Потенциальная энергия электрона равна.

1. Кинетическая энергия электрона равна 1,02 МэВ. Вычислить длину волны де Бройля этого электрона.

Дано : E k = 1,02 МэВ =16,2·10 -14 Дж, E 0 = 0,51 МэВ = 8,1·10 -14 Дж.

Найти λ.

Решение . Длина волны де Бройля определяется по формуле , (1) где λ - длина волны, соответствующая частице с импульсом ; - постоянная Планка. По условию задачи кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя: Е k = 2Е 0 , (2) следовательно, движущийся электрон является релятивистской частицей. Импульс релятивистских частиц определяется по формуле

или, учитывая соотношение (2),

Подставляя (4) в (1), получим

.

Производя вычисления, получим

Ответ: λ = .

2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным 10~18 см.

Дано: R я = 10 -15 м, = 6,62·10 -34 Дж·c.

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается формулой

где - неопределенность координаты; - неопределенность импульса; -постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т. е. , то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом: . Так как , то и . Вычислим неопределенность скорости электрона:

Сравнивая полученное значение со скоростью света в вакууме с = 3·10 8 м/с, видим, что , а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.

3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 1 нм в возбужденном состоянии. Определить минимальное значение энергии электрона и вероятность нахождения электрона в интервале второго энергетического уровня.

Дано : .

Найти : , .

В квантовой механике информацию о движении частиц получают из волновой функции (Т-функция), которая отражает распределение частиц или систем по квантовым состояниям. Эти частицы характеризуются дискретными значениями энергии, импульса, момента импульса; т. е. - функция является функцией состояния частиц в микромире. Решая уравнение Шредингера, получим, что для рассматриваемого случая собственная функция имеет вид

, (1)

где = 1, 2, 3, ...; - координата частицы; - ширина ямы. Графики собственных функций изображены на рис. 17. Согласно соотношению де Бройля двум отличающимся знаком проекциям импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси . В результате их интерференции возникают стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным распределением вдоль оси амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть волновая функция (х), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой . Как видно из рис. 17, для значения =1 на ширине ямы укладывается половина длины стоячей волны де Бройля, для =2 - целая длина стоячей волны де Бройля и т. д., т. е. в потенциальной яме могут быть лишь волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

Таким образом, на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн: . (2)

Полная энергия частицы в потенциальной яме зависит от ее ширины и определяется формулой , (3) где - масса частицы; - 1, 2, 3... . Минимальное значение энергии электрон будет иметь при минимальном значении , т.е. при =1. Следовательно,

Подставляя числовые значения, получим

Вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале от до , равна . Искомую вероятность находим интегрированием в пределах от 0 до :

Используя соотношение , вычисляем интеграл при условии, что электрон находится на втором энергетическом уровне:

4. Граничная длина волны К α - серии характеристического рентгеновского излучения для некоторого элемента равна 0,0205 нм. Определить этот элемент.

Дано : .

Найти Z.

Решение . Из формулы Мозли

,

где λ - длина волны характеристического излучения, равная (с - скорость света, v - частота, соответствующая длине волны λ); R - постоянная Ридберга; Z - порядковый номер элемента, из которого изготовлен электрод; - постоянная экранирования; - номер энергетического уровня, на который переходит электрон; - номер энергетического" уровня, с которого переходит электрон (для К α - серии =1, =2, =1), находим Z:

Порядковый номер 78 имеет платина.

Ответ: Z = 78 (платина).

5. На поверхность воды падает узкий монохроматический пучок γ-лучей с длиной волны 0,775 пм. На какой глубине интенсивность γ-лучей уменьшится в 100 раз!

Дано : λ = 0,775 пм = 7,75·10 -13 м, =100.

Найти

Решение . Ослабление интенсивности γ-лучей определяется из формулы , (1) откуда , где - интенсивность падающего пучка γ-лучей; - их интенсивность на глубине ; - коэффициент линейного ослабления. Решая уравнение (1) относительно , находим

Для определения , вычислим энергию γ-квантов , где - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме. Подставляя числовые значения, получим

По графику зависимости линейного коэффициента ослабления γ-лучей от их энергии (рис. 18) находим = 0,06 см -1 . Подставляя это значение ц в формулу (2), находим

.

6. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного распадается в течение одного года.

Дано :

Найти

Решение . Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г , используем соотношение

где – постоянная Авогадро; - число молей, содержащихся в массе данного элемента; M - молярная масса изотопа. Между молярной массой изотопа и его относительной атомной массой существует соотношение: М = 10 -3 А кг/моль. (2) Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма близка к его массовому числу А, т. е. для данного случая M = 10 -3 ·90 кг/моль = 9·10 -2 кг/моль.

Используя закон радиоактивного распада

где - начальное число нераспавшихся ядер в момент ; N - число нераспавшихся ядер в момент ; λ - постоянная радиоактивного распада, определим количество распавшихся ядер в течение 1 года:

Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением λ = 1n 2/T, получим

Подставляя (1) с учетом (2) в выражение (5), имеем

Произведя вычисления по формуле (6), найдем

Ответ:

7. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции:

Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение . Энергию ядерной реакции , (1), где - дефект массы реакции; с - скорость света в вакууме. Если выражать в а.е.м., то формула (1) примет вид . Дефект массы равен

Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов, которые приводятся в справочных таблицах:

; ; ;

Реакция идет с выделением энергии, так как >0:

Ответ: =7,66 МэВ.

8. Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстояние между ближайшими атомами меди 0,255 нм. Определить плотность меди и параметр решетки.

Дано : d = 0,255 нм = 2,55·10 -10 м, =4, М=бЗ,54·10 -3 кг/моль.

Найти : р, а.

Решение . Плотность кристалла меди найдем по формуле , (1) где М - молярная масса меди; - молярный объем. Он равен объему одной элементарной ячейки , умноженной на число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла: . (2)

Число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла, состоящего из одинаковых атомов, найдем, разделив постоянную Авогадро на число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку: . (3) Для кубической гранецентрированной решетки = 4. Подставляя (3) в (2), получим

Подставляя (4) в (1), окончательно имеем

.

Расстояние между ближайшими соседними атомами связано "с параметром решетки а простым геометрическим соотношением (рис. 19):

Подставляя числовые значения в расчетные формулы, находим

Ответ: ; .

9. Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К. Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418 К. Считать, что условие Т выполняется.

Дано: = 0,01 кг, = 10 К, = 20 К, =418 К, = 27·10 -3 кг/моль.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминия от температуры до , будем вычислять по формуле

где - масса алюминия; с - его удельная теплоемкость, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением . Учитывая это, формулу (1) запишем в виде

(2)

По теории Дебая, если условие Т выполнено, молярная теплоемкость определяется предельным законом

,

где R = 8,31 Дж/(моль·К) - молярная газовая постоянная; - характеристическая температура Дебая; Т - термодинамическая температура. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, получаем

Подставляя числовые значения, находим

Ответ: = 0,36 Дж.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6 (5)

1. Определить кинетическую энергию протона и электрона, для которых длины волн де Бройля равны 0,06 нм.

2. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля для такого протона.

3. Определить длины волн де Бройля электрона и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов 400 В.

4. Протон обладает кинетической энергией, равной энергии покоя. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля протона, если его кинетическая энергия увеличится в 2 раза?

5. Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.

6. Масса движущегося электрона в 2 раза больше массы покоя. Определить длину волны де Бройля для такого электрона.

7. Используя постулат Бора, найти связь между длиной волны де Бройля и длиной круговой электронной орбиты.

8. Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы дебройлевская длина волны электрона была равна его комптоновской длине волны.

9. Сравнить длины волн де Бройля электрона, прошедшего разность потенциалов 1000 В, атома водорода, движущегося со скоростью равной средней квадратичной скорости при температуре 27°С, и шарика массой 1 г, движущегося со скоростью 0,1 м/с.

