ट्रंकटेड टेट्राहेड्रल पिरॅमिड फॉर्म्युलाची मात्रा ऑनलाइन निर्धारित करणे. कापलेल्या पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर

भूमितीमधील अनेक व्यावहारिक समस्या सोडवताना अवकाशीय आकृत्यांच्या आकारमानाची गणना करण्याची क्षमता महत्त्वाची असते. सर्वात सामान्य आकृत्यांपैकी एक म्हणजे पिरॅमिड. या लेखात आम्ही पूर्ण आणि कापलेले पिरॅमिड दोन्ही विचारात घेऊ.

त्रिमितीय आकृती म्हणून पिरॅमिड

प्रत्येकाला इजिप्शियन पिरॅमिड्सबद्दल माहिती आहे, म्हणून आपण कोणत्या आकृतीबद्दल बोलणार आहोत याची त्यांना चांगली कल्पना आहे. तथापि, इजिप्शियन दगडी रचना ही पिरॅमिडच्या प्रचंड वर्गाची केवळ एक विशेष बाब आहे.

सामान्य प्रकरणात विचाराधीन भौमितिक ऑब्जेक्ट एक बहुभुज पाया आहे, ज्याचा प्रत्येक शिरोबिंदू अवकाशातील एका विशिष्ट बिंदूशी जोडलेला आहे जो बेसच्या समतलाशी संबंधित नाही. ही व्याख्या एक n-gon आणि n त्रिकोण असलेली आकृती बनवते.

कोणत्याही पिरॅमिडमध्ये n+1 चेहरे, 2*n कडा आणि n+1 शिरोबिंदू असतात. प्रश्नातील आकृती एक परिपूर्ण पॉलिहेड्रॉन असल्याने, चिन्हांकित घटकांची संख्या यूलरच्या समानतेचे पालन करते:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

पायावर स्थित बहुभुज पिरॅमिडचे नाव देते, उदाहरणार्थ, त्रिकोणी, पंचकोनी इ. वेगवेगळ्या तळांसह पिरॅमिडचा संच खालील फोटोमध्ये दर्शविला आहे.

आकृतीचे n त्रिकोण ज्या बिंदूवर भेटतात त्याला पिरॅमिडचा शिरोबिंदू म्हणतात. जर एखादा लंब त्यापासून पायथ्यापर्यंत खाली आणला असेल आणि तो त्याला भौमितिक केंद्रात छेदतो, तर अशा आकृतीला सरळ रेषा म्हटले जाईल. जर ही अट पूर्ण झाली नाही तर कलते पिरॅमिड उद्भवते.

ज्या उजव्या आकृतीचा पाया समभुज (समभुज) n-गोनने बनलेला असतो त्याला नियमित म्हणतात.

पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमसाठी सूत्र

पिरॅमिडची मात्रा मोजण्यासाठी, आम्ही इंटिग्रल कॅल्क्युलस वापरू. हे करण्यासाठी, आम्ही बेसच्या समांतर विमाने कापून अनंत पातळ थरांमध्ये आकृती विभाजित करतो. खालील आकृती h आणि बाजूची लांबी L चा चतुर्भुज पिरॅमिड दर्शविते, ज्यामध्ये चतुर्भुज विभागाच्या पातळ थराला चिन्हांकित करते.

अशा प्रत्येक लेयरचे क्षेत्रफळ सूत्र वापरून मोजले जाऊ शकते:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

येथे A 0 हे पायाचे क्षेत्रफळ आहे, z हे उभ्या समन्वयाचे मूल्य आहे. हे पाहिले जाऊ शकते की जर z = 0, तर सूत्र A 0 मूल्य देते.

पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमचे सूत्र प्राप्त करण्यासाठी, आपण आकृतीच्या संपूर्ण उंचीवर अविभाज्य गणना केली पाहिजे, म्हणजे:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

अवलंबित्व A(z) ला बदलून आणि अँटीडेरिव्हेटिव्हची गणना करून, आम्ही अभिव्यक्तीवर पोहोचतो:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

आम्ही पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमसाठी सूत्र प्राप्त केले आहे. V चे मूल्य शोधण्यासाठी, फक्त आकृतीची उंची बेसच्या क्षेत्राद्वारे गुणाकार करा आणि नंतर परिणाम तीनने विभाजित करा.

