Стационарное уравнение шредингера. Уравнение шредингера

Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде

где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина

Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.

Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид

где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем

Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

(111,7)

Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга

Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

(111,9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.

Простое вычисление приводит к результату

(111,10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же

Временное и стационарное уравнение Шредингера

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (x,y,z,t), так как именно она, или точнее, величина 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами х и х+dx, y и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Это уравнение постулируется, а его правильность подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики (1926 г.)

4.1.Временное уравнение Шредингера:

Уравнение справедливо для нерелятивистских частиц << ,

где {\displaystyle \hbar ={h \over 2\pi }} – масса частицы; - мнимая единица; – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется; – искомая волновая функция; ∆ – оператор Лапласа

Условия, накладываемые на волновую функцию:

Волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

Производные ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t должны быть непрерывны.

Функция 2 должна быть интегрируема (это условие сводится к условию нормировки вероятностей).

4.2.Стационарное уравнение Шредингера

В случае стационарного силового поля (функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем ).

Тогда волновая функция для стационарных состояний (состояний с фиксированными значениями энергии) может быть представлена в виде:

Стационарное уравнение Шредингера:

получилось после подстановки волновой функции во временное уравнение Шредингера и преобразований (∆ - оператор Лапласа, m – масса частицы; - приведенная постоянная Планка ( = h/2π ); E – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия частицы. В классической физике величина (E –U )равнялась бы кинетической энергии частицы. В квантовой механике вследствие соотношения неопределенностей понятие кинетической энергии лишено смысла. Здесь потенциальная энергия U – это характеристика внешнего силового поля , в котором движется частица. Это величина вполне определенная. Она также является функцией координат, в данном случае U =U (x,y,z)).

Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.

Рассмотрим простейший случай – движение частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» – потенциальная энергия на границах имеет бесконечно большое значение. Потенциальная энергия такой ямы шириной l имеет вид:

Рис. 5.1. Одномерная потенциальная яма

Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачи в этом случае имеет вид:

(5.16)

Поскольку частица не может проникнуть за пределы потенциальной ямы, то волновая функция ψ(x ) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывностиψ(x ) должна быть равна нулю и на границах ямы:

(5.17)

Выражение (5.17) является граничным условием задачи.

В пределах ямы (0 ≤ x ≤ l ) U =0 , следовательно, уравнение Шредингера имеет вид:

(5.18)

Обозначив через
(5.19)

получим уравнение, описывающее колебательный процесс:

(5.20)

Решение этого уравнения имеет вид: (5.21)

Подстановка граничных условий позволяет найти константы ω иα :

, из чего следует, чтоα=0 .

, отсюда получаем:

(n =1, 2, 3,...) (5.22)

При n = 0 решение лишено физического смыла, так какψ = 0 означает, что частица нигде не находится, т.е. не существует.

Подставив ω из (5.22) в выражение (5.20), можно найти собственные значения энергии частицы:
(n = 1, 2, 3, ...) (5.23)

Итак, энергия, которой может обладать частица в одномерной потенциальной яме, представляет собой дискретный набор значений, то есть энергетический спектр частицы является дискретным. Минимальное значение энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых свойств частиц. Такой результат может быть получен из соотношения неопределенности.

Как будет двигаться электрон, можно узнать, рассчитав волновые функции: Подстановка найденного значения параметра ω в формулу (5.21) дает вид собственных функций задачи:
(5.24)

Подставив волновую функцию (5.24) в условие нормировки (4.18),
, найдем параметр
.

Таким образом, собственные функции имеют вид:

(n =1,2,3,...) (5.25)

На рисунке показаны волновые функции первых трех энергетических состояний частицы в потенциальной яме шириной l , а также вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямыψ 2 =ψ * ψ .

Рис. 5.2. а) энергетический спектр (первые 5 состояний) частицы в потенциальной яме шириной L ; б) волновая функция частицы в первых трех состояния; в) квадрат волновой функции частицы = вероятность нахождения частицы в определенной точке потенциальной ямы в первых трех состояниях

В частности видно, что в состоянии n = 2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю. Напомним, что согласно классическим (не квантовым) соображениям, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы.

Такое поведение микрочастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие траектория . В частности в состоянииn = 2 частица «перемещается» из левой части ямы в правую и при этом не проходит через «середину» этой ямы.

