डमीसाठी गॉस पद्धत: उपायांची उदाहरणे. विशिष्ट उदाहरणांसह उपाय

या प्रकरणात, आवश्यकता पालन व्यतिरिक्त a kk0 सूत्र (6) लागू करताना, मूळ मॅट्रिक्सच्या परिवर्तनाच्या प्रक्रियेत सध्याच्या स्तंभातील अग्रगण्य (मुख्य) घटकाचे कमाल निरपेक्ष मूल्य असावे यासाठी अतिरिक्त आवश्यकता लागू केल्या जातात. मॅट्रिक्सच्या पंक्तींची पुनर्रचना करून देखील हे साध्य केले जाते.

उदाहरण. सुधारित गॉसियन पद्धतीचे फायदे स्पष्ट करण्यासाठी, तृतीय-क्रम प्रणालीचा विचार करा:

गॉसियन पद्धतीचा थेट स्ट्रोक

आम्ही वगळतो एक्सदुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून 1. हे करण्यासाठी, पहिल्या समीकरणाचा 0.3 ने गुणाकार करा आणि ते दुसऱ्यासह जोडा आणि नंतर पहिल्या समीकरणाचा (–0.5) ने गुणाकार करा आणि तिसऱ्यासह जोडा. परिणामी आम्हाला मिळते

(b)

दुसरे समीकरण तिसऱ्याने बदलले जात नाही, कारण गणना अचूक अंकगणिताच्या चौकटीत केली जाते.

दुसऱ्या समीकरणाचा 25 ने गुणाकार करून तिसऱ्या समीकरणास जोडल्यास आपल्याला मिळते

(व्ही)

रिव्हर्स गॉसियन पद्धत

आम्ही परिणामी प्रणालीतील शेवटच्या समीकरणापासून प्रारंभ होणारी गणना करतो:

परिणामी सोल्यूशनला मूळ प्रणालीमध्ये बदलून, आम्हाला त्याच्या सत्याची खात्री आहे.

आता आपण प्रणालीचे गुणांक अशा प्रकारे बदलू की मागील सोल्यूशन जतन केले जाईल, परंतु गणना दरम्यान आपण पाच अंक राखून फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणिताच्या चौकटीत राउंडिंग वापरू. खालील प्रणाली यास अनुरूप असेल

(जी)

प्रणालीसाठी थेट पद्धत ( जी) आम्ही मूळ प्रणालीसह समान तंत्रज्ञान वापरून पुनरावृत्ती करू ( ए).

(d)

निर्मूलनानंतर एक्स 2, तिसरे समीकरण फॉर्म घेईल (बाकीचे अपरिवर्तित राहतील)

15005 एक्स 3 = 15004. (e)

उलट हलवा पार पाडणे, आम्हाला मिळते

हे स्पष्ट आहे की प्राप्त केलेले उपाय आणि [–०.३५; -1.4; 0.99993] भिन्न आहेत. याचे कारण म्हणजे ( d). हे दूर करण्यासाठी, आम्ही मध्ये पुनर्रचना करतो ( d) दुसरी आणि तिसरी ओळी


(आणि)

वगळल्यानंतर या प्रणालीसाठी एक्स 2 तिसऱ्या समीकरणातून, ते खालील फॉर्म घेईल

6,002 एक्स 3 = 6,002. (h)

या प्रकरणात, उलट हलवा करत आहे

आम्हाला सिस्टमवर एक उपाय मिळेल ( जी) जे मूळ प्रणालीच्या समाधानाशी अगदी जुळते.

प्रणाली सोडवणे ( जी) आम्ही सुधारित गॉसियन पद्धत वापरली, ज्यामध्ये वर्तमान स्तंभातील कमाल घटक कर्णावर स्थित असावा.

सुधारित गॉसियन पद्धतीच्या ब्लॉक आकृतीचा विचार करूया (चित्र 2.1).

तांदूळ. २.१. सुधारित गॉसियन पद्धतीचा ब्लॉक आकृती

प्रणालीचे उदाहरण वापरून प्रस्तावित योजनेचे विश्लेषण करू n=3 (=0,001)

(8)

;. (*)

ब्लॉक करा 1. प्रारंभिक डेटा प्रविष्ट करणे: n- प्रणालीचा क्रम, ए- अज्ञातांसाठी गुणांकांचे मॅट्रिक्स, b- मुक्त सदस्यांचे वेक्टर.

ब्लॉक करा 2.I-वी फॉरवर्ड स्ट्रोक सायकल (साठी k, 1 ते उपांत्य मूल्यापर्यंत बदलते, उदा. आधी n-1) मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णातून वगळण्याची सुविधा देते एघटक a kk=0 कमाल घटक शोधल्याबद्दल धन्यवाद a kkचालू स्तंभात, loopII वापरून ब्लॉक 36 मध्ये चालते.

नंतर चक्र IV आणि V च्या ब्लॉक्समध्ये फॉरवर्ड गॉसियन मोशनचे सूत्र (6) वापरून गणना केली जाते.

उदाहरण (8) वापरून विचारात घेतलेल्या चक्र IV च्या वातावरणात ब्लॉक-बाय-ब्लॉक विश्लेषण करूया.

ब्लॉक करा 3p =k = 1

सायकल II मध्ये प्रवेश करणे

ब्लॉक करा 4मी =k+1 = 2 ते n = 3

ब्लॉक करा 5a 11 = 2 <a(*) पैकी 21 = 4

ब्लॉक करा 6p= 2

ब्लॉक करा 4मी= 2+1 = 3

ब्लॉक करा 5a 21 = 4 <a(*) कडून 31 = 6

ब्लॉक करा 6p= 3

सायकल II मधून बाहेर पडताना आणि सायकल III मध्ये प्रवेश करताना, ब्लॉक 710 मॅट्रिक्स पंक्तींचे क्रमपरिवर्तन करतात एघटकानुसार घटक

ब्लॉक करा 7j= 1 (j 1 ते 3 पर्यंत)

ब्लॉक करा 8 आर = a(*) पैकी 11 = 2

ब्लॉक करा 9 a 11 = a 31 = 6

ब्लॉक करा 10 a 31 = आर

ब्लॉक करा 7 j = 2

ब्लॉक करा 8 आर = a 12 = 1

ब्लॉक करा 9 a 12 = a 32 = 5

ब्लॉक करा 10 a 32 = आर = 1

ब्लॉक करा 7j= 3 आणि सादृश्याने आर=a 13 ;a 13 =a 33 ;a 33 =आर= −1.

चक्रातून बाहेर पडणे III आणि प्रवेश करणे ब्लॉक करा 11 आणि पुढील 1213 मुक्त अटींच्या मूल्यांची समान पुनर्रचना करतात

आर=b 1 = 1;b 1 = b 3 = 14;b३ = आर = १.

सुधारित प्रणालीसह चक्र IV मध्ये प्रवेश करणे

;; (**)

पुनर्गणना साठी b 2 वेक्टर

मी=k+1 = 1+1 = 2 ते n= 3

c = a mk / a kk = a 21 / a 11 = 4/6 (**)

b 2 =b 2 –c b 1 = 6 – 4/614 = −20/6 (**) पासून

दुसऱ्या पंक्तीची पुनर्गणना करण्यासाठी नेस्टेड लूप V प्रविष्ट करत आहे

i = 1 (i 1 ते 3 पर्यंत); a 21 = a 21 – सह  a 11 = 4 – 4/6  6 = 0;

i = 2; a 22 = a 22 – सह  a 12 = 6 – 4/6  5 = 16/6;

i = 3; a 23 = a 23 – सह  a 13 = 2 – 4/6  8 = −20/6.

सायकल V मधून बाहेर पडणे आणि सायकल IV मध्ये प्रवेश करणे

मी= 3;c=a 31 /a 11 = 2/6.

लॉगिन करा ब्लॉक करा 16

b 3 =b 3 –c b 1 = 1 – 2/614 = −22/6.

चक्र IV मधून बाहेर पडणे आणि चक्र V मध्ये प्रवेश करणे आणि प्रवेश करणे ब्लॉक करा 17

i = 1 (i 1 ते 3 पर्यंत); a 31 = a 31 – सह  a 11 = 2 – 2/6  6 = 0;

i = 2; a 32 = a 32 – सह  a 12 = 1 – 2/6  5 = −4/6;

i = 3; a 33 = a 33 – सह  a 13 = −1 – 2/6  8 = −22/6.

रूपांतरित प्रणालीसह सायकल V मधून बाहेर पडा

;
; (***)

आणि लाइन एंट्री एसायकल I मध्ये

k = 2;p =k = 2;मी =k+1 = 3; साठी प्रवेशद्वार ब्लॉक करा 5

| a 22 | < |a 32 | = | 16/6 | > | 4/6 | (***) पासून.

सायकल II मधून बाहेर पडणे आणि सायकल III मध्ये प्रवेश करणे

j = 2 (j 2 ते 3 पर्यंत);

आर = a kj = a 22 = 16/6; a 22 = a 22 ; a 22 = आर= 16/6; (***) कडून

आर=a 23 = −20/6;a 23 =a 23 ;a 23 =आर= −20/6; (***) कडून

या प्रकरणात, कर्ण वर जास्तीत जास्त घटक आहे, म्हणून 2 रा आणि 3 रा पंक्तीचे स्वॅप केले जात नाही.

सायकल III मधून बाहेर पडणे आणि Ic मध्ये प्रवेश करणे ब्लॉक करा 11

आर=b 2 ;b 2 = b 2 ;b 2 =r = −20/6.

मोफत सदस्य b 2 ठिकाणी राहते.

सायकल IV मध्ये प्रवेश करणे

मी=k+1 = 2+1 = 3;

c = a mk / a kk = a 32 / a 22 = (–4/6) / (16/6); (***) कडून

b 3 =b 3 –c b 2 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6 पासून (***)

सायकल IV मधून बाहेर पडणे आणि सायकल V मध्ये प्रवेश करणे

i = 2 (i 2 ते 3 पर्यंत); a 32 = a 32 – सह  a 22 = −4/6 – (–1/4)  16/6 = 0;

i= 3;a 33 =a 33 –सहa 23 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6.

सायकल V मधून बाहेर पडा आणि सायकल I मधून बाहेर पडा.

रिव्हर्स गॉसियन पद्धत

IN अवरोध 1924 सूत्र (7) लागू केले आहेत.

IN ब्लॉक करा 19 शेवटच्या समीकरणावरून मूल्य आढळते x n (n= 3)

x 3 =b n / a nn =b 3 / a 33 = (–27/6) / (–27/6) = 1.

VI मध्ये प्रवेश करत आहे ( ब्लॉक करा 20), ज्यामध्ये लूप व्हेरिएबलचे मूल्य kपासून बदलते n-1 ते 1 पायऱ्यांमध्ये (-1)

ब्लॉक करा२१ सेकंद = ०

चक्र VII मध्ये प्रवेश करत आहे ( ब्लॉक करा 22)

i = k+1 = 2+1 = 3; n = 3; s = s + a ki  x i = 0 + a 23 x 3 = −20/6 1 = −20/6.

सायकल VII मधून बाहेर पडा ब्लॉक करा 24 प्रति सायकलVI:

k = 2; x 2 = (b k-s)/ a nn = (b 2 – s)/ a 22 = (–20/6 +20/6)/a 22 = 0.

k=k–1 = 2–1 = 1;

i = k + 1 = 2; s = 0 + a 12 x 2 = 5  0 = 0;

i = k + 1 = 3; s = 0 + a 13 x 3 = 8  1 = 8;

x 1 = (b 1 –से)/ a 11 = (14 – 8) / 6 = 1.

