선형 균질 미분 방정식의 일반 해의 구조. 선형 불균일 미분 방정식의 일반 해의 구조

이러한 방정식의 일반적인 해의 구조는 다음 정리에 의해 결정됩니다.

정리 1. 불균일 방정식 (1)의 일반 해는 이 방정식의 일부 특정 해의 합으로 표시됩니다. 응해당 균질 방정식의 일반 해법

증거. 우리는 합이 (3)임을 증명해야 합니다.

방정식 (1)에 대한 일반적인 해법이 있습니다.

먼저 함수 (3)이 방정식 (1)의 해임을 증명해 보겠습니다. 대신 대체 ~에방정식 (1)의 합은 다음과 같습니다.

–는 방정식 (2)에 대한 해법이므로 방정식 (4)의 첫 번째 괄호 안의 표현식은 동일하게 0과 같습니다. 왜냐하면 응는 방정식 (1)에 대한 해법이고, 두 번째 괄호 (4)의 표현식은 다음과 같습니다. 에프엑스(f(x)). 그러므로 평등(4)은 동일성이다. 따라서 정리의 첫 번째 부분이 입증되었습니다.

이제 식 (3)이 식 (1)에 대한 일반적인 해임을 증명해 보겠습니다. 초기조건 (5)가 만족되도록 여기에 포함된 임의의 상수를 선택할 수 있음을 증명해보자

숫자가 무엇이든 x 0, y 0,그리고 (기능이 있는 영역만 1 , 2그리고 에프엑스(f(x))마디 없는).

우리가 그것을 다음과 같이 표현할 수 있다는 점에 주목하세요. , 어디 와이 1, 와이 2방정식 (2)에 대한 선형 독립 해 C 1그리고 C 2임의의 상수이므로 같음 (3)을 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 그런 다음 조건 (5)에 따라 시스템을 갖게 됩니다.

.

이 방정식 시스템으로부터 다음을 결정해야 합니다. C 1그리고 C 2. 시스템을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

(6)

시스템 결정자 – 해에 대한 Wronski 행렬식이 있습니다. 1시에그리고 2시에시점에서 . 이러한 함수는 조건에 따라 선형 독립이므로 Wronski 행렬식은 0이 아니므로 시스템 (6)은 고유한 해를 갖습니다. C 1그리고 C 2, 즉. 그런 의미도 있어요 C 1그리고 C 2식 (3)은 주어진 초기 조건을 만족하는 식 (1)의 해를 결정합니다.

따라서 동종 방정식 (2)의 일반 해가 알려진 경우, 불균일 방정식 (1)을 적분할 때의 주요 작업은 특정 해를 찾는 것입니다. 응.

특별한 우변을 갖는 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식. 미정 계수 방법.

때로는 통합에 의지하지 않고도 더 간단한 솔루션을 찾는 것이 가능합니다. 이는 함수가 다음과 같은 특별한 경우에 발생합니다. 에프엑스(f(x))특별한 모습을 가지고 있습니다.

방정식을 보자. (1)

어디 피그리고 큐실수와 에프엑스(f(x))특별한 모습을 가지고 있습니다. 방정식 (1)에 대한 몇 가지 가능성을 고려해 보겠습니다.

방정식 (1)의 우변을 지수 함수와 다항식의 곱으로 둡니다. 즉, 처럼 보인다 , (2)

n차 다항식은 어디에 있습니까? 그러면 다음과 같은 경우가 가능합니다.

a) 번호 - 루트가 아니다특성 방정식 .

이 경우 (3) 형식으로 특정 해결 방법을 찾아야 합니다.

저것들. 다항식의 형태로도 N-학위, 여기서 A 0, A 1,…, A n계수가 결정됩니다.

이를 결정하기 위해 파생 상품과 를 찾습니다.

대체 응, 방정식 (1)로 양측을 요소로 줄이면 다음과 같습니다.

여기에 n차 다항식, – (n-1)차 다항식 및 – (n-2)차 다항식이 있습니다.

따라서 등호의 왼쪽과 오른쪽에는 다항식이 있습니다. N-학위. 같은 차수에서 계수 동일시 엑스(알 수 없는 계수의 수는 ), 계수를 결정하기 위한 방정식 시스템을 얻습니다. A 0, A 1, ..., A n.