Оценим расстояние между уровнями:

Видно, что чем больше масса частицы и геометрические размеры области, в которой эта частица ограничена, тем меньше расстояние между соседними уровнями. Разумеется, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах говорить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10 –26 кг), аl порядка 0.1 м (размер сосуда, в котором находится молекула), расстояние между уровнями составит∆ E n ≈n·10 –20 эВ. Спектр с такой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как классическая частица.

Такая же приблизительно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В этом случае в формулу (5.26) нужно подставить массу электрона m ~ 10 –30 кг, геометрические размеры области, в которой ограничен электрон, для определенности возьмемl = 0.1 м. Тогда∆ E n ≈n·10 –16 эВ, то есть квантовые эффекты будут мало заметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь классический характер.

Итак, квантовый характер движения будет иметь только малая частица (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой области пространства. Эти условия выполняются, например, для электронов, находящихся в поле ядра. В этом случае масса электрона m ~ 10 –30 кг,l ≈ 10 –9 м, тогда расстояние между уровнями будет∆ E n ≈n·1 эВ. В этом случае квантование энергии будет выраженным, следовательно, и поведение электрона будет отличным от классического.

Можно показать, что стационарные уровни в потенциальной яме возникают лишь в том случае, если Е 1 ˂ U . То есть в потенциальной яме рассматриваемого вида уровни возникают лишь при условии:

(5.27)

В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы (глубина и ширина), а в правой – только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются слабыми силами притяжения. Эти силы определяют величину потенциальной энергии U . Ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует, так как потенциальная яма, в которой должны находиться два нейтрона в каких-либо состояниях, не удовлетворяет указанному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном совсем немного больше, чем сила взаимодействия двух нейтронов или протонов. Но этой небольшой разницы достаточно, чтоб потенциальная энергияU уже удовлетворяла условию (5.27). В такой яме может образоваться только один уровень – одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, так как в соответствующей потенциальной яме может образоваться только одно состояние.

Основная идея Шрёдингера состоит в том, чтобы математическую аналогию между геометрической оптикой и классической механикой перенести на волновые свойства света и частиц.

Получим уравнение Шрёдингера из выражения для волновой функции свободного электрона . Перепишем его в комплексной форме .

Используя связи частоты с энергией, а волнового числа с импульсом, получаем: .

В общем случае – полная энергия частицы, , – кинетическая энергия и –энергия взаимодействия.

Найдем первую производную по и вторую по координате от ф-ции Y: (1), (2).

Домножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на (таким образом множители в правых частях будут иметь размерность энергии):

, .

Сложим полученные уравнения:

.

Так как , то последнее равенство перепишется в виде .

Это и есть уравнение Шрёдингера. Оно получено для одной координаты . Если его переписать для 3 координат , то введя оператор Лапласа, окончательно будем иметь

.

Уравнение Шрёдингера нельзя непосредственно вывести из фундаментальных законов классической физики. Уравнение Шрёдингера позволяет находить волновую функцию в произвольный момент времени. Для этого надо знать волновую ф-цию в фиксированный момент времени, массу частицы и энергию взаимодействия частицы с силовым полем. Найденная волновая ф-ция дает возможность рассчитать вероятность нахождения частицы в произвольной точке пространства для любого момента времени.

Основные свойства, которым должны удовлетворять волновые функции – решения уравнения Шрёдингера:

1. Волновая функция линейна, т.е. если …- решения уравнения, то их линейная комбинация – решение.

2. Первые частные производные по координатам являются линейными

3. Волновая функция и её пространственные производные должны быть однозначными, конечными и непрерывными.

4. При стремлении к ∞ значение волновой функции должно стремиться к нулю.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.

Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от , другая – только от времени :

Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера

После сокращения на временной множитель и некоторых элементарных преобразований получим: (*).

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции – . Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .

Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:

Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .

Движение микрочастиц в различных силовых полях описывается в рамках нерелятивистской квантовой механики с помощью уравнения Шредингера, из которого вытекают наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение, как и все основные уравнения физики, не выводятся, а постулируется. Его правильность подтверждается согласием результатов расчета с опытом. Волновое уравнение Шредингера имеет следующий общий вид :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

где ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 Дж ∙ с - постоянная Планка;
m - масса частицы;
∆ - оператор Лапласа (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - искомая волновая функция;
U (x, y, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, где она движется;
i - мнимая единица.

