состояний.

Одним из основных параметров при имитационном моделиро­вании является модельное время, которое отображает время функ­ционирования реальной системы. В зависимости от способа продвижения модельного времени методы моделирования подраз­деляются на методы с приращением временного интервала и методы с продвижением времени до особых состояний. В первом случае модельное время продвигается на некоторую величину Dt . Определяются изменения состояний элементов и выходных воздей­ствий системы, которые произошли за это время. После этого модельное время снова продвигается на величину Dt , и процедура повторяется. Так продолжается до конца периода моделирова­ния Т m . Шаг приращения времени Dt зачастую выбирается по­стоянным, но в общем случае он может быть и переменным. Этот метод называют «принципом Dt ».

Во втором случае в текущий момент модельного времени t сначала анализируются те будущие особые состояния – поступле­ние дискретного входного воздействия (заявки), завершение обслуживания и т.п., для которых определены моменты их на­ступления t i > t. Выбирается наиболее раннее особое состояние, и модельное время продвигается до момента наступления этого состояния. Считается, что состояние системы не изменяется между двумя соседними особыми состояниями. Затем анализируется реакция системы на выбранное особое состояние. В частности, в ходе анализа определяется момент наступления нового особого состояния. Затем анализируются будущие особые состояния, и модельное время продвигается до ближайшего. Процедура повто­ряется до завершения периода моделирования T m . Данный метод называют «принципом особых состояний», или «принципом dz ». Благодаря его применению экономится машинное время моделирования. Однако он используется только тогда, когда имеется возможность определения моментов наступления будущих очередных особых состояний.

Особое значение имеет стационарность или нестационарность случайных, независимых переменных системы и внешних воздей­ствий. При нестационарном характере переменных, в первую очередь внешних воздействий, что часто наблюдается на прак­тике, должны быть использованы специальные методы моделиро­вания, в частности, метод повторных экспериментов.

Еще одним классификационным параметром следует считать схему формализации, принятую при создании математической модели. Здесь, прежде всего, необходимо разделить методы, ориентированные на алгоритмический (программный) или структурный (агрегатный) подход. В первом случае процессы управляют эле­ментами (ресурсами) системы, а во втором – элементы управляют процессами, определяют порядок функционирования системы.

Из вышеизложенного следует, что выбор того или иного метода моделирования полностью определяется математической моделью и исходными данными.

Непрерывное моделирование - это моделирование системы по времени с помо­щью представления, в котором переменные состояния меняются непрерывно по отношению ко времени. Как правило, в непрерывных имитационных моделях ис­пользуются дифференциальные уравнения, которые устанавливают отношения для скоростей изменения переменных состояния во времени. Если дифференци­альные уравнения очень просты, их можно решать аналитически, чтобы предста­вить значения переменных состояния для всех значений времени как функцию значений переменных состояния в момент времени 0. При больших непрерывных моделях аналитическое решение невозможно, но для численного интегрирования дифференциальных уравнений в случае с заданными специальными значениями для переменных состояния в момент времени 0 используются технологии числен­ного анализа, например интегрирование Рунге-Кутта.

Пример 1.3. Рассмотрим непрерывную модель соперничества между двумя популяция­ми. Биологические модели такого типа, именуемые моделями хищник-добыча (или па­разит-хозяин), рассматривались многими авторами, в том числе Брауном и Гордоном. Среда представлена двумя популяциями -хищников и добычи, взаимодействующими друг с другом. Добыча пассивна, но хищни­ки зависят от ее популяции, поскольку она является для них источником пищи. (Напри­мер, хищниками могут быть акулы, а добычей - рыба, которой они питаются) Пусть x(t) и y(t) обозначают численность особей в популяциях соответственно добычи и хищников в момент времени t. Допустим, популяция добычи имеет обильные запасы пищи; при отсутствии хищников темп ее прироста составит rх(t) для некоторого положительного значения r (r - естественный уровень рождаемости минус естествен­ный уровень смертности). Существование взаимодействия между хищниками и добы­чей дает основание предположить, что уровень смертности добычи в связи с этим взаи­модействием пропорционален произведению численностей обоих популяций х(t)у(t). Поэтому общий темп изменения популяции добычи dx/dt: может быть представлен как