शेवटच्या चक्र VII मधून बाहेर पडा.

IN ब्लॉक करा 25 (सायकल वगळलेले) SLAE चे परिणामी समाधान - व्हेक्टर स्क्रीनवर प्रदर्शित केले जाते त्या x i ,i=1, ...,n. आमच्या बाबतीत (1; 0; 1).

या लेखात, पद्धत रेखीय समीकरणे (SLAE) सोडवण्याची पद्धत मानली जाते. पद्धत विश्लेषणात्मक आहे, म्हणजे, ती आपल्याला सामान्य स्वरूपात सोल्यूशन अल्गोरिदम लिहिण्याची आणि नंतर विशिष्ट उदाहरणांमधून मूल्ये बदलण्याची परवानगी देते. मॅट्रिक्स पद्धत किंवा क्रेमरच्या सूत्रांच्या विपरीत, गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना, ज्यांच्याकडे अनंत संख्येने समाधाने आहेत त्यांच्यासह देखील आपण कार्य करू शकता. किंवा त्यांच्याकडे ते अजिबात नाही.

गॉसियन पद्धतीचा वापर करून सोडवण्याचा अर्थ काय आहे?

प्रथम, आपल्याला आपली समीकरणांची प्रणाली असे दिसते मध्ये लिहायची आहे. सिस्टम घ्या:

गुणांक टेबलच्या स्वरूपात लिहिलेले आहेत आणि मुक्त अटी उजवीकडे वेगळ्या स्तंभात लिहिल्या आहेत. विनामूल्य अटींसह स्तंभ सोयीसाठी विभक्त केला आहे. या स्तंभाचा समावेश असलेल्या मॅट्रिक्सला विस्तारित म्हणतात.

पुढे, गुणांकांसह मुख्य मॅट्रिक्स वरच्या त्रिकोणी स्वरूपात कमी करणे आवश्यक आहे. गॉसियन पद्धतीचा वापर करून प्रणालीचे निराकरण करण्याचा हा मुख्य मुद्दा आहे. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, विशिष्ट हाताळणीनंतर, मॅट्रिक्स दिसले पाहिजे जेणेकरून त्याच्या खालच्या डाव्या भागात फक्त शून्य असतील:

नंतर, जर तुम्ही समीकरणांची प्रणाली म्हणून नवीन मॅट्रिक्स पुन्हा लिहिल्यास, तुमच्या लक्षात येईल की शेवटच्या पंक्तीमध्ये आधीपासून एका मुळाचे मूल्य आहे, जे नंतर वरील समीकरणात बदलले आहे, दुसरे मूळ सापडले आहे, आणि असेच.

हे सर्वात सामान्य शब्दात गॉसियन पद्धतीद्वारे समाधानाचे वर्णन आहे. अचानक सिस्टीमकडे उपाय नसेल तर काय होईल? किंवा त्यापैकी असंख्य आहेत? या आणि इतर अनेक प्रश्नांची उत्तरे देण्यासाठी, गॉसियन पद्धतीचे निराकरण करण्यासाठी वापरल्या जाणार्या सर्व घटकांचा स्वतंत्रपणे विचार करणे आवश्यक आहे.

मॅट्रिक्स, त्यांचे गुणधर्म

मॅट्रिक्समध्ये कोणताही लपलेला अर्थ नाही. त्यानंतरच्या ऑपरेशन्ससाठी डेटा रेकॉर्ड करण्याचा हा फक्त एक सोयीस्कर मार्ग आहे. शाळकरी मुलांनीही त्यांना घाबरण्याची गरज नाही.

मॅट्रिक्स नेहमी आयताकृती असते, कारण ते अधिक सोयीस्कर असते. अगदी गॉस पद्धतीत, जिथे सर्वकाही त्रिकोणी स्वरूपाचे मॅट्रिक्स तयार करण्यासाठी खाली येते, प्रविष्टीमध्ये एक आयत दिसतो, फक्त शून्यांसह जेथे संख्या नाहीत. शून्य लिहिले जाऊ शकत नाही, परंतु ते निहित आहेत.

मॅट्रिक्सचा आकार असतो. त्याची “रुंदी” ही पंक्तींची संख्या (m), “लांबी” ही स्तंभांची संख्या (n) आहे. मग मॅट्रिक्स A चा आकार (कॅपिटल लॅटिन अक्षरे सहसा ते दर्शविण्यासाठी वापरली जातात) A m×n म्हणून दर्शविली जाईल. जर m=n असेल, तर हा मॅट्रिक्स चौरस आहे आणि m=n हा त्याचा क्रम आहे. त्यानुसार, मॅट्रिक्स A चा कोणताही घटक त्याच्या पंक्ती आणि स्तंभ क्रमांकांद्वारे दर्शविला जाऊ शकतो: a xy ; x - पंक्ती क्रमांक, बदल, y - स्तंभ क्रमांक, बदल.

ब हा निर्णयाचा मुख्य मुद्दा नाही. तत्वतः, सर्व ऑपरेशन्स थेट समीकरणांसह केली जाऊ शकतात, परंतु नोटेशन अधिक अवजड असेल आणि त्यात गोंधळात पडणे खूप सोपे होईल.

निर्धारक

मॅट्रिक्समध्ये निर्धारक देखील असतो. हे एक अतिशय महत्वाचे वैशिष्ट्य आहे. आता त्याचा अर्थ शोधण्याची गरज नाही; आपण ते कसे मोजले जाते ते फक्त दर्शवू शकता आणि नंतर मॅट्रिक्सचे कोणते गुणधर्म निर्धारित करतात ते सांगा. निर्धारक शोधण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे कर्ण. मॅट्रिक्समध्ये काल्पनिक कर्ण काढले जातात; त्या प्रत्येकावर स्थित घटक गुणाकार केले जातात आणि नंतर परिणामी उत्पादने जोडली जातात: उजवीकडे उतारासह कर्ण - अधिक चिन्हासह, डावीकडे उतारासह - वजा चिन्हासह.

हे लक्षात घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे की निर्धारकाची गणना केवळ चौरस मॅट्रिक्ससाठी केली जाऊ शकते. आयताकृती मॅट्रिक्ससाठी, तुम्ही पुढील गोष्टी करू शकता: पंक्ती आणि स्तंभांच्या संख्येतून सर्वात लहान निवडा (ते k असू द्या), आणि नंतर मॅट्रिक्समध्ये k स्तंभ आणि k पंक्ती यादृच्छिकपणे चिन्हांकित करा. निवडलेल्या स्तंभ आणि पंक्तींच्या छेदनबिंदूवरील घटक नवीन चौरस मॅट्रिक्स तयार करतील. जर अशा मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य नसलेली संख्या असेल, तर त्याला मूळ आयताकृती मॅट्रिक्सचा आधार मायनर म्हणतात.

आपण गॉसियन पद्धतीचा वापर करून समीकरणांची प्रणाली सोडविण्यास प्रारंभ करण्यापूर्वी, निर्धारकाची गणना करण्यास त्रास होत नाही. जर ते शून्य झाले, तर आपण ताबडतोब असे म्हणू शकतो की मॅट्रिक्समध्ये एकतर अनंत संख्या आहे किंवा एकही नाही. अशा दुःखद परिस्थितीत, आपल्याला आणखी पुढे जाण्याची आणि मॅट्रिक्सच्या श्रेणीबद्दल शोधण्याची आवश्यकता आहे.

सिस्टम वर्गीकरण

मॅट्रिक्सची रँक अशी एक गोष्ट आहे. हा त्याच्या नॉन-झिरो निर्धारकाचा कमाल क्रम आहे (आम्ही बेस मायनरबद्दल लक्षात ठेवल्यास, आम्ही म्हणू शकतो की मॅट्रिक्सची रँक हा बेस मायनरचा क्रम आहे).

रँकसह परिस्थितीच्या आधारावर, SLAE ची विभागणी केली जाऊ शकते:

• संयुक्त. यूसंयुक्त प्रणालींमध्ये, मुख्य मॅट्रिक्सची रँक (केवळ गुणांक असलेले) विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकशी एकरूप होते (मुक्त अटींच्या स्तंभासह). अशा प्रणालींमध्ये एक उपाय आहे, परंतु एकच आवश्यक नाही, म्हणून, याव्यतिरिक्त, संयुक्त प्रणालींमध्ये विभागले गेले आहेत:
• - निश्चित- एकच उपाय असणे. काही प्रणालींमध्ये, मॅट्रिक्सची श्रेणी आणि अज्ञातांची संख्या (किंवा स्तंभांची संख्या, जी समान गोष्ट आहे) समान आहेत;
• - अपरिभाषित -असंख्य उपायांसह. अशा प्रणालींमधील मॅट्रिक्सची श्रेणी अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा कमी आहे.
• विसंगत. यूअशा प्रणालींमध्ये, मुख्य आणि विस्तारित मॅट्रिक्सची श्रेणी एकरूप होत नाही. विसंगत प्रणालींकडे कोणतेही उपाय नाहीत.

गॉस पद्धत चांगली आहे कारण सोल्यूशन दरम्यान ते एकतर सिस्टमच्या विसंगतीचा एक अस्पष्ट पुरावा (मोठ्या मॅट्रिक्सच्या निर्धारकांची गणना न करता) किंवा अनंत संख्येच्या सोल्यूशन्ससह सिस्टमसाठी सामान्य स्वरूपातील सोल्यूशन मिळवू देते.

प्राथमिक परिवर्तने

सिस्टमचे निराकरण करण्यासाठी थेट पुढे जाण्यापूर्वी, आपण गणनासाठी कमी अवजड आणि अधिक सोयीस्कर बनवू शकता. हे प्राथमिक परिवर्तनांद्वारे साध्य केले जाते - जसे की त्यांची अंमलबजावणी अंतिम उत्तर कोणत्याही प्रकारे बदलत नाही. हे लक्षात घेतले पाहिजे की दिलेली काही प्राथमिक परिवर्तने केवळ मॅट्रिक्ससाठी वैध आहेत, ज्याचा स्त्रोत SLAE होता. या परिवर्तनांची यादी येथे आहे:

1. ओळींची पुनर्रचना. साहजिकच, जर तुम्ही सिस्टीम रेकॉर्डमधील समीकरणांचा क्रम बदलला तर याचा कोणत्याही प्रकारे समाधानावर परिणाम होणार नाही. परिणामी, या प्रणालीच्या मॅट्रिक्समधील पंक्ती देखील अदलाबदल केल्या जाऊ शकतात, अर्थातच, विनामूल्य अटींचा स्तंभ विसरू नका.
2. स्ट्रिंगच्या सर्व घटकांचा एका विशिष्ट गुणांकाने गुणाकार करणे. अतिशय उपयुक्त! याचा वापर मॅट्रिक्समधील मोठी संख्या कमी करण्यासाठी किंवा शून्य काढण्यासाठी केला जाऊ शकतो. बरेच निर्णय, नेहमीप्रमाणे, बदलणार नाहीत, परंतु पुढील ऑपरेशन्स अधिक सोयीस्कर होतील. मुख्य गोष्ट अशी आहे की गुणांक शून्याच्या समान नाही.
3. आनुपातिक घटकांसह पंक्ती काढून टाकणे. हे अंशतः मागील परिच्छेदाचे अनुसरण करते. जर मॅट्रिक्समधील दोन किंवा अधिक पंक्तींमध्ये आनुपातिक गुणांक असतील, तर जेव्हा पंक्तींपैकी एक गुणाकार गुणांकाने गुणाकार/विभाजित केली जाते, तेव्हा दोन (किंवा, पुन्हा, अधिक) पूर्णपणे एकसारख्या पंक्ती प्राप्त होतात आणि अतिरिक्त काढल्या जाऊ शकतात. फक्त एक
4. एक शून्य ओळ काढत आहे. जर, परिवर्तनादरम्यान, कुठेतरी एक पंक्ती प्राप्त झाली ज्यामध्ये मुक्त पदासह सर्व घटक शून्य आहेत, तर अशा पंक्तीला शून्य म्हटले जाऊ शकते आणि मॅट्रिक्सच्या बाहेर फेकले जाऊ शकते.
5. एका पंक्तीच्या घटकांमध्ये दुसऱ्या ओळीतील घटक जोडणे (संबंधित स्तंभांमध्ये), विशिष्ट गुणांकाने गुणाकार केला जातो. सर्वात अस्पष्ट आणि सर्वात महत्वाचे परिवर्तन. त्यावर अधिक तपशीलवार विचार करणे योग्य आहे.

