Nehomogenní rovnice 2. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Tento článek se zabývá problémem řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty. Teorie bude diskutována spolu s příklady daných problémů. Pro dešifrování nejasných pojmů je nutné odkázat na téma o základních definicích a pojmech teorie diferenciálních rovnic.

Uvažujme lineární diferenciální rovnici (LDE) druhého řádu s konstantními koeficienty tvaru y "" + p · y " + q · y = f (x), kde p a q jsou libovolná čísla a existující funkce f (x) je spojitý na integračním intervalu x.

Přejděme k formulaci věty pro obecné řešení LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obecná věta o řešení pro LDNU

Věta 1

Obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice ve tvaru y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + nacházející se na intervalu x. . . + f 0 (x) · y = f (x) se spojitými integračními koeficienty na x intervalu f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) a spojitá funkce f (x) je rovna součtu obecného řešení y 0, což odpovídá LOD a nějakému partikulárnímu řešení y ~, kde původní nehomogenní rovnice je y = y 0 + y ~.

To ukazuje, že řešení takové rovnice druhého řádu má tvar y = y 0 + y ~ . Algoritmus pro nalezení y 0 je diskutován v článku o lineárních homogenních diferenciálních rovnicích druhého řádu s konstantními koeficienty. Poté bychom měli přistoupit k definici y ~.

Volba konkrétního řešení LPDE závisí na typu dostupné funkce f (x) umístěné na pravé straně rovnice. K tomu je nutné samostatně uvažovat řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty.

Když f (x) považujeme za polynom n-tého stupně f (x) = P n (x), vyplývá z toho, že konkrétní řešení LPDE je nalezeno pomocí vzorce ve tvaru y ~ = Q n (x ) x γ, kde Q n ( x) je polynom stupně n, r je počet nulových kořenů charakteristické rovnice. Hodnota y ~ je konkrétní řešení y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x), pak dostupné koeficienty, které jsou definovány polynomem
Q n (x), zjistíme pomocí metody neurčitých koeficientů z rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Příklad 1

Vypočítejte pomocí Cauchyho věty y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Řešení

Jinými slovy, je nutné přejít ke konkrétnímu řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty y "" - 2 y " = x 2 + 1, které bude splňovat dané podmínky y (0) = 2, y" (0) = 14.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice je součtem obecného řešení, které odpovídá rovnici y 0 nebo partikulárnímu řešení nehomogenní rovnice y ~, tedy y = y 0 + y ~.

Nejprve najdeme obecné řešení pro LNDU a poté konkrétní.

Pojďme k nalezení y 0. Zapsání charakteristické rovnice vám pomůže najít kořeny. Chápeme to

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Zjistili jsme, že kořeny jsou jiné a skutečné. Proto zapišme

yo = C1e0x + C2e2x = C1 + C2e2x.

Pojďme najít y ~. Je vidět, že pravá strana dané rovnice je polynom druhého stupně, pak je jeden z kořenů roven nule. Z toho dostaneme, že konkrétní řešení pro y ~ bude

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kde hodnoty A, B, C nabývají neurčitých koeficientů.

Najdeme je z rovnosti tvaru y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Pak dostaneme, že:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Přirovnáním koeficientů se stejnými exponenty x získáme soustavu lineárních výrazů - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Při řešení některou z metod najdeme koeficienty a zapíšeme: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 a y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Toto zadání se nazývá obecné řešení původní lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Pro nalezení konkrétního řešení, které splňuje podmínky y (0) = 2, y "(0) = 1 4, je nutné určit hodnoty C 1 A C 2, na základě rovnosti tvaru y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Dostáváme to:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Pracujeme s výslednou soustavou rovnic tvaru C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplikováním Cauchyho věty to máme

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Odpovědět: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Když je funkce f (x) reprezentována jako součin polynomu se stupněm n a exponentem f (x) = P n (x) · e a x , pak dostaneme, že konkrétní řešení LPDE druhého řádu bude rovnice tvaru y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, kde Q n (x) je polynom n-tého stupně a r je počet kořenů charakteristické rovnice rovný α.

