पूर्णांकांसह अपूर्णांक उदाहरणे कशी सोडवायची. सामान्य अपूर्णांकांवर अंकगणित ऑपरेशन्सचे नियम

) आणि भाजक द्वारे भाजक (आम्हाला उत्पादनाचा भाजक मिळतो).

अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचे सूत्र:

उदाहरणार्थ:

तुम्ही अंक आणि भाजकांचा गुणाकार सुरू करण्यापूर्वी, अपूर्णांक कमी करता येतो का ते तपासणे आवश्यक आहे. जर तुम्ही अपूर्णांक कमी करू शकत असाल, तर तुमच्यासाठी पुढील गणना करणे सोपे होईल.

सामान्य अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करणे.

नैसर्गिक संख्यांचा समावेश असलेल्या अपूर्णांकांचे विभाजन करणे.

हे दिसते तितके भयानक नाही. बेरीजच्या बाबतीत, आपण पूर्णांकाचे एका अपूर्णांकात रूपांतर करतो ज्यामध्ये एक आहे. उदाहरणार्थ:

मिश्र अपूर्णांकांचा गुणाकार.

अपूर्णांक गुणाकार करण्याचे नियम (मिश्र):

• मिश्रित अपूर्णांकांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा;
• अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक गुणाकार करणे;
• अंश कमी करा;
• जर तुम्हाला अयोग्य अपूर्णांक मिळाला, तर आम्ही अयोग्य अपूर्णांक मिश्रित अपूर्णांकात रूपांतरित करतो.

लक्षात ठेवा!मिश्रित अपूर्णांकाचा दुसऱ्या मिश्र अपूर्णांकाने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम त्यांना अयोग्य अपूर्णांकांच्या रूपात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे आणि नंतर सामान्य अपूर्णांकांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

नैसर्गिक संख्येने अपूर्णांक गुणाकार करण्याचा दुसरा मार्ग.

सामान्य अपूर्णांकाचा संख्येने गुणाकार करण्याची दुसरी पद्धत वापरणे अधिक सोयीचे असू शकते.

लक्षात ठेवा!अपूर्णांकाचा नैसर्गिक संख्येने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला अपूर्णांकाचा भाजक या संख्येने भागणे आवश्यक आहे आणि अंश अपरिवर्तित ठेवला पाहिजे.

वर दिलेल्या उदाहरणावरून, हे स्पष्ट होते की जेव्हा अपूर्णांकाचा भाजक नैसर्गिक संख्येने उरलेल्या भागाशिवाय भागला जातो तेव्हा हा पर्याय वापरणे अधिक सोयीचे असते.

बहुमजली अपूर्णांक.

हायस्कूलमध्ये, तीन-मजली ​​(किंवा अधिक) अपूर्णांक अनेकदा आढळतात. उदाहरण:

अशा अपूर्णांकाला त्याच्या नेहमीच्या स्वरूपात आणण्यासाठी, 2 बिंदूंद्वारे भागाकार वापरा:

लक्षात ठेवा!अपूर्णांकांचे विभाजन करताना, भागाकाराचा क्रम अतिशय महत्त्वाचा असतो. सावधगिरी बाळगा, येथे गोंधळात पडणे सोपे आहे.

लक्षात ठेवा, उदाहरणार्थ:

एकाला कोणत्याही अपूर्णांकाने विभाजित करताना, परिणाम समान अपूर्णांक असेल, फक्त उलटा:

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार करण्यासाठी व्यावहारिक टिपा:

1. अंशात्मक अभिव्यक्तींसह काम करताना सर्वात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे अचूकता आणि लक्ष देणे. सर्व गणना काळजीपूर्वक आणि अचूकपणे, एकाग्रतेने आणि स्पष्टपणे करा. मानसिक गणनेत हरवण्यापेक्षा तुमच्या मसुद्यात काही अतिरिक्त ओळी लिहिणे चांगले.

2. विविध प्रकारच्या अपूर्णांकांसह कार्यांमध्ये, सामान्य अपूर्णांकांच्या प्रकारावर जा.

3. यापुढे कमी करणे शक्य होत नाही तोपर्यंत आम्ही सर्व अपूर्णांक कमी करतो.

4. आम्ही 2 बिंदूंद्वारे भागाकार वापरून बहु-स्तरीय अपूर्णांक अभिव्यक्ती सामान्यांमध्ये रूपांतरित करतो.

5. तुमच्या डोक्यातील एका अपूर्णांकाने युनिट विभाजित करा, फक्त अपूर्णांक उलटा.

मला स्वतःला या वस्तुस्थितीचा सामना करावा लागला की माझ्या मुलांसाठी अपूर्णांक हा एक कठीण विषय बनला.

Nikitin's Fractions हा खूप चांगला खेळ आहे, तो प्रीस्कूल मुलांसाठी आहे, परंतु शाळेत देखील तो मुलाला ते काय आहेत हे समजण्यास उत्तम प्रकारे मदत करेल - अपूर्णांक, त्यांचे एकमेकांशी असलेले नाते... आणि सर्व काही प्रवेशयोग्य, दृश्यमान आणि रोमांचक फॉर्म.

त्यात बारा बहुरंगी वर्तुळे असतात. एक वर्तुळ संपूर्ण आहे, आणि बाकीचे सर्व समान भागांमध्ये विभागलेले आहेत - दोन, तीन.... (बारा पर्यंत).

मुलाला सोपी गेम टास्क पूर्ण करण्यास सांगितले जाते, उदाहरणार्थ:

वर्तुळांच्या भागांना काय म्हणतात? किंवा

कोणता भाग मोठा आहे? (मोठ्याच्या वर लहान ठेवा.)

या तंत्राने मला मदत केली. सर्वसाधारणपणे, मला खरोखर खेद वाटतो की मुले लहान असताना या सर्व निकितिन घडामोडींनी माझ्याकडे लक्ष दिले नाही.

तुम्ही गेम स्वतः बनवू शकता किंवा रेडीमेड खरेदी करू शकता आणि प्रत्येक गोष्टीबद्दल अधिक जाणून घेऊ शकता -.

लेगो विटा वापरून अपूर्णांक सोडवणे देखील स्पष्ट केले जाऊ शकते. हे केवळ कल्पनाशक्तीच विकसित करत नाही तर सर्जनशील आणि तार्किक विचार देखील विकसित करते, याचा अर्थ ते शिकवण्यासाठी मदत म्हणून देखील वापरले जाऊ शकते.

ॲलिसिया झिमरमनने मुलांना गणिताच्या मूलभूत गोष्टी शिकवण्यासाठी प्रसिद्ध डिझायनरचे ब्लॉक्स वापरण्याची कल्पना सुचली.

आणि लेगो वापरून अपूर्णांक कसे स्पष्ट करायचे ते येथे आहे.





सराव दर्शवितो की भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना (वजाबाकी) आणि अपूर्णांकांचे विभाजन करताना सर्वात जास्त अडचणी येतात.