10. Какой кинетической энергией должен обладать протон, чтобы дебройлевская длина волны протона была равна его комптоновской длине волны.

11. Среднее время жизни π°-мезона равно 1,9·10 -16 с. Какова должна быть энергетическая разрешающая способность прибора, с помощью которого можно зарегистрировать π°-мезон?

12. На фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, ширина следа электрона составляет 0,8·10 -3 м. Найти неопределенность в нахождении его скорости.

13. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13,6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти наименьшую погрешность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

14. Электрон, движущийся со скоростью 8·10 6 м/с, зарегистрирован в пузырьковой камере. Используя соотношение неопределенностей, найти погрешность в измерении скорости электрона, если диаметр образовавшегося пузырька в камере 1 мкм.

15. Показать, что для частицы, неопределенность координаты которой (λ -длина волны де Бройля), неопределенность ее скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

16. Среднее время жизни π+-мезона равно 2,5·10 -8 с. Какова должна быть энергетическая разрешающая способность прибора, с помощью которого можно зарегистрировать π+-мезон?

17. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить размеры ядра атома, считая, что минимальная энергия нуклона в ядре 8 МэВ.

18. Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию электрона, находящегося на первой воровской орбите в атоме водорода.

19. Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5,8·10 -15 м. Учесть, что удельная энергия связи в среднем 8 МэВ/нуклон.

20. Атом испустил фотон с длиной волны 0,550 мкм. Продолжительность излучения 10 не. Определить наибольшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.

21. Частица в потенциальной яме шириной находится в возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0< < на третьем энергетическом уровне.

22. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одномерной потенциальной ямы, ширина которой , в интервале 0< < .

23. Определить, при какой ширине одномерной потенциальной ямы дискретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре 300 К.

24. Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 0,1 нм. Определить импульс электрона.

25. Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 0,1 нм. Определить среднюю силу давления, оказываемую электроном на стенки ямы.

26. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 1,4·10 -9 м. Определить энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй.

27. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 1 нм. Определить наименьшую разность энергетических уровней электрона.

28. Определить, при какой температуре дискретность энергии электрона, находящегося в одномерной потенциальной яме, ширина которой 2·10 -9 м, становится сравнимой с энергией теплового движения.

29. Частица в потенциальной яме шириной находится в возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0< < на втором энергетическом уровне

30. Определить ширину одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, если при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй излучается энергия 1 эВ?

31. Граничное значение длины волны К-серии характеристического рентгеновского излучения некоторого элемента равно 0,174 нм. Определить этот элемент.

32. Найти граничную длину волны K-серии рентгеновского излучения от платинового антикатода.

33. При каком наименьшем напряжении на рентгеновской трубке с железным антикатодом появляются линии K α -серии?

34. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке с вольфрамовым антикатодом, чтобы в спектре излучения вольфрама были все линии K-серии?

35. Граничная длина волны K-серии характеристического рентгеновского излучения некоторого элемента равна 0,1284 нм. Определить этот элемент.

36. Определить минимальную длину волны тормозного рентгеновского излучения, если к рентгеновской трубке приложены напряжения 30 кВ; 75 кВ,

37. Наименьшая длина волны тормозного рентгеновского излучения, полученного от трубки, работающей под напряжением 15 кВ, равна 0,0825 нм. Вычислить по этим данным постоянную Планка.

38. При переходе электрона в атоме меди с M-слоя на L-слой испускаются лучи с длиной волны 12·10 -10 м. Вычислить постоянную экранирования в формуле Мозли.

39. Наибольшая длина волны K-серии характеристического рентгеновского излучения равна 1,94·10 -10 м. Из какого материала сделан антикатод?

40. К рентгеновской трубке, применяемой в медицине для диагностики, приложено напряжение 45 000 В. Найти границу сплошного рентгеновского спектра.

41. Период полураспада радиоактивного аргона равен 110 мин. Определить время, в течение которого распадается 25% начального количества атомов.