घटकाने गुणाकार केलेली स्ट्रिंग जोडणे

समजण्यास सुलभतेसाठी, ही प्रक्रिया चरण-दर-चरण खंडित करणे योग्य आहे. मॅट्रिक्समधून दोन पंक्ती घेतल्या आहेत:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

समजा तुम्हाला पहिल्याला दुसऱ्याला जोडण्याची गरज आहे, गुणांक "-2" ने गुणाकार केला आहे.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

मग मॅट्रिक्समधील दुसरी पंक्ती नवीनसह बदलली जाते आणि पहिली अपरिवर्तित राहते.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

हे नोंद घ्यावे की गुणाकार गुणांक अशा प्रकारे निवडला जाऊ शकतो की, दोन पंक्ती जोडण्याच्या परिणामी, नवीन पंक्तीतील एक घटक शून्याच्या बरोबरीचा असेल. म्हणून, अशा प्रणालीमध्ये एक समीकरण प्राप्त करणे शक्य आहे जेथे एक कमी अज्ञात असेल. आणि जर तुम्हाला अशी दोन समीकरणे मिळाली, तर ऑपरेशन पुन्हा केले जाऊ शकते आणि एक समीकरण मिळवा ज्यामध्ये दोन कमी अज्ञात असतील. आणि जर प्रत्येक वेळी तुम्ही मूळ ओळींच्या खाली असलेल्या सर्व पंक्तींचा एक गुणांक शून्यावर वळवला, तर तुम्ही, पायऱ्यांप्रमाणे, मॅट्रिक्सच्या अगदी तळाशी जाऊ शकता आणि एक अज्ञात असलेले समीकरण मिळवू शकता. याला गॉसियन पद्धतीचा वापर करून प्रणाली सोडवणे म्हणतात.

सामान्यतः

एक यंत्रणा असू द्या. त्यात m समीकरणे आणि n अज्ञात मुळे आहेत. आपण ते खालीलप्रमाणे लिहू शकता:

मुख्य मॅट्रिक्स सिस्टम गुणांकांमधून संकलित केले आहे. विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये विनामूल्य अटींचा एक स्तंभ जोडला जातो आणि सोयीसाठी, एका ओळीने विभक्त केला जातो.

• मॅट्रिक्सच्या पहिल्या पंक्तीचा गुणांक k = (-a 21 /a 11) ने गुणाकार केला आहे;
• पहिली सुधारित पंक्ती आणि मॅट्रिक्सची दुसरी पंक्ती जोडली आहे;
• दुसऱ्या पंक्तीऐवजी, मागील परिच्छेदातील जोडणीचा परिणाम मॅट्रिक्समध्ये घातला जातो;
• आता नवीन दुसऱ्या ओळीतील पहिला गुणांक 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 आहे.

आता परिवर्तनांची समान मालिका केली जाते, फक्त पहिली आणि तिसरी पंक्ती गुंतलेली आहेत. त्यानुसार, अल्गोरिदमच्या प्रत्येक टप्प्यावर, घटक 21 ची जागा 31 ने घेतली आहे. मग सर्वकाही 41, ... एक m1 साठी पुनरावृत्ती होते. परिणाम एक मॅट्रिक्स आहे जेथे पंक्तीमधील पहिला घटक शून्य आहे. आता तुम्हाला ओळ क्रमांक एक विसरून जाणे आवश्यक आहे आणि समान अल्गोरिदम करणे आवश्यक आहे, ओळ दोन पासून प्रारंभ करा:

• गुणांक k = (-a 32 /a 22);
• दुसरी सुधारित ओळ "वर्तमान" ओळीत जोडली आहे;
• जोडणीचा परिणाम तिसरा, चौथा आणि अशाच ओळींमध्ये बदलला जातो, तर पहिला आणि दुसरा अपरिवर्तित राहतो;
• मॅट्रिक्सच्या पंक्तींमध्ये पहिले दोन घटक आधीच शून्याच्या समान आहेत.

गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) दिसेपर्यंत अल्गोरिदमची पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ असा की शेवटच्या वेळी अल्गोरिदम कार्यान्वित केले गेले ते फक्त खालच्या समीकरणासाठी होते. आता मॅट्रिक्स त्रिकोणासारखा दिसतो, किंवा त्याचा आकार चरणबद्ध आहे. तळ ओळीत समानता a mn × x n = b m आहे. गुणांक आणि मुक्त संज्ञा ज्ञात आहेत, आणि मूळ त्यांच्याद्वारे व्यक्त केले जाते: x n = b m /a mn. x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 शोधण्यासाठी परिणामी मूळ शीर्ष ओळीत बदलले आहे. आणि असेच समानतेनुसार: प्रत्येक पुढील ओळीत एक नवीन रूट आहे आणि, सिस्टमच्या "शीर्ष" वर पोहोचल्यानंतर, आपण बरेच उपाय शोधू शकता. तो एकच असेल.

जेव्हा कोणतेही उपाय नसतात

जर मॅट्रिक्स पंक्तींपैकी एकामध्ये फ्री टर्म वगळता सर्व घटक शून्यासारखे असतील, तर या पंक्तीशी संबंधित समीकरण 0 = b असे दिसते. त्यावर उपाय नाही. आणि असे समीकरण सिस्टीममध्ये समाविष्ट केल्यामुळे, संपूर्ण सिस्टमच्या सोल्यूशन्सचा संच रिकामा आहे, म्हणजेच तो डिजनरेट आहे.

जेव्हा असंख्य उपाय असतात

असे होऊ शकते की दिलेल्या त्रिकोणी मॅट्रिक्समध्ये समीकरणाचा एक गुणांक घटक आणि एक मुक्त पद असलेल्या कोणत्याही पंक्ती नाहीत. फक्त अशा ओळी आहेत ज्या पुन्हा लिहिल्यावर, दोन किंवा अधिक चल असलेल्या समीकरणासारख्या दिसतील. याचा अर्थ असा की सिस्टममध्ये अनंत संख्येने उपाय आहेत. या प्रकरणात, उत्तर सामान्य समाधानाच्या स्वरूपात दिले जाऊ शकते. ते कसे करायचे?

मॅट्रिक्समधील सर्व चल मूलभूत आणि विनामूल्य विभागले गेले आहेत. स्टेप मॅट्रिक्समधील पंक्तींच्या "काठावर" उभ्या असलेल्या मूलभूत आहेत. बाकीचे मुक्त आहेत. सामान्य सोल्यूशनमध्ये, मूलभूत चल विनामूल्य द्वारे लिहिली जातात.

सोयीसाठी, मॅट्रिक्स प्रथम समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये पुन्हा लिहिला जातो. मग त्यापैकी शेवटच्या भागात, जिथे फक्त एक मूलभूत चल शिल्लक आहे, ते एका बाजूला राहते आणि बाकीचे सर्व काही दुसरीकडे हस्तांतरित केले जाते. हे एक मूलभूत चल असलेल्या प्रत्येक समीकरणासाठी केले जाते. नंतर, उर्वरित समीकरणांमध्ये, शक्य असेल तेथे, मूलभूत चल ऐवजी त्याच्यासाठी प्राप्त केलेली अभिव्यक्ती बदलली जाते. जर परिणाम पुन्हा फक्त एक मूलभूत व्हेरिएबल असलेली अभिव्यक्ती असेल, तर ते तिथून पुन्हा व्यक्त केले जाईल आणि असेच, जोपर्यंत प्रत्येक मूलभूत चल मुक्त व्हेरिएबल्ससह अभिव्यक्ती म्हणून लिहिले जात नाही. हे SLAE चे सामान्य उपाय आहे.

आपण सिस्टमचे मूळ समाधान देखील शोधू शकता - विनामूल्य व्हेरिएबल्सना कोणतीही मूल्ये द्या आणि नंतर या विशिष्ट प्रकरणात मूलभूत चलांच्या मूल्यांची गणना करा. विशिष्ट उपायांची अनंत संख्या दिली जाऊ शकते.

विशिष्ट उदाहरणांसह उपाय

येथे समीकरणांची एक प्रणाली आहे.

सोयीसाठी, त्याचे मॅट्रिक्स त्वरित तयार करणे चांगले आहे

हे ज्ञात आहे की गॉसियन पद्धतीद्वारे सोडविल्यास, पहिल्या पंक्तीशी संबंधित समीकरण परिवर्तनांच्या शेवटी अपरिवर्तित राहील. म्हणून, मॅट्रिक्सचा वरचा डावा घटक सर्वात लहान असल्यास ते अधिक फायदेशीर ठरेल - नंतर ऑपरेशन्सनंतर उर्वरित पंक्तींचे पहिले घटक शून्यावर वळतील. याचा अर्थ संकलित मॅट्रिक्समध्ये पहिल्या ओळीच्या जागी दुसरी पंक्ती ठेवणे फायदेशीर ठरेल.

दुसरी ओळ: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

तिसरी ओळ: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

आता, गोंधळात पडू नये म्हणून, तुम्हाला ट्रान्सफॉर्मेशन्सच्या इंटरमीडिएट परिणामांसह मॅट्रिक्स लिहिण्याची आवश्यकता आहे.

अर्थात, असे मॅट्रिक्स विशिष्ट ऑपरेशन्स वापरून आकलनासाठी अधिक सोयीस्कर केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही प्रत्येक घटकाला “-1” ने गुणाकार करून दुसऱ्या ओळीतील सर्व “वजा” काढू शकता.

हे देखील लक्षात घेण्यासारखे आहे की तिसऱ्या ओळीत सर्व घटक तीनचे गुणाकार आहेत. मग तुम्ही या संख्येने स्ट्रिंग लहान करू शकता, प्रत्येक घटकाला "-1/3" ने गुणाकार करू शकता (वजा - त्याच वेळी, नकारात्मक मूल्ये काढण्यासाठी).

जास्त छान दिसते. आता आपल्याला पहिली ओळ एकट्याने सोडून दुसरी आणि तिसरी सह कार्य करण्याची आवश्यकता आहे. तिसऱ्या ओळीत दुसरी ओळ जोडणे हे कार्य आहे, अशा गुणांकाने गुणाकार केला की 32 हा घटक शून्य होतो.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (काही परिवर्तनांदरम्यान उत्तर पूर्णांक न निघाल्यास, सोडण्याच्या गणनेची अचूकता राखण्याची शिफारस केली जाते. ते "जसे आहे तसे", सामान्य अपूर्णांकांच्या रूपात, आणि त्यानंतरच, उत्तरे मिळाल्यावर, गोल करायचे आणि रेकॉर्डिंगच्या दुसऱ्या स्वरूपात रूपांतरित करायचे की नाही हे ठरवा)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

मॅट्रिक्स पुन्हा नवीन मूल्यांसह लिहिलेले आहे.

