व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये कशी सोडवायची. चला सर्व व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सद्वारे व्यक्त करूया

व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये ही गणितीय कार्ये आहेत जी त्रिकोणमितीय कार्यांचे व्यस्त आहेत.

फंक्शन y=arcsin(x)

संख्येचा α चा आर्कसाइन ही अंतराल [-π/2;π/2] मधील α आहे जिची साइन α बरोबर आहे.
फंक्शनचा आलेख
मध्यांतर [-π/2;π/2] वर फंक्शन у=sin⁡(x), काटेकोरपणे वाढत आहे आणि सतत आहे; म्हणून, त्याचे व्यस्त कार्य आहे, काटेकोरपणे वाढते आणि सतत.
फंक्शन y= sin⁡(x), जेथे x ∈[-π/2;π/2], त्याला आर्कसिन म्हणतात आणि y=arcsin(x), जेथे x∈[-1;1 असे सूचित केले जाते ].
तर, व्यस्त कार्याच्या व्याख्येनुसार, आर्कसिनच्या व्याख्येचे क्षेत्र हे सेगमेंट आहे [-1;1], आणि मूल्यांचा संच हा विभाग आहे [-π/2;π/2].
लक्षात घ्या की फंक्शन y=arcsin(x), जिथे x ∈[-1;1], फंक्शन y= sin(⁡x) च्या आलेखाशी सममित आहे, जिथे x∈[-π/2;π /2], पहिल्या आणि तिसऱ्या तिमाहीच्या समन्वय कोनांच्या दुभाजकाच्या संदर्भात.

कार्य श्रेणी y=arcsin(x).

उदाहरण क्रमांक १.

आर्कसिन (1/2) शोधा?

arcsin(x) फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी मध्यांतर [-π/2;π/2] च्या मालकीची असल्याने, फक्त π/6 मूल्य योग्य आहे, म्हणून, arcsin(1/2) =π/. 6.
उत्तर:π/6

उदाहरण क्रमांक २.
arcsin(-(√3)/2) शोधा?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] मूल्यांची श्रेणी असल्याने, फक्त -π/3 मूल्य योग्य आहे म्हणून, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

फंक्शन y=arccos(x)

संख्या α चा चाप कोसाइन ही अंतरालमधील एक संख्या α आहे जिचा कोसाइन α बरोबर आहे.

फंक्शनचा आलेख

खंडावरील फंक्शन y= cos(⁡x) काटेकोरपणे कमी होत आहे आणि सतत आहे; म्हणून, त्याचे व्यस्त कार्य आहे, काटेकोरपणे कमी होत आहे आणि सतत.
फंक्शन y= cos⁡x साठी व्यस्त फंक्शन, जिथे x ∈, म्हणतात चाप कोसाइनआणि y=arccos(x) द्वारे दर्शविले जाते, जेथे x ∈[-1;1].
तर, व्यस्त कार्याच्या व्याख्येनुसार, आर्क कोसाइनच्या व्याख्येचे क्षेत्र हे सेगमेंट आहे [-१;१], आणि मूल्यांचा संच हा विभाग आहे.
लक्षात घ्या की y=arccos(x) फंक्शनचा आलेख, जिथे x ∈[-1;1] फंक्शन y= cos(⁡x) च्या आलेखाशी सममित आहे, जेथे x ∈, च्या दुभाजकाच्या संदर्भात पहिल्या आणि तिसऱ्या तिमाहीचे समन्वय कोन.

कार्य श्रेणी y=arccos(x).

उदाहरण क्रमांक 3.

arccos (1/2) शोधा?

arccos(x) फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी मध्यांतराशी संबंधित असल्याने, फक्त 3π/4 मूल्य योग्य आहे, म्हणून, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

उत्तर: 3π/4

फंक्शन y=arctg(x)

संख्येचा α चा आर्कटॅन्जंट हा अंतराल [-π/2;π/2] मधील एक संख्या α आहे जिची स्पर्शिका α बरोबर आहे.

