공간에서 벡터의 수직성. 주어진 벡터, 예제 및 솔루션에 수직인 벡터 찾기
지침
원본 벡터가 직사각형 2차원 좌표계로 도면에 표시되어 있고 거기에 수직 좌표계를 구성해야 하는 경우 평면에서 벡터의 수직성 정의부터 진행하십시오. 이러한 방향성 세그먼트 쌍 사이의 각도는 90°와 같아야 한다고 명시되어 있습니다. 이러한 벡터는 무한히 생성될 수 있습니다. 따라서 평면의 편리한 위치에 원래 벡터에 수직을 그리고 주어진 정렬된 점 쌍의 길이와 동일한 세그먼트를 그 위에 놓고 그 끝 중 하나를 수직 벡터의 시작으로 지정합니다. 각도기와 눈금자를 사용하여 이 작업을 수행합니다.
원래 벡터가 2차원 좌표 ā = (X₁;Y₁)로 제공되는 경우 수직 벡터 쌍의 스칼라 곱은 0과 같아야 한다고 가정합니다. 이는 원하는 벡터 ō = (X2,Y2)에 대해 동등성 (ā,ō) = X₁*X2 + Y₁*Y2 = 0이 유지되는 좌표를 선택해야 함을 의미합니다. 이는 다음과 같이 수행할 수 있습니다. X2 좌표에 0이 아닌 값을 입력하고 Y2 = -(X₁*X2)/Y₁ 공식을 사용하여 Y2 좌표를 계산합니다. 예를 들어, 벡터 ā = (15;5)의 경우 가로좌표가 1이고 세로좌표가 -(15*1)/5 = -3인 벡터 ō가 있습니다. 즉, ō = (1;-3).
3차원 및 기타 직교 좌표계의 경우 벡터의 직각성에 대한 동일한 필요충분조건이 적용됩니다. 즉, 스칼라 곱은 0과 같아야 합니다. 따라서 초기 방향 세그먼트가 좌표 ā = (X₁,Y₁,Z₁)로 주어지면 조건 (ā,ō)을 만족하는 좌표에 수직인 점 ō = (X2,Y2,Z2)의 순서 쌍을 선택합니다. ) = X₁*X2 + Y₁*Y2 + Z₁*Z2 = 0. 가장 쉬운 방법은 X2와 Y2에 단일 값을 할당하고 단순화된 등식에서 Z2를 계산하는 것입니다. Z2 = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. 예를 들어, 벡터 ā = (3,5,4)의 경우 이는 다음 형식을 취합니다: (ā,ō) = 3*X² + 5*Y² + 4*Z² = 0. 그런 다음 가로좌표와 세로좌표를 취합니다. 수직 벡터를 하나로, 이 경우 -(3+5)/4 = -2와 같습니다.
출처:
- 벡터가 수직이면 벡터를 구하세요.
그들은 수직이라고 불린다. 벡터, 사이의 각도는 90°입니다. 수직 벡터는 그리기 도구를 사용하여 구성됩니다. 좌표가 알려진 경우 분석 방법을 사용하여 벡터의 직각성을 확인하거나 찾을 수 있습니다.
필요할 것이예요
- - 각도기;
- - 나침반;
- - 자.
지침
벡터의 시작점으로 설정합니다. 임의의 반경으로 원을 그립니다. 그런 다음 첫 번째 원이 벡터가 있는 선과 교차하는 지점에 중심을 두어 두 개를 구성합니다. 이 원의 반지름은 서로 동일해야 하며 구성된 첫 번째 원보다 커야 합니다. 원의 교차점에서 원점에서 원래 벡터에 수직인 직선을 구성하고 이 벡터에 수직인 벡터를 그 위에 그립니다.
좌표가 (x;y)인 벡터에 수직인 벡터를 찾습니다. 이렇게 하려면 x x1+y y1=0 등식을 만족하는 숫자 쌍(x1;y1)을 찾으세요. 이 경우 좌표가 (x1;y1)인 벡터는 좌표가 (x;y)인 벡터에 수직입니다.
이 기사는 3차원 공간의 평면에서 두 벡터의 수직성의 의미를 밝히고 하나 또는 전체 벡터 쌍에 수직인 벡터의 좌표를 찾는 것입니다. 이 주제는 선과 평면의 방정식과 관련된 문제에 적용 가능합니다.
