फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतराल शोधणे म्हणजे काय? फंक्शन्सची एकसंधता

वेबसाइटवर गणिताची सूत्रे कशी घालायची?

जर तुम्हाला वेबपेजवर एक किंवा दोन गणिती सूत्रे जोडण्याची आवश्यकता असेल, तर लेखात वर्णन केल्याप्रमाणे हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग आहे: वोल्फ्राम अल्फाद्वारे स्वयंचलितपणे तयार केलेल्या चित्रांच्या स्वरूपात गणितीय सूत्रे साइटवर सहजपणे समाविष्ट केली जातात. . साधेपणा व्यतिरिक्त, ही सार्वत्रिक पद्धत शोध इंजिनमधील साइटची दृश्यमानता सुधारण्यास मदत करेल. हे बर्याच काळापासून कार्यरत आहे (आणि, मला वाटते, कायमचे कार्य करेल), परंतु आधीच नैतिकदृष्ट्या जुने आहे.

तुम्ही तुमच्या साइटवर नियमितपणे गणितीय सूत्रे वापरत असल्यास, मी तुम्हाला MathJax वापरण्याची शिफारस करतो - एक विशेष JavaScript लायब्ररी जी MathML, LaTeX किंवा ASCIIMathML मार्कअप वापरून वेब ब्राउझरमध्ये गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करते.

मॅथजॅक्स वापरणे सुरू करण्याचे दोन मार्ग आहेत: (१) साधा कोड वापरून, तुम्ही तुमच्या वेबसाइटवर मॅथजॅक्स स्क्रिप्ट पटकन कनेक्ट करू शकता, जी योग्य वेळी रिमोट सर्व्हरवरून स्वयंचलितपणे लोड होईल (सर्व्हरची सूची); (2) MathJax स्क्रिप्ट रिमोट सर्व्हरवरून तुमच्या सर्व्हरवर डाउनलोड करा आणि तुमच्या साइटच्या सर्व पृष्ठांशी कनेक्ट करा. दुसरी पद्धत - अधिक क्लिष्ट आणि वेळ घेणारी - तुमच्या साइटच्या पृष्ठांच्या लोडिंगला गती देईल आणि जर मूळ MathJax सर्व्हर काही कारणास्तव तात्पुरते अनुपलब्ध झाला, तर याचा तुमच्या स्वतःच्या साइटवर कोणत्याही प्रकारे परिणाम होणार नाही. हे फायदे असूनही, मी पहिली पद्धत निवडली कारण ती सोपी, वेगवान आहे आणि तांत्रिक कौशल्यांची आवश्यकता नाही. माझ्या उदाहरणाचे अनुसरण करा आणि फक्त 5 मिनिटांत तुम्ही तुमच्या साइटवर MathJax ची सर्व वैशिष्ट्ये वापरण्यास सक्षम असाल.

मुख्य MathJax वेबसाइटवरून किंवा दस्तऐवजीकरण पृष्ठावर घेतलेले दोन कोड पर्याय वापरून तुम्ही MathJax लायब्ररी स्क्रिप्ट रिमोट सर्व्हरवरून कनेक्ट करू शकता:

यापैकी एक कोड पर्याय आपल्या वेब पृष्ठाच्या कोडमध्ये कॉपी आणि पेस्ट करणे आवश्यक आहे, शक्यतो टॅग दरम्यान आणि किंवा टॅग नंतर लगेच. पहिल्या पर्यायानुसार, MathJax जलद लोड होते आणि पृष्ठ कमी कमी करते. परंतु दुसरा पर्याय स्वयंचलितपणे मॅथजॅक्सच्या नवीनतम आवृत्त्यांचे परीक्षण करतो आणि लोड करतो. तुम्ही पहिला कोड टाकल्यास, तो वेळोवेळी अपडेट करणे आवश्यक आहे. तुम्ही दुसरा कोड टाकल्यास, पेज अधिक हळू लोड होतील, परंतु तुम्हाला MathJax अपडेट्सचे सतत निरीक्षण करण्याची आवश्यकता नाही.

मॅथजॅक्स कनेक्ट करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग ब्लॉगर किंवा वर्डप्रेसमध्ये आहे: साइट कंट्रोल पॅनेलमध्ये, तृतीय-पक्ष JavaScript कोड घालण्यासाठी डिझाइन केलेले विजेट जोडा, त्यामध्ये वर सादर केलेल्या डाउनलोड कोडची पहिली किंवा दुसरी आवृत्ती कॉपी करा आणि विजेट जवळ ठेवा. टेम्प्लेटच्या सुरूवातीस (तसे, हे अजिबात आवश्यक नाही, कारण मॅथजॅक्स स्क्रिप्ट अतुल्यकालिकपणे लोड केली आहे). इतकंच. आता MathML, LaTeX आणि ASCIIMathML चे मार्कअप सिंटॅक्स जाणून घ्या आणि तुम्ही तुमच्या साइटच्या वेब पेजेसमध्ये गणितीय सूत्रे घालण्यास तयार आहात.

कोणतेही फ्रॅक्टल एका विशिष्ट नियमानुसार तयार केले जाते, जे सातत्याने अमर्यादित वेळा लागू केले जाते. अशा प्रत्येक वेळेला पुनरावृत्ती म्हणतात.

मेन्जर स्पंज तयार करण्यासाठी पुनरावृत्तीचा अल्गोरिदम अगदी सोपा आहे: बाजू 1 असलेला मूळ घन त्याच्या चेहऱ्याच्या समांतर असलेल्या विमानांनी 27 समान घनांमध्ये विभागलेला आहे. एक मध्यवर्ती क्यूब आणि चेहऱ्यांसह त्याला लागून असलेले 6 क्यूब्स त्यातून काढले जातात. परिणाम म्हणजे उर्वरित 20 लहान चौकोनी तुकडे असलेला संच. या प्रत्येक क्यूब्ससोबत असेच केल्याने आपल्याला 400 लहान क्यूब्सचा संच मिळेल. ही प्रक्रिया अविरतपणे सुरू ठेवल्याने, आम्हाला मेंजर स्पंज मिळतो.

कार्य येथे = f(एक्स) मध्यांतरावर वाढणे (कमी होणे) असे म्हणतात एक्स, जर कोणत्याही बाबतीत असमानता सत्य असेल

प्रमेय (फंक्शनमध्ये वाढ करण्यासाठी पुरेशी स्थिती). जर विभेदक कार्याचे व्युत्पन्न ठराविक अंतराने धनात्मक असेल X,नंतर ते या अंतराने वाढते.

दोन मूल्यांचा विचार करा x १आणि x 2या अंतराने एक्स.द्या . चला सिद्ध करूया

कार्यासाठी f(x)विभागावर [ x १; x 2] त्यामुळे Lagrange च्या प्रमेयाच्या अटी समाधानी आहेत

कुठे , म्हणजे मध्यांतराशी संबंधित आहे ज्यावर व्युत्पन्न सकारात्मक आहे, याचा अर्थ असा आहे आणि समानतेची उजवी बाजू सकारात्मक आहे. येथून आणि

आणखी एक प्रमेय अशाच प्रकारे सिद्ध होते.

प्रमेय (फंक्शन कमी होण्यासाठी पुरेशी स्थिती). जर विभेदक कार्याचे व्युत्पन्न ठराविक अंतराने ऋण असेल एक्स, नंतर ते या अंतराने कमी होते.

फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीसाठी स्थितीचे भौमितीय व्याख्या आकृती 7 मध्ये दर्शविली आहे.

जर विशिष्ट अंतराने वक्र स्पर्शिका तीव्र कोनातून abscissa अक्षावर निर्देशित केली गेली (Fig. 7a), तर कार्य वाढते (Fig. 7b), तर ते कमी होते;

आकृती 7 - फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीच्या स्थितीचे भौमितिक व्याख्या

उदाहरण १ येथे = एक्स 2 – 4एक्स + 3.

उपाय. आमच्याकडे आहे साहजिकच येथे एक्स> 2i y"< 0 वाजता एक्स< 2, म्हणजे मध्यांतरावर कार्य कमी होते आणि मध्यांतराने वाढते कुठे एक्स 0 = 2 - पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा abscissa.

लक्षात घ्या की मोनोटोनिसिटीसाठी आवश्यक स्थिती कमकुवत आहे. ठराविक अंतराने फंक्शन वाढल्यास (कमी) एक्स, मग आपण फक्त असे म्हणू शकतो की व्युत्पन्न या मध्यांतरावर नकारात्मक (नॉन-पॉझिटिव्ह) आहे: म्हणजे. वैयक्तिक बिंदूंवर मोनोटोनिक फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे असू शकते.

उदाहरण २. फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतर शोधा येथे = एक्स 3 .

उपाय. चला व्युत्पन्न शोधूया हे उघड आहे येथे> ० वाजता. येथे एक्स= 0 व्युत्पन्न शून्यावर जाते. संपूर्ण संख्यात्मक अक्षावर फंक्शन नीरसपणे वाढते.

फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम

व्याख्या 1. बिंदू एक्स 0 ला फंक्शनचा कमाल बिंदू म्हणतात f(एक्सएक्स 0 असमानता धारण करते

व्याख्या 2. पॉइंट एक्स 1 ला फंक्शनचा किमान बिंदू म्हणतात f(एक्स), जर बिंदूच्या काही शेजारी असेल एक्स 1, असमानता धारण करते

बिंदूंवर कार्य मूल्ये एक्स 0 आणि एक्स 1 त्यानुसार कॉल केले जातात फंक्शनची कमाल आणि किमान.

कमाल आणि किमान कार्ये एका सामान्य नावाने एकत्र केली जातात कार्याचा टोकाचा भाग.

फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममला अनेकदा म्हणतात स्थानिक टोक,एक्स्ट्रीममची संकल्पना केवळ बिंदूच्या पुरेशा लहान शेजारशी संबंधित आहे या वस्तुस्थितीवर जोर देऊन x n. तर एका मध्यांतरावर फंक्शनमध्ये अनेक एक्स्ट्रेमा असू शकतात आणि असे होऊ शकते की एका बिंदूवरील किमान दुसऱ्या वेळी जास्तीत जास्त जास्त असेल, उदाहरणार्थ, आकृती 8 मध्ये

अंतरालमधील एका वेगळ्या बिंदूवर कमाल (किंवा किमान) उपस्थिती एक्सया टप्प्यावर फंक्शनचा अर्थ असा नाही f(एक्स) या मध्यांतरावर सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य घेते (किंवा, जसे ते म्हणतात, आहे जागतिक कमाल (किमान)).

एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक अट: फंक्शनच्या क्रमाने y = f(एक्स) बिंदूवर एक टोकाचा भाग होता एक्स 0, या बिंदूवर त्याचे व्युत्पन्न शून्य असणे आवश्यक आहे ( )किंवा अस्तित्वात नव्हते.

ज्या बिंदूंवर आवश्यक टोकाची स्थिती पूर्ण होते, उदा. व्युत्पन्न शून्य आहे किंवा अस्तित्वात नाही असे म्हणतात गंभीर(किंवा स्थिर ).

अशाप्रकारे, कोणत्याही टप्प्यावर एक टोकाचा भाग असल्यास, हा बिंदू गंभीर आहे. तथापि, हे संभाषण खरे नाही हे लक्षात घेणे फार महत्वाचे आहे. गंभीर बिंदू हा एक टोकाचा बिंदू नसावा.

आकृती 8 - फंक्शन एक्स्ट्रीमा f(एक्स)

उदाहरण १. फंक्शनचे गंभीर बिंदू शोधा आणि या बिंदूंवर एक्स्ट्रीममची उपस्थिती किंवा अनुपस्थिती सत्यापित करा.

मध्यांतर \(X\) वर वाढणे जर कोणत्याही \(x_1, x_2\in X\) साठी जसे की \(x_1 0\) कोणत्याही \(t\in \mathbb(R)\) साठी.

अशा प्रकारे, फंक्शन \(f(t)\) सर्व \(t\in \mathbb(R)\) साठी काटेकोरपणे वाढत आहे.

याचा अर्थ \(f(ax)=f(x^2)\) हे समीकरण \(ax=x^2\) समीकरण आहे.

समीकरण \(x^2-ax=0\) \(a=0\) साठी एक मूळ \(x=0\), आणि \(a\ne 0\) साठी दोन भिन्न मूळ आहेत \(x_1 =0 \) आणि \(x_2=a\) .
आपल्याला \(a\) ची मूल्ये शोधण्याची आवश्यकता आहे ज्यावर समीकरणाची किमान दोन मुळे असतील, हे देखील लक्षात घेऊन \(a>0\) .
म्हणून, उत्तर आहे: \(a\in (0;+\infty)\) .

उत्तर:

\(0;+\infty)\) .

कार्य 4 #1232

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\), ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण \

एक अद्वितीय उपाय आहे.

समीकरणाच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंना \(2^(\sqrt(x+1))\) (\(2^(\sqrt(x+1))>0\) ने गुणाकार करू आणि समीकरण पुन्हा लिहू. च्या रूपात :\

\(t\geqslant 0\) साठी \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))(t+2))\) फंक्शन विचारात घ्या (\(\sqrt (x\) पासून +1)\geqslant 0\)).

व्युत्पन्न \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\) .

कारण \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) सर्वांसाठी \(t\geqslant 0\), नंतर \( y"0\) सर्वांसाठी \(a\). परिणामी, समीकरणाची नेहमी दोन मुळे \(x_1\) आणि \(x_2\) असतात, आणि ती भिन्न चिन्हे असतात (कारण व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार \(x_1\cdot) x_2 =-\dfrac(1)(a^2)