Какие волны распространяются в волноводе. Типы волн в волноводах

Ранее мы рассматривали падение плоской электромагнитной волны на поверхность идеального проводника и суперпозицию падающей и отраженной волн. Для локализации энергии в пространстве эту модель можно превратить в простейший волновод: добавить к имеющейся проводящей плоскости на некотором расстоянии параллельную ей такую же плоскость. В этом случае волны будут распространяться только в промежутке между этими двумя плоскостями. Будем называть такую направляющую систему двухплоскостным волноводом.

Очевидно, что как на верхней, так и на нижней плоскости должны выполняться одинаковые граничные условия . При этом картина поля в волноводе должна принимать некоторый вполне определенный вид, как это показано, например, на рисунке.

−Картины поля для некоторых простейших типов волн, распространяющихся между двумя параллельными плоскостями

Вид распределения поля, конечно, зависит от частоты электромагнитной волны и от расстояния между плоскостями. Характерная картина такого распределения носит название типа волны (типа колебаний) или моды. Из приведенного рисунка следует, что различные типы волн (моды) различаются числом стоячих полуволн, укладывающихся вдоль поперечной координаты . На этом принципе основана классификация типов волн в волноводах, которая проводится раздельно в случаеЕ - иН -типов. Дл этого каждому типу волны сопоставляется индекс: положительное целое число, равное числу стоячих полуволн, или, как иначе говорят, числу вариаций поля вдоль поперечной координаты. На этом основании тип волны, изображенный на рисунке Рисунок 13 а, следует назвать типом. На рисунке Рисунок 13 обозначены индексы изображенных типов волн вместе с силовыми линиями поля в поперечном сечении.

1. Критическая длина волны

Выясним условия существования тех или иных типов волн в зависимости от их индекса, ширины волновода и длины волны генератора. При этом будем исходить из сформулированного выше условия, которое на основании формул для суммарного поля между двумя плоскостями

принимает вид

,

где
− индекс типа волны.

Действительно, при выполнении этого условия амплитудная синусоидальная функция, описывающая распределение поля в поперечном сечении волновода, обращается в нуль на верхней и нижней стенках (рисунок Рисунок 14).

−Распространение волны в двухплоскостном волноводе

Это условие может быть переписано в следующем эквивалентном виде:

.

−Распространение при разной длине волны

Отсюда можно сделать вывод: при фиксированных параметрах икаждому индексу
соответствует определенное значение угла падения, обеспечивающеее условие существования волн типов
или
(рисунок Рисунок 15). Отметим при этом, что с ростом индекса угол падения должен уменьшаться.

Поскольку левая часть последнего соотношения ограничена в интервале
, данное соотношение не может быть выполнено при любых
,и. Действительно, для любого индекса
найдется такая длина волны генератора, которую будем называть критической длиной волны данного типа и обозначать
, для которой выполнение условий возможно лишь при максимальном значении
, т.е.

.

Если теперь выбрать значение
, то граничные условия на стенках волновода не могут быть выполнены ни при каком вещественном значении угла падения. Физически это означает невозможность существования колебания данного типа в виде бегущей волны. Явления, происходящие в волноводе на критической длине волны, могут быть сформулированы следующим образом. Поскольку
, образуется стоячий волновой процесс в поперечной плоскости, т.е. никакого волнового движения, а следовательно, и передачи энергии вдоль осине происходит. Однако важно подчеркнуть, что на критической длине волны

,
.

Теперь можно сформулировать основной вывод из приведенных рассуждений. Каждый тип колебаний с индексом
может существовать как бегущая волна в области длин волн, удовлетворяющих равенству

.

Волны, более длинные, чем
, по волноводу на данном типе колебаний распространяться не могут. Принято говорить, что область частот, удовлетворяющая неравенству
, является областью отсечки данного типа колебаний.

Тип волны, обладающий наибольшей критической длиной, носит название основного (или низшего) в данном волноводе. Для рассматриваемого здесь двухплоскостного волновода низших типов волн два: это типы и, для них
. Итак, если длина волны генератора превосходит удвоенную ширину волновода, то никакие волныЕ - иН -типов распространяться в нем не могут. Если
, то в волноводе могут существовать лишь волны низших типов. При
появляется возможность возникновения двух волн высших типов,
и т.д.

Знание критической длины волны позволяет для конкретной длины волны генератора определить фазовую скорость на любом типе колебаний:

.

Аналогично находится длина волны в волноводе:

.

Формулы подобного вида будут часто встречаться в дальнейшем, при рассмотрении волноводов разного типа.

2. Критическая длина волны как для волн Е mn , так и для волн H mn , зависит от размеров поперечного сечения волновода, типа волны и может быть определена по формуле

, (3.8)

где a и b – размеры широкой и узкой стенок волновода.

3. Из формулы (3.8) следует, что в случае a > b величина l кр принимает наибольшее значение при m = 1, n = 0. Отсюда следует, что основным типом волны в прямоугольном волноводе является волна H 10 . При этом критическая длина волны H 10 равна удвоенному размеру широкой стенки волновода, т.е.

l кр = 2а . (3.9)

4. Векторы и волны H 10 в волноводе без потерь определяются следующими формулами:

, (3.10)

где Н 0 – любая постоянная, которая определяется мощностью источников, возбудивших волну,

. (3.12)

5. Из формул (3.10) и (3.11) видно, что в поперечном сечении волновода вектор направлен перпендикулярно широкой стенке волновода, вектор – параллельно. При этом амплитуда вектора меняется по закону . Она максимальна в точках посреди широкой стенки, и убывает до нуля при приближении к узким стенкам.

Поперечные составляющие векторов и имеют одинаковые фазы, а продольная составляющая вектора опережает их на 90 0 .