두 벡터의 수직성의 필요조건과 충분조건을 고려하고, 주어진 벡터에 수직인 벡터를 찾는 방법을 풀고, 두 벡터에 수직인 벡터를 찾는 상황을 다룰 것입니다.
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두 벡터의 직각성에 대한 필요조건과 충분조건
평면과 3차원 공간에서 수직 벡터에 대한 규칙을 적용해 보겠습니다.
정의 1
0이 아닌 두 벡터 사이의 각도가 90°(π 2 라디안)인 경우를 다음과 같이 호출합니다. 수직.
이것이 의미하는 바는 무엇이며 어떤 상황에서 수직성에 대해 알아야 합니까?
도면을 통해 직각도 설정이 가능합니다. 주어진 점으로부터 평면에 벡터를 그릴 때 두 점 사이의 각도를 기하학적으로 측정할 수 있습니다. 벡터의 직각성이 확립되더라도 완전히 정확하지는 않습니다. 대부분의 경우 이러한 작업에서는 각도기를 사용하여 이 작업을 수행할 수 없으므로 이 방법은 벡터에 대해 알려진 것이 없는 경우에만 적용할 수 있습니다.
평면이나 공간에서 0이 아닌 두 벡터의 수직성을 증명하는 대부분의 경우는 다음을 사용하여 수행됩니다. 두 벡터의 직각성에 대한 필요충분조건.
정리 1
0이 아닌 두 벡터 a → 및 b → 의 스칼라 곱은 a → , b → = 0 등식을 충족하기 위해 0과 동일하며 직각도에 충분합니다.
증거 1
주어진 벡터 a → 및 b →가 수직이라고 가정하면 a ⇀ , b → = 0 이라는 평등을 증명할 것입니다.
의 정의로부터 벡터의 내적우리는 그것이 같다는 것을 안다 주어진 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것입니다. 조건에 따라 a →와 b →는 수직입니다. 이는 정의에 따라 둘 사이의 각도가 90°임을 의미합니다. 그러면 a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 이 됩니다.
증명의 두 번째 부분
a ⇀, b → = 0이면 a → 및 b →의 수직성을 증명합니다.
사실, 증명은 이전 증명과 반대입니다. a → 및 b →는 0이 아닌 것으로 알려져 있습니다. 이는 동등성 a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^에서 코사인을 찾는다는 것을 의미합니다. 그런 다음 cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 을 얻습니다. 코사인이 0이므로 벡터 a → 및 b →의 각도 a →, b → ^가 90 °와 같다고 결론을 내릴 수 있습니다. 정의에 따르면 이는 필요하고 충분한 속성입니다.
좌표평면의 직각조건
장 좌표의 스칼라 곱부등식 (a → , b →) = a x · b x + a y · b y 를 보여줍니다. 평면에서 좌표 a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)가 있는 벡터에 유효하며 (a → , b → ) = a x · b x + a y · by y는 공간에서 벡터 a → = (a x , a y , a z) 및 b → = (b x , b y , b z)에 대한 것입니다. 좌표평면에서 두 벡터의 직각도에 대한 필요충분조건은 a x · b x + a y · b y = 0이고, 3차원 공간의 경우 a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0입니다.
실제로 적용해 보고 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
두 벡터 a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4)의 직각 특성을 확인합니다.
해결책
이 문제를 해결하려면 스칼라곱을 찾아야 합니다. 조건에 따라 0과 같으면 수직입니다.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . 조건이 충족됩니다. 이는 주어진 벡터가 평면에 수직임을 의미합니다.
답변:그렇습니다. 주어진 벡터 a → 및 b →는 수직입니다.
실시예 2
좌표 벡터 i → , j → , k → 가 주어집니다. i → - j → 벡터와 i → + 2 · j → + 2 · k → 벡터가 수직일 수 있는지 확인합니다.
해결책
벡터 좌표가 결정되는 방법을 기억하려면 다음 기사를 읽어야 합니다. 직각 좌표계의 벡터 좌표.따라서 주어진 벡터 i → - j → 및 i → + 2 · j → + 2 · k →는 해당 좌표 (1, - 1, 0) 및 (1, 2, 2)를 갖습니다. 숫자 값을 대체하고 다음을 얻습니다. i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
표현식은 0과 같지 않습니다. (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0. 이는 벡터 i → - j → 및 i → + 2 j → + 2 k → 조건을 만족하지 않기 때문에 수직이 아닙니다.
