Элементарный заряд. Закон сохранений заряда Проводники Полупроводники Диэлектрики Закон Кулона

В электрическое поле \(~\vec E_0\) на свободные электроны действуют электрические силы, под действием которых электроны приходят в движение. Если электрическое поле не слишком велико, то электроны не могут покинуть объем металла и скапливаются на одной стороне проводника, с другой стороны проводника образуется недостаток электронов, поэтому положительный заряд ионов решетки оказывается нескомпенсированным (рис. 225). Таким образом, на поверхности проводника появляются электрические заряды, при этом суммарный заряд проводника остается, конечно, неизменным.

Явление возникновения электрических зарядов на проводнике под воздействием электрического поля называется электростатической индукцией, а возникшие заряды – индуцированными .

Появившиеся индуцированные заряды создают собственное индуцированное электрическое поле \(~\vec E"\), которое направлено в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 226). Конечно, эти заряды создают поле как внутри проводника, так и вне его. Суммарное поле \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E"\) отличается от внешнего поля.

Рассмотренные особенности поведение проводников достаточно легко проиллюстрировать экспериментально.

Мы уже упоминали, что стрелка электроскопа отклоняется даже в том случае, когда заряженное тело не прикасается к его стержню (рис. 227). Это явление легко объясняется явлением электростатической индукции. Для увеличения эффекта, на стержень электроскопа следует насадить сферическую насадку. Поднесем к металлической сфере заряженную стеклянную палочку, заряд которой положительный. Под действием электрического поля зарядов палочки произойдет перераспределение зарядов на сферической насадке, стержне и стрелке. Отрицательно заряженные электроны под действием электрического поля будут приближаться к палочке, поэтому сфера приобретет отрицательный заряд, равный ему положительный заряд распределится между стержнем и стрелкой. Суммарный заряд электроскопа останется равным нулю. Вследствие электрического отталкивания между положительными зарядами стержня и стрелки, последняя отклонится.

Зарядим электроскоп, прикоснувшись к нему заряженной стеклянной палочкой. Если теперь к насадке поднести незаряженное проводящее тело (например, просто свою руку), не касаясь насадки, отклонение стрелки электроскопа уменьшится (рис. 228). Это явление объясняется следующим образом: под действием положительного заряда электроскопа на руке индуцируются заряды противоположного знака, которые притянут положительные заряды стрелки и стержня к насадке, то есть между ними произойдет перераспределение зарядов, в результате чего заряд стрелки и стержня уменьшится.

Электростатической индукцией объясняется и притяжение незаряженного тела к заряженному. Если заряженную стеклянную палочку поднести к небольшому проводящему телу (например, кусочку фольги), то в этом теле произойдет перераспределение зарядов: ближняя к палочке часть зарядится отрицательно, дальняя положительно (рис. 229). Следовательно, тело приобретет дипольный момент. Так как электрическое поле, создаваемое зарядом палочки не является однородным, а убывает с расстоянием, то на кусочек фольги будет действовать сила притяжения, поэтому незаряженное тело втягивается в область более сильного поля.

Подчеркнем, одним из необходимых условий притяжения незаряженного тела к заряженному является неоднородность электрического поля – если поместить проводящее тело в однородное электрическое поле (рис. 230), то индуцированные заряды возникнут, но суммарная сила, действующая на них, будет равна нулю!

Задание для самостоятельной работы.

1. Что произойдет с отклонением стрелки заряженного электроскопа, если к его насадке поднести другое заряженное тело (не касаясь насадки)?

Некоторые важнейшие свойства электрического поля, и распределения зарядов на проводниках можно получить, рассматривая только условия равновесия электрических зарядов. Условия равновесия не изменятся, если проводнику сообщить избыточный заряд, который также перераспределится по поверхности проводника, и также будет создавать электрическое поле. Далее, мы рассмотрим условия равновесия зарядов на проводнике и электрического поля, независимо от того, какими зарядами это поле создается – изначально находящимися на проводнике, индуцированными, или внешними; тем более, что нет принципиальной возможности разделить и различить эти поля, так как единственной реальностью является суммарное электрическое поле.

