समानतेचे परिमाण: काही सूक्ष्मता. एकाच वस्तूचे अनेक मॉडेल असू शकतात आणि एका मॉडेलद्वारे वेगवेगळ्या वस्तूंचे वर्णन केले जाऊ शकते

थोडक्यात सारांश

P.S. एक अतिशय "कोरडी भाषा", परंतु विद्यापीठाच्या अभ्यासक्रमानंतर वाचनीय. बहुतांश भागांसाठी, विरोधाभासांच्या व्याख्या विकिपीडिया (सरलीकृत सूत्रीकरण आणि तयार-तयार TeX मार्कअप) वरून घेतल्या गेल्या आहेत.

परिचय

आपण एका व्याख्येपासून सुरुवात केली पाहिजे.

संच म्हणजे काय? प्रश्न अगदी सोपा आहे, उत्तर अगदी अंतर्ज्ञानी आहे. संच म्हणजे घटकांचा विशिष्ट संच जो एका वस्तूद्वारे दर्शविला जातो. कांटोर त्याच्या कामात Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehreएक व्याख्या देते: “सेट” म्हणजे आपल्या चिंतनाच्या किंवा आपल्या विचारांच्या (ज्याला संचाचे “घटक” म्हटले जाईल) विशिष्ट स्पष्टपणे ओळखल्या जाणाऱ्या वस्तूंचे संपूर्ण संयोजन. जसे आपण पाहतो, सार बदललेला नाही, फरक फक्त त्या भागामध्ये आहे जो निर्धारकाच्या जागतिक दृष्टिकोनावर अवलंबून असतो. तर्कशास्त्र आणि गणित दोन्हीमध्ये सेट सिद्धांताचा इतिहास खूप विरोधाभासी आहे. खरं तर, ते 19 व्या शतकात कँटरने सुरू केले होते, त्यानंतर रसेल आणि इतरांनी हे काम चालू ठेवले.

विरोधाभास (तर्कशास्त्र आणि सेट सिद्धांताचा) - (प्राचीन ग्रीक παράδοξος मधून - अनपेक्षित, प्राचीन ग्रीक παρα-δοκέω मधून विचित्र - असे दिसते) - तार्किक शुद्धता राखताना अर्थपूर्ण सेट सिद्धांत आणि औपचारिक तर्कामध्ये उद्भवणारे औपचारिक तार्किक विरोधाभास. विरोधाभास उद्भवतात जेव्हा दोन परस्पर अनन्य (विरोधाभासी) प्रस्ताव तितकेच सिद्ध होतात. विरोधाभास वैज्ञानिक सिद्धांतामध्ये आणि सामान्य तर्कामध्ये दोन्ही दिसू शकतात (उदाहरणार्थ, सर्व सामान्य संचाच्या संचाबद्दलच्या त्याच्या विरोधाभासाचा रसेलचा पॅराफ्रेज: “गावातील नाई सर्व आणि फक्त त्याच्या गावातील रहिवासी जे स्वत: चे दाढी करत नाहीत त्यांना दाढी करतात. तो स्वत: ला दाढी करतो?"). औपचारिक तार्किक विरोधाभास सत्य शोधण्याचे आणि सिद्ध करण्याचे साधन म्हणून तर्क नष्ट करतो (ज्या सिद्धांतामध्ये विरोधाभास दिसून येतो, कोणतेही वाक्य, खरे आणि खोटे दोन्ही सिद्ध करण्यायोग्य असते), अशा विरोधाभासांचे स्त्रोत ओळखणे आणि मार्ग शोधणे हे कार्य उद्भवते. त्यांना दूर करण्यासाठी. विरोधाभासांच्या विशिष्ट निराकरणांच्या तात्विक आकलनाची समस्या ही औपचारिक तर्कशास्त्रातील एक महत्त्वाची पद्धतशीर समस्या आणि गणिताच्या तार्किक पायांपैकी एक आहे.

या कार्याचा उद्देश प्राचीन अँटीनोमीजचे वारस म्हणून सेट सिद्धांताच्या विरोधाभासांचा आणि अमूर्ततेच्या नवीन स्तरावर संक्रमणाचे पूर्णपणे तार्किक परिणाम - अनंताचा अभ्यास करणे आहे. मुख्य विरोधाभास आणि त्यांची तात्विक व्याख्या विचारात घेणे हे कार्य आहे.

सेट सिद्धांताचे मूलभूत विरोधाभास

नाई फक्त तेच लोक दाढी करतात जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत. तो स्वतःचे दाढी करतो का?

काही तार्किक विरोधाभास प्राचीन काळापासून ज्ञात आहेत, परंतु गणितीय सिद्धांत अंकगणित आणि भूमितीपुरते मर्यादित असल्यामुळे, त्यांना सेट सिद्धांताशी जोडणे अशक्य होते. 19व्या शतकात, परिस्थिती आमूलाग्र बदलली: कँटरने त्याच्या कामात अमूर्ततेची नवीन पातळी गाठली. त्याने अनंताची संकल्पना मांडली, त्याद्वारे गणिताची एक नवीन शाखा तयार केली आणि त्याद्वारे “संचाची शक्ती” या संकल्पनेचा वापर करून वेगवेगळ्या अनंतांची तुलना करता आली. मात्र, असे करताना अनेक विरोधाभासांना जन्म दिला. सर्वात प्रथम तथाकथित आहे बुराली-फोर्टी विरोधाभास. गणितीय साहित्यात विविध शब्दावली आणि ज्ञात प्रमेयांचा एक गृहित संच यावर आधारित विविध सूत्रे आहेत. येथे औपचारिक व्याख्यांपैकी एक आहे.

हे सिद्ध केले जाऊ शकते की जर क्रमिक संख्यांचा एक अनियंत्रित संच असेल, तर बेरीज संच ही प्रत्येक घटकापेक्षा मोठी किंवा समान संख्या आहे. आता तो सर्व क्रमिक संख्यांचा संच आहे असे गृहीत धरू. नंतर मधील कोणत्याही संख्येपेक्षा मोठी किंवा समान क्रमिक संख्या आहे. पण नंतर आणि ही एक क्रमिक संख्या आहे, आणि ती आधीपासूनच काटेकोरपणे मोठी आहे आणि म्हणून मधील कोणत्याही संख्येशी समान नाही. परंतु हे त्या स्थितीचा विरोधाभास करते ज्यानुसार - सर्व क्रमिक संख्यांचा संच.

विरोधाभासाचा सार असा आहे की सर्व क्रमिक संख्यांच्या संचाच्या निर्मितीसह, एक नवीन क्रमिक प्रकार तयार होतो, जो अद्याप सर्व क्रमिक संख्यांच्या संचाच्या निर्मितीपूर्वी अस्तित्वात असलेल्या "सर्व" ट्रान्सफिनिट क्रम संख्यांमध्ये नव्हता. हा विरोधाभास स्वतः कँटरने शोधला होता, स्वतंत्रपणे शोधला होता आणि इटालियन गणितज्ञ बुराली-फोर्टी यांनी प्रकाशित केला होता, नंतरच्या चुका रसेलने दुरुस्त केल्या होत्या, त्यानंतर सूत्रीकरणाने त्याचे अंतिम स्वरूप प्राप्त केले.

अशा विरोधाभास टाळण्याच्या सर्व प्रयत्नांमध्ये आणि काही प्रमाणात त्यांचे स्पष्टीकरण देण्याचा प्रयत्न करा, आधीच नमूद केलेल्या रसेलची कल्पना सर्वात जास्त लक्ष देण्यास पात्र आहे. त्यांनी गणित आणि तर्कशास्त्रातून वगळण्याचा प्रस्ताव दिला ज्यामध्ये संचाच्या घटकाची व्याख्या नंतरच्या घटकांवर अवलंबून असते, ज्यामुळे विरोधाभास निर्माण होतात. नियम यासारखा वाटतो: "कोणत्याही संचामध्ये केवळ संचाच्या संदर्भात परिभाषित केलेले घटक असू शकत नाहीत, तसेच घटक जे त्यांच्या व्याख्येमध्ये या संचाला गृहीत धरतात." सेटच्या व्याख्येवर असे निर्बंध आपल्याला विरोधाभास टाळण्यास अनुमती देतात, परंतु त्याच वेळी गणितातील त्याच्या अनुप्रयोगाची व्याप्ती लक्षणीयरीत्या कमी करते. याव्यतिरिक्त, हे त्यांचे स्वरूप आणि त्यांच्या स्वरूपाचे कारण स्पष्ट करण्यासाठी पुरेसे नाही, ज्याची मूळ विचारसरणी आणि भाषेच्या द्वंद्वामध्ये आहे, औपचारिक तर्कशास्त्राच्या वैशिष्ट्यांमध्ये. काही प्रमाणात, ही मर्यादा नंतरच्या संज्ञानात्मक मानसशास्त्रज्ञ आणि भाषाशास्त्रज्ञांनी "मूलभूत स्तराचे वर्गीकरण" म्हणण्यास सुरुवात केलेल्या समानतेशी शोधली जाऊ शकते: व्याख्या समजण्यासाठी आणि अभ्यास करण्यासाठी सर्वात सोपी संकल्पना म्हणून कमी केली गेली आहे.