6. Подставим формулу (3.9) в соотношения (3.5), (3.6) и (3.7), тогда получим, что для основного типа волны прямоугольного волновода:

, , .

7. Коэффициент затухания волны Н 10 в стенках волновода можно рассчитать по формуле:

,

гдеR S – поверхностное сопротивление материала, из которого выполнен волновод, может быть определено по формуле:

.

8. Условие одноволнового режима в прямоугольном волноводе при а ³ 2b имеет вид

9. На поверхности стенок волновода протекают поверхностные токи, которые связаны с вектором магнитного поля следующей формулой:

где – орт внутренней нормали к стенкам волновода; – значение магнитного поля волны на поверхности стенок волновода.

На рис. 3.9. в качестве примера представлена структура токов (силовые линии вектора ) для волны Н 10 .

Рисунок 3.9 – Структура токов на стенках волновода для волны Н 10

Распределение тока по стенкам волновода важно знать как при конструировании самого волновода, так и при конструировании волноводных устройств. Большая плотность токов через ребро прямоугольного волновода требует хорошей проводимости этих участков. При создании на базе волноводов устройств различного назначения приходится прорезать в нем узкие щели. Щели не вызывают заметных потерь на излучение и не искажают структуру поля волны, если они расположены вдоль линий тока. Для волны Н 10 такими щелями являются поперечные щели на узких стенках и продольная щель, расположенная посредине широкой стенки волновода. На практике часто возникает задача создания излучающей щели, которая является элементом щелевой антенны или используется для ввода энергии в волновод. Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями тока.

10. Как отмечалось, в прямоугольном волноводе могут распространяться также высшие типы волн, которые могут быть использованы в тех или других волноводных устройствах. Структура поля высших типов волн имеет более сложный характер. В качестве примера на рис. 3.10 и рис. 3.11 представлены в поперечном сечении волновода структуры поля волн Н 11 и Е 11 .

3.5. Волны в круглом волноводе

Распространение волн в круглом волноводе удобно изучать в цилиндрической системе координат. В этой системе положение вектора в пространстве определяется координатами и соответствующими ортами . На рис. 3.12 представлено сечение круглого волновода радиуса .

Рассмотрим особенности распростране­ния волн в круглом волноводе.

1. В круглом волноводе, как и в прямо­угольном, могут распространяться волны электрического (Е mn ) и магнитного (Н mn ) типов. Для круглого волновода критические длины волн зависят от радиуса поперечного сечения волновода, типа волны и могут быть определены по следующим формулам:

где v mn – значение n -го корня функции Бесселя m -го порядка; – значение n -гокорня производной функции Бесселя m -гo порядка, – радиус волновода.

Отметим также, что для круглого волновода индексам m и n , которые определяют тип волны, также можно придать четкий физический смысл. Именно, индекс n определяет число полуволн, укладывающихся от оси волновода до его стенки, а индекс m определяет периодичность поля по полярному углу j.

В табл. 3.1 приведены корни функций Бесселя и ее производной, а также критические частоты волн в круглом волноводе с воздушным заполнением.

Таблица 3.1 – Корни функций Бесселя и ее производной

2. Из табл. 3.1 и формул (3.13) видно, что критическая частота принимает наименьшее значение (l кр – наибольшее) при m = 1, n = 1. Отсюда следует, что основным типом волны в круглом волноводе является волна H 11 . При этом критическая длина волны H 11 определяется по формуле

3. Проекции векторов и волны Н 11 на орты цилиндричес­кой системы координат для случая волновода без потерь имеют вид

Глава 2. Прямоугольный металлический волновод

Лекция 4. Поле в прямоугольном волноводе

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.2.1). Волновод используется как линия передачи в основном в сантиметровом диапазоне длин волн, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Примеры наиболее распространённых стандартных волноводов следующих поперечных размеров (широкую стенку принято обозначать через «а», узкую – «b»):

а х b = 1,6 х 0,8 мм (λ ср ~ 2 мм)

23 х 10 мм (λ ср ~ 3 см)

72 х 34 мм (λ ср ~ 10 см)

110 х 55 мм (λ ср ~ 15 см)

Задача определения поля в волноводе решается в предположении, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами  и  .. Волновод бесконечно протяжённый (чисто бегущая волна). Поле монохроматическое. Будем считать, что источник находится за пределами рассматриваемой части линии передачи и создаваемая им волна распространяется вдоль оси z.Используемая система координат и размеры a и b поперечного сечения волновода показаны на рис.2.1.

Рис. 2.1. Прямоугольный волновод

В прямоугольном металлическом волноводе с однородным диэлектрическим заполнением распространяются магнитные волны типа
, у которых компонентыH Z  0, a E Z = 0 (направление оси z совпадает с продольной осью волновода), и электрические волны
, у которыхE Z  0, H Z = 0. Поперечно электромагнитные Т -волны не существуют. Предположим, что Т волна существует, у которой Е Z = 0, Н Z = 0, Е ┴ ≠ 0, Н ┴ ≠ 0. Силовые линии вектора Н → замкнуты, в данном случае лежат в поперечной плоскости и согласно первому уравнению Максвелла охватывают линии вектора объёмной плотности полного тока:

Но у волны Т продольная составляющаяЕ Z = 0, уравнение Максвелла не выполняется, и волнаТ не существует. Здесь же можно сделать вывод, что если внутри линии есть проводник, тоТ волна существует. Но это уже другой тип линии передачи (например - коаксиальная линия).

