भग्न साधे स्पष्टीकरण. निसर्गात भग्न

फ्रॅक्टल्सची संपूर्ण विविधता सादर करण्यासाठी, त्यांच्या सामान्यतः स्वीकृत वर्गीकरणाचा अवलंब करणे सोयीचे आहे.

२.१ भौमितिक भग्न

या वर्गातील फ्रॅक्टल्स सर्वात दृश्यमान आहेत. द्विमितीय केसमध्ये, ते काही तुटलेल्या रेषा (किंवा त्रिमितीय केसमध्ये पृष्ठभाग) वापरून प्राप्त केले जातात, ज्याला म्हणतात. जनरेटर. अल्गोरिदमच्या एका चरणात, पॉलीलाइन बनवणारा प्रत्येक विभाग योग्य प्रमाणात जनरेटर पॉलीलाइनने बदलला जातो. या प्रक्रियेच्या अंतहीन पुनरावृत्तीच्या परिणामी, एक भौमितिक फ्रॅक्टल प्राप्त होतो.

अंजीर 1. कोच ट्रायड वक्र बांधणे.

चला यापैकी एका भग्न वस्तूचा विचार करूया - ट्रायडिक कोच वक्र. वक्र बांधणी युनिट लांबीच्या एका विभागापासून सुरू होते (चित्र 1) - ही कोच वक्रची 0 वी पिढी आहे. पुढे, प्रत्येक दुवा (शून्य पिढीतील एक विभाग) द्वारे बदलला जातो रचनात्मक घटक, अंजीर मध्ये नियुक्त. 1 द्वारे n=1. या प्रतिस्थापनाच्या परिणामी, कोच वक्रची पुढील पिढी प्राप्त होते. पहिल्या पिढीमध्ये, हा चार सरळ दुव्यांचा वक्र आहे, प्रत्येक लांबी 1/3 . 3 री पिढी प्राप्त करण्यासाठी, समान क्रिया केल्या जातात - प्रत्येक दुवा कमी केलेल्या घटकासह बदलला जातो. म्हणून, प्रत्येक पुढील पिढी प्राप्त करण्यासाठी, मागील पिढीतील सर्व दुवे कमी बनविणाऱ्या घटकासह बदलले पाहिजेत. वक्र n-व्या पिढीसाठी कोणत्याही मर्यादित nम्हणतात प्रीफ्रॅक्टल. आकृती 1 वक्रच्या पाच पिढ्या दाखवते. येथे nजसजसे कोच वक्र अनंताच्या जवळ येते, तसतसे ते एक भग्न वस्तू बनते.

आकृती 2. हार्टर-हेथवे "ड्रॅगन" चे बांधकाम.

आणखी एक फ्रॅक्टल ऑब्जेक्ट मिळविण्यासाठी, आपल्याला बांधकाम नियम बदलण्याची आवश्यकता आहे. फॉर्मिंग घटकास काटकोनात जोडलेले दोन समान खंड असू द्या. शून्य जनरेशनमध्ये, आम्ही युनिट सेगमेंट या जनरेटिंग घटकासह बदलतो जेणेकरून कोन शीर्षस्थानी असेल. आम्ही असे म्हणू शकतो की अशा बदलासह दुव्याच्या मध्यभागी विस्थापन होते. त्यानंतरच्या पिढ्या तयार करताना, नियम पाळला जातो: डावीकडील पहिल्या दुव्याला फॉर्मिंग घटकाने बदलले जाते जेणेकरून दुव्याचा मध्य भाग हालचालीच्या दिशेच्या डावीकडे हलविला जाईल आणि त्यानंतरच्या दुव्या बदलताना, दिशानिर्देश विभागांच्या मध्यभागी विस्थापन पर्यायी असणे आवश्यक आहे. आकृती 2 वर वर्णन केलेल्या तत्त्वानुसार बांधलेल्या वक्रच्या पहिल्या काही पिढ्या आणि 11 व्या पिढी दर्शविते. फ्रॅक्टल वक्र मर्यादित करा (वर nअनंताकडे प्रवृत्त) म्हणतात हार्टर-हेथवेचा ड्रॅगन .

संगणक ग्राफिक्समध्ये, झाडे, झुडुपे आणि किनारपट्टीच्या प्रतिमा मिळवताना भौमितिक फ्रॅक्टल्सचा वापर आवश्यक आहे. द्विमितीय भौमितिक फ्रॅक्टल्सचा वापर त्रिमितीय पोत (वस्तूच्या पृष्ठभागावरील नमुने) तयार करण्यासाठी केला जातो.

2.2 बीजगणितीय भग्न

हा फ्रॅक्टल्सचा सर्वात मोठा गट आहे. मध्ये नॉनलाइनर प्रक्रियांचा वापर करून ते मिळवले जातात n- आयामी जागा. द्विमितीय प्रक्रिया सर्वात जास्त अभ्यासल्या जातात. नॉनलाइनर पुनरावृत्ती प्रक्रियेचा एक स्वतंत्र डायनॅमिक सिस्टम म्हणून अर्थ लावणे, कोणीही या प्रणालींच्या सिद्धांताची संज्ञा वापरू शकतो: फेज पोर्ट्रेट, स्थिर प्रक्रिया, आकर्षित करणाराइ.

हे ज्ञात आहे की नॉनलाइनर डायनॅमिक सिस्टममध्ये अनेक स्थिर अवस्था असतात. विशिष्ट संख्येच्या पुनरावृत्तीनंतर डायनॅमिक सिस्टीम ज्या स्थितीत स्वतःला शोधते ते तिच्या प्रारंभिक स्थितीवर अवलंबून असते. म्हणून, प्रत्येक स्थिर स्थिती (किंवा, जसे ते म्हणतात, आकर्षित करणारे) मध्ये प्रारंभिक अवस्थांचा एक विशिष्ट प्रदेश असतो, ज्यामधून सिस्टम विचाराधीन अंतिम स्थितींमध्ये आवश्यक असते. अशा प्रकारे, सिस्टमच्या फेज स्पेसमध्ये विभागले गेले आहे आकर्षण क्षेत्रेआकर्षित करणारे जर फेज स्पेस द्विमितीय असेल, तर आकर्षणाच्या क्षेत्रांना वेगवेगळ्या रंगांनी रंग देऊन, एखादी व्यक्ती मिळवू शकते. कलर फेज पोर्ट्रेटही प्रणाली (पुनरावृत्ती प्रक्रिया). कलर सिलेक्शन अल्गोरिदम बदलून, तुम्ही विचित्र मल्टीकलर पॅटर्नसह जटिल फ्रॅक्टल पॅटर्न मिळवू शकता. आदिम अल्गोरिदम वापरून अतिशय गुंतागुंतीची नॉन-क्षुल्लक रचना निर्माण करण्याची क्षमता ही गणितज्ञांसाठी आश्चर्याची गोष्ट होती.

अंजीर 3. मँडेलब्रॉट सेट.

उदाहरण म्हणून, मँडेलब्रॉट सेटचा विचार करा (चित्र 3 आणि चित्र 4 पहा). त्याच्या बांधकामासाठी अल्गोरिदम अगदी सोपे आहे आणि साध्या पुनरावृत्तीच्या अभिव्यक्तीवर आधारित आहे:

झेड = झेड[मी] * झेड[i] + सी,

कुठे झेडमी आणि सी- जटिल चल. प्रत्येक प्रारंभ बिंदूसाठी पुनरावृत्ती केली जाते सीआयताकृती किंवा चौरस प्रदेश - जटिल विमानाचा उपसंच. पर्यंत पुनरावृत्ती प्रक्रिया चालू राहते झेड[i] त्रिज्या 2 च्या वर्तुळाच्या पलीकडे जाणार नाही, ज्याचा केंद्र बिंदू (0,0) वर स्थित आहे, (याचा अर्थ असा आहे की डायनॅमिकल सिस्टमचे आकर्षण अनंतावर आहे), किंवा मोठ्या संख्येने पुनरावृत्तीनंतर (उदाहरणार्थ, 200-500) झेड[i] वर्तुळावरील काही बिंदूवर एकत्रित होईल. ज्या दरम्यान पुनरावृत्ती संख्या अवलंबून झेड[i] वर्तुळातच राहिले, तुम्ही बिंदूचा रंग सेट करू शकता सी(तर झेड[i] मोठ्या संख्येने पुनरावृत्तीसाठी वर्तुळात राहते, पुनरावृत्ती प्रक्रिया थांबते आणि हा रास्टर बिंदू काळा रंगला आहे).

अंजीर. 4. मँडेलब्रॉट सेटच्या सीमेचा एक विभाग, 200 पटीने मोठा.

वरील अल्गोरिदम तथाकथित मंडेलब्रॉट सेटचे अंदाजे अंदाज देते. मँडेलब्रॉट सेटमध्ये असे गुण असतात जे दरम्यान अनंतपुनरावृत्तीची संख्या अनंतापर्यंत जात नाही (बिंदू काळे आहेत). सेटच्या सीमारेषेशी संबंधित बिंदू (येथे जटिल संरचना निर्माण होतात) पुनरावृत्तीच्या मर्यादित संख्येत अनंताकडे जातात आणि सेटच्या बाहेर असलेले बिंदू अनेक पुनरावृत्तीनंतर (पांढरी पार्श्वभूमी) अनंताकडे जातात.