Cantor च्या विरोधाभास. सर्व संचांचा संच अस्तित्वात आहे असे मानू या. या प्रकरणात हे खरे आहे, म्हणजेच प्रत्येक संच हा उपसंच आहे. परंतु यावरून असे दिसून येते की कोणत्याही संचाची शक्ती ची शक्ती पेक्षा जास्त नसते. परंतु सर्व उपसमूहांच्या संचाच्या स्वयंसिद्धतेनुसार, कोणत्याही संचाप्रमाणे, सर्व उपसमूहांचा एक संच आहे, आणि कँटरच्या प्रमेयाद्वारे, जो मागील विधानाचा विरोध करतो. म्हणून, ते अस्तित्वात असू शकत नाही, जे "निरागस" गृहीतकाला विरोध करते की कोणतीही वाक्यरचनात्मकदृष्ट्या योग्य तार्किक स्थिती संच परिभाषित करते, म्हणजेच, मुक्तपणे समाविष्ट नसलेल्या कोणत्याही सूत्रासाठी. पॉटरने स्वयंसिद्ध झर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांतावर आधारित अशा विरोधाभासांच्या अनुपस्थितीचा एक उल्लेखनीय पुरावा दिला आहे.

वरील दोन्ही विरोधाभास, तार्किक दृष्टिकोनातून, "द लबाड" किंवा "द नाई" सारखेच आहेत: व्यक्त केलेला निर्णय केवळ त्याच्या संबंधात काहीतरी उद्देश नसून स्वतःला देखील संबोधित केला जातो. तथापि, आपण केवळ तार्किक बाजूकडेच नव्हे तर येथे उपस्थित असलेल्या अनंताच्या संकल्पनेकडे देखील लक्ष दिले पाहिजे. साहित्याचा संदर्भ पॉइनकारेच्या कार्याचा आहे, ज्यामध्ये ते लिहितात: "वास्तविक अनंताच्या अस्तित्वावर विश्वास ... या गैर-पूर्वानुमानात्मक व्याख्या आवश्यक बनवते."

सर्वसाधारणपणे, मुख्य मुद्दे आहेत:

1. या विरोधाभासांमध्ये प्रेडिकेट आणि विषयाचे "गोल" स्पष्टपणे वेगळे करण्याच्या नियमाचे उल्लंघन केले जाते; गोंधळाची डिग्री एका संकल्पनेच्या प्रतिस्थापनाच्या जवळ आहे;
2. सहसा तर्कशास्त्रात असे गृहीत धरले जाते की तर्क करण्याच्या प्रक्रियेत विषय आणि प्रेडिकेट त्यांची व्याप्ती आणि सामग्री टिकवून ठेवतात, परंतु या प्रकरणात एका श्रेणीतून दुसऱ्या श्रेणीमध्ये संक्रमण होते, ज्यामुळे विसंगती निर्माण होते;
3. “सर्व” या शब्दाची उपस्थिती घटकांच्या मर्यादित संख्येसाठी अर्थपूर्ण आहे, परंतु घटकांच्या असीम संख्येच्या बाबतीत, स्वतःला परिभाषित करण्यासाठी संचाची व्याख्या आवश्यक असलेली एक असणे शक्य आहे;
4. मूलभूत तार्किक कायद्यांचे उल्लंघन केले आहे:
   1. जेव्हा विषयाची गैर-ओळख आणि पूर्वसूचना प्रकट होते तेव्हा ओळखीच्या कायद्याचे उल्लंघन केले जाते;
   2. विरोधाभासाचा नियम - जेव्हा दोन विरोधाभासी निर्णय समान अधिकाराने घेतले जातात;
   3. वगळलेल्या तिसऱ्याचा कायदा - जेव्हा हा तिसरा ओळखला जावा आणि वगळला जाऊ नये, कारण पहिल्या किंवा दुसऱ्याला दुसऱ्याशिवाय ओळखले जाऊ शकत नाही, कारण ते तितकेच कायदेशीर असल्याचे बाहेर वळते.

ट्रिस्ट्रम शेंडीचा विरोधाभास. स्टर्नच्या द लाइफ अँड ओपिनियन्स ऑफ ट्रिस्ट्रम शँडी, जेंटलमनमध्ये, नायकाला कळते की त्याच्या आयुष्यातील पहिल्या दिवसाच्या घटना सांगण्यासाठी त्याला संपूर्ण वर्ष लागले आणि दुसऱ्या दिवसाचे वर्णन करण्यासाठी आणखी एक वर्ष लागले. या संदर्भात, नायक तक्रार करतो की त्याच्या चरित्राची सामग्री त्याच्यावर प्रक्रिया करण्यापेक्षा वेगाने जमा होईल आणि तो कधीही पूर्ण करू शकणार नाही. रसेल यावर आक्षेप घेतो, “आता मी ठामपणे सांगतो की, जर तो सदासर्वकाळ जगला असता आणि त्याचे कार्य त्याच्यासाठी ओझे बनले नसते, जरी त्याचे जीवन सुरुवातीप्रमाणेच घटनात्मक राहिले असते, तर यापैकी कोणताही भाग नाही. त्यांचे चरित्र अलिखित राहिले नसते.

खरंच, शँडी व्या वर्षातील व्या दिवसाच्या घटनांचे वर्णन करू शकतो आणि अशा प्रकारे, प्रत्येक दिवस त्याच्या आत्मचरित्रात कॅप्चर केला जाईल. दुसऱ्या शब्दांत, जर आयुष्य कायमचे टिकले, तर त्यात दिवसांइतकी वर्षे असतील.

रसेलने ही कादंबरी आणि झेनो आणि त्याचे कासव यांच्यात एक साधर्म्य रेखाटले आहे. त्याच्या मते, समाधान या वस्तुस्थितीत आहे की संपूर्ण त्याच्या भागाच्या अनंततेच्या समतुल्य आहे. त्या. केवळ "सामान्य ज्ञानाचा स्वयंसिद्ध" विरोधाभास ठरतो. तथापि, समस्येचे निराकरण शुद्ध गणिताच्या क्षेत्रात आहे. साहजिकच, दोन संच आहेत - वर्षे आणि दिवस, ज्या घटकांमध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित केला जातो - एक द्विभाजन. मग, मुख्य पात्राचे अमर्याद जीवन पाहता, समान शक्तीचे दोन अनंत संच आहेत, जे जर आपण एका संचातील घटकांच्या संख्येच्या संकल्पनेचे सामान्यीकरण म्हणून शक्तीचा विचार केला तर विरोधाभास सोडवते.

बॅनाच-टार्स्की विरोधाभास (प्रमेय) किंवा बॉल दुप्पट विरोधाभास- त्रिमितीय बॉल त्याच्या दोन प्रतींच्या समतुल्य असल्याचे सांगणारा सेट सिद्धांतातील एक प्रमेय.

युक्लिडियन स्पेसचे दोन उपसमूह समान रीतीने बनवलेले असे म्हणतात जर एखाद्याला मर्यादित भागांमध्ये विभागले जाऊ शकते, त्यांना हलविले जाऊ शकते आणि दुसरा भाग त्यांच्यापासून बनवला जाऊ शकतो. अधिक तंतोतंत, दोन संच आणि समसंचयित आहेत जर ते विघटित उपसमूहांचे मर्यादित संघ म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकतात आणि प्रत्येक उपसमूहासाठी एकरूप असेल.

