गॉसियन पद्धतीत कोणतेही उपाय नाहीत. डमीसाठी गॉसियन पद्धत: स्लॉफ सहजपणे सोडवणे

गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे.समजा कडून सिस्टीमवर उपाय शोधायचा आहे nसह रेखीय समीकरणे nअज्ञात चल
मुख्य मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा आहे.

गॉस पद्धतीचे सारअज्ञात व्हेरिएबल्सला क्रमशः काढून टाकणे समाविष्ट आहे: प्रथम काढून टाकणे x १प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून, दुसऱ्यापासून सुरू होणारे, पुढे वगळले आहे x 2सर्व समीकरणांमधून, तिसऱ्यापासून सुरू होणारे, आणि असेच, शेवटच्या समीकरणात फक्त अज्ञात चल शिल्लक राहेपर्यंत x n. अज्ञात व्हेरिएबल्सला क्रमशः काढून टाकण्यासाठी सिस्टम समीकरणे बदलण्याच्या या प्रक्रियेला म्हणतात थेट गॉसियन पद्धत. गॉसियन पद्धतीची पुढे प्रगती पूर्ण केल्यानंतर, शेवटच्या समीकरणावरून आपल्याला आढळते x n, हे मूल्य वापरून उपांत्य समीकरणापासून आपण गणना करतो xn-1, आणि असेच, पहिल्या समीकरणावरून आपल्याला सापडते x १. प्रणालीच्या शेवटच्या समीकरणापासून पहिल्या समीकरणाकडे जाताना अज्ञात चलांची गणना करण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात. गॉसियन पद्धतीचा उलटा.

अज्ञात चल काढून टाकण्यासाठी अल्गोरिदमचे थोडक्यात वर्णन करूया.

आम्ही असे गृहीत धरू की, प्रणालीच्या समीकरणांची पुनर्रचना करून आपण हे नेहमी साध्य करू शकतो. अज्ञात व्हेरिएबल काढून टाका x १प्रणालीच्या सर्व समीकरणांमधून, दुसऱ्यापासून सुरू होणारे. हे करण्यासाठी, प्रणालीच्या दुस-या समीकरणात आपण प्रथम जोडतो, ने गुणाकार केला, तिसऱ्या समीकरणामध्ये आपण प्रथम, ने गुणाकार, आणि असेच जोडतो. nवासमीकरणात आपण प्रथम जोडतो, गुणाकार करतो. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे, आणि .

आम्ही व्यक्त केले तर आम्ही त्याच निकालावर पोहोचू x १प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणातील इतर अज्ञात चलांद्वारे आणि परिणामी अभिव्यक्ती इतर सर्व समीकरणांमध्ये बदलली गेली. तर व्हेरिएबल x १सर्व समीकरणांमधून वगळलेले, दुसऱ्यापासून सुरू होणारे.

पुढे, आम्ही त्याच प्रकारे पुढे जाऊ, परंतु केवळ परिणामी प्रणालीच्या भागासह, जे आकृतीमध्ये चिन्हांकित केले आहे.

हे करण्यासाठी, सिस्टीमच्या तिसऱ्या समीकरणामध्ये आपण दुसरे जोडतो, ने गुणाकार केला, चौथ्या समीकरणामध्ये आपण दुसरे, ने गुणाकार केले आणि असेच जोडतो. nवासमीकरणात आपण दुसरे जोडतो, गुणाकार करतो. अशा परिवर्तनांनंतर समीकरणांची प्रणाली आकार घेईल

कुठे, आणि . तर व्हेरिएबल x 2तिसऱ्या पासून सुरू होणाऱ्या सर्व समीकरणांमधून वगळले.

पुढे आम्ही अज्ञात दूर करण्यासाठी पुढे जाऊ x 3, या प्रकरणात आम्ही आकृतीमध्ये चिन्हांकित केलेल्या प्रणालीच्या भागासह समान कार्य करतो

म्हणून आम्ही गॉसियन पद्धतीची थेट प्रगती चालू ठेवतो जोपर्यंत सिस्टम फॉर्म घेत नाही

या क्षणापासून आम्ही गॉसियन पद्धतीच्या उलट सुरू करतो: आम्ही गणना करतो x nप्राप्त मूल्य वापरून शेवटच्या समीकरणातून x nआम्ही शोधतो xn-1उपांत्य समीकरणातून, आणि असेच, आपल्याला सापडते x १पहिल्या समीकरणापासून.

उदाहरण.

रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा गॉस पद्धत.

गौसियन पद्धत, ज्याला अज्ञातांच्या अनुक्रमिक निर्मूलनाची पद्धत देखील म्हणतात, खालीलप्रमाणे आहे. प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली अशा स्वरूपात आणली जाते की त्याचे गुणांकांचे मॅट्रिक्स असे दिसून येते. ट्रॅपेझॉइडल (त्रिकोनी किंवा पायऱ्यांसारखेच) किंवा ट्रॅपेझॉइडलच्या जवळ (गॉसियन पद्धतीचा थेट स्ट्रोक, यापुढे - सरळ स्ट्रोक). अशा प्रणालीचे उदाहरण आणि त्याचे निराकरण वरील आकृतीमध्ये आहे.

अशा प्रणालीमध्ये, शेवटच्या समीकरणामध्ये फक्त एक चल असते आणि त्याचे मूल्य अस्पष्टपणे शोधले जाऊ शकते. या व्हेरिएबलचे मूल्य नंतर मागील समीकरणामध्ये बदलले जाते ( गॉसियन पद्धतीचा उलटा , नंतर फक्त उलट), ज्यामधून मागील व्हेरिएबल आढळले आहे, आणि असेच.

ट्रॅपेझॉइडल (त्रिकोणीय) प्रणालीमध्ये, जसे आपण पाहतो, तिसऱ्या समीकरणामध्ये यापुढे चल नसतात. yआणि x, आणि दुसरे समीकरण व्हेरिएबल आहे x .

सिस्टमच्या मॅट्रिक्सने ट्रॅपेझॉइडल आकार घेतल्यानंतर, सिस्टमच्या सुसंगततेची समस्या समजून घेणे, उपायांची संख्या निश्चित करणे आणि स्वतःच उपाय शोधणे यापुढे कठीण नाही.

पद्धतीचे फायदे:

तीन पेक्षा जास्त समीकरणे आणि अज्ञात असलेल्या रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना, गॉस पद्धत क्रॅमर पद्धतीसारखी अवघड नसते, कारण गॉस पद्धतीने सोडवण्यासाठी कमी गणना आवश्यक असते;
गॉस पद्धत रेखीय समीकरणांच्या अनिश्चित प्रणालींचे निराकरण करू शकते, म्हणजेच ज्यांचे सामान्य समाधान आहे (आणि आम्ही या धड्यात त्यांचे विश्लेषण करू), आणि क्रॅमर पद्धत वापरून, आम्ही केवळ असे सांगू शकतो की प्रणाली अनिश्चित आहे;
आपण रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवू शकता ज्यामध्ये अज्ञातांची संख्या समीकरणांच्या संख्येइतकी नसते (आम्ही या धड्यात त्यांचे विश्लेषण देखील करू);
ही पद्धत प्राथमिक (शालेय) पद्धतींवर आधारित आहे - अज्ञातांना बदलण्याची पद्धत आणि समीकरण जोडण्याची पद्धत, ज्याला आपण संबंधित लेखात स्पर्श केला आहे.

रेषीय समीकरणांची ट्रॅपेझॉइडल (त्रिकोणी, पायरी) प्रणाली कोणत्या साधेपणाने सोडवली जाते हे प्रत्येकाला समजण्यासाठी, आम्ही रिव्हर्स मोशन वापरून अशा प्रणालीचे समाधान सादर करतो. धड्याच्या सुरुवातीला चित्रात या प्रणालीचा द्रुत उपाय दर्शविला गेला आहे.