Т
ак как поперечные составляющие векторов поля однозначно определяются через продольные (см. 1.15,1.16), то для определения поля электрических и магнитных волн достаточно решить однородные волновые уравнения Гельмгольца для продольных составляющих векторов поля

Уравнения одинаковые по структуре, достаточно заняться решением одного из них. Волна распространяется вдоль оси z.

Амплитуда Е mz (х,у ) зависит от поперечных координат, фаза β z описывает линейное изменение фазы поля вдоль координаты распространения z. При явной зависимости от z, можно сразу расписать вторую производную в операторе Лапласа:

Далее учтём, что
┴ , сократим е - jβz и уравнения Гельмгольца приводим к виду

Эти уравнения решаем методом разделения переменных, согласно которому искомое решение представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Займемся первым волновым уравнением (2.1).

(2.3)

Д
ля определения неизвестных функций X (x ) и Y (y ) искомое решение (2.3) подставляем в (2.1) и делим на произведение X (x ) Y (y )

(2.4)

В уравнении (2.5) сумма двух независимых функций (первое и второе слагаемые) равна постоянной величине. Это возможно только при условии, что сами функции равны пока неизвестным постоянным, называемыми константами разделения

При этом должно выполняться равенство

(2.7)

Решая полученные уравнения (2.6), находим

Неизвестные постоянные
,
определяем из граничных условий: на идеально проводящих стенках волновода касательная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю. В случае электрических волн (решаем уравнение 2.1) продольная составляющая E mz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому уравнения (2.3,2.8,2.9) должны быть подчинены следующим граничным условиям:

При х=0 коэффициент В=0 ; при х=a функция
.

Коэффициент A ≠0 , иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс m имеет числовые значения
(2.10)

При y=0 коэффициент D =0; при у=b функция
.

Коэффициент С ≠0, иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс n имеет числовые значения
(2.11)

В случае электрических волн значения индексов m = 0 и n = 0 не годятся, так как при этом E mz = 0 во всех точках внутри волновода. Найденное решение для продольной составляющей E mz принимает вид

В формуле (2.12) введено обозначение E 0 z = AC – максимальная амплитуда продольной составляющей вектораЕ . ВеличинаE 0 z определяется либо заданием конкретного источника, либо заданием мощности бегущей волны. Для дальнейшего анализа конкретное значение
не требуется. Волновод является линейной системой, и безразлично, на каком уровне поля проводить его анализ. Через найденную продольную составляющую (2.12) поперечные составляющие векторов поля определяются из соотношений (1.16).

имеет компоненты:

,

,

,

,
,
, (2.13)

где
– характеристическое сопротивление волновода с

волной
;

[Ом] – характеристическое сопротивление cреды, заполняющей волновод;

–продольное волновое число (коэффициент фазы);

–поперечное волновое число.

Электрические и магнитные волны имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно. В случае магнитных волн решение уравнения для продольной составляющей (2.2) проводится так же, как и для электрических волн. Видоизменяется только запись граничных условий.

Электромагнитное поле распространяющейся волны
имеет компоненты:

,

,

,

,
,
, (2.14)

где
[Ом] – характеристическое сопротивление волновода для волн типа
.

В отличие от электрических волн для магнитных волн индексы m иn могут принимать нулевые значения, но они не могут равняться нулю одновременно, так как при этом продольная составляющаяH z не зависит от переменныхx иy и вектор Е (см. 1.5) будет равен нулю.

Значение искомого поперечного волнового числа (2.7) получаем из приведенного решения, а вслед и значение критической длины волны для электрических и магнитных волн

(2.15)

Каждой паре индексов (чисел) m иn соответствует определённое поле, называемое типом волны, или гармоникой, или модой (от латинского словаmodus– образ). Обозначаются ониЕ mn илиН mn и в волноводе может существовать бесконечный спектр электрических и магнитных волн. Не существуют в силу граничных условий (Е τ =0 на идеально проводящей стенке) волныН 00 , Е 00 , Е m 0, Е 0n . Индекс m в записи волны означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют m вариаций поля вдоль осиo х , а индексn означает число вариаций поля вдоль оси oy .

Лекция 5. Параметры электрических и магнитных волн в прямоугольном волноводе

Из бесконечного спектра типов волн с индексами m = 0, 1, 2, ... и n = 0, 1, 2, ... распространяться в волноводе будут лишь те, для которых выполняется соотношение

или
, (2.16)

где – критическая длина волны данного типа колебания;

–критическая частота;

, – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости мате риала, заполняющего волновод;

–частота генератора;

–длина волны в безграничной cреде с параметрами материала, заполняющего волновод;

–длина волны в вакууме.

Критическая длина волны
или
вычисляется по единой формуле

, (2.17)

где a иb – размеры поперечного сечения волновода по широкой и узкой стенкам. Из выражениявидно, что чем меньше индексыmиn, тем больше λ кр. Волна, обладающая наибольшей λ кр, называется основной (основной тип), остальные волны – высшими типами. При одинаковых индексахm иn выполняется равенство

,

и волны
и
называются вырожденными. Невырожденными будут волны Н m 0 и Н 0 n , так как при таких индексах электрических волн нет.

Другие параметры распространяющихся
или
волн в соответствии с разделом 1 рассчитываются по следующим формулам:

, ;

фазовая скорость волны в волноводе

, где
,;

групповая скорость волны в волноводе

, .

Мощность, переносимая волной любого типа в волноводе, вычисляется интегрированием продольной составляющей вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода

, [Вт],

где
– поперечные к осиz компоненты векторов поля электромагнитной волны.

Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется напряженностью электрического поля пробоя диэлектрика, заполняющего волновод. Для сухого воздуха при нормальном давлении напряженность пробоя Е проб = 30 кВ/см.