२.३ स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स

फ्रॅक्टल्सचा आणखी एक सुप्रसिद्ध वर्ग म्हणजे स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स, ज्याचे काही पॅरामीटर्स यादृच्छिकपणे पुनरावृत्ती प्रक्रियेत बदलल्यास प्राप्त होतात. या प्रकरणात, परिणामी वस्तू नैसर्गिक वस्तूंसारख्याच असतात - असममित झाडे, खडबडीत किनारपट्टी इ. भूप्रदेश आणि समुद्राच्या पृष्ठभागाच्या मॉडेलिंगमध्ये द्विमितीय स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्सचा वापर केला जातो.

फ्रॅक्टल्सची इतर वर्गीकरणे आहेत, उदाहरणार्थ, फ्रॅक्टल्सचे निर्धारणात्मक (बीजगणितीय आणि भूमितीय) आणि नॉन-डेटरमिनिस्टिक (स्टोकास्टिक) मध्ये विभाजन करणे.

झाड, समुद्रकिनारा, ढग किंवा आपल्या हातातील रक्तवाहिन्या यात काय साम्य आहे? पहिल्या दृष्टीक्षेपात, असे दिसते की या सर्व वस्तूंमध्ये काहीही साम्य नाही. तथापि, खरं तर, संरचनेचा एक गुणधर्म आहे जो सर्व सूचीबद्ध वस्तूंमध्ये अंतर्निहित आहे: ते स्वयं-समान आहेत. फांदीपासून, जसे झाडाच्या खोडापासून, लहान कोंब वाढतात, त्यांच्यापासून अगदी लहान, इत्यादी, म्हणजे, एक शाखा संपूर्ण झाडासारखीच असते. रक्ताभिसरण प्रणालीची रचना अशाच प्रकारे केली जाते: धमन्यांमधून धमनी निघतात आणि त्यांच्यापासून सर्वात लहान केशिका ज्याद्वारे ऑक्सिजन अवयव आणि ऊतींमध्ये प्रवेश करतात. चला समुद्रकिनाऱ्याच्या उपग्रह प्रतिमा पाहू: आपण खाडी आणि द्वीपकल्प पाहू; चला ते पाहू, परंतु पक्ष्यांच्या डोळ्याच्या दृश्यातून: आपण बे आणि केप पाहू; आता कल्पना करा की आपण समुद्रकिनार्यावर उभे आहोत आणि आपल्या पायांकडे पाहत आहोत: तेथे नेहमीच खडे असतील जे बाकीच्यापेक्षा पाण्यात पुढे सरकतात. म्हणजेच, किनारपट्टी, झूम इन केल्यावर, स्वतःसारखीच राहते. अमेरिकन गणितज्ञ (जरी तो फ्रान्समध्ये मोठा झाला) बेनोइट मँडेलब्रॉटने वस्तूंच्या या गुणधर्माला फ्रॅक्टॅलिटी म्हटले आणि अशा वस्तूंना स्वतः - फ्रॅक्टल्स (लॅटिन फ्रॅक्टसमधून - तुटलेले).

या संकल्पनेची कठोर व्याख्या नाही. म्हणून, "फ्रॅक्टल" हा शब्द गणितीय शब्द नाही. सामान्यतः, फ्रॅक्टल ही एक भौमितिक आकृती असते जी खालीलपैकी एक किंवा अधिक गुणधर्म पूर्ण करते: कोणत्याही प्रमाणात वाढल्यास त्याची जटिल रचना असते (उदाहरणार्थ, सरळ रेषा, ज्याचा कोणताही भाग सर्वात सोपा भौमितिक आकृती असतो - एक खंड ). (अंदाजे) स्व-समान आहे. यात फ्रॅक्शनल हॉसडॉर्फ (फ्रॅक्टल) परिमाण आहे, जो टोपोलॉजिकल आकारापेक्षा मोठा आहे. पुनरावृत्ती प्रक्रिया वापरून तयार केले जाऊ शकते.

भूमिती आणि बीजगणित

19 व्या आणि 20 व्या शतकाच्या शेवटी फ्रॅक्टल्सचा अभ्यास पद्धतशीर पेक्षा अधिक एपिसोडिक होता, कारण पूर्वी गणितज्ञ प्रामुख्याने "चांगल्या" वस्तूंचा अभ्यास करत होते ज्यांचा सामान्य पद्धती आणि सिद्धांत वापरून अभ्यास केला जाऊ शकतो. 1872 मध्ये, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वेअरस्ट्रास यांनी एका सतत कार्याचे उदाहरण तयार केले जे कोठेही भिन्न नाही. तथापि, त्याचे बांधकाम पूर्णपणे अमूर्त आणि समजण्यास कठीण होते. म्हणून, 1904 मध्ये, स्वीडन हेल्गे फॉन कोचने एक सतत वक्र आणला ज्यामध्ये कुठेही स्पर्शिका नाही आणि ती काढणे अगदी सोपे आहे. हे निष्पन्न झाले की त्यात फ्रॅक्टलचे गुणधर्म आहेत. या वळणाच्या एका प्रकाराला “कोच स्नोफ्लेक” असे म्हणतात.

आकृत्यांच्या आत्म-समानतेची कल्पना बेनोइट मँडेलब्रॉटचे भावी मार्गदर्शक, फ्रेंचमॅन पॉल पियरे लेव्ही यांनी उचलली. 1938 मध्ये, त्यांचा लेख "विमान आणि अवकाशीय वक्र आणि संपूर्ण सारख्या भागांचा समावेश असलेले पृष्ठभाग" प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये आणखी एक फ्रॅक्टल - लेव्ही सी-वक्र वर्णन केले गेले. वर सूचीबद्ध केलेले हे सर्व फ्रॅक्टल्स सशर्तपणे रचनात्मक (भौमितिक) फ्रॅक्टल्सचा एक वर्ग म्हणून वर्गीकृत केले जाऊ शकतात.

दुसरा वर्ग डायनॅमिक (बीजगणितीय) फ्रॅक्टल्स आहे, ज्यामध्ये मँडेलब्रॉट सेट समाविष्ट आहे. या दिशेने पहिले संशोधन 20 व्या शतकाच्या सुरूवातीस सुरू झाले आणि ते फ्रेंच गणितज्ञ गॅस्टन ज्युलिया आणि पियरे फाटौ यांच्या नावांशी संबंधित आहे. 1918 मध्ये, ज्युलियाने जटिल तर्कसंगत कार्यांच्या पुनरावृत्तीवर जवळजवळ दोनशे पानांचे संस्मरण प्रकाशित केले, ज्यात ज्युलिया सेटचे वर्णन केले आहे, मँडेलब्रॉट सेटशी जवळून संबंधित असलेल्या फ्रॅक्टल्सचे संपूर्ण कुटुंब. या कार्यास फ्रेंच अकादमीने बक्षीस दिले होते, परंतु त्यात एकही चित्रण नव्हते, त्यामुळे खुल्या वस्तूंच्या सौंदर्याचे कौतुक करणे अशक्य होते. या कार्याने ज्युलियाला त्या काळातील गणितज्ञांमध्ये प्रसिद्ध केले हे असूनही, ते त्वरीत विसरले गेले. अर्ध्या शतकानंतर संगणकाच्या आगमनाने पुन्हा लक्ष त्याकडे वळले: त्यांनीच फ्रॅक्टल्सच्या जगाची समृद्धता आणि सौंदर्य दृश्यमान केले.

भग्न परिमाण

तुम्हाला माहिती आहेच, भौमितिक आकृतीचे परिमाण (परिमाणांची संख्या) ही या आकृतीवर असलेल्या बिंदूची स्थिती निश्चित करण्यासाठी आवश्यक समन्वयांची संख्या आहे.
उदाहरणार्थ, वक्रवरील बिंदूची स्थिती एका समन्वयाने, पृष्ठभागावर (समतल असणे आवश्यक नाही) दोन निर्देशांकांद्वारे आणि त्रिमितीय जागेत तीन निर्देशांकांद्वारे निर्धारित केले जाते.
अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोनातून, एखादी व्यक्ती या प्रकारे परिमाण परिभाषित करू शकते: एक-आयामी (टोपोलॉजिकल दृष्टिकोनातून) वस्तूंसाठी (खंड) रेखीय परिमाणांमध्ये वाढ, म्हणा, दोनच्या घटकाने. आकारमान (लांबी) मध्ये दोनच्या घटकाने वाढ, द्विमितीय (चौरस) साठी रेखीय परिमाणांमध्ये समान वाढ झाल्याने आकार (क्षेत्र) 4 पट वाढतो, त्रिमितीय (घन) साठी - द्वारे 8 वेळा. म्हणजेच, “वास्तविक” (तथाकथित हौसडॉर्फ) परिमाण एखाद्या वस्तूच्या “आकार” मध्ये होणाऱ्या वाढीच्या लॉगरिथमचे गुणोत्तर त्याच्या रेषीय आकारात वाढीच्या लॉगरिथमच्या रूपात मोजले जाऊ शकते. म्हणजेच, एका विभागासाठी D=log (2)/log (2)=1, विमानासाठी D=log (4)/log (2)=2, खंड D=log (8)/log (2) साठी )=3.
आता आपण कोच वक्रच्या परिमाणाची गणना करू या, कोणता एकक खंड तीन समान भागांमध्ये विभागला गेला आहे आणि मध्य अंतराल या खंडाशिवाय समभुज त्रिकोणाने बदलला आहे. जेव्हा किमान विभागाचे रेषीय परिमाण तीन पटीने वाढतात, तेव्हा कोच वक्रची लांबी लॉग (4)/लॉग (3) ~ 1.26 ने वाढते. म्हणजेच कोच वक्राचे परिमाण अंशात्मक आहे!