उदाहरण १.व्यस्त वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा:

उपाय. या ट्रॅपेझॉइडल सिस्टममध्ये व्हेरिएबल zतिसऱ्या समीकरणातून अनन्यपणे शोधले जाऊ शकते. आपण त्याचे मूल्य दुसऱ्या समीकरणात बदलतो आणि व्हेरिएबलचे मूल्य मिळवतो y:

आता आपल्याला दोन व्हेरिएबल्सची मूल्ये माहित आहेत - zआणि y. आम्ही त्यांना पहिल्या समीकरणात बदलतो आणि व्हेरिएबलचे मूल्य मिळवतो x:

मागील चरणांमधून आम्ही समीकरण प्रणालीचे निराकरण लिहितो:

रेखीय समीकरणांची अशी ट्रॅपेझॉइडल प्रणाली प्राप्त करण्यासाठी, जी आम्ही अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवली आहे, रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या प्राथमिक परिवर्तनांशी संबंधित फॉरवर्ड स्ट्रोक वापरणे आवश्यक आहे. हे देखील फार कठीण नाही.

रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे प्राथमिक परिवर्तन

बीजगणितीय पद्धतीने सिस्टीमची समीकरणे जोडण्याच्या शालेय पद्धतीची पुनरावृत्ती केल्यावर आम्हाला असे आढळून आले की सिस्टीमच्या एका समीकरणामध्ये आपण सिस्टीमचे दुसरे समीकरण जोडू शकतो आणि प्रत्येक समीकरणाला काही संख्यांनी गुणले जाऊ शकते. परिणामी, आम्हाला या समतुल्य रेखीय समीकरणांची प्रणाली मिळते. त्यामध्ये, एका समीकरणात आधीपासून फक्त एक व्हेरिएबल आहे, ज्याचे मूल्य इतर समीकरणांमध्ये बदलून, आपण निराकरण करू. अशी जोडणी प्रणालीच्या प्राथमिक परिवर्तनाच्या प्रकारांपैकी एक आहे. गॉसियन पद्धत वापरताना, आपण अनेक प्रकारचे परिवर्तन वापरू शकतो.

वरील ॲनिमेशन दाखवते की समीकरणांची प्रणाली हळूहळू ट्रॅपेझॉइडलमध्ये कशी बदलते. म्हणजेच, जे तुम्ही पहिल्याच ॲनिमेशनमध्ये पाहिले आणि त्यातून सर्व अज्ञात गोष्टींची मूल्ये शोधणे सोपे आहे याची खात्री पटली. असे परिवर्तन कसे करावे आणि अर्थातच, उदाहरणांवर पुढे चर्चा केली जाईल.

समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये आणि प्रणालीच्या विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये कितीही समीकरणे आणि अज्ञात असलेल्या रेषीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना करू शकतो:

ओळींची पुनर्रचना करा (या लेखाच्या अगदी सुरुवातीलाच उल्लेख केला होता);
जर इतर परिवर्तनांचा परिणाम समान किंवा आनुपातिक पंक्तीमध्ये झाला, तर एक वगळता त्या हटवल्या जाऊ शकतात;
"शून्य" पंक्ती काढा जेथे सर्व गुणांक शून्याच्या समान आहेत;
कोणत्याही स्ट्रिंगला विशिष्ट संख्येने गुणाकार किंवा भागा;
कोणत्याही ओळीत दुसरी ओळ जोडा, विशिष्ट संख्येने गुणाकार.

परिवर्तनांच्या परिणामी, आम्हाला या समतुल्य रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली मिळते.

अल्गोरिदम आणि गॉस पद्धत वापरून प्रणालीच्या चौरस मॅट्रिक्ससह रेषीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याची उदाहरणे

आपण प्रथम रेखीय समीकरणांच्या सोडवण्याच्या पद्धतींचा विचार करू ज्यामध्ये अज्ञातांची संख्या समीकरणांच्या संख्येइतकी असते. अशा प्रणालीचा मॅट्रिक्स चौरस असतो, म्हणजे, त्यातील पंक्तींची संख्या स्तंभांच्या संख्येइतकी असते.

उदाहरण २.गॉस पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा

शालेय पद्धती वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवताना, आम्ही एका समीकरणाच्या पदाचा एका विशिष्ट संख्येने गुणाकार केला, जेणेकरून दोन समीकरणांमधील पहिल्या चलचे गुणांक विरुद्ध संख्या होती. समीकरणे जोडताना, हे चल काढून टाकले जाते. गॉस पद्धत समान कार्य करते.

सोल्यूशनचे स्वरूप सुलभ करण्यासाठी प्रणालीचे विस्तारित मॅट्रिक्स बनवू:

या मॅट्रिक्समध्ये, अज्ञातांचे गुणांक उभ्या रेषेच्या आधी डावीकडे स्थित आहेत आणि मुक्त संज्ञा उभ्या रेषेनंतर उजवीकडे स्थित आहेत.

व्हेरिएबल्ससाठी गुणांक विभाजित करण्याच्या सोयीसाठी (एकतेने भागाकार मिळवण्यासाठी) सिस्टम मॅट्रिक्सच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या ओळींची अदलाबदल करू. आम्ही याच्या समतुल्य प्रणाली प्राप्त करतो, कारण रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये समीकरणे बदलली जाऊ शकतात:

नवीन प्रथम समीकरण वापरणे व्हेरिएबल काढून टाका xदुसऱ्या आणि त्यानंतरच्या सर्व समीकरणांमधून. हे करण्यासाठी, मॅट्रिक्सच्या दुस-या पंक्तीमध्ये आम्ही (आमच्या बाबतीत ) ने गुणाकार केलेली पहिली पंक्ती तिसऱ्या रांगेत जोडतो - पहिल्या पंक्तीला (आमच्या बाबतीत ) ने गुणाकार केला आहे.

हे शक्य आहे कारण

जर आपल्या सिस्टीममध्ये तीनपेक्षा जास्त समीकरणे असतील, तर आपल्याला नंतरच्या सर्व समीकरणांमध्ये वजा चिन्हाने घेतलेल्या संबंधित गुणांकांच्या गुणोत्तराने गुणाकार केलेली पहिली ओळ जोडावी लागेल.

परिणामी, आम्हाला नवीन समीकरण प्रणालीच्या या प्रणालीशी समतुल्य मॅट्रिक्स मिळते, ज्यामध्ये सर्व समीकरणे, दुसऱ्यापासून सुरू होणारी व्हेरिएबल समाविष्ट करू नका x :

परिणामी प्रणालीची दुसरी ओळ सुलभ करण्यासाठी, त्यास गुणाकार करा आणि या प्रणालीच्या समतुल्य समीकरणांच्या प्रणालीचे मॅट्रिक्स मिळवा:

आता, परिणामी प्रणालीचे पहिले समीकरण अपरिवर्तित ठेवून, दुसरे समीकरण वापरून आपण व्हेरिएबल काढून टाकतो y त्यानंतरच्या सर्व समीकरणांमधून. हे करण्यासाठी, सिस्टम मॅट्रिक्सच्या तिसऱ्या ओळीत आम्ही दुसरी पंक्ती जोडतो, (आमच्या बाबतीत ) ने गुणाकार करतो.

जर आपल्या सिस्टीममध्ये तीनपेक्षा जास्त समीकरणे असतील तर, त्यानंतरच्या सर्व समीकरणांना वजा चिन्हाने घेतलेल्या संबंधित गुणांकांच्या गुणोत्तराने गुणाकार करून दुसरी ओळ जोडावी लागेल.