जसे आपण पाहू शकता, परिणामी मॅट्रिक्समध्ये आधीपासूनच एक चरणबद्ध फॉर्म आहे. म्हणून, गॉसियन पद्धतीचा वापर करून प्रणालीचे पुढील परिवर्तन आवश्यक नाही. तुम्ही येथे काय करू शकता ते म्हणजे तिसऱ्या ओळीतून "-1/7" एकूण गुणांक काढून टाकणे.

आता सर्व काही सुंदर आहे. फक्त समीकरणांच्या प्रणालीच्या स्वरूपात मॅट्रिक्स पुन्हा लिहिणे आणि मुळांची गणना करणे बाकी आहे.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

ज्या अल्गोरिदमद्वारे आता मुळे सापडतील त्याला गॉसियन पद्धतीमध्ये रिव्हर्स मूव्ह म्हणतात. समीकरण (3) मध्ये z मूल्य आहे:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

आणि पहिले समीकरण आपल्याला x शोधण्याची परवानगी देते:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

आम्ही अशा प्रणाली संयुक्त कॉल करण्याचा अधिकार आहे, आणि अगदी निश्चित, म्हणजे, एक अद्वितीय उपाय असणे. उत्तर खालील फॉर्ममध्ये लिहिले आहे:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

अनिश्चित प्रणालीचे उदाहरण

गॉस पद्धतीचा वापर करून एखाद्या विशिष्ट प्रणालीचे निराकरण करण्याच्या प्रकाराचे विश्लेषण केले गेले आहे; आता जर प्रणाली अनिश्चित असेल तर त्या प्रकरणाचा विचार करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच, त्यासाठी अमर्यादपणे अनेक उपाय शोधले जाऊ शकतात.

x १ + x २ + x ३ + x ४ + x ५ = ७ (१)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टमचे स्वरूप आधीच चिंताजनक आहे, कारण अज्ञातांची संख्या n = 5 आहे, आणि सिस्टम मॅट्रिक्सची रँक आधीच या संख्येपेक्षा अगदी कमी आहे, कारण पंक्तींची संख्या m = 4 आहे, म्हणजे, निर्धारक-चौरसाचा सर्वात मोठा क्रम 4 आहे. याचा अर्थ असा की तेथे असंख्य उपाय आहेत आणि आपल्याला त्याचे सामान्य स्वरूप शोधण्याची आवश्यकता आहे. रेखीय समीकरणांसाठी गॉस पद्धत आपल्याला हे करण्यास अनुमती देते.

प्रथम, नेहमीप्रमाणे, विस्तारित मॅट्रिक्स संकलित केले आहे.

दुसरी ओळ: गुणांक k = (-a 21 /a 11) = -3. तिसऱ्या ओळीत, पहिला घटक परिवर्तनाच्या आधी आहे, त्यामुळे तुम्हाला कशालाही स्पर्श करण्याची गरज नाही, तुम्हाला ते जसे आहे तसे सोडावे लागेल. चौथी ओळ: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

पहिल्या पंक्तीच्या घटकांना त्यांच्या प्रत्येक गुणांकाने गुणाकार करून आणि त्यांना आवश्यक पंक्तींमध्ये जोडून, ​​आम्हाला खालील फॉर्मचे मॅट्रिक्स मिळते:

तुम्ही बघू शकता, दुसऱ्या, तिसऱ्या आणि चौथ्या पंक्तीमध्ये एकमेकांच्या प्रमाणात घटक असतात. दुसरी आणि चौथी साधारणपणे सारखीच असतात, त्यामुळे त्यातील एक लगेच काढून टाकता येते आणि उरलेल्याला "-1" गुणांकाने गुणाकार करून ओळ क्रमांक 3 मिळवता येतो. आणि पुन्हा, दोन समान रेषांपैकी एक सोडा.

परिणाम असा मॅट्रिक्स आहे. सिस्टीम अद्याप लिहून ठेवलेली नसली तरी, येथे मूलभूत चल निश्चित करणे आवश्यक आहे - जे गुणांक 11 = 1 आणि 22 = 1 वर उभे आहेत आणि मुक्त आहेत - बाकीचे सर्व.

दुस-या समीकरणात फक्त एक मूलभूत चल आहे - x 2. याचा अर्थ ते तेथून x 3 , x 4 , x 5 या व्हेरिएबल्सद्वारे लिहून व्यक्त केले जाऊ शकते, जे विनामूल्य आहेत.

आम्ही परिणामी अभिव्यक्ती पहिल्या समीकरणात बदलतो.

परिणाम एक समीकरण आहे ज्यामध्ये फक्त मूलभूत चल x 1 आहे. चला x 2 प्रमाणेच करू.

सर्व मूलभूत व्हेरिएबल्स, ज्यापैकी दोन आहेत, तीन मुक्तांच्या संदर्भात व्यक्त केले जातात; आता आपण सामान्य स्वरूपात उत्तर लिहू शकतो.

आपण सिस्टमच्या विशिष्ट उपायांपैकी एक देखील निर्दिष्ट करू शकता. अशा प्रकरणांसाठी, शून्य सामान्यतः फ्री व्हेरिएबल्ससाठी मूल्ये म्हणून निवडले जातात. मग उत्तर असेल:

16, 23, 0, 0, 0.

असहकार प्रणालीचे उदाहरण

गॉस पद्धतीचा वापर करून समीकरणांची विसंगत प्रणाली सोडवणे सर्वात जलद आहे. कोणत्याही टप्प्यावर समाधान नसलेले समीकरण प्राप्त होताच ते लगेच संपते. म्हणजेच, मुळांची गणना करण्याचा टप्पा, जो बराच लांब आणि कंटाळवाणा आहे, काढून टाकला जातो. खालील प्रणाली मानली जाते:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

नेहमीप्रमाणे, मॅट्रिक्स संकलित केले आहे:

आणि ते चरणबद्ध स्वरूपात कमी केले आहे:

k 1 = -2k 2 = -4

पहिल्या परिवर्तनानंतर, तिसऱ्या ओळीत फॉर्मचे समीकरण असते

उपाय न करता. परिणामी, प्रणाली विसंगत आहे, आणि उत्तर रिक्त संच असेल.

पद्धतीचे फायदे आणि तोटे

पेनने कागदावर SLAE सोडवायची कोणती पद्धत निवडल्यास, या लेखात चर्चा केलेली पद्धत सर्वात आकर्षक दिसते. जर तुम्हाला निर्धारक किंवा काही अवघड व्युत्क्रम मॅट्रिक्स मॅन्युअली शोधावे लागतील त्यापेक्षा प्राथमिक परिवर्तनांमध्ये गोंधळून जाणे अधिक कठीण आहे. तथापि, जर आपण या प्रकारच्या डेटासह कार्य करण्यासाठी प्रोग्राम वापरत असाल, उदाहरणार्थ, स्प्रेडशीट, तर असे दिसून येते की अशा प्रोग्राममध्ये मॅट्रिक्सच्या मुख्य पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी आधीच अल्गोरिदम आहेत - निर्धारक, अल्पवयीन, व्यस्त इ. आणि जर तुम्हाला खात्री असेल की मशीन या मूल्यांची स्वतः गणना करेल आणि चुका करणार नाही, तर मॅट्रिक्स पद्धत किंवा क्रेमरची सूत्रे वापरणे अधिक उचित आहे, कारण त्यांचा अनुप्रयोग निर्धारक आणि व्यस्त मॅट्रिक्सच्या गणनेने सुरू होतो आणि समाप्त होतो. .

अर्ज

गॉसियन सोल्यूशन हे अल्गोरिदम असल्याने आणि मॅट्रिक्स हा एक द्विमितीय ॲरे असल्याने, ते प्रोग्रामिंगमध्ये वापरले जाऊ शकते. परंतु लेख स्वतःला "डमीजसाठी" मार्गदर्शक म्हणून स्थान देत असल्याने, असे म्हटले पाहिजे की स्प्रेडशीट्समध्ये पद्धत ठेवण्याचे सर्वात सोपे ठिकाण आहे, उदाहरणार्थ, एक्सेल. पुन्हा, मेट्रिक्सच्या स्वरूपात टेबलमध्ये प्रवेश केलेला कोणताही SLAE एक्सेलद्वारे द्वि-आयामी ॲरे म्हणून विचारात घेतला जाईल. आणि त्यांच्यासह ऑपरेशन्ससाठी अनेक छान आज्ञा आहेत: बेरीज (आपण फक्त समान आकाराचे मॅट्रिक्स जोडू शकता!), संख्येने गुणाकार, मॅट्रिक्सचा गुणाकार (काही निर्बंधांसह), व्यस्त आणि ट्रान्सपोज केलेले मॅट्रिक्स शोधणे आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे , निर्धारकाची गणना करत आहे. जर हे वेळ घेणारे कार्य एका आदेशाने बदलले असेल तर, मॅट्रिक्सची श्रेणी अधिक द्रुतपणे निर्धारित करणे शक्य आहे आणि म्हणूनच, त्याची सुसंगतता किंवा विसंगतता स्थापित करणे शक्य आहे.

तर, गॉस पद्धत रेखीय समीकरणांच्या कोणत्याही प्रणालीला लागू आहे, ती तीनपेक्षा जास्त रेखीय समीकरणे असलेल्या प्रणाली सोडवण्यासाठी आदर्श आहे. केलेल्या ऑपरेशन्सच्या साधेपणामुळे आणि एकसमानतेमुळे, संख्यात्मक गुणांकांसह SLAE सोडवण्यासाठी गॉस पद्धत इलेक्ट्रॉनिक संगणकांवर गणना करण्यासाठी योग्य आहे.

पद्धतीचे फायदे:

अ) इतर पद्धतींच्या तुलनेत कमी श्रम-केंद्रित;

ब)सिस्टम सुसंगत आहे की नाही हे निःसंदिग्धपणे निर्धारित करण्यास आपल्याला अनुमती देते आणि ती सुसंगत असल्यास, त्याचे निराकरण शोधा;

c) तुम्हाला रेखीय स्वतंत्र समीकरणांची कमाल संख्या शोधण्याची परवानगी देते - सिस्टम मॅट्रिक्सची श्रेणी.

या पद्धतीचा एक महत्त्वपूर्ण तोटा म्हणजे गुणांक आणि मुक्त अटींच्या मूल्यांवर अवलंबून सिस्टमच्या सुसंगतता आणि निश्चिततेसाठी परिस्थिती तयार करण्यात अक्षमता. दुसरीकडे, विशिष्ट प्रणालीच्या बाबतीतही, ही पद्धत एखाद्याला त्याच्या गुणांक आणि मुक्त अटींद्वारे प्रणालीचे समाधान व्यक्त करणारे सामान्य सूत्र शोधण्याची परवानगी देत ​​नाही, जे सैद्धांतिक अभ्यासासाठी आवश्यक आहेत.