Коэффициент затухания волны в волноводе равен сумме коэффициентов затухания, обусловленных потерями в металлических стенках волновода и в диэлектрике, заполняющем волновод
.

Для волн типа
(m>1, n1)

, ,

где
– активное поверхностное сопротивление металла с проводимостью.

Для волн типа

. (2.19)

Коэффициент затухания, обусловленный потерями в диэлектрике с комплексной диэлектрической проницаемостью

вычисляется по формуле

, (2.20)

где – характеристическое сопротивление волновода:

–для волн типа
,

–для волн типа
.

Для нескольких первых типов волн значения критической длины волны приведены в таблице

О
сновной волной прямоугольного волновода является волнаH 10 (при условии a > b ). Для волны H 10
. Немаловажной является следующая волна. Приb< это волнаН 20 , при b> следующей будет волна Н 01 . В стандартных волноводах для расширения частотного диапазона на основном типе волны принимают условие b .

Лекция 6. Основная волна типа Н 10 прямоугольного волновода

Обычно волновод проектируют таким образом, чтобы в нём распространялась одна основная волна (одномодовый режим). Определим частотный диапазон, в котором возможно распространение только основной волны и невозможно распространение других. Частотный рабочий диапазон, при котором распространяется только Н 10

<<
,
<<
(2.21)

Заполнение волновода диэлектриком смещает частотный диапазон в низкочастотную область. Для заданного частотного диапазона необходимо выбрать поперечные размеры волновода, исходя из условия распространения волн

> >;
<;
<b<Итак, <<, b<и более жёсткое условие b<. (2.22)

Поперечные размеры прямоугольных волноводов соизмеримы с длиной волны, поэтому в основном они используются в сантиметровом диапазоне, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Обычно принимают

,
. (2.23)

В качестве средней длины волны рабочего диапазона рекомендуется величина

.(2.24)

Если b < 0,5 а , то область, где распространяется только основной тип волны Н 10 , определяется соотношением
. На практике рекомендуются следующие использования допустимой полосы длин волн:

,
.(2.25).

Приведем выражения, описывающие пространственную зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Н 10 , подставляя индексы m =1 и n =0 в общие формулы (2.14):

(2.26)

Иногда удобно выразить амплитуды через максимальную амплитуду электрического поля Е 0 , которая максимальна в середине широкой стенки. Укажем распределение амплитуд составляющих векторов поля по координатам: вдоль осиzамплитуды постоянны (как и у любой бегущей волны), амплитуды постоянны и по координатеy(так как индексn =0), по координатеx– амплитуды имеют тригонометрическую зависимость. Цифра 1 в записиH 10 означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют одну вариацию поля вдоль осиo х . Цифра 0 означает, что все компоненты поля имеют постоянное распределение вдоль оси oy (0 вариаций).

На рис. 2.2 показано распределение по модулю амплитуд составляющих векторов поля, нормированных к максимальному значению

Рис. 2.2 Распределение амплитуд составляющих векторов поля.

Параметры волны Н 10 рассчитываются по общим формулам направляемых волн. Длина волны

(2.27)

Следует отметить, что при изменении длины волны генератора λ 0 длина волны в волноводе λ в изменяется непропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называется дисперсионной характеристикой волновода (график на рис.2.3).

Область λ 0 < λ кр является областью прозрачности . При λ 0 << λ кр λ в  λ 0 . Если λ 0  λ кр, то λ в  ∞. При переходе λ 0 за граничные значения λ 0 в волноводе существует не бегущая волна, а колебание, экспоненциально затухающее вдоль продольной оси oz .

Рис. 2.3 Дисперсионная характеристика прямоугольного волновода

С фазовой скоростью распространяется фронт волны внутри волновода

(2.28)

Передача же сигнала по волноводу происходит с групповой скоростью

(2.29)

Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой и скорости света.

Характеристическое сопротивление волновода. По физическому смыслу характеристическое сопротивление линии передачи – это отношение некоторой электрической характеристики волнового процесса к магнитной. В теории волноводов характеристическое сопротивление определяется как отношение модулей поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей. Для волны H 10 характеристическое сопротивление вычисляется по формуле

(2.30)

Характеристическое сопротивление широко используется в различных прикладных задачах (например, в задачах согласования, т.е. отсутствия отраженной волны). Через сопротивления можно оценить излучение из открытого конца волновода. Волноводу сопоставляется эквивалентная схема в виде полубесконечной линии с сопротивлением
и нагрузки с сопротивлениемZ С, равным сопротивлению свободного пространства. Используем коэффициент отражения
на границе двух сред. Погрешность этой формулы в данном случае составляет 10%-15%, так как не учитываются высшие типы, возникающие на открытом конце волновода. Через коэффициент отражения считается
. Обычно коэффициент отражения невелик на волнеН 10 и открытый конец волновода может служить эффективной антенной в СВЧ диапазоне.

9. Направляемые электромагнитные волны. Направляющие системы

Под направляющей системой понимают устройство, ограниченное в двух измерениях и осуществляющее передачу ЭМ энергии в третьем измерении. Волны, которые распространяются в таких направляющих системах получили название - направляемые электромагнитные волны. Такие направляющие системы называются волноводами.

9.1. Недостатки обычных линий передачи преимущества волноводов

Широкое развитие получили двухпроводные и коаксиальные линии еще в прошлом веке.

Недостатки: В 2-х проводных и коаксиальных линиях резко возрастает затухание энергии с ростом частоты. Факторы:

В двухпроводных линиях при 1 м и короче потери такие больше, что ее нецелесообразно применять; на ген = 3 м, затухание в коаксиальном кабеле в среднем 0,2 дБ/м ген = 10 см затухание 2 дБ/м, т.е. ничего не дойдет от передатчика к антенне.