परिणामी, आम्ही पुन्हा रेखीय समीकरणांच्या या प्रणालीच्या समतुल्य प्रणालीचे मॅट्रिक्स प्राप्त करतो:

आम्ही रेखीय समीकरणांची समतुल्य ट्रॅपेझॉइडल प्रणाली प्राप्त केली आहे:

जर समीकरणे आणि व्हेरिएबल्सची संख्या आमच्या उदाहरणापेक्षा जास्त असेल, तर आमच्या डेमो उदाहरणाप्रमाणे, सिस्टीम मॅट्रिक्स ट्रॅपेझॉइडल होईपर्यंत क्रमाक्रमाने व्हेरिएबल्स काढून टाकण्याची प्रक्रिया चालू राहते.

आम्हाला "शेवटपासून" उपाय सापडेल - उलट चाल. यासाठी एस शेवटच्या समीकरणावरून आम्ही ठरवतो z:
.
हे मूल्य मागील समीकरणात बदलून, आम्ही शोधू y:

पहिल्या समीकरणापासून आम्ही शोधू x:

उत्तर: या समीकरण प्रणालीचे समाधान आहे .

: या प्रकरणात प्रणालीकडे एक अद्वितीय उपाय असल्यास समान उत्तर दिले जाईल. जर प्रणालीकडे अनंत संख्येने उपाय असतील तर हे उत्तर असेल आणि हा या धड्याच्या पाचव्या भागाचा विषय आहे.

गॉसियन पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली स्वतः सोडवा आणि नंतर उपाय पहा

येथे पुन्हा आपल्याकडे रेखीय समीकरणांच्या सुसंगत आणि निश्चित प्रणालीचे उदाहरण आहे, ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येइतकी असते. अल्गोरिदममधील आमच्या डेमो उदाहरणातील फरक असा आहे की तेथे आधीच चार समीकरणे आणि चार अज्ञात आहेत.

उदाहरण ४.गॉस पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा:

आता तुम्हाला त्यानंतरच्या समीकरणांमधून व्हेरिएबल काढून टाकण्यासाठी दुसरे समीकरण वापरावे लागेल. चला तयारीचे काम करूया. गुणांकांच्या गुणोत्तरासह ते अधिक सोयीस्कर बनविण्यासाठी, आपल्याला दुसर्या पंक्तीच्या दुसर्या स्तंभात एक प्राप्त करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या ओळीतून तिसरी वजा करा आणि परिणामी दुसरी ओळ -1 ने गुणा.

आता तिसऱ्या आणि चौथ्या समीकरणातून व्हेरिएबलचे वास्तविक निर्मूलन करू. हे करण्यासाठी, दुसरी ओळ, , ने गुणाकार केलेली , तिसऱ्या ओळीत आणि दुसरी, , ने गुणाकार केलेली , चौथ्या ओळीत जोडा.

आता, तिसरे समीकरण वापरून, आपण चौथ्या समीकरणातून व्हेरिएबल काढून टाकतो. हे करण्यासाठी, चौथ्या ओळीत तिसरी ओळ जोडा, गुणाकार . आम्ही एक विस्तारित ट्रॅपेझॉइडल मॅट्रिक्स प्राप्त करतो.

आम्ही समीकरणांची एक प्रणाली प्राप्त केली ज्यामध्ये दिलेली प्रणाली समतुल्य आहे:

परिणामी, परिणामी आणि दिलेल्या प्रणाली सुसंगत आणि निश्चित आहेत. आम्हाला "शेवटपासून" अंतिम उपाय सापडतो. चौथ्या समीकरणावरून आपण "x-चार" व्हेरिएबलचे मूल्य थेट व्यक्त करू शकतो:

आम्ही हे मूल्य प्रणालीच्या तिसऱ्या समीकरणात बदलतो आणि मिळवतो

शेवटी, मूल्य प्रतिस्थापन

पहिले समीकरण देते

आम्हाला "x प्रथम" कुठे सापडेल:

उत्तर: समीकरणांच्या या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे .

तुम्ही क्रॅमरची पद्धत वापरून कॅल्क्युलेटरवर सिस्टमचे सोल्यूशन देखील तपासू शकता: या प्रकरणात, सिस्टममध्ये एक अद्वितीय उपाय असल्यास समान उत्तर दिले जाईल.

मिश्रधातूवरील समस्येचे उदाहरण वापरून गॉस पद्धतीचा वापर करून लागू समस्या सोडवणे

रेखीय समीकरणांची प्रणाली भौतिक जगात वास्तविक वस्तूंचे मॉडेल करण्यासाठी वापरली जाते. चला यापैकी एक समस्या सोडवू - मिश्रधातू. तत्सम समस्या म्हणजे मिश्रणावरील समस्या, वस्तूंच्या समूहातील वैयक्तिक मालाची किंमत किंवा वाटा आणि यासारख्या समस्या.

उदाहरण ५.मिश्रधातूच्या तीन तुकड्यांचे एकूण वस्तुमान 150 किलो असते. पहिल्या मिश्रधातूमध्ये 60% तांबे, दुसरा - 30%, तिसरा - 10% असतो. शिवाय, दुसऱ्या आणि तिसऱ्या मिश्रधातूमध्ये पहिल्या मिश्रधातूपेक्षा 28.4 किलो कमी तांबे आहे आणि तिसऱ्या मिश्रधातूमध्ये दुसऱ्या मिश्रधातूपेक्षा 6.2 किलो कमी तांबे आहे. मिश्रधातूच्या प्रत्येक तुकड्याचे वस्तुमान शोधा.

उपाय. आम्ही रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली तयार करतो:

आम्ही दुसरी आणि तिसरी समीकरणे 10 ने गुणाकार करतो, आम्हाला रेखीय समीकरणांची समतुल्य प्रणाली मिळते:

आम्ही सिस्टमचे विस्तारित मॅट्रिक्स तयार करतो:

लक्ष द्या, सरळ पुढे. जोडून (आमच्या बाबतीत, वजा करून) एक पंक्ती एका संख्येने गुणाकार करून (आम्ही ती दोनदा लागू करतो), खालील परिवर्तने सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्ससह होतात:

थेट चाल संपली. आम्ही विस्तारित ट्रॅपेझॉइडल मॅट्रिक्स प्राप्त केले.

आम्ही उलट चाल लागू करतो. आम्ही शेवटपासून उपाय शोधतो. आम्ही ते पाहतो.

दुस-या समीकरणावरून आपल्याला आढळते

तिसऱ्या समीकरणातून -

गॉसच्या पद्धतीचा साधेपणा याचा पुरावा आहे की जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस यांना त्याचा शोध लावण्यासाठी केवळ 15 मिनिटे लागली. त्याच्या नावाच्या पद्धती व्यतिरिक्त, "आपल्याला जे अविश्वसनीय आणि अनैसर्गिक वाटते ते पूर्णपणे अशक्य असलेल्या गोष्टींसह आपण गोंधळात टाकू नये" ही म्हण गॉसच्या कृतींमधून ज्ञात आहे - शोध लावण्यासाठी एक प्रकारची संक्षिप्त सूचना.

अनेक लागू समस्यांमध्ये तिसरे बंधन नसू शकते, म्हणजे तिसरे समीकरण, मग तुम्हाला गॉसियन पद्धतीचा वापर करून तीन अज्ञात असलेली दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवावी लागेल, किंवा, याउलट, समीकरणांपेक्षा कमी अज्ञात आहेत. आपण आता अशा समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यास सुरुवात करू.