पाठ्यपुस्तकातील चुकीच्या सूचनांमुळे अडचणी येतात, जसे की अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करणे.

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्ही पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करता.

चौथी इयत्तेतील मुलाला हे समजू शकते आणि गोंधळून जाऊ शकत नाही? नाही!

आणि शिक्षकाने आम्हाला ते प्राथमिक पद्धतीने समजावून सांगितले: आम्हाला दुसरा अपूर्णांक उलटून पुन्हा गुणाकार करावा लागेल!

जोडणीसह समान गोष्ट.

दोन अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करावा लागेल आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करावा, परिणामी संख्या जोडा आणि त्या अंशामध्ये लिहा. आणि भाजकामध्ये तुम्हाला अपूर्णांकांच्या भाजकांचा गुणाकार लिहावा लागेल. यानंतर, परिणामी अपूर्णांक कमी केला जाऊ शकतो (किंवा पाहिजे).

आणि हे सोपे आहे: अपूर्णांकांना सामान्य भाजकांपर्यंत कमी करा, जे भाजकांच्या LCM प्रमाणे आहे आणि नंतर अंश जोडा.

त्यांना स्पष्ट उदाहरणासह दाखवा. उदाहरणार्थ, सफरचंदचे 4 भाग करा, 8 भाग करा, संपूर्ण 12 भाग जोडा, अनेक भाग जोडा, वजा करा. त्याच वेळी, नियम वापरून कागदावर स्पष्ट करा. बेरीज आणि वजाबाकीचे नियम. अपूर्णांकांचे विभाजन करणे, तसेच अयोग्य अपूर्णांकापासून संपूर्ण कसे वेगळे करावे - सफरचंदासह हाताळणी करताना हे सर्व शिका. मुलांची घाई करू नका; त्यांना तुमच्या मदतीने काप काळजीपूर्वक क्रमवारी लावू द्या.

मुलांना अपूर्णांक सोडवायला शिकवणे, विशेषतः, अगदी सामान्य आहे आणि त्यामुळे जास्त त्रास होणार नाही. तुम्ही करू शकता सर्वात सोपी गोष्ट म्हणजे काहीतरी पूर्ण घ्या, उदाहरणार्थ एक टँजेरीन किंवा इतर कोणतेही फळ, त्याचे भागांमध्ये विभागणे आणि या फळाच्या तुकड्यांसह वजाबाकी, बेरीज आणि इतर क्रिया दर्शविण्यासाठी एक उदाहरण वापरा, जे फळांचे अपूर्णांक असतील. संपूर्ण प्रत्येक गोष्ट समजावून सांगणे आणि दर्शविणे आवश्यक आहे, आणि अंतिम घटक म्हणजे गणितातील उदाहरणे वापरून समस्या एकत्रितपणे समजावून सांगणे आणि सोडवणे हे मूल जोपर्यंत ही कार्ये स्वतः करायला शिकत नाही तोपर्यंत.

वास्तविक वस्तूवर अपूर्णांक कशाशी आणि कसा दिसतो हे आकृती स्पष्टपणे दर्शवते, हे नेमके कसे स्पष्ट करणे आवश्यक आहे.



आपल्याला या समस्येकडे पूर्णपणे संपर्क साधण्याची आवश्यकता आहे, कारण अपूर्णांक सोडवणे जीवनात उपयुक्त ठरेल. या प्रकरणात, ते म्हणतात त्याप्रमाणे, मुलांबरोबर समान पातळीवर राहणे आणि त्यांना समजलेल्या भाषेत सिद्धांत समजावून सांगणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, केक किंवा टेंजेरिनच्या भाषेत. आपल्याला केक डू मध्ये विभाजित करणे आणि मित्रांना देणे आवश्यक आहे, त्यानंतर मुलाला अपूर्णांक सोडवण्याचे सार समजण्यास सुरवात होईल. जड अपूर्णांकांपासून सुरुवात करू नका, 1/2, 1/3, 1/10 च्या संकल्पनांसह प्रारंभ करा. प्रथम, वजाबाकी आणि बेरीज करा आणि नंतर गुणाकार आणि भागाकार यांसारख्या जटिल संकल्पनांकडे जा.

अपूर्णांकांच्या समस्या वेगवेगळ्या प्रकारच्या असतात. एका मुलाला हे समजू शकत नाही की एक सेकंद आणि पाच दशमांश समान गोष्ट आहेत, इतर एकाच भाजकात भिन्न अपूर्णांक आणून गोंधळात टाकतात आणि तरीही इतर अपूर्णांकांच्या विभाजनामुळे गोंधळलेले असतात. म्हणून, सर्व प्रसंगांसाठी एकच नियम नाही.

अपूर्णांकांचा समावेश असलेल्या समस्यांमधली मुख्य गोष्ट म्हणजे समजण्याजोगी गोष्ट संपते तेव्हा क्षण गमावू नका. स्टोव्हवर परत या आणि सर्व काही पुन्हा पुन्हा करा, जरी ते अत्यंत आदिम वाटत असले तरीही. उदाहरणार्थ, वर परत जा एक सेकंद काय आहे.

मुलाला हे समजले पाहिजे की गणिती संकल्पना अमूर्त आहेत, त्याच घटनेचे वेगवेगळ्या शब्दांमध्ये वर्णन केले जाऊ शकते आणि वेगवेगळ्या संख्यांमध्ये व्यक्त केले जाऊ शकते.

मला Mefody66 ने दिलेले उत्तर आवडले. मी अनेक वर्षांच्या वैयक्तिक सरावातून जोडेल: अपूर्णांकांसह समस्या कशा सोडवायच्या हे शिकवणे (आणि अपूर्णांक सोडवणे नाही; अपूर्णांक सोडवणे अशक्य आहे, जसे की संख्या सोडवणे अशक्य आहे) अगदी सोपे आहे, आपल्याला फक्त मुलाच्या जवळ असणे आवश्यक आहे. जेव्हा तो प्रथम अशा समस्या सोडवण्यास सुरुवात करतो, आणि वेळेत त्याचे निराकरण करतो, जेणेकरून चुका, ज्या कोणत्याही शिकण्यात अपरिहार्य असतात, त्या मुलाच्या मनात पकडण्यासाठी वेळ नसतो. काहीतरी नवीन शिकण्यापेक्षा पुन्हा शिकणे अधिक कठीण आहे. आणि अशा समस्या शक्य तितक्या सोडवा. अशा कार्यांचे निराकरण स्वयंचलिततेवर आणणे ही चांगली गोष्ट असेल. शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात सामान्य अपूर्णांकांसह समस्या सोडवण्याची क्षमता गुणाकार सारणीचे ज्ञान जितके महत्त्वाचे आहे. त्यामुळे तुमचे मूल अशा समस्या कशा सोडवते हे पाहण्यासाठी तुम्ही वेळ काढला पाहिजे.