Это уравнение имеет решение лишь при условиях, накладываемых на волновую функцию:

1. ψ (x, y, z, t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
2. первые производные от нее должны быть непрерывны;
3. функция | ψ | 2 должна быть интегрируема, что в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

где ψ = ψ (x, y, z) - волновая функция только координат;
E - параметр уравнения - полная энергия частицы.

Для этого уравнения реальный физический смысл имеют лишь такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (называемыми собственными функциями), имеющими место только при определенных значениях параметра E, называемого собственным значением энергии. Эти значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд, т.е. как сплошной, так и дискретный спектр энергий.

Для какой-либо микрочастицы при наличии уравнения Шредингера типа (8.2) задача квантовой механики сводится к решению этого уравнения, т.е. нахождению значений волновых функций ψ = ψ (x, y, z), соответствующих спектру собственных энергией E. Далее находится плотность вероятности | ψ | 2 , определяющая в квантовой механике вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (x, y, z).

Одним из простейших случаев решения уравнения Шредингера является задача о поведении частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Такая "яма" для частицы, движущейся только вдоль оси Х, описывается потенциальной энергией вида

где l - ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 8.1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

В силу того, что "стенки ямы" бесконечно высокие, частица не проникает за пределы "ямы". Это приводит к граничным условиям:

ψ (0) = ψ (l) = 0

В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l) уравнение (8.4) сводится к виду:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

где k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

где k = (n ∙ π)/ l

при целочисленных значениях n.

Из выражений (8.8) и (8.10) следует, что

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

Следовательно, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" может находится только на определенном энергетическом уровне E n , т.е. в дискретных квантовых состояниях n.

Подставив выражение (8.10) в (8.9) найдем собственные функции

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

которое для данного случая запишется в виде:

Откуда в результате интегрирования получим А = √ (2 / l) и тогда имеем

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Графики функции ψ n (х) не имеют физического смысла, тогда как графики функции | ψ n | 2 показывают распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы"(рис. 8.1). Как раз эти графики (как и ψ n (х) - для сравнения) изучаются в данной работе и наглядно показывают, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (8.11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Отсюда видно, что для микрочастиц (типа электрона) при больших размерах "ямы" (l≈ 10 -1 м), энергетические уровни располагаются настолько тесно, что образуют практически непрерывный спектр. Такое состояние имеет место, например, для свободных электронов в металле. Если же размеры "ямы" соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то получается дискретный спектр энергии (линейчатый спектр). Эти виды спектров также могут быть изучены в данной работе для различных микрочастиц.

Другим случаем поведения микрочастиц (как, впрочем, и микросистем - маятников), часто встречаемым на практике (и рассматриваемым в этой работе), является задача о линейном гармоническом осцилляторе в квантовой механике.

Как известно, потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора массой m равна

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

где ω 0 - собственная частота колебаний осциллятора ω 0 = √ (k / m);
k - коэффициент упругости осциллятора.

Зависимость (8.17) имеет вид параболы, т.е. "потенциальная яма" в данном случае является параболической (рис. 8.2).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

где N n - постоянный нормирующий множитель, зависящий от целого числа n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) - полином степени n, коэффициенты которого вычисляются при помощи рекуррентной формулы при различных целочисленных n.
В теории дифференциальных уравнений можно доказать, что уравнение Шредингера имеет решение (8.18) лишь для собственных значений энергии:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

Это значит, что энергия квантового осциллятора может принимать лишь дискретные значения, т.е. квантуется. При n = 0 имеет место E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, т.е. энергия нулевых колебаний, что является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенности.

Как показывает детальное решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора , каждому собственному значению энергии при разных n соответствует своя волновая функция, т.к. от n зависит постоянный нормирующий множитель

а также H n (x) - полином Чебышева-Эрмита степени n.
При том первые два полинома равны:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Любой последующий полином связан с нми по следующей рекуррентной формуле:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Собственные функции типа (8.18) позволяют найти для квантового осциллятора плотность вероятности нахождения микрочастицы как | ψ n (х) | 2 и исследовать ее поведение на различных уровнях энергии. Решение этой задачи затруднительно ввиду необходимости использования рекуррентной формулы. Эта задача успешно может решаться лишь с использованием ЭВМ, что и делается в настоящей работе.