방정식 (1)의 우변이 다음과 같은 형태를 갖는다면:

더 높은 주문의 D U

이미 말했듯이 미분 방정식에는 다양한 차수의 도함수가 포함될 수 있습니다.

이러한 미분 방정식에는 임의의 적분 상수를 최대한 많이 포함하는 해가 있습니다. → 미분 방정식의 차수는 무엇입니까, 즉 2차 미분 방정식의 경우 두 개의 임의 상수 C1과 C2가 있고, 3차 미분 방정식의 경우 →C1, C2, C3 등이 있습니다.

따라서 이러한 미분 방정식의 일반 해(일반 적분)는 다음과 같은 함수가 됩니다.

.

이러한 미분방정식의 특정한 해를 구하려면 미분방정식의 차수만큼 초기조건을 설정하거나, 일반해에서 임의의 상수를 몇 개 구하는지를 설정해야 한다.

D U는 완전 차동 장치입니다. 통합 요소

형태의 미분방정식은 좌변이 어떤 평활함수(smooth function)의 완전미분인 경우 완전미분에서 미분방정식이라고 불린다. 만약에 , . 그러한 기능의 존재에 대한 필요충분조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

전체 미분에서 미분 방정식을 풀려면 함수를 찾아야 합니다. 그런 다음 미분 방정식의 일반 해는 임의의 상수 C에 대한 형식으로 작성될 수 있습니다.

미분방정식의 적분계수

미분 방정식이 전체 미분 방정식으로 바뀌는 곱셈 후에 이러한 함수라고 불립니다. 방정식의 함수 M과 N이 연속적인 부분 도함수를 갖고 동시에 사라지지 않으면 적분 인자가 존재합니다. 그러나 이를 찾는 일반적인 방법은 없습니다.

LNDU의 일반적인 솔루션 구조

선형 불균일 미분 방정식을 고려하십시오.

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− 초기점 (x0, y0, ) , x0∈ 에 관계없이 함수 y = Φ(x, C10 , ..., Cn0)이 만족하는 C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 값이 있습니다. 초기 조건 y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

다음 진술은 사실입니다(선형 불균일 방정식의 일반 해 구조에 관한 정리).

선형 균질 미분 방정식 방정식의 모든 계수가 구간 에서 연속이고 함수 y1(x), y2(x),..., yn(x)가 해당 균질 방정식에 대한 해 시스템을 형성하는 경우 , 불균일 방정식의 일반 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

여기서 C1,...,Cn은 임의의 상수이고, y*(x)는 불균일 방정식의 특정 해입니다.

LNDU 2차 주문

2차 선형 불균일 미분 방정식.

y" + py" + qy = f(x) 형식의 방정식(여기서 p와 q는 실수이고 f(x)는 연속 함수임)을 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 방정식이라고 합니다.

방정식의 일반해는 불균일 방정식의 특정 해와 해당 동차 방정식의 일반 해의 합입니다. 동차방정식에 대한 일반적인 해를 찾는 것이 연구되었습니다. 특정 해를 찾기 위해 적분 과정이 포함되지 않은 부정 계수 방법을 사용합니다.

방정식 y" + py" + qy = f(x)의 다양한 유형의 우변을 고려해 보겠습니다.

1) 우변은 F(x) = Pn(x) 형식을 가지며, 여기서 Pn(x)는 n차 다항식입니다. 그런 다음 특정 해 y는 Qn(x)가 Pn(x)와 동일한 차수의 다항식이고 r이 0인 특성 방정식의 근 수인 형식으로 구할 수 있습니다.

예.방정식 y" – 2y" + y = x+1에 대한 일반 해를 구합니다.

해결책:해당 동차 방정식의 일반 해는 Y = ex(C1 + C2x) 형식을 갖습니다. 특성 방정식 k2 – 2k + 1 = 0의 근 중 어느 것도 0과 동일하지 않으므로(k1 = k2 = 1) A와 B가 미지 계수인 형태로 특정 해를 찾습니다. 이 식에 두 번 미분하고 ","를 대입하면 -2A + Ax + B = x + 1이 됩니다.

등식의 양쪽에서 x의 동일한 거듭제곱에 대한 계수를 동일시하면: A = 1, –2A + B = 1, A = 1, B = 3을 찾습니다. 따라서 이 방정식에 대한 특정 해는 = x 형식을 갖습니다. + 3이고 일반적인 해는 y = ex (C1 + C2x) + x + Z입니다.

2) 우변은 f(x) = eax Pn(x) 형식을 가지며, 여기서 Рn(x)는 n차 다항식입니다. 그런 다음 Qn(x)가 Pn(x)와 동일한 차수의 다항식이고 r이 a와 동일한 특성 방정식의 근 수인 형태로 특정 해를 찾아야 합니다. a = 0이면 f(x) = Pn(x), 즉 케이스 1이 발생합니다.

상수 계수가 있는 LOD.

미분방정식을 고려해보세요

실제 상수는 어디에 있습니까?

방정식 (8)에 대한 일반적인 해를 찾기 위해 다음과 같이 합니다. 우리는 방정식 (8)의 특성 방정식을 구성합니다. (9)

방정식 (9)의 근을 이라고 하자. 그 중에는 배수가 있을 수 있다. 다음과 같은 경우가 가능합니다:

a) - 실제와 다릅니다. 동차 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

b) 특성 방정식의 근은 실수이지만 그 중에는 배수가 있습니다. 이면 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

c) 특성 방정식의 근이 복소수(k=a±bi)인 경우 일반 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

일반 구조 2차 LDE에 대한 솔루션

선형 균질 미분 방정식을 고려하십시오.

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

구간에 대한 이 방정식의 일반적인 해는 n개의 임의 상수 C1,..., Cn에 따라 달라지며 다음 조건을 충족하는 함수 y = Φ(x, C1,..., Cn)입니다.

− 상수 C1,..., Cn의 허용 가능한 값에 대해 함수 y = Φ(x, C1,..., Cn)는 방정식에 대한 해입니다.

− 초기점 (x0, y0, ) , x0∈ 에 관계없이 함수 y = Φ(x, C10 , ..., Cn0)이 만족하는 C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 값이 있습니다. 초기 조건 y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

방정식에 대한 기본 해법 시스템에 대한 지식을 통해 이 방정식에 대한 일반적인 해를 구성하는 것이 가능합니다. 미분방정식의 일반해의 정의를 떠올려보자 피-번째 주문

기능
, 변수의 일부 변형 영역에서 정의됨
, 각 지점에서 코시 문제에 대한 해의 존재와 고유성이 있고 다음과 관련하여 연속적인 부분 도함수를 갖습니다. 엑스주문까지 피다음과 같은 경우 표시된 영역에서 방정식 (15)의 일반 해라고 합니다.

방정식 시스템

임의의 상수에 대해 지정된 영역에서 풀 수 있음
, 그래서

(16)

2. 기능
임의의 상수의 모든 값에 대한 방정식 (15)의 해입니다.
, 식 (16)으로 표현되며,
고려중인 지역에 속합니다.

정리 1. (선형 균질 미분 방정식의 일반 해의 구조에 관하여). 기능의 경우
,
, …,
동차 선형 방정식에 대한 기본 해법 시스템을 형성합니다. 피-번째 주문
그 간격에
, 즉. 계수의 연속성 간격에서 함수는 다음과 같습니다.
이 지역의 이 방정식에 대한 일반적인 해법은 다음과 같습니다. 디:
,
,
.

증거.표시된 영역의 각 지점에는 코시 문제에 대한 해결책이 존재하고 고유합니다. 이제 함수를 보여드리겠습니다.
방정식에 대한 일반 해의 정의를 충족합니다. 피-번째 주문.

방정식 시스템

도메인에서 해결 가능 디임의의 상수에 상대적
왜냐하면 이 시스템의 행렬식은 기본 해 시스템(12)에 대한 Wronski 행렬식이므로 0과 다르기 때문입니다.

2. 기능
균질 선형 방정식의 해법의 특성에 따라 방정식에 대한 해법입니다.
임의의 상수의 모든 값에 대해
.

따라서 기능
방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.
지역에 디. 정리가 입증되었습니다.

예.

.

이 방정식의 해는 분명히 다음 함수입니다.
,
. 이러한 결정은 근본적인 결정 시스템을 형성합니다.

.

따라서 원래 방정식의 일반적인 해는 함수입니다.

n차 불균일 선형 방정식에 대한 일반 해의 구조입니다.

불균일 선형 방정식을 고려하십시오. 피-번째 주문

1차 선형 불균일 방정식의 경우와 같이, 불균일 방정식 (1)의 특정 해가 알려진 경우 방정식 (1)의 적분은 동차 방정식의 적분으로 축소된다는 것을 보여드리겠습니다.

허락하다
- 방정식 (1)에 대한 특정 해, 즉

,
. (2)

넣어보자
, 어디 지– 새로운 알려지지 않은 기능 엑스. 그러면 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

또는
,

여기서 동일성(2)에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

. (3)

이는 동차 선형방정식으로, 그 좌변은 고려 중인 불균일 방정식 (1)과 동일하다. 저것들. 우리는 이 불균일 방정식 (1)에 해당하는 동차 방정식을 얻었습니다.

,
, …,
,

는 동차 방정식 (3)에 대한 해의 기본 시스템입니다. 그런 다음 이 방정식의 모든 해는 일반 해의 공식에 포함됩니다.

.

이 값을 대체해 보겠습니다. 지공식에
, 우리는 얻는다

.

결과 함수는 다음 영역의 방정식 (1)에 대한 일반적인 해입니다. 디.

따라서 우리는 선형 불균일 방정식 (1)의 일반 해가 이 방정식의 일부 특정 해와 해당 동차 선형 방정식의 일반 해의 합과 동일하다는 것을 보여주었습니다.

예.방정식의 일반적인 해 찾기

.

해결책.우리는 이 불균일 선형 방정식에 대한 특정 해가 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 알았습니다.

.

해당 동차 방정식의 일반 해법
, 이전에 이미 보여주었듯이 다음과 같은 형식을 갖습니다.

따라서 원래 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.
.

많은 경우, 다음 속성을 사용하면 불균일 방정식에 대한 특정 해를 찾는 작업이 더 쉬워집니다.

정리.방정식 (1)에서 우변의 형태는 다음과 같습니다.

그리고 알려진 바는
, ㅏ - 방정식의 특정 해
, 그런 다음 이러한 특정 솔루션의 합계 +방정식 (1)의 부분 해법이 될 것입니다.

증거.실제로 조건에 따라 방정식에 대한 특별한 해결책이 있습니다
, ㅏ - 방정식의 특정 해
, 저것

,
.

저것들. +방정식 (1)에 대한 특별한 해법입니다.

선형 불균일 미분 방정식의 경우 N-첫 주문

와이(N) + ㅏ 1(엑스)와이(N- 1) + ... + 그리고- 1 (엑스) 와이" + 안(엑스)와이 = 에프엑스(f(x)),

어디 와이 = 와이(엑스) - 알 수 없는 기능, ㅏ 1(엑스),ㅏ 2(엑스), ..., 그리고- 1(엑스), 안(엑스), 에프(엑스) - 알려진, 연속적인, 공정한:
1) 만일 와이 1(엑스) 그리고 와이 2(엑스)는 불균일 방정식에 대한 두 가지 해이고, 다음 함수는
와이(엑스) = 와이 1(엑스) - 와이 2(엑스) - 해당 균질 방정식의 해법;
2) 만일 와이 1(엑스) 불균일 방정식에 대한 해법, 그리고 와이 2(엑스)는 해당 균질 방정식의 해이고, 함수는 다음과 같습니다.
와이(엑스) = 와이 1(엑스) + 와이 2(엑스) - 비균질 방정식의 해법;
3) 만일 와이 1(엑스), 와이 2(엑스), ..., 인(엑스) - N동차 방정식의 선형 독립 해, 그리고 ㅋㅋㅋ(엑스) - 불균일 방정식에 대한 임의의 해법,
그런 다음 초기 값에 대해
엑스 0, 와이 0, 와이 0,1, ..., 와이 0,N- 1
표현
와이(엑스)=씨 1 와이 1(엑스) + 씨 2 와이 2(엑스) + ... + CN인(엑스) +ㅋㅋㅋ(엑스)
~라고 불리는 일반 결정선형 불균일 미분 방정식 N-번째 주문.

형식의 우변이 있는 상수 계수를 갖는 비균질 미분 방정식의 부분 해를 구하려면 다음을 수행하십시오.
PK(엑스)특급(a 엑스)코사인( bx) + Q 중(엑스)특급(a 엑스)죄( bx),
어디 PK(엑스), Q 중(엑스) - 차수 다항식 케이그리고 중따라서 특정 솔루션을 구성하기 위한 간단한 알고리즘이 있습니다. 선택 방법.

선택 방법, 즉 미정계수 방법은 다음과 같다.
방정식에 필요한 해는 다음과 같이 작성됩니다.
(홍보(엑스)특급(a 엑스)코사인( bx) + Qr(엑스)특급(a 엑스)죄( bx))xs,
어디 홍보(엑스), Qr(엑스) - 차수 다항식 아르 자형= 최대( 케이, 중) 와 함께 알려지지 않은계수
홍보 , 홍보 1, ..., 피 1, 피 0, qr, qr- 1, ..., 큐 1, 큐 0.
따라서, 상수 계수를 갖는 선형 불균일 미분 방정식의 일반 해를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.
해당 균질 방정식의 일반 해를 구합니다(특성 방정식을 작성하고 특성 방정식의 모든 근을 찾습니다. 엘 1, 엘 2, ... , 에, 솔루션의 기본 시스템을 작성하십시오. 와이 1(엑스), 와이 2(엑스), ..., 인(엑스));
불균일 방정식에 대한 특정 해를 찾아보세요. ㅋㅋㅋ(엑스);
일반해의 표현을 적어라
와이(엑스)=씨 1 와이 1(엑스) + 씨 2 와이 2(엑스) + ... + CN인(엑스) + ㅋㅋㅋ(엑스);

특별한 우변을 갖는 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식. 미정 계수 방법.

(1) 형식의 미분 방정식

여기서, f는 상수 계수를 갖는 n차 선형 미분 방정식이라고 불리는 알려진 함수입니다. 이면 방정식 (1)은 균질, 그렇지 않으면 불균일이라고 합니다.

상수 계수와 함수의 합과 곱으로 구성된 특수 형식의 우변을 갖는 선형 불균일 방정식의 경우, 미정 계수 방법을 사용하여 특정 해를 구할 수 있습니다. 특정 해의 유형은 특성 방정식의 근에 따라 달라집니다. 다음은 특별한 우변이 있는 선형 불균일 방정식의 부분해 유형에 대한 표입니다.

복잡한 비행기. 복소수의 모듈러스와 인수입니다. 논쟁의 주요 의미. 기하학적 의미

복소수는 a+ bi 형식으로 작성됩니다. 여기서 a와 b는 실수이고, i는 허수단위이다. 나는 2 = -1입니다. 숫자 a를 가로좌표라고 하고 b는 복소수 a+ bi의 세로좌표입니다. 두 개의 복소수 a+ bi와 a – bi를 공액 복소수라고 합니다.

복소수의 기하학적 표현. 실수는 수직선의 점으로 표시됩니다.

여기서 A점은 숫자 -3, B점은 숫자 2, O는 0을 나타냅니다. 대조적으로, 복소수는 좌표 평면의 점으로 표현됩니다. 이를 위해 두 축의 축척이 동일한 직사각형(직교) 좌표를 선택합니다. 그런 다음 복소수 a+ bi는 가로 좌표가 a이고 세로 좌표가 b인 점 P로 표시됩니다(그림 참조). 이 좌표계를 복소 평면이라고 합니다.

복소수의 모듈러스는 좌표(복소) 평면에서 복소수를 나타내는 벡터 OP의 길이입니다. 복소수 a+ bi의 모듈러스는 | a+ 바이 | 또는 문자 r은 다음과 같습니다.

켤레 복소수는 동일한 모듈러스를 갖습니다. __

복소수의 인수는 축 OX와 이 복소수를 나타내는 벡터 OP 사이의 각도입니다. 따라서 tan = b/a입니다.