गॉसियन पद्धतीचा वापर करून, कोणतीही प्रणाली सुसंगत आहे की विसंगत आहे हे तुम्ही ठरवू शकता nसह रेखीय समीकरणे nचल

गॉस पद्धत आणि रेखीय समीकरणांची प्रणाली अनंत संख्येच्या समाधानांसह

पुढील उदाहरण रेखीय समीकरणांची एक सुसंगत परंतु अनिश्चित प्रणाली आहे, म्हणजे, अनंत संख्येने निराकरणे आहेत.

प्रणालीच्या विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये परिवर्तन केल्यानंतर (पंक्तींची पुनर्रचना करणे, एका विशिष्ट संख्येने पंक्ती गुणाकार आणि विभाजित करणे, एका पंक्तीमध्ये दुसरी जोडणे), फॉर्मच्या पंक्ती दिसू शकतात.

जर सर्व समीकरणांमध्ये फॉर्म असेल

विनामूल्य अटी शून्याच्या समान आहेत, याचा अर्थ असा आहे की सिस्टम अनिश्चित आहे, म्हणजेच, त्यात अनंत संख्येने निराकरणे आहेत आणि या प्रकारची समीकरणे "अनावश्यक" आहेत आणि आम्ही त्यांना सिस्टममधून वगळतो.

उदाहरण 6.

उपाय. चला सिस्टीमचा विस्तारित मॅट्रिक्स बनवू. नंतर, पहिल्या समीकरणाचा वापर करून, आपण त्यानंतरच्या समीकरणांमधून चल काढून टाकतो. हे करण्यासाठी, दुसऱ्या, तिसऱ्या आणि चौथ्या ओळींमध्ये पहिल्याने गुणाकार करून जोडा:

आता दुसरी ओळ तिसरी आणि चौथीला जोडू.

परिणामी, आम्ही सिस्टमवर पोहोचतो

शेवटची दोन समीकरणे फॉर्मच्या समीकरणात बदलली. ही समीकरणे अज्ञातांच्या कोणत्याही मूल्यासाठी समाधानी आहेत आणि ती टाकून दिली जाऊ शकतात.

दुस-या समीकरणाचे समाधान करण्यासाठी, आम्ही आणि साठी अनियंत्रित मूल्ये निवडू शकतो, नंतर साठीचे मूल्य विशिष्टपणे निर्धारित केले जाईल: . पहिल्या समीकरणापासून साठीचे मूल्य देखील अद्वितीयपणे आढळते: .

दिलेल्या आणि शेवटच्या दोन्ही प्रणाली सुसंगत, परंतु अनिश्चित आणि सूत्रे आहेत

अनियंत्रित आणि आम्हाला दिलेल्या प्रणालीचे सर्व उपाय द्या.

गॉस पद्धत आणि सोल्युशनशिवाय रेखीय समीकरणांची प्रणाली

पुढील उदाहरण रेखीय समीकरणांची एक विसंगत प्रणाली आहे, म्हणजे, ज्याचे कोणतेही निराकरण नाही. अशा समस्यांचे उत्तर अशा प्रकारे तयार केले जाते: सिस्टमकडे कोणतेही उपाय नाहीत.

पहिल्या उदाहरणाच्या संबंधात आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, परिवर्तन केल्यानंतर, फॉर्मच्या पंक्ती सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये दिसू शकतात.

फॉर्मच्या समीकरणाशी संबंधित

जर त्यांच्यामध्ये शून्य मुक्त पदासह किमान एक समीकरण असेल (म्हणजे ), तर ही समीकरणांची प्रणाली विसंगत आहे, म्हणजेच तिला कोणतेही उपाय नाहीत आणि त्याचे निराकरण पूर्ण आहे.

उदाहरण 7.गॉस पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवा:

उपाय. आम्ही सिस्टमचा विस्तारित मॅट्रिक्स तयार करतो. पहिल्या समीकरणाचा वापर करून, आम्ही त्यानंतरच्या समीकरणांमधून व्हेरिएबल वगळतो. हे करण्यासाठी, पहिल्या ओळीचा गुणाकार दुस-या ओळीत, पहिल्या ओळीचा गुणाकार तिसऱ्या ओळीत आणि पहिल्या ओळीचा चौथ्या ओळीने गुणाकार करा.

आता तुम्हाला त्यानंतरच्या समीकरणांमधून व्हेरिएबल काढून टाकण्यासाठी दुसरे समीकरण वापरावे लागेल. गुणांकांचे पूर्णांक गुणोत्तर प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही सिस्टमच्या विस्तारित मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या पंक्ती स्वॅप करतो.

तिसरी आणि चौथी समीकरणे वगळण्यासाठी, चौथ्या ओळीत , ने गुणाकार केलेला दुसरा , तिसऱ्या ओळीत आणि दुसरा गुणाकार , चौथ्या ओळीत जोडा.

आता, तिसरे समीकरण वापरून, आपण चौथ्या समीकरणातून व्हेरिएबल काढून टाकतो. हे करण्यासाठी, चौथ्या ओळीत तिसरी ओळ जोडा, गुणाकार .

म्हणून दिलेली प्रणाली खालीलप्रमाणे आहे:

परिणामी प्रणाली विसंगत आहे, कारण त्याचे शेवटचे समीकरण अज्ञातांच्या कोणत्याही मूल्यांद्वारे समाधानी होऊ शकत नाही. त्यामुळे या यंत्रणेकडे कोणतेही उपाय नाहीत.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली द्या जी सोडवायची आहे (अज्ञात xi ची अशी मूल्ये शोधा जी प्रणालीच्या प्रत्येक समीकरणाला समानतेमध्ये बदलतात).

आपल्याला माहित आहे की रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली हे करू शकते:

1) कोणतेही उपाय नाहीत (हो संयुक्त नसलेले).
2) अनंतपणे अनेक उपाय आहेत.
3) एकच उपाय करा.

जसे आपण लक्षात ठेवतो, क्रेमरचा नियम आणि मॅट्रिक्स पद्धत अशा प्रकरणांमध्ये योग्य नाही जेथे सिस्टममध्ये अनेक उपाय आहेत किंवा विसंगत आहेत. गॉस पद्धत – रेखीय समीकरणांच्या कोणत्याही प्रणालीवर उपाय शोधण्यासाठी सर्वात शक्तिशाली आणि बहुमुखी साधन, जे प्रत्येक बाबतीतउत्तर आम्हाला घेऊन जाईल! पद्धत अल्गोरिदम स्वतः तिन्ही प्रकरणांमध्ये समान कार्य करते. जर क्रॅमर आणि मॅट्रिक्स पद्धतींना निर्धारकांचे ज्ञान आवश्यक असेल, तर गॉस पद्धत लागू करण्यासाठी तुम्हाला फक्त अंकगणितीय क्रियांचे ज्ञान आवश्यक आहे, ज्यामुळे ते अगदी प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठीही उपलब्ध होते.

संवर्धित मॅट्रिक्स परिवर्तने ( हे सिस्टीमचे मॅट्रिक्स आहे - केवळ अज्ञातांच्या गुणांकांनी बनलेले मॅट्रिक्स, तसेच मुक्त संज्ञांचा एक स्तंभ)गॉस पद्धतीमध्ये रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली:

1) सह ट्रोकीमॅट्रिक्स करू शकतो पुनर्रचनाकाही ठिकाणी.

2) मॅट्रिक्समध्ये आनुपातिक (विशेष केस म्हणून - समान) पंक्ती दिसत असल्यास (किंवा अस्तित्वात आहेत), तर तुम्ही हटवामॅट्रिक्समधून एक वगळता या सर्व पंक्ती.

3) जर परिवर्तनादरम्यान मॅट्रिक्समध्ये शून्य पंक्ती दिसली, तर ती देखील असावी हटवा.