Из двухпроводной линии можно сделать волновод, но так не делают на практике, только на бумаге, как в детском конструкторе. Входное сопротивление отрезка длиной имеет бесконечно большое значение:

Если подключить отрезок к линии, то он никак не повлияет, т.к. . И так сколько угодно можно подключить таких отрезков. Получили волновод.

Достоинства:

1. Трубка жесткая. Простая конструкция.
2. Фактор диэлектрических потерь исключается.
3. Фактор излучения - исключается.
4. Плотность токов значительно меньше, т.к. они распределены по всем стенкам.
5. Можно передать большие мощности.

Академик Капица подсчитал, что в трубе (круглой) диаметром 1 м. можно передать всю мощность Красноярской ГЭС.

9.1.1. Типы волноводов

Различают 2 типа:

Односвязные волноводы,
- двухсвязные волноводы.

Порядок связности определяется тем, что поле распределено в какой-то области и не с чем не связано.

Используются и сложные формы сечения.

Все это односвязные волноводы.

Волны могут распространятся вдоль диэлектрических стержней. Их называют диэлектрическими волноводами, а в оптике - световодами. Металла вообще нет.

К 2-х связным системам относится коаксиальный волновод. Поле определяется уже двумя проводниками.

9.2. Особенности направляемых ЭМВ

Рассмотрим идеально проводящую плоскость, на которую под некоторым углом падает плоская ЭМВ.

Выясним, как распределено ЭМП над плоскостью, если на нее падает ЭМВ. В т.1 поступает отраженная волна и додающая. В каждой точке над металлической плоскостью ЭМП определяется суперпозицией полей падающих и отраженных. Результат суперпозиции зависит от того, в каких фазах эти поля складываются. Там где фазы одинаковы, будет max, где в противофазе будет min. Из граничных условий. Касательная составляющая вектора Е должна обращаться в 0, поэтому вторую плоскость располагаем в нулях. Физическая основа передачи энергии по волноводам связана с многократным отражением ЭМВ от идеально проводящих стенок. В волноводах могут распространяться ЭМВ с различной структурой поля. Угол j зависит от частоты. С уменьшением частоты угол j уменьшается.

Из качественного рассмотрения. В волноводе существует минимальная частота (критическая f кр). Ниже этой критической частоты энергию по волноводу передавать нельзя f = f кр ( = 0) .

Пример: Если по трубе подать световые волны в критическом режиме, то в конце трубы будет темно. При f f кр энергия не передается.

Покажем, что V ф всегда > С.

Перемещение фронта одинаковых фаз не совпадает с осью волновода. Почему так происходит? Волна идет под углом многократно отражаясь.

Направление распространения волны из т. М 1 в т. М 2 показано. Волна распространяется со скоростью света. В т. М 1 был 0, через длину волны в т. М 2 тоже 0 (расстояние равное ). За это же самое время вдоль оси расстояние будет пройдено другое (фазовый фронт тот же). Чтобы в т. М 3 прийти с той же фазой волне надо двигаться с большей скоростью.

Вывод: в всегда > , V ф всегда > С.

При распространении ЭМВ всегда появляется продольная составляющая либо Е либо Н.

9.3. Волновые уравнения полей в волноводе произвольного сечения

Стенки трубы идеально проводящие. Среда с параметрами , неизменна. Генератор, источник сторонних полей далеко вынесен. Тогда в любой точке этого волновода справедливы уравнения Максвелла:

Под F понимаем любую проекцию (Е х Е я и т.д.).

Как можно решить такое уравнение? Много методов. Один из наиболее удобных - метод разделения переменных по Фурье. Идея метода Фурье заключается в том, что решение ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной из координат. Энергия в волноводе распространяется вдоль оси Z, это обстоятельство мы учтем, выделив функциональную зависимость от Z.

F (x,y,z) = f (x,y) Ф (z) (9.3.2.)

Поскольку решение записано в такой форме, оно должно удовлетворять уравнению.

Проверка:

Ф (z)()+ Ф (z)( ) + f (x,y) ()+ k 2 f (x,y) Ф (z) = 0

Разделим все члены уравнения на коэффициент при k 2

(f (x,y) Ф (z))

+ = - k 2

+ =-k 2 s (9.3.4.)

Индекс “S” означает, что поля изменяются только в поперечных координатах. Это поперечное волновое число.

2 - продольное волновое число

k 2 = k 2 s + 2 (9.3.5.)

для общего случая

Общее решение представляет собой два волновых процесса с амплитудами А и В и одинаковым распределением поля в поперечном сечении (f (x,y)) и распространяющихся в противоположных направлениях. Поскольку волновод бесконечно длинный, отраженной волны нет, В = 0. Нет физических условий для возникновения отраженной волны. Общая запись полей для произвольного сечения волновода:

Для конкретизации задаются , Е (х,у) Н (х,у)

В общем виде уравнения не решаются.

Установим связь между в свободном пространстве, в и кр.

В свободном пространстве волновое число:

k = (9.3.10.)

Продольное волновое число = (9.3.11.)

Поперечное волновое число k s = (9.3.12.)

k 2 = k s 2 + 2 () 2 = () 2 + () 2 (9.3.13.)

В = (9.3.14.)

если умножить на f правую и левую часть уравнения (9.3.14) получим:

V ф = в f = (9.3.15.)