SLAE च्या विश्लेषणात्मक सोल्यूशन व्यतिरिक्त, गॉसियन पद्धत देखील यासाठी वापरली जाते:

अ) दिलेल्या मॅट्रिक्सला व्यस्त शोधणे (मूळ आकाराच्या समान आकाराचे एक युनिट मॅट्रिक्स उजवीकडील मॅट्रिक्सला नियुक्त केले आहे: , त्यानंतर ते गॉस-जॉर्डन पद्धतीचा वापर करून युनिट मॅट्रिक्सच्या रूपात कमी केले जाते. ; परिणामी, उजवीकडे मूळ एकक मॅट्रिक्सच्या जागी मूळ एकाच्या मॅट्रिक्सचा व्यस्त आहे :) ;

ब) मॅट्रिक्सची रँक निश्चित करणे (क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयच्या परिणामानुसार, मॅट्रिक्सची श्रेणी त्याच्या मुख्य चलांच्या संख्येइतकी आहे);

c) संगणक तंत्रज्ञानातील SLAE चे संख्यात्मक समाधान (गणनेतील त्रुटीमुळे, मुख्य घटकाच्या निवडीसह गॉस पद्धत वापरली जाते, ज्याचा सार प्रत्येक टप्प्यावर मुख्य व्हेरिएबल म्हणून निवडणे आहे, ज्यामध्ये उरलेल्या पंक्ती आणि स्तंभ हटवल्यानंतर, कमाल मॉड्यूलस गुणांक आहे).

रेषीय समीकरणांच्या प्रणालींचे निराकरण आणि अभ्यास करण्याच्या इतर पद्धती आहेत ज्यांचे लक्षात घेतलेले तोटे नाहीत. या पद्धती मॅट्रिक्स आणि निर्धारकांच्या सिद्धांतावर आधारित आहेत.

संयोजनशास्त्र.

अल्मास, बोलात, साबीर ही तीन मुले एकाच रांगेत किती प्रकारे उभी राहू शकतात? - हे अवघड नाही, चला सर्व संभाव्य प्रकरणे (संयोजन) लिहू: ABS, ASB, BAS, BSA, SAB, SBA. एकूण सहा संयोजन आहेत.

समजा दुसरा मुलगा डॉरेन त्यांच्यात सामील झाला. या प्रकरणात व्यवस्था करण्याच्या पद्धती काय असतील? सहा संभाव्य प्रकरणांमध्ये, डॉरेन पहिला, दुसरा, तिसरा आणि शेवटचा असू शकतो:

DABS, DASB, DBAS, DBSA, DSAB, DSBA;
ADBS, ADSB, BDAS, BDSA, SDAB, SDBA;
ABDS, ASDB, BADS, BSDA, SADB, SBDA;
ABSD, ASBD, BASD, BSAD, SABD, SBAD.

एकूण २४ वेगवेगळे मार्ग आहेत. मुलांची संख्या वाढवली तर? प्रत्येक वेळी एकूण संख्या लिहिणे आणि दाखवणे कठीण आहे. आपल्याला मार्गांची संख्या परिभाषित करणे आवश्यक आहे, मार्गांचे प्रकार नव्हे. ही संख्या निश्चित करण्यासाठी इतर पद्धती आहेत का? - खा. आणि संभाव्यता सिद्धांतामध्ये आपल्याला व्यवस्थेच्या प्रकारांपेक्षा व्यवस्था करण्याच्या पद्धतींच्या संख्येत अधिक रस असतो. कॉम्बिनेटरिक्स नावाची गणिताची शाखा अशा मार्गांची संख्या त्वरित निश्चित करणे शक्य करते. संभाव्यता सिद्धांतातील समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या संयोजनशास्त्राच्या मूलभूत संकल्पनांशी परिचित होऊ या. हे क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट आणि संयोजन आहेत. चला प्रत्येकाला स्वतंत्रपणे पाहू या.

1. पुनर्रचना. मागील समस्येतील प्रकरणांची संख्या विचारात घ्या. आम्ही अक्षरे A, B, C ची पुनर्रचना केली आणि संभाव्य संयोगांची संख्या मोजली, ती 6 होती. आणि जेव्हा मुलांची संख्या एकने वाढली, A, B, C, D अक्षरांची पुनर्रचना केली, तेव्हा आम्हाला संभाव्य संयोगांची संख्या आढळली, ते 24 होते.

व्याख्या. n भिन्न घटकांचे क्रमपरिवर्तन हे एक संयोजन आहे ज्यामध्ये n घटक असतात आणि केवळ त्यांच्या व्यवस्थेच्या क्रमाने एकमेकांपासून भिन्न असतात.

n भिन्न घटकांच्या क्रमपरिवर्तनांची संख्या P n द्वारे दर्शविली जाते आणि सूत्र वापरून गणना केली जाते:

येथे n! ("en factorial" वाचा) म्हणजे 1 ते n पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांचे गुणाकार:

हे स्पष्ट आहे की एक गुणांक एक बरोबर आहे, 1! = 1, त्याच वेळी, गणितामध्ये सामान्यतः हे मान्य केले जाते की शून्य गुणांक एक समान आहे. आणि म्हणून 0! = 1.

चला उदाहरणाकडे परत जाऊया. येथे n = 3. म्हणून, तुम्ही सूत्र (1): P 3 =3!=1 2 3=6 वापरून क्रमपरिवर्तनांची आवश्यक संख्या शोधू शकता. त्याचप्रमाणे, चार अक्षरांच्या क्रमपरिवर्तनांची संख्या आहे: P 4 =4!=1 2 3 4=24

उदाहरण 7. गुणांकन 8!/6 सह अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया! 2!

प्रथम आपण 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6 रूपांतरित करतो! ७ ८

चला या परिवर्तनाला अभिव्यक्तीमध्ये बदलू आणि ते सोपे करू. ८!/६! 2=6! ७ ८/६! २=७ ८/२=२८

2. प्लेसमेंट. एक उदाहरण पाहू. 7, 8, 9 या संख्यांचा वापर करून किती दोन-अंकी संख्या (अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही) लिहिता येते. हे दोन टप्प्यात केले जाऊ शकते: पहिल्या टप्प्यात संख्येच्या दहा स्थानांच्या निवडीची संख्या निर्धारित करणे आहे. 3 च्या बरोबरीचे (या 3 अंकांपैकी कोणताही दहापट जागा व्यापू शकतो); दुसरा टप्पा म्हणजे संख्येच्या युनिट अंकांच्या निवडीची संख्या निर्धारित करणे, ते 2 च्या बरोबरीचे आहे (उर्वरित दोनपैकी कोणताही अंक युनिट अंक व्यापू शकतो). गुणाकार नियमानुसार, तीन संख्यांमधून तुम्ही एकूण 3 2 = 6 भिन्न दोन-अंकी संख्या बनवू शकता. खरंच, तुम्ही हे 78, 79, 87, 89, 97, 98 क्रमांक थेट लिहून हे सत्यापित करू शकता. समस्या सोडवताना, आम्ही तीन घटकांपैकी दोन घटकांची मांडणी केली आणि हे संयोजन एकतर रचना (78, 98) मध्ये भिन्न आहेत किंवा त्यांच्या व्यवस्थेच्या क्रमाने (78, 87).

व्याख्या. m घटकांद्वारे n घटकांची मांडणी (m n) म्हणजे दिलेल्या n भिन्न घटकांमधून घेतलेल्या m घटकांचा समावेश असलेले संयोजन, एकतर घटकांमध्ये किंवा त्यांच्या व्यवस्थेच्या क्रमाने एकमेकांपासून भिन्न असतात.

m घटकांद्वारे n घटकांच्या प्लेसमेंटची संख्या खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते आणि वाचली जाते: "ए ते en पर्यंत." शोधण्यासाठी सूत्र वापरा:

(15)

आणखी एक उदाहरण पाहू. 5 व्या वर्गात ते 10 विषयांचा अभ्यास करतात. त्या दिवशी 4 वेगवेगळे धडे असल्यास वेळापत्रक किती प्रकारे बनवता येईल?

प्रत्येकी चार वस्तूंच्या 10 वस्तूंची मांडणी करण्याच्या पद्धती शोधण्यासाठी, प्रत्येकी 4 वस्तूंच्या 10 वस्तूंच्या मांडणीची संख्या शोधण्यासाठी आम्ही सूत्र (15) वापरतो:

तर, 4 वस्तूंच्या 10 वस्तू 5040 वेगवेगळ्या प्रकारे मांडल्या जाऊ शकतात.

3. संयोजन. उदाहरण. तुम्हाला दिलेल्या तीन क्रमांक 7, 8, 9 पासून दोन भिन्न संख्यांची उत्पादने बनवायची आहेत.

गुणाकाराची कम्युटेटिव्ह प्रॉपर्टी विचारात घेतल्यास, आपल्याकडे आहे: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. समस्येचे निराकरण करताना, आम्ही तीनपैकी दोन घटक निवडले आणि हे संयोजन केवळ रचना (78, 98) मध्ये भिन्न आहेत आणि त्यांची स्थाने उत्पादनावर परिणाम करत नाहीत.

व्याख्या. m घटकांच्या n घटकांचे संयोजन (m n) म्हणजे दिलेल्या n भिन्न घटकांमधून घेतलेल्या m घटकांचा समावेश असलेले संयोजन, केवळ रचनांमध्ये एकमेकांपासून भिन्न असतात.

m घटकांद्वारे n घटकांच्या संयोजनांची संख्या खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते आणि वाचली जाते: "tse पासून en पर्यंत." शोधण्यासाठी सूत्र वापरा:

(16)

आमच्या उदाहरणात, n=3 आणि m=2. मग

आणखी एक उदाहरण पाहू. वर्गात 25 विद्यार्थी आहेत, त्यापैकी 12 मुले आहेत. अ) दोन लोकांची कर्तव्ये तयार करणे आवश्यक आहे आणि जोड्या मुले किंवा मुली असाव्यात. b) कर्तव्यासाठी दोन मुले आणि एक मुलगी असे किती गट तयार केले जाऊ शकतात?

उपाय. अ) ही समस्या सोडवताना, आम्ही जोड नियम आणि संयोजन सूत्र वापरू. प्रथम, मुले (m 1) आणि मुली (m 2) पासून किती जोड्या तयार केल्या जाऊ शकतात ते मोजू, नंतर त्यांची बेरीज (m=m 1 +m 2) शोधा.

12 मुलांपासून किती जोड्या तयार केल्या जाऊ शकतात हे निर्धारित करण्यासाठी, आम्ही 2 घटकांच्या 12 घटकांच्या संयोगांची संख्या मोजण्यासाठी सूत्र वापरू.

तुम्ही मुलींच्या 78 वेगवेगळ्या जोड्या तयार करू शकता. त्यानंतर, दोन मुले आणि दोन मुली, एकूण m=66+78=144 वेगवेगळ्या जोड्या तयार करता येतील.

b) ही समस्या सोडवताना, आपण गुणाकार नियम आणि संयोजन सूत्र वापरू. गटात दोन मुले आणि एक मुलगी आहे. प्रथम, आपण 12 मुलांमधून (m 1) दोन मुले आणि 13 मुलींमधून एक मुलगी (m 2) किती मार्गांनी निवडू शकतो ते मोजू, त्यानंतर मिळालेल्या निकालांचा (m=m 1 m 2) गुणाकार करू.
12 मुलांपैकी 2 मुले 66 वेगवेगळ्या प्रकारे निवडली जाऊ शकतात. आणि 13 मुलींपैकी 1 मुलगी खालीलप्रमाणे निवडली जाऊ शकते:

मग दोन मुले आणि एका मुलीचा गट m=66 13=856 विविध प्रकारे तयार केला जाऊ शकतो.