42. Вычислить толщину слоя половинного поглощения свинца, через который проходит узкий монохроматический пучок γ-лучей с энергией 1.2 МэВ.

43. Период полураспада изотопа равен примерно 5,3 года. Определить постоянную распада и среднюю продолжительность жизни атомов этого изотопа.

44. На железный экран падает узкий монохроматический пучок γ-лучей, длина волны которых 0,124·10 -2 нм. Найти толщину слоя половинного поглощения железа.

45. Какова энергия γ-лучей, если при прохождении через слой алюминия толщиной 5 см интенсивность излучения ослабляется в 3 раза?

46. Период полураспада равен 5,3 года. Определить, какая доля первоначального количества ядер этого изотопа распадается через 5 лет,

48. За год распалось 60 % некоторого исходного радиоактивного элемента. Определить период полураспада этого элемента.

49. Через экран, состоящий из двух плит: свинцовой толщиной 2 см и железной толщиной 5 см, - проходит узкий пучок γ-лучей с энергией 3 МэВ. Определить, во сколько раз изменится интенсивность γ-лучей при прохождении этого экрана.

50. Определить постоянную распада и число атомов радона, распавшихся в течение суток, если первоначальная масса радона 10 г.

51. Вычислить дефект массы, энергию связи ядра и удельную энергию связи для элемента .

52. Вычислить энергию термоядерной реакции

53. В какой элемент превращается после трех α-распадов и двух β-превращений?

54. Определить максимальную энергию β-частиц при β-распаде трития. Написать уравнение распада.

55. Определить максимальную кинетическую энергию электрона, вылетающего при β-распаде нейтрона. Написать уравнение распада.

56. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи для элемента .

57. Ядро, состоящее из 92 протонов и 143 нейтронов, выбросило α-частицу. Какое ядро образовалось в результате α-распада? Определить дефект массы и энергию связи образовавшегося ядра.

58. При термоядерном взаимодействии двух дейтронов возможны образования двух типов: 1) и 2) . Определить тепловые эффекты этих реакций.

59. Какое количество энергии освобождается при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро?

60. Вычислить энергию ядерной реакции

61. Молибден имеет объемно-центрированную кубическую кристаллическую решетку. Расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,272 нм. Определить плотность молибдена.

62. Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа при температуре 12 К. Принять характеристическую температуру Дебая для железа 467 К. Считать, что условие Т выполняется.

63. Золото имеет гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Найти плотность золота и расстояние между ближайшими атомами, если параметр решетки 0,407 нм.

64. Определить примесную электропроводность германия, который содержит индий с концентрацией 5·10 22 м -3 и сурьму с концентрацией 2·10 21 м -3 . Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны 0,38 и 0,18 м2/(В-с).

65. При комнатной температуре плотность рубидия равна 1,53 г/см3. Он имеет объемно-центрированную кубическую кристаллическую решетку. Определить расстояние между ближайшими соседними атомами рубидия.

66. Слиток золота массой 500 г нагревают от 5 до 15 К. Определить, пользуясь теорией Дебая, количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для золота 165 К. Считать, что условие Т выполняется.

67. Определить примесную электропроводность германия, который содержит бор с концентрацией 2·10 22 м -3 и мышьяк с концентрацией 5·10 21 м -3 . Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны 0,38 и 0,18 м 2 /(В·с).

68. Найти параметр решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами серебра, который имеет гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Плотность серебра при комнатной температуре равна 10,49 г/см 3 .

69. Пользуясь теорией Дебая, найти молярную теплоемкость цинка при температуре 14 К. Характеристическая температура Дебая для цинка 308 К. Считать, что условие Т выполняется.

70. Определить примесную электропроводность кремния, который содержит бор с концентрацией 5·10 22 м -3 и сурьму с концентрацией 5·10 21 м -3 . Подвижности электронов и дырок для кремния соответственно равны 0,16 и 0,04 м 2 /(В·с).