आणि पाठ्यपुस्तकावर जास्त विसंबून राहू नका: Mefody66 ने त्याच्या उत्तरात लिहिल्याप्रमाणे शाळांमधील शिक्षक स्पष्ट करतात. शिक्षकांशी बोलणे चांगले आहे, शिक्षकाने हा विषय कोणत्या शब्दात स्पष्ट केला आहे ते शोधा. आणि शक्य असल्यास समान शब्द आणि वाक्ये वापरा (मुलाला जास्त गोंधळात टाकू नये म्हणून)

तसेच: मी तुम्हाला फक्त स्पष्टीकरणाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर व्हिज्युअल उदाहरणे वापरण्याचा सल्ला देतो, नंतर त्वरीत अमूर्त करा आणि सोल्यूशन अल्गोरिदमकडे जा. अन्यथा, अधिक जटिल समस्या सोडवताना स्पष्टता हानिकारक असू शकते. उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला 29 आणि 121 भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याची आवश्यकता असेल, तर कोणत्या प्रकारची व्हिज्युअल मदत मदत करेल? तो फक्त गोंधळात टाकेल.

अपूर्णांक हा अशा आशीर्वादित गणिती विषयांपैकी एक आहे जेथे केसला लागू होणार नाही असे कोणतेही अमूर्त नाहीत. उत्पादने वापरली पाहिजेत (केकवर, हताश गृहिणींमध्ये जुआनिटा सोलिस - स्पष्टीकरणाची खरोखर छान पद्धत). हे सर्व अंश-भाजक नंतर येतात. मग मुलाला हे समजणे आवश्यक आहे की अपूर्णांकाने भागणे यापुढे कमी होणार नाही आणि गुणाकार वाढ नाही. येथे उलथापालथाने गुणाकाराच्या स्वरूपात अपूर्णांकाने भागाकार कसा करायचा हे दाखवणे अधिक चांगले आहे. संक्षेप एक खेळकर मार्गाने सादर करा; जर ते एका संख्येने विभाजित केले असेल तर विभाजित करा, जर तुम्हाला स्वारस्य असेल तर ते जवळजवळ सुडोकू असल्याचे दिसून येईल. मुख्य गोष्ट म्हणजे वेळेत गैरसमज लक्षात घेणे, कारण पुढे आणखी मनोरंजक विषय असतील जे समजणे सोपे नाही. म्हणून, अपूर्णांक सोडवण्याचा अधिक सराव करा आणि सर्वकाही लवकर चांगले होईल. माझ्यासाठी, शुद्ध मानवतावादी, अमूर्ततेच्या अगदी कमी प्रमाणात, अपूर्णांक नेहमीच इतर विषयांपेक्षा स्पष्ट आहेत.

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

हे ऑपरेशन बेरीज-वजाबाकीपेक्षा खूपच छान आहे! कारण ते सोपे आहे. स्मरणपत्र म्हणून, एका अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्यासाठी, आपल्याला अंश (हा निकालाचा अंश असेल) आणि भाजक (हा भाजक असेल) गुणाकार करणे आवश्यक आहे. ते आहे:

उदाहरणार्थ:

सर्व काही अत्यंत सोपे आहे. आणि कृपया सामान्य भाजक शोधू नका! त्याची इथे गरज नाही...

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला उलट करणे आवश्यक आहे दुसरा(हे महत्वाचे आहे!) अपूर्णांक आणि त्यांना गुणाकार करा, म्हणजे:

उदाहरणार्थ:

जर तुम्हाला पूर्णांक आणि अपूर्णांकांसह गुणाकार किंवा भागाकार आला तर ते ठीक आहे. बेरीज प्रमाणे, आम्ही एका पूर्ण संख्येपासून भाजकात एक अपूर्णांक बनवतो - आणि पुढे जा! उदाहरणार्थ:

हायस्कूलमध्ये, तुम्हाला अनेकदा तीन-मजली ​​(किंवा अगदी चार-मजली!) अपूर्णांकांचा सामना करावा लागतो. उदाहरणार्थ:

मी हा अंश सभ्य कसा बनवू शकतो? होय, खूप सोपे! दोन-बिंदू विभाजन वापरा:

परंतु विभाजनाच्या क्रमाबद्दल विसरू नका! गुणाकार विपरीत, हे येथे खूप महत्वाचे आहे! अर्थात, आम्ही 4:2 किंवा 2:4 मध्ये गोंधळ घालणार नाही. परंतु तीन मजली अपूर्णांकात चूक करणे सोपे आहे. कृपया उदाहरणार्थ लक्षात ठेवा:

पहिल्या प्रकरणात (डावीकडील अभिव्यक्ती):

दुसऱ्यामध्ये (उजवीकडे अभिव्यक्ती):

तुम्हाला फरक जाणवतो का? 4 आणि 1/9!

विभाजनाचा क्रम काय ठरवतो? एकतर कंसासह किंवा (येथे जसे) आडव्या रेषांच्या लांबीसह. डोळा विकसित करा. आणि कंस किंवा डॅश नसल्यास, जसे की:

नंतर भागा आणि गुणा क्रमाने, डावीकडून उजवीकडे!

आणि आणखी एक अतिशय साधे आणि महत्त्वाचे तंत्र. अंशांसह कृतींमध्ये, ते आपल्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल! चला एकाला कोणत्याही अपूर्णांकाने विभाजित करू, उदाहरणार्थ, 13/15 ने:

शॉट उलटला! आणि हे नेहमीच घडते. 1 ला कोणत्याही अपूर्णांकाने भागताना, परिणाम समान अपूर्णांक असतो, फक्त उलटा.

अपूर्णांकांसह ऑपरेशनसाठी तेच आहे. गोष्ट अगदी सोपी आहे, परंतु ती पुरेशा त्रुटींपेक्षा जास्त देते. व्यावहारिक सल्ला विचारात घ्या, आणि त्यापैकी कमी (चुका) होतील!

व्यावहारिक टिप्स:

1. अंशात्मक अभिव्यक्तीसह काम करताना सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे अचूकता आणि लक्ष देणे! हे सामान्य शब्द नाहीत, शुभेच्छा नाहीत! ही नितांत गरज आहे! युनिफाइड स्टेट परीक्षेवरील सर्व आकडेमोड पूर्ण कार्य म्हणून करा, लक्ष केंद्रित करा आणि स्पष्ट करा. मानसिक गणिते करताना गोंधळ घालण्यापेक्षा तुमच्या मसुद्यात दोन अतिरिक्त ओळी लिहिणे चांगले.

2. भिन्न प्रकारच्या अपूर्णांकांच्या उदाहरणांमध्ये, आपण सामान्य अपूर्णांकांकडे जाऊ.

3. ते थांबेपर्यंत आम्ही सर्व अपूर्णांक कमी करतो.

4. आम्ही दोन बिंदूंद्वारे भागाकार वापरून बहु-स्तरीय अपूर्णांक अभिव्यक्ती सामान्यांपर्यंत कमी करतो (आम्ही भागाकाराच्या क्रमाचे पालन करतो!).