где а - положительный коэффициент пропорциональности. Поскольку существование самих хищников зависит от популяции добычи, темп изменения популяции хищников в отсутствии добычи составляет -sу(t) для некоторого положительного s. Более того, взаимодействие между двумя популяциями приводит к росту популяции хищников, темп которого также пропорционален х(t)у(t). Следовательно, общий темп изменения популяции хищников dy/dt составляет

(2)

где b - положительный коэффициент пропорциональности. При начальных условиях х(0) > 0 и y(0) >0 решение модели, определенной уравнениями (1) и (2), имеет инте­ресное свойство: х(t) > 0 и у(t) > 0 для любого t³0. Следовательно, попу­ляция добычи никогда не будет полностью уничтожена хищниками. Решение {х(t), у(t)} также является периодической функцией времени. Иными словами, существует такое значение Т> 0, при котором х(t + пТ)=x(t) и у(t + пТ) = у(t) для любого положительно­го целого числа п. Такой результат не является неожиданным. По мере увеличения по­пуляции хищников популяция добычи уменьшается. Это приводит к снижению темпа роста популяции хищников и, соответственно, вызывает уменьшение их числа, что, в свою очередь, ведет к увеличению популяции добычи и т. д.

Рассмотрим отдельные значения г = 0,001, а = 2 * 10 –6 ; s = 0,01; b=10 -6 , исходные разме­ры популяций составляют х( 0) = 12 000 и y(0) = 600. На рис. представлено числен­ное решение уравнений (1) и (2), полученное при использовании вычислительного пакета, разработанного для численного решения систем дифференциальных уравнений (а не языка непрерывного моделирования).

Обратите внимание на то, что приведенный выше пример полностью детерми­нистический, то есть в нем нет случайных компонентов. Однако имитационная модель может содержать и неизвестные величины; например, в уравнения (1) и (2) могут быть добавлены случайные величины, которые каким-то образом за­висят от времени, или постоянные множители могут быть смоделированы как ве­личины, случайно изменяющие свои значения в определенные моменты времени.

5.3 Комбинированное непрерывно-дискретное моделирование

Поскольку некоторые из систем невозможно отнести ни к полностью дискретным, ни к полностью непрерывным, может возникнуть необходимость в создании моде­ли, которая объединяет в себе аспекты как дискретно-событийного, так и непре­рывного моделирования, в результате чего получается комбинированное непрерыв­но- дискретное моделирование. Между дискретным и непрерывным изменениями переменных состояния могут происходить три основных типа взаимодействия:

Дискретное событие может вызвать дискретное изменение в значении не­прерывной переменной состояния;

В определенный момент времени дискретное событие может вызвать изме­нение отношения, управляющего непрерывной переменной состояния;

Непрерывная переменная состояния, достигшая порогового значения, мо­жет вызвать возникновение или планирование дискретного события.

В следующем примере комбинированного непрерывно-дискретного моделиро­вания дано краткое описание модели, подробно рассмотренной Прицкером, который в своей работе приводит и другие примеры этого типа моделирования.

Пример 1.4. Танкеры, перевозящие нефть, прибывают в один разгрузочный док, попол­няя резервуар-хранилище, из которого нефть по трубопроводу попадает на нефтепере­гонный завод. Из разгружающегося танкера нефть подается в резервуар-хранилище с по­стоянной скоростью (Танкеры, прибывающие к занятому доку, образуют очередь.) На нефтеперегонный завод нефть подается из резервуара с различными заданными скорос­тями. Док открыт с 6.00 до 24.00. По соображениям безопасности разгрузка танкеров прекращается по закрытии дока.