लक्षात घ्या की परिणामी अभिव्यक्ती कोणत्याही प्रकारच्या पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी वैध आहे. म्हणजेच, ते झुकलेले असू शकते आणि त्याचा आधार अनियंत्रित एन-गॉन असू शकतो.

आणि त्याची मात्रा

वरील परिच्छेदामध्ये प्राप्त व्हॉल्यूमचे सामान्य सूत्र नियमित बेससह पिरॅमिडच्या बाबतीत परिष्कृत केले जाऊ शकते. अशा बेसचे क्षेत्रफळ खालील सूत्र वापरून मोजले जाते:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

येथे L ही n शिरोबिंदू असलेल्या नियमित बहुभुजाची बाजूची लांबी आहे. pi हे चिन्ह pi ही संख्या आहे.

सामान्य सूत्रामध्ये A 0 ची अभिव्यक्ती बदलून, आम्ही नियमित पिरॅमिडची मात्रा प्राप्त करतो:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

उदाहरणार्थ, त्रिकोणी पिरॅमिडसाठी, या सूत्राचा परिणाम खालील अभिव्यक्तीमध्ये होतो:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडसाठी, व्हॉल्यूम सूत्र हे फॉर्म घेते:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

नियमित पिरॅमिड्सचे खंड निश्चित करण्यासाठी त्यांच्या पायाची बाजू आणि आकृतीची उंची जाणून घेणे आवश्यक आहे.

कापलेला पिरॅमिड

चला असे गृहीत धरू की आपण अनियंत्रित पिरॅमिड घेतला आणि त्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचा शिरोबिंदू असलेला भाग कापला. उरलेल्या आकृतीला ट्रंकेटेड पिरॅमिड म्हणतात. त्यात आधीपासूनच दोन n-गोनल बेस आणि n ट्रॅपेझॉइड असतात जे त्यांना जोडतात. जर कटिंग प्लेन आकृतीच्या पायथ्याशी समांतर असेल तर समान समांतर तळांसह एक कापलेला पिरॅमिड तयार होईल. म्हणजे, त्यांपैकी एका बाजूची लांबी दुसऱ्याच्या लांबीचा k ने गुणाकार करून मिळवता येते.

वरील आकृती एक कापलेली नियमित दर्शविते की त्याचा वरचा पाया, खालच्या भागाप्रमाणे, नियमित षटकोनाने बनलेला आहे.

वरील प्रमाणेच इंटिग्रल कॅल्क्युलस वापरून मिळवता येणारे सूत्र आहे:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

जेथे A 0 आणि A 1 हे अनुक्रमे खालच्या (मोठ्या) आणि वरच्या (लहान) तळांचे क्षेत्र आहेत. व्हेरिएबल h हा कापलेल्या पिरॅमिडची उंची दर्शवतो.

चेप्स पिरॅमिडचा खंड

सर्वात मोठ्या इजिप्शियन पिरॅमिडमध्ये स्वतःमध्ये किती व्हॉल्यूम आहे हे निर्धारित करण्याच्या समस्येचे निराकरण करणे मनोरंजक आहे.

1984 मध्ये, ब्रिटीश इजिप्तोलॉजिस्ट मार्क लेहनर आणि जॉन गुडमन यांनी चेप्स पिरॅमिडचे अचूक परिमाण स्थापित केले. त्याची मूळ उंची 146.50 मीटर (सध्या सुमारे 137 मीटर) होती. संरचनेच्या चारही बाजूंची सरासरी लांबी 230.363 मीटर होती. पिरॅमिडचा पाया उच्च सुस्पष्टतेसह चौरस आहे.

या दगडी राक्षसाचा आकार निश्चित करण्यासाठी दिलेल्या आकृत्यांचा वापर करू या. पिरॅमिड नियमित चतुर्भुज असल्याने, सूत्र त्यासाठी वैध आहे:

संख्या बदलून, आम्हाला मिळते:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

चेप्स पिरॅमिडचे प्रमाण जवळजवळ 2.6 दशलक्ष m3 आहे. तुलनेसाठी, आम्ही लक्षात घेतो की ऑलिंपिक जलतरण तलावाचा आकार 2.5 हजार मीटर 3 आहे. म्हणजेच, संपूर्ण Cheops पिरॅमिड भरण्यासाठी तुम्हाला अशा 1000 हून अधिक तलावांची आवश्यकता असेल!