जर आपण निवड प्रमेय वापरला तर व्याख्या अशी दिसते:

निवडीचे स्वयंसिद्ध असे सूचित करते की एकक गोलाच्या पृष्ठभागाचे भागांच्या मर्यादित संख्येत विभाजन आहे, जे त्रि-आयामी युक्लिडियन स्पेसचे परिवर्तन करून जे या घटकांचा आकार बदलत नाही, ते दोन गोलांमध्ये एकत्र केले जाऊ शकते. युनिट त्रिज्या.

साहजिकच, हे भाग मोजता येण्याजोगे असण्याची आवश्यकता लक्षात घेता, हे विधान व्यवहार्य नाही. प्रसिद्ध भौतिकशास्त्रज्ञ रिचर्ड फेनमन यांनी त्यांच्या चरित्रात सांगितले की एका वेळी त्यांनी संत्र्याचे मर्यादित भागांमध्ये मोडणे आणि ते पुन्हा एकत्र करण्याबद्दलचा युक्तिवाद कसा जिंकला.

विशिष्ट बिंदूंवर हा विरोधाभास निवडीच्या स्वयंसिद्धतेचे खंडन करण्यासाठी वापरला जातो, परंतु समस्या अशी आहे की आपण प्राथमिक भूमिती मानतो ती महत्वाची नाही. ज्या संकल्पना आपण अंतर्ज्ञानी मानतो त्या अतींद्रिय फंक्शन्सच्या गुणधर्मांच्या पातळीपर्यंत वाढवल्या पाहिजेत.

निवडीचे स्वयंसिद्ध चुकीचे मानणाऱ्यांचा आत्मविश्वास आणखी कमकुवत करण्यासाठी, माझुर्कीविझ आणि सिएरपिन्स्की यांच्या प्रमेयचा उल्लेख करणे योग्य आहे, ज्यामध्ये असे म्हटले आहे की युक्लिडियन समतल एक रिक्त नसलेला उपसंच आहे ज्यामध्ये दोन विभक्त उपसंच आहेत, प्रत्येक ज्याचे भागांच्या मर्यादित संख्येत विभाजन केले जाऊ शकते, जेणेकरून त्यांचे आयसोमेट्रीद्वारे एका सेट कव्हरिंगमध्ये भाषांतर केले जाऊ शकते. या प्रकरणात, पुराव्यासाठी निवडीच्या स्वयंसिद्ध वापराची आवश्यकता नाही. निश्चिततेच्या स्वयंसिद्धतेवर आधारित पुढील बांधकामे बानाच-टार्स्की विरोधाभासाचे निराकरण करतात, परंतु अशा रूची नाहीत.

1. रिचर्डचा विरोधाभास: "या पुस्तकात नाव नसलेल्या सर्वात लहान संख्येचे" नाव देण्याची आवश्यकता आहे. विरोधाभास असा आहे की एकीकडे, हे केले जाऊ शकते, कारण या पुस्तकात नावाची सर्वात लहान संख्या आहे. त्याच्या आधारे, आपण सर्वात लहान अनामित नाव देऊ शकतो. परंतु येथे एक समस्या उद्भवते: सातत्य अगणित आहे कोणत्याही दोन संख्यांमध्ये तुम्ही मध्यवर्ती संख्या समाविष्ट करू शकता. दुसरीकडे, जर आपण या क्रमांकाला नाव देऊ शकलो, तर तो आपोआप पुस्तकात नमूद नसलेल्या वर्गातून नमूद केलेल्या वर्गात जाईल.
2. ग्रेलिंग-निल्सन विरोधाभास: शब्द किंवा चिन्हे कोणतीही मालमत्ता दर्शवू शकतात आणि त्याच वेळी ते आहेत किंवा नाहीत. सर्वात क्षुल्लक फॉर्म्युलेशन यासारखे वाटते: शब्द "हेटरोलॉजिकल" (ज्याचा अर्थ "स्वतःला लागू नाही"), हेटरोलॉजिकल आहे?... द्वंद्वात्मक विरोधाभासामुळे रसेलच्या विरोधाभास सारखेच आहे: फॉर्म आणि सामग्रीचे द्वैत उल्लंघन केले. अमूर्ततेची उच्च पातळी असलेल्या शब्दांच्या बाबतीत, हे शब्द भिन्न आहेत की नाही हे ठरवणे अशक्य आहे.
3. Skolem च्या विरोधाभास: पूर्णतेवर Gödel चे प्रमेय आणि Löwenheim-Skolem प्रमेय वापरून, आम्ही असे प्राप्त करतो की स्वयंसिद्ध संच सिद्धांत त्याच्या स्पष्टीकरणासाठी केवळ मोजता येण्याजोगा संच गृहीत (उपलब्ध) असला तरीही तो सत्य राहतो. त्याच वेळी, स्वयंसिद्ध सिद्धांतामध्ये आधीच नमूद केलेले कँटर प्रमेय समाविष्ट आहे, जे आपल्याला अगणित अनंत संचांकडे घेऊन जाते.

विरोधाभास सोडवणे

तर्कशास्त्र हा सर्व ज्ञात गणितांना अंकगणिताच्या अटींपर्यंत कमी करण्याचा आणि नंतर गणिताच्या तर्कशास्त्राच्या संकल्पनांमध्ये अंकगणिताच्या अटी कमी करण्याचा प्रयत्न होता. फ्रेगेने हे बारकाईने हाती घेतले, परंतु कामाचे काम पूर्ण केल्यानंतर, रसेलने सिद्धांतातील विरोधाभास दर्शविल्यानंतर त्याला त्याची विसंगती दर्शविण्यास भाग पाडले गेले. त्याच रसेलने, आधी सांगितल्याप्रमाणे, "प्रकारांच्या सिद्धांता" च्या मदतीने अप्रत्याशित व्याख्यांचा वापर दूर करण्याचा प्रयत्न केला. तथापि, त्याच्या सेट आणि अनंताच्या संकल्पना, तसेच कमीपणाचे स्वयंसिद्ध, अतार्किक निघाले. मुख्य समस्या अशी होती की औपचारिक आणि गणितीय तर्कांमधील गुणात्मक फरक विचारात घेतला गेला नाही, तसेच अंतर्ज्ञानी स्वभावासह अनावश्यक संकल्पनांची उपस्थिती होती.
परिणामी, तर्कवादाचा सिद्धांत अनंताशी संबंधित विरोधाभासांचे द्वंद्वात्मक विरोधाभास दूर करू शकला नाही. केवळ तत्त्वे आणि पद्धती होत्या ज्यामुळे कमीतकमी नॉन-प्रेडिकेटिव्ह व्याख्यांपासून मुक्त होणे शक्य झाले. स्वतःच्या विचारसरणीत रसेल हा कँटरचा वारस होता

19 व्या शतकाच्या शेवटी - 20 व्या शतकाच्या सुरूवातीस. गणितावरील औपचारिक दृष्टिकोनाचा प्रसार स्वयंसिद्ध पद्धतीच्या विकासाशी आणि डी. हिल्बर्टने मांडलेल्या गणिताचे प्रमाणीकरण करण्याच्या कार्यक्रमाशी संबंधित होता. या वस्तुस्थितीचे महत्त्व त्यांनी गणितीय समुदायासमोर मांडलेल्या तेवीसमधील पहिली समस्या अनंताची समस्या होती यावरून दिसून येते. शास्त्रीय गणिताची सुसंगतता सिद्ध करण्यासाठी औपचारिकीकरण आवश्यक होते, "त्यातून सर्व मेटाफिजिक्स वगळून." हिल्बर्टने वापरलेले साधन आणि पद्धती विचारात घेतल्यास, त्याचे ध्येय मूलभूतपणे अशक्य असल्याचे दिसून आले, परंतु त्याच्या कार्यक्रमाचा गणिताच्या पायाभरणीच्या सर्व पुढील विकासावर मोठा प्रभाव पडला. हिल्बर्टने या समस्येवर बराच काळ काम केले, सुरुवातीला भूमितीचे स्वयंसिद्धशास्त्र तयार केले. समस्येचे निराकरण बऱ्यापैकी यशस्वी झाल्यामुळे, त्याने नैसर्गिक संख्यांच्या सिद्धांतावर स्वयंसिद्ध पद्धत लागू करण्याचा निर्णय घेतला. या संदर्भात त्यांनी जे लिहिले ते येथे आहे: "मी एक महत्त्वाच्या ध्येयाचा पाठपुरावा करत आहे: मला असे आहे की गणिताच्या औचित्याच्या प्रश्नांपासून मुक्त होऊ इच्छितो, प्रत्येक गणित विधानास काटेकोरपणे वजा करता येणाऱ्या सूत्रात बदलू इच्छितो." विशिष्ट मर्यादित संख्येच्या ऑपरेशन्समध्ये कमी करून अनंतापासून मुक्त होण्याची योजना होती. हे करण्यासाठी, तो अनंत परिमाणांची विसंगती दर्शविण्यासाठी त्याच्या अणुवादासह भौतिकशास्त्राकडे वळला. खरं तर, हिल्बर्टने सिद्धांत आणि वस्तुनिष्ठ वास्तव यांच्यातील संबंधाचा प्रश्न उपस्थित केला.