답변:아니요, 벡터 i → - j → 및 i → + 2 · j → + 2 · k →는 수직이 아닙니다.
실시예 3
주어진 벡터 a → = (1, 0, - 2) 및 b → = (λ, 5, 1). 이들 벡터가 수직인 λ 값을 찾으십시오.
해결책
공간에서 두 벡터의 수직성 조건을 정사각형 형태로 사용하면 다음을 얻습니다.
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
답변:벡터는 값 λ = 2에서 수직입니다.
필요충분조건이 있어도 직각성의 문제가 불가능한 경우가 있다. 두 벡터에 대한 삼각형의 세 변에 대한 알려진 데이터가 주어지면 다음을 찾는 것이 가능합니다. 벡터 사이의 각도확인해 보세요.
실시예 4
변 A B = 8, A C = 6, B C = 10cm인 삼각형 A B C가 주어지면 벡터 A B → 및 A C →의 수직성을 확인합니다.
해결책
벡터 A B → 및 A C →가 수직이면 삼각형 A B C는 직사각형으로 간주됩니다. 그런 다음 B C가 삼각형의 빗변인 피타고라스 정리를 적용합니다. B C 2 = A B 2 + A C 2 등식은 참이어야 합니다. 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100이 됩니다. 이는 A B와 A C가 삼각형 A B C의 다리이므로 A B →와 A C →가 수직임을 의미합니다.
주어진 벡터에 수직인 벡터의 좌표를 찾는 방법을 배우는 것이 중요합니다. 벡터가 수직인 경우 평면과 공간 모두에서 가능합니다.
평면에서 주어진 벡터에 수직인 벡터를 찾습니다.
0이 아닌 벡터 a →는 평면에서 무한한 수의 수직 벡터를 가질 수 있습니다. 이를 좌표선으로 표현해 보겠습니다.
0이 아닌 벡터 a가 주어지면 → 직선 a 위에 놓여 있습니다. 그러면 선 a에 수직인 임의의 선에 위치한 주어진 b →는 a →에 수직이 됩니다. 벡터 i →가 벡터 j → 또는 벡터 λ · j → 중 하나에 수직인 경우 λ가 0이 아닌 임의의 실수와 같으면 벡터 b → a → = (a x , a y에 수직)의 좌표를 찾습니다. )은 무한한 솔루션 세트로 축소됩니다. 그러나 a → = (a x , a y) 에 수직인 벡터의 좌표를 찾아야 합니다. 이를 위해서는 벡터의 직각도 조건을 a x · b x + a y · b y = 0 형식으로 기록해야 합니다. 우리는 수직 벡터의 원하는 좌표인 b x와 b y를 가지고 있습니다. a x ≠ 0일 때, b y의 값은 0이 아니며, b x는 부등식 a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x로부터 계산될 수 있습니다. a x = 0 및 a y ≠ 0의 경우 b x에 0이 아닌 값을 할당하고 b y = - a x · b x a y 표현식에서 b y를 찾습니다.
실시예 5
좌표가 a → = (- 2 , 2) 인 벡터가 주어졌습니다. 이것에 수직인 벡터를 찾으세요.
해결책
원하는 벡터를 b → (b x , b y) 로 표시하겠습니다. 좌표는 벡터 a → 및 b →가 수직인 조건에서 찾을 수 있습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . by y = 1을 할당하고 다음과 같이 대체합니다: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . 따라서 공식에서 b x = - 2 - 2 = 1 2를 얻습니다. 이는 벡터 b → = (1 2 , 1)이 a → 에 수직인 벡터임을 의미합니다.
답변: b → = (1 2 , 1) .
3차원 공간에 대해 문제가 제기되면 문제는 같은 원리로 해결된다. 주어진 벡터 a → = (a x , a y , a z)에 대해 수직 벡터의 수는 무한합니다. 이 문제를 3차원 좌표 평면에서 수정하겠습니다. 주어진 a → 라인에 누워 a. 직선 a에 수직인 평면은 α로 표시됩니다. 이 경우 평면 α에서 0이 아닌 벡터 b →는 a →에 수직입니다.