हा एक पॉलीहेड्रॉन आहे जो पिरॅमिडच्या पाया आणि त्याच्या समांतर विभागाद्वारे तयार होतो. आपण असे म्हणू शकतो की कापलेला पिरॅमिड हा वरचा भाग कापलेला पिरॅमिड आहे. या आकृतीमध्ये अनेक अद्वितीय गुणधर्म आहेत:

• पिरॅमिडचे पार्श्व चेहरे ट्रॅपेझॉइड आहेत;
• नियमित कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजूकडील कडा समान लांबीच्या असतात आणि त्याच कोनात पायाकडे झुकलेल्या असतात;
• पाया समान बहुभुज आहेत;
• नियमित कापलेल्या पिरॅमिडमध्ये, चेहरे एकसारखे समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड असतात, ज्याचे क्षेत्रफळ समान असते. ते एका कोनात बेसकडे देखील झुकलेले आहेत.

कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र म्हणजे त्याच्या बाजूंच्या क्षेत्रांची बेरीज:

कापलेल्या पिरॅमिडच्या बाजू ट्रॅपेझॉइड असल्याने, पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी तुम्हाला सूत्र वापरावे लागेल ट्रॅपेझॉइड क्षेत्र. नियमित कापलेल्या पिरॅमिडसाठी, तुम्ही क्षेत्र मोजण्यासाठी वेगळे सूत्र लागू करू शकता. त्याच्या सर्व बाजू, चेहरे आणि पायथ्यावरील कोन एकसमान असल्याने, बेस आणि एपोथेमचे परिमिती लागू करणे आणि पायावरील कोनातून क्षेत्रफळ देखील काढणे शक्य आहे.

जर, नियमित कापलेल्या पिरॅमिडमधील परिस्थितीनुसार, एपोथेम (बाजूची उंची) आणि पायाच्या बाजूंची लांबी दिली असेल, तर क्षेत्रफळ परिमितीच्या बेरीजच्या अर्ध्या-उत्पादनाद्वारे मोजले जाऊ शकते. बेस आणि अपोथेम:

कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याचे उदाहरण पाहू.
नियमित पंचकोनी पिरॅमिड दिले. अपोथेम l= 5 सेमी, मोठ्या बेसमधील काठाची लांबी आहे a= 6 सेमी, आणि धार लहान पायावर आहे b= 4 सेमी कापलेल्या पिरॅमिडच्या क्षेत्राची गणना करा.

प्रथम, पायाचे परिमिती शोधू. आम्हाला पंचकोनी पिरॅमिड दिलेला असल्याने, आम्ही समजतो की तळ पंचकोन आहेत. याचा अर्थ असा की पायामध्ये पाच समान बाजू असलेली एक आकृती आहे. चला मोठ्या बेसची परिमिती शोधूया:

त्याच प्रकारे आपल्याला लहान बेसची परिमिती सापडते:

आता आपण नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ काढू शकतो. सूत्रामध्ये डेटा बदला:

अशा प्रकारे, आम्ही परिमिती आणि अपोथेमद्वारे नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ काढले.

नियमित पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे सूत्र पायथ्यावरील कोनातून आणि या अगदी तळांचे क्षेत्रफळ.

चला एक उदाहरण गणना पाहू. आम्ही लक्षात ठेवतो की हे सूत्र फक्त नियमित कापलेल्या पिरॅमिडला लागू होते.

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड द्या. खालच्या पायाचा किनारा a = 6 सेमी आहे, आणि वरच्या पायाची धार b = 4 सेमी आहे. पायावरील डायहेड्रल कोन β = 60° आहे. नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभाग शोधा.

प्रथम, बेसचे क्षेत्रफळ काढू. पिरॅमिड नियमित असल्याने, पायाच्या सर्व कडा एकमेकांच्या समान आहेत. आधार हा चतुर्भुज आहे हे लक्षात घेऊन, आम्ही समजतो की त्याची गणना करणे आवश्यक आहे चौरसाचे क्षेत्रफळ. हे रुंदी आणि लांबीचे उत्पादन आहे, परंतु जेव्हा वर्ग केला जातो तेव्हा ही मूल्ये समान असतात. चला मोठ्या बेसचे क्षेत्रफळ शोधूया:


आता आपण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी सापडलेली मूल्ये वापरतो.