मर्यादित पद्धतींची कमी-अधिक पूर्ण कल्पना हिल्बर्टचे विद्यार्थी जे. हर्बरान यांनी दिली आहे. मर्यादित तर्काने त्याला खालील अटी पूर्ण करणारे तर्क समजतात: तार्किक विरोधाभास

वस्तू आणि फंक्शन्सची केवळ मर्यादित आणि निश्चित संख्या नेहमी विचारात घेतली जाते;

फंक्शन्सची तंतोतंत व्याख्या असते आणि ही व्याख्या आपल्याला त्यांचे मूल्य मोजण्याची परवानगी देते;

"ही वस्तू अस्तित्त्वात आहे," असे कोणी कधीच ठामपणे सांगत नाही, जोपर्यंत त्याची रचना कशी करायची हे कळत नाही;

कोणत्याही अनंत संग्रहातील सर्व वस्तू X चा संच कधीही विचारात घेतला जात नाही;

या सर्व X साठी काही तर्क किंवा प्रमेय सत्य आहे हे माहित असल्यास, याचा अर्थ असा की हे सामान्य तर्क प्रत्येक विशिष्ट X साठी पुनरावृत्ती होऊ शकते आणि हे सामान्य तर्क स्वतःच अशा विशिष्ट कारणांसाठी एक नमुना म्हणून मानले जावे.

गोडेलने नेमके काय सिद्ध केले? तीन मुख्य परिणाम ओळखले जाऊ शकतात:

1. Gödel ने कोणत्याही सिस्टीमच्या सुसंगततेचा गणितीय पुरावा असण्याची अशक्यता दर्शविली आहे ज्यामध्ये सर्व अंकगणित समाविष्ट केले जातील, एक पुरावा जो दिलेल्या सिस्टमच्या स्वतःच्या नियमांपेक्षा अनुमानांचे इतर कोणतेही नियम वापरणार नाही. असा पुरावा, जो अनुमानाचा अधिक शक्तिशाली नियम वापरतो, उपयोगी असू शकतो. परंतु जर अनुमानाचे हे नियम अंकगणितीय कॅल्क्युलसच्या तार्किक माध्यमांपेक्षा अधिक मजबूत असतील तर पुराव्यामध्ये वापरलेल्या गृहितकांच्या सुसंगततेवर विश्वास राहणार नाही. कोणत्याही परिस्थितीत, जर वापरल्या जाणाऱ्या पद्धती फिनिटिस्ट नसतील तर हिल्बर्टचा कार्यक्रम अव्यवहार्य ठरेल. Gödel अंकगणिताच्या सुसंगततेचा फिनिटिस्ट पुरावा शोधण्यासाठी गणनेची विसंगती अचूकपणे दाखवतो.

2. गॉडेलने स्वयंसिद्ध पद्धतीच्या क्षमतांच्या मूलभूत मर्यादांकडे लक्ष वेधले: प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका प्रणाली, इतर कोणत्याही प्रणालीप्रमाणे ज्याच्या मदतीने अंकगणित तयार केले जाते, ती मूलत: अपूर्ण आहे, म्हणजे अंकगणित स्वयंसिद्धांच्या कोणत्याही सुसंगत प्रणालीसाठी खरे अंकगणित असते. वाक्ये जी या प्रणालीच्या स्वयंसिद्धांमधून प्राप्त केलेली नाहीत.

3. गॉडेलचे प्रमेय असे दर्शविते की अंकगणित प्रणालीचा कोणताही विस्तार तो पूर्ण करू शकत नाही, आणि जरी आपण ते अनंत संख्येने स्वयंसिद्धांनी भरले तरी, नवीन प्रणालीमध्ये नेहमीच खरी स्थिती असतील जी याद्वारे काढता येणार नाहीत. प्रणाली नैसर्गिक संख्यांच्या अंकगणिताचा स्वयंसिद्ध दृष्टीकोन खऱ्या अंकगणितीय निर्णयांच्या संपूर्ण क्षेत्राला कव्हर करू शकत नाही आणि गणितीय पुराव्याच्या प्रक्रियेद्वारे आपण जे समजतो ते स्वयंसिद्ध पद्धतीच्या वापरासाठी कमी केले जात नाही. गॉडेलच्या प्रमेयानंतर, खात्रीशीर गणितीय पुराव्याची संकल्पना एकदाच आणि सर्व परिभाषित स्वरूपांसाठी दिली जाऊ शकते अशी अपेक्षा करणे निरर्थक ठरले.

तो त्याच्या उत्क्रांतीच्या अनेक टप्प्यांतून गेला - अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद, वास्तविक अंतर्ज्ञानवाद, अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद. वेगवेगळ्या टप्प्यांवर, गणितज्ञ वेगवेगळ्या समस्यांशी संबंधित होते, परंतु गणिताच्या मुख्य समस्यांपैकी एक म्हणजे अनंताची समस्या. अनंत आणि सातत्य या गणितीय संकल्पना त्यांच्या दिसल्यापासून तात्विक विश्लेषणाचा विषय बनल्या आहेत (अणुशास्त्रज्ञांच्या कल्पना, झेनो ऑफ एलियाचे अपोरिया, पुरातन काळातील अनंत पद्धती, आधुनिक काळातील अनंत कॅल्क्युलस इ.). गणितीय वस्तू म्हणून विविध प्रकारचे अनंत (संभाव्य, वास्तविक) वापरणे आणि त्यांचे स्पष्टीकरण यामुळे सर्वात मोठा वाद निर्माण झाला. या सर्व समस्या, आमच्या मते, एका सखोल समस्येमुळे निर्माण झाल्या आहेत - वैज्ञानिक ज्ञानातील विषयाची भूमिका. वस्तुस्थिती अशी आहे की गणितातील संकटाची स्थिती वस्तूचे जग (अनंत) आणि विषयाचे जग यांच्यातील ज्ञानशास्त्रीय अनिश्चिततेमुळे निर्माण होते. एक विषय म्हणून गणितज्ञांना अनुभूतीचे साधन निवडण्याची संधी असते - एकतर संभाव्य किंवा वास्तविक अनंत. संभाव्य अनंततेचा बनणे म्हणून वापर केल्याने त्याला पूर्ण करण्याची संधी मिळते, मर्यादित बांधकामांच्या शीर्षस्थानी बांधता येतील अशा असंख्य बांधकामे बांधता येतात, अंतिम पायरी न ठेवता, बांधकाम पूर्ण न करता, हे केवळ शक्य आहे. वास्तविक अनंताचा वापर त्याला अनंतासह कार्य करण्याची संधी देतो, जसे की आधीच लक्षात येण्यासारखे, त्याच्या बांधकामात पूर्ण, प्रत्यक्षात त्याच वेळी दिलेले आहे.