मॅट्रिक्सची व्याख्या. दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ऑर्डरचे निर्धारक, त्यांचे मूळ गुणधर्म. अज्ञान आणि बीजगणित जोडणे, एका ओळीत (स्तंभ) निर्धारकाचा विस्तार. निर्धारकांची गणना करण्याच्या पद्धती. nव्या क्रम निर्धारकाची संकल्पना.

व्याख्या 1.1. मॅट्रिक्ससंख्यांची आयताकृती सारणी म्हणतात.

पदनाम: A – मॅट्रिक्स, - मॅट्रिक्स घटक, हा घटक ज्या पंक्तीमध्ये आहे त्याची संख्या, संबंधित स्तंभाची संख्या; m ही मॅट्रिक्सच्या पंक्तींची संख्या आहे, n ही त्याच्या स्तंभांची संख्या आहे.

व्याख्या 1.2. m आणि n या अंकांना म्हणतात परिमाणेमॅट्रिक्स

व्याख्या 1.3.मॅट्रिक्स म्हणतात चौरस, जर m = n. या प्रकरणात n क्रमांक म्हणतात क्रमानेचौरस मॅट्रिक्स.

प्रत्येक चौरस मॅट्रिक्स एका संख्येशी संबंधित असू शकतो जो मॅट्रिक्सच्या सर्व घटकांचा वापर करून अद्वितीयपणे निर्धारित केला जातो. या संख्येला निर्धारक म्हणतात.

व्याख्या 1.4 . दुसरा क्रम निर्धारकखालीलप्रमाणे द्वितीय क्रम वर्ग मॅट्रिक्सच्या घटकांचा वापर करून प्राप्त केलेली संख्या आहे:

.

या प्रकरणात, मॅट्रिक्सच्या तथाकथित मुख्य कर्णावर स्थित घटकांच्या उत्पादनातून (वरच्या डावीकडून खालच्या उजव्या कोपर्यात जाणे), दुसऱ्या किंवा दुय्यम, कर्णावर असलेल्या घटकांचे उत्पादन वजा केले जाते. .

1. 2.

व्याख्या 1.5. तिसरा क्रम निर्धारकखालीलप्रमाणे 3ऱ्या क्रमाच्या स्क्वेअर मॅट्रिक्सच्या घटकांचा वापर करून निर्धारित केलेली संख्या आहे:

A`, म्हणतात हस्तांतरितमॅट्रिक्सच्या सापेक्ष ए, ज्याचे घटक घटकांशी जोडलेले आहेत एप्रमाण a` ij = a ji .

आज आपण रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी गॉस पद्धत पाहत आहोत. क्रेमर पद्धत वापरून समान SLAE सोडवण्यासाठी समर्पित असलेल्या मागील लेखात या प्रणाली काय आहेत याबद्दल आपण वाचू शकता. गॉस पद्धतीला कोणत्याही विशिष्ट ज्ञानाची आवश्यकता नाही, आपल्याला फक्त लक्ष आणि सुसंगतता आवश्यक आहे. गणिताच्या दृष्टिकोनातून, शालेय प्रशिक्षण ते लागू करण्यासाठी पुरेसे आहे हे असूनही, विद्यार्थ्यांना या पद्धतीमध्ये प्रभुत्व मिळवणे अनेकदा कठीण जाते. या लेखात आम्ही त्यांना कमी करण्याचा प्रयत्न करू!

गॉस पद्धत

एम गॉसियन पद्धत- SLAE सोडवण्याची सर्वात सार्वत्रिक पद्धत (खूप मोठ्या प्रणालींचा अपवाद वगळता). आधी चर्चा केल्याच्या विपरीत, हे केवळ एकच सोल्यूशन असलेल्या सिस्टमसाठीच नाही तर अनंत संख्येने सोल्यूशन असलेल्या सिस्टमसाठी देखील योग्य आहे. येथे तीन संभाव्य पर्याय आहेत.

1. सिस्टममध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे (सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा नाही);
2. प्रणालीमध्ये असंख्य उपाय आहेत;
3. कोणतेही उपाय नाहीत, प्रणाली विसंगत आहे.

म्हणून आमच्याकडे एक प्रणाली आहे (त्याला एक उपाय असू द्या) आणि आम्ही ते गॉसियन पद्धती वापरून सोडवणार आहोत. हे कसे कार्य करते?

गॉस पद्धतीमध्ये दोन टप्पे असतात - पुढे आणि व्यस्त.

गॉसियन पद्धतीचा थेट स्ट्रोक

प्रथम, सिस्टमचे विस्तारित मॅट्रिक्स लिहू. हे करण्यासाठी, मुख्य मॅट्रिक्समध्ये विनामूल्य सदस्यांचा एक स्तंभ जोडा.

गॉस पद्धतीचे संपूर्ण सार हे मॅट्रिक्सला पायरीबद्ध (किंवा ते म्हणतात त्याप्रमाणे त्रिकोणी) रूपात प्राथमिक परिवर्तनाद्वारे आणणे आहे. या फॉर्ममध्ये, मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णाच्या खाली (किंवा वर) फक्त शून्य असावे.

तुम्ही काय करू शकता:

1. आपण मॅट्रिक्सच्या पंक्तींची पुनर्रचना करू शकता;
2. मॅट्रिक्समध्ये समान (किंवा आनुपातिक) पंक्ती असल्यास, आपण त्यापैकी एक वगळता सर्व काढू शकता;
3. तुम्ही स्ट्रिंगला कोणत्याही संख्येने (शून्य वगळता) गुणाकार किंवा भागू शकता;
4. शून्य पंक्ती काढल्या जातात;
5. तुम्ही स्ट्रिंगमध्ये शून्याव्यतिरिक्त इतर संख्येने गुणाकार केलेली स्ट्रिंग जोडू शकता.

रिव्हर्स गॉसियन पद्धत

आम्ही अशा प्रकारे प्रणाली परिवर्तन केल्यानंतर, एक अज्ञात Xn ज्ञात होते, आणि तुम्ही उर्वरित सर्व अज्ञातांना उलट क्रमाने शोधू शकता, आधीपासून ज्ञात असलेल्या x ला सिस्टीमच्या समीकरणांमध्ये बदलून, पहिल्यापर्यंत.

जेव्हा इंटरनेट नेहमी हातात असते, तेव्हा तुम्ही गॉसियन पद्धतीचा वापर करून समीकरणांची प्रणाली सोडवू शकता ऑनलाइन.तुम्हाला फक्त ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरमध्ये गुणांक प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे. परंतु आपण हे कबूल केले पाहिजे की उदाहरण संगणक प्रोग्रामद्वारे नाही तर आपल्या स्वतःच्या मेंदूद्वारे सोडवले गेले आहे हे समजणे अधिक आनंददायी आहे.

गॉस पद्धत वापरून समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचे उदाहरण

आणि आता - एक उदाहरण जेणेकरून सर्वकाही स्पष्ट आणि समजण्यायोग्य होईल. रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली देऊ द्या आणि तुम्हाला गॉस पद्धत वापरून ते सोडवावे लागेल:

प्रथम आम्ही विस्तारित मॅट्रिक्स लिहू:

आता परिवर्तन करूया. आम्ही लक्षात ठेवतो की आम्हाला मॅट्रिक्सचे त्रिकोणी स्वरूप प्राप्त करणे आवश्यक आहे. 1ली ओळ (3) ने गुणाकार करू. 2री ओळ (-1) ने गुणाकार करा. 1 ला 2री ओळ जोडा आणि मिळवा:

नंतर तिसरी ओळ (-1) ने गुणा. चला 2ऱ्याला 3री ओळ जोडू.

पहिली ओळ (6) ने गुणाकार करू. 2री ओळ (13) ने गुणाकार करू. 1 ला दुसरी ओळ जोडू.

व्होइला - सिस्टम योग्य स्वरूपात आणले आहे. अज्ञात शोधणे बाकी आहे:

या उदाहरणातील प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे. आम्ही एका वेगळ्या लेखात अनंत संख्येच्या सोल्यूशन्ससह सिस्टम सोडविण्याचा विचार करू. मॅट्रिक्सचे रूपांतर कोठून सुरू करावे हे कदाचित तुम्हाला प्रथम कळणार नाही, परंतु योग्य सराव केल्यानंतर तुम्हाला ते हँग होईल आणि नट सारख्या गॉशियन पद्धतीचा वापर करून SLAEs क्रॅक कराल. आणि जर तुम्हाला अचानक असा SLA आढळला जो क्रॅक करणे खूप कठीण आहे, तर आमच्या लेखकांशी संपर्क साधा! तुम्ही पत्रव्यवहार कार्यालयात विनंती सोडून देऊ शकता. एकत्रितपणे आम्ही कोणतीही समस्या सोडवू!

गॉस पद्धतरेखीय बीजगणितीय समीकरण (SLAEs) च्या प्रणाली सोडवण्यासाठी योग्य. इतर पद्धतींच्या तुलनेत त्याचे अनेक फायदे आहेत:

• प्रथम, सुसंगततेसाठी प्रथम समीकरणांची प्रणाली तपासण्याची आवश्यकता नाही;
• दुसरे म्हणजे, गॉस पद्धत केवळ SLAE सोडवू शकत नाही ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञात व्हेरिएबल्सच्या संख्येशी जुळते आणि सिस्टमचा मुख्य मॅट्रिक्स नॉन-एकवचनी असतो, तर समीकरणांच्या प्रणाली देखील ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या एकरूप होत नाही. अज्ञात चलांची संख्या किंवा मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा आहे;
• तिसरे म्हणजे, गॉसियन पद्धती तुलनेने कमी संख्येने संगणकीय ऑपरेशन्ससह परिणाम देते.

लेखाचे संक्षिप्त विहंगावलोकन.

प्रथम, आम्ही आवश्यक व्याख्या देतो आणि नोटेशन सादर करतो.

पुढे, आम्ही सर्वात सोप्या केससाठी गॉस पद्धतीच्या अल्गोरिदमचे वर्णन करू, म्हणजेच, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालींसाठी, समीकरणांची संख्या ज्यामध्ये अज्ञात चलांच्या संख्येशी जुळते आणि सिस्टमच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक आहे. शून्य समान नाही. समीकरणांच्या अशा प्रणाली सोडवताना, गॉस पद्धतीचे सार सर्वात स्पष्टपणे दृश्यमान आहे, जे अज्ञात चलांचे अनुक्रमिक निर्मूलन आहे. म्हणून, गॉसियन पद्धतीला अज्ञातांच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाची पद्धत देखील म्हणतात. आम्ही अनेक उदाहरणांचे तपशीलवार उपाय दर्शवू.

शेवटी, आम्ही रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालींच्या गॉस पद्धतीद्वारे समाधानाचा विचार करू, ज्याचे मुख्य मॅट्रिक्स एकतर आयताकृती किंवा एकवचन आहे. अशा प्रणालींच्या सोल्युशनमध्ये काही वैशिष्ट्ये आहेत, ज्याचे आम्ही उदाहरणे वापरून तपशीलवार परीक्षण करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

मूलभूत व्याख्या आणि नोटेशन्स.

n अज्ञात असलेल्या p रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचा विचार करा (p n च्या बरोबरीचे असू शकते):

अज्ञात चल कुठे आहेत, संख्या आहेत (वास्तविक किंवा जटिल) आणि मुक्त संज्ञा आहेत.

तर , नंतर रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली म्हणतात एकसंध, अन्यथा - विषम.