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю \(~\vec E = \vec 0\). Можно предположить, что заряды, возникающие на поверхности проводника, образуются крайне незначительной долей общего количества свободных электронов, поэтому внутри проводника всегда имеется значительное число свободных электронов. Если внутри проводника существует отличное от нуля электрическое поле, то под его действием свободные электроны будут продолжать перемещаться, в стационарном же состоянии равновесия такое движение прекращается. Следовательно, в состоянии равновесия поле индуцированных зарядов \(~\vec E"\) полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) . В некоторых пособиях утверждается, что проводники «не пропускают» электрическое поле. Данное высказывание не совсем корректно – проводник создает собственное поле, которое компенсирует внешнее, породившее его поле.

   

   Проверим высказанное предположение о малости числа электронов, образующих индуцированные заряды. Пусть медная пластинка помещена в однородное электрическое поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 231). Под действием внешнего электрического поля на гранях пластинки возникнут индуцированные электрические заряды, поверхностную плотность которых обозначим σ . Эти заряды породят электрическое поле, напряженность которого равна \(~E" = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . В состоянии равновесия это поле полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) , поэтому \(E" = E_0\) , а поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью внешнего поля соотношением \(\sigma = \varepsilon_0 E_0\) . Число электронов, приходящихся на единицу площади поверхности (поверхностная концентрация), равно \(~n_{pov} = \frac{\sigma}{e} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e}\) , где e - заряд электрона. Для численной оценки примем, что напряженность внешнего поля равна E 0 = 1·10 5 В/м = 1·10 3 В/см (что в тысячу раз превышает напряженность электрического поля Земли). Тогда поверхностная концентрация электронов равна \(~n_{pov} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e} = \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot 10^5}{1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 6 \cdot 10^{12} m^{-2} = 6 \cdot 10^{10} cm^{-2}\) . На первый взгляд достаточно много, но сравним с общим числом электронов в единице объема. Для расчета концентрации электронов примем, что каждый атом меди отдает один электрон в электронное облако. Число атомов меди (следовательно, и число свободных электронов) в единице объема рассчитаем следующим образом: масса единицы объема равна плотности меди ρ = 9 г/см 3 ; число молей вещества в единице объема равно \(~\nu = \frac{m}{M} = \frac{\rho}{M}\) , где M ≈ 65 г/моль - молярная масса меди; концентрация атомов (и свободных электронов) \(~n_{ob} = \nu N_A = \frac{\rho}{M} N_A \approx 8 \cdot 10^{22} cm^{-3}\) . Если принять толщину пластинки h = 1 см, то доля электронов, которые оказались на поверхности, оказывается равной \(~\eta = \frac{n_{pov}}{n_{ob} h} \approx 10^{-12}\) , что действительно крайне мало (одна десятимиллиардная доля процента). Напомним, такая доля электронов создает индуцированные заряды, если к медной пластинке толщиной в один сантиметр приложить напряжение в тысячу вольт! Поэтому с высокой степенью точности можно считать, что появление индуцированных зарядов не изменяет объемную концентрацию свободных электронов.

2. Все точки проводника имеют одинаковые потенциалы . Это утверждение является прямым следствием связи между разностью потенциалов и напряженностью поля \(~\Delta \varphi = - \vec E \cdot \Delta \vec l\) . Если напряженность поля внутри проводника равна нулю, то разность потенциалов также равна нулю, поэтому потенциалы всех точек проводника одинаковы. Также можно привести еще одно равноценное доказательство: если между двумя точками проводника существует разность потенциалов, то между ними будет течь электрический ток, то есть равновесия не будет.
3. В состоянии равновесия все заряды располагаются только на поверхности проводника, объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю .

   

   Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Допустим, что в некоторой части проводника существует заряженная область. Окружим эту область замкнутой поверхностью S (рис. 232). Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность отличен от нуля и пропорционален заряду, находящемуся внутри поверхности. Следовательно, в точках этой поверхности напряженность электрического поля отлична от нуля. Но мы доказали, что в состоянии равновесия внутри проводника электрическое поле отсутствует, мы пришли к противоречию, поэтому внутри проводника электрические заряды отсутствуют. Реально, если каким то образом внутрь проводника поместить избыточный электрический заряд, то под действием сил отталкивания этот заряд «разбежится» на поверхность проводника. Строго говоря, электрические заряды существуют в очень тонком слое вблизи поверхности, толщина которого измеряется несколькими атомными слоями, поэтому практически можно говорить о поверхностном заряде, пренебрегая толщиной заряженного слоя.