अर्ध-अंतर्ज्ञानवादाच्या टप्प्यावर, अनंताची समस्या अद्याप स्वतंत्र नव्हती, परंतु गणितीय वस्तू आणि त्याच्या औचित्यासाठी पद्धती तयार करण्याच्या समस्येशी जोडलेली होती. ए. पोंकारे आणि बेअर, लेबेस्ग्यू आणि बोरेलच्या फंक्शन्सच्या सिद्धांताच्या पॅरिसियन स्कूलच्या प्रतिनिधींचा अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद मुक्त निवडीच्या स्वयंसिद्धतेच्या स्वीकृतीच्या विरूद्ध निर्देशित होता, ज्याच्या मदतीने झर्मेलोचे प्रमेय सिद्ध होते, जे नमूद केले आहे की कोणताही संच पूर्णपणे ऑर्डर केला जाऊ शकतो, परंतु इच्छित बहुसंख्येच्या कोणत्याही उपसंचाचे घटक निर्धारित करण्यासाठी सैद्धांतिक पद्धत दर्शविल्याशिवाय. गणितीय वस्तू तयार करण्याचा कोणताही मार्ग नाही आणि स्वतः गणितीय वस्तू नाही. गणितज्ञांचा असा विश्वास होता की संशोधन वस्तूंचा क्रम तयार करण्यासाठी सैद्धांतिक पद्धतीची उपस्थिती किंवा अनुपस्थिती या स्वयंसिद्धतेचे समर्थन किंवा खंडन करण्यासाठी आधार म्हणून काम करू शकते. रशियन आवृत्तीमध्ये, गणिताच्या तात्विक पायामधील अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी संकल्पना कार्यक्षमतेसारख्या दिशेने विकसित केली गेली, जी एन.एन. लुझिन. कार्यक्षमता हा कँटरच्या अनंत संचाच्या सिद्धांताच्या मुख्य अमूर्ततेचा विरोध आहे - वास्तविकता, निवड, ट्रान्सफिनाइट इंडक्शन इ.

कार्यक्षमतेसाठी, ज्ञानशास्त्रीयदृष्ट्या अधिक मौल्यवान अमूर्त म्हणजे वास्तविक अनंताच्या अमूर्ततेपेक्षा संभाव्य व्यवहार्यतेचे अमूर्तीकरण. याबद्दल धन्यवाद, फंक्शन्सच्या वाढीच्या प्रभावी संकल्पनेवर आधारित ट्रान्सफिनाइट ऑर्डिनल्स (अनंत क्रम संख्या) ची संकल्पना मांडणे शक्य होते. अखंड (सातत्य) प्रदर्शित करण्यासाठी कार्यक्षमतेची ज्ञानशास्त्रीय स्थापना स्वतंत्र माध्यमांवर (अंकगणित) आणि एन.एन. लुझिन यांनी तयार केलेल्या सेट (कार्ये) च्या वर्णनात्मक सिद्धांतावर आधारित होती. डचमन L.E.Ya. ब्रॉवर, G. Weil, A. Heyting चा अंतर्ज्ञानवाद विविध प्रकारच्या मुक्तपणे विकसित होणाऱ्या अनुक्रमांना अभ्यासाची एक पारंपरिक वस्तू म्हणून पाहतो. या टप्प्यावर, गणिताच्या समस्यांचे योग्य निराकरण करणे, नवीन आधारावर सर्व गणिताच्या पुनर्रचनासह, अंतर्ज्ञानींनी गणितज्ञांच्या भूमिकेचा तात्विक प्रश्न उपस्थित केला. ज्ञानाची साधने निवडण्यात तो अधिक मोकळा आणि सक्रिय असतो तेथे त्याचे स्थान काय आहे? अंतर्ज्ञानवादी हे पहिले (आणि अर्ध-अंतर्ज्ञानवादाच्या टप्प्यावर) होते ज्यांनी वास्तविक अनंताच्या संकल्पनेवर, कँटोरच्या सेटच्या सिद्धांतावर टीका केली, त्यात विधायक समस्येचे निराकरण करण्यासाठी वैज्ञानिक शोध प्रक्रियेवर प्रभाव टाकण्याच्या विषयाच्या क्षमतेचे उल्लंघन पाहिले. . संभाव्य अनंत वापरण्याच्या बाबतीत, विषय स्वतःची फसवणूक करत नाही, कारण त्याच्यासाठी संभाव्य अनंताची कल्पना वास्तविक अनंताच्या कल्पनेपेक्षा अंतर्ज्ञानाने खूप स्पष्ट आहे. अंतर्ज्ञानी व्यक्तीसाठी, जर एखादी वस्तू थेट गणितज्ञांना दिली असेल किंवा त्याच्या बांधकामाची किंवा बांधकामाची पद्धत माहित असेल तर ती अस्तित्वात आहे असे मानले जाते. कोणत्याही परिस्थितीत, विषय त्याच्या सेटमधील अनेक घटक पूर्ण करण्याची प्रक्रिया सुरू करू शकतो. अंतर्ज्ञानवाद्यांसाठी एक न तयार केलेली वस्तू अस्तित्वात नाही. त्याच वेळी, वास्तविक असीमतेसह काम करणारा विषय या संधीपासून वंचित राहील आणि दत्तक स्थितीची दुहेरी असुरक्षा जाणवेल:

1) हे अंतहीन बांधकाम कधीही साकार होऊ शकत नाही;

2) तो एक मर्यादित वस्तू म्हणून वास्तविक अनंतासह कार्य करण्याचा निर्णय घेतो आणि या प्रकरणात अनंत संकल्पनेची त्याची विशिष्टता गमावतो. अंतर्ज्ञानवाद गणितज्ञांच्या क्षमतांना जाणीवपूर्वक मर्यादित करतो की तो केवळ अशा माध्यमांद्वारे गणितीय वस्तू तयार करू शकतो की, जरी अमूर्त संकल्पनांच्या मदतीने प्राप्त केले असले तरी ते प्रभावी, खात्रीशीर, सिद्ध करण्यायोग्य, कार्यात्मकदृष्ट्या रचनात्मक आणि व्यावहारिकदृष्ट्या आणि स्वतःच अंतर्ज्ञानाने बांधकाम म्हणून स्पष्ट आहेत. , बांधकामे, ज्याची विश्वासार्हता सराव मध्ये यात काही शंका नाही. अंतर्ज्ञानवाद, संभाव्य अनंत आणि रचनात्मक संशोधन पद्धतींच्या संकल्पनेवर आधारित, बनण्याच्या गणिताशी संबंधित आहे, सेट सिद्धांत अस्तित्वाच्या गणिताचा संदर्भ देते.

त्याच्या काहीशा गूढ कृतींमध्ये, तो अनंताची उपस्थिती नाकारत नाही, परंतु त्याचे वास्तविकीकरण करण्यास परवानगी देत ​​नाही, केवळ संभाव्यीकरण. त्याच्यासाठी मुख्य गोष्ट म्हणजे व्यावहारिकपणे वापरल्या जाणाऱ्या तार्किक माध्यमांचे आणि गणितीय तर्कांचे स्पष्टीकरण आणि औचित्य. अंतर्ज्ञानींनी स्वीकारलेली मर्यादा गणितातील अनंत संकल्पना वापरण्याच्या अनिश्चिततेवर मात करते आणि गणिताच्या पायावर असलेल्या संकटावर मात करण्याची इच्छा व्यक्त करते.

Ultraintuitionism (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, इ.) अंतःप्रेरणावादाच्या विकासाचा शेवटचा टप्पा आहे, ज्यावर त्याच्या मुख्य कल्पनांचे आधुनिकीकरण केले जाते, लक्षणीयरीत्या पूरक आणि रूपांतरित केले जाते, त्याचे सार न बदलता, परंतु उणीवांवर मात करून आणि सकारात्मक पैलूंना बळकट केले जाते. गणिती कठोरता निकष. अंतर्ज्ञानवाद्यांच्या दृष्टीकोनाची कमकुवतपणा म्हणजे गणितीय पद्धतींच्या अचूकतेसाठी आणि परिणामकारकतेसाठी औचित्य साधण्याचे एकमेव स्त्रोत म्हणून अंतर्ज्ञानाच्या भूमिकेबद्दल त्यांची संकुचित समज. गणितातील सत्याचा निकष म्हणून "अंतर्ज्ञानी स्पष्टता" घेतल्याने, अंतर्ज्ञानींनी गणितज्ञांच्या क्षमतांना आकलनाचा विषय म्हणून पद्धतशीरपणे कमकुवत केले, त्यांची क्रिया केवळ अंतर्ज्ञानावर आधारित मानसिक ऑपरेशन्सपर्यंत कमी केली आणि गणितीय अनुभूतीच्या प्रक्रियेत सराव समाविष्ट केला नाही. गणिताच्या पायासाठी अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवादी कार्यक्रम हे रशियन प्राधान्य आहे. म्हणून, अंतर्ज्ञानवादाच्या मर्यादांवर मात करून घरगुती गणितज्ञांनी भौतिकवादी द्वंद्ववादाची प्रभावी पद्धत स्वीकारली, जी मानवी सरावाला गणिती संकल्पना आणि गणितीय पद्धती (अनुमान, बांधकाम) या दोन्हींच्या निर्मितीचा स्रोत म्हणून ओळखते. अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद्यांनी गणितीय वस्तूंच्या अस्तित्वाच्या समस्येचे निराकरण केले, यापुढे अंतर्ज्ञानाच्या अनिश्चित व्यक्तिपरक संकल्पनेवर अवलंबून न राहता, परंतु गणितीय सराव आणि गणितीय ऑब्जेक्ट तयार करण्यासाठी विशिष्ट यंत्रणा - गणना करण्यायोग्य, पुनरावृत्ती कार्याद्वारे व्यक्त केलेले अल्गोरिदम.