4) मॅट्रिक्सची एक पंक्ती असू शकते गुणाकार (भागा)शून्याव्यतिरिक्त इतर कोणत्याही संख्येवर.

5) मॅट्रिक्सच्या एका ओळीत तुम्ही करू शकता संख्येने गुणाकार केलेली दुसरी स्ट्रिंग जोडा, शून्यापेक्षा वेगळे.

गॉस पद्धतीमध्ये, प्राथमिक परिवर्तने समीकरण प्रणालीचे समाधान बदलत नाहीत.

गॉस पद्धतीमध्ये दोन टप्पे असतात:

"डायरेक्ट मूव्ह" - प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे विस्तारित मॅट्रिक्स एका "त्रिकोणी" चरणात आणा: मुख्य कर्णाच्या खाली स्थित विस्तारित मॅट्रिक्सचे घटक शून्य (टॉप-डाउन हलवा) च्या समान आहेत. उदाहरणार्थ, या प्रकारासाठी:

हे करण्यासाठी, खालील चरणे करा:

1) रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे पहिले समीकरण विचारात घेऊ या आणि x 1 चे गुणांक K च्या बरोबरीचे आहे. दुसरे, तिसरे इ. आम्ही खालीलप्रमाणे समीकरणे रूपांतरित करतो: आम्ही प्रत्येक समीकरणात असलेल्या अज्ञात x 1 च्या गुणांकाने प्रत्येक समीकरण (अज्ञातांचे गुणांक, मुक्त पदांसह) विभाजित करतो आणि K ने गुणाकार करतो. यानंतर, आम्ही प्रथम मधून वजा करतो दुसरे समीकरण (अज्ञात आणि मुक्त संज्ञांचे गुणांक). दुसऱ्या समीकरणातील x 1 साठी आपल्याला गुणांक 0 मिळतो. तिसऱ्या रूपांतरित समीकरणातून आपण पहिले समीकरण वजा करतो जोपर्यंत प्रथम वगळता सर्व समीकरणे अज्ञात x 1 साठी गुणांक 0 असते.

२) पुढच्या समीकरणाकडे वळू. हे दुसरे समीकरण असू द्या आणि x 2 चे गुणांक M च्या बरोबरीचे असू द्या. वर वर्णन केल्याप्रमाणे आम्ही सर्व "लोअर" समीकरणांसह पुढे जाऊ. अशा प्रकारे, अज्ञात x 2 च्या “खाली” सर्व समीकरणांमध्ये शून्य असतील.

3) पुढील समीकरणाकडे जा आणि असेच एक शेवटचे अज्ञात होईपर्यंत आणि रूपांतरित मुक्त पद शिल्लक राहते.

गॉस पद्धतीची “रिव्हर्स मूव्ह” म्हणजे रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करणे (“तळ-वर” चाल). शेवटच्या "लोअर" समीकरणातून आम्हाला एक पहिला उपाय मिळतो - अज्ञात x n. हे करण्यासाठी, आम्ही प्राथमिक समीकरण A * x n = B सोडवतो. वर दिलेल्या उदाहरणात, x 3 = 4. आम्ही सापडलेल्या मूल्याला "वरच्या" पुढील समीकरणामध्ये बदलतो आणि पुढील अज्ञात संदर्भात ते सोडवतो. उदाहरणार्थ, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. आणि असेच सर्व अज्ञात सापडेपर्यंत.

उदाहरण.

गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवू, जसे काही लेखक सल्ला देतात:

चला सिस्टीमचे विस्तारित मॅट्रिक्स लिहू आणि, प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, त्यास चरणबद्ध स्वरूपात आणू:

आम्ही वरच्या डाव्या "पायरी" कडे पाहतो. आपण तेथे एक असावे. समस्या अशी आहे की पहिल्या स्तंभात कोणतेही युनिट्स नाहीत, म्हणून पंक्ती पुनर्रचना केल्याने काहीही सुटणार नाही. अशा प्रकरणांमध्ये, प्राथमिक परिवर्तन वापरून युनिट आयोजित करणे आवश्यक आहे. हे सहसा अनेक प्रकारे केले जाऊ शकते. चल हे करूया:
1 पाऊल . पहिल्या ओळीत -1 ने गुणाकार करून दुसरी ओळ जोडू. म्हणजेच, आम्ही मानसिकदृष्ट्या दुसरी ओळ –1 ने गुणाकार केली आणि पहिली आणि दुसरी ओळ जोडली, तर दुसरी ओळ बदलली नाही.

आता सर्वात वरती डावीकडे “मायनस वन” आहे, जे आपल्यासाठी योग्य आहे. जो कोणी +1 मिळवू इच्छितो तो अतिरिक्त क्रिया करू शकतो: पहिल्या ओळीचा –1 ने गुणाकार करा (त्याचे चिन्ह बदला).

पायरी 2 . 5 ने गुणाकार केलेली पहिली ओळ दुसऱ्या ओळीत जोडली गेली. 3 ने गुणाकार केलेली पहिली ओळ तिसऱ्या ओळीत जोडली गेली.

पायरी 3 . पहिली ओळ -1 ने गुणाकार केली होती, तत्त्वतः, हे सौंदर्यासाठी आहे. तिसऱ्या ओळीचे चिन्ह देखील बदलले गेले आणि ते दुसऱ्या स्थानावर हलविले गेले, जेणेकरून दुसऱ्या “चरण” वर आमच्याकडे आवश्यक युनिट असेल.

पायरी 4 . तिसरी ओळ दुसऱ्या ओळीत जोडली गेली, 2 ने गुणाकार केला.

पायरी 5 . तिसरी ओळ 3 ने भागली.

गणनेतील त्रुटी दर्शवणारे चिन्ह (अधिक क्वचितच, टायपो) ही “खराब” तळाची ओळ आहे. म्हणजेच, जर आपल्याला खाली (0 0 11 |23) असे काहीतरी मिळाले आणि त्यानुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तर उच्च संभाव्यतेसह आपण असे म्हणू शकतो की प्राथमिक दरम्यान त्रुटी आली होती. परिवर्तने

चला उलट करूया; उदाहरणांच्या डिझाइनमध्ये, सिस्टम स्वतःच बहुतेक वेळा पुन्हा लिहिले जात नाही, परंतु समीकरणे "थेट दिलेल्या मॅट्रिक्समधून घेतली जातात." उलट चाल, मी तुम्हाला आठवण करून देतो, तळापासून वर कार्य करते. या उदाहरणात, परिणाम एक भेट होती:

x 3 = 1
x 2 = 3
x १ + x २ – x ३ = १, म्हणून x १ + ३ – १ = १, x १ = –१

उत्तर द्या:x १ = –१, x २ = ३, x ३ = १.

प्रस्तावित अल्गोरिदम वापरून समान प्रणाली सोडवू. आम्हाला मिळते

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दुसरे समीकरण ५ ने भागा आणि तिसरे समीकरण ३ ने भागा. आम्हाला मिळते:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दुसरे आणि तिसरे समीकरण 4 ने गुणाकार केल्यास, आम्हाला मिळते:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून पहिले समीकरण वजा करा, आमच्याकडे आहे:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तिसरे समीकरण 0.64 ने विभाजित करा:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तिसरे समीकरण ०.४ ने गुणा

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तिसऱ्या समीकरणातून दुसरे वजा करून, आम्हाला "स्टेप केलेले" विस्तारित मॅट्रिक्स मिळते:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

अशा प्रकारे, गणना दरम्यान त्रुटी जमा झाल्यामुळे, आम्हाला x 3 = 0.96 किंवा अंदाजे 1 प्राप्त होतो.

x 2 = 3 आणि x 1 = –1.