Атомные ядра и составляющие их частицы очень маленькие, поэтому измерять их в метрах или сантиметрах неудобно. Физики измеряют их в фемтометрах (фм ). 1 фм = 10 –15 м, или одна квадриллионная доля метра. Это в миллион раз меньше нанометра (типичный размер молекул). Размер протона или нейтрона как раз примерно 1 фм. Существуют тяжелые частицы, размер которых еще меньше.

Энергии в мире элементарных частиц тоже слишком малы, чтоб измерять их в Джоулях. Вместо этого используют единицу энергии электронвольт (эВ ). 1 эВ, по определению, это энергия, которую приобретет электрон в электрическом поле при прохождении разности потенциалов в 1 Вольт. 1 эВ примерно равен 1,6·10 –19 Дж. Электронвольт удобен для описания атомных и оптических процессов. Например, молекулы газа при комнатной температуре имеют кинетическую энергию примерно 1/40 электронвольта. Кванты света, фотоны, в оптическом диапазоне имеют энергию около 1 эВ.

Явления, происходящие внутри ядер и внутри элементарных частиц, сопровождаются гораздо большими изменениями энергии. Здесь уже используются мегаэлектронвольты (МэВ ), гигаэлектронвольты (ГэВ ) и даже тераэлектронвольты (ТэВ ). Например, протоны и нейтроны движутся внутри ядер с кинетической энергией в несколько десятков МэВ. Энергия протон-протонных или электрон-протонных столкновений, при которых становится заметна внутренняя структура протона, составляет несколько ГэВ. Для того, чтобы родить самые тяжелые из известных на сегодня частиц - топ-кварки, - требуется сталкивать протоны с энергией около 1 ТэВ.

Между шкалой расстояний и шкалой энергии можно установить соответствие. Для этого можно взять фотон с длиной волны L и вычислить его энергию: E = c·h /L . Здесь c - скорость света, а h - постоянная Планка, фундаментальная квантовая константа, равная примерно 6,62·10 –34 Дж·сек. Это соотношение можно использовать не только для фотона, но и более широко, при оценке энергии, необходимой для изучения материи на масштабе L . В «микроскопических» единицах измерения 1 ГэВ отвечает размеру примерно 1,2 фм.

Согласно знаменитой формуле Эйнштейна E 0 = mc 2 , масса и энергия покоя тесно взаимосвязаны. В мире элементарных частиц эта связь проявляется самым непосредственным образом: при столкновении частиц с достаточной энергией могут рождаться новые тяжелые частицы, а при распаде покоящейся тяжелой частицы разница масс переходит в кинетическую энергию получившихся частиц.

По этой причине массы частиц тоже принято выражать в электронвольтах (а точнее, в электронвольтах, деленных на скорость света в квадрате). 1 эВ соответствует массе всего в 1,78·10 –36 кг. Электрон в этих единицах весит 0,511 МэВ, а протон 0,938 ГэВ. Открыто множество и более тяжелых частиц; рекордсменом пока является топ-кварк с массой около 170 ГэВ. Самые легкие из известных частиц с ненулевой массой - нейтрино - весят всего несколько десятков мэВ (миллиэлектронвольт).

.
Следовательно, уравнение Шредингера имеет вид

. (18)

Можно показать, что уравнение (18) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E ; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

. (19)

Случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра, т.е. свободному электрону. Случай соответствует электрону, движущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным , все остальные – возбужденными . Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.

Собственные функции уравнения (18), представленные в сферической системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n , орбитальное число l и магнитное число m

.

Главное число n определяет энергетический уровень электрона в атоме в соответствии с формулой (19) и может принимать любые положительные целочисленные значения.

Орбитальное число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент импульса квантуется по правилу

. (20)
При заданном n орбитальное число может принимать значения

. (21)

Магнитное число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения

,
где m – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

.
Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве возможных ориентаций.