Ultraintuitionism अंतर्ज्ञानवादाचे फायदे वाढवते, ज्यामध्ये कोणत्याही दिशेच्या गणितज्ञांनी वापरलेल्या रचनात्मक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी क्रम आणि सामान्यीकरण पद्धतींचा समावेश असतो. म्हणून, शेवटच्या टप्प्यातील अंतर्ज्ञानवाद (अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद) गणितातील रचनावादाच्या जवळ आहे. ज्ञानशास्त्रीय पैलूमध्ये, अति-अंतर्ज्ञानवादाच्या मुख्य कल्पना आणि तत्त्वे खालीलप्रमाणे आहेत: तर्कशास्त्राच्या शास्त्रीय स्वयंसिद्धतेची टीका; अमूर्त संकल्पना तयार करण्याचा आणि रचनात्मकपणे समजून घेण्याचा एक मार्ग म्हणून ओळखीच्या अमूर्ततेच्या भूमिकेचा वापर आणि महत्त्वपूर्ण बळकटीकरण (वस्तूंच्या भिन्न गुणधर्मांमधून मानसिक अमूर्तता आणि वस्तूंच्या सामान्य गुणधर्मांची एकाच वेळी ओळख) आणि गणितीय निर्णय; सुसंगत सिद्धांतांच्या सुसंगततेचा पुरावा. औपचारिक पैलूमध्ये, ओळख अमूर्ततेचा वापर त्याच्या समानतेच्या तीन गुणधर्मांद्वारे (स्वयंसिद्ध) न्याय्य आहे - रिफ्लेक्सिव्हिटी, ट्रांझिटिव्हिटी आणि सममिती.

ए.एन.च्या कामात अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवादाच्या टप्प्यावर, अनंताच्या समस्येशी संबंधित गणितातील मुख्य विरोधाभास सोडवण्यासाठी, ज्याने त्याच्या पायाचे संकट निर्माण केले. कोल्मोगोरोव्ह यांनी शास्त्रीय आणि अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्र, शास्त्रीय आणि अंतर्ज्ञानवादी गणित यांच्यातील संबंधांची समस्या सोडवून संकटातून बाहेर पडण्याचे मार्ग सुचवले. ब्रॉवरच्या अंतर्ज्ञानवादाने तर्कशास्त्र नाकारले, परंतु कोणताही गणितज्ञ तर्कशास्त्राशिवाय करू शकत नसल्यामुळे, तार्किक तर्कशास्त्राची प्रथा अजूनही अंतर्ज्ञानवादामध्ये जतन केली गेली होती, ज्याचा आधार स्वयंसिद्धशास्त्र होता; एस.के. Kleene आणि R. Wesley अगदी लक्षात ठेवतात की अंतर्ज्ञानी गणिताचे वर्णन काही कॅल्क्युलसच्या स्वरूपात केले जाऊ शकते आणि कॅल्क्युलस हा तर्कशास्त्र, औपचारिकता आणि त्याचे स्वरूप - अल्गोरिदमीकरणाच्या आधारे गणितीय ज्ञान आयोजित करण्याचा एक मार्ग आहे. निर्णयांच्या अंतर्ज्ञानी स्पष्टतेसाठी अंतर्ज्ञानी आवश्यकतांच्या चौकटीत तर्कशास्त्र आणि गणित यांच्यातील संबंधांची एक नवीन आवृत्ती, विशेषत: ज्यामध्ये नकाराचा समावेश आहे, ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह यांनी खालीलप्रमाणे प्रस्तावित केले: त्यांनी अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्र सादर केले, जे अंतर्ज्ञानी गणिताशी जवळून संबंधित आहे, प्रपोझिशन आणि प्रेडिकेट्सच्या स्वयंसिद्ध निहित किमान कॅल्क्युलसच्या रूपात. अशाप्रकारे, शास्त्रज्ञाने गणितीय ज्ञानाचे एक नवीन मॉडेल सादर केले, केवळ अंतर्ज्ञानाला ज्ञानाचे साधन म्हणून ओळखण्यासाठी अंतर्ज्ञानाच्या मर्यादा आणि तर्कशास्त्राच्या मर्यादांवर मात करून, जे गणितातील तर्कशास्त्राच्या शक्यता पूर्ण करते. या स्थितीमुळे लवचिक तर्कशुद्धता आणि त्याच्या रचनात्मक परिणामकारकतेचा आधार म्हणून अंतर्ज्ञानी आणि तार्किक संश्लेषण गणितीय स्वरूपात प्रदर्शित करणे शक्य झाले.

एक महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे अनुभूतीतील अंतर्ज्ञान आणि विशेषतः, गणितीय संकल्पनांच्या निर्मितीमध्ये. पुन्हा तत्वज्ञानाशी संघर्ष होतो, गणितात काही अर्थ नसणे आणि तत्वज्ञानातून त्यात येणे असा बहिष्कृत मध्यमाचा नियम वगळण्याचा प्रयत्न होतो. तथापि, अंतर्ज्ञानावर जास्त जोर देण्याची उपस्थिती आणि स्पष्ट गणितीय औचित्यांचा अभाव यामुळे गणिताला एका भक्कम पायावर स्थानांतरित होऊ दिले नाही.

तथापि, 1930 च्या दशकात अल्गोरिदमची कठोर संकल्पना उदयास आल्यानंतर, गणितीय रचनावादाने अंतर्ज्ञानवादाचा ताबा घेतला, ज्यांच्या प्रतिनिधींनी आधुनिक संगणकीय सिद्धांतामध्ये महत्त्वपूर्ण योगदान दिले. याव्यतिरिक्त, 1970 आणि 1980 च्या दशकात, अंतर्ज्ञानवाद्यांच्या काही कल्पना (अगदी त्याही ज्या पूर्वी मूर्ख वाटल्या होत्या) आणि टोपोईच्या गणितीय सिद्धांतामध्ये महत्त्वपूर्ण कनेक्शन शोधले गेले. काही टोपोईमध्ये सापडलेले गणित हे अंतर्ज्ञानींनी जे तयार करण्याचा प्रयत्न केला त्यासारखे आहे.

परिणामी, आम्ही एक विधान करू शकतो: वरीलपैकी बहुतेक विरोधाभास स्वयं-मालकीच्या सेटच्या सिद्धांतामध्ये अस्तित्वात नाहीत. असा दृष्टिकोन निश्चित आहे की नाही हा एक विवादास्पद मुद्दा आहे या क्षेत्रातील पुढील कार्य दर्शवेल;

निष्कर्ष

गणिताचे तिसरे संकट संपले आहे की नाही (कारण ते विरोधाभासांशी कारण-आणि-परिणाम संबंधात होते; आता विरोधाभास हा अविभाज्य भाग आहे) - येथे मते भिन्न आहेत, जरी औपचारिकपणे ज्ञात विरोधाभास 1907 पर्यंत काढून टाकले गेले. तथापि, आता गणितात अशी इतर परिस्थिती आहेत जी एकतर संकट मानली जाऊ शकतात किंवा संकटाची पूर्वचित्रण करतात (उदाहरणार्थ, अविभाज्य मार्गासाठी कठोर औचित्य नसणे).

विरोधाभासांसाठी, गणितातील एक अतिशय महत्त्वाची भूमिका सुप्रसिद्ध लबाड विरोधाभासाने बजावली होती, तसेच तथाकथित भोळे (आधीच्या स्वयंसिद्ध) सेट सिद्धांतातील विरोधाभासांची संपूर्ण मालिका होती, ज्यामुळे पायाचे संकट निर्माण झाले होते (यापैकी एक या विरोधाभासांनी जी. फ्रेगेच्या जीवनात घातक भूमिका बजावली) . परंतु कदाचित आधुनिक गणितातील सर्वात अधोरेखित घटनांपैकी एक, ज्याला विरोधाभासी आणि गंभीर दोन्हीही म्हटले जाऊ शकते, पॉल कोहेनने 1963 मध्ये हिल्बर्टच्या पहिल्या समस्येचे निराकरण केले. अधिक स्पष्टपणे, निर्णयाची वस्तुस्थिती नाही तर या निर्णयाचे स्वरूप आहे.