5. तुमच्या डोक्यातील एका अपूर्णांकाने युनिट विभाजित करा, फक्त अपूर्णांक उलटा.

येथे अशी कार्ये आहेत जी आपण निश्चितपणे पूर्ण केली पाहिजेत. सर्व कामांनंतर उत्तरे दिली जातात. या विषयावरील साहित्य आणि व्यावहारिक टिप्स वापरा. तुम्ही किती उदाहरणे बरोबर सोडवू शकलात याचा अंदाज लावा. पहिल्यावेळी! कॅल्क्युलेटरशिवाय! आणि योग्य निष्कर्ष काढा...

लक्षात ठेवा - योग्य उत्तर आहे दुसऱ्या (विशेषत: तिसऱ्या) वेळेपासून मिळालेली गणना मोजली जात नाही!असे कठोर जीवन आहे.

तर, परीक्षा मोडमध्ये सोडवा ! युनिफाइड स्टेट परीक्षेची ही आधीच तयारी आहे, तसे. आम्ही उदाहरण सोडवतो, ते तपासतो, पुढील सोडवतो. आम्ही सर्वकाही ठरवले - पहिल्यापासून शेवटपर्यंत पुन्हा तपासले. पण फक्त मगउत्तरे पहा.

गणना करा:

तुम्ही ठरवले आहे का?

आम्ही तुमच्याशी जुळणारी उत्तरे शोधत आहोत. मी त्यांना मुद्दाम गोंधळात टाकून, प्रलोभनापासून दूर, लिहून ठेवलं आहे, म्हणून बोलायचं आहे... ती ही आहेत, अर्धविरामाने लिहिलेली उत्तरे.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

आता आम्ही निष्कर्ष काढतो. जर सर्वकाही कार्य केले तर मी तुमच्यासाठी आनंदी आहे! अपूर्णांकांसह मूलभूत गणना ही तुमची समस्या नाही! आपण अधिक गंभीर गोष्टी करू शकता. जर नाही...

तर तुम्हाला दोनपैकी एक समस्या आहे. किंवा दोन्ही एकाच वेळी.) ज्ञानाचा अभाव आणि (किंवा) दुर्लक्ष. पण हे सोडवण्यायोग्य अडचणी.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडत आहे

अपूर्णांक जोडण्याचे दोन प्रकार आहेत:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडत आहे
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे

प्रथम, समान भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज जाणून घेऊ. येथे सर्व काही सोपे आहे. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक आणि . अंश जोडा आणि भाजक न बदलता सोडा:

चार भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण २.अपूर्णांक जोडा आणि .

उत्तर अयोग्य अंश निघाले. जेव्हा कार्याचा शेवट येतो तेव्हा अयोग्य अंशांपासून मुक्त होण्याची प्रथा आहे. अयोग्य अंशापासून मुक्त होण्यासाठी, आपल्याला त्याचा संपूर्ण भाग निवडण्याची आवश्यकता आहे. आमच्या बाबतीत, संपूर्ण भाग सहजपणे वेगळा केला जातो - दोन भागिले दोन समान एक:

दोन भागांमध्ये विभागलेल्या पिझ्झाविषयी लक्षात ठेवल्यास हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये आणखी पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला एक संपूर्ण पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण ३. अपूर्णांक जोडा आणि .

पुन्हा, आम्ही अंक जोडतो आणि भाजक अपरिवर्तित ठेवतो:

तीन भागांमध्ये विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये अधिक पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण ४.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

हे उदाहरण मागील उदाहरणांप्रमाणेच सोडवले आहे. अंक जोडले जाणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित ठेवला पाहिजे:

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास आणि आणखी पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला 1 संपूर्ण पिझ्झा आणि आणखी पिझ्झा मिळतील.

तुम्ही बघू शकता, समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यात काहीही क्लिष्ट नाही. खालील नियम समजून घेणे पुरेसे आहे:

1. समान भाजकासह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे;

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे

आता भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक कसे जोडायचे ते शिकू. अपूर्णांक जोडताना, अपूर्णांकांचे भाजक समान असले पाहिजेत. पण ते नेहमी सारखे नसतात.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांक जोडले जाऊ शकतात कारण त्यांचे भाजक समान आहेत.

परंतु अपूर्णांक लगेच जोडले जाऊ शकत नाहीत, कारण या अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न आहेत. अशा परिस्थितीत, अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

अपूर्णांकांना समान भाजक कमी करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. आज आपण त्यापैकी फक्त एक पाहू, कारण इतर पद्धती नवशिक्यासाठी क्लिष्ट वाटू शकतात.

या पद्धतीचा सार असा आहे की प्रथम दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचा LCM शोधला जातो. त्यानंतर प्रथम अतिरिक्त घटक मिळविण्यासाठी एलसीएमला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित केले जाते. ते दुसऱ्या अपूर्णांकासहही तेच करतात - एलसीएमला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित केले जाते आणि दुसरा अतिरिक्त घटक मिळतो.

अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक नंतर त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार केले जातात. या क्रियांच्या परिणामी, भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलतात. आणि असे अपूर्णांक कसे जोडायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे.

उदाहरण १. चला अपूर्णांक जोडू आणि

सर्व प्रथम, आम्हाला दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांपैकी सर्वात कमी सामान्य गुणक सापडतात. पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक क्रमांक 2 आहे. या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 6 आहे

LCM (2 आणि 3) = 6

आता अपूर्णांक आणि . प्रथम, LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा आणि पहिला अतिरिक्त घटक मिळवा. LCM ही संख्या 6 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 6 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 2 मिळेल.

परिणामी संख्या 2 हा पहिला अतिरिक्त गुणक आहे. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकावर लिहितो. हे करण्यासाठी, अपूर्णांकावर एक लहान तिरकस रेषा बनवा आणि त्यावरील अतिरिक्त घटक लिहा:

आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकासह असेच करतो. आपण LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो आणि दुसरा अतिरिक्त घटक मिळवतो. LCM ही संख्या 6 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 2 आहे. 6 ला 2 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल.

परिणामी संख्या 3 हा दुसरा अतिरिक्त गुणक आहे. आम्ही ते दुसऱ्या अपूर्णांकावर लिहितो. पुन्हा, आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकावर एक लहान तिरकस रेषा बनवतो आणि त्यावरील अतिरिक्त घटक लिहू:

आता आमच्याकडे जोडण्यासाठी सर्वकाही तयार आहे. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही काय आलो आहोत ते काळजीपूर्वक पहा. आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकात बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे जोडायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे. चला हे उदाहरण शेवटपर्यंत घेऊ:

हे उदाहरण पूर्ण करते. हे जोडण्यासाठी बाहेर वळते.