Koeficienty náležející Q n (x) jsou nalezeny pomocí rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Příklad 2

Najděte obecné řešení diferenciální rovnice ve tvaru y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Řešení

Obecná rovnice je y = y 0 + y ~ . Naznačená rovnice odpovídá LOD y "" - 2 y " = 0. Z předchozího příkladu je vidět, že její kořeny jsou stejné ki = 0 a k2 = 2 ayo = C1 + C2e2x podle charakteristické rovnice.

Je vidět, že pravá strana rovnice je x 2 + 1 · e x . Odtud se LPDE nachází přes y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kde Q n (x) je polynom druhého stupně, kde α = 1 a r = 0, protože charakteristická rovnice ne mít kořen rovný 1. Odtud to máme

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C jsou neznámé koeficienty, které lze nalézt pomocí rovnosti y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Mám to

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Ukazatele srovnáme se stejnými koeficienty a získáme systém lineárních rovnic. Odtud najdeme A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Odpovědět: je jasné, že y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 je konkrétní řešení LNDDE a y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - obecné řešení pro nehomogenní dif rovnici druhého řádu.

Když je funkce zapsána jako f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x a A 1 A V 1 jsou čísla, pak se za částečné řešení LPDE považuje rovnice ve tvaru y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kde A a B jsou považovány za neurčené koeficienty a r je počet komplexně konjugované kořeny vztažené k charakteristické rovnici, rovné ± i β . V tomto případě se hledání koeficientů provádí pomocí rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Příklad 3

Najděte obecné řešení diferenciální rovnice ve tvaru y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Řešení

Před napsáním charakteristické rovnice zjistíme y 0. Pak

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Máme pár komplexně konjugovaných kořenů. Pojďme se transformovat a získat:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Za kořeny charakteristické rovnice se považuje konjugovaný pár ± 2 i, pak f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). To ukazuje, že hledání y ~ bude provedeno z y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Neznámé Koeficienty A a B budeme hledat z rovnosti tvaru y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Pojďme převést:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Pak je to jasné

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Je nutné dát rovnítko mezi koeficienty sinus a kosinus. Dostaneme systém formuláře:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Z toho vyplývá, že y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Odpovědět: je uvažováno obecné řešení původní LDDE druhého řádu s konstantními koeficienty

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Když f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), pak y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Máme, že r je počet komplexně konjugovaných párů kořenů vztažených k charakteristické rovnici, rovný α ± i β, kde P n (x), Q k (x), L m (x) a Nm(x) jsou polynomy stupně n, k, m, m, kde m = m a x (n, k). Nalézací koeficienty Lm(x) A Nm(x) je vytvořena na základě rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Příklad 4

Najděte obecné řešení y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Řešení

Podle stavu je to jasné

α = 3, β = 5, Pn (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Pak m = m a x (n, k) = 1. Najdeme y 0 tak, že nejprve napíšeme charakteristickou rovnici ve tvaru:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Zjistili jsme, že kořeny jsou skutečné a odlišné. Proto yo = C1ex + C2e2x. Dále je třeba hledat obecné řešení založené na nehomogenní rovnici y ~ tvaru

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hřích (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hřích (5 x))

Je známo, že A, B, C jsou koeficienty, r = 0, protože neexistuje žádný pár konjugovaných kořenů souvisejících s charakteristickou rovnicí s α ± i β = 3 ± 5 · i. Z výsledné rovnosti zjistíme tyto koeficienty:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hřích (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) hřích (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Nalezení derivace a podobných termínů dává

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Po vyrovnání koeficientů získáme systém formuláře

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Z toho všeho vyplývá

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) hřích (5 x))

Odpovědět: Nyní jsme získali obecné řešení dané lineární rovnice:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmus pro řešení LDNU

Definice 1

Jakýkoli jiný typ funkce f (x) pro řešení vyžaduje shodu s algoritmem řešení:

nalezení obecného řešení odpovídající lineární homogenní rovnice, kde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kde y 1 A y 2 jsou lineárně nezávislá dílčí řešení LODE, C 1 A C 2 jsou považovány za libovolné konstanty;
přijetí jako obecné řešení LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
určení derivací funkce pomocí systému tvaru C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) a hledání funkcí C 1 (x) a C2 (x) prostřednictvím integrace.