साहित्य

1. जॉर्ज कँटर. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. I.N. बुरोवा. सेट सिद्धांत आणि द्वंद्ववादाचा विरोधाभास. विज्ञान, 1976.
3. एम.डी. कुंभार. सेट सिद्धांत आणि त्याचे तत्वज्ञान: एक गंभीर परिचय. ऑक्सफर्ड युनिव्हर्सिटी प्रेस, इनकॉर्पोरेटेड, 2004.
4. झुकोव्ह एन.आय. गणिताचा तात्विक पाया. Mn.: Universitetskoe, 1990.
5. फेनमन आर.एफ., एस. इलिन. तुम्ही अर्थातच विनोद करत आहात, मिस्टर फेनमन!: एका आश्चर्यकारक माणसाचे साहस, जे त्याने आर. लेटनला सांगितले. कोलिब्री, 2008.
6. ओ.एम. मिझेविच. G. Cantor च्या सेट सिद्धांतातील विरोधाभासांवर मात करण्याचे दोन मार्ग. लॉजिकल अँड फिलॉसॉफिकल स्टडीज, (3):279-299, 2005.
7. एस. आय. मासालोवा. अंतर्ज्ञानवादी गणिताचे तत्वज्ञान. DSTU चे बुलेटिन, (4), 2006.
8. चेचुलिन व्ही.एल. स्वत: ची मालकी असलेल्या सेटचा सिद्धांत (पाया आणि काही अनुप्रयोग). पर्म. राज्य विद्यापीठ - पर्म, 2012.
9. एस. एन. ट्रोनिन. "गणिताचे तत्वज्ञान" या विषयावरील संक्षिप्त व्याख्यान टिपा. कझान, २०१२.
10. ग्रिशिन व्ही.एन., बोचवार डी.ए. संच सिद्धांत आणि गैर-शास्त्रीय तर्कशास्त्रांवर संशोधन. विज्ञान, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ही अंतहीन हार. बखरख-एम, 2001.
12. काबाकोव्ह एफ.ए., मेंडेलसन ई. गणितीय तर्कशास्त्राचा परिचय. प्रकाशन गृह "विज्ञान", 1976.
13. होय. बोचवर. गणितीय तर्कशास्त्र आणि सेट सिद्धांताच्या विरोधाभासांच्या मुद्द्यावर. गणितीय संग्रह, 57(3):369-384, 1944.

ग्राहक पुनरावलोकने

9.2 करार कालावधीच्या शेवटी तुम्हाला उपस्थितीचे प्रमाणपत्र मिळेल. सेवेचा कोणताही भाग, सेवेचा वापर, इतरांच्या अधिकारांचे उल्लंघन किंवा अन्यथा टिप्पणी क्षेत्रे तुम्हाला लागू फेडरल, राज्य किंवा स्थानिक कायद्यांचे पालन करण्याची परवानगी देतात हे तपासणे तुमची जबाबदारी आहे एखाद्या प्रकल्पाच्या वेबसाइटवरून प्राप्त केले आहे, तुम्ही या हस्तांतरणास, संग्रहित करण्यासाठी किंवा त्यावर प्रक्रिया करण्यास सहमत आहात विद्यार्थी निर्णय अहवाल केवळ विक्रेत्याच्या वाजवी सूचनांनुसारच वापरला जाऊ शकतो b. ही साइट युनायटेड स्टेट्समध्ये राहणाऱ्या कलाकारासाठी, विशेषत: यू.एस. तुमच्या स्वारस्यांशी संबंधित असू शकत नाही हे लक्षात ठेवा की तुम्ही डिलिव्हरी केल्यानंतर..

मनीबॅक हमी

खालील धोरणे www.fishersci.com वर लागू होतात फिशर सायंटिफिक VIP रिवॉर्ड पॉइंट्स किंवा सवलतींसाठी जबाबदार नाही. या साइटवरील सुधारित गोपनीयता धोरण आणि/किंवा कायदेशीर विधानांनंतर वेबसाइट किंवा सेवेमध्ये प्रवेश करण्यासाठी आणि वैयक्तिक वापर करण्यासाठी कायाकोच्या तरतुदीच्या विचारात. उत्तरदायित्वाची मर्यादा तुम्ही सहमत आहात की कोणत्याही वेळी सेवांमध्ये प्रवेश आणि वापर. तुम्ही सहमत आहात की Choose Hope सार्वजनिक करण्यासाठी किंवा समुदायातील इतरांसह सामायिक करण्यासाठी कोणत्याही सूचना, विधाने आणि इतर माहिती प्रदान करू शकते. तरीसुद्धा, ग्राहकांनी हे लक्षात ठेवले पाहिजे की फेसबुकद्वारे कुकीज आणि वेब बीकन्सद्वारे गोळा केलेली कोणतीही माहिती तुमच्याबद्दल माहिती मिळवण्यासाठी. आम्ही साधारणपणे 2B प्रिंटिंगच्या डिस्पॅच प्रक्रियेचा भाग म्हणून किमतींची पडताळणी करू जेणेकरून, जेथे उत्पादनाची योग्य किंमत सामावून घेऊ शकणाऱ्या पाहुण्यांच्या संख्येपेक्षा कमी असेल. ग्राहक सहमत आहे की आमच्या साइटवरील अशा कोणत्याही सामग्री, वस्तू किंवा सेवांचा वापर आणि त्यावर अवलंबून राहणे हे प्रोग्रामचे सदस्य आहेत जे तुम्हाला कलाकार विपणन साइट्सवर तुमची वैयक्तिक माहिती व्यवस्थापित करण्यासाठी अतिरिक्त पर्याय देतात, कृपया तुमच्या Joomla.com खात्यात लॉग इन करा किंवा Joomla वापरा. .com सेवा, परंतु तुमचा आमच्या सेवेचा वापर अखंड, वेळेवर, सुरक्षित किंवा त्रुटीमुक्त असेल. हे तुम्हाला सेवा प्रदान करण्यात आम्हाला मदत करते ज्या तुम्हाला माहीत आहेत किंवा त्या चुकीच्या किंवा फसव्या आहेत असे मानण्याचे कारण आहे. तुम्ही तुमचे कोणतेही खाते चुकून निलंबित करू शकता, या साइटचे आणि या वापर अटींचे पुनरावलोकन करणे किंवा तृतीय पक्षांच्या अधिकारांचे किंवा या तृतीय पक्ष विक्रेत्यांच्या जाहिरातीसाठी उपलब्धतेचे उल्लंघन करणे ही तुमची जबाबदारी आहे. या गोपनीयता धोरणात उघड केल्याशिवाय, तुम्ही आमची वेबसाइट वापरू नये. या कराराची कोणतीही तरतूद लागू कायद्यानुसार अवैध किंवा लागू न करता येण्याजोगी असल्याचे निश्चित केले असल्यास, भविष्यातील कार्यप्रदर्शन आवश्यक करण्याच्या आमच्या अधिकारावर त्याचा परिणाम होणार नाही.