4. У поверхности проводника вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно поверхности проводника .

   

   Опять воспользуемся доказательством методом от противного – предположим, что в некоторой точке поверхности проводника вектор напряженности электрического поля \(~\vec E\) направлен под некоторым углом к поверхности проводника (рис. 233). Разложим это вектор на две составляющих: нормальную \(~\vec E_n\), перпендикулярную поверхности, и тангенциальную \(~\vec E_{\tau}\) - направленную по касательной к поверхности. Аналогично можно провести и разложения вектора силы, действующей на электроны. Нормальная составляющая этой электрической силы уравновешивается силой, действующей на электрон со стороны кристаллической решетки. Под действием же тангенциальной составляющей электроны придут в движение вдоль поверхности, но …нас интересует состояние равновесия, поэтому в состоянии равновесия тангенциальная составляющая электрического поля отсутствует. Если в какой-то момент времени тангенциальная составляющая поля отлична от нуля, то под ее действием начнется движение электрических зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором вектор поля будет перпендикулярен поверхности во всех ее точках.

5. Напряженность электрического поля у поверхности проводника связана с поверхностной плотностью зарядов соотношением \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . Итак, мы установили, что внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, а у поверхности вектор напряженности перпендикулярен поверхности проводника. Кроме того, электрические заряды локализованы на поверхности проводника. Эти факты позволяют с помощью теоремы Гаусса установить связь между напряженностью поля и поверхностной плотностью заряда.

   

   Выделим на поверхности проводника малую площадку, площадью ΔS , поверхностную плотность заряда на ней обозначим σ , и будем считать ее постоянной в пределах выбранной малой площадки (рис. 234). Окружим эту площадку замкнутой поверхностью, состоящей из двух частей: первая Ω 1 расположена над поверхностью и непосредственно примыкает к выбранной площадке ΔS , вторая Ω 2 находится под поверхностью, внутри проводника. Поток вектора напряженности через поверхность Ω 2 равен нулю, так как внутри проводника поля отсутствует Ф E2 = 0; поток вектора напряженности через поверхность Ω 1 равен произведению напряженности поля на площадь площадки Ф E1 = E ΔS , так как на этой поверхности вектор напряженности направлен вдоль нормали. Так как Ω 1 и Ω 2 образуют замкнутую поверхность, то суммарный поток через нее равен заряду, находящемуся внутри поверхности q = σ ΔS , деленному на электрическую постоянную ε 0 \[~\Phi_{E1} + \Phi_{E2} = \frac{q}{\varepsilon_0}\] . Подставив выражения для потоков и заряда \(~E \Delta S + 0 = \frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}\) , получим искомое соотношение \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . (1) К сожалению, эта формула только устанавливает связь между напряженностью поля и плотностью заряда, хотя обе величины остаются неизвестными.

Следует отметить, что электрическое поле E , входящее в формулу (1) создается не только зарядами, находящимися на выбранной площадке ΔS , но и всеми остальными зарядами на проводнике и вне его (рис. 235). Представим это поле в виде суммы полей \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E_1\) , где \(~\vec E_0\) напряженность поля, создаваемого зарядами на площадке σ 0 ; \(~\vec E_1\) - напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами σ 1 . Рассмотрим теперь эти поля непосредственно под площадкой ΔS внутри проводника. Напряженность поля \(~\vec E"_0\) зарядов σ 0 будет направлена в противоположную сторону, так как рассматривается точка с противоположной стороны площадки. А напряженность поля остальных зарядов остается неизменной, так как мы выбираем две точки в непосредственной близости друг от друга. Теперь, внимание, так как внутри проводника поле отсутствует, то \(~\vec E_1 - \vec E_0 = \vec 0\) , поэтому модули напряженности этих полей равны и определяются формулой \(~E_0 = E_1 = \frac{E}{2} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) . С помощью полученного соотношения можно вычислить силу, действующую на выбранную площадку поверхности, как произведение заряда площадки \(~q = \sigma \Delta S = \varepsilon_0 E \Delta S\) на напряженность поля E 1 , создаваемого всеми зарядами кроме, заряда на самой площадке \(~F = q E_1 = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta S\). Сила, действующая на единицу площади поверхности проводника со стороны электрического поля (то есть давление поля) вычисляется по формуле

\(~P = \frac{F}{\Delta S} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\) .