फंक्शनचा आलेख

स्पर्शिका फंक्शन सतत आणि काटेकोरपणे मध्यांतरावर वाढते (-π/2;π/2); म्हणून, त्याचे व्यस्त कार्य आहे जे सतत आणि काटेकोरपणे वाढत आहे.
फंक्शन y= tan⁡(x), जेथे x∈(-π/2;π/2); त्याला आर्कटंजेंट म्हणतात आणि y=arctg(x) ने दर्शविला जातो, जेथे x∈R.
तर, व्यस्त फंक्शनच्या व्याख्येनुसार, आर्कटँजंटच्या व्याख्येचे क्षेत्र म्हणजे मध्यांतर (-∞;+∞), आणि मूल्यांचा संच मध्यांतर आहे
(-π/2;π/2).
लक्षात घ्या की फंक्शनचा आलेख y=arctg(x), जिथे x∈R, फंक्शनच्या आलेखाशी सममित आहे y= tan⁡x, जेथे x ∈ (-π/2;π/2), पहिल्या आणि तिसऱ्या तिमाहीच्या समन्वय कोनांचे दुभाजक.

फंक्शनची श्रेणी y=arctg(x).

उदाहरण क्रमांक 5?

arctan((√3)/3) शोधा.

मूल्यांची श्रेणी arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) असल्याने, फक्त π/6 मूल्य योग्य आहे, म्हणून, arctg((√3)/3) =π/6.
उदाहरण क्रमांक 6.
arctg(-1) शोधा?

मूल्यांची श्रेणी arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) असल्याने, फक्त -π/4 मूल्य योग्य आहे म्हणून, arctg(-1) = - π/4.

फंक्शन y=arcctg(x)

फंक्शनचा आलेख

मध्यांतरावर (0;π), कोटँजेंट फंक्शन काटेकोरपणे कमी होते; याव्यतिरिक्त, या मध्यांतराच्या प्रत्येक टप्प्यावर ते सतत असते; म्हणून, मध्यांतरावर (0;π), या फंक्शनमध्ये व्यस्त कार्य आहे, जे काटेकोरपणे कमी होत आहे आणि सतत आहे.
फंक्शन y=ctg(x), जेथे x ∈(0;π), त्याला arccotangent म्हणतात आणि y=arcctg(x) असे सूचित केले जाते, जेथे x∈R.
तर, व्युत्क्रम फंक्शनच्या व्याख्येनुसार, आर्कोटँजंटच्या व्याख्येचे क्षेत्र R असेल आणि मूल्यांचा संच मध्यांतर असेल (0;π) फंक्शनचा आलेख y=arcctg(x) , जेथे x∈R फंक्शनच्या y=ctg(x) x∈(0 ;π) च्या आलेखाशी सममित आहे, पहिल्या आणि तिसऱ्या तिमाहीच्या समन्वय कोनांच्या दुभाजकाशी संबंधित आहे.

कार्य श्रेणी y=arcctg(x).

उदाहरण क्रमांक 8.
arcctg(-(√3)/3) शोधा?

arcctg(x) x∈(0;π) मूल्यांची श्रेणी असल्याने, फक्त 2π/3 मूल्य योग्य आहे म्हणून, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

संपादक: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

धडे 32-33. व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये

लक्ष्य: व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये आणि त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण लिहिण्यासाठी त्यांचा वापर विचारात घ्या.

I. धड्यांचा विषय आणि उद्देश संप्रेषण करणे

II. नवीन साहित्य शिकणे

1. व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये

या विषयावरील चर्चा पुढील उदाहरणाने सुरू करूया.

उदाहरण १

चला समीकरण सोडवू:अ) पाप x = 1/2; b) पाप x = a.

a) ऑर्डिनेट अक्षावर आपण मूल्य 1/2 प्लॉट करतो आणि कोन तयार करतो x १ आणि x2, ज्यासाठीपाप x = 1/2. या प्रकरणात x1 + x2 = π, जेथून x2 = π – x १ . त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांचे सारणी वापरून, आपल्याला x1 = π/6 मूल्य सापडते, नंतरचला साइन फंक्शनची नियतकालिकता विचारात घेऊ आणि या समीकरणाचे निराकरण लिहू:जेथे k ∈ Z.

b) साहजिकच, समीकरण सोडवण्यासाठी अल्गोरिदमपाप x = a मागील परिच्छेदाप्रमाणेच आहे. अर्थात, आता मूल्य a हे ऑर्डिनेट अक्षावर प्लॉट केलेले आहे. कोन x1 कसे तरी नियुक्त करणे आवश्यक आहे. आम्ही हा कोन चिन्हाने दर्शविण्यास सहमती दर्शविली arcsin ए. मग या समीकरणाची उत्तरे फॉर्ममध्ये लिहिता येतीलही दोन सूत्रे एकामध्ये एकत्र केली जाऊ शकतात:ज्यामध्ये

उर्वरित व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये अशाच प्रकारे सादर केली जातात.