0이 아닌 벡터 a → = (a x , a y , a z) 에 수직인 b → 좌표를 찾아야 합니다.
b → 좌표 b x , b y 및 b z 로 지정합니다. 이를 찾으려면 두 벡터의 직각 조건 정의를 적용해야 합니다. 평등 a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0이 충족되어야 합니다. 조건에서 a →는 0이 아닙니다. 이는 좌표 중 하나의 값이 0이 아님을 의미합니다. a x ≠ 0, (a y ≠ 0 또는 a z ≠ 0)이라고 가정해 보겠습니다. 따라서 우리는 전체 부등식 a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0을 이 좌표로 나눌 권리가 있으며, b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y라는 표현을 얻습니다. + a z · b z a x . 좌표 b y 및 b x에 임의의 값을 할당하고 공식 b x = - a y · b y + a z · b z a x를 기반으로 b x 값을 계산합니다. 원하는 수직 벡터의 값은 a → = (a x, a y, a z)입니다.
예시를 통해 증명을 살펴보겠습니다.
실시예 6
좌표가 a → = (1, 2, 3) 인 벡터가 주어졌습니다. 주어진 벡터에 수직인 벡터를 찾습니다.
해결책
원하는 벡터를 b → = (b x , b y , b z) 로 표시하겠습니다. 벡터가 수직이라는 조건에 따라 스칼라 곱은 0과 같아야 합니다.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
b y = 1, b z = 1의 값이면 b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5입니다. 벡터의 좌표는 b → (- 5 , 1 , 1) 입니다. 벡터 b →는 주어진 벡터에 수직인 벡터 중 하나입니다.
답변: b → = (- 5 , 1 , 1) .
주어진 두 벡터에 수직인 벡터의 좌표 찾기
3차원 공간에서 벡터의 좌표를 찾아야 합니다. 이는 공선적이 아닌 벡터 a → (a x , a y , a z) 및 b → = (b x , b y , b z) 에 수직입니다. 벡터 a → 및 b →가 동일선상에 있다면 문제에서 a → 또는 b →에 수직인 벡터를 찾는 것으로 충분합니다.
풀 때 벡터의 벡터 곱 개념이 사용됩니다.
벡터의 벡터 곱 a → 및 b →는 a → 및 b → 모두에 동시에 수직인 벡터입니다. 이 문제를 해결하기 위해 벡터 곱 a → × b →가 사용됩니다. 3차원 공간의 경우 a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z 형식을 갖습니다.
예제 문제를 사용하여 벡터 곱을 더 자세히 살펴보겠습니다.
실시예 7
벡터 b → = (0, 2, 3) 및 a → = (2, 1, 0)이 제공됩니다. 데이터에 수직인 모든 벡터의 좌표를 동시에 찾습니다.
해결책
문제를 해결하려면 벡터의 벡터곱을 찾아야 합니다. (단락을 참조하십시오 행렬의 행렬식 계산벡터를 찾으려면). 우리는 다음을 얻습니다:
a → × b → = i → j → k → 210023 = i → 13 + j → 00 + k → 22 - k → 10 - j → 23 - i → 0 2 = 3 나는 → + (- 6) j → + 4 k →
답변: (3 , - 6 , 4) - 주어진 a → 및 b → 에 동시에 수직인 벡터의 좌표입니다.
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벡터가 수직일 조건
벡터는 내적이 0인 경우에만 수직입니다.
두 개의 벡터 a(xa;ya)와 b(xb;yb)가 주어졌습니다. xaxb + yayb = 0이라는 표현식이 있으면 이 벡터는 수직이 됩니다.
벡터의 외적이 0이면 벡터는 평행합니다.
평면 위의 직선 방정식. 비행기의 직선에 대한 기본 문제.
평면 위의 모든 직선은 1차 방정식 Ax + By + C = 0으로 지정될 수 있으며 상수 A와 B는 동시에 0이 아닙니다. A2 + B2 0. 이 1계 방정식을 직선의 일반 방정식이라고 합니다. 상수 A, B, C의 값에 따라 다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다: - C = 0, A 0, B 0 - 직선이 원점을 통과함 - A = 0, B 0 , C 0 (
C = 0) - Oy 축에 평행한 직선 - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - Oy 축에 평행한 직선 - B = C = 0, A 0 - 직선은 Oy 축과 일치 - A = C = 0, B 0 – 직선은 Ox 축과 일치하며 직선의 방정식은 주어진 초기 조건에 따라 다른 형태로 나타날 수 있습니다.