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला एक संपूर्ण पिझ्झा आणि पिझ्झाचा दुसरा सहावा भाग मिळेल:

समान (सामान्य) भाजकापर्यंत अपूर्णांक कमी करणे देखील चित्र वापरून चित्रित केले जाऊ शकते. अपूर्णांक कमी केल्याने आणि सामान्य भाजकापर्यंत, आम्हाला अपूर्णांक आणि मिळाले. हे दोन अपूर्णांक पिझ्झाच्या समान तुकड्यांद्वारे दर्शविले जातील. फरक एवढाच असेल की यावेळी ते समान समभागांमध्ये विभागले जातील (समान भाजकापर्यंत कमी).

पहिले रेखाचित्र अपूर्णांक (सहा पैकी चार तुकडे) दर्शवते आणि दुसरे रेखाचित्र अपूर्णांक (सहा पैकी तीन तुकडे) दर्शवते. हे तुकडे जोडल्याने आम्हाला (सहा पैकी सात तुकडे) मिळतात. हा अंश अयोग्य आहे, म्हणून आम्ही त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट केला. परिणामी, आम्हाला (एक संपूर्ण पिझ्झा आणि दुसरा सहावा पिझ्झा) मिळाला.

कृपया लक्षात घ्या की आम्ही या उदाहरणाचे खूप तपशीलवार वर्णन केले आहे. शैक्षणिक संस्थांमध्ये असे तपशीलवार लिहिण्याची प्रथा नाही. तुम्हाला दोन्ही भाजकांचे LCM आणि त्यांच्यावरील अतिरिक्त घटक पटकन शोधण्यात सक्षम असण्याची आवश्यकता आहे, तसेच तुमच्या अंश आणि भाजकांद्वारे सापडलेले अतिरिक्त घटक पटकन गुणाकार करण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे. जर आपण शाळेत असतो, तर आपल्याला हे उदाहरण खालीलप्रमाणे लिहावे लागेल:

पण नाण्याची दुसरी बाजूही आहे. जर तुम्ही गणिताचा अभ्यास करताना पहिल्या टप्प्यात तपशीलवार नोट्स घेतल्या नाहीत, तर क्रमवारीचे प्रश्न दिसू लागतात. "ती संख्या कोठून आली?", "अपूर्णांक अचानक पूर्णपणे भिन्न अपूर्णांकांमध्ये का बदलतात? «.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे सोपे करण्यासाठी, आपण खालील चरण-दर-चरण सूचना वापरू शकता:

1. अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा;
2. प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाद्वारे LCM विभाजित करा आणि प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक मिळवा;
3. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करा;
4. समान भाजक असलेले अपूर्णांक जोडा;
5. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे निष्पन्न झाले, तर त्याचा संपूर्ण भाग निवडा;

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा .

वर दिलेल्या सूचना वापरू.

पायरी 1. अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा

दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा. अपूर्णांकांचे भाजक 2, 3 आणि 4 आहेत

पायरी 2. प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकानुसार LCM विभाजित करा आणि प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक मिळवा

LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 2 आहे. 12 ला 2 ने भागा, आम्हाला 6 मिळेल. आम्हाला पहिला अतिरिक्त घटक 6 मिळाला. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपण LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 12 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 4 मिळेल. आपल्याला दुसरा अतिरिक्त घटक 4 मिळेल. आपण ते दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहू:

आता आपण LCM ला तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि तिसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. 12 ला 4 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल. आपल्याला तिसरा अतिरिक्त घटक 3 मिळेल. आम्ही ते तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

पायरी 3. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करा

आम्ही अंक आणि भाजकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करतो:

पायरी 4. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडा

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलले. फक्त हे अपूर्णांक जोडणे बाकी आहे. ते जोडा:

जोडणी एका ओळीवर बसत नाही, म्हणून आम्ही उर्वरित अभिव्यक्ती पुढील ओळीत हलवली. याला गणितात परवानगी आहे. जेव्हा एखादी अभिव्यक्ती एका ओळीवर बसत नाही, तेव्हा ती पुढील ओळीवर हलविली जाते आणि पहिल्या ओळीच्या शेवटी आणि नवीन ओळीच्या सुरुवातीला समान चिन्ह (=) ठेवणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या ओळीवरील समान चिन्ह सूचित करते की हे पहिल्या ओळीवर असलेल्या अभिव्यक्तीची निरंतरता आहे.

पायरी 5. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे निष्पन्न झाले, तर त्याचा संपूर्ण भाग निवडा

आमचे उत्तर अयोग्य अंश निघाले. त्याचा संपूर्ण भाग आपल्याला हायलाइट करावा लागेल. आम्ही हायलाइट करतो:

आम्हाला उत्तर मिळाले

समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

अपूर्णांकांच्या वजाबाकीचे दोन प्रकार आहेत:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

प्रथम, समान भाजकांसह अपूर्णांक कसे वजा करायचे ते शिकू. येथे सर्व काही सोपे आहे. एका अपूर्णांकातून दुसरा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे, परंतु भाजक समान सोडा.

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया. हे उदाहरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे. चल हे करूया:

चार भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामधून पिझ्झा कापल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळतात:

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

पुन्हा, पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून, दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करा आणि भाजक न बदलता सोडा:

तीन भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामधून पिझ्झा कापल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळतात:

उदाहरण ३.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

हे उदाहरण मागील उदाहरणांप्रमाणेच सोडवले आहे. पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून तुम्हाला उर्वरित अपूर्णांकांचे अंश वजा करणे आवश्यक आहे:

तुम्ही बघू शकता, समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्यात काहीही क्लिष्ट नाही. खालील नियम समजून घेणे पुरेसे आहे:

1. एका अपूर्णांकातून दुसरा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे;
2. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले, तर तुम्हाला त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट करणे आवश्यक आहे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

उदाहरणार्थ, तुम्ही अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा करू शकता कारण अपूर्णांकांचे भाजक समान आहेत. परंतु आपण अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा करू शकत नाही, कारण या अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न आहेत. अशा परिस्थितीत, अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना आपण वापरलेले समान तत्त्व वापरून सामान्य भाजक आढळतात. सर्व प्रथम, दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा. नंतर एलसीएमला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागले जाते आणि पहिला अतिरिक्त घटक मिळतो, जो पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहिलेला असतो. त्याचप्रमाणे, एलसीएमला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागले जाते आणि दुसरा अतिरिक्त घटक मिळतो, जो दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहिलेला असतो.

अपूर्णांक नंतर त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार केले जातात. या ऑपरेशन्सच्या परिणामी, भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित केले जातात. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे.