कोनाचे परिमाण त्याच्या त्रिकोणमितीय कार्याच्या ज्ञात मूल्यावरून निश्चित करणे खूप वेळा आवश्यक असते. अशी समस्या बहुमूल्य आहे - असे असंख्य कोन आहेत ज्यांचे त्रिकोणमितीय कार्य समान मूल्याच्या समान आहेत. म्हणून, त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मोनोटोनिसिटीवर आधारित, कोन अद्वितीयपणे निर्धारित करण्यासाठी खालील व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये सादर केली जातात.

a क्रमांकाचा आर्कसिन (आर्कसिन , ज्याची साइन a च्या समान आहे, i.e.

संख्येचा आर्क कोसाइन a(arccos a) मध्यांतरातील एक कोन a आहे ज्याचा कोसाइन a च्या समान आहे, म्हणजे.

एका संख्येचा चतुर्भुज a(arctg a) - मध्यांतरापासून असा कोन aज्याची स्पर्शिका a च्या समान आहे, म्हणजेtg a = a.

संख्येचा आर्कोटॅन्जेंट a(arcctg a) मध्यांतर (0; π) पासून एक कोन a आहे, ज्याचा कोटँजेंट a च्या समान आहे, म्हणजे ctg a = a.

उदाहरण २

चला शोधूया:

व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या व्याख्या लक्षात घेऊन, आम्ही प्राप्त करतो:

उदाहरण ३

चला गणना करूया

कोन a = arcsin द्या 3/5, नंतर व्याख्येनुसार sin a = 3/5 आणि . म्हणून, आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहेकारण ए. मूळ त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, आम्हाला मिळते:हे लक्षात घेतले जाते की cos a ≥ 0. म्हणून,

व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या व्याख्या आणि मूलभूत गुणधर्मांशी संबंधित आणखी काही विशिष्ट उदाहरणे देऊ.

उदाहरण ४

फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधू

फंक्शन y परिभाषित करण्यासाठी, असमानता पूर्ण करणे आवश्यक आहेजे असमानतेच्या व्यवस्थेशी समतुल्य आहेपहिल्या असमानतेचे समाधान म्हणजे अंतराल x∈ (-∞; +∞), दुसरा -हा मध्यांतर आणि असमानतेच्या प्रणालीचे समाधान आहे, आणि म्हणून कार्याच्या परिभाषाचे डोमेन

उदाहरण ५

फंक्शनच्या बदलाचे क्षेत्रफळ शोधू

फंक्शनच्या वर्तनाचा विचार करूया z = 2x - x2 (चित्र पहा).

हे स्पष्ट आहे की z ∈ (-∞; 1]. हा युक्तिवाद लक्षात घेता z चाप कोटँजेंट फंक्शन निर्दिष्ट मर्यादेत बदलते, टेबल डेटावरून आम्हाला ते मिळतेत्यामुळे बदलाचे क्षेत्र

उदाहरण 6

फंक्शन y = हे सिद्ध करू arctg x विषम. द्यानंतर tg a = -x किंवा x = - tg a = tg (- a), आणि म्हणून, - a = arctg x किंवा a = - arctg एक्स. अशा प्रकारे, आपण ते पाहतोम्हणजे y(x) हे विषम कार्य आहे.

उदाहरण 7

चला सर्व व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सद्वारे व्यक्त करूया

द्या हे उघड आहे तेव्हापासून

चला कोन परिचय करूया कारण ते

त्याचप्रमाणे म्हणून आणि

तर,

उदाहरण 8

चला y = फंक्शनचा आलेख बनवू cos(arcsin x).

नंतर a = arcsin x दर्शवू चला विचारात घेऊया की x = sin a आणि y = cos a, म्हणजे x 2 + y2 = 1, आणि x वरील निर्बंध (x∈ [-1; 1]) आणि y (y ≥ 0). नंतर y = फंक्शनचा आलेख cos(arcsin x) एक अर्धवर्तुळ आहे.

उदाहरण ९

चला y = फंक्शनचा आलेख बनवू arccos (cos x ).

cos फंक्शन पासून मध्यांतरावर x बदलते [-1; 1], नंतर फंक्शन y संपूर्ण संख्यात्मक अक्षावर परिभाषित केले जाते आणि विभागावर बदलते. लक्षात ठेवूया की y = arccos(cosx) खंडावर = x; y फंक्शन 2π सह सम आणि नियतकालिक आहे. फंक्शनमध्ये हे गुणधर्म आहेत हे लक्षात घेऊन cos x आता आलेख तयार करणे सोपे आहे.

चला काही उपयुक्त समानता लक्षात घेऊया:

उदाहरण 10

चला फंक्शनची सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी व्हॅल्यू शोधूचला सूचित करूया मग चला फंक्शन घेऊ या फंक्शनमध्ये बिंदूवर किमान आहे z = π/4, आणि ते समान आहे फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य बिंदूवर प्राप्त केले जाते z = -π/2, आणि ते समान आहे अशा प्रकारे, आणि

उदाहरण 11

चला समीकरण सोडवू

चला ते लक्षात घेऊया मग समीकरण असे दिसते:किंवा कुठे आर्कटँजेंटच्या व्याख्येनुसार आम्हाला मिळते:

2. साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

उदाहरण 1 प्रमाणेच, तुम्ही सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची निराकरणे मिळवू शकता.

उदाहरण 12

चला समीकरण सोडवू

साइन फंक्शन विषम असल्याने, आपण फॉर्ममध्ये समीकरण लिहूया समीकरणाचे उपाय:आम्ही ते कोठून शोधू?

उदाहरण 13

चला समीकरण सोडवू

दिलेल्या सूत्राचा वापर करून, आम्ही समीकरणाची उत्तरे लिहितो:आणि आम्ही शोधू

समीकरणे सोडवताना विशेष प्रकरणांमध्ये (a = 0; ±1) लक्षात ठेवा sin x = a आणि cos x = आणि सामान्य सूत्रे वापरणे सोपे आणि अधिक सोयीस्कर नाही, परंतु युनिट वर्तुळावर आधारित उपाय लिहिणे:

sin x = 1 या समीकरणासाठी

sin x = 0 उपाय x = π k या समीकरणासाठी;

sin x = -1 या समीकरणासाठी

cos समीकरणासाठी x = 1 उपाय x = 2π k;

cos x = 0 या समीकरणासाठी

cos x = -1 या समीकरणासाठी

उदाहरण 14

चला समीकरण सोडवू

या उदाहरणात समीकरणाची एक विशेष बाब असल्याने, आपण योग्य सूत्र वापरून उपाय लिहू:आम्ही ते कोठून शोधू?

III. नियंत्रण प्रश्न (फ्रंटल सर्वेक्षण)

1. व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे मुख्य गुणधर्म परिभाषित आणि सूचीबद्ध करा.

2. व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्यांचे आलेख द्या.

3. साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे.

IV. धडा असाइनमेंट

§ 15, क्रमांक 3 (a, b); 4 (क, ड); 7(a); 8(a); 12 (ब); 13(a); 15 (सी); 16(a); 18 (अ, ब); 19 (क); 21;

§ 16, क्रमांक 4 (a, b); 7(a); 8 (ब); 16 (अ, ब); 18(a); 19 (क, ड);

§ 17, क्रमांक 3 (a, b); 4 (क, ड); 5 (अ, ब); 7 (क, ड); 9 (ब); 10 (a, c).

V. गृहपाठ

§ 15, क्रमांक 3 (c, d); 4 (अ, ब); 7 (सी); 8 (ब); 12(a); 13(ब); 15 (ग्रॅम); 16 (ब); 18 (क, ड); 19 (जी); 22;

§ 16, क्रमांक 4 (c, d); 7 (ब); 8(a); 16 (क, ड); 18 (ब); 19 (अ, ब);

§ 17, क्रमांक 3 (c, d); 4 (अ, ब); 5 (क, ड); 7 (अ, ब); 9 (ड); 10 (ब, ड).

सहावा. सर्जनशील कार्ये

1. फंक्शनचे डोमेन शोधा:

उत्तरे:

2. फंक्शनची श्रेणी शोधा:

उत्तरे:

3. फंक्शनचा आलेख प्लॉट करा:

VII. धड्यांचा सारांश

व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्येगणितीय विश्लेषणामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात. तथापि, बहुतेक हायस्कूल विद्यार्थ्यांसाठी, या प्रकारच्या कार्याशी संबंधित कार्ये महत्त्वपूर्ण अडचणी निर्माण करतात. हे मुख्यत्वे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की अनेक पाठ्यपुस्तके आणि अध्यापन सहाय्य या प्रकारच्या कार्यांवर फारच कमी लक्ष देतात. आणि जर विद्यार्थी कमीत कमी कसा तरी व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांची गणना करण्याच्या समस्यांना तोंड देत असतील, तर अशा फंक्शन्स असलेली समीकरणे आणि असमानता, बहुतेक भागांसाठी, मुलांना गोंधळात टाकतात. खरं तर, हे आश्चर्यकारक नाही, कारण व्यावहारिकदृष्ट्या कोणतेही पाठ्यपुस्तक अगदी सोपे समीकरण आणि व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये असलेली असमानता कशी सोडवायची याचे स्पष्टीकरण देत नाही.

चला व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्स असलेली अनेक समीकरणे आणि असमानता पाहू आणि तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह त्यांचे निराकरण करू.

उदाहरण १.

समीकरण सोडवा: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

उपाय.

समीकरणातून व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन व्यक्त करू, आम्हाला मिळेल:

arccos (2x + 3) = 5π/6. आता आर्क कोसाइनची व्याख्या वापरू.

-1 ते 1 पर्यंतच्या खंडाशी संबंधित असलेल्या एका विशिष्ट संख्येच्या a चा चाप कोसाइन हा 0 ते π पर्यंतच्या खंडातील y कोन आहे की त्याचा कोसाइन x या संख्येच्या समान आहे. म्हणून आपण ते असे लिहू शकतो:

2x + 3 = cos 5π/6.

रिडक्शन फॉर्म्युला वापरून परिणामी समीकरणाची उजवी बाजू लिहूया:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

चला उजवी बाजू एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करू.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

उत्तर: -(6 + √3) / 4 .

उदाहरण २.

समीकरण सोडवा: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

उपाय.

cos (arcсos x) = x सह x संबंधित असल्याने [-1; 1], नंतर हे समीकरण प्रणालीशी समतुल्य आहे:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

चला प्रणालीमध्ये समाविष्ट केलेले समीकरण सोडवू.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

ते चौरस आहे, म्हणून आम्हाला ते मिळते

x 2 – 9x + 14 = 0;

डी = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

व्यवस्थेत समाविष्ट असलेली दुहेरी असमानता सोडवू.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. सर्व भागांमध्ये 9 जोडा, आमच्याकडे आहे:

8 ≤ 4x ≤ 10. प्रत्येक संख्येला 4 ने भागा, आम्हाला मिळेल:

2 ≤ x ≤ 2.5.

आता आम्हाला मिळालेली उत्तरे एकत्र करूया. मूळ x = 7 असमानतेचे उत्तर पूर्ण करत नाही हे पाहणे सोपे आहे. म्हणून, समीकरणाचा एकमेव उपाय म्हणजे x = 2.

उत्तर: 2.

उदाहरण ३.

समीकरण सोडवा: tg (arctg (0.5 – x)) = x 2 – 4x + 2.5.

उपाय.

सर्व वास्तविक संख्यांसाठी tg (arctg x) = x असल्याने, हे समीकरण समीकरणाच्या समतुल्य आहे:

0.5 – x = x 2 – 4x + 2.5.

प्रथम ते प्रमाणित स्वरूपात आणून, discriminant वापरून परिणामी चतुर्भुज समीकरण सोडवू.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

उत्तरः १; 2.

उदाहरण ४.

समीकरण सोडवा: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

उपाय.

arcctg f(x) = arcctg g(x) जर आणि फक्त f(x) = g(x), तर

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. परिणामी द्विघात समीकरण सोडवू:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

व्हिएटाच्या प्रमेयाद्वारे आपण ते प्राप्त करतो

x = 1 किंवा x = 2.

उत्तरः १; 2.

उदाहरण ५.

समीकरण सोडवा: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

उपाय.

arcsin f(x) = arcsin g(x) फॉर्मचे समीकरण प्रणालीशी समतुल्य असल्याने

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

मग मूळ समीकरण प्रणालीशी समतुल्य आहे:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

चला परिणामी प्रणाली सोडवू:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(१४ ≤ २x ≤ १६.

पहिल्या समीकरणावरून, व्हिएटाचे प्रमेय वापरून, आपल्याकडे ते x = 1 किंवा x = 7 आहे. प्रणालीची दुसरी असमानता सोडवताना, आपल्याला आढळते की 7 ≤ x ≤ 8. म्हणून, अंतिमसाठी फक्त x = 7 हे मूळ योग्य आहे. उत्तर

उत्तर: 7.

उदाहरण 6.

समीकरण सोडवा: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

उपाय.

arccos x = t समजा, नंतर t विभागाशी संबंधित आहे आणि समीकरण फॉर्म घेते:

t 2 – 6t + 8 = 0. Vieta चे प्रमेय वापरून परिणामी चतुर्भुज समीकरण सोडवा, आम्हाला t = 2 किंवा t = 4 आढळले.

t = 4 विभागाशी संबंधित नसल्यामुळे, आम्हाला ते t = 2 मिळते, म्हणजे. arccos x = 2, म्हणजे x = cos 2.

उत्तर: कारण 2.

उदाहरण 7.

समीकरण सोडवा: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

उपाय.

चला समानता arcsin x + arccos x = π/2 वापरू आणि फॉर्ममध्ये समीकरण लिहू.

(आर्कसिन x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

arcsin x = t समजा, नंतर t विभागाशी संबंधित आहे [-π/2; π/2] आणि समीकरण फॉर्म घेते:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2/36.

परिणामी समीकरण सोडवू:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. समीकरणातील अपूर्णांक काढून टाकण्यासाठी प्रत्येक पदाचा 9 ने गुणाकार केल्यास आपल्याला मिळते:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

चला भेदभाव शोधू आणि परिणामी समीकरण सोडवू:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 किंवा t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 किंवा t = 12π/36.

कपात केल्यानंतर आमच्याकडे आहे:

t = π/6 किंवा t = π/3. मग

arcsin x = π/6 किंवा arcsin x = π/3.

अशा प्रकारे, x = sin π/6 किंवा x = sin π/3. म्हणजेच x = 1/2 किंवा x =√3/2.

उत्तर: 1/2; √3/2.

उदाहरण 8.

5nx 0 या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा, जेथे n ही मुळांची संख्या आहे आणि x 0 हे समीकरण 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 चे ऋण मूळ आहे.

उपाय.

-π/2 ≤ आर्कसिन x ≤ π/2 असल्याने, नंतर -π ≤ 2 आर्कसिन x ≤ π. शिवाय, सर्व वास्तविक x साठी (x + 1) 2 ≥ 0,
नंतर -(x + 1) 2 ≤ 0 आणि -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

अशाप्रकारे, समीकरणाचे निराकरण होऊ शकते जर त्याच्या दोन्ही बाजू एकाच वेळी –π च्या समान असतील, म्हणजे. हे समीकरण प्रणालीशी समतुल्य आहे:

(2 आर्कसिन x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

समीकरणांची परिणामी प्रणाली सोडवू:

(आर्कसिन x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

दुसऱ्या समीकरणावरून आपल्याला ते x = -1, अनुक्रमे n = 1, नंतर 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5 आहे.

उत्तर:-5.

सराव दाखवल्याप्रमाणे, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फंक्शन्ससह समीकरणे सोडवण्याची क्षमता ही परीक्षा यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक अट आहे. म्हणूनच युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी करताना अशा समस्यांचे निराकरण करण्याचे प्रशिक्षण आवश्यक आणि अनिवार्य आहे.

अद्याप प्रश्न आहेत? समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
ट्यूटरकडून मदत मिळविण्यासाठी -.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.