Согласно (19) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n . Каждому собственному значению энергии (кроме ) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m . Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными , а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется путем подсчета возможных значений l и m . Каждому значению квантового числа l соответствует значений квантового числа m . Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n , равно

. (22)

В атомной физике применяется условное обозначение состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с называется s -электроном (соответствующее состояние – s -состоянием), с – p -электроном, с – d -электроном, с – f -электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l . Поскольку l всегда меньше n , возможны следующие состояния электрона:

1s ,

2s , 2p ,

3s , 3p , 3d
и т.д. Схему уровней энергии удобно изображать так, как показано на рис.

Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что для орбитального квантового числа имеется правило отбора

. (23)
Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l меняется на единицу. Правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином s ). Его величина вычисляется по общему правилу (20), где вместо l следует использовать . Данное значение определяет максимальную величину проекции спина на избранное направление. Испускание или поглощение фотона, согласно закону сохранения момента импульса, приводит к изменению момента импульса атома, согласно с правилом (23).

На рис. показаны переходы, разрешенные правилом (23). Серии Лаймана соответствует переходам

;
серии Бальмера соответствуют переходы

и ,
и т.д.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода дает, что волновая функция электрона в 1s состоянии является сферически-симметричной и имеет вид

,
где есть боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr равна

.
Подставив в формулу волновую функцию, получим

.

График радиальной плотности вероятности изображен на рис. Ее максимум приходится на . Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятное расстояние между ядром и электроном равно боровскому радиусу.

Спин электрона. Спиновое квантовое число. При классическом движении по орбите электрон обладает магнитным моментом. Причем классическое отношение магнитного момента к механическому имеет значение

, (1)
где и – соответственно магнитный и механический момент. К аналогичному результату приводит и квантовая механика. Так как проекция орбитального момента на некоторое направление может принимать только дискретные значения, то это же относится и к магнитному моменту. Поэтому, проекция магнитного момента на направление вектора B при заданном значении орбитального квантового числа l может принимать значения

,
где – так называемый магнетон Бора .

О. Штерн и В. Герлах в своих опытах проводили прямые измерения магнитных моментов. Они обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s -состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса, а с ним и магнитный момент электрона равен нулю. Таким образом, магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода, т.е. расщепления быть не должно.

Для объяснения этого и других явлений Гаудсмит и Уленбек выдвинули предпо­ложение, что электрон обладает собственным моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином .

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям для отношения магнитного и механического моментов должно выполняться соотношение (1). Экспериментально было установлено, что это отношение в действительности в два раза больше, чем для орбитальных моментов

.
По этой причине, представление электрона как о вращающемся шарике оказывается несостоятельным. В квантовой механике спин электрона (и всех других микрочастиц) рассматривается как внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Величина собственного момента импульса микрочастицы определяется в квантовой механике с помощью спинового квантового числа s (для электрона )

.
Проекция спина на заданное направление может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на . Для электрона

,
где – магнитное спиновое квантовое число .

Электронвольт (электрон-вольт, электроновольт) - единица измерения электрической энергии, используемая в атомной и молекулярной физике.

Как мы увидим, джоуль оказывается слишком крупной единицей для измерения энергии электронов, атомов, молекул как в атомной и ядерной физике, так и в химии и молекулярной биологии. Здесь удобнее пользоваться единицей электрон-вольт (эВ). Один электрон-вольт равен энергии, которую приобретает электрон, проходя разность потенциалов 1 В (вольт). Заряд электрона равен 1,6*10 -19 Кл, и, поскольку изменение потенциальной энергии равно qV ,

1 эВ = (1,6*10 -19 Кл)(1,0 В) =1,6*10 -19 Дж.

Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1000 В, теряет потенциальную энергию 1000 эВ и приобретает кинетическую энергию 1000 эВ (или 1 кэВ). Если той же разностью потенциалов ускорить частицу с вдвое большим зарядом (2е = 3,2*10 -19 Кл), ее энергия изменится на 2000 эВ.

Электрон-вольт - удобная единица для измерения энергии молекул и элементарных частиц, но он не принадлежит к системе СИ. Поэтому при расчетах следует переводить электрон-вольты в джоули, пользуясь приведенным выше коэффициентом.