विज्ञान आणि कला

1982 मध्ये, मँडलब्रॉटचे "फ्रॅक्टल जॉमेट्री ऑफ नेचर" हे पुस्तक प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये लेखकाने त्यावेळेस उपलब्ध असलेल्या फ्रॅक्टल्सबद्दलची जवळजवळ सर्व माहिती एकत्रित आणि व्यवस्थित केली आणि ती सुलभ आणि सुलभ रीतीने सादर केली. मँडलब्रॉटने त्याच्या सादरीकरणात मुख्य भर घातली सूत्रे आणि गणितीय रचनांवर नव्हे तर वाचकांच्या भौमितिक अंतर्ज्ञानावर. संगणक आणि ऐतिहासिक कथांचा वापर करून प्राप्त केलेल्या चित्रांबद्दल धन्यवाद, ज्यासह लेखकाने मोनोग्राफचा वैज्ञानिक घटक कुशलतेने पातळ केला, पुस्तक बेस्टसेलर बनले आणि फ्रॅक्टल्स सामान्य लोकांना ज्ञात झाले. गैर-गणितज्ञांमधील त्यांचे यश मुख्यत्वे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की हायस्कूलच्या विद्यार्थ्याला देखील समजू शकणाऱ्या अत्यंत सोप्या रचना आणि सूत्रांच्या मदतीने आश्चर्यकारक जटिलता आणि सौंदर्याची प्रतिमा प्राप्त केली जाते. जेव्हा वैयक्तिक संगणक पुरेसे सामर्थ्यवान बनले, तेव्हा कलेची संपूर्ण दिशा देखील दिसू लागली - फ्रॅक्टल पेंटिंग आणि जवळजवळ कोणताही संगणक मालक ते करू शकतो. आता इंटरनेटवर तुम्हाला या विषयाला वाहिलेल्या अनेक साइट्स सहज सापडतील.

कोच वक्र मिळविण्यासाठी योजना

युद्ध आणि शांतता

वर नमूद केल्याप्रमाणे, भग्न गुणधर्म असलेल्या नैसर्गिक वस्तूंपैकी एक म्हणजे किनारपट्टी. एक मनोरंजक कथा त्याच्याशी जोडलेली आहे, किंवा अधिक तंतोतंत, त्याची लांबी मोजण्याच्या प्रयत्नासह, ज्याने मँडेलब्रॉटच्या वैज्ञानिक लेखाचा आधार बनविला आणि त्याचे वर्णन त्याच्या "निसर्गाची भग्न भूमिती" या पुस्तकात देखील केले आहे. आम्ही एक अतिशय प्रतिभावान आणि विलक्षण गणितज्ञ, भौतिकशास्त्रज्ञ आणि हवामानशास्त्रज्ञ लुईस रिचर्डसन यांनी केलेल्या प्रयोगाबद्दल बोलत आहोत. दोन देशांमधील सशस्त्र संघर्षाची कारणे आणि संभाव्यता यांचे गणितीय वर्णन शोधण्याचा प्रयत्न त्यांच्या संशोधनाच्या दिशानिर्देशांपैकी एक होता. त्याने विचारात घेतलेल्या पॅरामीटर्समध्ये दोन युद्धरत देशांच्या सामाईक सीमेची लांबी होती. जेव्हा त्याने संख्यात्मक प्रयोगांसाठी डेटा गोळा केला तेव्हा त्याने शोधून काढले की स्पेन आणि पोर्तुगालच्या समान सीमेवरील डेटा वेगवेगळ्या स्त्रोतांपासून खूप भिन्न आहे. यामुळे त्याला पुढील शोध लागला: देशाच्या सीमांची लांबी आपण ज्या शासकाने मोजतो त्यावर अवलंबून असते. स्केल जितका लहान असेल तितकी सीमा जास्त असेल. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की मोठ्या विस्ताराने किनार्यावरील अधिकाधिक नवीन वाकणे विचारात घेणे शक्य होते, जे पूर्वी मोजमापांच्या खडबडीतपणामुळे दुर्लक्षित केले गेले होते. आणि जर, स्केलच्या प्रत्येक वाढीसह, रेषांच्या बेंडसाठी पूर्वी बेहिशेबी उघड झाले, तर असे दिसून आले की सीमांची लांबी असीम आहे! खरे आहे, हे प्रत्यक्षात घडत नाही - आमच्या मोजमापांच्या अचूकतेला मर्यादित मर्यादा आहे. या विरोधाभासाला रिचर्डसन इफेक्ट म्हणतात.

रचनात्मक (भौमितिक) भग्न

सामान्य प्रकरणात रचनात्मक फ्रॅक्टल तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे आहे. सर्व प्रथम, आपल्याला दोन योग्य भौमितिक आकारांची आवश्यकता आहे, चला त्यांना आधार आणि तुकडा म्हणूया. पहिल्या टप्प्यावर, भविष्यातील फ्रॅक्टलचा आधार चित्रित केला जातो. मग त्याचे काही भाग योग्य प्रमाणात घेतलेल्या तुकड्याने बदलले जातात - हे बांधकामाचे पहिले पुनरावृत्ती आहे. नंतर परिणामी आकृती पुन्हा काही भाग तुकड्यांसारख्या आकृत्यांमध्ये बदलते, इ. जर आपण ही प्रक्रिया अनंतापर्यंत चालू ठेवली, तर मर्यादेत आपल्याला फ्रॅक्टल मिळेल.

उदाहरण म्हणून कोच वक्र वापरून ही प्रक्रिया पाहू (मागील पृष्ठावरील साइडबार पहा). कोच वळणाचा आधार म्हणून कोणतीही वक्र घेतली जाऊ शकते ("कोच स्नोफ्लेक" साठी तो एक त्रिकोण आहे). परंतु आम्ही स्वतःला सर्वात सोप्या केसपर्यंत मर्यादित करू - एक विभाग. तुकडा एक तुटलेली ओळ आहे, आकृतीमध्ये शीर्षस्थानी दर्शविली आहे. अल्गोरिदमच्या पहिल्या पुनरावृत्तीनंतर, या प्रकरणात मूळ विभाग तुकड्याशी एकरूप होईल, नंतर त्यातील प्रत्येक घटक खंड स्वतः तुकड्यासारख्या तुटलेल्या रेषेने बदलला जाईल, इ. आकृती यातील पहिले चार चरण दर्शविते. प्रक्रिया

गणिताच्या भाषेत: डायनॅमिक (बीजगणितीय) फ्रॅक्टल्स

नॉनलाइनर डायनॅमिक सिस्टम्सचा अभ्यास करताना या प्रकारचे फ्रॅक्टल्स उद्भवतात (म्हणूनच नाव). अशा प्रणालीचे वर्तन जटिल नॉनलाइनर फंक्शन (बहुपदी) f (z) द्वारे वर्णन केले जाऊ शकते. चला कॉम्प्लेक्स प्लेनवर काही प्रारंभिक बिंदू z0 घेऊ (साइडबार पहा). आता जटिल समतल संख्यांच्या अशा अनंत क्रमाचा विचार करा, त्यातील प्रत्येक पुढील मागील एकावरून प्राप्त होतो: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). प्रारंभिक बिंदू z0 वर अवलंबून, असा क्रम वेगळ्या पद्धतीने वागू शकतो: n -> ∞ म्हणून अनंताकडे कल; काही शेवटच्या बिंदूवर एकत्र येणे; चक्रीयपणे निश्चित मूल्यांची मालिका घ्या; अधिक जटिल पर्याय देखील शक्य आहेत.

जटिल संख्या

एक जटिल संख्या ही दोन भाग असलेली संख्या आहे - वास्तविक आणि काल्पनिक, म्हणजेच औपचारिक बेरीज x + iy (येथे x आणि y वास्तविक संख्या आहेत). मी तथाकथित आहे काल्पनिक एकक, म्हणजे, समीकरण पूर्ण करणारी संख्या i^ 2 = -1. जटिल संख्यांवरील मूलभूत गणितीय क्रिया परिभाषित केल्या आहेत: बेरीज, गुणाकार, भागाकार, वजाबाकी (केवळ तुलना ऑपरेशन परिभाषित केलेले नाही). जटिल संख्या प्रदर्शित करण्यासाठी, एक भौमितीय प्रतिनिधित्व सहसा वापरले जाते - समतल (याला जटिल म्हणतात), वास्तविक भाग ॲब्सिसा अक्षाच्या बाजूने प्लॉट केला जातो आणि काल्पनिक भाग ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूने प्लॉट केला जातो आणि जटिल संख्या त्याच्याशी संबंधित असेल कार्टेशियन निर्देशांक x आणि y सह बिंदू.

अशा प्रकारे, फंक्शनच्या पुनरावृत्ती दरम्यान कॉम्प्लेक्स प्लेनच्या कोणत्याही बिंदू z चे स्वतःचे वर्तन असते आणि संपूर्ण समतल भागांमध्ये विभागले जाते. शिवाय, या भागांच्या सीमेवर असलेल्या बिंदूंमध्ये खालील गुणधर्म आहेत: अनियंत्रितपणे लहान विस्थापनासह, त्यांच्या वर्तनाचे स्वरूप झपाट्याने बदलते (अशा बिंदूंना द्विभाजन बिंदू म्हणतात). तर, असे दिसून आले की एक विशिष्ट प्रकारची वर्तणूक असलेल्या बिंदूंच्या संचांमध्ये, तसेच द्विभाजन बिंदूंच्या संचामध्ये बऱ्याचदा भग्न गुणधर्म असतात. फंक्शन f(z) साठी हे ज्युलिया सेट आहेत.

