Kako dobiti kosinus iz sinusa. Primjeri rješavanja praktičnih problema

U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznatu drugu.

Odmah nabrojimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tablicu, au nastavku ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i, odnosno, i jednakosti I slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.

Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.

Prije nego dokažemo glavni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi kada pretvaranje trigonometrijskih izraza. Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i neposredno slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zahvaljujući takvoj očitosti identiteta i Tangens i kotangens se često definiraju ne kroz odnos apscise i ordinate, već kroz odnos sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijaju se za sve kutove pri kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje s nulom), i formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.

Odnos tangensa i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da vrijedi za bilo koji kut osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao izvesti malo drugačije. Od , To .

Dakle, tangens i kotangens istog kuta pod kojim imaju smisla su .

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi izračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok se u školskom tečaju proučava omjer stranica i kutova ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenistanski znanstvenik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangens i kotangens i sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojmove sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Trigonometriji je posvećena velika pažnja u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i drugi odnosi uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Predstavimo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako zamislimo krak a kao produkt sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobit ćemo sljedeće formule za tangens i kotangens:

Trigonometrijski krug

Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; kada se računa u radijanima, stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π potpuni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinus i kosinus:

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u protivnom je neparna.

Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućuje nam da predstavimo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti je li formula točna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangensoida

Grafikoni funkcija tangens i kotangens bitno se razlikuju od funkcija sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg su recipročne vrijednosti jedna drugoj.

1. Y = ten x.
2. Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Razmotrite grafički prikaz kotangentoida ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = krevetić x.
2. Za razliku od sinusne i kosinusne funkcije, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivacija (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Točno

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju nam prijelaz sa zbroja ovih kutova na umnožak kutova α + β 2 i α - β 2. Odmah napominjemo da ne smijete brkati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo ove formule, dajemo njihove izvode i prikazujemo primjere primjene za specifične probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule zbroja i razlike sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbroja i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj odnosno polurazlika kutova alfa i beta. Navedimo formulaciju za svaku formulu.

Definicije formula za zbrojeve i razlike sinusa i kosinusa

Zbroj sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja ovih kutova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.

Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.

Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetog s negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Nabrojimo ih u nastavku

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Zamislimo i same kutove kao zbroj poluzbroja i polurazlike.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.

Derivacija formule za zbroj sinusa

U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove danima gore. Dobivamo

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada na prvi izraz primjenjujemo formulu zbrajanja, a na drugi - formulu za sinus kutnih razlika (vidi formule iznad)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorite zagrade, dodajte slične članove i dobijte traženu formulu

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje preostalih formula su slični.

Izvod formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbroj kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivacija formule za razliku kosinusa

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Prvo, provjerimo jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo ćemo koristiti tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, a zatim ćemo primijeniti formulu za zbroj sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliku sinusa ovih kutova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći sa zbroja ili razlike na umnožak trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pretvorbi trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neću vas pokušavati uvjeriti da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i zašto su varalice korisne. A evo i informacija kako ne učiti, nego zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule zbrajanja:

Kosinusi uvijek “dolaze u paru”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima “ne štima sve” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mješavina": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek “dolazi u paru”. Dodavanjem dva kosinusa - "koloboka", dobivamo par kosinusa - "koloboka". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti nikakve koloboke. Dobivamo par sinusa. Također s minusom naprijed.

Sinusi - "mješavina" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada dobivamo kosinusni par? Kada zbrojimo kosinuse. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i pri zbrajanju i oduzimanju sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzimaju zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se zbroj. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo – iznos

Varalice u vašem džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne uspijete koristiti varalicu, lako ćete zapamtiti formule.