Příklad 5

Najděte obecné řešení pro y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Řešení

Pokračujeme k psaní charakteristické rovnice, když jsme předtím napsali y 0, y "" + 36 y = 0. Pojďme napsat a vyřešit:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x), y 2 (x) = hřích (6 x)

Máme, že obecné řešení dané rovnice zapíšeme jako y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Je nutné přejít k definici derivačních funkcí C 1 (x) A C2(x) podle soustavy s rovnicemi:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Je třeba učinit rozhodnutí ohledně C 1" (x) A C 2" (x) pomocí jakékoli metody. Pak píšeme:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Každá z rovnic musí být integrována. Poté zapíšeme výsledné rovnice:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Z toho vyplývá, že obecné řešení bude mít tvar:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Odpovědět: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Základy řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu (LNDE-2) s konstantními koeficienty (PC)

LDDE 2. řádu s konstantními koeficienty $p$ a $q$ má tvar $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kde $f\left(x \right)$ je spojitá funkce.

Pokud jde o LNDU 2 s PC, platí následující dvě tvrzení.

Předpokládejme, že nějaká funkce $U$ je libovolné parciální řešení nehomogenní diferenciální rovnice. Předpokládejme také, že nějaká funkce $Y$ je obecným řešením (GS) odpovídající lineární homogenní diferenciální rovnice (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. LHDE-2 se rovná součtu uvedených soukromých a obecných řešení, tedy $y=U+Y$.

Pokud je pravá strana LMDE 2. řádu součtem funkcí, to znamená $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, pak nejprve najdeme odpovídající PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ke každé z funkcí $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a poté napište CR LNDU-2 ve tvaru $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Řešení LPDE 2. řádu s PC

Je zřejmé, že typ toho či onoho PD $U$ daného LNDU-2 závisí na konkrétním tvaru jeho pravé strany $f\left(x\right)$. Nejjednodušší případy vyhledávání PD LNDU-2 jsou formulovány formou následujících čtyř pravidel.

Pravidlo č. 1.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, to znamená, že se nazývá polynom stupně $n$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kde $Q_(n) \left(x\right)$ je jiný polynom stejného stupně jako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídajícího LODE-2, které se rovnají nule. Koeficienty polynomu $Q_(n) \left(x\right)$ se nalézají metodou neurčitých koeficientů (UK).

Pravidlo č. 2.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left( x\right)$ je polynom stupně $n$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kde $Q_(n ) \ left(x\right)$ je další polynom stejného stupně jako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídajícího LODE-2 rovno $\alpha $. Koeficienty polynomu $Q_(n) \left(x\right)$ se zjišťují NC metodou.

Pravidlo č. 3.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kde $a$, $b$ a $\beta$ jsou známá čísla. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kde $A$ a $B$ jsou neznámé koeficienty a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídajícího LODE-2, rovný $i\cdot \beta $. Koeficienty $A$ a $B$ se zjišťují pomocí nedestruktivní metody.

Pravidlo č. 4.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kde $P_(n) \left(x\right)$ je polynom stupně $ n$ a $P_(m) \left(x\right)$ je polynom stupně $m$. Pak se hledá jeho PD $U$ ve tvaru $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kde $Q_(s) \left(x\right)$ a $ R_(s) \left(x\right)$ jsou polynomy stupně $s$, číslo $s$ je maximum ze dvou čísel $n$ a $m$ a $r$ je počet kořenů charakteristické rovnice odpovídající LODE-2, rovné $\alpha +i\cdot \beta $. Koeficienty polynomů $Q_(s) \left(x\right)$ a $R_(s) \left(x\right)$ se zjišťují NC metodou.