उदाहरण १.अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

या अपूर्णांकांमध्ये भिन्न भाजक आहेत, म्हणून तुम्हाला ते समान (सामान्य) भाजकांपर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

प्रथम आपण दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधतो. पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 12 आहे

LCM (3 आणि 4) = 12

आता अपूर्णांकांकडे परत जाऊया आणि

पहिल्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधू. हे करण्यासाठी, LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 12 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 4 मिळेल. पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर चार लिहा:

आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकासह असेच करतो. LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. 12 ला 4 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल. दुसऱ्या अपूर्णांकावर तीन लिहा:

आता आपण वजाबाकीसाठी तयार आहोत. अपूर्णांकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकात बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे. चला हे उदाहरण शेवटपर्यंत घेऊ:

आम्हाला उत्तर मिळाले

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. पिझ्झामधून पिझ्झा कापला तर पिझ्झा मिळतो

ही समाधानाची तपशीलवार आवृत्ती आहे. जर आपण शाळेत असतो तर आपल्याला हे उदाहरण लहान सोडवावे लागले असते. असे समाधान असे दिसेल:

एका सामान्य भाजकापर्यंत अपूर्णांक कमी करणे देखील चित्र वापरून चित्रित केले जाऊ शकते. हे अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी केल्याने, आम्हाला अपूर्णांक मिळाले आणि . हे अपूर्णांक समान पिझ्झा स्लाइसद्वारे दर्शविले जातील, परंतु यावेळी ते समान समभागांमध्ये विभागले जातील (समान भाजकापर्यंत कमी):

पहिले चित्र अपूर्णांक दाखवते (बारा पैकी आठ तुकडे), आणि दुसरे चित्र अपूर्णांक (बारा पैकी तीन तुकडे) दाखवते. आठ तुकड्यांतून तीन तुकडे करून बारा पैकी पाच तुकडे मिळतात. अपूर्णांक या पाच तुकड्यांचे वर्णन करतो.

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

या अपूर्णांकांमध्ये भिन्न भाजक आहेत, म्हणून प्रथम आपण त्यांना समान (सामान्य) भाजकांपर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

या अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधू.

अपूर्णांकांचे भाजक 10, 3 आणि 5 या संख्या आहेत. या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 30 आहे

LCM(१०, ३, ५) = ३०

आता आम्हाला प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतात. हे करण्यासाठी, LCM ला प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा.

पहिल्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधू. LCM ही संख्या 30 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 10 आहे. 30 ला 10 ने विभाजित केल्यास पहिला अतिरिक्त घटक 3 मिळेल. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपल्याला दुसऱ्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतो. LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 30 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 30 ला 3 ने भागल्यास दुसरा अतिरिक्त घटक 10 मिळतो. आम्ही ते दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपल्याला तिसऱ्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतो. LCM ला तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 30 आहे आणि तिसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक 5 आहे. 30 ला 5 ने भागल्यास तिसरा अतिरिक्त घटक 6 मिळेल. आम्ही ते तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता सर्वकाही वजाबाकीसाठी तयार आहे. अपूर्णांकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे. हे उदाहरण संपवू.

उदाहरणाचे सातत्य एका ओळीवर बसणार नाही, म्हणून आम्ही सातत्य पुढील ओळीवर हलवू. नवीन ओळीवर समान चिन्ह (=) बद्दल विसरू नका:

उत्तर एक नियमित अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले आणि सर्व काही आपल्यास अनुरूप आहे असे दिसते, परंतु ते खूप अवजड आणि कुरूप आहे. आपण ते सोपे केले पाहिजे. काय करता येईल? तुम्ही हा अंश लहान करू शकता.

अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा अंश आणि भाजक 20 आणि 30 अंकांच्या (GCD) ने भागणे आवश्यक आहे.

तर, आम्हाला 20 आणि 30 क्रमांकांची gcd सापडते:

आता आपण आपल्या उदाहरणाकडे परत आलो आणि अंशाचा अंश आणि भाजक सापडलेल्या gcd ने भागतो, म्हणजेच 10 ने

आम्हाला उत्तर मिळाले

अपूर्णांकाचा संख्येने गुणाकार करणे

एखाद्या अपूर्णांकाचा संख्येने गुणाकार करण्यासाठी, आपल्याला दिलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा त्या संख्येने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे.

उदाहरण १. एका अपूर्णांकाला संख्या 1 ने गुणा.

अपूर्णांकाचा अंश 1 ने गुणाकार करा

रेकॉर्डिंग अर्धा 1 वेळ घेत असल्याचे समजू शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही एकदा पिझ्झा घेतला तर तुम्हाला पिझ्झा मिळेल

गुणाकाराच्या नियमांवरून आपल्याला माहित आहे की जर गुणाकार आणि घटकांची अदलाबदल केली तर गुणाकार बदलणार नाही. जर अभिव्यक्ती म्हणून लिहीली असेल, तर उत्पादन अजूनही समान असेल. पुन्हा, पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक गुणाकार करण्याचा नियम कार्य करतो:

हे नोटेशन एकाचे अर्धे घेणे असे समजू शकते. उदाहरणार्थ, जर 1 संपूर्ण पिझ्झा असेल आणि आम्ही त्याचा अर्धा घेतला तर आमच्याकडे पिझ्झा असेल:

उदाहरण २. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

अपूर्णांकाच्या अंशाला 4 ने गुणा

उत्तर अयोग्य अंश होते. चला त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करूया:

दोन चतुर्थांश 4 वेळा घेणे म्हणून अभिव्यक्ती समजू शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही 4 पिझ्झा घेतल्यास, तुम्हाला दोन पूर्ण पिझ्झा मिळतील

आणि जर आपण गुणाकार आणि गुणक अदलाबदल केला तर आपल्याला अभिव्यक्ती मिळेल. ते 2 च्या बरोबरीचे देखील असेल. हे अभिव्यक्ती चार संपूर्ण पिझ्झामधून दोन पिझ्झा घेणे असे समजू शकते:

अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश आणि भाजक गुणाकार करणे आवश्यक आहे. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले, तर तुम्हाला त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण १.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

आम्हाला उत्तर मिळाले. हा अंश कमी करण्याचा सल्ला दिला जातो. अपूर्णांक 2 ने कमी केला जाऊ शकतो. नंतर अंतिम समाधान खालील फॉर्म घेईल:

अर्ध्या पिझ्झामधून पिझ्झा घेणे हे अभिव्यक्ती समजू शकते. समजा आमच्याकडे अर्धा पिझ्झा आहे:

या अर्ध्या भागातून दोन तृतीयांश कसे काढायचे? प्रथम आपल्याला हा अर्धा तीन समान भागांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे:

आणि या तीन तुकड्यांमधून दोन घ्या:

आम्ही पिझ्झा बनवू. लक्षात ठेवा पिझ्झा तीन भागांमध्ये विभागल्यावर कसा दिसतो:

या पिझ्झाचा एक तुकडा आणि आम्ही घेतलेल्या दोन तुकड्यांचे परिमाण समान असतील:

दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही त्याच आकाराच्या पिझ्झाबद्दल बोलत आहोत. म्हणून अभिव्यक्तीचे मूल्य आहे

उदाहरण २. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाने गुणाकार करा आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणा:

उत्तर अयोग्य अंश होते. चला त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करूया:

उदाहरण ३.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाने गुणाकार करा आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणा:

उत्तर नियमित अपूर्णांक असल्याचे निघाले, परंतु ते लहान केले तर चांगले होईल. हा अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक 105 आणि 450 या संख्यांच्या सर्वात सामान्य विभाजकाने (GCD) विभाजित करणे आवश्यक आहे.