अशा प्रकारे सोडवल्याने, तुम्ही गणनेमध्ये कधीही गोंधळात पडणार नाही आणि गणनेतील त्रुटी असूनही, तुम्हाला परिणाम मिळेल.

रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याची ही पद्धत सहजपणे प्रोग्राम करण्यायोग्य आहे आणि अज्ञातांसाठी गुणांकांची विशिष्ट वैशिष्ट्ये विचारात घेत नाहीत, कारण व्यवहारात (आर्थिक आणि तांत्रिक गणनांमध्ये) एखाद्याला पूर्णांक नसलेल्या गुणांकांना सामोरे जावे लागते.

मी तुम्हाला यश इच्छितो! वर्गात भेटू! शिक्षक दिमित्री आयस्ट्राखानोव्ह.

वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

आपल्याला माहित आहे की रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली हे करू शकते:

1) सह ट्रोकीमॅट्रिक्स करू शकतो पुनर्रचनाकाही ठिकाणी.

गॉस पद्धतीमध्ये, प्राथमिक परिवर्तने समीकरण प्रणालीचे समाधान बदलत नाहीत.

गॉस पद्धतीमध्ये दोन टप्पे असतात:

"डायरेक्ट मूव्ह" - प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे विस्तारित मॅट्रिक्स एका "त्रिकोणी" चरणात आणा: मुख्य कर्णाच्या खाली स्थित विस्तारित मॅट्रिक्सचे घटक शून्य (टॉप-डाउन हलवा) च्या समान आहेत. उदाहरणार्थ, या प्रकारासाठी:

हे करण्यासाठी, खालील चरणे करा:

गॉस पद्धतीची “रिव्हर्स मूव्ह” म्हणजे रेखीय बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करणे (“तळ-वर” चाल). शेवटच्या "लोअर" समीकरणातून आम्हाला एक पहिला उपाय मिळतो - अज्ञात x n. हे करण्यासाठी, आम्ही प्राथमिक समीकरण A * x n = B सोडवतो. वर दिलेल्या उदाहरणात, x 3 = 4. आम्ही सापडलेल्या मूल्याला "वरच्या" पुढील समीकरणामध्ये बदलतो आणि पुढील अज्ञात संदर्भात ते सोडवतो. उदाहरणार्थ, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. आणि असेच सर्व अज्ञात सापडेपर्यंत.

उदाहरण.

पायरी 4 . तिसरी ओळ दुसऱ्या ओळीत जोडली गेली, 2 ने गुणाकार केला.

पायरी 5 . तिसरी ओळ 3 ने भागली.

x 3 = 1
x 2 = 3
x १ + x २ – x ३ = १, म्हणून x १ + ३ – १ = १, x १ = –१

उत्तर द्या:x १ = –१, x २ = ३, x ३ = १.

प्रस्तावित अल्गोरिदम वापरून समान प्रणाली सोडवू. आम्हाला मिळते

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दुसरे समीकरण ५ ने भागा आणि तिसरे समीकरण ३ ने भागा. आम्हाला मिळते:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दुसरे आणि तिसरे समीकरण 4 ने गुणाकार केल्यास, आम्हाला मिळते:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

दुसऱ्या आणि तिसऱ्या समीकरणातून पहिले समीकरण वजा करा, आमच्याकडे आहे:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तिसरे समीकरण 0.64 ने विभाजित करा:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तिसरे समीकरण ०.४ ने गुणा

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

x 2 = 3 आणि x 1 = –1.

मी तुम्हाला यश इच्छितो! वर्गात भेटू! शिक्षक.

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

16 व्या-18 व्या शतकाच्या सुरूवातीपासून, गणितज्ञांनी कार्यांचा अभ्यास करण्यास सुरुवात केली आहे, ज्यामुळे आपल्या जीवनात बरेच काही बदलले आहे. या ज्ञानाशिवाय संगणक तंत्रज्ञान अस्तित्त्वात नाही. जटिल समस्या, रेखीय समीकरणे आणि कार्ये सोडवण्यासाठी विविध संकल्पना, प्रमेये आणि उपाय तंत्र तयार केले गेले आहेत. रेखीय समीकरणे आणि त्यांची प्रणाली सोडवण्यासाठी अशा सार्वत्रिक आणि तर्कसंगत पद्धती आणि तंत्रांपैकी एक म्हणजे गॉस पद्धत. मॅट्रिक्स, त्यांची श्रेणी, निर्धारक - जटिल ऑपरेशन्स न वापरता सर्वकाही मोजले जाऊ शकते.

SLAU काय आहे

गणितात, SLAE ची संकल्पना आहे - रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली. तिला काय आवडते? हा आवश्यक n अज्ञात परिमाणांसह m समीकरणांचा संच आहे, सामान्यतः x, y, z, किंवा x 1, x 2 ... x n, किंवा इतर चिन्हे म्हणून दर्शविला जातो. गॉसियन पद्धतीचा वापर करून दिलेल्या प्रणालीचे निराकरण करणे म्हणजे सर्व अज्ञात अज्ञात शोधणे. जर एखाद्या प्रणालीमध्ये अज्ञात आणि समीकरणांची समान संख्या असेल तर तिला nth क्रम प्रणाली म्हणतात.

SLAE सोडवण्यासाठी सर्वात लोकप्रिय पद्धती

माध्यमिक शिक्षणाच्या शैक्षणिक संस्थांमध्ये, अशा प्रणालींचे निराकरण करण्याच्या विविध पद्धतींचा अभ्यास केला जातो. बहुतेकदा ही दोन अज्ञात असलेली साधी समीकरणे असतात, म्हणून त्यांचे उत्तर शोधण्यासाठी कोणतीही विद्यमान पद्धत जास्त वेळ घेणार नाही. हे प्रतिस्थापन पद्धतीसारखे असू शकते, जेव्हा दुसरे एका समीकरणातून घेतले जाते आणि मूळ समीकरणात बदलले जाते. किंवा टर्म-दर-टर्म वजाबाकी आणि बेरीज करण्याची पद्धत. परंतु गॉस पद्धत सर्वात सोपी आणि सर्वात सार्वत्रिक मानली जाते. हे कितीही अज्ञातांसह समीकरणे सोडवणे शक्य करते. हे विशिष्ट तंत्र तर्कसंगत का मानले जाते? हे सोपं आहे. मॅट्रिक्स पद्धतीची चांगली गोष्ट अशी आहे की अनावश्यक चिन्हे अनेक वेळा अज्ञात म्हणून पुन्हा लिहिण्याची आवश्यकता नाही; गुणांकांवर अंकगणित ऑपरेशन्स करणे पुरेसे आहे - आणि तुम्हाला एक विश्वासार्ह परिणाम मिळेल.

सराव मध्ये SLAE कुठे वापरले जातात?

SLAE चे समाधान म्हणजे फंक्शन्सच्या आलेखावरील रेषांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू. आमच्या हाय-टेक संगणक युगात, जे लोक गेम आणि इतर प्रोग्राम्सच्या विकासाशी जवळून संबंधित आहेत त्यांना अशा प्रणालींचे निराकरण कसे करावे, ते कशाचे प्रतिनिधित्व करतात आणि परिणामी परिणामाची शुद्धता कशी तपासायची हे माहित असणे आवश्यक आहे. बर्याचदा, प्रोग्रामर विशेष रेखीय बीजगणित कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम विकसित करतात, ज्यामध्ये रेखीय समीकरणांची प्रणाली देखील समाविष्ट असते. गॉस पद्धत आपल्याला सर्व विद्यमान उपायांची गणना करण्यास अनुमती देते. इतर सरलीकृत सूत्रे आणि तंत्रे देखील वापरली जातात.

SLAU सुसंगतता निकष

अशी व्यवस्था सुसंगत असेल तरच सोडवता येईल. स्पष्टतेसाठी, Ax=b फॉर्ममध्ये SLAE चे प्रतिनिधित्व करू या. rang(A) rang(A,b) बरोबर असेल तर त्याला एक उपाय आहे. या प्रकरणात, (A,b) एक विस्तारित फॉर्म मॅट्रिक्स आहे जो मॅट्रिक्स A मधून विनामूल्य अटींसह पुन्हा लिहून मिळवता येतो. असे दिसून आले की गॉसियन पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणे सोडवणे खूप सोपे आहे.

कदाचित काही चिन्हे पूर्णपणे स्पष्ट नाहीत, म्हणून उदाहरणासह सर्वकाही विचारात घेणे आवश्यक आहे. समजा एक प्रणाली आहे: x+y=1; 2x-3y = 6. यात फक्त दोन समीकरणे आहेत, ज्यामध्ये 2 अज्ञात आहेत. सिस्टीमचे मॅट्रिक्सचे रँक विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीचे असेल तरच त्यावर उपाय असेल. रँक म्हणजे काय? ही प्रणालीच्या स्वतंत्र ओळींची संख्या आहे. आमच्या बाबतीत, मॅट्रिक्सची श्रेणी 2 आहे. मॅट्रिक्स A मध्ये अज्ञातांजवळ स्थित गुणांक असतील आणि “=” चिन्हाच्या मागे असलेले गुणांक देखील विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये बसतील.

SLAEs मॅट्रिक्स स्वरूपात का दर्शविले जाऊ शकतात?

सिद्ध झालेल्या क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयानुसार अनुकूलतेच्या निकषावर आधारित, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली मॅट्रिक्स स्वरूपात दर्शविली जाऊ शकते. गॉसियन कॅस्केड पद्धतीचा वापर करून, तुम्ही मॅट्रिक्स सोडवू शकता आणि संपूर्ण प्रणालीसाठी एकच विश्वसनीय उत्तर मिळवू शकता. जर सामान्य मॅट्रिक्सची रँक त्याच्या विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या बरोबरीची असेल, परंतु अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा कमी असेल, तर सिस्टमकडे असीम उत्तरे आहेत.

मॅट्रिक्स परिवर्तने

मॅट्रिक्स सोडवण्याकडे जाण्यापूर्वी, आपल्याला त्यांच्या घटकांवर कोणत्या क्रिया केल्या जाऊ शकतात हे जाणून घेणे आवश्यक आहे. अनेक प्राथमिक परिवर्तने आहेत:

मॅट्रिक्स फॉर्ममध्ये सिस्टम पुन्हा लिहून आणि ते सोडवून, तुम्ही मालिकेतील सर्व घटकांना समान गुणांकाने गुणाकार करू शकता.
मॅट्रिक्सचे प्रमाणिक स्वरूपात रूपांतर करण्यासाठी, तुम्ही दोन समांतर पंक्ती स्वॅप करू शकता. कॅनोनिकल फॉर्मचा अर्थ असा होतो की मुख्य कर्णाच्या बाजूने असलेले सर्व मॅट्रिक्स घटक एक होतात आणि उर्वरित शून्य बनतात.
मॅट्रिक्सच्या समांतर पंक्तींचे संबंधित घटक एकमेकांना जोडले जाऊ शकतात.

जॉर्डन-गॉस पद्धत

गॉसियन पद्धतीचा वापर करून रेखीय एकसंध आणि एकसंध समीकरणांचे निराकरण करण्याचे सार म्हणजे अज्ञात गोष्टी हळूहळू दूर करणे. समजा आपल्याकडे दोन समीकरणांची एक प्रणाली आहे ज्यामध्ये दोन अज्ञात आहेत. त्यांना शोधण्यासाठी, आपल्याला सुसंगततेसाठी सिस्टम तपासण्याची आवश्यकता आहे. हे समीकरण अगदी सोप्या पद्धतीने गॉस पद्धतीने सोडवले जाते. मॅट्रिक्स स्वरूपात प्रत्येक अज्ञात जवळ स्थित गुणांक लिहिणे आवश्यक आहे. सिस्टम सोडवण्यासाठी, तुम्हाला विस्तारित मॅट्रिक्स लिहावे लागेल. समीकरणांपैकी एकामध्ये अज्ञातांची संख्या कमी असल्यास, गहाळ घटकाच्या जागी "0" ठेवले पाहिजे. सर्व ज्ञात परिवर्तन पद्धती मॅट्रिक्सवर लागू केल्या जातात: गुणाकार, संख्येद्वारे भागाकार, मालिकेतील संबंधित घटक एकमेकांना जोडणे आणि इतर. असे दिसून आले की प्रत्येक पंक्तीमध्ये "1" मूल्यासह एक व्हेरिएबल सोडणे आवश्यक आहे, बाकीचे शून्य केले पाहिजे. अधिक अचूक समजून घेण्यासाठी, उदाहरणांसह गॉस पद्धतीचा विचार करणे आवश्यक आहे.

2x2 प्रणाली सोडवण्याचे एक साधे उदाहरण

सुरुवातीला, बीजगणितीय समीकरणांची एक सोपी प्रणाली घेऊ, ज्यामध्ये 2 अज्ञात असतील.

चला ते विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये पुन्हा लिहू.

रेखीय समीकरणांची ही प्रणाली सोडवण्यासाठी, फक्त दोन ऑपरेशन्स आवश्यक आहेत. आपल्याला मॅट्रिक्स कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये आणण्याची आवश्यकता आहे जेणेकरून मुख्य कर्णाच्या बाजूने ते असतील. तर, मॅट्रिक्स फॉर्ममधून परत सिस्टममध्ये हस्तांतरित केल्याने, आम्हाला समीकरणे मिळतात: 1x+0y=b1 आणि 0x+1y=b2, जेथे b1 आणि b2 ही समाधान प्रक्रियेतील उत्तरे आहेत.

विस्तारित मॅट्रिक्स सोडवताना पहिली क्रिया ही असेल: पहिल्या पंक्तीचा -7 ने गुणाकार केला गेला पाहिजे आणि दुसऱ्या समीकरणातील एका अज्ञातापासून मुक्त होण्यासाठी दुसऱ्या ओळीत संबंधित घटक जोडले पाहिजेत.
गॉस पद्धतीचा वापर करून समीकरणे सोडवण्यामध्ये मॅट्रिक्सचे प्रमाण कमी करणे समाविष्ट आहे, नंतर पहिल्या समीकरणासह समान क्रिया करणे आणि दुसरे चल काढून टाकणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही पहिल्यापासून दुसरी ओळ वजा करतो आणि आवश्यक उत्तर मिळते - SLAE चे समाधान. किंवा, आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, आम्ही दुसऱ्या पंक्तीला -1 च्या घटकाने गुणाकार करतो आणि पहिल्या ओळीत दुसऱ्या रांगेतील घटक जोडतो. ती तशीच आहे.

जसे आपण पाहू शकतो, आमची प्रणाली जॉर्डन-गॉस पद्धतीने सोडवली गेली. आम्ही ते आवश्यक स्वरूपात पुन्हा लिहितो: x=-5, y=7.

3x3 SLAE सोल्यूशनचे उदाहरण

समजा आपल्याकडे रेखीय समीकरणांची अधिक जटिल प्रणाली आहे. गॉस पद्धतीमुळे अगदी गोंधळात टाकणाऱ्या प्रणालीसाठीही उत्तराची गणना करणे शक्य होते. म्हणून, गणना पद्धतीचा सखोल अभ्यास करण्यासाठी, आपण तीन अज्ञातांसह अधिक जटिल उदाहरणाकडे जाऊ शकता.

मागील उदाहरणाप्रमाणे, आम्ही सिस्टमला विस्तारित मॅट्रिक्सच्या रूपात पुन्हा लिहितो आणि त्यास त्याच्या कॅनोनिकल स्वरूपात आणण्यास सुरवात करतो.

या प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला मागील उदाहरणापेक्षा जास्त क्रिया करणे आवश्यक आहे.

प्रथम तुम्हाला पहिला स्तंभ एक युनिट घटक आणि उर्वरित शून्य करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, पहिल्या समीकरणाचा -1 ने गुणाकार करा आणि त्यात दुसरे समीकरण जोडा. हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे की आपण पहिली ओळ त्याच्या मूळ स्वरूपात आणि दुसरी सुधारित स्वरूपात पुन्हा लिहितो.
पुढे, आम्ही तिसऱ्या समीकरणातून हेच पहिले अज्ञात काढून टाकतो. हे करण्यासाठी, पहिल्या पंक्तीच्या घटकांना -2 ने गुणाकार करा आणि त्यांना तिसऱ्या ओळीत जोडा. आता पहिल्या आणि दुसऱ्या ओळी त्यांच्या मूळ स्वरूपात पुन्हा लिहिल्या जातात आणि तिसरी - बदलांसह. तुम्ही परिणामावरून पाहू शकता की, मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णाच्या सुरूवातीस आम्हाला पहिला आणि उर्वरित शून्य मिळाले. आणखी काही टप्पे, आणि गॉसियन पद्धतीने समीकरणांची प्रणाली विश्वसनीयरित्या सोडवली जाईल.
आता तुम्हाला पंक्तीच्या इतर घटकांवर ऑपरेशन्स करण्याची आवश्यकता आहे. तिसरी आणि चौथी क्रिया एकामध्ये एकत्र केली जाऊ शकते. कर्णावरील वजा काढण्यासाठी आपल्याला दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ओळींना -1 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. आम्ही आधीच आवश्यक फॉर्ममध्ये तिसरी ओळ आणली आहे.
पुढे आपण दुसरी ओळ कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये आणतो. हे करण्यासाठी, आम्ही तिसऱ्या ओळीच्या घटकांना -3 ने गुणाकार करतो आणि त्यांना मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या पंक्तीमध्ये जोडतो. परिणामावरून हे स्पष्ट आहे की दुसरी ओळ देखील आम्हाला आवश्यक असलेल्या फॉर्ममध्ये कमी केली आहे. आणखी काही ऑपरेशन्स करणे आणि पहिल्या ओळीतून अज्ञातांचे गुणांक काढणे बाकी आहे.
पंक्तीच्या दुसऱ्या घटकापासून 0 बनवण्यासाठी, तुम्हाला तिसरी पंक्ती -3 ने गुणाकार करावी लागेल आणि ती पहिल्या पंक्तीमध्ये जोडावी लागेल.
पुढची निर्णायक पायरी म्हणजे दुसऱ्या पंक्तीचे आवश्यक घटक पहिल्या ओळीत जोडणे. अशा प्रकारे आपल्याला मॅट्रिक्सचे प्रमाणिक रूप मिळते आणि त्यानुसार उत्तर मिळते.

तुम्ही बघू शकता, गॉस पद्धत वापरून समीकरणे सोडवणे अगदी सोपे आहे.

समीकरणांची 4x4 प्रणाली सोडवण्याचे उदाहरण

कॉम्प्युटर प्रोग्रॅम्सचा वापर करून गॉसियन पद्धतीचा वापर करून समीकरणांची आणखी काही जटिल प्रणाली सोडवता येतात. विद्यमान रिकाम्या पेशींमध्ये अज्ञातांसाठी गुणांक प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे आणि प्रोग्राम स्वतःच आवश्यक परिणामाची चरण-दर-चरण गणना करेल, प्रत्येक क्रियेचे तपशीलवार वर्णन करेल.

अशा उदाहरणाचे निराकरण करण्यासाठी चरण-दर-चरण सूचना खाली वर्णन केल्या आहेत.

पहिल्या चरणात, रिक्त पेशींमध्ये अज्ञातांसाठी मुक्त गुणांक आणि संख्या प्रविष्ट केल्या जातात. अशा प्रकारे, आपल्याला समान विस्तारित मॅट्रिक्स मिळते जे आपण स्वहस्ते लिहितो.

आणि विस्तारित मॅट्रिक्सला त्याच्या कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये आणण्यासाठी सर्व आवश्यक अंकगणित ऑपरेशन्स केल्या जातात. हे समजून घेणे आवश्यक आहे की समीकरणांच्या प्रणालीचे उत्तर नेहमीच पूर्णांक नसते. कधीकधी समाधान अपूर्णांक संख्यांमधून असू शकते.

समाधानाची शुद्धता तपासत आहे

जॉर्डन-गॉस पद्धत निकालाची शुद्धता तपासण्यासाठी प्रदान करते. गुणांक अचूकपणे मोजले गेले आहेत की नाही हे शोधण्यासाठी, तुम्हाला फक्त समीकरणांच्या मूळ प्रणालीमध्ये निकाल बदलण्याची आवश्यकता आहे. समीकरणाची डावी बाजू समान चिन्हाच्या मागे उजव्या बाजूशी जुळली पाहिजे. जर उत्तरे जुळत नसतील, तर तुम्हाला प्रणालीची पुनर्गणना करणे आवश्यक आहे किंवा तुम्हाला ज्ञात SLAE सोडवण्याची दुसरी पद्धत लागू करण्याचा प्रयत्न करणे आवश्यक आहे, जसे की प्रतिस्थापन किंवा टर्म-दर-टर्म वजाबाकी आणि बेरीज. शेवटी, गणित हे एक शास्त्र आहे ज्यामध्ये मोठ्या संख्येने विविध उपाय पद्धती आहेत. परंतु लक्षात ठेवा: आपण कोणती उपाय पद्धत वापरली आहे हे महत्त्वाचे नाही, परिणाम नेहमी सारखाच असावा.

गॉस पद्धत: SLAE सोडवताना सर्वात सामान्य त्रुटी

समीकरणांची रेखीय प्रणाली सोडवताना, गुणांकांचे मॅट्रिक्स फॉर्ममध्ये चुकीचे हस्तांतरण यांसारख्या त्रुटी बहुतेकदा उद्भवतात. अशा प्रणाली आहेत ज्यात काही अज्ञात समीकरणांपैकी एक गहाळ आहेत; नंतर, विस्तारित मॅट्रिक्समध्ये डेटा हस्तांतरित करताना, ते गमावले जाऊ शकतात. परिणामी, या प्रणालीचे निराकरण करताना, परिणाम वास्तविक एकाशी जुळत नाही.

दुसरी मोठी चूक म्हणजे अंतिम निकाल चुकीच्या पद्धतीने लिहिणे. हे स्पष्टपणे समजून घेणे आवश्यक आहे की पहिला गुणांक सिस्टममधील पहिल्या अज्ञाताशी, दुसरा - दुसऱ्याशी आणि याप्रमाणे असेल.

गॉस पद्धत रेखीय समीकरणांच्या निराकरणाचे तपशीलवार वर्णन करते. त्याबद्दल धन्यवाद, आवश्यक ऑपरेशन्स करणे आणि योग्य परिणाम शोधणे सोपे आहे. याव्यतिरिक्त, कोणत्याही जटिलतेच्या समीकरणांचे विश्वसनीय उत्तर शोधण्यासाठी हे एक सार्वत्रिक साधन आहे. कदाचित म्हणूनच SLAE सोडवताना त्याचा वापर केला जातो.