Metoda NK spočívá v aplikaci následujícího pravidla. Abychom našli neznámé koeficienty polynomu, které jsou součástí parciálního řešení nehomogenní diferenciální rovnice LNDU-2, je nutné:

nahraďte PD $U$, napsaný v obecném tvaru, do levé strany LNDU-2;
na levé straně LNDU-2 proveďte zjednodušení a skupinové výrazy se stejnými mocninami $x$;
ve výsledné identitě srovnejte koeficienty členů se stejnými mocninami $x$ levé a pravé strany;
řešit výslednou soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty.

Příklad 1

Úkol: najděte OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Najděte také PD , splňující počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$.

Zapíšeme si odpovídající LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Charakteristická rovnice: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Kořeny charakteristické rovnice jsou: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Tyto kořeny jsou platné a odlišné. OR odpovídajícího LODE-2 má tedy tvar: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Pravá strana tohoto LNDU-2 má tvar $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Je nutné uvažovat koeficient exponentu $\alpha =3$. Tento koeficient se neshoduje s žádným z kořenů charakteristické rovnice. Proto má PD tohoto LNDU-2 tvar $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficienty $A$, $B$ budeme hledat pomocí NC metody.

Najdeme první český derivát:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Najdeme druhý derivát Česka:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Do daného NLDE-2 $y""-3\cdot y" dosadíme funkce $U""$, $U"$ a $U$ místo $y""$, $y"$ a $y$ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Navíc, protože exponent $e^(3\cdot x)$ je zahrnut jako faktor ve všech komponentách, pak jej lze vynechat. Dostaneme:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Provádíme akce na levé straně výsledné rovnosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Používáme metodu NDT. Získáme soustavu lineárních rovnic se dvěma neznámými:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12,$

Řešení tohoto systému je: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pro náš problém vypadá takto: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ pro náš problém vypadá takto: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Abychom našli PD, která splňuje dané počáteční podmínky, najdeme derivaci $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Do $y$ a $y"$ dosadíme počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2)-1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5,$

Dostali jsme soustavu rovnic:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Pojďme to vyřešit. Najdeme $C_(1) $ pomocí Cramerova vzorce a $C_(2) $ určíme z první rovnice:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(pole)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(pole)\right|)(\left|\ begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(pole)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

PD této diferenciální rovnice má tedy tvar: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty mají tvar

kde p a q jsou reálná čísla. Podívejme se na příklady, jak se řeší homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu závisí na kořenech charakteristické rovnice. Charakteristickou rovnicí je rovnice k²+pk+q=0.

1) Jsou-li kořeny charakteristické rovnice různá reálná čísla:

pak obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má tvar

2) Jsou-li kořeny charakteristické rovnice rovna reálným číslům

(například s diskriminantem rovným nule), pak obecné řešení homogenní diferenciální rovnice druhého řádu je

3) Jsou-li kořeny charakteristické rovnice komplexní čísla

(například s diskriminantem rovným zápornému číslu), pak se obecné řešení homogenní diferenciální rovnice druhého řádu zapíše ve tvaru

Příklady řešení lineárních homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty

Najděte obecná řešení homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu:

Sestavíme charakteristickou rovnici: k²-7k+12=0. Jeho diskriminant je D=b²-4ac=1>0, takže kořeny jsou různá reálná čísla.

Obecným řešením tohoto homogenního DE 2. řádu je tedy

Pojďme sestavit a vyřešit charakteristickou rovnici:

Kořeny jsou skutečné a zřetelné. Máme tedy obecné řešení této homogenní diferenciální rovnice:

V tomto případě charakteristická rovnice

Kořeny jsou různé a platné. Proto je zde obecné řešení homogenní diferenciální rovnice 2. řádu

Charakteristická rovnice

Protože kořeny jsou reálné a rovné, zapíšeme pro tuto diferenciální rovnici obecné řešení jako

Charakteristická rovnice je zde

Protože diskriminant je záporné číslo, kořeny charakteristické rovnice jsou komplexní čísla.

Obecné řešení této homogenní diferenciální rovnice druhého řádu má tvar

Charakteristická rovnice

Odtud najdeme obecné řešení tohoto diferenciálu. rovnice:

Příklady pro autotest.

Základy řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu (LNDE-2) s konstantními koeficienty (PC)

LDDE 2. řádu s konstantními koeficienty $p$ a $q$ má tvar $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kde $f\left(x \right)$ je spojitá funkce.

Pokud jde o LNDU 2 s PC, platí následující dvě tvrzení.

Řešení LPDE 2. řádu s PC

Pravidlo č. 1.

Pravidlo č. 2.

Pravidlo č. 3.

Pravidlo č. 4.

nahraďte PD $U$, napsaný v obecném tvaru, do levé strany LNDU-2;
na levé straně LNDU-2 proveďte zjednodušení a skupinové výrazy se stejnými mocninami $x$;
ve výsledné identitě srovnejte koeficienty členů se stejnými mocninami $x$ levé a pravé strany;
řešit výslednou soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty.

Příklad 1

Úkol: najděte OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Najděte také PD , splňující počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$.

Zapíšeme si odpovídající LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Koeficienty $A$, $B$ budeme hledat pomocí NC metody.

Najdeme první český derivát:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Najdeme druhý derivát Česka:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Provádíme akce na levé straně výsledné rovnosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Používáme metodu NDT. Získáme soustavu lineárních rovnic se dvěma neznámými:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12,$

Řešení tohoto systému je: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pro náš problém vypadá takto: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ pro náš problém vypadá takto: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Abychom našli PD, která splňuje dané počáteční podmínky, najdeme derivaci $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Do $y$ a $y"$ dosadíme počáteční podmínky $y=6$ pro $x=0$ a $y"=1$ pro $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2)-1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5,$

Dostali jsme soustavu rovnic:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Pojďme to vyřešit. Najdeme $C_(1) $ pomocí Cramerova vzorce a $C_(2) $ určíme z první rovnice:

PD této diferenciální rovnice má tedy tvar: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice tvaru

,
kde p a q jsou funkce proměnné x.

Lineární homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru

Lineární nehomogenní diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru

q termín (X) se nazývá nehomogenní část rovnice.

Uvažujme lineární nehomogenní diferenciální rovnici prvního řádu:
(1) .
Existují tři způsoby, jak vyřešit tuto rovnici:

metoda integračního faktoru;

Řešení lineární diferenciální rovnice pomocí integračního faktoru

Uvažujme metodu pro řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu pomocí integrační faktor.
Vynásobme obě strany původní rovnice (1) integračním faktorem
:
(2)
Dále si všimneme, že derivace integrálu se rovná integrandu:

Podle pravidla diferenciace komplexní funkce:

Podle pravidla diferenciace produktů:

Vystřídejte v (2) :

Pojďme integrovat:

Vynásobte . Dostaneme obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu:

Příklad řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Vyřešte rovnici

Řešení

Vydělme obě strany původní rovnice x:
(i) .
Pak
;
.
Integrační faktor:

Znaménko modulu lze vynechat, protože integrační faktor lze násobit libovolnou konstantou (včetně ± 1).
Pojďme se množit (i) od x 3 :
.
Vybereme derivaci.
;
.
Integrujeme pomocí tabulky integrálů:
.
Vydělte x 3 :
.

Odpovědět

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, „Lan“, 2003.