काही सोपी सूत्रे जाणून घेतल्याने, आम्ही विविध मूल्यांचा वापर करून कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व समलंबाचे क्षेत्रफळ सहजपणे मोजले.

• 09.10.2014

  आकृतीमध्ये दर्शविलेले प्रीअम्प्लिफायर 4 प्रकारच्या ध्वनी स्रोतांसह वापरण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे, उदाहरणार्थ, मायक्रोफोन, सीडी प्लेयर, रेडिओ इ. या प्रकरणात, प्रीअम्प्लिफायरमध्ये एक इनपुट आहे, जो 50 mV वरून 500 पर्यंत संवेदनशीलता बदलू शकतो. mV ॲम्प्लीफायर आउटपुट व्होल्टेज 1000mV. स्विच SA1 स्विच करताना भिन्न सिग्नल स्रोत कनेक्ट करून, आम्हाला नेहमी मिळेल...

• 20.09.2014

  वीज पुरवठा 15…20 W च्या लोडसाठी डिझाइन केला आहे. स्त्रोत सिंगल-सायकल पल्स हाय-फ्रिक्वेंसी कन्व्हर्टरच्या सर्किटनुसार बनविला जातो. ट्रान्झिस्टरचा वापर 20…40 kHz च्या वारंवारतेवर चालणारे स्व-ऑसिलेटर असेंबल करण्यासाठी केला जातो. वारंवारता कॅपेसिटन्स C5 द्वारे समायोजित केली जाते. घटक VD5, VD6 आणि C6 स्वयं-जनरेटर प्रारंभ सर्किट तयार करतात. ब्रिज रेक्टिफायर नंतरच्या दुय्यम सर्किटमध्ये मायक्रोसर्किटवर एक पारंपारिक रेखीय स्टॅबिलायझर आहे, जो आपल्याला याची परवानगी देतो ...

• 28.09.2014

  आकृती K174XA11 मायक्रोसर्किटवर आधारित जनरेटर दर्शविते, ज्याची वारंवारता व्होल्टेजद्वारे नियंत्रित केली जाते. कॅपेसिटन्स C1 560 ते 4700 pF पर्यंत बदलून, फ्रिक्वेन्सीची विस्तृत श्रेणी मिळवता येते, तर वारंवारता R4 प्रतिकार बदलून समायोजित केली जाते. तर, उदाहरणार्थ, लेखकाला आढळले की, C1 = 560pF सह, जनरेटरची वारंवारता R4 वापरून 600Hz ते 200kHz पर्यंत बदलली जाऊ शकते, ...

• 03.10.2014

  युनिट एक शक्तिशाली ULF पॉवर करण्यासाठी डिझाइन केले आहे, ते ±27V च्या आउटपुट व्होल्टेजसाठी आणि प्रत्येक हातावर 3A पर्यंत लोड करण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे. वीज पुरवठा द्विध्रुवीय आहे, संपूर्ण संमिश्र ट्रान्झिस्टर KT825-KT827 वर बनविला जातो. स्टॅबिलायझरचे दोन्ही हात एकाच सर्किटनुसार बनवले जातात, परंतु दुसऱ्या हातामध्ये (ते दाखवलेले नाही) कॅपेसिटरची ध्रुवीयता बदलली जाते आणि वेगळ्या प्रकारचे ट्रान्झिस्टर वापरले जातात...

पिरॅमिड. कापलेला पिरॅमिड

पिरॅमिडएक पॉलिहेड्रॉन आहे, ज्याचा एक चेहरा बहुभुज आहे ( पाया ), आणि इतर सर्व चेहरे एक सामान्य शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण आहेत ( बाजूचे चेहरे ) (चित्र 15). पिरॅमिड म्हणतात योग्य , जर त्याचा पाया नियमित बहुभुज असेल आणि पिरॅमिडचा वरचा भाग बेसच्या मध्यभागी प्रक्षेपित असेल (चित्र 16). सर्व कडा समान असलेल्या त्रिकोणी पिरॅमिड म्हणतात टेट्राहेड्रॉन .