9.4. Классификация ЭМВ

В основе классификации лежит критерий - наличие или отсутствие одной из продольных составляющих. Классификация волн позволяет упростить анализ волн в волноводе и записать все составляющие полей через одну составляющую. Установим связь между поперечными составляющими полей и продольными. Для этой цели спроектируем уравнения Максвелла на оси координат:

Проекции на оси х, у, z:

Начнем с уравнения (9.4.2.). Из поперечных составляющих имеем Е х и Н у. Эти же составляющие имеем в (9.4.6.). Из (9.4.2.) находим Н у и подставляем в уравнение (9.4.6.). В результате подстановки составляющие Е х, Е у, Н х, Н у будут выражены следующим образом:

Эти соотношения показывают, что отличные от 0 поперечные составляющие полей в волноводе имеют место, когда одна из продольных составляющих обращается в 0. Различают 4 класса полей.

Первый класс - Электрические волны.

Для этого класса Е z 0 , H z = 0 (Е - волны)

Второй класс - Магнитные волны.

Для этого класса H z 0 , E z = 0 (Н - волны)

Третий класс - Поперечные волны, Т - волны.

H z = 0 , E z = 0 (пример плоская ЭМВ)

Четвертый класс - Гибридные волны.

E z 0 , H z 0 (такие волны характерны для световода).

Конкретизируем связь поперечных и продольных составляющих для каждого класса.

9.4.1. Е - волны

Е z 0 , H z = 0

Смысл классификации:

Для расчета полей достаточно найти продольную составляющую.

9.4.2. Н - волны

E z = 0 , H z 0

= Z c H - называют характеристическим сопротивлением Н - волны.

Аналогично для волны типа Е:

= Z c E = - характеристическое сопротивление волны типа Е. (9.4.2.2.)

Что произойдет, если Е z = 0, H z = 0 ? “Т - волна”. Отличные от 0 поперечные составляющие могут существовать только в одном случае, когда k s = 0, тогда неопределенность (0/0) может дать при раскрытии конечное число.

k s = 0 кр = =

Волна “Т” существует в таких линиях передачи, в которых может поддерживаться устойчивое распределение электрических и магнитных полей в поперечном сечении волновода.

Пример: “Т” волна в коаксиальной линии

Коаксиальная линия обладает таким свойством. Существует “Т” волна. По такой линии можно передать и постоянный и переменный ток.

Если будет заряд, он создает поле, которое растекается по поверхности.

Убираем внутренний проводник. Пустая труба. Переменное электрическое поле будет порождать переменное магнитное поле. В поперечном сечении устойчивое распределение полей создать нельзя. В полых трубах волны “Т” распространяться не могут, а только Е, либо Н. В двух связных системах “Т” волны.

9.5. Прямоугольный волновод

Это металлическая труба прямоугольного сечения.

Задача: 1) найти распределение полей.
2) найти кр

Знаем, что все поля в волноводе можно рассчитать через продольную составляющую.

“Н” - волны в прямоугольном волноводе.

Требуется найти H z:

1) H z = ? 2) E x , E y , H x , H y - находим через H z все остальные. 3) конкретизация полей по выполнению граничных условий.

Составляющая Н z удовлетворяет волновому уравнению.

const разделения будем называть поперечными волновыми числами.

3) Запишем граничные условия для данной задачи.

а) E x = 0 при у = 0 ; y = b

б) Е у = 0 при х = 0 ; x = a

E x (A sin k x x + B cos k x x) k y (C cos k y y - D sin k y y) (9.5.11.)

Накладываем граничные условия:

const D нельзя приравнивать к 0, т.к. исчезнет поле H z , значит sin k y y = 0

k y b = n ; k y =

n = 0, 1, 2 . . . (9.5.13.)

3) E y таким же образом можно показать, что const А = 0 из условия

Е у = 0 при х = 0 (9.5.14.)

4) Е у = 0 при х = а

k x = (9.5.15.)

m = 0, 1, 2 . . .

H z (x,y) = H 0 cos () x cos () y . е j(w t-g z) ; H 0 = B D (9.5.16.)

В рамках задачи нельзя определить Н 0 , т.к. не задана мощность волны на входе. Окончательно другие составляющие полей.

Составляющие Н х, Н у, Е х, Е у умножаем на е j(w t-g z) (9.5.17.)

Соотношения (9.5.5.), (9.5.13.), (9.5.15.) позволяют определить кр.

Кр =; k s 2 = k x 2 + k y 2 = () 2 + () 2

Каждому набору значений индексов m и n соответствует свое распределение поля в волноводе, своя критическая длина волны Н mn . Минимальные значения индексов если m = 0, n = 0, но поля нет. Одновременно индексы не могут быть равны нулю, по частям возможно.

m = 0, 1, 2, 3 . . .

n = 0, 1, 2, 3 . . .

Индексы m и n определяет распределение поля по координатам х, у. С учетом периодичности функции cos, число m имеет смысл - количество полуволн, укладывающихся вдоль а, n - число полуволн, укладывающихся вдоль b. Условием распространения волны в волноводе, является ген < кр. В волноводе бесчисленное множество волн, но не все эти волны могут распространяться. Распространяются только те, которые удовлетворяют условию: ген < кр

В – длина волны в волноводе.

Кр зависит от размеров поперечного сечения а и b, и значения индексов m и n. Максимальная кр будет для индексов m = 1, n = 0, т.е. волны, у которой значения индексов минимальны.

a > b ; m = 1 , n = 0

Максимальной кр, обладает волна Н 10 * кр = 2а. У всех других волн критическая длина волны меньше, волну Н 10 называют основной волной в волноводе. Она наиболее часто используется.

Выделим ось, где откладываем .

Диаграмма спектра волн в прямоугольном волноводе.

Если ген > 2a, то волны не распространяются.

m = 1, n = 0 Н 10 кр = 2а

m = 2 , n = 0 H 20 , кр = а

m = 0 , n = 1 H 01 , кр = 2b

Стандартный волновод 2b < a для волны Н 10:

a ген 2a - одноволновый режим.