레벨 Ax+By+C=0의 계수 A, B, C 중 적어도 하나가 0이면 레벨
~라고 불리는 불완전한. 직선 방정식의 형태를 통해 직선의 위치를 판단할 수 있습니다.
평탄도 OXU. 가능한 경우:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0)은 이 방정식을 만족하므로 직선임을 의미합니다.
원점을 통과한다
2 A=0 L: Ву+С=0 - 수직 회전 n=(0,B)는 여기에서 OX 축에 수직입니다.
직선은 OX 축과 평행합니다.
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - 공칭 값 n=(A,0)은 여기에서 OY 축에 수직입니다.
직선은 연산 증폭기의 축과 평행합니다.
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - 원점을 통과하지 않고 교차함)
두 축.
주어진 두 점을 통과하는 평면 위의 직선 방정식과: 
평면 사이의 각도.
행렬식 계산
행렬식의 계산은 모든 차수의 행렬식에 적용되는 알려진 속성을 기반으로 합니다. 속성은 다음과 같습니다.
1. 행렬식의 두 행(또는 두 열)을 재배열하면 행렬식의 부호가 변경됩니다.
2. 행렬식의 두 열(또는 두 행)의 해당 요소가 동일하거나 비례하는 경우 행렬식은 0과 같습니다.
3. 순서를 유지하면서 행과 열을 바꿔도 행렬식의 값은 변경되지 않습니다.
4. 행(또는 열)의 모든 요소가 공통 인수를 갖는 경우 이를 행렬식 부호에서 제외할 수 있습니다.
5. 다른 행(또는 열)의 해당 요소를 한 행(또는 열)의 요소에 더하고 동일한 숫자를 곱해도 행렬식의 값은 변경되지 않습니다.
매트릭스와 그 위의 액션
행렬- 직사각형 숫자표(또는 링의 요소) 형태로 작성되고 다른 유사한 객체 사이에 대수적 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈 등)을 허용하는 수학적 객체입니다. 일반적으로 행렬은 2차원(직사각형) 테이블로 표현됩니다. 때때로 다차원 행렬이나 직사각형이 아닌 행렬이 고려됩니다.
일반적으로 행렬은 라틴 알파벳의 대문자로 표시되고 둥근 괄호 "(...)"로 강조 표시됩니다(대괄호 "[...]" 또는 이중 직선 "||...||"로도 표시됨).
행렬(행렬 요소)을 구성하는 숫자는 행렬 자체와 동일한 문자로 표시되는 경우가 많지만 소문자입니다(예: a11은 행렬 A의 요소임).
각 행렬 요소에는 2개의 아래 첨자(aij)가 있습니다. 첫 번째 "i"는 요소가 위치한 행 번호를 나타내고 두 번째 "j"는 열 번호를 나타냅니다. "차원 행렬"이라고 하는데, 이는 행렬에 m개의 행과 n개의 열이 있다는 의미입니다. 항상 동일한 매트릭스에 있음
행렬에 대한 연산
aij를 행렬 A의 요소로, bij를 행렬 B의 요소로 설정합니다.
선형 작업:
행렬 A에 숫자 λ(기호: λA)를 곱하는 것은 행렬 B를 구성하는 것으로 구성되며, 그 요소는 행렬 A의 각 요소에 이 숫자를 곱하여 얻어집니다. 즉, 행렬 B의 각 요소는 다음과 같습니다.
행렬 A + B의 덧셈은 행렬 C를 찾는 작업입니다. 이 행렬의 모든 요소는 행렬 A와 B의 모든 해당 요소의 쌍별 합과 같습니다. 즉, 행렬 C의 각 요소는 다음과 같습니다.
행렬 A − B의 뺄셈은 덧셈과 유사하게 정의됩니다. 이는 요소가 포함된 행렬 C를 찾는 작업입니다.
덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 행렬에만 허용됩니다.
이를 다른 행렬 A에 추가해도 A가 변경되지 않는 영 행렬 Θ가 있습니다.
제로 행렬의 모든 요소는 0과 같습니다.
비선형 작업:
행렬 곱셈(지정: AB, 곱셈 기호가 있는 빈도는 낮음)은 행렬 C를 계산하는 작업으로, 그 요소는 첫 번째 요소의 해당 행과 두 번째 요소의 열에 있는 요소의 곱의 합과 같습니다. .cij = ∑ aikbkj k
첫 번째 요소의 열 개수는 두 번째 요소의 행 개수와 동일해야 합니다. 행렬 A가 B - 차원을 갖는 경우 곱 AB = C의 차원은 다음과 같습니다. 행렬 곱셈은 교환 가능하지 않습니다.