बाजूकडील बरगडीपिरॅमिड म्हणजे बाजूच्या चेहऱ्याची बाजू जी पायाशी संबंधित नाही उंची पिरॅमिड म्हणजे त्याच्या वरपासून बेसच्या समतलापर्यंतचे अंतर. नियमित पिरॅमिडच्या सर्व बाजूकडील कडा एकमेकांच्या समान असतात, सर्व बाजूकडील चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण असतात. शिरोबिंदूपासून काढलेल्या नियमित पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीला म्हणतात apothem . कर्ण विभाग एकाच चेहऱ्याशी संबंधित नसलेल्या दोन बाजूकडील कडांमधून जाणाऱ्या विमानाद्वारे पिरॅमिडचा भाग म्हणतात.

बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळपिरॅमिड म्हणजे सर्व बाजूकडील चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज. एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्व बाजूचे चेहरे आणि पाया यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणतात.

प्रमेये

1. जर पिरॅमिडमध्ये सर्व बाजूकडील कडा बेसच्या समतलाकडे सारख्याच झुकलेल्या असतील, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाजवळ असलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

2. जर पिरॅमिडच्या सर्व बाजूच्या कडांची लांबी समान असेल, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाजवळ परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

3. जर पिरॅमिडमधील सर्व चेहरे बेसच्या समतलाकडे सारखेच झुकलेले असतील, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग बेसमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

अनियंत्रित पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी, योग्य सूत्र आहे:

कुठे व्ही- खंड;

एस बेस- बेस क्षेत्र;

एच- पिरॅमिडची उंची.

नियमित पिरॅमिडसाठी, खालील सूत्रे बरोबर आहेत:

कुठे p- बेस परिमिती;

h a- अपोथेम;

एच- उंची;

एस पूर्ण

एस बाजू

एस बेस- बेस क्षेत्र;

व्ही- नियमित पिरॅमिडची मात्रा.

कापलेला पिरॅमिडपिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर असलेला पिरॅमिडचा भाग आणि कटिंग प्लेन (चित्र 17) यांच्यामध्ये बंदिस्त भाग म्हणतात. नियमित कापलेला पिरॅमिड बेस आणि पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर कटिंग प्लेन दरम्यान बंद असलेल्या नियमित पिरॅमिडचा भाग म्हणतात.

मैदानेकापलेला पिरॅमिड - समान बहुभुज. बाजूचे चेहरे - ट्रॅपेझॉइड्स. उंची कापलेला पिरॅमिड म्हणजे त्याच्या तळांमधील अंतर. कर्णरेषा कापलेला पिरॅमिड हा त्याच्या शिरोबिंदूंना जोडणारा एक विभाग आहे जो एकाच चेहऱ्यावर नसतो. कर्ण विभाग एकाच चेहऱ्याशी संबंधित नसलेल्या दोन बाजूकडील कडांमधून जाणाऱ्या विमानाद्वारे कापलेल्या पिरॅमिडचा एक भाग आहे.

कापलेल्या पिरॅमिडसाठी खालील सूत्रे वैध आहेत:

(4)

कुठे एस 1 , एस 2 - वरच्या आणि खालच्या तळांचे क्षेत्र;

एस पूर्ण- एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र;

एस बाजू- बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;

एच- उंची;

व्ही- कापलेल्या पिरॅमिडची मात्रा.

नियमित कापलेल्या पिरॅमिडसाठी सूत्र योग्य आहे:

कुठे p 1 , p 2 - तळांची परिमिती;

h a- नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे अपोथेम.

उदाहरण १.नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडमध्ये, पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन 60º असतो. पायाच्या समतल बाजूच्या काठाच्या झुकाव कोनाची स्पर्शिका शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 18).

पिरॅमिड नियमित आहे, याचा अर्थ असा की पायावर एक समभुज त्रिकोण आहे आणि सर्व बाजूचे चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण आहेत. पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन म्हणजे पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याचा बेसच्या समतलतेकडे झुकण्याचा कोन. रेखीय कोन हा कोन आहे aदोन लंब दरम्यान: इ. पिरॅमिडचा वरचा भाग त्रिकोणाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो (परिमंडलाचे केंद्र आणि त्रिकोणाचे अंकित वर्तुळ ABC). बाजूच्या काठाचा झुकाव कोन (उदाहरणार्थ एस.बी.) हा किनारा आणि पायाच्या समतल प्रक्षेपणातील कोन आहे. बरगडी साठी एस.बी.हा कोन हा कोन असेल SBD. स्पर्शिका शोधण्यासाठी आपल्याला पाय माहित असणे आवश्यक आहे SOआणि ओ.बी.. खंडाची लांबी द्या बी.डी 3 च्या बरोबरीचे ए. डॉट बद्दलरेषाखंड बी.डीभागांमध्ये विभागले आहे: आणि आम्ही शोधू SO: आम्ही शोधून काढतो:

उत्तर:

उदाहरण २.नियमित छाटलेल्या चतुर्भुज पिरॅमिडचे आकारमान शोधा जर त्याच्या पायाचे कर्ण सेमी आणि सेमी समान असतील आणि त्याची उंची 4 सेमी असेल.

उपाय.कापलेल्या पिरॅमिडचा आकार शोधण्यासाठी, आम्ही सूत्र (4) वापरतो. बेसचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला बेस स्क्वेअरच्या बाजू शोधणे आवश्यक आहे, त्यांचे कर्ण जाणून घेणे आवश्यक आहे. बेसच्या बाजू अनुक्रमे 2 सेमी आणि 8 सेमी आहेत, याचा अर्थ बेसचे क्षेत्रफळ आणि सर्व डेटा सूत्रामध्ये बदलून, आम्ही कापलेल्या पिरॅमिडची मात्रा मोजतो:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण ३.नियमित त्रिकोणी कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधा, ज्याच्या पायाच्या बाजू 10 सेमी आणि 4 सेमी आहेत आणि पिरॅमिडची उंची 2 सेमी आहे.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 19).

या पिरॅमिडचा बाजूचा चेहरा समद्विभुज समलंब आहे. ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, आपल्याला पाया आणि उंची माहित असणे आवश्यक आहे. अटीनुसार तळ दिले आहेत, फक्त उंची अज्ञात आहे. आम्ही तिला कुठून शोधू ए 1 इबिंदू पासून लंब एखालच्या तळाच्या विमानावर 1, ए 1 डी- पासून लंब ए 1 प्रति एसी. ए 1 इ= 2 सेमी, कारण ही पिरॅमिडची उंची आहे. शोधण्यासाठी DEशीर्ष दृश्य दर्शविणारे अतिरिक्त रेखाचित्र बनवूया (चित्र 20). डॉट बद्दल- वरच्या आणि खालच्या तळांच्या केंद्रांचे प्रक्षेपण. पासून (चित्र 20 पहा) आणि दुसरीकडे ठीक आहे– वर्तुळात कोरलेली त्रिज्या आणि ओम- वर्तुळात कोरलेली त्रिज्या:

MK = DE.

पासून पायथागोरियन प्रमेय मते

बाजूचा चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण ४.पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड आहे, ज्याचे तळ आहेत एआणि b (a> b). प्रत्येक बाजूचा चेहरा पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समतल कोन बनवतो j. पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 21). पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र SABCDक्षेत्रांच्या बेरीज आणि ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राच्या समान अ ब क ड.

पिरॅमिडचे सर्व चेहरे बेसच्या समतलाकडे सारखेच झुकलेले असतील, तर शिरोबिंदू बेसमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जाईल असे विधान वापरू या. डॉट बद्दल- शिरोबिंदू प्रक्षेपण एसपिरॅमिडच्या पायथ्याशी. त्रिकोण SODत्रिकोणाचे ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन आहे CSDतळाच्या विमानापर्यंत. विमान आकृतीच्या ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शनच्या क्षेत्रावरील प्रमेय वापरून, आम्ही प्राप्त करतो:

तसाच अर्थ अशा प्रकारे, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्यात समस्या कमी झाली अ ब क ड. चला ट्रॅपेझॉइड काढू अ ब क डस्वतंत्रपणे (चित्र 22). डॉट बद्दल- ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेले वर्तुळाचे केंद्र.

ट्रॅपेझॉइडमध्ये वर्तुळ कोरले जाऊ शकते म्हणून, नंतर किंवा पायथागोरियन प्रमेयावरून आपल्याकडे आहे