Электрический потенциал уединенного точечного заряда

Электрический потенциал на расстоянии r от уединенного точечного заряда Q можно получить непосредственно из формулы (24.4).

Электрическое поле точечного заряда имеет напряженность

и направлено вдоль радиуса от заряда (или к заряду, если Q а на расстоянии r а от Q до точки b на расстоянии r b от Q . Тогда вектор dl параллелен Е и dl = dr .
Таким образом,

Как уже говорилось, физический смысл имеет лишь разность потенциалов. Поэтому мы вправе присвоить потенциалу в какой-либо точке произвольное значение. Принято считать потенциал равным нулю на бесконечности (например, V b = 0 при r b = оо), и тогда электрический потенциал на расстоянии r от уединенного точечного заряда равен

Это электрический потенциал относительно бесконечности; он иногда называется «абсолютным потенциалом» уединенного точечного заряда. Обратим внимание на то, что потенциал V убывает как первая степень расстояния от заряда, в то время как напряженность электрического поля убывает как квадрат расстояния.
Потенциал велик вблизи положительного заряда и убывает до нуля на очень большом расстоянии. Вблизи отрицательного заряда потенциал меньше нуля (отрицателен) и с увеличением расстояния возрастает до нуля.

Чтобы определить напряженность электрического поля системы зарядов, необходимо просуммировать напряженности полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поскольку напряженность поля-вектор, такое суммирование нередко вырастает в проблему. Найти же электрический потенциал нескольких точечных зарядов гораздо проще: потенциал-скалярная величина и при сложении потенциалов не требуется учитывать направление. В этом большое преимущество электрического потенциала. Суммирование можно легко выполнить для любого числа точечных зарядов.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Проблема собственной энергии электрона не является новой: она появилась в классической физике. Если предположить, что электрон является шариком радиуса , причем весь его заряд расположен на поверхности, то полная электростатическая энергия равна . Возможно, что масса электрона соответствует этой энергии. Однако, если вы сосчитаете импульс поля, когда электрон движется со скоростью v (с учетом лоренцева сокращения шарика), то получите . Эта величина соответствует частице с массой . Пуанкаре предположил, что какие-то силы должны удерживать части шарика и что эти силы должны давать добавки в энергию. Однако не существует надежной теории таких сил.

Эта собственная энергия происходит от энергии, необходимой для того, чтобы «собрать» заряд. Можно считать, что это есть энергия взаимодействия одной части заряда электрона с другой.

Казалось бы, что возможный способ избавиться от подобных эффектов состоит в том, чтобы запретить электрону воздействовать на самого себя - т. е. предположить, что электроны действуют только друг на друга. (Тогда электрон мог бы быть точечным зарядом.) Однако действие электрона самого на себя необходимо для объяснения реального явления, явления радиационного трения. Ускоряемый заряд излучает, теряя энергию, поэтому ускоряющая сила должна производить работу. Против каких сил? Согласно классической физике - против силы, создаваемой действием одной части заряда на другую.

Первый член согласуется с массой, вычисленной из импульса поля. Второй член есть сила реакции излучения, испущенного электроном, и не зависит от . Однако было бы непоследовательным устремить а к нулю. Распределенный заряд никогда не был тщательно проанализирован. Возникают вопросы, связанные с внутренними движениями и т. п.

В действительности эти вопросы в классической физике решались различными путями, но ни один из них не был успешно перенесен в квантовую механику (ссылки см. в работе Фейнмана ).

Перенормировка массы.

Возможно также, что при движении от X к Y электрон испустит и поглотит виртуальный фотон. В этом случае

где величина

является инвариантной функцией вида . Каков ее физический смысл? Допустим, что С мала. Тогда первые два члена могут быть записаны в виде

благодаря тому, что

(Последняя формула является частным случаем более общего операторного соотношения

Если бы С была числом, мы могли бы рассматривать ее как поправку к массе. Первый и второй члены этого ряда суть амплитуды движения электрона без и с одним виртуальным фотоном соответственно.