Диапазон использования одноволновой области 80 - 85 %. Не рекомендуется подходить к критическому режиму (справа и слева).

Предположим, имеем прямоугольный волновод, на входе этого волновода имеется генератор СВЧ диапазона и возбудитель волны.

Возбудитель может возбудить любую волну (Н 10 , Н 20 и т.д.). На выходе стоит похожее устройство, принимающее сигнал индикатора. Эксперимент заключается в следующем: генератор перестраивается в широком диапазоне частот.

Если ген > 2а, индикатор ничего не показывает, энергия не идет по волноводу.
ген 2а Н 10
ген < а Н 20 часть энергии идет на волне Н 20
(условно из 10 Вт генер. 8 Вт передается волной Н 20)
ген < 2b H 01

Специалисту нужно, чтобы была одна волна, для этого нужно уменьшать поперечное сечение волновода (частота генератора остается неизменной).

В реальных условиях нереально создать условия, когда волны существуют в волноводе независимо друг от друга. Многоволновое распространение нежелательно, т.к. информация из канала в канал передается. Стараются избежать взаимной связи между волнами и использовать одноволновый режим. Волна - mode - по английски. Говорят одномодовый, многомодовый.

9.5.1. Основная волна в прямоугольном волноводе. Преимущества волны Н 10

1. Имеет место максимальный диапазон одноволновой передачи.
2. При передаче энергии на волне Н 10 потери энергии волны минимальны.
3. Поперечные размеры волновода наименьшие при передаче волны типа Н 10 .

Выпишем составляющие волны Н 10

Восстановим из уравнений распределение силовых линий Е и Н поля для основной волны. Рассмотрим поперечное сечение волновода.

Электрическое поле волны Н 10 имеет одну составляющую Е у, она max в середине волновода.

Поле Е направлено от одной стенки к другой. Магнитное поле имеет 2 составляющие Н х и Н z .

У боковых стенок волновода Н Z максимальна. В силу непрерывности линий магнитного поля Н z замыкается через Н х (Н z переходит в Н х). Эта картинка перемещается в волноводе со скоростью:

9.5.2. Токи в стенках волновода

В силу закона электромагнитной индукции переменное магнитное поле вблизи проводников возбуждает электрический ток. Переменное магнитное

поле вблизи стенок будет создавать токи проводимости. Посмотрим как протекают токи? Знание токов позволяет решить 2 задачи:

1. Рассчитать потери в волноводе.
2. Определить как осуществить разрез стенок, чтобы из волновода извлечь энергию, либо наоборот, не нарушать распределения токов.

Установим связь между плотностью поверхностных токов и напряженностью магнитного поля. Разберем простейший случай.

Вблизи стенки волновода магнитное поле всегда имеет только касательную составляющую. Применим закон

полного тока к контуру, часть которого находится в металле, часть нет.

Определим по частям:

Предположим контур мал, Нt всегда перпендикулярна СВ, АD. Участок АВ находится в глубине металла. В силу поверхностного эффекта токи поверхностные быстро затухают. Значение магнитного поля на участке ВА очень мало. Этот интеграл обращается в 0.

Для малых АВСD

Плотность поверхностного тока числено равна касательной составляющей магнитного поля и они взаимно перпендикулярны.

Чтобы восстановить распределения токов надо воспользоваться разверткой.

Составляющая Н х порождает ток J z . В широкой стенке 2 тока, продольный J z , поперечный J y . В боковой стенке поперечные токи J y .

Н х J z , H z J x

Если щель в волноводе пересекает токи, то такая щель будет хорошо излучать, если щель вдоль токов, то она не излучает. Щели 1, 2 - не излучают; 3,4 - излучают.

9.5.3. Передача энергии по волноводу

Рассмотрим процесс передачи энергии на примере основной волны Н 10:

П z ср = Е х Н у * - Е у Н х * = - Е у Н х. Энергия, передаваемая вдоль волновода определяется только поперечными составляющими полей. (9.5.3.1.)

E y H x * =() 2 H 0 2 Z c H sin 2 () (9.5.3.)

Вычислим теперь среднюю мощность:

средняя мощность, передаваемая в волноводе. (9.5.3.3.)

Передаваемая мощность по волноводу зависит от амплитуды продольной составляющей магнитного поля Р ср Н 0 2 . Мы можем увеличить передаваемую мощность, увеличивая размеры волновода. Найдем Н 0:

H 0 = (9.5.3.4.)

Эта составляющая числено равна поперечному току в стенках волновода. Она возбуждает в стенках волновода ей ток.

Н 0 = | J x| = | J y |

E y = - () Z c H H 0 sin

E y0 = Z c H () . > (9.5.3.5.)

Напряженность электрического поля возрастает с ростом передаваемой по волноводу мощности.

Е проб max 30 для воздуха

a x b = 2,3 x 1,0 см Р ср max 1 Мвт

При проектировании различных устройств обязательно делают запас прочности:

Р раб = (0,2 ¸ 0,3) Р ср max

Один из путей повышения уровня передаваемой мощности связан с заполнением его средой, имеющей более высокое значение пробивного напряжения, чем у воздуха.

9.5.4. Потери энергии в волноводе

Можно выделить 3 основных фактора, которые несут ответственность за потери энергии:

1. Конечная проводимость стенок волновода. За счет этого часть токов в стенках волновода преобразуется в тепло, греет волновод (омические потери).
2. Несовершенство среды, которая заполняет волновод (диэлектрические потери).
3. Связан с нарушением однородности стенок. Из-за непрерывной эксплуатации или других факторов образуются какие-то щели и через них проходит излучение энергии.