ड्रॅगन कुटुंब

बेस आणि तुकड्यांमध्ये फरक करून, तुम्हाला रचनात्मक फ्रॅक्टल्सची आश्चर्यकारक विविधता मिळू शकते.
शिवाय, तत्सम ऑपरेशन्स त्रि-आयामी जागेत करता येतात. व्हॉल्यूमेट्रिक फ्रॅक्टल्सच्या उदाहरणांमध्ये “मेंजर स्पंज”, “सियरपिन्स्की पिरॅमिड” आणि इतरांचा समावेश होतो.
ड्रॅगन कुटुंब देखील एक रचनात्मक भग्न मानले जाते. कधीकधी त्यांना त्यांच्या शोधकांच्या नावाने "हेवी-हार्टर ड्रॅगन" म्हणतात (त्यांच्या आकारात ते चिनी ड्रॅगनसारखे दिसतात). हे वक्र तयार करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. त्यापैकी सर्वात सोपा आणि सर्वात दृश्यमान हे आहे: तुम्हाला कागदाची बऱ्यापैकी लांब पट्टी (कागद जितका पातळ तितका चांगला) घ्यावा लागेल आणि तो अर्धा वाकवावा लागेल. नंतर पहिल्या वेळी त्याच दिशेने पुन्हा अर्धा वाकवा. अनेक पुनरावृत्तीनंतर (सामान्यत: पाच किंवा सहा पटांनंतर पट्टी हलक्या हाताने वाकण्याइतकी जाड होते), तुम्हाला पट्टी परत वाकवावी लागेल आणि पटांवर 90˚ कोन तयार करण्याचा प्रयत्न करा. नंतर प्रोफाइलमध्ये तुम्हाला ड्रॅगनचा वक्र मिळेल. अर्थात, भग्न वस्तूंचे चित्रण करण्याच्या आमच्या सर्व प्रयत्नांप्रमाणे हे केवळ अंदाजे असेल. संगणक या प्रक्रियेच्या आणखी अनेक चरणांचे चित्रण करण्यास अनुमती देतो आणि त्याचा परिणाम एक अतिशय सुंदर आकृती आहे.

मँडलब्रॉट सेट काही वेगळ्या पद्धतीने बांधला आहे. फंक्शन fc (z) = z 2 +c विचारात घ्या, जेथे c ही एक जटिल संख्या आहे. चला या फंक्शनचा क्रम z0=0 सह बनवू; c या पॅरामीटरवर अवलंबून, ते अनंताकडे वळू शकते किंवा मर्यादित राहू शकते. शिवाय, c ची सर्व मूल्ये ज्यासाठी हा क्रम मर्यादित आहे ते मँडेलब्रॉट संच तयार करतात. स्वतः मँडलब्रॉट आणि इतर गणितज्ञांनी याचा तपशीलवार अभ्यास केला, ज्यांनी या संचाचे अनेक मनोरंजक गुणधर्म शोधले.

हे पाहिले जाऊ शकते की ज्युलिया आणि मंडेलब्रॉट सेटची व्याख्या एकमेकांशी सारखीच आहे. खरं तर, हे दोन संच जवळचे संबंधित आहेत. अर्थात, मँडेलब्रॉट संच ही जटिल पॅरामीटर c ची सर्व मूल्ये आहेत ज्यासाठी ज्युलिया सेट fc (z) जोडलेला आहे (काही अतिरिक्त अटींसह, दोन विभक्त भागांमध्ये विभागले जाऊ शकत नसल्यास संच जोडला जातो).

भग्न आणि जीवन

आजकाल, मानवी क्रियाकलापांच्या विविध क्षेत्रांमध्ये फ्रॅक्टल्सचा सिद्धांत मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो. संशोधनासाठी पूर्णपणे वैज्ञानिक वस्तू आणि आधीच नमूद केलेल्या फ्रॅक्टल पेंटिंग व्यतिरिक्त, ग्राफिक डेटा संकुचित करण्यासाठी माहिती सिद्धांतामध्ये फ्रॅक्टल्सचा वापर केला जातो (फ्रॅक्टल्सची स्वयं-समानता गुणधर्म येथे प्रामुख्याने वापरली जातात - शेवटी, चित्राचा एक छोटासा तुकडा लक्षात ठेवण्यासाठी आणि ज्या ट्रान्सफॉर्मेशनसह तुम्ही उर्वरित भाग मिळवू शकता, संपूर्ण फाईल साठवण्यापेक्षा कमी मेमरी आवश्यक आहे). फ्रॅक्टलची व्याख्या करणाऱ्या सूत्रांमध्ये यादृच्छिक व्यत्यय जोडून, ​​तुम्ही स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स मिळवू शकता जे काही वास्तविक वस्तू - आराम घटक, जलाशयांची पृष्ठभाग, काही वनस्पती, ज्याचा भौतिकशास्त्र, भूगोल आणि संगणक ग्राफिक्समध्ये यशस्वीरित्या वापर केला जातो. वास्तविक आणि सिम्युलेटेड वस्तूंची समानता. रेडिओ इलेक्ट्रॉनिक्समध्ये, गेल्या दशकात, भग्न आकाराचे अँटेना तयार केले जाऊ लागले. थोडी जागा घेऊन, ते उच्च-गुणवत्तेचे सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करतात. चलनातील चढउतार वक्रांचे वर्णन करण्यासाठी अर्थशास्त्रज्ञ फ्रॅक्टल्सचा वापर करतात (हे गुणधर्म मँडेलब्रॉट यांनी 30 वर्षांपूर्वी शोधले होते). फ्रॅक्टल्सच्या आश्चर्यकारकपणे सुंदर आणि वैविध्यपूर्ण जगामध्ये या लहान सहलीचा समारोप होतो.

जेव्हा मी नदीच्या पृष्ठभागावर लाटांचा हस्तक्षेप पाहत होतो तेव्हा मला हे फ्रॅक्टल सापडले. लाट किनाऱ्याकडे सरकते, परावर्तित होते आणि स्वतःवर अधिरोपित होते. लाटा तयार करणाऱ्या नमुन्यांमध्ये क्रम आहे का? चला त्याला शोधण्याचा प्रयत्न करूया. आपण संपूर्ण तरंगाचा विचार करू नये, परंतु केवळ त्याच्या गतीचा वेक्टर पाहू. प्रयोग सोपा करण्यासाठी “किनारे” गुळगुळीत करूया.

हा प्रयोग शाळेच्या वहीतुन नियमित कागदावर करता येतो.

किंवा अल्गोरिदमची JavaScript अंमलबजावणी वापरणे.

q आणि p बाजू असलेला एक आयत घ्या. चला एक किरण (वेक्टर) कोपऱ्यापासून कोपर्यात पाठवू. तुळई आयताच्या एका बाजूला सरकते, परावर्तित होते आणि पुढच्या बाजूला जात राहते. जोपर्यंत बीम उरलेल्या कोपऱ्यांपैकी एकावर आदळत नाही तोपर्यंत हे चालू राहते. जर बाजूचा आकार q आणि p तुलनेने अविभाज्य संख्या असेल, तर एक नमुना प्राप्त होतो (जसे आपण नंतर पाहू - एक भग्न).

हे अल्गोरिदम कसे कार्य करते हे चित्रात आपण स्पष्टपणे पाहू शकतो.

Gif ॲनिमेशन:

सर्वात आश्चर्यकारक गोष्ट अशी आहे की आयताच्या वेगवेगळ्या बाजूंनी आपल्याला भिन्न नमुने मिळतात.

मी या नमुन्यांना फ्रॅक्टल का म्हणतो? तुम्हाला माहिती आहेच की, "फ्रॅक्टल" ही एक भौमितिक आकृती आहे ज्यात स्वत: ची समानता गुणधर्म आहेत. चित्राचा काही भाग संपूर्ण चित्राची पुनरावृत्ती करतो. जर तुम्ही Q आणि P बाजूंच्या परिमाणांमध्ये लक्षणीय वाढ केली तर हे स्पष्ट आहे की या नमुन्यांमध्ये स्व-समानता गुणधर्म आहेत.

ते वाढवण्याचा प्रयत्न करूया. आम्ही ते धूर्त पद्धतीने वाढवू. उदाहरणार्थ 17x29 नमुना घेऊ. खालील नमुने असतील: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
एक बाजू: F(n);
दुसरी बाजू: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
फिबोनाची संख्यांप्रमाणे, फक्त अनुक्रमाच्या भिन्न प्रथम आणि द्वितीय सदस्यांसह: F(0)=17, F(1)=29.

जर मोठी बाजू सम असेल तर, परिणाम खालील नमुना असेल:

जर लहान बाजू सम असेल तर:

दोन्ही बाजू विषम असल्यास, आम्हाला एक सममित नमुना मिळेल:

बीम कसा सुरू होतो यावर अवलंबून:

किंवा

या आयतांमध्ये काय होते ते मी समजावून सांगण्याचा प्रयत्न करेन.

चला आयतापासून चौरस वेगळे करू आणि सीमेवर काय होते ते पाहू.

बीम ज्या ठिकाणी प्रवेश केला त्याच बिंदूवर बाहेर पडतो.

त्याच वेळी, किरण ज्या वर्गांमधून जातो त्या वर्गांची संख्या नेहमीच सम संख्या असते.

म्हणून, जर तुम्ही आयतामधून चौरस कापला तर, फ्रॅक्टलचा एक अपरिवर्तित भाग राहील.

तुम्ही फ्रॅक्टलपासून स्क्वेअर्स शक्य तितक्या वेळा वेगळे केल्यास, तुम्ही फ्रॅक्टलच्या "सुरुवातीला" जाऊ शकता.

ते फिबोनाची सर्पिलसारखे दिसते का?