Легко проверить, что третий член соответствует вкладу с двумя фотонами

четвертый член - вкладу с тремя фотонами и т. д. Однако такие диаграммы содержат лишь процессы, в которых в каждый данный момент содержится не более одного фотона.

Примеры диаграмм другого типа с двумя виртуальными фотонами приведены на рис. 28-1. Мы не будем сейчас принимать во внимание такие диаграммы, так как они добавляют в С члены порядка , когда мы записываем полную амплитуду распространения электрона между X и Y в виде

где А и В - функции от . Полюс этого пропагатора дает соотношение между энергией и импульсом свободной частицы и поэтому определяет экспериментально наблюдаемую массу .

Избавляясь от матриц в знаменателе

мы получаем, что положение полюса определяется решением уравнения

Заметим здесь, что наличие второго полюса может быть истолковано как существование другой частицы (вероятно, -мезона). Предполагая, что и , мы можем положить и . Тогда

Таким образом, пропагатор имеет полюс при и для , близких к , ведет себя как некоторая константа (вычет в полюсе), умноженная на . Обозначим вычет при через . Можно теперь переписать пропагатор следующим образом:

( может быть выражено через А, В и их производные , в точке . Отклонение от обычной формы можно интерпретировать как поправку к константе связи фотона (поскольку множитель в пропагаторе можно получить, умножая каждую фотонную вершину на ). Следующий шаг заключается в том, чтобы вычислить функции А и В. Для этой цели следует вычислить интеграл

Используя соотношения

избавляемся от . При вычислении можно положить , тогда получаем

Этот интеграл расходится. При больших значениях первый знаменатель может быть заменен на . Тогда член, содержащий , исчезает в силу соображений симметрии. Остальная часть подынтегрального выражения ведет себя при больших как , и поэтому интеграл логарифмически расходится. Квантовая электродинамика ударила лицом в грязь!

Бете заметил, что данная бесконечность является единственно существенной в электродинамике (за исключением еще одной, которую мы обсудим позднее). Пусть у нас есть способ сделать этот интеграл «на время» сходящимся. Допустим, например, что пропагатор всегда следует умножать на релятивистски-инвариантный множитель , обеспечивающий сходимость.

Если положить

(такой обрезает интеграл при больших ), то интеграл может быть вычислен. Получаем (методы вычисления см. в ссылке )

пренебрегая членами, исчезающими вместе с .

Если вам придется вычислять любой процесс в высшем порядке, вы встретите член, пропорциональный (для частиц со спином - электронов, взаимодействующих лишь с фотонами, не встретится ничего более плохого, чем логарифмические расходимости). Затем, где бы вы ни встретили m, подставьте вместо него разложите до первой степени по . Чудо заключается в том, что полный коэффициент при обратится в нуль. Остальные члены имеют определенный предел при . Другими словами, значение параметра обрезания не появляется в окончательном выражении, если мы всегда выражаем ответ через экспериментальную массу и устремляем при фиксированном .

Используя подобные идеи, Бете попробовал вычислить смещение энергетических уровней в атоме водорода, обусловленное собственной энергией связанного электтрона. Толчок был дан экспериментом Резерфорда и Лэмба, которые обнаружили, используя микроволновую технику, расщепление примерно в 1000 МГц между уровнями и в водороде. Если пренебречь взаимодействием с полем излучения, то эти уровни должны быть полностью вырождены. Бете произвел неполное вычисление, используя нерелятивистское приближение. Быстрое развитие квантовой электродинамики в 1948-1949 гг. последовало в результате усилий сформулировать его и Вайскопфа идеи в релятивистски-инвариантной форме и закончить его вычисления.

Итак, мы нашли еще одно правило, которое должно быть включено в квантовую электродинамику: (1) введите произвольный фактор обрезания

И . Массы и отличаются, но вычисления приводят к квадратичным расходимостям. При проведении подобных расчетов частицы считаются точечными. В действительности следует учитывать облако нуклонных пар, и некоторые считают, что такой учет приведет к устранению расжодимостей. Однако подобные утверждения никогда не были доказаны.