तर, 105 आणि 450 अंकांची gcd शोधूया:

आता आपण आपल्या उत्तराचा अंश आणि भाजक आता सापडलेल्या gcd ने भागतो, म्हणजे 15 ने

अपूर्णांक म्हणून पूर्ण संख्येचे प्रतिनिधित्व करणे

कोणतीही पूर्ण संख्या अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, संख्या 5 म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. यामुळे पाचचा अर्थ बदलणार नाही, कारण अभिव्यक्तीचा अर्थ "पाच संख्येने भागिले एक" आहे आणि हे आपल्याला माहित आहे की पाच समान आहे:

परस्पर संख्या

आता आपण गणितातील एका अतिशय मनोरंजक विषयाशी परिचित होऊ. त्याला "रिव्हर्स नंबर" म्हणतात.

व्याख्या. क्रमांकावर उलटाa अशी संख्या आहे ज्याचा गुणाकार केल्यावरa एक देते.

चला या व्याख्येमध्ये व्हेरिएबल ऐवजी बदलू aसंख्या 5 आणि व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करा:

क्रमांकावर उलटा 5 अशी संख्या आहे ज्याचा गुणाकार केल्यावर 5 एक देते.

5 ने गुणाकार केल्यावर एक मिळते अशी संख्या शोधणे शक्य आहे का? हे शक्य आहे बाहेर वळते. चला पाचची अपूर्णांक म्हणून कल्पना करूया:

मग हा अपूर्णांक स्वतःच गुणा, फक्त अंश आणि भाजक स्वॅप करा. दुसऱ्या शब्दांत, आपण अपूर्णांक स्वतःहून गुणाकार करू, फक्त वरच्या बाजूस:

याचा परिणाम म्हणून काय होईल? हे उदाहरण सोडवत राहिल्यास, आम्हाला एक मिळेल:

याचा अर्थ असा की संख्या 5 चा व्यस्त संख्या आहे, कारण जेव्हा तुम्ही 5 ने गुणाकार करता तेव्हा तुम्हाला एक मिळते.

संख्येचा परस्परसंबंध इतर कोणत्याही पूर्णांकासाठी देखील आढळू शकतो.

तुम्ही इतर कोणत्याही अपूर्णांकाचा परस्परसंबंध देखील शोधू शकता. हे करण्यासाठी, फक्त ते उलट करा.

अपूर्णांकाला संख्येने भागणे

समजा आमच्याकडे अर्धा पिझ्झा आहे:

दोन मध्ये समान रीतीने विभागू. प्रत्येक व्यक्तीला किती पिझ्झा मिळेल?

हे पाहिले जाऊ शकते की अर्धा पिझ्झा विभाजित केल्यानंतर, दोन समान तुकडे प्राप्त झाले, त्यापैकी प्रत्येक पिझ्झा बनतो. त्यामुळे प्रत्येकाला पिझ्झा मिळतो.

अपूर्णांकांचे विभाजन परस्पर वापरून केले जाते. पारस्परिक संख्या तुम्हाला भागाकार गुणाकाराने बदलण्याची परवानगी देतात.

अपूर्णांकाला संख्येने भागण्यासाठी, तुम्हाला अपूर्णांकाचा विभाजकाच्या व्यस्ततेने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

हा नियम वापरून, आम्ही आमच्या अर्ध्या पिझ्झाची दोन भागांमध्ये विभागणी लिहू.

तर, आपल्याला अपूर्णांक 2 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. येथे लाभांश हा अपूर्णांक आहे आणि भागाकार हा क्रमांक 2 आहे.

अपूर्णांकाला संख्या 2 ने भागण्यासाठी, तुम्हाला हा अपूर्णांक भागाकार 2 च्या परस्परांनी गुणाकार करणे आवश्यक आहे. भाजक 2 चा परस्पर भाग हा अपूर्णांक आहे. म्हणून तुम्हाला गुणाकार करणे आवश्यक आहे

अपूर्णांक- एक संख्या ज्यामध्ये युनिटच्या अपूर्णांकांची पूर्णांक संख्या असते आणि ती फॉर्ममध्ये दर्शविली जाते: a/b

अपूर्णांकाचा अंश (a)- अपूर्णांक रेषेच्या वर स्थित असलेली संख्या आणि समभागांची संख्या दर्शविते ज्यामध्ये युनिट विभागले गेले होते.

अपूर्णांक भाजक (b)- अपूर्णांक रेषेच्या खाली स्थित असलेली संख्या आणि युनिट किती भागांमध्ये विभागले आहे हे दर्शविते.

2. अपूर्णांकांना सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे

3. सामान्य अपूर्णांकांवर अंकगणितीय क्रिया

3.1. सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज

3.2. अपूर्णांक वजा करणे

3.3. सामान्य अपूर्णांकांचा गुणाकार

3.4. अपूर्णांक विभागणे

4. परस्पर संख्या

5. दशांश

6. दशांश वर अंकगणित क्रिया

6.1. दशांश जोडत आहे

6.2. दशांश वजा करणे

6.3. दशांश गुणाकार

6.4. दशांश भागाकार

#1. अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म

अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक शून्याच्या समान नसलेल्या समान संख्येने गुणाकार किंवा भागल्यास, आपल्याला दिलेल्या एका बरोबरीचा अपूर्णांक मिळेल.

३/७=३*३/७*३=९/२१, म्हणजे ३/७=९/२१

a/b=a*m/b*m - अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म असा दिसतो.

दुस-या शब्दात, मूळ अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक यांना समान नैसर्गिक संख्येने गुणाकार किंवा भागून आपल्याला दिलेल्या अपूर्णांकाच्या बरोबरीचा अपूर्णांक मिळतो.

तर ad=bc, नंतर दोन अपूर्णांक a/b =c /d समान मानले जातात.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांक 3/5 आणि 9/15 समान असतील, कारण 3*15=5*9, म्हणजेच 45=45

अपूर्णांक कमी करणेअपूर्णांक बदलण्याची प्रक्रिया आहे ज्यामध्ये नवीन अपूर्णांक मूळच्या बरोबरीचा असतो, परंतु लहान अंश आणि भाजक असतो.

अपूर्णांकाच्या मूळ गुणधर्मावर आधारित अपूर्णांक कमी करण्याची प्रथा आहे.

उदाहरणार्थ, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (अंक आणि भाजक संख्या 3, 5 आणि 15 ने भागले आहेत).

अपरिवर्तनीय अपूर्णांकफॉर्मचा एक अंश आहे 3/4 ​ ​ , जेथे अंश आणि भाजक परस्पर मूळ संख्या आहेत. अपूर्णांक कमी करण्याचा मुख्य उद्देश अपूर्णांक अपरिवर्तनीय बनवणे हा आहे.