फिबोनाची संख्यांवरूनही फ्रॅक्टल्स मिळू शकतात.

गणितात, फिबोनाची संख्या (फिबोनाची मालिका, फिबोनाची क्रम) ही संख्या आहेत:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
व्याख्येनुसार, फिबोनाची क्रमातील पहिले दोन अंक 0 आणि 1 आहेत आणि त्यानंतरची प्रत्येक संख्या मागील दोनच्या बेरजेइतकी आहे.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

जा:

जसे आपण बघू शकतो, आस्पेक्ट रेशो सोनेरी गुणोत्तराच्या जवळ जाईल, फ्रॅक्टलचा तपशील जास्त असेल.

या प्रकरणात, फ्रॅक्टल फ्रॅक्टलच्या भागाची पुनरावृत्ती होते, द्वारे वाढली.

फिबोनाची संख्यांऐवजी, तुम्ही अपरिमेय बाजूचे आकार वापरू शकता:

आम्हाला समान फ्रॅक्टल मिळते.

तुम्ही बीम वेगळ्या कोनात शूट केल्यास तेच फ्रॅक्टल्स स्क्वेअरमध्ये मिळू शकतात:

आपण निष्कर्षात काय म्हणू शकता?
अराजकता देखील ऑर्डर आहे. स्वतःच्या कायद्यांसह. या ऑर्डरचा अभ्यास केला गेला नाही, परंतु तो अभ्यास करण्यास योग्य आहे. आणि विज्ञानाची संपूर्ण इच्छा हे नमुने शोधण्याची आहे. आणि शेवटी मोठे चित्र पाहण्यासाठी कोडेचे तुकडे कनेक्ट करा.
चला नदीचा पृष्ठभाग पाहू. त्यावर दगड टाकला तर लाटा येतील. अभ्यास करण्यास योग्य अशी मंडळे. वेग, कालावधी, तरंगलांबी - हे सर्व मोजले जाऊ शकते. परंतु लाट किनाऱ्यावर येईपर्यंत ती परावर्तित होत नाही आणि स्वतःला आच्छादित करू लागते. आम्हाला गोंधळ (हस्तक्षेप) मिळतो, ज्याचा अभ्यास करणे आधीच कठीण आहे.
जर आपण विरुद्ध दिशेने गेलो तर? लाटेचे वर्तन शक्य तितके सोपे करा. सरलीकृत करा, एक नमुना शोधा आणि नंतर काय घडत आहे याचे संपूर्ण चित्र वर्णन करण्याचा प्रयत्न करा.
काय सोपे केले जाऊ शकते? अर्थात, परावर्तित पृष्ठभाग सरळ करा, वाकल्याशिवाय. पुढे, वेव्ह स्वतःऐवजी, फक्त वेव्ह मोशन वेक्टर वापरा. तत्वतः, हे एक साधे अल्गोरिदम तयार करण्यासाठी आणि संगणकावरील प्रक्रियेचे अनुकरण करण्यासाठी पुरेसे आहे. आणि सामान्य तपासलेल्या कागदावर लहरी वर्तनाचे "मॉडेल" बनविण्यासाठी ते पुरेसे आहे.
परिणामी आमच्याकडे काय आहे? परिणामी, आपण पाहतो की लहरी प्रक्रियेत (नदीच्या पृष्ठभागावरील समान लहरी) आपल्यात अराजक नसते, परंतु एकमेकांवर फ्रॅक्टल्स (स्वयं-समान संरचना) असतात.

चला तरंगांचा आणखी एक प्रकार विचारात घेऊ या. जसे ज्ञात आहे, इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक वेव्हमध्ये तीन वेक्टर असतात - वेव्ह वेक्टर आणि इलेक्ट्रिक आणि मॅग्नेटिक फील्ड ताकद वेक्टर. जसे आपण बघू शकतो, जर आपण अशा प्रकारच्या लाटेला बंद प्रदेशात “पकडले”, जिथे हे वेक्टर एकमेकांना छेदतात, तर आपल्याला अगदी स्पष्ट बंद संरचना मिळतात. कदाचित प्राथमिक कण समान भग्न आहेत?

1 ते 80 (6723x6723 px) च्या आयतामध्ये सर्व फ्रॅक्टल्स:

फ्रॅक्टल्समधील बंद क्षेत्रे (6723x6723 px):

फक्त एक सुंदर फ्रॅक्टल (4078x2518 px):

बऱ्याचदा, विज्ञानात केलेले चमकदार शोध आपले जीवन आमूलाग्र बदलू शकतात. उदाहरणार्थ, लसीचा शोध अनेकांना वाचवू शकतो, परंतु नवीन शस्त्रे तयार केल्याने खून होतो. अक्षरशः काल (इतिहासाच्या प्रमाणात) माणसाने विजेला “काबूत” केले आणि आज तो त्याशिवाय त्याच्या आयुष्याची कल्पना करू शकत नाही. तथापि, असे शोध देखील आहेत जे ते म्हणतात त्याप्रमाणे, सावलीत राहतात, तरीही त्यांचा आपल्या जीवनावर एक किंवा दुसरा प्रभाव पडतो. यातील एक शोध म्हणजे फ्रॅक्टल. बहुतेक लोकांनी या संकल्पनेबद्दल कधीही ऐकले नाही आणि त्याचा अर्थ सांगण्यास सक्षम होणार नाहीत. या लेखात आपण फ्रॅक्टल म्हणजे काय हा प्रश्न समजून घेण्याचा प्रयत्न करू आणि विज्ञान आणि निसर्गाच्या दृष्टीकोनातून या शब्दाचा अर्थ विचारात घेऊ.

गोंधळात ऑर्डर

फ्रॅक्टल म्हणजे काय हे समजून घेण्यासाठी, आपण गणिताच्या स्थितीपासून डीब्रीफिंग सुरू केले पाहिजे, परंतु त्यामध्ये जाण्यापूर्वी आपण थोडे तत्त्वज्ञान करू. प्रत्येक व्यक्तीमध्ये नैसर्गिक कुतूहल असते, ज्यामुळे तो त्याच्या सभोवतालच्या जगाबद्दल शिकतो. बऱ्याचदा, ज्ञानाच्या शोधात, तो त्याच्या निर्णयात तर्काचा वापर करण्याचा प्रयत्न करतो. अशा प्रकारे, त्याच्या आजूबाजूला घडणाऱ्या प्रक्रियांचे विश्लेषण करून, तो नातेसंबंधांची गणना करण्याचा आणि विशिष्ट नमुने काढण्याचा प्रयत्न करतो. ग्रहावरील महान मने या समस्यांचे निराकरण करण्यात व्यस्त आहेत. ढोबळपणे सांगायचे तर, आमचे शास्त्रज्ञ असे नमुने शोधत आहेत जिथे एकही नाही आणि कुठेही नसावे. आणि तरीही, गोंधळातही काही घटनांमध्ये संबंध असतो. फ्रॅक्टल म्हणजे काय हे कनेक्शन आहे. उदाहरण म्हणून, रस्त्यावर पडलेल्या तुटलेल्या फांदीचा विचार करा. जर आपण त्याच्याकडे बारकाईने पाहिले तर आपल्याला दिसेल की त्याच्या सर्व फांद्या आणि डहाळ्यांनी ते स्वतःच झाडासारखे दिसते. एका संपूर्ण भागासह विभक्त भागाची ही समानता पुनरावृत्तीच्या स्व-समानतेचे तथाकथित तत्त्व दर्शवते. भग्न निसर्गात सर्वत्र आढळतात, कारण अनेक अजैविक आणि सेंद्रिय रूपे सारख्याच प्रकारे तयार होतात. हे ढग, समुद्राचे कवच, गोगलगाय, झाडांचे मुकुट आणि रक्ताभिसरण प्रणाली देखील आहेत. ही यादी अनिश्चित काळासाठी सुरू ठेवली जाऊ शकते. हे सर्व यादृच्छिक आकार फ्रॅक्टल अल्गोरिदमद्वारे सहजपणे वर्णन केले जातात. आता आपण अचूक विज्ञानाच्या दृष्टीकोनातून फ्रॅक्टल म्हणजे काय याचा विचार करू.

काही कोरडे तथ्य

“फ्रॅक्टल” हा शब्द स्वतः लॅटिनमधून “आंशिक”, “विभाजित”, “विखंडित” म्हणून अनुवादित केला गेला आहे आणि या संज्ञेच्या सामग्रीसाठी, असे कोणतेही सूत्र नाही. हे सहसा स्व-समान संच, संपूर्ण भागाचा एक भाग म्हणून अर्थ लावला जातो, जो सूक्ष्म स्तरावर त्याच्या संरचनेची पुनरावृत्ती करतो. ही संज्ञा विसाव्या शतकाच्या सत्तरच्या दशकात बेनोइट मँडेलब्रॉट यांनी तयार केली होती, ज्यांना पिता म्हणून ओळखले जाते. आज, फ्रॅक्टलची संकल्पना म्हणजे विशिष्ट संरचनेची ग्राफिक प्रतिमा, जी जेव्हा मोठी केली जाते तेव्हा ती स्वतःसारखीच असेल. तथापि, या सिद्धांताच्या निर्मितीचा गणिती आधार स्वतः मँडलब्रॉटच्या जन्मापूर्वीच घातला गेला होता, परंतु इलेक्ट्रॉनिक संगणक दिसेपर्यंत तो विकसित होऊ शकला नाही.