Удивитесь (и попытайтесь его осмыслить) полученному результату: давление электростатического поля на поверхность проводника равно плотности энергии электрического поля!

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§1 Распределение заряда в проводнике.

Связь между напряженностью поля у поверхности проводника и поверхностной плотностью заряда

Следовательно, поверхность проводника при равновесии зарядов является эквипотенциальной.

При равновесии зарядов ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределены по поверхности проводника с некоторой плотностью σ.

Рассмотрим замкнутую поверхность в форме цилиндра, образующие которого перпендикулярны поверхности проводника. На поверхности проводника расположены свободные заряды с поверхностной плотностью σ.

Т.к. внутри проводника зарядов нет, то поток через поверхность цилиндра внутри проводника равен нулю. Поток через верхнюю часть цилиндра вне проводника по теореме Гаусса равен

т.е. вектор электрического смещения равен поверхностной плотности свободных зарядов проводника или

2. При внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные - по полю, отрицательные - против поля. Тогда с одной стороны проводника будут накапливаться положительные, а с другой отрицательные заряды. Эти заряды называются ИНДУЦИРОВАННЫМИ . Процесс перераспределения зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярны его поверхности. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения, т.е. являются поверхностной плотностью смещенных зарядов и т.к. то поэтому назвали вектором электрического смещения.

§2 Электроемкость проводников.

Конденсаторы

1. УЕДИНЕННЫМ называется проводник, удаленный от других проводников, тел, зарядов. Потенциал такого проводника прямо пропорционален заряду на нем

Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными Q 1 = Q 2 приобретает различные потенциалы φ 1 ¹ φ 2 из-за различной формы, размеров и окружающей проводник среды (ε). Поэтому для уединенного проводника справедлива формула

где - емкость уединенного проводника . Емкость уединенного проводника равна отношению заряда q , сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на 1 Вольт.

В системе SI емкость измеряется в Фарадах

Емкость шара

Рассчитаем емкость плоского конденсатора с площадью пластин S , поверхностной плотностью заряда σ, диэлектрической проницаемостью ε диэлектрика между пластинами, расстоянием между пластинами d . Напряженность поля равна

Используя связь Δφ и Е , находим

Емкость плоского конденсатора.

Для цилиндрического конденсатора:

Для сферического конденсатора

Т.к. при некоторых значениях напряжения в диэлектрике наступает пробой (электрический разряд через слой диэлектрика), то для конденсаторов существует пробивное напряжение. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

1. Емкость при параллельном и последовательном соединении конденсаторов

а) параллельное соединение

По закону сохранения заряда

б) последовательное соединение

По закону сохранения заряда

§3 Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Электростатическое поле является потенциальным. Силы, действующие между зарядами - консервативные силы. Система неподвижных точечных зарядов должна обладать потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию двух неподвижных точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.

Потенциальная энергия заряда q 2 в поле, создаваемом

зарядом q 1 , равна

Аналогично, потенциальная энергия заряда q 1 в поле, создаваемом зарядом q 2 , равна

Видно, что W 1 = W 2 , тогда обозначив потенциальную энергию системы зарядов q 1 и q 2 через W , можно записать

Проводники это тела, в которых электрические заряды способны перемещаться под действием как угодно слабого электростатического поля.

Вследствие этого сообщенный проводнику заряд будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю.

Таким образом, напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равной нулю.

Так как , то , φ=const

Потенциал внутри проводника должен быть постоянен.

2.) На поверхности заряженного проводника вектор напряженности Е должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей, касательной к поверхности (Е t). заряды перемещались бы по поверхности проводника.

Таким образом, при условии статического распределения зарядов напряженность на поверхности

где E n -нормальная составляющая напряженности.

Отсюда следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

3. В заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника.

Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый внутренний объём проводника. Согласно теореме Гаусса, суммарный заряд этого объёма равен:

Таким образом, в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет. Поэтому если мы удалим вещество из некоторого объёма, взятого внутри проводника, то это никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На внутренней поверхности избыточные заряды располагаться не могут. Это следует также из того, что одноимённые заряды отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Исследуя величину напряжённости электрического поля вблизи поверхности заряженных тел различной формы можно судить и о распределении зарядов по поверхности.

Исследования показали, что плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растёт с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости).Особенно велика бывает плотность на остриях. Напряженность поля вблизи остриёв может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул окружающего газа. При этом заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия.

Если поместить на внутреннюю поверхность полого проводника электрический заряд, то этот заряд перейдёт на наружную поверхность проводника, повышая потенциал последнего. Многократно повторяя передачу полому проводнику можно значительно повысить его потенциал до величины, ограничиваемой явлением стекания зарядов с проводника. Этот принцип был использован Ван-дер-Граафом для построения электростатического генератора. В этом устройстве заряд от электростатической машины передаётся бесконечной непроводящей ленте, переносящий его внутрь большой металлической сферы. Там заряд снимается и переходит на наружную поверхность проводника, таким образом, удаётся постепенно сообщить сфере очень большой заряд и достигнуть разности потенциалов в несколько миллионов вольт.

Проводники во внешнем электрическом поле.

В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды, принесённые извне, но и заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны и ионы). Поэтому при помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды будут перемещаться к его поверхности, положительные по полю, а отрицательные против поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Это явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электростатическом поле путём разделения на этом проводнике уже имеющихся в нём в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов называется электризацией через влияние или электростатической индукцией .

Суммарное поле Е вблизи проводника будет заметно отличаться от своего первоначального значения Е 0 . Линии Е будут перпендикулярны к поверхности проводника и будут частично кончаться на индуцированных отрицательных зарядах и вновь начинаться на индуцированных положительных зарядах.

Индуцированные на проводнике заряды исчезают, когда проводник удаляют из электрического поля. Если предварительно отвести индуцированные заряды одного знака на другой проводник (например в землю) и отключить последний, то первый проводник останется заряженным электричеством противоположного знака.

Отсутствие поля внутри проводника, помещённого в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранировки) разных электрических приборов и проводов. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим футляром (экраном). Подобный экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки.

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю,

В соответствии с (8.2) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует; поэтому поток вектораэлектрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределятся по поверхности проводника с некоторой плотностью о.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности.

На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 24.1). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к немунапряженность поля Е направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагается расположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность равен, где D - величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд (- плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна

36)Уравнения Лапласа и Пуассона. Общая задача электростатики

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение

вместо величин Е х; Е у; Е z их выражения через потенциал:

получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона .

Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа .

Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат.

Условия равновесия зарядов в проводнике. Электрическое поле внутри проводников

Проводники – тела, содержащие огромное количество свободных электрически заряженных частиц. Эти частицы могут перемещаться внутри проводника под действием сколь угодно малой силы.

Для равновесия зарядов в проводнике необходимо выполнение следующих условий:

Но, следовательно

Потенциал внутри проводника должен быть постоянным.

2. Напряженность на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности.

Если проводнику сообщить некоторый заряд то он распределится по поверхности так, чтобы эти условия равновесия опять соблюдались.

Если незаряженный проводник внести во внешнее электрическое поле, то носители зарядов в проводнике придут в движение – электроны начнут двигаться против направления вектора напряженности. В результате у концов проводника возникнут заряды противоположного знака. Это – индуцированные заряды. Внутри проводника образуется собственное электрическое поле, направленное против внешнего, оно ослабляет внешнее поле, накладываясь на него. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока не будут выполнены условия равновесия зарядов в проводнике, т.е. напряженность внутри не станет равной нулю, а линии вне не станут перпендикулярными поверхности ( и, ). Таким образом, проводник, внесенный в поле, разрывает линии напряженности. Они заканчиваются на отрицательных

индуцированных зарядах, а начинаются на положительных

индуцированных зарядах. Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении зарядов поле внутри полости отсутствует. На этом основана электростатическая защита.