Дискретными событиями в этой (упрощенной) модели являются прибытие танкера на разгрузку, закрытие дока в полночь и открытие в 6.00. Уровни нефти в разгружающемся танкере и резервуаре-хранилище задаются переменными непрерывного состояния, ско­рости изменения которых описаны с помощью дифференциальных уравнений. Разгрузка танкера считается завершенной, когда уровень нефти в тан­кере составляет менее 5 % его емкости, но разгрузка должна быть временно прекращена, если уровень нефти в резервуаре-хранилище станет равным его емкости. Разгрузка мо­жет быть возобновлена, когда уровень нефти в резервуаре станет меньше 80 % его емко­сти. В случае если уровень нефти в резервуаре станет меньше 5000 баррелей, нефтепере­гонный завод должен быть временно закрыт. Для того чтобы избежать частого закрытия и возобновления работы завода, подача нефти из резервуара на завод не будет возобнов­ляться до тех пор, пока в нем не наберется 50 000 баррелей нефти. Каждое из пяти собы­тий, связанных с уровнем нефти (например, падение уровня нефти ниже 5 % емкости танкера), по определению Прицкера, является событием состояния. В отличие от диск­ретных событий, события состояния не планируются, они происходят, когда перемен­ные непрерывного состояния переходят пороговое значение.

5.4 Моделирование по методу Монте-Карло. Статистическое моделирование систем

Лабораторная работа №2

Моделирование непрерывных систем

При цифровом моделировании непрерывных систем необходимо обеспечить близость процессов в моделируемой непрерывной системе и в ее цифровой реализации. Несовпадение этих процессов связано с двумя причинами: 1) заменой непрерывного входного процесса цифровым и 2) использованием численных методов анализа.

При замене непрерывного процесса цифровым возникают ошибки из-за квантования по уровню (шумы квантования) и дискретизации по времени (ошибки восстановления непрерывного процесса по его дискретным отсчетам). Шумы квантования считаются случайным процессом с дисперсией h 2 /12, где h – величина шага квантования. При 16-разрядном двоичном представлении числа шаг квантования равен примерно одной 65-тысячной этого числа. Поэтому шумами квантования можно пренебречь. Восстановить непрерывный процесс по его дискретным отсчетам можно без ошибки согласно теореме Котельникова, если спектр этого процесса ограничен частотой f гр (S (f ) = 0 при f > f гр) и частота дискретизации f дискр ³ 2f гр. При функциональном моделировании систем частоту дискретизации обычно берут много больше f гр: f дискр = (10 – 20)f гр, где f гр = f в – верхняя частота спектра, т. е. частота, на которой спектр процесса спадает до достаточно малой величины.

Математическая модель непрерывной системы представляет собой или нелинейное дифференциальное уравнение (в системах компьютерной математики) или совокупность соединенных между собой линейных и нелинейных блоков (в системах визуального моделирования).

Разработано большое количество методов численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как производится численное решение на примере нелинейного дифференциального уравнения первого порядка вида du /dt = f (u , t ). Решение находится для дискретных значений аргумента, отличающихся на шаг интегрирования Dt . В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения u к = u (t к) требуется информация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую известность получили методы Рунге-Кутта. В основу метода Рунге-Кутта первого порядка, называемого также явным методом Эйлера, положено разложение функции u (t ) в ряд Тейлора в окрестности точки (t k -1, u k -1), ограниченное двумя первыми членами ряда: u k = u k – 1 + Dt *u " k -1 , где u " k -1 = du (t )/dt при t = t r -1 . Так как du (t )/dt = f (u , t ), то u k =u k – 1 +Dt *f (u k – 1 ,t k –1). Видим, что при использовании этого метода считается, что в течение времени Dt функция u (t ) изменяется линейно и тангенс угла наклона прямой равен u " k -1 . Это, как показано ниже на рисунке, приводит к ошибке (сплошные линии).

Неявный (обратный) метод Эйлера основан на разложении функции u (t ) в ряд Тейлора в окрестности точки (t k , u k). Расчет ведется по выражению u k = u k – 1 + Dt *u " k = u k – 1 + Dt *f (u k ,t k). Решение находится тоже с ошибкой, хотя и другого знака (пунктирная линия на
рисунке). Ошибка увеличивается с увеличением шага Dt = t k - t k -1 . Для уменьшения этой ошибки при неизменном Dt используют методы Рунге-Кутта более высокого порядка. При большом шаге вычислительный процесс может стать неустойчивым.