ऐतिहासिक पार्श्वभूमी, किंवा हे सर्व कसे सुरू झाले

19व्या आणि 20व्या शतकाच्या शेवटी, फ्रॅक्टल्सच्या स्वरूपाचा अभ्यास तुरळक होता. हे या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केले आहे की गणितज्ञांनी सामान्य सिद्धांत आणि पद्धतींच्या आधारे संशोधन करता येणाऱ्या वस्तूंचा अभ्यास करण्यास प्राधान्य दिले. 1872 मध्ये, जर्मन गणितज्ञ K. Weierstrass यांनी एका निरंतर कार्याचे उदाहरण तयार केले जे कोठेही वेगळे करता येत नाही. तथापि, हे बांधकाम पूर्णपणे अमूर्त आणि समजण्यास कठीण असल्याचे दिसून आले. पुढे स्वीडन हेल्गे फॉन कोच आला, ज्याने 1904 मध्ये एक सतत वक्र तयार केला ज्याला कुठेही स्पर्शा नव्हता. ते काढणे अगदी सोपे आहे आणि त्यात फ्रॅक्टल गुणधर्म आहेत. या वक्र प्रकारांपैकी एकाचे नाव त्याच्या लेखकाच्या नावावर ठेवले गेले - "कोच स्नोफ्लेक". पुढे, आकृत्यांच्या स्व-समानतेची कल्पना बी. मँडेलब्रॉट, फ्रेंचमन पॉल लेव्ही यांच्या भावी गुरूने विकसित केली होती. 1938 मध्ये, त्यांनी "विमान आणि अवकाशीय वक्र आणि संपूर्ण सारखे भाग असलेले पृष्ठभाग" हा लेख प्रकाशित केला. त्यामध्ये, त्याने एक नवीन प्रकार वर्णन केला - लेवी सी-वक्र. वरील सर्व आकृत्या पारंपारिकपणे भौमितिक भग्न म्हणून वर्गीकृत आहेत.

डायनॅमिक किंवा बीजगणितीय भग्न

मँडलब्रॉट संच या वर्गातील आहे. या दिशेने पहिले संशोधक फ्रेंच गणितज्ञ पियरे फाटो आणि गॅस्टन ज्युलिया होते. 1918 मध्ये, ज्युलियाने तर्कसंगत जटिल कार्यांच्या पुनरावृत्तीच्या अभ्यासावर आधारित एक पेपर प्रकाशित केला. येथे त्यांनी मँडलब्रॉट सेटशी जवळून संबंधित असलेल्या फ्रॅक्टल्सच्या कुटुंबाचे वर्णन केले. या कार्याने गणितज्ञांमध्ये लेखकाचे गौरव केले हे असूनही, ते त्वरीत विसरले गेले. आणि केवळ अर्ध्या शतकानंतर, संगणकाबद्दल धन्यवाद, ज्युलियाच्या कार्याला दुसरे जीवन मिळाले. गणितज्ञ फंक्शन्सद्वारे प्रदर्शित करून "पाहू" शकतील अशा फ्रॅक्टल्सच्या जगाचे सौंदर्य आणि समृद्धता प्रत्येक व्यक्तीला दृश्यमान करणे संगणकांनी शक्य केले. मँडेलब्रॉट हे गणिते करण्यासाठी संगणक वापरणारे पहिले होते (असे व्हॉल्यूम स्वतः केले जाऊ शकत नाही) ज्यामुळे या आकृत्यांची प्रतिमा तयार करणे शक्य झाले.

अवकाशीय कल्पनाशक्ती असलेली व्यक्ती

मँडलब्रॉट यांनी त्यांच्या वैज्ञानिक कारकिर्दीची सुरुवात IBM संशोधन केंद्रातून केली. लांब अंतरावर डेटा प्रसारित करण्याच्या शक्यतांचा अभ्यास करताना, शास्त्रज्ञांना आवाजाच्या हस्तक्षेपामुळे उद्भवलेल्या मोठ्या नुकसानाचा सामना करावा लागला. बेनोइट ही समस्या सोडवण्याचे मार्ग शोधत होता. मापन परिणामांवरून पाहताना, त्याला एक विचित्र नमुना दिसला, म्हणजे: वेगवेगळ्या वेळेच्या स्केलवर ध्वनी आलेख सारखेच दिसत होते.

एक दिवस आणि सात दिवस किंवा तासाभरासाठी असेच चित्र दिसून आले. बेनोइट मँडलब्रॉट स्वत: अनेकदा पुनरावृत्ती करतात की तो सूत्रांसह काम करत नाही, परंतु चित्रांसह खेळतो. हा शास्त्रज्ञ काल्पनिक विचाराने ओळखला गेला; त्याने कोणत्याही बीजगणित समस्येचे भूमितीय क्षेत्रामध्ये भाषांतर केले, जेथे योग्य उत्तर स्पष्ट आहे. त्यामुळे तो त्याच्या संपत्तीने ओळखला गेला आणि फ्रॅक्टल भूमितीचा जनक झाला यात आश्चर्य नाही. तथापि, या आकृतीची जाणीव तेव्हाच येऊ शकते जेव्हा आपण रेखाचित्रांचा अभ्यास करता आणि नमुना तयार करणार्या या विचित्र घुमटांच्या अर्थाबद्दल विचार करता. फ्रॅक्टल पॅटर्नमध्ये एकसारखे घटक नसतात, परंतु ते कोणत्याही प्रमाणात समान असतात.

ज्युलिया - मँडेलब्रॉट

या आकृतीच्या पहिल्या रेखाचित्रांपैकी एक म्हणजे सेटचे ग्राफिक स्पष्टीकरण, जे गॅस्टन ज्युलियाच्या कार्यातून जन्माला आले आणि मंडेलब्रॉटने पुढे विकसित केले. फीडबॅक लूपद्वारे पुनरावृत्ती केलेल्या साध्या सूत्राच्या आधारे सेट कसा दिसेल याची कल्पना गॅस्टनने करण्याचा प्रयत्न केला. मानवी भाषेत काय सांगितले गेले आहे ते सांगण्याचा प्रयत्न करूया, म्हणून बोटांवर बोलूया. विशिष्ट संख्यात्मक मूल्यासाठी, आम्हाला सूत्र वापरून नवीन मूल्य सापडते. आम्ही ते सूत्रामध्ये बदलतो आणि खालील शोधतो. परिणाम मोठा आहे. अशा संचाचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी हे ऑपरेशन मोठ्या संख्येने करणे आवश्यक आहे: शेकडो, हजारो, लाखो. बेनोइटने हेच केले. त्याने अनुक्रमावर प्रक्रिया केली आणि निकाल ग्राफिकल स्वरूपात हस्तांतरित केले. त्यानंतर, त्याने परिणामी आकृतीला रंग दिला (प्रत्येक रंग विशिष्ट संख्येच्या पुनरावृत्तीशी संबंधित आहे). या ग्राफिक प्रतिमेला "मँडेलब्रॉट फ्रॅक्टल" असे नाव देण्यात आले.

L. सुतार: निसर्गाने तयार केलेली कला

फ्रॅक्टल्सच्या सिद्धांताला त्वरीत व्यावहारिक उपयोग सापडला. स्व-समान प्रतिमांच्या व्हिज्युअलायझेशनशी ते अगदी जवळून संबंधित असल्याने, कलाकारांनी हे असामान्य स्वरूप तयार करण्यासाठी तत्त्वे आणि अल्गोरिदम स्वीकारले. त्यापैकी पहिले पिक्सारचे भावी संस्थापक, लॉरेन कारपेंटर होते. विमानाच्या प्रोटोटाइपच्या सादरीकरणावर काम करत असताना, त्याला पार्श्वभूमी म्हणून पर्वतांची प्रतिमा वापरण्याची कल्पना सुचली. आज, जवळजवळ प्रत्येक संगणक वापरकर्ता अशा कार्याचा सामना करू शकतो, परंतु गेल्या शतकाच्या सत्तरच्या दशकात, संगणक अशा प्रक्रिया करण्यास सक्षम नव्हते, कारण त्या वेळी त्रि-आयामी ग्राफिक्ससाठी कोणतेही ग्राफिक संपादक किंवा अनुप्रयोग नव्हते. आणि मग लॉरेनला मँडेलब्रॉटचे पुस्तक "फ्रॅक्टल्स: फॉर्म, रँडमनेस आणि डायमेंशन" भेटले. त्यात, बेनोइटने अनेक उदाहरणे दिली, जे दाखवून दिले की फ्रॅक्टल्स निसर्गात अस्तित्वात आहेत (फायवा), त्यांनी त्यांच्या विविध आकारांचे वर्णन केले आणि हे सिद्ध केले की ते गणितीय अभिव्यक्तींद्वारे सहजपणे वर्णन केले जातात. त्याच्या सहकाऱ्यांच्या टीकेला प्रतिसाद म्हणून तो विकसित करत असलेल्या सिद्धांताच्या उपयुक्ततेसाठी एक युक्तिवाद म्हणून गणितज्ञांनी हे सादृश्य उद्धृत केले. त्यांनी असा युक्तिवाद केला की फ्रॅक्टल हे फक्त एक सुंदर चित्र आहे, त्याचे मूल्य नाही आणि ते इलेक्ट्रॉनिक मशीनच्या कामाचे उप-उत्पादन आहे. कारपेंटर यांनी ही पद्धत सरावात वापरण्याचा निर्णय घेतला. पुस्तकाचा काळजीपूर्वक अभ्यास केल्यानंतर, भविष्यातील ॲनिमेटरने संगणक ग्राफिक्समध्ये फ्रॅक्टल भूमिती लागू करण्याचा मार्ग शोधण्यास सुरुवात केली. त्याच्या संगणकावर माउंटन लँडस्केपची पूर्णपणे वास्तववादी प्रतिमा प्रस्तुत करण्यासाठी त्याला फक्त तीन दिवस लागले. आणि आज हे तत्त्व मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते. हे दिसून येते की, फ्रॅक्टल्स तयार करण्यासाठी जास्त वेळ आणि मेहनत लागत नाही.

सुताराचा उपाय

लॉरेनने वापरलेले तत्व सोपे होते. यात मोठ्या घटकांना लहान घटकांमध्ये विभागणे आणि ते समान लहान घटकांमध्ये विभागणे आणि असेच बरेच काही समाविष्ट आहे. सुतार, मोठ्या त्रिकोणांचा वापर करून, त्यांना 4 लहान भागांमध्ये विभाजित करतो, आणि असेच, जोपर्यंत त्याच्याकडे वास्तववादी पर्वत लँडस्केप होते. अशा प्रकारे, आवश्यक प्रतिमा तयार करण्यासाठी संगणक ग्राफिक्समध्ये फ्रॅक्टल अल्गोरिदम वापरणारा तो पहिला कलाकार बनला. आज हे तत्त्व विविध वास्तववादी नैसर्गिक स्वरूपांचे अनुकरण करण्यासाठी वापरले जाते.

फ्रॅक्टल अल्गोरिदम वापरून पहिले 3D व्हिज्युअलायझेशन

काही वर्षांनंतर, लॉरेनने 1980 मध्ये सिग्ग्राफवर दर्शविलेल्या ॲनिमेटेड व्हिडिओ व्हॉल लिब्रे - मोठ्या प्रमाणात प्रकल्पामध्ये त्याच्या विकासाचा वापर केला. या व्हिडिओने अनेकांना धक्का दिला आणि त्याच्या निर्मात्याला लुकासफिल्ममध्ये काम करण्यासाठी आमंत्रित केले गेले. येथे ॲनिमेटर त्याच्या पूर्ण क्षमतेची जाणीव करण्यास सक्षम होता; त्याने "स्टार ट्रेक" या वैशिष्ट्यपूर्ण चित्रपटासाठी त्रिमितीय लँडस्केप (संपूर्ण ग्रह) तयार केले. कोणताही आधुनिक प्रोग्राम (“Fractals”) किंवा 3D ग्राफिक्स तयार करण्यासाठी ऍप्लिकेशन (Terragen, Vue, Bryce) पोत आणि पृष्ठभागांच्या मॉडेलिंगसाठी समान अल्गोरिदम वापरते.

टॉम बेडार्ड

पूर्वी लेसर भौतिकशास्त्रज्ञ आणि आता डिजिटल कलाकार आणि कलाकार असलेल्या बेडार्डने अनेक अतिशय मनोरंजक भौमितिक आकार तयार केले, ज्यांना त्यांनी फॅबर्ग फ्रॅक्टल्स म्हटले. बाहेरून, ते रशियन ज्वेलरच्या सजावटीच्या अंडीसारखे दिसतात; त्यांच्याकडे समान चमकदार, जटिल नमुना आहे. बेडार्डने मॉडेल्सचे डिजिटल रेंडरिंग तयार करण्यासाठी टेम्पलेट पद्धत वापरली. परिणामी उत्पादने त्यांच्या सौंदर्याने आश्चर्यचकित होतात. जरी अनेकांनी संगणक प्रोग्रामशी हाताने तयार केलेल्या उत्पादनाची तुलना करण्यास नकार दिला तरी, हे मान्य केले पाहिजे की परिणामी फॉर्म अत्यंत सुंदर आहेत. ठळक बाब म्हणजे वेबजीएल सॉफ्टवेअर लायब्ररी वापरून कोणीही असे फ्रॅक्टल तयार करू शकतो. हे तुम्हाला रिअल टाइममध्ये विविध फ्रॅक्टल स्ट्रक्चर्स एक्सप्लोर करण्यास अनुमती देते.

निसर्गात भग्न

काही लोक लक्ष देतात, परंतु हे आश्चर्यकारक आकडे सर्वत्र उपस्थित आहेत. निसर्ग स्वयं-समान आकृत्यांमधून निर्माण झाला आहे, तो आपल्या लक्षात येत नाही. भिंगातून आपल्या त्वचेकडे किंवा झाडाच्या पानाकडे पाहणे पुरेसे आहे आणि आपल्याला फ्रॅक्टल्स दिसतील. किंवा उदाहरणार्थ, एक अननस किंवा अगदी मोराची शेपटी घ्या - त्यात समान आकृत्या असतात. आणि रोमनेस्कू ब्रोकोलीची विविधता सामान्यतः त्याच्या देखाव्यामध्ये आश्चर्यकारक असते, कारण याला खरोखरच निसर्गाचा चमत्कार म्हणता येईल.

संगीत विराम

असे दिसून आले की फ्रॅक्टल्स केवळ भौमितीय आकारच नसतात, तर ते ध्वनी देखील असू शकतात. अशा प्रकारे, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रॅक्टल अल्गोरिदम वापरून संगीत लिहितात. ते नैसर्गिक सुसंवादाशी सुसंगत असल्याचा दावा करते. संगीतकार त्याची सर्व कामे CreativeCommons Attribution-Noncommercial लायसन्स अंतर्गत प्रकाशित करतो, जे विनामूल्य वितरण, कॉपी करणे आणि इतरांना कामे हस्तांतरित करण्याची तरतूद करते.

फ्रॅक्टल इंडिकेटर

या तंत्राला एक अतिशय अनपेक्षित अनुप्रयोग सापडला आहे. त्याच्या आधारावर, स्टॉक एक्सचेंज मार्केटचे विश्लेषण करण्यासाठी एक साधन तयार केले गेले आणि परिणामी, ते फॉरेक्स मार्केटमध्ये वापरले जाऊ लागले. आजकाल, फ्रॅक्टल इंडिकेटर सर्व ट्रेडिंग प्लॅटफॉर्मवर आढळतो आणि किंमत ब्रेकआउट नावाच्या ट्रेडिंग तंत्रामध्ये वापरला जातो. हे तंत्र बिल विल्यम्स यांनी विकसित केले आहे. लेखकाने त्याच्या शोधावर भाष्य केल्याप्रमाणे, हा अल्गोरिदम अनेक "मेणबत्त्या" चे संयोजन आहे, ज्यामध्ये मध्यभागी जास्तीत जास्त किंवा त्याउलट, किमान टोकाचा बिंदू प्रतिबिंबित करतो.

शेवटी

म्हणून आम्ही फ्रॅक्टल म्हणजे काय ते पाहिले. हे दिसून येते की आपल्या सभोवतालच्या गोंधळात, प्रत्यक्षात आदर्श रूपे अस्तित्वात आहेत. निसर्ग हा सर्वोत्तम वास्तुविशारद, आदर्श बिल्डर आणि अभियंता आहे. हे अतिशय तार्किक पद्धतीने मांडले आहे, आणि जर आम्हाला नमुना सापडला नाही तर याचा अर्थ असा नाही की तो अस्तित्वात नाही. कदाचित आपल्याला वेगळ्या प्रमाणात पाहण्याची आवश्यकता आहे. आपण आत्मविश्वासाने म्हणू शकतो की फ्रॅक्टल्समध्ये अजूनही अनेक रहस्ये आहेत जी आपल्याला अद्याप शोधायची आहेत.

सर्वांना नमस्कार! माझं नावं आहे, रिबेनेक व्हॅलेरिया,उल्यानोव्स्क आणि आज मी एलसीआय वेबसाइटवर माझे अनेक वैज्ञानिक लेख पोस्ट करेन.

या ब्लॉगमधील माझा पहिला वैज्ञानिक लेख समर्पित असेल भग्न. मी लगेच म्हणेन की माझे लेख जवळजवळ कोणत्याही प्रेक्षकांसाठी डिझाइन केलेले आहेत. त्या. मला आशा आहे की ते शालेय मुले आणि विद्यार्थी दोघांनाही आवडतील.

अलीकडेच मी गणितीय जगाच्या अशा मनोरंजक वस्तूंबद्दल शिकलो जसे की फ्रॅक्टल्स. परंतु ते केवळ गणितातच अस्तित्वात नाहीत. ते आपल्याला सर्वत्र घेरतात. फ्रॅक्टल्स नैसर्गिक आहेत. मी या लेखात फ्रॅक्टल्स म्हणजे काय, फ्रॅक्टल्सच्या प्रकारांबद्दल, या वस्तूंच्या उदाहरणांबद्दल आणि त्यांच्या अनुप्रयोगांबद्दल बोलेन. सुरुवातीला, मी तुम्हाला फ्रॅक्टल म्हणजे काय ते थोडक्यात सांगेन.

भग्न(लॅटिन फ्रॅक्टस - ठेचलेला, तुटलेला, तुटलेला) एक जटिल भौमितिक आकृती आहे ज्यामध्ये स्वत: ची समानता आहे, म्हणजेच, अनेक भागांनी बनलेले आहे, ज्यापैकी प्रत्येक संपूर्ण आकृती सारखा आहे. व्यापक अर्थाने, फ्रॅक्टल्स हे युक्लिडियन स्पेसमधील बिंदूंचे संच समजले जातात ज्यांचे अंशात्मक मेट्रिक परिमाण (मिंकोव्स्की किंवा हॉसडॉर्फच्या अर्थाने), किंवा मेट्रिक परिमाण टोपोलॉजिकलपेक्षा भिन्न आहे. उदाहरण म्हणून, मी चार भिन्न फ्रॅक्टल्स दर्शविणारे एक चित्र टाकेन.

मी तुम्हाला फ्रॅक्टल्सच्या इतिहासाबद्दल थोडेसे सांगेन. 70 च्या दशकाच्या उत्तरार्धात प्रकट झालेल्या फ्रॅक्टल आणि फ्रॅक्टल भूमितीच्या संकल्पना 80 च्या दशकाच्या मध्यापासून गणितज्ञ आणि प्रोग्रामरमध्ये दृढपणे स्थापित झाल्या आहेत. "फ्रॅक्टल" हा शब्द बेनॉइट मँडेलब्रॉट यांनी 1975 मध्ये तयार केला होता ज्याच्याशी तो संबंधित होता त्या अनियमित परंतु स्वत: सारख्या रचनांचा संदर्भ देण्यासाठी. फ्रॅक्टल भूमितीचा जन्म साधारणपणे १९७७ मध्ये मँडेलब्रॉट यांच्या द फ्रॅक्टल जिओमेट्री ऑफ नेचर या पुस्तकाच्या प्रकाशनाशी संबंधित आहे. त्याच्या कामांमध्ये 1875-1925 या कालावधीत त्याच क्षेत्रात (पॉइनकारे, फाटौ, ज्युलिया, कँटर, हॉसडॉर्फ) काम करणाऱ्या इतर शास्त्रज्ञांच्या वैज्ञानिक परिणामांचा वापर केला गेला. परंतु केवळ आमच्या काळातच त्यांचे कार्य एकाच प्रणालीमध्ये एकत्र करणे शक्य झाले आहे.

फ्रॅक्टल्सची बरीच उदाहरणे आहेत, कारण मी म्हटल्याप्रमाणे, ते आपल्याला सर्वत्र घेरतात. माझ्या मते, आपले संपूर्ण विश्व देखील एक प्रचंड फ्रॅक्टल आहे. शेवटी, त्यातील प्रत्येक गोष्ट, अणूच्या संरचनेपासून ते विश्वाच्या संरचनेपर्यंत, एकमेकांची तंतोतंत पुनरावृत्ती होते. परंतु, अर्थातच, भिन्न क्षेत्रांतील फ्रॅक्टल्सची अधिक विशिष्ट उदाहरणे आहेत. फ्रॅक्टल्स, उदाहरणार्थ, जटिल गतिशीलतेमध्ये उपस्थित असतात. तेथे ते नैसर्गिकरित्या नॉनलाइनरच्या अभ्यासात दिसतात डायनॅमिक प्रणाली. जेव्हा डायनॅमिक सिस्टम पुनरावृत्तीद्वारे निर्दिष्ट केली जाते तेव्हा सर्वात जास्त अभ्यास केला जातो बहुपदीकिंवा होलोमॉर्फिक व्हेरिएबल्सच्या कॉम्प्लेक्सचे कार्यपृष्ठभागावर. ज्युलिया सेट, मँडेलब्रॉट सेट आणि न्यूटन पूल हे या प्रकारातील काही सर्वात प्रसिद्ध फ्रॅक्टल्स आहेत. खाली, क्रमाने, चित्रे वरील प्रत्येक फ्रॅक्टल्स दर्शवितात.

फ्रॅक्टल्सचे दुसरे उदाहरण म्हणजे फ्रॅक्टल वक्र. फ्रॅक्टल वक्रांचे उदाहरण वापरून फ्रॅक्टल कसे तयार करायचे ते स्पष्ट करणे चांगले. या वक्रांपैकी एक तथाकथित कोच स्नोफ्लेक आहे. विमानात फ्रॅक्टल वक्र मिळविण्यासाठी एक सोपी प्रक्रिया आहे. मर्यादित संख्येच्या लिंकसह अनियंत्रित तुटलेली रेषा परिभाषित करूया, ज्याला जनरेटर म्हणतात. पुढे, आम्ही त्यातील प्रत्येक सेगमेंट जनरेटरने बदलतो (अधिक तंतोतंत, जनरेटरसारखी तुटलेली ओळ). परिणामी तुटलेल्या ओळीत, आम्ही प्रत्येक सेगमेंट पुन्हा जनरेटरसह बदलतो. अनंतापर्यंत सतत, मर्यादेत आपल्याला एक फ्रॅक्टल वक्र मिळते. खाली कोच स्नोफ्लेक (किंवा वक्र) आहे.

फ्रॅक्टल वक्रांची प्रचंड विविधता देखील आहे. त्यापैकी सर्वात प्रसिद्ध म्हणजे आधीच नमूद केलेले कोच स्नोफ्लेक, तसेच लेव्ही वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, ड्रॅगनची तुटलेली रेखा, पियानो वक्र आणि पायथागोरियन ट्री. मला वाटते की तुमची इच्छा असल्यास विकिपीडियावर या फ्रॅक्टल्सची प्रतिमा आणि त्यांचा इतिहास तुम्हाला सहज सापडेल.

तिसरे उदाहरण किंवा फ्रॅक्टल्सचे प्रकार म्हणजे स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स. अशा फ्रॅक्टल्समध्ये विमानात आणि अंतराळातील ब्राउनियन गतीची प्रक्षेपण, श्रॅम-लोनर उत्क्रांती, विविध प्रकारचे यादृच्छिक फ्रॅक्टल्स, म्हणजे, पुनरावृत्ती प्रक्रिया वापरून प्राप्त केलेले फ्रॅक्टल्स समाविष्ट आहेत ज्यामध्ये प्रत्येक पायरीवर एक यादृच्छिक पॅरामीटर सादर केला जातो.

निव्वळ गणिती फ्रॅक्टल्स देखील आहेत. हे, उदाहरणार्थ, कँटर सेट, मेंजर स्पंज, सिएरपिन्स्की त्रिकोण आणि इतर.

परंतु कदाचित सर्वात मनोरंजक फ्रॅक्टल्स नैसर्गिक आहेत. नैसर्गिक फ्रॅक्टल्स हे निसर्गातील वस्तू आहेत ज्यात भग्न गुणधर्म आहेत. आणि इथे यादी आधीच मोठी आहे. मी सर्वकाही सूचीबद्ध करणार नाही, कारण त्या सर्वांची यादी करणे कदाचित अशक्य आहे, परंतु मी तुम्हाला काहींबद्दल सांगेन. उदाहरणार्थ, जिवंत निसर्गात, अशा फ्रॅक्टल्समध्ये आपल्या रक्ताभिसरण प्रणाली आणि फुफ्फुसांचा समावेश होतो. आणि झाडांचे मुकुट आणि पाने देखील. यामध्ये स्टारफिश, सी अर्चिन, कोरल, सी शेल्स आणि काही वनस्पती जसे की कोबी किंवा ब्रोकोली यांचाही समावेश होतो. जिवंत निसर्गातील असे अनेक नैसर्गिक भग्न खाली स्पष्टपणे दर्शविले आहेत.

जर आपण निर्जीव निसर्गाचा विचार केला, तर सजीव निसर्गापेक्षा तेथे अधिक मनोरंजक उदाहरणे आहेत. लाइटनिंग, स्नोफ्लेक्स, ढग, प्रत्येकाला परिचित आहेत, दंवच्या दिवसात खिडक्यावरील नमुने, स्फटिक, पर्वत रांगा - ही सर्व निर्जीव निसर्गातील नैसर्गिक फ्रॅक्टल्सची उदाहरणे आहेत.

आम्ही फ्रॅक्टल्सची उदाहरणे आणि प्रकार पाहिले. फ्रॅक्टल्सच्या वापरासाठी, ते ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये वापरले जातात. भौतिकशास्त्रात, अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसरण-शोषण प्रक्रिया, ज्वाला, ढग इ. नॉनलाइनर प्रक्रियांचे मॉडेलिंग करताना फ्रॅक्टल्स नैसर्गिकरित्या उद्भवतात. सच्छिद्र पदार्थांचे मॉडेलिंग करताना फ्रॅक्टल्सचा वापर केला जातो, उदाहरणार्थ, पेट्रोकेमिस्ट्रीमध्ये. जीवशास्त्रात, ते लोकसंख्येचे मॉडेल करण्यासाठी आणि अंतर्गत अवयव प्रणाली (रक्तवाहिनी प्रणाली) चे वर्णन करण्यासाठी वापरले जातात. कोच वक्र निर्मितीनंतर, किनारपट्टीची लांबी मोजण्यासाठी त्याचा वापर करण्याचा प्रस्ताव होता. रेडिओ अभियांत्रिकी, माहिती विज्ञान आणि संगणक तंत्रज्ञान, दूरसंचार आणि अगदी अर्थशास्त्रात देखील फ्रॅक्टल्स सक्रियपणे वापरले जातात. आणि, अर्थातच, आधुनिक कला आणि आर्किटेक्चरमध्ये फ्रॅक्टल दृष्टी सक्रियपणे वापरली जाते. येथे फ्रॅक्टल पॅटर्नचे एक उदाहरण आहे:

आणि म्हणूनच, यासह मी फ्रॅक्टलसारख्या असामान्य गणितीय घटनेबद्दलची माझी कथा पूर्ण करण्याचा विचार करतो. आज आपण फ्रॅक्टल म्हणजे काय, ते कसे दिसले, फ्रॅक्टल्सचे प्रकार आणि उदाहरणे जाणून घेतली. मी त्यांच्या अर्जाबद्दल देखील बोललो आणि काही फ्रॅक्टल्स दृष्यदृष्ट्या प्रदर्शित केले. मला आशा आहे की तुम्ही आश्चर्यकारक आणि आकर्षक फ्रॅक्टल वस्तूंच्या जगात या छोट्या सहलीचा आनंद घेतला असेल.