अज्ञात चलांच्या मूल्यांचा संच ज्यासाठी प्रणालीची सर्व समीकरणे ओळख बनतात. SLAU चा निर्णय.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीवर किमान एक उपाय असल्यास, त्याला म्हणतात संयुक्त, अन्यथा - संयुक्त नसलेले.

जर SLAE कडे अनन्य उपाय असेल तर त्याला म्हणतात निश्चित. जर एकापेक्षा जास्त उपाय असतील तर सिस्टमला कॉल केले जाते अनिश्चित.

ते म्हणतात की सिस्टममध्ये लिहिलेले आहे समन्वय फॉर्म, फॉर्म असल्यास
.

ही प्रणाली मध्ये मॅट्रिक्स फॉर्मरेकॉर्डमध्ये फॉर्म असतो, कुठे - SLAE चे मुख्य मॅट्रिक्स, - अज्ञात चलांच्या स्तंभाचे मॅट्रिक्स, - मुक्त संज्ञांचे मॅट्रिक्स.

जर आपण मॅट्रिक्स A मध्ये (n+1)वा स्तंभ म्हणून विनामूल्य संज्ञांचा मॅट्रिक्स-स्तंभ जोडला तर आपल्याला तथाकथित मिळेल विस्तारित मॅट्रिक्सरेखीय समीकरणांची प्रणाली. सामान्यतः, एक विस्तारित मॅट्रिक्स अक्षर T द्वारे दर्शविले जाते आणि मुक्त पदांचा स्तंभ उर्वरित स्तंभांपासून अनुलंब रेषेने विभक्त केला जातो, म्हणजे,

चौरस मॅट्रिक्स A म्हणतात क्षीण होणे, जर त्याचा निर्धारक शून्य असेल. जर असेल तर मॅट्रिक्स A म्हणतात नॉन-डिजनरेट.

खालील मुद्दा लक्षात घ्यायला हवा.

जर तुम्ही रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीसह खालील क्रिया केल्या

• दोन समीकरणे अदलाबदल करा,
• कोणत्याही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना अनियंत्रित आणि शून्य नसलेल्या वास्तविक (किंवा जटिल) संख्या k ने गुणाकार करा,
• कोणत्याही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना दुसऱ्या समीकरणाचे संबंधित भाग जोडा, एका अनियंत्रित संख्येने k ने गुणाकार केला,

मग तुम्हाला एक समतुल्य प्रणाली मिळेल ज्यात समान उपाय आहेत (किंवा, मूळ प्रमाणेच, कोणतेही उपाय नाहीत).

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या विस्तारित मॅट्रिक्ससाठी, या क्रियांचा अर्थ पंक्तीसह प्राथमिक परिवर्तने पार पाडणे असा होईल:

• दोन ओळींची अदलाबदल करणे,
• मॅट्रिक्स T च्या कोणत्याही पंक्तीच्या सर्व घटकांचा शून्य शून्य संख्या k ने गुणाकार करणे,
• मॅट्रिक्सच्या कोणत्याही पंक्तीच्या घटकांमध्ये दुसऱ्या पंक्तीचे संबंधित घटक जोडणे, अनियंत्रित संख्या k ने गुणाकार करणे.

आता आपण गॉस पद्धतीच्या वर्णनाकडे जाऊ शकतो.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची निराकरण करणारी प्रणाली, ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येइतकी असते आणि प्रणालीचा मुख्य मॅट्रिक्स गैर-एकवचनी असतो, गॉस पद्धत वापरून.

जर आम्हाला समीकरणांच्या प्रणालीवर उपाय शोधण्याचे काम दिले गेले तर आम्ही शाळेत काय करू? .

काही जण असे करतील.

लक्षात घ्या की पहिल्याची डावी बाजू दुसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या बाजूला आणि उजवी बाजू उजवीकडे जोडून, ​​तुम्ही x 2 आणि x 3 या अज्ञात चलांपासून मुक्त होऊ शकता आणि लगेच x 1 शोधू शकता:

आम्ही सिस्टीमच्या पहिल्या आणि तिसऱ्या समीकरणांमध्ये सापडलेले मूल्य x 1 =1 बदलतो:

जर आपण प्रणालीच्या तिसऱ्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -1 ने गुणाकार केला आणि त्यांना पहिल्या समीकरणाच्या संबंधित भागांमध्ये जोडले तर आपण अज्ञात चल x 3 पासून मुक्त होऊ आणि x 2 शोधू शकतो:

आम्ही परिणामी मूल्य x 2 = 2 तिसऱ्या समीकरणामध्ये बदलतो आणि उर्वरित अज्ञात चल x 3 शोधतो:

इतरांनी वेगळे केले असते.

अज्ञात व्हेरिएबल x 1 च्या संदर्भात सिस्टीमचे पहिले समीकरण सोडवू आणि या व्हेरिएबलला वगळण्यासाठी सिस्टीमच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणांमध्ये परिणामी अभिव्यक्ती बदलू:

आता x 2 साठी सिस्टीमचे दुसरे समीकरण सोडवू आणि त्यातून अज्ञात व्हेरिएबल x 2 काढून टाकण्यासाठी तिसऱ्या समीकरणामध्ये मिळालेल्या निकालाची जागा घेऊ:

प्रणालीच्या तिसऱ्या समीकरणावरून हे स्पष्ट होते की x 3 =3. दुस-या समीकरणावरून आपल्याला आढळते , आणि पहिल्या समीकरणातून आपल्याला मिळते.

परिचित उपाय, बरोबर?

येथे सर्वात मनोरंजक गोष्ट अशी आहे की दुसरी उपाय पद्धत अनिवार्यपणे अज्ञातांच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाची पद्धत आहे, म्हणजेच गॉसियन पद्धत. जेव्हा आम्ही अज्ञात व्हेरिएबल्स (प्रथम x 1, पुढच्या टप्प्यावर x 2) व्यक्त केले आणि त्यांना सिस्टमच्या उर्वरित समीकरणांमध्ये बदलले, तेव्हा आम्ही त्यांना वगळले. शेवटच्या समीकरणामध्ये फक्त एक अज्ञात चल शिल्लक राहिल्याशिवाय आम्ही निर्मूलन केले. अनुक्रमे अज्ञात काढून टाकण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात थेट गॉसियन पद्धत. पुढे चाल पूर्ण केल्यानंतर, आम्हाला शेवटच्या समीकरणात सापडलेल्या अज्ञात चलची गणना करण्याची संधी आहे. त्याच्या मदतीने, उपांत्य समीकरणातून पुढील अज्ञात चल शोधतो, आणि असेच. शेवटच्या समीकरणापासून पहिल्या समीकरणाकडे जाताना अनुक्रमे अज्ञात चल शोधण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात. गॉसियन पद्धतीचा उलटा.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की जेव्हा आपण पहिल्या समीकरणात x 2 आणि x 3 च्या संदर्भात x 1 व्यक्त करतो आणि नंतर परिणामी अभिव्यक्ती दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणामध्ये बदलतो, तेव्हा पुढील क्रिया समान परिणामाकडे नेतात:

खरंच, अशा प्रक्रियेमुळे सिस्टमच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणांमधून अज्ञात व्हेरिएबल x 1 काढून टाकणे देखील शक्य होते:

जेव्हा सिस्टमच्या समीकरणांमध्ये काही चल नसतात तेव्हा गॉसियन पद्धतीचा वापर करून अज्ञात चलांच्या निर्मूलनासह बारकावे उद्भवतात.

उदाहरणार्थ, SLAU मध्ये पहिल्या समीकरणात कोणतेही अज्ञात चल x 1 नाही (दुसऱ्या शब्दात, त्याच्या समोरचा गुणांक शून्य आहे). म्हणून, उर्वरित समीकरणांमधून हे अज्ञात चल काढून टाकण्यासाठी आपण x 1 साठी प्रणालीचे पहिले समीकरण सोडवू शकत नाही. या परिस्थितीतून बाहेर पडण्याचा मार्ग म्हणजे व्यवस्थेची समीकरणे बदलणे. आपण रेखीय समीकरणांच्या प्रणालींचा विचार करत असल्यामुळे ज्यांचे मुख्य मॅट्रिक्सचे निर्धारक शून्यापेक्षा भिन्न आहेत, तेथे नेहमीच एक समीकरण असते ज्यामध्ये आपल्याला आवश्यक असलेले चल असते आणि आपण या समीकरणाची आपल्याला आवश्यक असलेल्या स्थितीत पुनर्रचना करू शकतो. आमच्या उदाहरणासाठी, सिस्टमचे पहिले आणि दुसरे समीकरण बदलणे पुरेसे आहे , नंतर तुम्ही x 1 साठी पहिले समीकरण सोडवू शकता आणि सिस्टमच्या उर्वरित समीकरणांमधून ते वगळू शकता (जरी x 1 यापुढे दुसऱ्या समीकरणात उपस्थित नाही).

आम्हाला आशा आहे की तुम्हाला सारांश मिळेल.

चला वर्णन करूया गॉसियन पद्धत अल्गोरिदम.

समजा आपल्याला n रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली n अज्ञात चलांसह सोडवायची आहे. , आणि त्याच्या मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा असू द्या.

आम्ही असे गृहीत धरू की, प्रणालीच्या समीकरणांची पुनर्रचना करून आपण हे नेहमी साध्य करू शकतो. दुसऱ्यापासून सुरुवात करून प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून अज्ञात चल x 1 काढून टाकू. हे करण्यासाठी, प्रणालीच्या दुस-या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, ने गुणाकार केला, तिसऱ्या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, ने गुणाकार केला आणि असेच, nव्या समीकरणामध्ये आपण प्रथम जोडतो, गुणाकार केला. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे आणि .

जर आपण प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणामध्ये इतर अज्ञात चलांच्या संदर्भात x 1 व्यक्त केला असेल आणि परिणामी अभिव्यक्ती इतर सर्व समीकरणांमध्ये बदलली असेल तर आपण त्याच निकालावर पोहोचलो असतो. अशा प्रकारे, व्हेरिएबल x 1 सर्व समीकरणांमधून वगळले जाते, दुसऱ्यापासून सुरू होते.

पुढे, आम्ही त्याच प्रकारे पुढे जाऊ, परंतु केवळ परिणामी प्रणालीच्या भागासह, जे आकृतीमध्ये चिन्हांकित केले आहे.

हे करण्यासाठी, सिस्टीमच्या तिसऱ्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, गुणाकार केला, चौथ्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, ने गुणाकार केला आणि असेच, nव्या समीकरणात आपण दुसरे जोडतो, गुणाकार केले. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे आणि . अशा प्रकारे, व्हेरिएबल x 2 हे सर्व समीकरणांमधून वगळले आहे, तिसऱ्यापासून सुरू होते.

पुढे, आम्ही अज्ञात x 3 काढून टाकण्यास पुढे जाऊ, तर आम्ही आकृतीमध्ये चिन्हांकित केलेल्या सिस्टमच्या भागासह समान कार्य करतो.

म्हणून आम्ही गॉसियन पद्धतीची थेट प्रगती चालू ठेवतो जोपर्यंत सिस्टम फॉर्म घेत नाही

या क्षणापासून आपण गॉसियन पद्धतीच्या उलट सुरू करतो: आपण x n ची शेवटच्या समीकरणातून गणना करतो, x n चे प्राप्त मूल्य वापरून आपल्याला उपान्त्य समीकरणातून x n-1 सापडतो आणि त्याचप्रमाणे, आपल्याला पहिल्या समीकरणातून x 1 सापडतो. .

उदाहरण वापरून अल्गोरिदम पाहू.

उदाहरण.

गॉस पद्धत.