행렬 곱셈은 연관적입니다. 정사각형 행렬만 거듭제곱할 수 있습니다.
행렬 전치(기호: AT)는 주대각선을 기준으로 행렬을 반사시키는 연산, 즉
A가 크기 행렬이면 AT는 크기 행렬입니다.
복잡한 함수의 파생
복소 함수의 형식은 F(x) = f(g(x))입니다. 즉, 함수의 함수입니다. 예를 들어 y = sin2x, y = ln(x2+2x) 등입니다.
점 x에서 함수 g(x)가 도함수 g"(x)를 갖고, 점 u = g(x)에서 함수 f(u)가 도함수 f"(u)를 갖는다면, 다음의 도함수는 x 지점에 복소 함수 f(g(x))가 존재하며 f"(u)g"(x)와 같습니다.
암시적 함수 파생물
많은 문제에서 함수 y(x)는 암시적으로 지정됩니다. 예를 들어 아래 함수의 경우
종속성 y(x)를 명시적으로 얻는 것은 불가능합니다.
암시적 함수에서 도함수 y"(x)를 계산하는 알고리즘은 다음과 같습니다.
먼저 y가 x의 미분 가능한 함수라고 가정하고 복소 함수의 도함수를 계산하는 규칙을 사용하여 x에 대해 방정식의 양쪽을 미분해야 합니다.
도함수 y"(x)에 대한 결과 방정식을 풉니다.
설명하기 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
방정식으로 주어진 함수 y(x)를 미분합니다.
변수 x에 대해 방정식의 양쪽을 미분해 보겠습니다.
무엇이 결과로 이어지는가
라피탈의 법칙
로피탈의 법칙. 함수 f(x)와 g(x)가 환경에 있다고 가정합니다. t-ki x0 pr-nye f' 및 g' 바로 이 t-tu x0의 가능성을 제외합니다. x®x0에 대한 f(x)/g(x)가 0/0이 되도록 lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0이라고 합니다. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), 함수 lim(x®x0)f(x)/g(x)= 비율의 극한과 일치하는 경우 lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
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.1.(구간의 도함수를 갖는 함수의 단조성에 대한 기준) 
계속해서
(a,b)이고, 각 점에서 도함수 f"(x)를 갖습니다. 그런 다음
1) f는 (a,b)만큼 증가합니다.
2) 다음과 같은 경우에만 (a,b)만큼 감소합니다.
2. (구간의 도함수를 갖는 함수의 엄격한 단조성을 위한 충분조건) 
는 (a,b)에서 연속이고 각 점에서 도함수 f"(x)를 갖습니다. 그런 다음
1) 만약 f가 (a,b)에서 엄격하게 증가한다면;
2) 만약 그렇다면 f는 (a,b)에서 엄격하게 감소합니다.
일반적으로 말하면 그 반대는 사실이 아닙니다. 엄격하게 단조로운 함수의 도함수는 사라질 수 있습니다. 그러나 도함수가 0이 아닌 점 집합은 구간 (a,b)에서 밀집되어 있어야 합니다. 더 정확하게는 그렇습니다.
3. (구간에서 도함수를 갖는 함수의 엄격한 단조성에 대한 기준) 도함수 f"(x)는 구간의 모든 곳에서 정의됩니다. 그런 다음 f는 다음 두 조건이 충족되는 경우에만 구간 (a,b)에서 엄격하게 증가합니다.
벡터의 내적. 벡터 사이의 각도. 벡터의 평행성 또는 직각성의 조건.
벡터의 스칼라 곱은 벡터 길이와 벡터 사이 각도의 코사인을 곱한 것입니다.
다음 진술은 면적 측정과 정확히 동일한 방식으로 증명됩니다.
0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 벡터가 수직인 경우에만 0입니다.
벡터의 스칼라 제곱, 즉 벡터 자신과 자신의 스칼라 곱은 길이의 제곱과 같습니다.
두 벡터의 스칼라 곱과 좌표로 주어진 것은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
벡터는 내적이 0인 경우에만 수직입니다. 예. 두 개의 벡터와 가 주어졌습니다. x1x2 + y1y2 = 0이라는 표현식이 있으면 이러한 벡터는 수직입니다. 0이 아닌 벡터 사이의 각도는 이러한 벡터가 가이드가 되는 직선 사이의 각도입니다. 정의에 따르면 모든 벡터와 0 벡터 사이의 각도는 0과 같은 것으로 간주됩니다. 벡터 사이의 각도가 90°이면 이러한 벡터를 수직이라고 합니다. 벡터 사이의 각도는 다음과 같이 표시됩니다.
옴 이를 위해 먼저 세그먼트(Segment)라는 개념을 소개합니다.
정의 1
선분은 양쪽 점으로 둘러싸인 선의 일부라고 하겠습니다.
정의 2
세그먼트의 끝은 세그먼트를 제한하는 지점입니다.
벡터의 정의를 소개하기 위해 세그먼트의 끝 중 하나를 시작이라고 부릅니다.
정의 3
벡터(방향 세그먼트)를 어떤 경계점이 시작이고 끝인지 나타내는 세그먼트라고 부릅니다.
표기법: \overline(AB)는 점 A에서 시작하여 점 B에서 끝나는 벡터 AB입니다.
그렇지 않으면 소문자로: \overline(a) (그림 1).
정의 4
우리는 평면에 속하는 임의의 점을 영 벡터라고 부를 것입니다.
기호: \overline(0) .
이제 동일선상 벡터의 정의를 직접 소개하겠습니다.
또한 나중에 필요할 스칼라 곱의 정의도 소개하겠습니다.
정의 6
주어진 두 벡터의 스칼라 곱은 두 벡터 길이와 벡터 사이 각도의 코사인을 곱한 스칼라(또는 숫자)입니다.
수학적으로 다음과 같이 보일 수 있습니다.
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
내적은 다음과 같이 벡터 좌표를 사용하여 찾을 수도 있습니다.
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
비례를 통한 직각성의 신호
정리 1
0이 아닌 벡터가 서로 수직이 되려면 이러한 벡터의 스칼라 곱이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.
증거.
필요성: 각각 좌표 (α_1,α_2,α_3)와 (β_1,β_2,β_3)을 갖고 서로 수직인 벡터 \overline(α)와 \overline(β)을 주자. 그런 다음 다음 동등성을 증명해야 합니다.
벡터 \overline(α)와 \overline(β)는 수직이므로 두 벡터 사이의 각도는 90^0입니다. 정의 6의 공식을 사용하여 이러한 벡터의 스칼라 곱을 찾아보겠습니다.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
충분성: 평등이 참되게 하라 \overline(α)\cdot \overline(β)=0. 벡터 \overline(α)와 \overline(β)가 서로 수직임을 증명해 보겠습니다.
정의 6에 따르면 평등은 참이 됩니다.
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
따라서 벡터 \overline(α)와 \overline(β)는 서로 수직이 됩니다.
정리가 입증되었습니다.
실시예 1
좌표가 (1,-5,2)와 (2,1,3/2)인 벡터가 수직임을 증명하십시오.
증거.
위에 주어진 공식을 사용하여 이들 벡터에 대한 스칼라 곱을 찾아봅시다.
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
이는 정리 1에 따르면 이들 벡터가 수직임을 의미합니다.
외적을 사용하여 주어진 두 벡터에 수직인 벡터 찾기
먼저 벡터 제품의 개념을 소개하겠습니다.
정의 7
두 벡터의 벡터 곱은 주어진 두 벡터에 수직인 벡터가 될 것이며, 그 길이는 이들 벡터의 길이와 이들 벡터 사이의 각도의 사인의 곱과 같을 것이며, 또한 이 벡터는 두 개의 초기 좌표계는 데카르트 좌표계와 동일한 방향을 갖습니다.
지정: \overline(α)x\overline(β)x.
벡터 곱을 찾기 위해 다음 공식을 사용하겠습니다.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
두 벡터의 외적 벡터는 두 벡터 모두에 수직이므로 이것이 벡터가 됩니다. 즉, 두 벡터에 수직인 벡터를 찾으려면 해당 벡터 곱을 찾으면 됩니다.
실시예 2
\overline(α)=(1,2,3) 및 \overline(β)=(-1,0,3) 좌표를 사용하여 벡터에 수직인 벡터를 찾습니다.
이 벡터들의 벡터곱을 찾아봅시다.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