VisSim является пакетом визуального моделирования, поэтому задать модель аналитически в виде нелинейного дифференциального уравнения нельзя. Нужно по дифференциальному уравнению составить функциональную схему, или графическую модель. Для дифференциального уравнения du /dt = f (u , t ) она составляется следующим образом. Сначала формируется f (u , t ) нелинейным блоком, на входы которого подаются t и u . Так как f (u , t ) является производной процесса u (t ), то сам процесс u (t ) получается интегрированием выходного процесса нелинейного блока. Получившаяся графическая модель показана на рисунке ниже.

Нужно быть очень внимательным при выборе шага модельного времени, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса. В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом шаге процесс может стать неустойчивым. Чтобы результаты моделирования были удовлетворительными, можно пользоваться следующим правилом: за интервал, равный шагу модельного времени, переходная характеристика должна изменяться на величину, много меньшую установившегося значения. На практике шаг моделирования надо брать таким, чтобы при его уменьшении процессы в модели практически не изменялись.

Выполнение работы

1. Исследование ошибок численного решения дифференциального уравнения.

1.1 Составить графическую модель для дифференциального уравнения согласно заданию:

1.2. Собрать на рабочем столе VisSim составленную модель. Запомните, что различные методы численного интегрирования реализуются только для моделей, в которые входят интеграторы, обозначаемые как 1/S (Blocks → Integration → integrator). Интегратор можно реализовать и по-другому – как линейное устройство, задаваемое передаточной функцией (Blocks → Linear System → transferFunction), если установить в числителе (Numenator) – 1, а в знаменателе (Denominator) – 1_0. Но для такого интегратора, охваченного обратной связью, реализуется только метод Эйлера. Для удобства изображения линии обратной связи использовать указатель (Blocks → Annotation → wirePozitioner). Его нужно перевернуть (Edit → Rotate 180).

1.2. Задать условия моделирования (Simulate → Simulation Setup): в окне Simulation Setup задать шаг Step Size – 0.0001, время моделирования Range End – 2.1. В области Integration Algoritm активировать метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Запустить моделирование. Считаем, что полученное решение близко к точному. Замерить значения процесса при t = 1 с и 2 с (с точностью до четвертой значащей цифры после запятой). Для более точного измерения использовать “лупу”. Для этого надо выполнить следующие действия: нажать и удерживать клавишу Ctrl; с помощью указателя мыши выделить требуемую область осциллограммы; отпустить клавишу мыши; отпустить клавишу Ctrl. Для считывания координат использовать перекрестие (Правой клавишей мыши щелкнуть на Plot; в раскрывшемся окне левой кнопкой мыши щелкнуть на Read Coordinates). Если требуется возвратиться к исходному масштабу, проделать следующие действия: нажать и удерживать клавишу Ctrl; навести указатель мыши на окно; щелкнуть правой кнопкой мыши (или двойной щелчок левой); отпустить клавишу Ctrl.

В непрерывной имитационной модели состояние системы представляется с помощью непрерывно изменяющихся зависи­мых переменных. Для того чтобы отличать непрерывно изме­няющиеся переменные от дискретно изменяющихся, будем первые называть переменными состояния . Непрерывная имита­ционная модель создается путем задания уравнений для сово­купности переменных состояния, динамическое поведение ко­торых имитирует реальную систему.

Модели непрерывных систем часто определяются в терми­нах производных переменных состояния. Это объясняется тем, что иногда легче задать выражение для определения скорости изменения переменной состояния, чем сделать это непосред­ственно для самой переменной. Уравнения такого вида, вклю­чающие производные переменных состояния, называются диф­ференциальными уравнениями. Пусть, например, в процессе разработки модели мы составили следующее дифференциальное уравнение для переменной состояния по времени :

Первое уравнение определяет скорость изменения как функ­цию от и , второе уравнение - начальное условие для пере­менной состояния. Цель имитационного эксперимента опре­делить реакцию переменной состояния в зависимости от ими­тационного времени.

В некоторых случаях возможно определение аналитического выражения для переменной состояния , заданного уравнением для . Однако на практике в большинстве случаев анали­тическое выражение для не известно. В результате мы долж­ны получить реакцию путем интегрирования по времени, используя уравнение следующего вида:

Каким образом выполняется интегрирование, зависит от того, использует ли разработчик аналоговый или цифровой компью­тер. В 50-х и 60-х годах аналоговые компьютеры были основным средством реализации непрерывных моделей. Аналоговые компьютеры представляют переменные состояния в модели с помощью электрических цепей. Динамическая структура сис­темы моделируется с помощью таких элементов, как резисто­ры, конденсаторы и усилители. Основной недостаток аналого­вых компьютеров состоит в том, что от характеристик этих элементов зависит точность результатов. Кроме того, в анало­говом компьютере мало логических контрольных функций и отсутствуют те возможности хранения данных, которые име­ются в цифровом компьютере.