उपाय.

गुणांक 11 हा शून्य नसलेला आहे, म्हणून आपण गॉसियन पद्धतीच्या थेट प्रगतीकडे जाऊ या, म्हणजे, प्रथम वगळता प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून अज्ञात व्हेरिएबल x 1 वगळण्यासाठी. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या, तिसऱ्या आणि चौथ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना, पहिल्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू, अनुक्रमे , ने गुणाकार करा. आणि:

अज्ञात व्हेरिएबल x 1 काढून टाकले गेले आहे, चला x 2 काढून टाकण्यासाठी पुढे जाऊया. प्रणालीच्या तिसऱ्या आणि चौथ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना आपण अनुक्रमे गुणाकार करून दुसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू जोडतो. आणि :

गॉसियन पद्धतीची पुढील प्रगती पूर्ण करण्यासाठी, आपल्याला प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणातून अज्ञात चल x 3 काढून टाकणे आवश्यक आहे. चौथ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना अनुक्रमे, तिसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंनी गुणाकार करू. :

आपण गॉसियन पद्धतीच्या उलट सुरू करू शकता.

शेवटच्या समीकरणापासून आपल्याकडे आहे ,
तिसऱ्या समीकरणातून आपल्याला मिळते,
दुसऱ्या पासून,
पहिल्या पासून.

तपासण्यासाठी, तुम्ही अज्ञात व्हेरिएबल्सची प्राप्त केलेली मूल्ये समीकरणांच्या मूळ प्रणालीमध्ये बदलू शकता. सर्व समीकरणे ओळखींमध्ये बदलतात, जे सूचित करते की गॉस पद्धत वापरून समाधान योग्यरित्या सापडले आहे.

उत्तर:

आता मॅट्रिक्स नोटेशनमध्ये गॉसियन पद्धत वापरून त्याच उदाहरणावर उपाय देऊ.

उदाहरण.

समीकरण प्रणालीचे निराकरण शोधा गॉस पद्धत.

उपाय.

सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये फॉर्म आहे . प्रत्येक स्तंभाच्या शीर्षस्थानी मॅट्रिक्सच्या घटकांशी संबंधित अज्ञात चल असतात.

गॉसियन पद्धतीच्या थेट दृष्टिकोनामध्ये प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून प्रणालीचा विस्तारित मॅट्रिक्स ट्रॅपेझॉइडल स्वरूपात कमी करणे समाविष्ट आहे. ही प्रक्रिया अज्ञात व्हेरिएबल्सच्या निर्मूलन सारखीच आहे जी आम्ही सिस्टमसह समन्वय स्वरूपात केली. आता तुम्हाला हे दिसेल.

चला मॅट्रिक्सचे रूपांतर करू या जेणेकरून पहिल्या स्तंभातील सर्व घटक, दुसऱ्यापासून सुरू होणारे, शून्य होतील. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या, तिसऱ्या आणि चौथ्या ओळींच्या घटकांमध्ये आम्ही पहिल्या ओळीचे संबंधित घटक जोडतो, ज्याने गुणाकार करतो, आणि त्यानुसार:

पुढे, आम्ही परिणामी मॅट्रिक्सचे रूपांतर करतो जेणेकरून दुसऱ्या स्तंभातील सर्व घटक, तिसऱ्यापासून सुरू होणारे, शून्य होतात. हे अज्ञात व्हेरिएबल x 2 काढून टाकण्याशी संबंधित असेल. हे करण्यासाठी, तिसऱ्या आणि चौथ्या पंक्तीच्या घटकांमध्ये आम्ही मॅट्रिक्सच्या पहिल्या पंक्तीचे संबंधित घटक जोडतो, अनुक्रमे गुणाकार आणि :

प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणातून अज्ञात व्हेरिएबल x 3 वगळणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, परिणामी मॅट्रिक्सच्या शेवटच्या पंक्तीच्या घटकांमध्ये आम्ही उपान्त्य पंक्तीचे संबंधित घटक जोडतो, गुणाकार :

हे नोंद घ्यावे की हे मॅट्रिक्स रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीशी संबंधित आहे

जे पुढे पुढे गेल्यानंतर प्राप्त झाले होते.

माघारी फिरण्याची वेळ आली आहे. मॅट्रिक्स नोटेशनमध्ये, गॉसियन पद्धतीच्या व्युत्क्रमामध्ये परिणामी मॅट्रिक्सचे रूपांतर करणे समाविष्ट आहे जसे की आकृतीमध्ये चिन्हांकित मॅट्रिक्स

कर्ण बनले, म्हणजे फॉर्म घेतले

काही संख्या कुठे आहेत.

हे परिवर्तन गॉसियन पद्धतीच्या फॉरवर्ड ट्रान्सफॉर्मेशनसारखेच आहेत, परंतु ते पहिल्या ओळीपासून शेवटच्या ओळीपर्यंत केले जात नाहीत, परंतु शेवटच्या ओळीपासून पहिल्यापर्यंत केले जातात.

तिसऱ्या, दुसऱ्या आणि पहिल्या ओळीच्या घटकांमध्ये शेवटच्या ओळीचे संबंधित घटक जोडा, गुणाकार , पुन: पुन्हा अनुक्रमे:

आता दुसऱ्या आणि पहिल्या ओळीच्या घटकांमध्ये तिसऱ्या ओळीचे संबंधित घटक जोडा, अनुक्रमे आणि ने गुणाकार:

रिव्हर्स गॉसियन पद्धतीच्या शेवटच्या टप्प्यावर, पहिल्या पंक्तीच्या घटकांमध्ये आम्ही दुसऱ्या पंक्तीचे संबंधित घटक जोडतो, ज्याने गुणाकार केला:

परिणामी मॅट्रिक्स समीकरणांच्या प्रणालीशी संबंधित आहे , जिथून आपल्याला अज्ञात चल सापडतात.

उत्तर:

टीप.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी गॉस पद्धत वापरताना, अंदाजे गणना टाळली पाहिजे, कारण यामुळे पूर्णपणे चुकीचे परिणाम होऊ शकतात. आम्ही दशांश गोलाकार न करण्याची शिफारस करतो. दशांश अपूर्णांकांपासून सामान्य अपूर्णांकांकडे जाणे चांगले.

उदाहरण.

गॉस पद्धत वापरून तीन समीकरणांची प्रणाली सोडवा .

उपाय.

लक्षात घ्या की या उदाहरणात अज्ञात व्हेरिएबल्सचे नाव वेगळे आहे (x 1, x 2, x 3 नाही तर x, y, z). चला सामान्य अपूर्णांकांकडे जाऊया:

प्रणालीच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून अज्ञात x वगळू या:

परिणामी प्रणालीमध्ये, अज्ञात व्हेरिएबल y दुसऱ्या समीकरणात अनुपस्थित आहे, परंतु y तिसऱ्या समीकरणामध्ये उपस्थित आहे, म्हणून, दुसरी आणि तिसरी समीकरणे स्वॅप करू:

हे गॉस पद्धतीची थेट प्रगती पूर्ण करते (तिसऱ्या समीकरणातून y वगळण्याची गरज नाही, कारण हे अज्ञात चल आता अस्तित्वात नाही).

चला उलट चाल सुरू करूया.

शेवटच्या समीकरणावरून आपण शोधतो ,
उपांत्य पासून


आमच्याकडे असलेल्या पहिल्या समीकरणापासून

उत्तर:

X = 10, y = 5, z = -20.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांचे निराकरण करणारी प्रणाली ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येशी एकरूप होत नाही किंवा प्रणालीचा मुख्य मॅट्रिक्स एकवचनी आहे, गॉस पद्धत वापरून.

समीकरणांच्या प्रणाली, ज्याचा मुख्य मॅट्रिक्स आयताकृती किंवा चौरस एकवचनी आहे, त्याला कोणतेही उपाय नसू शकतात, एकच सोल्यूशन असू शकते किंवा अनंत संख्येत सोल्यूशन असू शकतात.

आता आपण समजू की गॉस पद्धत आपल्याला रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीची सुसंगतता किंवा विसंगती कशी स्थापित करू देते आणि त्याच्या सुसंगततेच्या बाबतीत, सर्व उपाय (किंवा एकच उपाय) निर्धारित करू.

तत्त्वतः, अशा SLAE च्या बाबतीत अज्ञात चल काढून टाकण्याची प्रक्रिया समान राहते. तथापि, उद्भवू शकणाऱ्या काही परिस्थितींबद्दल तपशीलवार जाणे योग्य आहे.

चला सर्वात महत्वाच्या टप्प्यावर जाऊया.

तर, गॉस पद्धतीची पुढे प्रगती पूर्ण केल्यानंतर रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली फॉर्म घेते असे गृहीत धरू. आणि एकही समीकरण कमी केले गेले नाही (या प्रकरणात आम्ही असा निष्कर्ष काढू की सिस्टम विसंगत आहे). एक तार्किक प्रश्न उद्भवतो: "पुढे काय करावे"?

परिणामी प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमध्ये प्रथम येणारे अज्ञात चल लिहू:

आमच्या उदाहरणात हे x 1, x 4 आणि x 5 आहेत. सिस्टीमच्या समीकरणांच्या डाव्या बाजूला आम्ही फक्त त्या अटी सोडतो ज्यात x 1, x 4 आणि x 5 लिखित अज्ञात चल असतात, उर्वरित संज्ञा विरुद्ध चिन्हासह समीकरणांच्या उजव्या बाजूला हस्तांतरित केल्या जातात:

समीकरणांच्या अनियंत्रित मूल्यांच्या उजव्या बाजूला असलेले अज्ञात चल देऊ. - अनियंत्रित संख्या:

यानंतर, आमच्या SLAE च्या सर्व समीकरणांच्या उजव्या बाजूला संख्या असतात आणि आम्ही गॉसियन पद्धतीच्या उलट दिशेने जाऊ शकतो.

आपल्याकडे असलेल्या प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणावरून, आपल्याला सापडलेल्या उपान्त्य समीकरणावरून, पहिल्या समीकरणातून आपल्याला मिळते

समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण म्हणजे अज्ञात चलांच्या मूल्यांचा संच

क्रमांक देणे भिन्न मूल्ये, आम्ही समीकरण प्रणालीवर भिन्न निराकरणे प्राप्त करू. म्हणजेच, आपल्या समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये अमर्यादपणे अनेक निराकरणे आहेत.

उत्तर:

कुठे - अनियंत्रित संख्या.

सामग्री एकत्रित करण्यासाठी, आम्ही आणखी काही उदाहरणांच्या निराकरणाचे तपशीलवार विश्लेषण करू.

उदाहरण.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एकसंध प्रणाली सोडवा गॉस पद्धत.

उपाय.

प्रणालीच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून अज्ञात चल x वगळू. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना, आम्ही अनुक्रमे, पहिल्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू, ने गुणाकार करतो आणि तिसऱ्या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना, डावी आणि उजवीकडे जोडतो. पहिल्या समीकरणाच्या उजव्या बाजूंनी गुणाकार:

आता समीकरणांच्या परिणामी प्रणालीच्या तिसऱ्या समीकरणातून y वगळू:

परिणामी SLAE प्रणालीच्या समतुल्य आहे .

आम्ही प्रणाली समीकरणांच्या डाव्या बाजूला फक्त अज्ञात चल असलेल्या x आणि y असलेल्या संज्ञा सोडतो आणि अज्ञात व्हेरिएबल z असलेल्या संज्ञा उजव्या बाजूला हलवतो: