Z-преобразование. Z-преобразование и его свойства

Вернемся к формуле дискретного преобразования Фурье:

В теории дискретных систем принято использовать несколько иную форму записи, связанную с введением Z – преобразования. Сделаем такую подстановку:

.

Тогда вышеприведенная формула значительно упростится:

.

Вновь полученная функция X(z) переменной z называется Z – изображением или Z – образом дискретного сигнала x(k).

Z – преобразования для дискретных сигналов и систем играют ту же роль, что и преобразование Лапласа для аналоговых систем. Поэтому рассмотрим ряд примеров определения Z – изображений некоторых типичных дискретных сигналов.

1.Единичный импульс (рис. 9.14) является дискретным аналогом δ - импульса и представляет собой единичный отчет с единичным значением:

Z – преобразование единичного импульса находится как

как и для δ - импульса Дирака.

2. Дискретный единичный скачок (рис. 9.15) - это полный аналог функции включения Хевисайда:

Z – образ единичного скачка найдется как

Полученная сумма – это сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с начальным членом, равным 1, и знаменателем
. Сумма членов ряда составляет:

.

3. Дискретная экспонента (рис. 9.16) - это сигнал, определяемый выражением:

При
дискретная экспонента является убывающей (рис. 9.16), при
- возрастающей, при
- знакопеременной.Z – образ такой экспоненты

Как и в предыдущем случае, мы получили геометрическую прогрессию с нулевым членом, равным единице, но со знаменателем
. Бесконечная сумма членов прогрессии определяетZ – образ экспоненты:

4. Дискретная затухающая гармоника . В противоположность предыдущим примерам запишем ее в общем виде:

где α – коэффициент затухания гармоники,

ω – частота гармоники,

φ – начальная фаза колебаний,

- период дискретизации.

Введем следующие обозначения:

На рис.9.17 представлен график дискретной затухающей гармоники при следующих данных: а=0.9,
, φ=π/9. С учетом принятых обозначений выражение для дискретной затухающей гармоники можно представить в виде:

.

При получении Z – образа гармоники следует выразить функцию косинуса через сумму двух комплексных экспонент. Тогда, проделав целый ряд алгебраических и тригонометрических преобразований, в конце концов, можно будет получить следующее выражение:

.

Из приведенных примеров видно, что Z – образы большинства дискретных сигналов представляют собой дробно-рациональные функции от переменной
. ПроисхождениеZ – преобразования от преобразования Лапласа и Фурье приводит к тому, что Z – преобразование имеет и похожие свойства.

1. Линейность.

Z – преобразование линейно, так что если имеются два сигнала , то сумма этих сигналов
имеетZ – образ
.

2. Временная задержка дискретного сигнала .

Если дискретный сигнал x(k), имеющий Z – образ X(z), задержать на m шагов дискретизации
, то задержанный сигналy(k)=x(k-m) имеет Z – образ
. Выражение
можно рассматривать как оператор задержки сигнала на один шаг дискретизации.

3. Свертка дискретных сигналов .

По аналогии со сверткой аналоговых сигналов

,

Фурье – образ которой равен произведению Фурье – образов сворачиваемых сигналов, свертка двух дискретных сигналов определяется как

.

Z – образ свертки двух сигналов равен произведению Z – образов исходных дискретных сигналов

4. Умножение на дискретную экспоненту .

Если дискретный сигнал
, имеющийZ – образ
, умножается на экспоненту
, тоZ – образ произведения примет вид
.

Рассмотренные свойства Z – преобразования позволяют во многих случаях без особого труда найти Z – образ заданного сигнала или решить обратную задачу – по известному Z – образу сигнала найти его представление во времени.

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z-преобразование, играю­щее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отно­шению к непрерывным сигналам. В данном параграфе изла­гаются основы теории этого функционального преобразова­ния и некоторые его свойства.

Определение z -преобразования. Пусть - числовая последовательность, конечная или бесконечная, со­держащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицатель­ным степеням комплексной переменнойz :

Назовем эту сумму, если она существует, z -преобразова­нием последовательности{х к }. Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, иссле­дуя ихz-преобразования обычными методами математиче­ского анализа.

На основании формулы (2.113) можно непосредственно найти z-преобразования дискретныхсигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единс твенным отсчетом соответствует .

Если же, например,

Сходимость ряда. Если в ряде (2.113) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходи­мость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

при любых . ЗдесьМ > 0 иR 0 > 0 - постоянные ве­щественные числа. Тогда ряд (2.113) сходится при всех зна­ченияхz, таких, что |z| >R 0 . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменнойz, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим,например,дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчетами и служа­щий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любыхzв кольце .

Сум­мируя прогрессию, получаем

На границе области аналитичности при z= 1эта функция имеет единственный простой полюс.

Аналогично получается z-преобразование бесконечного дис­кретного сигнала , гдеа - некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл в кольцевой области .

z -преобразование непрерывных функций. Полагая, что от­счеты есть значения непрерывной функцииx (t ) в точках , любому сигналуx (t ) можно сопоставить егоz-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

Например, если , то соответствующееz-преобразование

.

является аналитической функцией при .

Обратное z -преобразование. ПустьX (z) - функция ком­плексной переменнойz, аналитическая в кольцевой области |z| >R 0 . Замечательное свойствоz-преобразования состоит в том, что функцияX (z) определяет всю бесконечную совокупность отсчетов .

Действительно, умножим обе части ряда (2.113) на множитель :

. (2.115)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произ­вольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z). При этом воспользуемся –фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

.

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером т, поэтому

Данная формула называется обратным z -преобразованием .

Связь с преобразованиями Лапласа и Фурье . Определим при сигнал вида идеальнойМИП:

.

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение

которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку . Если же положить , то выражение

Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье

где Асо - период дискретизации по частоте:

Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):

где: At - период дискретизации по времени:

х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.

На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:

Т Аса = Q At.

Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.

Z-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.

Пусть имеется некоторая числовая последовательность

Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.

Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же

то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.

Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование

являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.

Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим

Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что

Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем

Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.

Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).

Преобразование Лапласа от него имеет вид

Если формально положить z = ехр(/?Д),

то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.

Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение

будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

• 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
• 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
• 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)

Контрольные вопросы

Записать преобразование Лапласа.

Записать преобразование Фурье.

Записать ряд Фурье.

Записать Z-преобразование.

Записать обратное Z-преобразование.

Записать свойства Z-преобразования.

Z–преобразование применяется в основном для расчета дискретных фильтров. Математический аппарат z-преобразования играет для цифровых устройств ту же роль, что и для аналоговых схем. При помощи z-преобразования легко расчитываются частотные фильтры, фазовые корректоры или преобразователи Гильберта для реализации их в цифровом виде. Сразу же разделим понятия дискретного и цифрового фильтра. В дискретных фильтрах импульсная характеристика дискретна во времени, но при этом отсчеты сигнала и параметры фильтра могут принимать любое значение. В цифровых фильтрах как отсчеты сигналов, так и параметры фильтров (например коэффициенты) представляются двоичными числами определенной разрядности. В качестве примера дискретного фильтра можно привести фильтр на переключаемых конденсаторах.

При рассмотрении дискретизации сигналов мы выяснили, что спектр входного аналогового сигнала при преобразовании в дискретную форму повторяется по оси частот бесконечное количество раз. То же самое происходит и с частотной характеристикой дискретного фильтра. Пример изменения амлитудно-частотной характеристики фильтра НЧ при его дискретной реализации приведен на рисунке 1.

В приведенном примере частота дискретизации выбрана 50 кГц. Поэтому возле данной частоты образуются еще две полосы пропускания дискретного фильтра. Для правильной работы дискретного фильтра, такого как фильтр на переключаемых конденсаторах или цифровой фильтр, потребуется аналоговый антиалиайсинговый фильтр, подавляющий высокочастотные составляющие входного сигнала. Его идеализированная амплитудно-частотная характеристика проведена на рисунке 1 красным цветом.

Если имеется передаточная характеристика аналогового фильтра H (s ) в виде нулей и полюсов фильтра, то в дискретном фильтре нули и полюса периодически повторяются с периодом 1/T , где T — период дискретизации. Другими словами таким образом повторяется фильтра как это показано на рисунке 1. Положение нулей и полюсов на оси частот s-плоскости для обычного и дискретного фильтров приведено на рисунке 2.

У дискретного фильтра мы видим бесконечное количество нулей и полюсов, что не совсем удобно при его реализации. Вместо бесконечного повторения нулей и полюсов на бесконечной оси частот можно преобразовать эту ось в кольцевую (использовать вместо декартовой полярную систему координат). Подобное преобразование показано на рисунке 3.

При этом преобразовании нулевая частота занимает положение точки +1 на реальной оси z-плоскости, частота, равная ∞, преобразуется в точку −1 на реальной оси z-плоскости, а сама ось частот преобразуется в круг единичного радиуса. При увеличении частоты мы будем двигаться по кругу против часовой стрелки, реализуя тем самым бесконечное повторение амплитудно-частотных характеристик дискретного фильтра.

Математически отображение комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость осуществляется следующим образом:

Z = e s·T (1)

где s = σ + jω

Тогда преобразование Лапласа дискретного сигнала переходит в z–преобразование:

При переходе из комплексной s–плоскости в комплексную z-плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в s-плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено в следующем виде:

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.

Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z:

(7.9)

Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа.

На основании формулы (7.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует Если же, например, , то

Рассмотрим случай, когда в ряде (7.9) число слагаемых бесконечно велико.

Возьмём дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем

Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а-некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл при |Z|>a

Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов ().

Действительно, умножим обе части ряда (7.9) на множитель :

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши:

Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:

(7.11)

Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.

Важнейшие свойства Z-преобразования:

1. Линейность. Если и - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.9).

2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат:

Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области.

3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:

(7.13)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.13) принято вводить дискретную свёртку – последовательность чисел общий член которой:

Подобную дискретную свёртку называют линейной

Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:

(7.15)

Итак свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.

Часть

Раздел 1.Каналы электросвязи

Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация

Каналом связи – называется совокупность средств, предназначенных для передачи сообщений (под “средством” понимают и технические устройства, и линию связи – физическую среду, в которой распространяется сигнал между пунктами связи).

Классификация каналов связи возможна с использованием различных признаков.

1) В зависимости от назначения систем каналы связи делят на: телефонные, телевизионные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, телеметрические, смешанные и т.п.

2) В зависимости от того, распространяется ли сигнал между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям, выделяют каналы радио и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно-оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т. п.).

3) Более существенна классификация каналов электрической связи по диапазону используемых частот. Так на современных симметричных кабельных линиях связи применяют сигналы, занимающие полосы частот в диапазоне, ограниченном сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные мероприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют увеличить верхний предел используемого диапазона частот до тысячи килогерц. Коаксиальные кабели, являющиеся основой сетей магистральной дальней связи, пропускают в настоящее время диапазон частот до сотен мегагерц.

На воздушных проводных линиях используют частоты не выше 150 кГц, ибо на более высоких частотах в этих линиях сильно сказывается мешающее действие аддитивных помех и резко возрастает затухание в линии.

Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в частично ограниченном (например, землёй и ионосферой) пространстве. В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от до Гц. Этот диапазон принято в соответствии с десятичной классификацией подразделять следующим образом.