Ряд непрерывных имитационных языков был разработан для цифровых компьютеров. Несмотря на то, что цифровой компьютер является дискретным устройством, практически любая переменная, значение которой ограничивается только размером слова компьютера, может рассматриваться как не­прерывная.

Цифровой компьютер с большой скоростью и точностью вы­полняет основные математические операции, такие, как сложе­ние, умножение и логическое тестирование. Выполнение же интегрирования требует применения числовых методов интегри­рования. При использовании этих методов независимая пере­менная (обычно время) разделяется на части, называемые шагами. Значения переменных состояния, требующие интегри­рования, получаются путем аппроксимации производных этих переменных по времени. Точность получаемых значений зави­сит от порядка аппроксимационного метода и размера шага: более высокую точность дают аппроксимации высокого порядка и наименьшие размеры шагов. Так как аппроксимации высокого порядка и небольшие размеры шага требуют больше вычисле­ний, то существует зависимость между точностью вычислений переменной состояния и затрачиваемым при этом машинным временем.

Методы моделирования систем

Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести её словесное, вербальное описание в формальное. В случае относительно простых задач такой переход осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный закон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается её адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса.

По мере усложнения задач получение модели и доказательство её адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится дорогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т.д.), а применительно к экономическим объектам эксперимент становится практическим нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т.е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения. Причём эту составную часть не всегда можно выделить как отдельный этап, завершив который, можно обращаться с полученной формальной моделью так же, как с обычным математическим описанием, строгим и абсолютно справедливым. Большинство реальных ситуаций проектирования сложных технических комплексов и управления экономикой необходимо отображать классом самоорганизующихся систем, модели которых должны постоянно корректироваться и развиваться.

При этом возможно изменение не только модели, но и метода моделирования, что часто является средством развития представления ЛПР о моделируемой ситуации. Иными словами, перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования сложной развивающейся системы.

Часто для того чтобы точнее охарактеризовать такой подход к моделированию процессов принятия решений, говорят о создании «механизма» моделирования, «механизма» принятия решений (например, «хозяйственный механизм», «механизм проектирования и развития предприятия» и т.п.).

Возникающие вопросы – как формировать такие развивающиеся модели или «механизмы»? как доказывать адекватность моделей? – и являются основным предметом системного анализа.

Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное в различных областях деятельности стали развиваться специальные приёмы и методы. Так, возникли методы типа «мозговой атаки», «сценариев», экспертных оценок, «дерева целей» и т.п.

В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач. Наряду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая статистика (как средство доказательства адекватности модели на основе представительной выборки и понятия вероятности правомерности использования модели и результатов моделирования). Для задач с большей степенью неопределённости инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, математическую лингвистику, теорию графов, что во многом стимулировало развитие этих направлений. Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределённостью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения.

Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сложился как бы «спектр» методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуации, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью, с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 2.1, а.

Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так последовательно, как показано на рис. 2.1, а. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификации сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т.е. исследователи предлагали разные классификации (в основном – для формальных методов, что более подробно будет рассмотрено в следующем параграфе). Постоянно возникают новые методы моделирования как бы на «пересечении» уже сложившихся групп. Однако основную идею – существование «спектра» методов между вербальным и формальным представлением проблемной ситуации – этот рисунок иллюстрирует.

Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в соответствие определённые методы моделирования, позволяющие наилучшим образом отразить особенности того или иного класса. Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики. Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и ту же проблемную ситуацию (в зависимости от степени неопределённости и по мере познания) отображать разными классами систем и соответственно различными моделями, как бы организовывая таким образом процесс постепенной формализации задачи, т.е. «выращивание» её формальной модели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод моделирования может привести к неверным результатам, к невозможности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы.