त्रिकोणमितीची उदाहरणे कशी सोडवायची. सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची:

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण खालीलपैकी एका प्रकारात कमी केले पाहिजे:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जेथे \(t\) ही x सह अभिव्यक्ती आहे, \(a\) ही संख्या आहे. अशा त्रिकोणमितीय समीकरणांना म्हणतात सर्वात सोपा. () किंवा विशेष सूत्रे वापरून ते सहजपणे सोडवले जाऊ शकतात:

उत्तर: \(\left[ \begin(athered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(एकत्र केलेले)\उजवे.\) \(k,n∈Z\)

त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या मुळांच्या सूत्रामध्ये प्रत्येक चिन्हाचा अर्थ काय आहे, पहा.

लक्ष द्या!\(\sin⁡x=a\) आणि \(\cos⁡x=a\) समीकरणांना कोणतेही उपाय नाहीत जर \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). कारण कोणत्याही x साठी साइन आणि कोसाइन \(-1\) पेक्षा मोठे किंवा समान आणि \(1\ पेक्षा कमी किंवा समान):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण सोडवा \(\cos⁡x=-1,1\).
उपाय: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर द्या : उपाय नाहीत.

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
उपाय:

त्रिकोणमितीय समीकरणे सर्वात सोप्यापर्यंत कमी करणे हे एक सर्जनशील कार्य आहे; येथे आपल्याला समीकरणे सोडवण्यासाठी दोन्ही आणि विशेष पद्धती वापरण्याची आवश्यकता आहे:
- पद्धत (युनिफाइड स्टेट परीक्षेत सर्वात लोकप्रिय).
- पद्धत.
- सहायक युक्तिवादाची पद्धत.

चतुर्भुज त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याचे उदाहरण पाहू

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	चला बदलूया \(t=\cos⁡x\).
	आमचे समीकरण वैशिष्ट्यपूर्ण झाले आहे. वापरून सोडवू शकता.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\); \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	आम्ही उलट बदली करतो.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	आपण संख्या वर्तुळ वापरून पहिले समीकरण सोडवतो. दुसऱ्या समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत कारण \(\cos⁡x∈[-1;1]\) आणि कोणत्याही x साठी दोन समान असू शकत नाही.
	या बिंदूंवर पडलेले सर्व आकडे लिहू.

ODZ च्या अभ्यासासह त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याचे उदाहरण:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक अपूर्णांक आहे आणि एक कोटँजेंट आहे - याचा अर्थ आपल्याला ते लिहिण्याची गरज आहे. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की कोटॅन्जंट हा एक अपूर्णांक आहे: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) म्हणून, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) साठी ODZ.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	संख्या वर्तुळावर "नॉन-सोल्यूशन्स" चिन्हांकित करू.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ctg\(x\) ने गुणाकार करून समीकरणातील भाजक काढून टाकू. आम्ही हे करू शकतो, कारण आम्ही वर ctg\(x ≠0\) लिहिले आहे.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	साइन साठी दुहेरी कोन सूत्र लागू करू: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	जर तुमचे हात कोसाइनने विभाजित करण्यासाठी पोहोचले तर त्यांना मागे खेचा! जर ते निश्चितपणे शून्याच्या समान नसेल तर तुम्ही व्हेरिएबलसह अभिव्यक्तीने भागू शकता (उदाहरणार्थ, हे: \(x^2+1.5^x\)). त्याऐवजी, कंसातून \(\cos⁡x\) घेऊ.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	चला समीकरण दोन भागात "विभाजित" करू.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	संख्या वर्तुळ वापरून पहिले समीकरण सोडवू. दुसरे समीकरण \(2\) ने भागू आणि \(\sin⁡x\) उजवीकडे हलवू.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	परिणामी मुळे ODZ मध्ये समाविष्ट नाहीत. म्हणून, आम्ही त्यांना प्रतिसादात लिहिणार नाही. दुसरे समीकरण वैशिष्ट्यपूर्ण आहे. चला त्याला \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ने भागू या समीकरणाचे निराकरण होऊ शकत नाही कारण या प्रकरणात \(\cos⁡x=1\) किंवा \(\cos⁡ x=-1\)).
	आम्ही पुन्हा वर्तुळ वापरतो.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ही मुळे ODZ द्वारे वगळलेली नाहीत, म्हणून तुम्ही त्यांना उत्तरात लिहू शकता.

अनेक सोडवताना गणितीय समस्या, विशेषत: इयत्ता 10 च्या आधी घडणाऱ्या, ध्येयाकडे नेणाऱ्या क्रियांचा क्रम स्पष्टपणे परिभाषित केला आहे. अशा समस्यांमध्ये, उदाहरणार्थ, रेखीय आणि द्विघातीय समीकरणे, रेखीय आणि द्विघाती असमानता, अपूर्णांक समीकरणे आणि समीकरणे यांचा समावेश होतो जे द्विघाती समीकरणांवर कमी होतात. नमूद केलेल्या प्रत्येक समस्येचे यशस्वीरित्या निराकरण करण्याचे तत्त्व खालीलप्रमाणे आहे: कोणत्या प्रकारच्या समस्येचे निराकरण केले जात आहे हे स्थापित करणे आवश्यक आहे, आवश्यक क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवा ज्यामुळे इच्छित परिणाम मिळेल, उदा. उत्तर द्या आणि या चरणांचे अनुसरण करा.

हे स्पष्ट आहे की एखाद्या विशिष्ट समस्येचे निराकरण करण्यात यश किंवा अपयश हे मुख्यत्वे समीकरणाचा प्रकार किती योग्यरित्या निर्धारित केला जातो, त्याच्या निराकरणाच्या सर्व टप्प्यांचा क्रम किती योग्यरित्या पुनरुत्पादित केला जातो यावर अवलंबून असते. अर्थात, या प्रकरणात समान परिवर्तने आणि गणना करण्यासाठी कौशल्य असणे आवश्यक आहे.

सह परिस्थिती वेगळी आहे त्रिकोणमितीय समीकरणे.हे समीकरण त्रिकोणमितीय आहे हे सिद्ध करणे अजिबात अवघड नाही. कृतींचा क्रम ठरवताना अडचणी येतात ज्यामुळे योग्य उत्तर मिळेल.

समीकरणाच्या स्वरूपावर आधारित त्याचा प्रकार निश्चित करणे कधीकधी कठीण असते. आणि समीकरणाचा प्रकार जाणून घेतल्याशिवाय, अनेक डझन त्रिकोणमितीय सूत्रांमधून योग्य एक निवडणे जवळजवळ अशक्य आहे.

त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला प्रयत्न करणे आवश्यक आहे:

1. समीकरणामध्ये समाविष्ट असलेली सर्व कार्ये "समान कोनांवर" आणा;
2. समीकरण "समान कार्ये" वर आणा;
3. समीकरणाची डावी बाजू, इ.

चला विचार करूया त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धती.

I. सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये घट

समाधान आकृती

1 ली पायरी.ज्ञात घटकांच्या दृष्टीने त्रिकोणमितीय कार्य व्यक्त करा.

पायरी 2.सूत्रे वापरून फंक्शन वितर्क शोधा:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

पायरी 3.अज्ञात चल शोधा.

उदाहरण.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

उपाय.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट

समाधान आकृती

1 ली पायरी.त्रिकोणमितीय कार्यांपैकी एकाच्या संदर्भात समीकरण बीजगणितीय स्वरूपापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.व्हेरिएबल t द्वारे परिणामी कार्य दर्शवा (आवश्यक असल्यास, t वर प्रतिबंध लागू करा).

पायरी 3.परिणामी बीजगणितीय समीकरण लिहा आणि सोडवा.

पायरी 4.उलट बदल करा.

पायरी 5.सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

उपाय.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, कुठे |t| करू द्या ≤ १.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 किंवा e = -3/2, अट पूर्ण करत नाही |t| ≤ १.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

III. समीकरण क्रम कमी करण्याची पद्धत

समाधान आकृती

1 ली पायरी.पदवी कमी करण्यासाठी सूत्र वापरून हे समीकरण रेखीय समीकरणाने बदला:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

पायरी 2. I आणि II पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

उपाय.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. एकसंध समीकरणे

समाधान आकृती

1 ली पायरी.हे समीकरण फॉर्ममध्ये कमी करा

a) a sin x + b cos x = 0 (प्रथम अंशाचे एकसंध समीकरण)

किंवा दृश्यासाठी

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

पायरी 2.समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी भागा

अ) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

आणि tan x साठी समीकरण मिळवा:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

पायरी 3.ज्ञात पद्धती वापरून समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

उपाय.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) चला tg x = t, नंतर

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 किंवा t = -4, म्हणजे

tg x = 1 किंवा tg x = -4.

पहिल्या समीकरणातून x = π/4 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून समीकरण बदलण्याची पद्धत

समाधान आकृती

1 ली पायरी.सर्व संभाव्य त्रिकोणमितीय सूत्रे वापरून, हे समीकरण I, II, III, IV या पद्धतींनी सोडवलेल्या समीकरणापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.ज्ञात पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

उपाय.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 किंवा 2cos x + 1 = 0;

पहिल्या समीकरणातून 2x = π/2 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून cos x = -1/2.

आमच्याकडे x = π/4 + πn/2, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामी, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची क्षमता आणि कौशल्य खूप आहे महत्वाचे, त्यांच्या विकासासाठी विद्यार्थ्याकडून आणि शिक्षकाच्या दोन्ही बाजूंनी महत्त्वपूर्ण प्रयत्न करणे आवश्यक आहे.

स्टिरीओमेट्री, भौतिकशास्त्र इत्यादींच्या अनेक समस्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या निराकरणाशी संबंधित आहेत.

गणित शिकण्याच्या प्रक्रियेत आणि सर्वसाधारणपणे वैयक्तिक विकासामध्ये त्रिकोणमितीय समीकरणे महत्त्वपूर्ण स्थान व्यापतात.

अद्याप प्रश्न आहेत? त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
शिक्षकाकडून मदत मिळविण्यासाठी -.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

त्रिकोणमितीय कार्य साइन (sin x) आणि कोसाइन (cos x) वर संदर्भ माहिती. भौमितिक व्याख्या, गुणधर्म, आलेख, सूत्रे. साइन्स आणि कोसाइन, डेरिव्हेटिव्ह्ज, इंटिग्रल्स, मालिका विस्तार, सेकंट, कोसेकंट यांचे सारणी. जटिल चलांद्वारे अभिव्यक्ती. हायपरबोलिक फंक्शन्ससह कनेक्शन.

साइन आणि कोसाइनची भौमितीय व्याख्या

|BD|- एका बिंदूवर केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या कमानीची लांबी ए.
α - रेडियनमध्ये व्यक्त केलेला कोन.

व्याख्या
साइन (sin α)कर्ण आणि काटकोन त्रिकोणाचा पाय यांच्यातील α या कोनावर अवलंबून त्रिकोणमितीय कार्य आहे, विरुद्ध पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराप्रमाणे |BC| कर्णाच्या लांबीपर्यंत |AC|.

कोसाइन (cos α)कर्ण आणि काटकोन त्रिकोणाचा पाय यांच्यातील α या कोनावर अवलंबून त्रिकोणमितीय कार्य आहे, समीप पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराप्रमाणे |AB| कर्णाच्या लांबीपर्यंत |AC|.

स्वीकृत नोटेशन्स

;
;
.

;
;
.

साइन फंक्शनचा आलेख, y = sin x

कोसाइन फंक्शनचा आलेख, y = cos x

साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म

नियतकालिकता

कार्ये y = पाप xआणि y = cos xकालावधीसह नियतकालिक 2π.

समता

साइन फंक्शन विषम आहे. कोसाइन फंक्शन सम आहे.

परिभाषा आणि मूल्यांचे डोमेन, टोक, वाढ, घट

साइन आणि कोसाइन फंक्शन्स त्यांच्या परिभाषेच्या डोमेनमध्ये सतत असतात, म्हणजेच सर्व x साठी (सातत्यतेचा पुरावा पहा). त्यांचे मुख्य गुणधर्म टेबलमध्ये सादर केले आहेत (n - पूर्णांक).

मूलभूत सूत्रे

साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज

बेरीज आणि फरक पासून साइन आणि कोसाइन साठी सूत्रे

;
;

साइन्स आणि कोसाइनच्या उत्पादनासाठी सूत्रे

बेरीज आणि फरक सूत्रे

कोसाइनद्वारे साइन व्यक्त करणे

;
;
;
.

साइनद्वारे कोसाइन व्यक्त करणे

;
;
;
.

स्पर्शिकेद्वारे अभिव्यक्ती

; .

जेव्हा, आमच्याकडे आहे:
; .

येथे:
; .

साइन्स आणि कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटँजेंट्सची सारणी

हे सारणी युक्तिवादाच्या विशिष्ट मूल्यांसाठी साइन्स आणि कोसाइनची मूल्ये दर्शविते.

जटिल चलांद्वारे अभिव्यक्ती

;

यूलरचे सूत्र

{ -∞ < x < +∞ }

सेकंट, कोसेकंट

व्यस्त कार्ये

साइन आणि कोसाइनची व्यस्त कार्ये अनुक्रमे आर्क्साइन आणि आर्ककोसाइन आहेत.

आर्कसिन, आर्कसिन

अर्कोसाइन, अर्कोस

संदर्भ:
I.N. ब्रॉनस्टीन, के.ए. सेमेंड्येव, अभियंते आणि महाविद्यालयीन विद्यार्थ्यांसाठी गणिताचे हँडबुक, "लॅन", 2009.

साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे.

जटिलतेच्या कोणत्याही स्तराची त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे शेवटी सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते. आणि यामध्ये त्रिकोणमितीय वर्तुळ पुन्हा सर्वोत्तम सहाय्यक ठरते.

चला कोसाइन आणि साइनच्या व्याख्या आठवूया.

कोनाचा कोसाइन म्हणजे दिलेल्या कोनातून फिरणाऱ्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचा abscissa (म्हणजे अक्षाच्या बाजूने असलेला समन्वय) असतो.

कोनाचे साइन हे दिलेल्या कोनातून फिरणाऱ्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचे ऑर्डिनेट (म्हणजे अक्षासह समन्वय) असते.

त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील हालचालीची सकारात्मक दिशा घड्याळाच्या उलट दिशेने असते. 0 अंश (किंवा 0 रेडियन) चे रोटेशन निर्देशांक (1;0) सह बिंदूशी संबंधित आहे

साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी आम्ही या व्याख्या वापरतो.

1. समीकरण सोडवा

हे समीकरण परिभ्रमण कोनाच्या सर्व मूल्यांद्वारे समाधानी आहे जे वर्तुळावरील बिंदूंशी संबंधित आहे ज्यांचे ऑर्डिनेट समान आहे.

ऑर्डिनेट अक्षावर ऑर्डिनेटसह बिंदू चिन्हांकित करू:

x-अक्षाच्या समांतर एक क्षैतिज रेषा काढा जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि एक ऑर्डिनेट असलेले दोन बिंदू मिळतात. हे बिंदू रेडियन आणि मधील रोटेशन कोनांशी संबंधित आहेत:

जर आपण प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित बिंदू सोडून पूर्ण वर्तुळाभोवती फिरलो, तर आपण प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित असलेल्या एका बिंदूवर पोहोचू आणि समान ऑर्डिनेट असेल. म्हणजेच हा रोटेशन अँगल देखील आपले समीकरण पूर्ण करतो. आपण आपल्याला पाहिजे तितक्या “निष्क्रिय” क्रांती करू शकतो, त्याच बिंदूकडे परत जाऊ शकतो आणि ही सर्व कोन मूल्ये आपले समीकरण पूर्ण करतील. "निष्क्रिय" क्रांतीची संख्या अक्षराने (किंवा) दर्शविली जाईल. आपण या क्रांती सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही दिशेने करू शकतो, (किंवा) कोणतीही पूर्णांक मूल्ये घेऊ शकतो.

म्हणजेच, मूळ समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या पहिल्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, , - पूर्णांकांचा संच (1)

त्याचप्रमाणे, सोल्यूशन्सच्या दुसऱ्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, कुठे , . (२)

जसे तुम्ही अंदाज लावला असेल, सोल्यूशनची ही मालिका वर्तुळावरील बिंदूच्या परिभ्रमणाच्या कोनाशी संबंधित बिंदूवर आधारित आहे.

समाधानाच्या या दोन मालिका एका नोंदीमध्ये एकत्र केल्या जाऊ शकतात:

जर आपण या नोंदीमध्ये (म्हणजे सम) घेतले तर आपल्याला समाधानांची पहिली मालिका मिळेल.

जर आपण या नोंदीमध्ये (म्हणजे विषम) घेतले तर आपल्याला समाधानांची दुसरी मालिका मिळेल.

2. आता समीकरण सोडवू

कोनातून फिरवून मिळवलेल्या एकक वर्तुळावरील बिंदूचा हा ॲब्सिसा असल्याने, आपण अक्षावरील ॲब्सिसासह बिंदू चिन्हांकित करतो:

जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत अक्षाच्या समांतर एक उभी रेषा काढा. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि abscissa असलेले दोन बिंदू मिळतील. हे बिंदू रेडियन आणि मधील रोटेशन कोनांशी संबंधित आहेत. लक्षात ठेवा की घड्याळाच्या दिशेने फिरताना आपल्याला नकारात्मक रोटेशन कोन मिळतो:

आपण उपायांची दोन मालिका लिहूया:

,

,

(मुख्य पूर्ण वर्तुळातून जाऊन आपण इच्छित बिंदूवर पोहोचतो, म्हणजे.

चला या दोन मालिका एका नोंदीमध्ये एकत्र करूया:

3. समीकरण सोडवा

स्पर्शरेषा OY अक्षाच्या समांतर एकक वर्तुळाच्या निर्देशांक (1,0) सह बिंदूमधून जाते

त्यावर 1 च्या समान ऑर्डिनेटसह एक बिंदू चिन्हांकित करू (ज्या स्पर्शिकेचा कोन 1 बरोबर आहे ते आपण शोधत आहोत):

चला हा बिंदू एका सरळ रेषेने निर्देशांकांच्या उत्पत्तीशी जोडू आणि एकक वर्तुळाने रेषेच्या छेदनबिंदूचे बिंदू चिन्हांकित करू. सरळ रेषेचे छेदनबिंदू आणि वर्तुळ वरील रोटेशनच्या कोनांशी संबंधित आहेत आणि:

आपले समीकरण पूर्ण करणाऱ्या रोटेशन कोनांशी संबंधित बिंदू एकमेकांपासून रेडियन्सच्या अंतरावर असल्याने, आपण समाधान अशा प्रकारे लिहू शकतो:

4. समीकरण सोडवा

अक्षाच्या समांतर असलेल्या एकक वर्तुळाच्या समन्वयांसह कोटँजंट्सची रेषा बिंदूमधून जाते.

कोटँजेंट रेषेवर abscissa -1 ने बिंदू चिन्हांकित करू:

चला हा बिंदू सरळ रेषेच्या उगमाशी जोडू आणि जोपर्यंत तो वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत पुढे चालू ठेवू. ही सरळ रेषा वर्तुळाला आणि रेडियन्समधील रोटेशनच्या कोनांशी संबंधित बिंदूंवर छेदेल:

हे बिंदू एकमेकांपासून समान अंतराने विभक्त केलेले असल्याने, आपण या समीकरणाचे सामान्य समाधान खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे समाधान स्पष्ट करणाऱ्या दिलेल्या उदाहरणांमध्ये, त्रिकोणमितीय कार्यांची सारणी मूल्ये वापरली गेली.

तथापि, समीकरणाच्या उजव्या बाजूला सारणी नसलेले मूल्य असल्यास, आम्ही समीकरणाच्या सामान्य समाधानामध्ये मूल्य बदलतो:

विशेष उपाय:

वर्तुळावरील बिंदू चिन्हांकित करूया ज्यांचे निर्देशांक 0 आहे:

आपण वर्तुळावरील एकच बिंदू चिन्हांकित करू ज्याचा क्रम 1 आहे:

आपण वर्तुळावर एक एकल बिंदू चिन्हांकित करू ज्याचा ऑर्डिनेट -1 आहे:

शून्याच्या जवळची मूल्ये दर्शविण्याची प्रथा असल्याने, आम्ही खालीलप्रमाणे उपाय लिहितो:

आपण वर्तुळावरील बिंदू चिन्हांकित करू ज्यांचे abscissa 0 च्या बरोबरीचे आहे:

5.
वर्तुळावरील एक एकल बिंदू चिन्हांकित करू ज्याचा abscissa 1 च्या बरोबरीचा आहे:

वर्तुळावर एक एकल बिंदू चिन्हांकित करू ज्याचा abscissa समान आहे -1:

आणि थोडी अधिक जटिल उदाहरणे:

1.

जर वितर्क समान असेल तर साइन एक बरोबर आहे

आमच्या साइनचा युक्तिवाद समान आहे, म्हणून आम्हाला मिळते:

समानतेच्या दोन्ही बाजूंना ३ ने विभाजित करू.

उत्तर:

2.

कोसाइनचा युक्तिवाद असल्यास कोसाइन शून्य आहे

आमच्या कोसाइनचा युक्तिवाद समान आहे, म्हणून आम्हाला मिळते:

चला व्यक्त करू, हे करण्यासाठी आपण प्रथम विरुद्ध चिन्हासह उजवीकडे जाऊ:

चला उजवी बाजू सोपी करूया:

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभाजित करा:

लक्षात घ्या की संज्ञाच्या समोरील चिन्ह बदलत नाही, कारण k हे कोणतेही पूर्णांक मूल्य घेऊ शकते.

उत्तर:

आणि शेवटी, “त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून त्रिकोणमितीय समीकरणात मुळे निवडणे” हा व्हिडिओ धडा पहा.

हे साधे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याबद्दलचे आमचे संभाषण संपवते. पुढच्या वेळी आपण कसे ठरवायचे याबद्दल बोलू.