Любая из этих причин приводит к тому, что - постоянная распространения величина комплексная, как и в случае плоских волн.

Фазовая постоянная

Коэффициент затухания.

Предположим, что имеется отрезок волновода.

На входе Р 0 , на выходе Р вых. Сколько теряется энергии?

В случае, когда параметр << 1, тогда:

Основным фактором потерь являются омические потери.

Нужно собрать все потери в стенках волновода:

R s - поверхностное сопротивление.

В области (1) потери большие, так как частота близка к критической. А дальше с ростом частоты растет поверхностное сопротивление металла, т.е. работает поверхностный эффект. Расчет по формуле (9.5.4.3.) дает чуть меньше коэффициент затухания, чем на самом деле. Поскольку мы не учитываем качество обработки поверхности. Для уменьшения потерь нужно высокое качество обработки и материал с максимально большой проводимостью. С этой целью используется покрытие стенок серебром. Реально достижимые потери (0,1 ¸ 0,01) дБ/м.

Волновод, заполненный диэлектриком

9.5.5. Е - волны в прямоугольном волноводе

Наряду с волнами Н - типа, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны Е- типа. Анализ волн проводится по той же схем, что и в случае Н - волн.

Е - волны Е z 0, H z = 0

Решается уравнение:

Результатом решения будет:

Запись удовлетворяет граничным условиям на стенках волновода.

m = 1, 2, 3 . . . m 0

n = 1, 2, 3 . . . n 0

Если одно из чисел m или n обращается в 0, то волны не будет.

Е e = 0 при х = 0, х = а, Е х = 0 при у = 0, у = b.

Каждому набору индексов m и n соответствует своя структура поля в поперечном сечении, каждая из волн имеет свою кр.

Кр = (9.5.5.3.)

Выражение (9.5.5.3.) совпадает с выражением (9.5.18) для Н - волн. Волны Н и Е с одинаковыми индексами m и n имеют одно значение кр и V ф. Пример: Н 11 , Е 11 - одинаковые кр, V ф. Волны, имеющие одинаковые V ф, кр, но различные структуры в поперечном сечении называются вырожденными.

У волны Е индексы m и n не равны 0. У “Н” один из индексов может быть равен нулю. Из “E” - волн самая простая Е 11 .

Магнитное поле для волн типа Е всегда в плоскости поперечного сечения волновода, т.к. линии Е всегда перпендикулярны Н.

Для волн “Е” характерно присутствие Е z вдоль оси Z. Волноводы с волной “Е” используются в ускорителях и в электровакуумных приборах (в тех случаях, где необходимо осуществить взаимодействие элементарных частиц с электромагнитным полем).

9.6. Круглые волноводы

Представляют собой металлическую трубу круглого сечения. Для изучения полей в каждой точке надо применить цилиндрическую систему координат.

Особенности: своеобразная запись граничных условий. Внутри поверхности, любая касательная составляющая

( = 0) электрических полей должна обращаться в 0. Требования для граничных условий.

1) = 0 при r = R.

2) = 0 при r = R.

9.6.1. Волны “Е” типа в круглом волноводе

Е z 0, H z = 0

Это уравнение должно решаться в цилиндрических координатах.

Решаем по м. Фурье с разделением переменных:

Результат разделения: n 2 = 2 – константы разделения

Основная волна прямоугольного волновода

Свойства волны. Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов Ε и Η в случае волны Н10.

E my =-i(ωμπ/a)Η 0z sin(πx/a)exp(-iß 10 z),

H mx = i(ß 10 π/a) H 0z sin(πx/a)exp(-iß 10 z),

Н mz = Н 0z соs(π х/а)ехр(-iß 10 z),

E m x = E m z = 0, Н 0y = 0,

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с формулами (18), показана на рис.9 и 12. Остановимся на картине распределения поля волны Ню в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Фазовая скорость νф, скорость распространения энергии vэ, длина волны в волноводе Λ и характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам

(19)

Можно представить волну Н10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и x = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом φ к оси Ζ (волна 1 на рис.13). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля этой волны Em1 определяется выражением

E m1 = у 0 A exp[-ik(x sin φ + z соs φ)], (20)

где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости x = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна распространяющаяся, как показано на рис.13. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна Ё m2 , причем │Ёm2│= │Ёm1│= А. Для образования пучности электрического поля в плоскости x = a/2 необходимо, чтобы векторы Ёm1 и Ёm2 при x = а/2 складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора Ёm2 в точке (а, 0, 0) совпадала с фазой вектора Ёm1 в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор

Ё m2 =y 0 А ехр (-ik [(a-х) sin φ + z соs φ]). (21)

Для определения угла φ учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны λΧ1 а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λ/2). Из треугольника ОАВ (см. рис.14) следует равенство sin φ =

При этом kа sin φ = (2π/λ) λ/(2a) = π, kх sin φ = πx/a, и полное электрическое поле определяется выражением

Ёm = Ё m1 +Ё m2 = - у 0 2iA sin (πx/a) exp (-iß 10 z). (22)

Полученный результат отличается от выражения для Ёmy в формуле (17) лишь постоянным коэффициентом, что несущественно, так как формулы (17) были найдены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются составляющие Нmx и Нmz. Они отличаются от соответствующих выражений в (17) лишь тем же постоянным множителем.

По мере повышения частоты (уменьшения λ) уменьшается угол φ и, следовательно, тем меньше по абсолютной величине становится продольная составляющая Нmz по сравнению с поперечной составляющей Нmx , т.е. структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (19), уменьшается разница между v H10 ф и с. Аналогично можно интерпретировать и другие типы волн в прямоугольном волноводе.