2. अपूर्णांकांना सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे

सामान्य भाजकात दोन अपूर्णांक आणण्यासाठी, तुम्हाला हे करणे आवश्यक आहे:

1) प्रत्येक अपूर्णांकाचा भाजक अविभाज्य घटकांमध्ये काढा;

2) पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक गहाळ असलेल्यांनी गुणाकार करा

दुसऱ्या भाजकाच्या विस्ताराचे घटक;

3) पहिल्या विस्तारातील गहाळ घटकांनी दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक गुणाकार करा.

उदाहरणे: अपूर्णांकांना सामान्य भाजक कमी करा.

चला भाजकांना साध्या घटकांमध्ये मोजू: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

दुस-या विस्तारापासून गहाळ घटक 5 ने अंशाचा अंश आणि भाजक गुणाकार करा.

पहिल्या विस्तारापासून गहाळ घटक 3 आणि 2 मध्ये अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक.

= , 90 - अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक.

3. सामान्य अपूर्णांकांवर अंकगणितीय क्रिया

३.१. सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज

a) भाजक समान असल्यास, पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुस-या अपूर्णांकाच्या अंशाशी जोडला जातो आणि भाजक समान राहतो. जसे आपण उदाहरणामध्ये पाहू शकता:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) भिन्न भाजकांसाठी, अपूर्णांक प्रथम सामान्य भाजकात कमी केले जातात आणि नंतर नियम a नुसार अंश जोडले जातात):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

३.२. अपूर्णांक वजा करणे

अ) भाजक समान असल्यास, पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करा, भाजक समान ठेवा:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) जर अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न असतील, तर प्रथम अपूर्णांक एका सामान्य भाजकाकडे आणले जातात आणि नंतर बिंदू a प्रमाणे क्रियांची पुनरावृत्ती केली जाते).

३.३. सामान्य अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकांचा गुणाकार खालील नियम पाळतो:

a/b*c/d=a*c/b*d,

म्हणजेच, ते अंश आणि भाजक स्वतंत्रपणे गुणाकार करतात.

उदाहरणार्थ:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

३.४. अपूर्णांक विभागणे

अपूर्णांक खालील प्रकारे विभागले आहेत:

a/b:c/d=a*d/b*c,

म्हणजेच, a/b अपूर्णांक दिलेल्या अपूर्णांकाच्या व्यस्त अपूर्णांकाने गुणाकार केला जातो, म्हणजेच d/c ने गुणाकार केला जातो.

उदाहरण: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. परस्पर संख्या

तर a*b=1,मग संख्या b आहे परस्पर संख्याक्रमांकासाठी a.

उदाहरण: 9 क्रमांकासाठी परस्पर आहे 1/9 ​ ​ , 9*1/9 पासून = 1 , 5 क्रमांकासाठी - व्यस्त संख्या 1/5 ​ ​ , कारण 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. दशांश

दशांशएक योग्य अपूर्णांक आहे ज्याचा भाजक समान आहे 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

उदाहरणार्थ: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

भाजक असलेले अयोग्य ते त्याच प्रकारे लिहिलेले आहेत 10^nकिंवा मिश्र संख्या.

उदाहरणार्थ: ५१/१०= 5,1; 763/100=7,63

10 च्या विशिष्ट घाताचा भाजक असलेला कोणताही सामान्य अपूर्णांक दशांश अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जातो.

चेंजर, जो 10 क्रमांकाच्या विशिष्ट शक्तीचा विभाजक आहे.

उदाहरण: 5 हा 100 चा विभाजक आहे, म्हणून तो अपूर्णांक आहे 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. दशांश वर अंकगणित क्रिया

६.१. दशांश जोडत आहे

दोन दशांश अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांची व्यवस्था करणे आवश्यक आहे जेणेकरून एकमेकांच्या खाली समान अंक असतील आणि स्वल्पविरामाखाली स्वल्पविराम असेल आणि नंतर सामान्य संख्यांसारखे अपूर्णांक जोडा.

६.२. दशांश वजा करणे

हे जोडण्याप्रमाणेच केले जाते.

६.३. दशांश गुणाकार

दशांश संख्यांचा गुणाकार करताना, स्वल्पविरामांकडे लक्ष न देता, दिलेल्या संख्यांचा गुणाकार करणे पुरेसे आहे (नैसर्गिक संख्यांप्रमाणे), आणि परिणामी उत्तरात, उजवीकडील स्वल्पविराम दोन्ही घटकांमधील दशांश बिंदूनंतर जितके अंक आहेत तितके वेगळे करतो. एकूण.

२.७ ला १.३ ने गुणाकार करू. आमच्याकडे आहे 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . आम्ही स्वल्पविरामाने उजवीकडे दोन अंक वेगळे करतो (पहिल्या आणि दुसऱ्या क्रमांकांना दशांश बिंदूनंतर एक अंक असतो; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). परिणामी आम्हाला मिळते 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

परिणामी परिणामामध्ये स्वल्पविरामाने विभक्त होण्यापेक्षा कमी अंक असल्यास, गहाळ शून्य समोर लिहिलेले असतात, उदाहरणार्थ:

10, 100, 1000 ने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला दशांश बिंदू 1, 2, 3 अंक उजवीकडे हलवावे लागतील (आवश्यक असल्यास, शून्यांची विशिष्ट संख्या उजवीकडे नियुक्त केली आहे).

उदाहरणार्थ: 1.47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

६.४. दशांश भागाकार

नैसर्गिक संख्येने दशांश अपूर्णांक भागणे ज्याप्रमाणे नैसर्गिक संख्येने नैसर्गिक संख्येने भागणे त्याच प्रकारे केले जाते. संपूर्ण भागाचे विभाजन पूर्ण झाल्यानंतर भागामध्ये स्वल्पविराम लावला जातो.

जर लाभांशाचा पूर्णांक भाग भाजकापेक्षा कमी असेल, तर उत्तर शून्य पूर्णांक असेल, उदाहरणार्थ:

दशांशाला दशांशाने भागणे पाहू. समजा आपल्याला २.५७६ ला १.१२ ने भागायचे आहे. सर्व प्रथम, अपूर्णांकाचा लाभांश आणि भागाकार 100 ने गुणाकार करू, म्हणजे, दशांश बिंदू नंतर विभाजकात जितके अंक आहेत तितक्या अंकांनी दशांश बिंदू उजवीकडे हलवा (या उदाहरणात, दोन). मग आपल्याला अपूर्णांक 257.6 नैसर्गिक संख्या 112 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच, समस्या आधीच विचारात घेतलेल्या प्रकरणात कमी केली जाते:

असे घडते की एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने विभाजित करताना अंतिम दशांश अपूर्णांक नेहमीच मिळत नाही. परिणाम म्हणजे अनंत दशांश अपूर्णांक. अशा परिस्थितीत, आपण सामान्य अपूर्णांकांकडे जातो.

उदाहरणार्थ, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .