§17. अनंतावर एकवचन बिंदू

व्याख्या.कॉम्प्लेक्स प्लेनमधील अनंत बिंदूला म्हणतात विलग एकवचनी बिंदूअद्वितीय विश्लेषणात्मक कार्य f(z), तर बाहेरकाही त्रिज्याचे वर्तुळ आर,

त्या साठी, फंक्शनचा कोणताही मर्यादित एकवचनी बिंदू नाही f(z).

अनंत बिंदूवर फंक्शनचा अभ्यास करण्यासाठी, आम्ही रिप्लेसमेंट करतो
कार्य

बिंदूवर एकलता असेल ζ = 0, आणि हा बिंदू वेगळा केला जाईल, पासून

वर्तुळाच्या आत
स्थितीनुसार इतर कोणतेही विशेष मुद्दे नाहीत. यामध्ये विश्लेषणात्मक असणे

मंडळ (तथाकथित वगळता ζ = 0), कार्य
पॉवर्समध्ये लॉरेंट मालिकेत विस्तारित केले जाऊ शकते ζ . मागील परिच्छेदामध्ये वर्णन केलेले वर्गीकरण पूर्णपणे अपरिवर्तित राहिले आहे.

तथापि, जर आपण मूळ व्हेरिएबलकडे परतलो तर z, नंतर सकारात्मक आणि नकारात्मक शक्तींमध्ये मालिका zठिकाणे 'स्विच' करा. त्या. अनंत बिंदूंचे वर्गीकरण असे दिसेल:

उदाहरणे. 1.
. डॉट z = i − तिसऱ्या क्रमाचा पोल.

2.
. डॉट z = ∞ - मूलत: एकवचनी बिंदू.

§18. एका वेगळ्या एकवचनी बिंदूवर विश्लेषणात्मक कार्याचे अवशेष.

मुद्दा द्या z 0 हा एकल-मूल्य असलेल्या विश्लेषणात्मक कार्याचा पृथक एकवचन बिंदू आहे

f(z) . मागील नुसार, या बिंदूच्या परिसरात f(z) लॉरेंट मालिकेद्वारे अद्वितीयपणे प्रस्तुत केले जाऊ शकते:
कुठे

व्याख्या.वजावटविश्लेषणात्मक कार्य f(z) एका वेगळ्या एकवचनी बिंदूवर z 0

इंटिग्रलच्या मूल्याप्रमाणे एक जटिल संख्या आहे
, फंक्शनच्या विश्लेषणाच्या क्षेत्रात असलेल्या कोणत्याही बंद समोच्च बाजूने सकारात्मक दिशेने घेतलेले आणि स्वतःमध्ये एकच एकवचन बिंदू समाविष्ट आहे z 0 .

वजावट Res चिन्हाद्वारे दर्शविली जाते [f(z),z 0 ].

हे पाहणे सोपे आहे की नियमित किंवा काढता येण्याजोग्या एकवचनी बिंदूवरील अवशेष शून्याच्या बरोबरीचे आहेत.

ध्रुव किंवा मूलत: एकवचन बिंदूवर, अवशेष गुणांकाच्या बरोबरीचे असतात सह-1 पंक्ती लॉरेंट:

.

उदाहरण.फंक्शनचे अवशेष शोधा
.

(ते पाहणे सोपे होऊ द्या

गुणांक सहसह पदांचा गुणाकार करताना -1 प्राप्त होतो n= 0:Res[ f(z),i ] =
}

कार्य अवशेषांची गणना सोप्या पद्धतीने करणे शक्य आहे. कार्य करू द्या f(z) यांचा समावेश आहे. zपहिल्या ऑर्डरचा 0 पोल. या प्रकरणात, लॉरेंट मालिकेतील फंक्शनच्या विस्ताराचे स्वरूप (§16): असते. चला ही समानता (z−z 0) ने गुणाकार करू आणि येथे मर्यादेकडे जाऊ
. परिणामी आम्हाला मिळते: Res[ f(z),z 0 ] =
तर, मध्ये

शेवटच्या उदाहरणात आपल्याकडे Res[ f(z),i ] =
.

उच्च क्रमाच्या ध्रुवांवर अवशेषांची गणना करण्यासाठी, कार्याचा गुणाकार करा

वर
(मी− ध्रुव क्रम) आणि परिणामी मालिकेत फरक करा ( मी − 1 वेळ.

या प्रकरणात आमच्याकडे आहे: Res[ f(z),z 0 ]

उदाहरण.फंक्शनचे अवशेष शोधा
z= −1 वर.

{Res[ f(z), −1] }

आम्ही या बिंदूच्या अतिपरिचित क्षेत्राची व्याख्या मूळच्या केंद्रस्थानी असलेल्या वर्तुळांचे बाह्य भाग म्हणून केली आहे: यू (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). डॉट z = ∞ हा विश्लेषणात्मक कार्याचा पृथक एकवचन बिंदू आहे w = f (z ), जर या बिंदूच्या काही परिसरात या फंक्शनचे इतर एकवचन बिंदू नसतील. या एकवचनी बिंदूचा प्रकार निश्चित करण्यासाठी, आम्ही चल आणि बिंदूमध्ये बदल करतो z = ∞ बिंदूकडे जातो z 1 = 0, कार्य w = f (z ) फॉर्म घेईल . एकवचनी बिंदूचा प्रकार z = ∞ कार्ये w = f (z ) आपण एकवचनी बिंदूचा प्रकार म्हणू z 1 = 0 कार्ये w = φ (z 1). जर कार्याचा विस्तार w = f (z ) अंशानुसार z एका बिंदूच्या परिसरात z = ∞, म्हणजे पुरेशा मोठ्या मॉड्यूलस मूल्यांवर z , फॉर्म आहे , नंतर, बदलणे z वर, आम्ही प्राप्त करू. अशा प्रकारे, व्हेरिएबलच्या अशा बदलासह, लॉरेंट मालिकेतील मुख्य आणि नियमित भाग ठिकाणे आणि एकवचन बिंदूचा प्रकार बदलतात. z = ∞ पॉवर्समधील लॉरेंट मालिकेतील फंक्शनच्या विस्ताराच्या योग्य भागातील संज्ञांच्या संख्येद्वारे निर्धारित केले जाते. z एका बिंदूच्या परिसरात z = 0. म्हणून
1. पॉइंट z = ∞ हा एक काढता येण्याजोगा एकवचनी बिंदू आहे जर या विस्तारामध्ये योग्य भाग नसेल (शब्दासाठी, कदाचित, वगळता ए 0);
2. पॉइंट z = ∞ - ध्रुव n - जर उजवा भाग एखाद्या पदासह समाप्त होत असेल तर तो क्रम एक एन · z n ;
3. पॉइंट z = ∞ हा एक मूलत: एकवचनी बिंदू आहे जर नियमित भागामध्ये अमर्यादपणे अनेक संज्ञा असतील.

या प्रकरणात, मूल्यानुसार एकवचनी बिंदूंच्या प्रकारांचे निकष वैध राहतील: जर z= ∞ हा काढता येण्याजोगा एकवचनी बिंदू आहे, नंतर ही मर्यादा अस्तित्वात आहे आणि मर्यादित असल्यास z= ∞ एक ध्रुव आहे, तर ही मर्यादा अनंत आहे जर z= ∞ हा मूलत: एकवचनी बिंदू आहे, नंतर ही मर्यादा अस्तित्वात नाही (सीमित किंवा अनंत नाही).

उदाहरणे: १. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. फंक्शन आधीपासून पॉवर्समध्ये बहुपदी आहे z , म्हणून सर्वोच्च पदवी सहावी आहे z
समान परिणाम दुसर्या मार्गाने मिळवता येतो. आम्ही बदलू z वर, नंतर . कार्यासाठी φ (z 1) बिंदू z 1 = 0 हा सहाव्या क्रमाचा ध्रुव आहे, म्हणून f (z ) बिंदू z = ∞ - सहाव्या क्रमाचा ध्रुव.
२. या कार्यासाठी, पॉवर विस्तार प्राप्त करा z कठीण, चला शोधूया: ; मर्यादा अस्तित्वात आहे आणि मर्यादित आहे, म्हणून बिंदू z
३. पॉवर विस्ताराचा योग्य भाग z असीमपणे अनेक संज्ञा आहेत, त्यामुळे z = ∞ हा मूलत: एकवचनी बिंदू आहे. अन्यथा, ही वस्तुस्थिती अस्तित्वात नाही या वस्तुस्थितीवर आधारित स्थापित केली जाऊ शकते.

असीम दूरच्या एकवचनी बिंदूवर फंक्शनचे अवशेष.

अंतिम एकवचनी बिंदूसाठी a , कुठे γ - एक सर्किट ज्यामध्ये इतर कोणतेही नसतात a , एकवचनी बिंदू, अशा रीतीने मार्गक्रमण केले जाते की त्यास बांधलेले क्षेत्र आणि एकवचन बिंदू असलेले क्षेत्र डावीकडे राहते (घड्याळाच्या उलट दिशेने).

चला अशाच प्रकारे परिभाषित करूया: , जेथे Γ − हा अशा अतिपरिचित क्षेत्राला मर्यादित करणारा समोच्च आहे यू (∞, आर ) गुण z = ∞, ज्यामध्ये इतर एकवचनी बिंदू नसतात आणि ट्रॅव्हर्स करण्यायोग्य असतात जेणेकरून हे अतिपरिचित क्षेत्र डावीकडे राहील (म्हणजे घड्याळाच्या दिशेने). अशा प्रकारे, फंक्शनचे इतर सर्व (अंतिम) एकवचन बिंदू समोच्च Γ − मध्ये स्थित असले पाहिजेत. समोच्च Γ − पार करण्याची दिशा बदलू: . अवशेषांवरील मुख्य प्रमेयानुसार , जेथे सर्व मर्यादित एकवचनी बिंदूंवर बेरीज केले जाते. म्हणून, शेवटी

,

त्या असीम दूरच्या एकवचनी बिंदूवरील अवशेष हे विरुद्ध चिन्हासह घेतलेल्या सर्व मर्यादित एकवचनी बिंदूंवरील अवशेषांच्या बेरजेइतके असते.

परिणामी, आहे एकूण बेरीज प्रमेय: फंक्शन असल्यास w = f (z ) विमानात सर्वत्र विश्लेषणात्मक आहे सह , एकवचनी बिंदूंची मर्यादित संख्या वगळता z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , तर सर्व मर्यादित एकवचनी बिंदूंवरील अवशेषांची बेरीज आणि अनंतावरील अवशेषांची बेरीज शून्य असते.

लक्षात ठेवा की जर z = ∞ हा काढता येण्याजोगा एकवचनी बिंदू आहे, नंतर त्यावरील अवशेष शून्यापेक्षा भिन्न असू शकतात. तर फंक्शनसाठी, स्पष्टपणे, ; z = 0 हा या फंक्शनचा एकमेव मर्यादित एकवचन बिंदू आहे, म्हणून , हे असूनही, i.e. z = ∞ हा काढता येण्याजोगा एकवचनी बिंदू आहे.

सर्व प्रथम, आम्ही लक्षात घेतो की प्रक्षेपित विमान, युक्लिडियन विमानाप्रमाणे, अनंत विस्तारित नाही. चला त्यांच्यामध्ये काय फरक आहे ते शोधूया आणि दुसरीकडे, ते एकमेकांशी कसे संबंधित आहेत? हे करण्यासाठी, प्रक्षेपित भूमितीमध्ये युक्लिडियन समतलाच्या कोणत्या स्थानांचा वापर केला जातो हे स्पष्ट करूया. प्रोजेक्टिव्ह भूमिती स्वतःच्या स्वयंसिद्ध प्रणालीवर आधारित आहे. आणि जरी स्वयंसिद्ध पायावरील तार्किक रचना हे गणितीय पद्धतीचे एक अद्भुत उदाहरण आहे, तथापि, युक्लिडियन भूमितीपासून घटस्फोट घेतल्याने, प्रोजेक्टिव्ह भूमितीचे असे सादरीकरण खूप अमूर्त आहे. म्हणून, अधिक विशिष्टतेसाठी आणि स्पष्टतेसाठी, युक्लिडियन विमान मॉडेलवरून पुढे जाण्याचा सल्ला दिला जातो.

हे ज्ञात आहे की युक्लिडियन समतलातील एक रेषा दोन्ही दिशांना अनिश्चित काळासाठी चालू राहते आणि रेषेचे बिंदू आणि सर्व वास्तविक संख्या यांच्यामध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित केला जाऊ शकतो, ज्यामध्ये रेषेवरील बिंदूंचा नैसर्गिक क्रम जुळतो. संख्यांच्या क्रमानुसार परंतु त्यांचे परिमाण.

आता आपण सरळ रेषेला “डावी आणि उजवीकडे” समान सशर्त बिंदूसह पूरक करू या, ज्याला आपण बिंदू अनंतात म्हणू.

हे स्पष्ट आहे की शंका उद्भवते - अस्तित्वात नसलेल्या बिंदूंच्या वास्तविकतेबद्दल बोलणे शक्य आहे का? तथापि, आधुनिक सिद्धांतांमध्ये हे सामान्य आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्यांमध्ये अमर्याद मोठ्या संख्ये नसल्या तरी, गणितीय विश्लेषणामध्ये चिन्ह सत्याचा वापर संख्या म्हणून नाही तर अमर्यादित वाढ दर्शविण्यासाठी केला जातो. (त्याच अर्थाने, चिन्ह त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या संबंधात वापरले जाते.) एका सामान्य रेषेत अनंताचा बिंदू जोडल्यानंतर, "पूर्ण" रेषा बंद होते. आता आपण प्रत्येक सामान्य सरळ रेषेत अनंताचा एक बिंदू जोडू या आणि आपण हे मान्य करूया की जेव्हा रेषा समांतर असतात तेव्हा त्यांना जोडलेले बिंदू एकरूप होतात, परंतु जेव्हा रेषा समांतर नसतात तेव्हा त्यांचे अनंताचे बिंदू वेगळे असतात.

युक्लिडियन समतलावर छेदणाऱ्या दोन रेषा एका सामान्य बिंदूला छेदतात आणि या रेषांच्या अनंततेवरील बिंदू एकरूप होत नाहीत. म्हणून, या नवीन भूमितीमध्ये समांतर रेषा नाहीत; प्रत्येक दोन ओळी आवश्यक आहेत

एका बिंदूवर छेदतात. सामान्य भूमितीमध्ये एकमेकांशी समांतर असलेल्या सरळ रेषांच्या कुटुंबामध्ये अनंतावर एक समान बिंदू असतो, तर वेगवेगळ्या दिशांमधील सरळ रेषांमध्ये अनंतावर भिन्न बिंदू असतात. या संदर्भात, अमर्यादपणे अनेक बिंदू आहेत.

अनंतावरील या बिंदूंचा संच, पुन्हा व्याख्येनुसार, अनंतावर एक तथाकथित सरळ रेषा बनवते

अशा प्रकारे आपल्याला एक भूमिती मिळते ज्यामध्ये अनंतात एक सरळ रेषा युक्लिडियन समतलात जोडली जाते.

मूलत:, ही भूमिती अद्याप युक्लिडियन भूमितीपेक्षा फारशी वेगळी नाही. दोन सरळ रेषा समांतर आहेत या प्रस्तावाऐवजी, त्या अनंताच्या एका बिंदूला छेदतात असा प्रस्ताव सादर केला जातो.

प्रक्षेपित भूमितीमध्ये स्वीकारल्या गेलेल्या मूलभूत स्वयंसिद्धांमध्ये असे म्हटले जाते की दोन बिंदू एक रेषा परिभाषित करतात (जर दोन्ही बिंदू अनंतावर असतील, तर ते अनंतावर रेषा परिभाषित करतात आणि दोन रेषा नेहमी एका बिंदूला छेदतात. आणि जरी या दोन स्वयंसिद्धांच्या तरतुदी खूप महत्त्वाच्या आहेत. , पण जोपर्यंत आम्ही वाटप करतो

अनंतात एका सरळ रेषेत काही बिंदू, आम्ही व्यावहारिकपणे युक्लिडियन भूमितीचे सार बदलत नाही आणि भूमितीमध्ये काहीही नवीन आणत नाही.

V. ZHVIRBLIS

रात्रीचे अथांग आकाश आणि सर्फचा सतत आवाज, आपल्या इच्छेविरुद्ध, आपल्याला अनंताबद्दल विचार करायला लावतो. स्पेसची अनंतता आणि वेळेची अनंतता.

अनंत मात्र तितकीशी आकर्षक नाही कारण ती भयावह आहे. खरंच, जेव्हा तुम्ही त्याची कल्पना करण्याचा प्रयत्न करता तेव्हा दंव तुमच्या त्वचेला रेंगाळते. आणि वरवर पाहता, म्हणूनच मनुष्य, प्राचीन काळापासून आजपर्यंत, अथकपणे शोधतो आणि मानसिकरित्या स्वतःभोवती एक आरामदायक मर्यादित जग तयार करतो.

प्रथम, जगाचे रक्षण करण्यासाठी, मनुष्याने सपाट पृथ्वीला तीन व्हेल किंवा तीन हत्तींवर ठेवले आणि जगाच्या निर्मितीबद्दल आणि जगाच्या समाप्तीबद्दल एक आख्यायिका घेऊन आली. पण जुन्या काळात जसे व्हेल कुठे पोहतात किंवा हत्ती कुठे उभे राहतात, जगाच्या निर्मितीपूर्वी काय होते आणि जगाच्या अंतानंतर काय होईल, या प्रश्नाचे उत्तर कोणीही देऊ शकत नव्हते, त्याचप्रमाणे आता अनेकांचे अस्तित्व असूनही विश्वाचे अत्याधुनिक सिद्धांत , "अनंत" च्या वरवर सोप्या वाटणाऱ्या संकल्पनेचा भौतिक अर्थ अजूनही अस्पष्ट आहे आणि अनंताचे खरोखर स्पष्टपणे प्रतिनिधित्व करण्याचा मार्ग अद्याप कोणालाही सापडलेला दिसत नाही.

जरी गणितज्ञ इतर सर्वांसारखे लोक असले तरी, ते बर्याच काळापासून अनंताच्या विशाल विस्तारात धैर्याने फिरत आहेत.

ते हे कसे करतात? संख्या अचूकपणे लिहिण्यासाठी काय आवश्यक आहे? e, नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार दर्शवित आहे?

या प्रश्नाची दोन उत्तरे असू शकतात.

उत्तर एक: कागदाचा अमर्याद मोठा पत्रक आणि अमर्यादपणे बराच वेळ, कारण आपण कितीही लहान आणि त्वरीत संख्या लिहितो, तरीही आपण अनंत पंक्तीमध्ये एक अमर्याद मोठा पृष्ठभाग भरू शकतो. e= 2.71828... कायमचे घेईल. या प्रकरणात, ते संभाव्य अनंताबद्दल बोलतात, म्हणजेच, एक अनंतता जी केवळ संभाव्य अस्तित्वात आहे, म्हणून बोलायचे तर, तत्त्वतः, परंतु प्रत्यक्षात कधीही संपू शकत नाही.

उत्तर दोन: कागदाचा कोणताही तुकडा आणि काही सेकंद, ज्यामध्ये तुम्ही एक सूत्र स्केच करू शकता जे तुम्हाला संख्या मोजण्याची परवानगी देते eकोणत्याही पूर्वनिर्धारित अचूकतेसह. हे करण्यासाठी, फॉर्म्युलामध्ये (ते संदर्भ पुस्तकात आढळू शकते), आपल्याला केवळ अनंतापर्यंत वाढणाऱ्या नैसर्गिक मालिकेची संख्या बदलणे आवश्यक आहे. हे ऑपरेशन सहसा चिन्हांच्या संयोजनाद्वारे दर्शविले जाते n→ ∞; या प्रकरणात, अनंताला वास्तविक म्हटले जाते, म्हणजे, जणू एकदा आणि सर्वांसाठी, खरोखर पूर्ण झाले, खरोखर अस्तित्वात असले तरी, कोणत्याही निश्चित गोष्टीच्या समान नाही.

शेवटच्या तंत्राची युक्ती अशी आहे की सर्व अनंत चिन्हांच्या छोट्या संयोगात लपलेले आहे, ज्यामध्ये वेळ प्रच्छन्न स्वरूपात भाग घेते: शेवटी nआम्हाला ते नेहमीच वाढवायचे आहे! परंतु वास्तविक जगाशी व्यवहार करणारे भौतिकशास्त्रज्ञ गणितज्ञांच्या उदाहरणाचे अनुसरण करू शकत नाहीत, जे वेळेकडे पूर्णपणे दुर्लक्ष करून स्वतःच्या तार्किक पद्धतीने कार्य करतात.

भौतिक सूत्रांमध्ये, अनंत हे वेळोवेळी दिसून येते आणि त्यातून मुक्त होण्यासाठी (अखेर, वास्तविक जगात, सर्व परिमाण मर्यादित असणे आवश्यक आहे), भौतिकशास्त्रज्ञ काही प्रमाणात अविवेकी आहेत, शांतपणे अमर्याद मोठ्या प्रमाणात बदलतात. , परंतु तरीही मर्यादित, आणि अमर्यादपणे लहान मूल्यांकडे दुर्लक्ष केले जाते. जसे ते म्हणतात, जर तेथे अनंत नसेल तर त्याच्याशी संबंधित कोणतीही समस्या नाही.

अनंतांचे असे "गोलाकार" जेव्हा प्रायोगिक परिणामांच्या स्पष्टीकरणासाठी येते तेव्हा वैध आहे (अखेर, मोजमापांची अचूकता नेहमीच मर्यादित असते), परंतु "शुद्ध" सिद्धांतामध्ये ते पूर्णपणे अस्वीकार्य आहे. उदाहरणार्थ, बऱ्याचदा एखाद्याला पूर्णपणे निरर्थक, किंबहुना, “अनंत मोठ्या (लहान) वस्तुमान” किंवा “अनंत लहान (उच्च) गती” सारख्या अभिव्यक्तींचा सामना करावा लागतो. शेवटी, याचा अर्थ असा की वस्तुमान सतत वाढते किंवा कमी होते, ती गती कमी होते किंवा वाढते, म्हणजेच वस्तुमान आणि ऊर्जा अज्ञात ठिकाणांहून येते किंवा अज्ञात ठिकाणी अदृश्य होते. आपण अशा रॉकेटची कल्पना करू शकतो ज्याचा वेग सतत वाढत आहे, परंतु ज्याचे इंजिन कोणतेही इंधन वापरत नाही?

याचा अर्थ असा आहे की येथे खरोखर काय अभिप्रेत आहे ते खरोखर अमर्यादपणे मोठे किंवा अमर्यादपणे लहान प्रमाणात नाही, परंतु मर्यादित प्रमाण - एकतर अकल्पनीय मोठ्या किंवा नगण्यपणे लहान. अन्यथा, भौतिकशास्त्रज्ञ कधीही न होणाऱ्या परिस्थितीचे वर्णन कसे करू शकतील?

"अनंत" हा शब्दच सूचित करतो की ही अशी गोष्ट आहे ज्याची सुरुवात किंवा अंत नाही. अंतहीन रेषा, अंतहीन विमान, अंतहीन जागा... ही संभाव्य अनंताची दृश्य प्रतिमा आहे. मर्यादित खंड अनंत मानला जाऊ शकतो का? म्हणा, एक सेंटीमीटर लांब?

शुद्ध गणिताच्या दृष्टिकोनातून, एक सेंटीमीटर लांब आणि हायड्रोजन अणू किंवा इलेक्ट्रॉनच्या व्यासाएवढा एक खंड दोन्ही वास्तविकपणे अमर्याद मोठे मानले जाऊ शकतात. आणि सर्वसाधारणपणे, कोणताही, कितीही लहान असला तरीही, परंतु मर्यादित विभाग - संपूर्ण मुद्दा म्हणजे तो कसा मोजायचा. शेवटी, जर मोजमापाचे एकक अमर्यादपणे लहान असेल (किंवा त्याऐवजी, शून्याकडे झुकते), तर त्याच्या मदतीने मोजलेल्या कोणत्याही विभागाचा आकार अमर्यादपणे मोठा असतो (अधिक तंतोतंत, अनंताकडे झुकतो).

दुस-या शब्दात सांगायचे तर, अमर्यादपणे मोठी रक्कम अकल्पनीयरीत्या मोठी असण्याची गरज नाही; जर ते मोजण्यासाठी अमर्यादपणे कमी प्रमाणात वापरले गेले असेल तर त्याला कोणतेही मर्यादित (आणि आपल्या दृष्टिकोनातून अगदी लहान) परिमाण असू शकतात, म्हणजेच सतत कमी होत आहेत. वेळ परंतु तेच मर्यादित प्रमाण वेळेत अमर्यादपणे वाढणारे प्रमाण वापरून मोजले गेल्यास ते अमर्याद मानले जाऊ शकते.

म्हणजेच, वास्तविक भौतिक अनंतामध्ये दोन अविभाज्यपणे जोडलेले क्षेत्र असणे आवश्यक आहे - अमर्यादपणे मोठा प्रदेश आणि अमर्यादपणे लहान प्रदेश - आणि म्हणून ते संभाव्य आणि वास्तविक मध्ये विभागले जाऊ शकत नाही. अशी अनंतता फक्त अस्तित्त्वात असली पाहिजे.

खरं तर, आपल्याला माहित आहे की पदार्थात रेणू असतात, रेणू अणूपासून बनतात, अणू इलेक्ट्रॉन आणि न्यूक्लीपासून बनतात, न्यूक्ली प्रोटॉन आणि न्यूट्रॉनपासून बनतात. इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन आणि न्यूट्रॉन स्वतः कशापासून बनलेले आहेत? क्वार्क्स पासून? आणि ते कशापासून बनलेले आहेत? म्हणजेच, आपण पदार्थाच्या कणांच्या रचनेत कितीही खोलवर प्रवेश केला तरीही, आपण अविरतपणे समान संस्कारात्मक प्रश्न विचारू शकतो: कशापासून?

असे दिसून आले की व्हेल आणि हत्ती केवळ अमर्याद मोठ्या प्रदेशातच नाही तर अमर्याद लहान असलेल्या प्रदेशात देखील आढळतात ...

प्रत्येकाला हे चांगले ठाऊक आहे की वैश्विक विस्तारामध्ये अंतराळाच्या विशालतेत कार्यरत असलेले भौतिक नियम सूक्ष्म जगतात सारखे नसतात. सापेक्षतेचा सिद्धांत आहे, विशेष आणि सामान्य; येथे क्वांटम यांत्रिकी आहे. आणि जरी दोन्ही सिद्धांत सापेक्षतावादी क्वांटम मेकॅनिक्सद्वारे एकत्र केले गेले असले तरी, यामुळे ते सोपे होत नाही: हे सर्व गैर-शास्त्रीय सिद्धांत वास्तविक प्रयोगांचे परिणाम योग्यरित्या प्रतिबिंबित करतात, परंतु सापेक्षतावादी आणि क्वांटम प्रभावांची दृश्यमानपणे कल्पना करणे अशक्य आहे, कारण एखादी व्यक्ती मानसिकदृष्ट्या कल्पना करू शकते. न्यूटनच्या शास्त्रीय मेकॅनिक्सच्या तथाकथित "सामान्य ज्ञान" (वाचा - भौतिक अर्थ) च्या दृष्टिकोनातून वर्णन केलेल्या मध्यम आकाराच्या आणि वेगाच्या मर्यादित दैनंदिन जगात घडणारी केवळ घटना. आणि तसे असल्यास, वास्तविक भौतिक अनंताची कल्पना करण्याचा प्रयत्न करणे खरोखर शक्य आहे का?

सापेक्षतावादी क्वांटम केवळ शास्त्रीयपेक्षा वेगळे आहे कारण त्यात दोन अतिरिक्त पोस्ट्युलेट्स आहेत - प्रकाशाच्या गतीची मर्यादितता आणि अपरिवर्तनीयता आणि क्रियेच्या परिमाणांची मर्यादितता - प्लँकचा स्थिरता. शरीराचा वेग जितका जास्त आणि त्याचे वस्तुमान जितके कमी तितके त्याचे वर्तन अधिक असामान्य होते. आणि त्याउलट: शरीराचे वस्तुमान जितके जास्त असेल आणि त्याची गती कमी असेल तितके त्याचे वर्तन शास्त्रीय यांत्रिकीद्वारे अधिक अचूकपणे वर्णन केले जाते आणि मानसिकदृष्ट्या त्याची कल्पना करणे सोपे आहे. त्याच प्रकारे, शास्त्रीय यांत्रिकी भौतिक वस्तूंच्या वर्तनाचे अधिक अचूकपणे वर्णन करेल प्रकाशाचा वेग जितका जास्त असेल आणि प्लँकचा स्थिर स्थिर असेल.

मग शास्त्रीय यांत्रिकी काय वर्णन करते? असे दिसून आले की ते कशाचेही वर्णन करत नाही असे दिसते: ते केवळ वास्तविक जगामध्ये स्थित असलेल्या खरोखर अस्तित्वात नसलेल्या वस्तू (अनंत मोठ्या वस्तुमानासह आणि अमर्यादपणे लहान गतीसह) किंवा खरोखर अस्तित्वात असलेल्या वस्तूंचे वर्णन करण्यासाठी योग्य आहे. खरोखर अस्तित्वात नसलेले जग (अनंत लहान लहान प्लँक स्थिर आणि अमर्याद प्रकाशाच्या उच्च गतीसह)...

हा एक विचित्र निष्कर्ष नाही का? तथापि, याचा अर्थ अशा प्रकारे देखील केला जाऊ शकतो: शास्त्रीय यांत्रिकी आपल्याला वास्तविक जगाचे एक पूर्णपणे सट्टा मॉडेल देते, जसे की एखाद्या निरीक्षकाने “बाहेरून” अनंतातून पाहिले. साहजिकच, अशा मॉडेलच्या गुणधर्मांचा प्रायोगिकरित्या अभ्यास केला जाऊ शकत नाही, कारण निरीक्षक काल्पनिक किंवा असीम दूरच्या वस्तूंवर वास्तविक प्रयोग करू शकत नाही. परंतु गैर-शास्त्रीय सिद्धांत त्याच जगाचे वर्णन करतात, परंतु केवळ "आतून" एखाद्या वास्तविक निरीक्षकाच्या दृष्टिकोनातून, जो तो अभ्यास करत असलेल्या प्रणालीसह एक संपूर्ण तयार करतो आणि त्यावर सक्रियपणे प्रभाव पाडण्यास सक्षम आहे: यामध्ये केस, सिद्धांत आणि प्रयोग असे परिणाम देतात जे एकमेकांशी काटेकोरपणे सुसंगत असतात, परंतु "सामान्य ज्ञान" च्या काटेकोर नुसार केवळ या परिणामांची कल्पना यापुढे कल्पना केली जाऊ शकत नाही.

दुस-या शब्दात सांगायचे तर, जगाकडे “आतून” पाहिल्याने निरीक्षकाला निरीक्षण केलेल्या वस्तूबद्दल तुलनेने खरी माहिती मिळते, निरीक्षक आणि ऑब्जेक्ट एकच भौतिक प्रणाली बनवतात आणि एकमेकांवर प्रभाव टाकतात या वस्तुस्थितीमुळे अपरिहार्यपणे विकृत होते. याउलट, जगाकडे “बाहेरून”, अनंतातून पाहिल्यास, निरीक्षकाला त्या वस्तूबद्दल पूर्णपणे खरी माहिती मिळेल. पण अनंतात जाण्यासाठी, अमर्यादपणे मोठ्या प्रमाणात वेळ लागतो... परम सत्याच्या अनुभूतीच्या प्रक्रियेच्या अनंततेबद्दलच्या तात्विक विचारांचा हा विशिष्ट भौतिक अर्थ नाही का?

जग एक आहे - फक्त त्यावरील दृष्टिकोन भिन्न आहेत. परंतु जर जगाचे पूर्णपणे खरे चित्र तत्त्वतः पाहिले जाऊ शकत नाही, तर कदाचित त्याची गणना केली जाऊ शकते? उदाहरणार्थ, गॅलिलियन किंवा लॉरेंट्झ प्रमाणेच समन्वयित परिवर्तने शोधून, जे जगाच्या दृष्टिकोनातून “बाहेरून” जगाच्या दृष्टिकोनातून “आतून” आणि त्याउलट अपरिवर्तनीय संक्रमणास अनुमती देईल. तेव्हा असे घडणार नाही का की आपल्या दैनंदिन मतानुसार, विचित्र नसलेल्या शास्त्रीय नसलेल्या सिद्धांतांची मांडणी आणि निष्कर्ष, आधुनिक सैद्धांतिकांच्या मते, केवळ एक गर्भित आणि कमी विचित्र गोष्टींपासून मुक्त होण्याचा सर्वोत्तम मार्ग नाही. भौतिकशास्त्रज्ञ, जगाच्या शास्त्रीय मॉडेलची अनंतता?

चंद्र नसलेल्या तारकीय आकाशात पाहताना लोक बहुधा अनंताचा विचार करतात. परंतु आकाशाची अनंतता ही केवळ वास्तविक भौतिक अनंततेच्या अर्धी आहे, ती केवळ अमर्याद मोठ्या प्रदेशातच नाही, तर अमर्याद लहान परिमाणांच्या प्रदेशातही विस्तारलेली आहे. आणि अर्धा देखील नाही, परंतु त्याचा एक अमर्याद भाग आहे.

लोकांना वास्तविक भौतिक अनंताच्या प्रतिमेचा सामना उघड्यावर नाही तर आरामदायक घरगुती वातावरणात करावा लागला, आरशांवर भविष्य सांगणे, जे जुन्या काळात फॅशनेबल होते. हे असे केले गेले: पूर्ण शांतता आणि संपूर्ण एकांतात, मुलगी टेबलावर बसली, एक आरसा तिच्या समोर आणि दुसरा तिच्या मागे ठेवला; तिने प्रत्येक बाजूला प्रज्वलित मेणबत्त्या ठेवल्या आणि तिच्या चेहऱ्यावर चमकणाऱ्या प्रकाशाने प्रकाश टाकला. आणि मग तिने तिच्या अविरतपणे पुनरावृत्ती होणाऱ्या प्रतिबिंबाकडे लक्षपूर्वक डोकावून पाहिले, एका प्रश्नाचा विचार केला ज्याचे उत्तर तिला प्राप्त करायचे आहे. प्रश्न, स्वाभाविकपणे, संबंधित विवाह ...

ते म्हणतात की काही काळानंतर, भविष्य सांगणाऱ्याने अज्ञात गोष्टीची कल्पना करण्यास सुरवात केली आणि जर तिने अशा केससाठी खास तयार केलेला टॉवेल वेळीच एखाद्या आरशावर टाकला नाही तर ती घाबरून बेहोश होईल.

हसू नका, दोन आरशांमध्ये किमान पंधरा मिनिटे शांत बसण्याचा आणि संधिप्रकाशात बसण्याचा प्रयत्न करा, फिरत्या अनंतात डोकावून पहा आणि तुम्हाला, एक आधुनिक, तर्कशुद्ध विचार करणारा माणूस देखील खूप अस्वस्थ वाटेल. लवकरच किंवा नंतर आपण कुठे आहात आणि आपले प्रतिबिंब कोठे आहे हे समजणे बंद कराल आणि नंतर आपण एकसारखे चेहऱ्यांच्या अंतहीन पंक्तीमध्ये गोंधळून जाऊन आपले वास्तविकतेचे भान गमावाल ...

मी स्वतः चुकून माझ्या दूरच्या बालपणात, युद्धपूर्व वर्षांमध्ये वास्तविक भौतिक अनंताची आणखी अचूक प्रतिमा अनुभवली. माझ्यासाठी, तेव्हा चार वर्षांचा, पोस्टमनने “मुर्झिल्का” चा पुढचा अंक आणला, ज्याच्या मुखपृष्ठावर खालील चित्र छापले होते: एक खोली, त्यात एक मुलगा सोफ्यावर बसून “मुर्झिल्का” मासिक पाहत आहे. , ज्याच्या मुखपृष्ठावर तीच खोली पुन्हा पुन्हा चित्रित केली आहे त्याच वर एक मुलगा सोफ्यावर “मुर्झिल्का” हातात घेऊन बसलेला आहे - आणि असेच, वरवर पाहता अनंत.

आणि अचानक मला वाटले: पण मी देखील एक मुलगा आहे, आणि मी देखील त्याच खोलीत सोफ्यावर बसलो आहे आणि मी मुरझिल्का मासिक देखील पहात आहे. त्याच नियतकालिकाच्या मुखपृष्ठावर माझे चित्र असेल आणि त्याच खोलीत त्याच सोफ्यावर बसलेल्या एका मुलाकडे पाहत असेल आणि मुर्झिल्का मासिकाच्या मुखपृष्ठावर स्वतःचे चित्र असेल तर? मग मी घाबरून गर्जना केली, मासिक फेकून दिले आणि ते पुन्हा न पाहण्याचा प्रयत्न केला, जरी काही कारणास्तव मला उत्कटतेने मुखपृष्ठ पुन्हा पहायचे होते...

पण मूर्ख अंधश्रद्धा बाजूला ठेवूया, धोकादायक मानसिक प्रयोग टाळूया आणि अनावश्यक भावनांशिवाय तर्क करूया. चला असे गृहीत धरू की मी स्वत: एक सामान्य क्रमांकाचा मुलगा आहे nआणि त्याच्या हातात एक मासिक धरले होते, ज्याच्या मुखपृष्ठावर अनुक्रमांक असलेल्या मुलाचे चित्रण आहे n- 1. आणि त्याच वेळी अनुक्रमांकाच्या मुलाच्या हातात धरलेल्या मासिकाच्या मुखपृष्ठावर माझे चित्रण आहे n+ 1. या प्रकरणात, आम्ही असे गृहीत धरू nसतत वाढते, अनंताकडे झुकते. म्हणजेच, घरटी बाहुल्यांप्रमाणे एकमेकांमध्ये घरटी असलेल्या जगांची संख्या वाढत आहे. मात्र, संख्या कितीही मोठी असली तरी n, माझ्या जगात मी नेहमी स्वतःच राहीन आणि ते सतत वाढत आहे हे लक्षात घेण्यास सक्षम नाही; शिवाय, मला कदाचित अनुक्रमांक असलेल्या जगाच्या अस्तित्वाबद्दल देखील माहिती नसेल n+ 1 आणि n– 1. शिवाय, मी एका मासिकाचे मुखपृष्ठ असलेले लहान तुकडे करू शकतो ज्याने मला घाबरवले आणि ताबडतोब असंख्य जगाचा नाश केला...

पण हे काय बदलणार? जर मासिक 1,000,000 प्रतींच्या संचलनात प्रकाशित झाले असेल, तर 999,999 अनंत जतन केले जातील; जरी हे नमुने नाहीसे झाले, तर अनुक्रमांकाच्या 999999 जगात n+ 1 999999 · मासिकाच्या 1000000 प्रती जतन केल्या जातील आणि अनुक्रमांकाच्या जगांची संख्या n+ 1, या बदल्यात, 1000000 च्या समान आहे - आणि असेच, जाहिरात अनंत. एका शब्दात, अशा अनंतामध्ये केवळ अमर्यादपणे अनेक अनुक्रमांक नसतात, परंतु प्रत्येक संख्या अमर्यादपणे मोठ्या संख्येने प्रतींनी दर्शविली जाते.

अशी अनंतता त्याच्या विशालता आणि अक्षुब्धता, अविनाशीपणा आणि तसे बोलायचे तर, अकल्पनीयतेसाठी इतकी भयावह वाटू शकत नाही, परंतु त्याच्या साधेपणासाठी, मूर्खपणाच्या टप्प्यावर पोहोचली आहे. (म्हणूनच एखाद्या गंभीर आजाराच्या वेळी एखाद्या व्यक्तीमध्ये अनंताची भावना अनेकदा उद्भवते का? प्रिन्स बोलकोन्स्कीच्या प्रलापाचे वर्णन लक्षात ठेवा.) दुसऱ्या शब्दांत, वास्तविक भौतिक अनंत - आपल्या जगात अस्तित्वात असलेली प्रत्येक गोष्ट - नष्ट होऊ शकत नाही किंवा निर्माणही होऊ शकत नाही: ते. एकतर अजिबात अस्तित्वात नाही (ज्याची कल्पना करणे अशक्य आहे), किंवा नेहमी अस्तित्वात आहे, कायमचे (ज्याची कल्पना करणे देखील अशक्य आहे). तर प्रश्न - जगाची सुरुवात होती का आणि तिचा अंत होईल - याचे उत्तरच नाही, तर अर्थही नाही, आणि अविस्मरणीय कोझमा प्रुत्कोव्ह बरोबर होता, ज्याने याबद्दल खालील बोधकथा दिली: “एकदा, जेव्हा रात्री त्याच्या अदृश्य आवरणाने आकाश झाकले, प्रसिद्ध फ्रेंच तत्वज्ञानी डेकार्टेस, त्याच्या घराच्या पायऱ्यांवर बसून अंधकारमय क्षितिजाकडे मोठ्या लक्षाने पाहत असताना, एक प्रवासी त्याच्याकडे प्रश्न घेऊन गेला: “सांगा, ऋषी, किती आहेत? या आकाशात तारे आहेत का?" - “लग्न! - याने उत्तर दिले, - कोणीही विशालता स्वीकारू शकत नाही! मोठ्या अग्नीने बोललेल्या या शब्दांचा वाटेला येणाऱ्यांवर अपेक्षित परिणाम झाला.”

आम्ही अर्थातच, एका फ्लॅट मासिकाच्या मुखपृष्ठावर राहत नाही, परंतु भूमितीयदृष्ट्या त्रिमितीय जगात, आम्ही मान्य केल्याप्रमाणे, अनुक्रमांकासह n. आणि कदाचित हे जग अनुक्रमांक असलेली जगाची एक क्षुल्लक वीट आहे. n+ 1, आणि आपल्या जगामध्ये, यामधून, अनुक्रमांकांसह कल्पनाहीनपणे मोठ्या संख्येने जग आहेत n- 1, ज्याला आपण कण म्हणतो. आणि असेच जाहिरात अनंत – रुंदी आणि खोली दोन्ही. व्हॅलेरी ब्र्युसोव्ह यांनी त्यांच्या “द वर्ल्ड ऑफ इलेक्ट्रॉन” या कवितेत अशा अनंततेबद्दल लिहिले आहे; आजकाल, भौतिकशास्त्रज्ञ गंभीर गृहीते व्यक्त करतात ज्यानुसार "ब्लॅक होल" (उदाहरणार्थ, शैक्षणिक तज्ञ एम.ए. मार्कोव्ह यांचे "फ्रीडमन्स"), आपल्या विश्वाच्या संरचनेत वेगळे न करता येणारे कण आहेत आणि त्यानुसार आपले संपूर्ण विश्व एक "ब्लॅक होल" आहे. "- इतर काही, अकल्पनीय मोठ्या जगाचा एक कण...

वरवर पाहता, केवळ अशी अनंतता खरोखर अस्तित्वात असू शकते: ही मोठी अनंत आहे, ज्याच्या मध्यभागी कुठेतरी आहे (जरी अनंतता कोणत्या प्रकारचे असू शकते?) आपले जग हरवले आहे; ग्रेट इन्फिनिटीचे सर्व जग, एकत्र घेतलेले, अस्तित्वात आहेत, जसे की, काळाच्या बाहेर, कारण जर ते अविरतपणे वाहत असेल, तर कोणताही क्षण सुरुवातीपासून असीम दूरचा मानला जाऊ शकतो, जो कधीही अस्तित्वात नव्हता, ज्याप्रमाणे तो विलीन मानला जाऊ शकतो. सुरुवातीला.

आणि जर गणित, जे कोणत्याही अनंताला घाबरत नाही, ग्रेटर अनंताचे तंतोतंत वर्णन करते, तर भौतिकशास्त्र केवळ त्याच्या अतुलनीय लहान भागाचे वर्णन करते, ज्यामध्ये निश्चितपणे सर्वात लहान आणि सर्वात मोठे दोन्ही असतात.

आपली नजर जिकडे वळेल तिकडे आपल्याला पदार्थ दिसेल. प्रत्येक ग्रॅममध्ये अंदाजे 10 कण असतात - इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन. जर यापैकी प्रत्येक कण अनुक्रमांकाचे जग असेल n- 1, तर, याचा अर्थ असा आहे की त्या प्रत्येकाच्या आत असंख्य तारे जळत आहेत, असंख्य ग्रह प्रकाशित करतात, ज्यामध्ये असे जिवंत प्राणी असू शकतात ज्यावर अनंताचा विचार करण्यास सक्षम आहेत.

या जगात फक्त प्रत्येक गोष्ट आपल्यापेक्षा खूप वेगाने घडते - बहुधा आपले जग इलेक्ट्रॉनपेक्षा कितीतरी पटीने मोठे आहे (जर, ब्रायसोव्हचे अनुसरण करून, आपण असे गृहीत धरू की इलेक्ट्रॉनचे जग आपल्यापासून वेगळे नाही) अंदाजे 10 41 वेळा. मग जर आपल्यासाठी एक झटपट 0.1 सेकंद टिकला, तर अनुक्रमांकाच्या जगात n- 1 या काळात अंदाजे 10 23 अब्ज वर्षे निघून जातील, आणि ती 10 अब्ज वर्षे जी आपले जग अस्तित्वात आहे, अनुक्रमांकासह जगाच्या वेळेनुसार n+ 1 10-24 सेकंदात फ्लॅश होईल - आमच्या इन्स्टंटपेक्षा खूप लहान.

मेणबत्तीच्या प्रत्येक ज्योतीत आणि आपल्या शरीराच्या प्रत्येक पेशीमध्ये हे अगणित जग थरथरत आहेत. जगाची संख्या हिमस्खलनाप्रमाणे अनंतापर्यंत वाढत जाते कारण पदार्थ रुंदी आणि खोली दोन्हीमध्ये, त्याच्या संरचनात्मक स्तरांपैकी दुसऱ्या स्तरावर जातात. हे सर्व जग पूर्ण रक्ताने जगतात आणि जरी पृथ्वी ही केवळ बुद्धिमत्तेचा पाळणा असली तरीही याचा अर्थ असा नाही की आपण विश्वात एकटे आहोत: धूळच्या प्रत्येक क्षुल्लक कणातही, ज्यात असंख्य जग आहेत. तेथे असीम मोठ्या संख्येने ग्रह असले पाहिजेत ज्यात बुद्धिमान प्राणी राहतात. आणि कदाचित, इलेक्ट्रॉन-पॉझिट्रॉन जोडीच्या जन्माची प्रत्येक कृती ही असंख्य जगांच्या जन्माची कृती आहे आणि प्रत्येक विध्वंस त्यांच्या मृत्यूचा पुरावा आहे?

हे सर्व खूप दुःखी विचारांना कारणीभूत ठरते. चला आपल्या छोट्या पृथ्वीवर परत येऊ, जिथे दिवसा सूर्य चमकतो आणि रात्री तारे, जिथे समुद्र आणि आकाश दोन्ही आहेत आणि जिथे नातेवाईक आणि मित्र आहेत, ज्यांच्या पुढे आपण अनंताबद्दल किंवा त्याबद्दल अजिबात विचार करू शकत नाही. वस्तुस्थिती अशी आहे की प्रत्येक गोष्टीची सुरुवात असते, दुर्दैवाने, त्याचा शेवट देखील असतो.

अनंत: गणितात...

A. फोमेन्को

आधुनिक गणिताच्या प्रत्येक क्षेत्राचा (भूमिती, बीजगणित इ.) स्वतःचा "अनंताचा नमुना" असतो आणि या कल्पनेशी स्वतःच्या मनोवैज्ञानिक प्रतिमा आणि भावनांचा संच जोडतो. स्वाभाविकच, या प्रतिमा भूमितीमध्ये सर्वात स्पष्ट आहेत. भौमितिक अनंत हे प्रात्यक्षिकासाठी सर्वात प्रवेशयोग्य आहे आणि त्याच वेळी अत्यंत क्लिष्ट आहे, कारण ते सहसा दररोजच्या अनुभवावर आधारित आपल्या भौमितिक अंतर्ज्ञानाशी संघर्ष करते. वस्तुस्थिती अशी आहे की आकलनाची शारीरिक यंत्रणा कदाचित "भौमितिक अनंताची कल्पना करणे" या अमूर्त बौद्धिक कार्यास पुरेसा प्रतिसाद देऊ शकत नाही आणि आपल्या मेंदूला "खरी अनंतता" ची जागा अंतर्ज्ञानाने अधिक समजण्यायोग्य आणि खडबडीत भौमितिक वस्तूसह करण्यास भाग पाडले जाते, कधीकधी. लक्षात न येणारी चूक करणे, बदलणे. म्हणून, भौमितिक अंतर्ज्ञान, गणितीय सत्य समजून घेण्याचे एक शक्तिशाली माध्यम असल्याने, कधीकधी कपटीपणे गंभीर चुका होऊ शकतात, ज्यापासून, अनुभव दर्शविल्याप्रमाणे, अनुभवी संशोधक देखील रोगप्रतिकारक नाहीत. उदाहरणार्थ, शाळेतील ओळीची परिचित संकल्पना घेऊ. जर तुम्ही तुमचा वेळ घेतला आणि अधिक काळजीपूर्वक विचार केला तर ते लवकरच सर्व गुंतागुंत प्रकट करेल. गणिताच्या भाषेत, एक रेषा (वक्र) एक "एक-आयामी वस्तू", "एक परिमाण" आहे. युक्लिडने रेषेची व्याख्या “रुंदीशिवाय लांबी” म्हणून करण्याचा प्रयत्न केला. 18व्या...19व्या शतकातील शास्त्रीय यांत्रिकी, विशिष्ट प्रयोगांवर आधारित, रेषेची (वक्र) खालील नैसर्गिक कल्पना विकसित केली. जर आपण पुरेशा लहान आकाराच्या शरीराचा (अनंत बिंदू) अंतराळात फिरणारा विचार केला, तर त्याच्या हालचालीच्या मार्गाला रेषा म्हणता येईल. अशाप्रकारे, एक रेषा (वक्र) हे एका गतिमान बिंदूचे ट्रेस आहे. या प्रकरणात, अर्थातच, "सतत हालचाल" चे प्रकरण, जेव्हा बिंदू तात्काळ अनपेक्षित उडी मारत नाही, म्हणजेच जेव्हा त्याच्या ट्रेसला ब्रेक नसतो, तेव्हा प्रथम अभ्यास करणे योग्य आहे. बिंदूची हालचाल वेळेत होत असल्याने, गणिताच्या भाषेत, आपण असे म्हणू शकतो की रेषा ही अंतराळात सतत मॅपिंग (सेगमेंट) असलेल्या काळाच्या खंडाची प्रतिमा आहे. जोपर्यंत आपण सामान्य, फार क्लिष्ट यांत्रिक प्रणालींशी व्यवहार करत आहोत, तोपर्यंत रेषेची ही संकल्पना आपल्यासाठी योग्य आहे. हे अंतर्ज्ञानीपणे स्पष्ट आहे की एका बिंदूची सतत, अतिशय जटिल नसलेली हालचाल एका-आयामी वस्तू - एक रेषा द्वारे चित्रित केली जाते. तथापि, जसे आपण “अनंत प्रक्रिया” विचारात घेतो, तेव्हा आपल्या फॉर्म्युलेशनची अपुरीता आणि परिणामी, ही संकल्पना ज्यावर आधारित होती त्या आपल्या भूमितीय आणि यांत्रिक अंतर्ज्ञानाच्या मर्यादा लगेच प्रकट होतात. वस्तुस्थिती अशी आहे की या ओळी केवळ बिंदूची "अतिशय त्रासदायक नाही" हालचाल दर्शवितात. आता आपण असे गृहीत धरू की ते त्याच्या हालचालीची दिशा बऱ्याचदा बदलू लागते आणि अशा "किंक्स" ची संख्या वाढू द्या आणि अनंताकडे जाऊ द्या (हे सर्व अगदी अचूकपणे वर्णन केले जाऊ शकते). मग बिंदूचा जटिल ट्रेस सामान्य एक-आयामी रेषेपेक्षा पूर्णपणे भिन्न असू शकतो. उदाहरणार्थ, तो एक चौरस, गोल, चेंडू किंवा अगदी तथाकथित असू शकतो n-मितीय आकृती, जेथे "परिमाण" nतुम्हाला आवडेल तितके मोठे असू शकते. पुन्हा, गणिताची भाषा वापरून, आपण असे म्हणू शकतो की या सर्व वस्तू एका-आयामी खंडाच्या निरंतर प्रतिमा आहेत. त्याच वेळी, आमच्या मूळ व्याख्येनुसार, त्या रेषा आहेत. अशी विचित्र परिस्थिती इटालियन गणितज्ञ डी. पियानो यांनी 1890 मध्ये पहिल्यांदा लक्षात घेतली. त्यांच्या सन्मानार्थ, वर्णन केलेल्या "वक्र" ला पेनो वक्र म्हणतात. तर, आपली भौमितिक अंतर्ज्ञान (जे आपल्याला "बिंदूच्या हालचालीचे एक-आयामी मार्ग" आकर्षित करते) एक जटिल रेषा तयार करण्याच्या अंतहीन प्रक्रियेचा सामना करताना अपयशी ठरते.

आधुनिक भूमितीला या प्रकारची अनेक उदाहरणे माहित आहेत आणि त्या सर्वांमध्ये, एक किंवा दुसर्या मार्गाने, एक अमर्याद प्रक्रिया (वास्तविक अनंत) आहे, जी शेवटी रोजच्या, "मर्यादित" अनुभवाच्या आधारे तयार केलेल्या आपल्या नेहमीच्या कल्पना नष्ट करते. प्रसिद्ध फ्रेंच कलाकार एमके यांनी त्याच्या अद्भुत ग्राफिक कामे तयार करताना या परिस्थितीचा यशस्वीपणे फायदा घेतला. Escher, ज्यांचे उत्कीर्णन आमच्या लोकप्रिय विज्ञान प्रेसमध्ये वारंवार प्रकाशित झाले. एकीकडे, त्याने "अनंत गुंतागुंतीच्या वस्तू" आणि दुसरीकडे, "अशक्य वस्तू" (शाश्वत गती यंत्रे इ.) चित्रित केल्या, आमच्या भूमितीय अंतर्ज्ञानातील अपूर्णता आणि मर्यादा कुशलतेने शोषून घेतल्या. असे करताना, त्यांनी आधुनिक बीजगणित, भूमिती, क्रिस्टलोग्राफी इत्यादींमध्ये वापरल्या जाणाऱ्या गणितीय रचनांवर अवलंबून राहिलो. भौमितिक अनंततेच्या स्वरूपामध्ये हे खोल प्रवेश आहे जे एशरच्या "गणितीय" कार्यांचा दर्शकांवर तीव्र प्रभाव स्पष्ट करते. आणि सर्वसाधारणपणे, आजूबाजूच्या जागेच्या अमर्यादतेची एक उच्च विकसित भावना, ज्यांना विशेष गणितीय शिक्षण नाही अशा अनेक प्रमुख कलाकारांच्या कार्यात उपस्थित आहे, या वस्तुस्थितीमध्ये मूळ आहे की त्यांच्यापैकी प्रत्येकाने अनंताचे चित्रण करण्यासाठी स्वतःचे तंत्र तयार केले आहे. "सीमित म्हणजे." तथापि, कॅनव्हासवर आपण केवळ अनंताचा भ्रम चित्रित करू शकता, परंतु स्वतःच अनंत नाही आणि जो "प्रेक्षकाला फसवण्यास" उत्तम प्रकारे व्यवस्थापित करतो तो सर्वात मोठा प्रभाव प्राप्त करतो. म्हणूनच, पुनर्जागरणापासून सुरुवात करून, अनेक चित्रकारांनी केवळ दृष्टीकोनाच्या सिद्धांताचाच नव्हे तर सखोल गणितीय रचनांचाही गांभीर्याने अभ्यास केला, आपल्या "आरामदायक जगा" च्या परिमितीने निश्चित केलेल्या सीमांच्या पलीकडे प्रवेश करण्याचा प्रयत्न केला.

शेवटी, मी लक्षात घेतो की आधुनिक गणितात अनेक संकल्पना आहेत ज्या अनंताच्या संकल्पनेइतक्याच गहन आहेत आणि त्या प्रत्येकाची स्वतःची “कथा” असायला हवी.

...आणि भौतिकशास्त्रात

एम. हर्जेन्स्टीन

गीत आणि गणित - जे, असे वाटले, उलट असू शकते. परंतु अनेकदा विरोधक एकत्र होतात आणि कधीकधी गीतकार गणितज्ञांना सखोल प्रश्न विचारतात. नियमानुसार, गणितज्ञ (आणि त्यांच्याबरोबर भौतिकशास्त्रज्ञ - शेवटी, आज गणिताशिवाय भौतिकशास्त्र नाही आणि असू शकत नाही) फक्त हे प्रश्न बाजूला सारतात. परंतु कधीकधी, थोड्या वेळाने, अचानक असे दिसून येते की गीतकारांच्या प्रश्नांमध्ये एक सबटेक्स्ट होता ज्याचा शास्त्रज्ञांना संशय देखील नव्हता.

प्रसिद्ध भौतिकशास्त्रज्ञ ई. विग्नर यांच्या लेखात, “नैसर्गिक विज्ञानातील गणिताची अनाकलनीय कार्यक्षमता,” असे नमूद केले आहे की गणित हे विशेष शोधलेल्या संकल्पनांवर विशेष विकसित नियमांनुसार केलेल्या कल्पक ऑपरेशन्सचे विज्ञान आहे. याचा खऱ्या जगाशी काय संबंध? आणि गणितज्ञांनी शोधलेल्या नियमांचे कठोर पालन कोठे आणि केव्हा भौतिकशास्त्रज्ञांना चुकीच्या निकालाकडे नेऊ शकते?

उदाहरणार्थ, वास्तविक पूर्णांकांचे जग घ्या. आम्हाला माहित आहे की तुम्ही कोणत्याही पूर्णांकामध्ये एक जोडू शकता आणि आणखी मोठी संख्या मिळवू शकता. आपण हे ऑपरेशन केल्यास n→ ∞ वेळा, नंतर आपल्याला अनंतता मिळते; जर तुम्ही संख्या दुप्पट केली तर तीच गोष्ट घडते. त्याच वेळी, कोणतीही संख्या अर्ध्यामध्ये विभागली जाऊ शकते, एक लहान वास्तविक संख्या प्राप्त करून, जी आणखी अर्ध्यामध्ये विभागली जाऊ शकते, किमान या ऑपरेशनची पुनरावृत्ती करा n→ ∞ वेळा.

परंतु वास्तविक जगात, अरेरे, संक्रमण करणे शक्य नाही n→ ∞. उदाहरणार्थ, जर आपण फक्त 1 सेमी लांबीचा विभाग दुप्पट करू लागलो, तर केवळ 100 समान ऑपरेशन्सनंतर आपल्याला आपल्या संपूर्ण विश्वाच्या आकाराएवढा एक विभाग मिळेल आणि त्याच्या पुढील दुप्पट होण्याचा भौतिक अर्थ गमावेल. आणि त्याउलट, जर आपण 1 सेमी लांबीच्या एका सेगमेंटला अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करू लागलो, तर अशा सुमारे 50 ऑपरेशन्सनंतर आपल्याला आधुनिक भौतिकशास्त्राने प्रायोगिकरित्या संपर्क केलेल्या लहान अंतरांच्या मर्यादेइतका एक विभाग मिळेल. मग गणित, जे वास्तविक जगात स्पष्टपणे अशक्य असलेल्या अनंतांसह ऑपरेशन्स वापरते, तरीही भौतिकशास्त्र त्याच वास्तविक जगाबद्दलच्या प्रश्नांची अचूक उत्तरे का देते? हे विग्नरने विचारलेल्या प्रश्नाचे सार आहे, जर ते अनंताच्या समस्येशी संबंधित असेल.

लिरिक्ससाठी हीच वेळ आहे: जर तुम्ही, भौतिकशास्त्रज्ञ, विचार करताना, वास्तविक जगात अशक्य असलेल्या ऑपरेशन्सचा अवलंब करत असाल, तर तुमचे सिद्धांत वाजवी मर्यादित प्रमाणात नसून अनंतता निर्माण करतात तर आश्चर्य आहे का? औचित्य म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की गणितातच अनंतांशी संबंधित समस्या आहेत.

म्हणजे, अलीकडे पर्यंत, गणितज्ञांना प्रामाणिकपणे खात्री होती की त्यांच्या कठोर विज्ञानामध्ये, स्वयंसिद्धांच्या मर्यादित प्रणालीवर आधारित, काहीही जोडणे किंवा वजा करणे अशक्य आहे. पण नाही, असे दिसून आले की स्वयंसिद्धांच्या मर्यादित प्रणालीच्या चौकटीत अशी विधाने असू शकतात ज्यांचे सत्य किंवा असत्य स्थापित केले जाऊ शकत नाही, आणि म्हणून गणितामध्ये अनेक नवीन स्वयंसिद्ध जोडले जाऊ शकतात आणि त्यातील सुसंवाद विस्कळीत होणार नाही ...

गीत, माझ्या मते, भौतिकशास्त्रज्ञांना "लाथ मारणे" व्यर्थ आहे, अगदी सबजंक्टिव मूडमध्ये देखील लिहित आहे: "... असे दिसून आले की शास्त्रीय यांत्रिकी कशाचेही वर्णन करत नाही." निसर्गाचे कोणतेही वर्णन हे एक सापेक्ष सत्य आहे, जे नेहमीच आपल्याला अज्ञात असलेल्या परिपूर्ण सत्याच्या जवळ असते. मूलभूत स्वरूपाच्या कारणांमुळे (शास्त्रीय यांत्रिकी समीकरणांची अयोग्यता) आणि ऐवजी विचित्र कारणांमुळे (अभ्यासासाठी, वर्णनाची अत्यधिक अचूकता कधीकधी अपर्याप्त म्हणून हानिकारक असते) दोन्ही अंदाजे.

मला “बाहेरून” आणि “आतून” जगाच्या दृश्यांबद्दलचे शब्द देखील आवडले नाहीत. मला वाटते की ते निरीक्षकाच्या भूमिकेवर जास्त जोर देतात. परंतु आम्ही, भौतिकशास्त्रज्ञ देखील नंतरच्या गोष्टीसाठी दोषी आहोत: क्वांटम मेकॅनिक्सचा पाया आणि सापेक्षतेचा सिद्धांत मांडताना ते निरीक्षकाच्या भूमिकेबद्दल खूप बोलतात.

क्वांटम मेकॅनिक्स आणि सापेक्षता सिद्धांत या दोन्हीमध्ये, आपण सर्व प्रथम, गणितज्ञ ज्या वस्तूंचा सामना करतात त्या वस्तूंशी स्थान आणि वेळ जोडले पाहिजे - अगदी सोप्या बाबतीत, संख्यांसह. पण कसे? व्हॅक्यूम म्हणजे पृथ्वीचा पृष्ठभाग नाही; तुम्ही त्यात टप्पे ठेवू शकत नाही! अर्थात, आपण एखादी वस्तू एकट्याने सोडू शकता आणि त्यास प्रारंभ बिंदू मानू शकता. परंतु जर ही वस्तू काही प्रारंभिक गतीने जडत्वाने पुढे सरकली, तर निरीक्षण चालू असताना संदर्भ बिंदू अज्ञात दिशेने अज्ञात अंतरावर जाऊ शकतो. या परिस्थितीत काय करावे? भौतिकशास्त्र आणि गणित यांच्यात पूल कसा बांधायचा?

म्हणून, सापेक्षतेच्या सिद्धांतामध्ये याचा अर्थ काय आहे याच्या तपशीलात न जाता आपल्याला या किंवा त्या निरीक्षकाच्या समन्वय प्रणालीबद्दल बोलायचे आहे. तरीसुद्धा, तंतोतंत या दृष्टिकोनामुळेच प्रायोगिकरित्या पुष्टी केलेले मनोरंजक निष्कर्ष प्राप्त करणे शक्य झाले. मी लक्षात घेतो की गणिताला वास्तविकतेशी जोडणाऱ्या पुलाची काही वैशिष्ट्ये तुलनेने अलीकडेच सापडली आहेत: उदाहरणार्थ, हे निष्पन्न झाले की, लॉरेंट्झ आकुंचन असूनही, हलणारा चेंडू लंबवर्तुळासारखा दिसत नाही, परंतु बॉल आहे आणि याची प्रायोगिकपणे पुष्टी देखील झाली आहे. !

इलेक्ट्रॉनचे तरंग गुणधर्म अणूच्या रेडिएशन स्पेक्ट्रमचे स्वरूप ठरवतात, परंतु रेडिएशन स्पेक्ट्रम कोणी त्याचे निरीक्षण करेल की नाही यावर अवलंबून नाही. साहजिकच, जर क्वांटम एकाच ठिकाणी शोषले गेले तर ते एकाच वेळी इतरत्र शोषले जाऊ शकत नाही. जर क्वांटमच्या मार्गावर दोन छिद्रे असलेली स्क्रीन ठेवली असेल, तर क्वांटम, कोणत्याही लहरीप्रमाणे, एकाच वेळी दोन्ही छिद्रांमधून आत प्रवेश करेल आणि एक हस्तक्षेप पॅटर्न देईल जो वैश्विक अंतरावर देखील पाहिला जाऊ शकतो. परंतु जर फोटॉन रिसीव्हर्स छिद्रांच्या मागे ठेवले असतील तर क्वांटम त्यापैकी फक्त एकाला काम करण्यास भाग पाडेल, प्रश्न असा आहे - पहिल्याने काम केले हे दुसऱ्या रिसीव्हरला कसे कळले (सुपरल्युमिनल वेगाने, त्वरित!)?

तथापि, क्वांटम मेकॅनिक्स आणि सापेक्षता हे दोन्ही आंतरिक विरोधाभास नसलेले सिद्धांत आहेत आणि ते तथाकथित "सामान्य ज्ञान" च्या विरोधाभास असूनही, ते दृढपणे स्थापित सापेक्ष सत्यांचे प्रतिनिधित्व करतात.

शेवटी, मॅट्रियोष्का जगाबद्दल काही शब्द. यात काही शंका नाही की ही कल्पना स्वतःच सुंदर आहे आणि भौतिकशास्त्राच्या गंभीर साहित्यात त्याची अनेकदा चर्चा केली जाते. परंतु, माझ्या मते, हे केवळ लेखकांच्या कल्पनेच्या गरिबीची साक्ष देते. परिमाणवाचक बदल नेहमीच गुणात्मक बदल घडवून आणतात: नेस्टिंग बाहुल्या त्यांच्या गुणधर्मांमध्ये पूर्णपणे एकसारख्या असू शकत नाहीत, फक्त आकारात भिन्न असतात. खरंच, या काव्यात्मक गृहीतकावरून प्रायोगिक पडताळणीसाठी प्रवेश करण्यायोग्य कोणतेही ठोस परिणाम काढणे अद्याप शक्य झाले नाही; उलट, त्यातील काही निष्कर्ष आधीच ज्ञात तथ्यांच्या विरोधात आहेत.

अनंताबद्दलचे गीतात्मक विचार खूप खोल गेले आणि आधुनिक विज्ञानाच्या अग्रभागी असलेल्या गोष्टींबद्दल आम्हाला बोलण्याची परवानगी दिली. हे संभाषण चालूच राहील अशी आशा बाळगायला हवी. पण, अर्थातच, अनिश्चित काळासाठी नाही.

माहितीचा स्रोत:

"युवकांसाठी तंत्रज्ञान", क्रमांक 12, 1990.

व्याख्या
त्यानंतरचा (βn) एक अमर्याद मोठा क्रम म्हणतात, जर कोणत्याही संख्येसाठी M, कितीही मोठी असली तरीही, M वर अवलंबून एक नैसर्गिक संख्या N M आहे जसे की सर्व नैसर्गिक संख्यांसाठी n > N M असमानता धारण करते
|βn | > एम.
या प्रकरणात ते लिहितात
.
किंवा येथे.
ते म्हणतात की ते अनंताकडे झुकते, किंवा अनंतात अभिसरण होते.

जर, काही संख्या N पासून सुरू होत आहे 0 , ते
( प्लस अनंतात अभिसरण होते).
जर तर
( वजा अनंतात रूपांतरित होते).

अस्तित्व आणि वैश्विकतेची तार्किक चिन्हे वापरून या व्याख्या लिहूया:
(1) .
(2) .
(3) .

मर्यादेसह अनुक्रम (2) आणि (3) अमर्यादपणे मोठ्या क्रमाची विशेष प्रकरणे आहेत (1). या व्याख्येवरून असे दिसून येते की जर अनुक्रमाची मर्यादा अधिक किंवा वजा अनंताच्या बरोबरीची असेल तर ती देखील अनंताच्या समान आहे:
.
उलट अर्थातच खरे नाही. अनुक्रमाच्या सदस्यांना पर्यायी चिन्हे असू शकतात. या प्रकरणात, मर्यादा अनंताच्या समान असू शकते, परंतु विशिष्ट चिन्हाशिवाय.

हे देखील लक्षात ठेवा की जर काही गुणधर्म अनंताच्या समान मर्यादेसह अनियंत्रित अनुक्रमासाठी धारण करत असतील, तर समान गुणधर्म अशा अनुक्रमासाठी धरतात ज्याची मर्यादा अधिक किंवा वजा अनंताच्या समान आहे.

अनेक कॅल्क्युलस पाठ्यपुस्तकांमध्ये, अमर्याद मोठ्या क्रमाची व्याख्या सांगते की M ही संख्या सकारात्मक आहे: M > 0 . तथापि, ही आवश्यकता अनावश्यक आहे. जर ते रद्द केले तर कोणतेही विरोधाभास उद्भवत नाहीत. हे फक्त इतकेच आहे की लहान किंवा नकारात्मक मूल्ये आपल्याला स्वारस्य नसतात. एम च्या अनियंत्रितपणे मोठ्या सकारात्मक मूल्यांसाठी अनुक्रमाच्या वर्तनात आम्हाला स्वारस्य आहे. म्हणून, जर गरज निर्माण झाली, तर M खालील कोणत्याही पूर्वनिर्धारित संख्येने मर्यादित असू शकते, म्हणजेच आपण M > a असे गृहीत धरू शकतो.

जेव्हा आम्ही ε परिभाषित करतो - शेवटच्या बिंदूचा परिसर, नंतर आवश्यकता ε > 0 महत्वाचे आहे. नकारात्मक मूल्यांसाठी, असमानता अजिबात समाधानी होऊ शकत नाही.

अनंत बिंदूंचे शेजारी

जेव्हा आम्ही मर्यादित मर्यादांचा विचार केला, तेव्हा आम्ही एका बिंदूच्या अतिपरिचित क्षेत्राची संकल्पना मांडली. लक्षात ठेवा की शेवटच्या बिंदूचा शेजार हा बिंदू असलेला खुला मध्यांतर आहे. आपण अनंतावर बिंदूंच्या अतिपरिचित संकल्पना देखील सादर करू शकतो.

M एक अनियंत्रित संख्या असू द्या.
"अनंत" बिंदूचा शेजारी, , संच म्हणतात.
"प्लस अनंत" बिंदूचा शेजारी, , संच म्हणतात.
"वजा अनंत" बिंदूच्या परिसरात, , संच म्हणतात.

काटेकोरपणे सांगायचे तर, "अनंत" बिंदूचा शेजार हा संच आहे
(4) ,
जिथे एम 1 आणि एम 2 - अनियंत्रित सकारात्मक संख्या. आम्ही पहिली व्याख्या वापरू, कारण ती सोपी आहे. जरी, व्याख्या (4) वापरताना खाली सांगितलेली प्रत्येक गोष्ट देखील सत्य आहे.

मर्यादित आणि अमर्याद अशा दोन्ही मर्यादांना लागू होणाऱ्या क्रमाच्या मर्यादेची आपण आता एकसंध व्याख्या देऊ शकतो.

अनुक्रम मर्यादेची सार्वत्रिक व्याख्या.
बिंदू a (सीमित किंवा अनंत) ही अनुक्रमाची मर्यादा आहे जर या बिंदूच्या कोणत्याही शेजारसाठी नैसर्गिक संख्या N असेल जसे की संख्या असलेल्या अनुक्रमातील सर्व घटक या शेजारचे असतील.

अशाप्रकारे, जर मर्यादा अस्तित्त्वात असेल, तर बिंदू a च्या शेजारच्या बाहेर केवळ क्रमाच्या सदस्यांची मर्यादित संख्या किंवा रिक्त संच असू शकतो. ही स्थिती आवश्यक आणि पुरेशी आहे. या मालमत्तेचा पुरावा मर्यादित मर्यादेप्रमाणेच आहे.

एका अभिसरण अनुक्रमाची अतिपरिचित मालमत्ता
बिंदू a (सीमित किंवा अनंत) ही अनुक्रमाची मर्यादा असण्यासाठी, या बिंदूच्या कोणत्याही शेजारच्या बाहेर अनुक्रमाच्या संज्ञांची मर्यादित संख्या किंवा रिक्त संच असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे.
पुरावा.

तसेच काहीवेळा ε - अनंत बिंदूंच्या अतिपरिचित संकल्पना सादर केल्या जातात.
लक्षात ठेवा की मर्यादित बिंदू a चा ε-परिसर हा संच आहे.
आपण खालील नोटेशन सादर करू. ε बिंदू a चे शेजार दर्शवू. मग शेवटच्या बिंदूसाठी,
.
अनंत बिंदूंसाठी:
;
;
.
ε-शेजारच्या संकल्पनांचा वापर करून, आम्ही अनुक्रमाच्या मर्यादेची दुसरी सार्वत्रिक व्याख्या देऊ शकतो:

बिंदू a (मर्यादित किंवा अनंतावर) ही अनुक्रमाची मर्यादा आहे जर कोणत्याही सकारात्मक संख्येसाठी ε > 0 ε वर अवलंबून एक नैसर्गिक संख्या N ε आहे जसे की सर्व संख्यांसाठी n > N ε संज्ञा x n बिंदू a च्या ε-शेजारच्या आहेत:
.

अस्तित्व आणि वैश्विकतेची तार्किक चिन्हे वापरून, ही व्याख्या खालीलप्रमाणे लिहिली जाईल:
.

अमर्यादपणे मोठ्या अनुक्रमांची उदाहरणे

आपण प्रथम तीन साधी समान उदाहरणे पाहू आणि नंतर आणखी गुंतागुंतीची उदाहरणे सोडवू.

उदाहरण १

.

.
अनंत मोठ्या क्रमाची व्याख्या लिहूया:
(1) .
आमच्या बाबतीत
.

आम्ही संख्यांचा परिचय करून देतो आणि त्यांना असमानतेशी जोडतो:
.
असमानतेच्या गुणधर्मांनुसार, जर आणि , नंतर
.
लक्षात घ्या की ही असमानता कोणत्याही n साठी आहे. म्हणून, आपण यासारखे निवडू शकता:
येथे;
येथे

म्हणून, कोणत्याही एकासाठी आपण असमानता पूर्ण करणारी नैसर्गिक संख्या शोधू शकतो. मग प्रत्येकासाठी,
.
याचा अर्थ असा की. म्हणजेच हा क्रम अमर्यादपणे मोठा आहे.

उदाहरण २

अनंत मोठ्या क्रमाची व्याख्या वापरून, ते दाखवा
.

(2) .
दिलेल्या अनुक्रमाच्या सामान्य पदाचे स्वरूप आहे:
.

संख्या प्रविष्ट करा आणि:
.
.

मग कोणीही असमानता पूर्ण करणारी नैसर्गिक संख्या शोधू शकते, म्हणून सर्वांसाठी,
.
याचा अर्थ असा की.

.

उदाहरण ३

अनंत मोठ्या क्रमाची व्याख्या वापरून, ते दाखवा
.

वजा अनंताच्या बरोबरीच्या क्रमाच्या मर्यादेची व्याख्या लिहूया:
(3) .
दिलेल्या अनुक्रमाच्या सामान्य पदाचे स्वरूप आहे:
.

संख्या प्रविष्ट करा आणि:
.
यावरून हे स्पष्ट होते की जर आणि नंतर
.

कोणत्याही एकासाठी असमानता पूर्ण करणारी नैसर्गिक संख्या शोधणे शक्य आहे
.

दिलेले, N म्हणून आपण खालील असमानता पूर्ण करणारी कोणतीही नैसर्गिक संख्या घेऊ शकतो:
.

उदाहरण ४

अनंत मोठ्या क्रमाची व्याख्या वापरून, ते दाखवा
.

क्रमाची सामान्य संज्ञा लिहूया:
.
अधिक अनंताच्या समान क्रमाच्या मर्यादेची व्याख्या लिहूया:
(2) .

n ही नैसर्गिक संख्या असल्याने, n = 1, 2, 3, ... , ते
;
;
.

आम्ही संख्या आणि एम सादर करतो, त्यांना असमानतेसह जोडतो:
.
यावरून हे स्पष्ट होते की जर आणि नंतर
.

तर, कोणत्याही M साठी आपण असमानता पूर्ण करणारी नैसर्गिक संख्या शोधू शकतो. मग प्रत्येकासाठी,
.
याचा अर्थ असा की.

संदर्भ:
एल.डी. कुद्र्यवत्सेव. गणितीय विश्लेषणाचा कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 2003.
सेमी. निकोलस्की. गणितीय विश्लेषणाचा कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 1983.