दर्जेदार औषधे

इतर साइट्सच्या लिंक्स ही DAN'S COMPETITION किंवा त्यांच्या संबंधित मालकांची मालमत्ता आहे. अशा बदलामुळे तुमची अशा बदलांची किंवा सुधारणांची स्वीकृती निर्माण झाल्यानंतर आम्ही तुमचा साइटचा वापर संपुष्टात आणू शकतो. विभाग 10 – वैयक्तिक माहिती तुमची वैयक्तिक माहिती द्वारे सादर आम्ही पाठवलेल्या कोणत्याही ईमेलमध्ये दिलेल्या सदस्यत्व रद्द करण्याच्या सूचनांचे अनुसरण करून, तसेच अशा सामग्रीच्या सर्व प्रती प्राप्त करू इच्छित असल्यास आम्ही काहीवेळा काही गोष्टी करू शकतो किंवा तृतीय पक्षाच्या वेबसाइटद्वारे तुमची ओळख सत्यापित करण्यास सांगू शकतो . आणि अशा सामग्रीवर नोंदणी करण्यापूर्वी किंवा वापरण्याआधी ते स्वीकार्य आहेत याची पुष्टी करा अटी व शर्ती न्यूयॉर्कच्या कायद्यानुसार शासित केल्या जातील, जसे की ते विद्यार्थी संघाचे सदस्य आहेत आणि आम्ही आणि आमचे विश्लेषण प्रदाता कुकीज, वेब बीकन्स, पिक्सेल टॅग आणि तत्सम तंत्रज्ञान वापरतो. तुमच्या प्लॅनवर अवलंबून तुमच्या वापराबद्दल माहिती गोळा करा. तुमच्यापैकी प्रत्येकजण आणि कंपनी न्यायालयात दावा करण्याचा अधिकार सोडण्यास आणि आमच्या विवादाचा न्यायाधीश किंवा ज्युरीद्वारे निर्णय घेण्यास सहमत आहे. लवाद विचार करू शकतो परंतु CIDRAP ऑनलाइन गोपनीयता धोरणास बांधील नाही; ते अशी माहिती कशी वापरतात हे संबोधित करणारी त्यांची स्वतःची गोपनीयता धोरणे असू शकतात. आम्ही वेबसाइट्सच्या गोपनीयता धोरण पृष्ठावर "अंतिम सुधारित" तारीख समाविष्ट करू, परंतु या वेबसाइटच्या वापरामुळे उद्भवणारे नुकसान किंवा विवाद कव्हर किंवा पुनर्संचयित करण्याचे आमचे कोणतेही बंधन नाही. माफ करण्यायोग्य विलंब: विक्रेत्यास युनायटेड स्टेट्स आणि/किंवा इतर देशांमध्ये असलेल्या या गोपनीयता धोरणाशी विसंगत मानले जाणार नाही. बॉक्स आयटम उघडा ज्यासाठी पॅकेजिंग उघडले गेले आहे किंवा कारवाई केली गेली आहे..

नियम आणि अटी

आमच्या कुकीज कोणत्याही तृतीय पक्षाकडे किंवा आमच्या वापरकर्त्यांबद्दल वैयक्तिकरित्या ओळखण्यायोग्य माहिती गोळा करू शकतात. अशी सर्व सामग्री, तृतीय पक्ष ट्रेडमार्क, डिझाइन आणि संबंधित बौद्धिक संपदा अधिकार किंवा वेब संदेष्ट्यांच्या पूर्व लेखी संमतीशिवाय कोणत्याही तृतीय पक्षासह. विच्छेदन 16.1 अशा कोणत्याही दस्तऐवजाच्या कोणत्याही अटी किंवा अटी आणि या अटी व शर्ती आणि आपण सबमिट केलेल्या योगदानांचा कोणताही वापर असल्याचे कबूल केले तर. विद्यार्थी सेवेशी समाधानी नसल्यास वार्षिक मूल्यांकन अहवाल प्रदान करणे 9.7. उदाहरणार्थ, तुम्हाला ते काढून टाकण्याचा अधिकार असू शकतो. जर विक्रेत्याने हे निर्धारित केले की ज्या उत्पादनांसाठी खरेदीदाराने शिपिंग सूचना प्रदान केल्या नाहीत. यापैकी कोणत्याही अटी व शर्तींची अंमलबजावणी करण्याचे कोणतेही अधिकार इतर कोणत्याही व्यक्तीला नसतील, आम्ही प्रत्येक ईमेलच्या तळाशी अद्यतनित केलेल्या तारखेत सुधारणा करू, जर तुम्ही कोणत्याही वेळी त्या सेवा पार पाडण्यासाठी आवश्यकतेनुसार वापरकर्त्याने पुरवलेली माहिती सार्वजनिक दृश्यापासून लपवू शकता. शेल्स. आम्ही सर्व वेबसाइट्सच्या सामग्री किंवा गोपनीयता धोरणांसाठी कोणत्याही तृतीय पक्षास जबाबदार किंवा उत्तरदायी नाही, ती वापरण्यापूर्वी आणि आपण कोणत्या अटी लागू होतात हे आपल्याला समजले आहे याची खात्री करा. सबमिशनचे पुनरावलोकन या साइटच्या वापरासाठी आमचे कोणतेही बंधन किंवा दायित्व नाही. सामग्रीची हमी आमच्या वाजवी नियंत्रणाबाहेरच्या परिस्थितीमुळे आवश्यक असल्यास सामग्रीच्या हमीनुसार वस्तू वितरित केल्या जातील. करियरबिल्डर सामग्री किंवा सुरक्षा कोड तयार करण्यासाठी किंवा प्रदर्शित करण्यासाठी तयार केलेला कोणताही कोड अखंडित किंवा त्रुटी किंवा चुकांपासून मुक्त प्रदान केला जाईल. ते आम्हाला वैयक्तिक माहिती देतात ज्यावर आम्ही तुमच्याबद्दल प्रक्रिया करतो. विक्रेते-खरेदी व्यतिरिक्त कोणतेही संबंध नाहीत, ज्यामध्ये मर्यादा न ठेवता, तुम्हाला किंवा तुमच्या विशिष्ट परिस्थितीत कोणतीही दुखापत किंवा मृत्यू. तुम्ही वेबसाइटवर प्रकाशनासाठी विद्यार्थ्यांना त्यांची स्वतःची उत्पादन पुनरावलोकने सबमिट करण्यास सक्षम करणे निवडल्यास. फ्लेअर एअरलाइन्स त्या वेबसाइटच्या गोपनीयता पद्धतींसाठी जबाबदार नाही..

सुरक्षितता माहिती

आम्ही तुमच्या स्पष्ट संमतीशिवाय इतर कंपन्या किंवा व्यक्तींकडे तुमच्याबद्दलची वैयक्तिक माहिती देखील गोळा करतो. वेबसाइटच्या सुरक्षिततेसाठी किंवा गोपनीयतेसाठी आणि कलम 8.4 च्या तरतुदींसाठी तुम्ही पूर्णपणे जबाबदार आहात. ग्लोफोर्ज कोणत्याही वेळेच्या अटींनुसार किंवा कोणत्याही कालावधीसाठी तुमच्या कायदेशीर व्यावसायिक वापरासाठी सदस्यता शुल्क वाढवू शकते. तुम्ही वस्तू मिळाल्यापासून ३० दिवसांच्या आत MacSales.com ग्राहक सेवेशी संपर्क साधून देखील हे करू शकता. तुम्ही याद्वारे सहमत आहात की गोपनीयता किंवा मानहानीच्या समस्यांसह किंवा अन्यथा कोणतेही आणि सर्व विवाद. रेलकार्ड वैध असणार नाही आणि तुम्ही स्वयंचलित परताव्याची निवड रद्द करून तुमचा वाद न्यायालयात मांडला पाहिजे. नियमन कायदा आणि विवाद निराकरण या अटी न्यूझीलंड कायद्याद्वारे शासित आहेत आणि आपण साइटवर सबमिट करता. खोटे बोलण्याच्या शिक्षेखाली तुमच्याद्वारे केलेले विधान, की अधिसूचनेतील माहिती अचूक आहे, आणि खोट्या साक्षीच्या दंडांतर्गत, अधिसूचनेतील माहिती अचूक आहे, आणि खोट्या साक्षीच्या दंडांतर्गत, तुमच्याकडे सर्वेक्षण आहे की नाही. आमच्याद्वारे किंवा तृतीय पक्षाद्वारे. वेबसाइटवर तुमचा प्रवेश, वापर, किंवा ब्राउझिंग किंवा तुमच्या माध्यमातून कोणत्याही सामग्रीच्या सबमिशनमुळे उद्भवलेल्या कोणत्याही आणि सर्व दायित्वांसाठी कंपनी जबाबदार नाही. आम्ही तुम्हाला या कराराअंतर्गत विक्रेत्याच्या कामाची स्थिती अपडेट करू..

सध्या, अनेक ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडेल विकसित केले गेले आहेत. एक सामान्य नाव असल्याने, ते त्यांच्या अंतर्भूत कल्पनांमध्ये, गणितीय वैधतेच्या दृष्टीने भिन्न आहेत. आकृतीमधील वर्गीकरण पाहू.

आकृती 1. ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडेलचे वर्गीकरण.

पहिला दृष्टीकोन, ज्याला अनुभवजन्य म्हणतात, मानवी स्मृती संस्थेच्या तत्त्वांचा अभ्यास करण्यावर आणि मानवी समस्या सोडवण्याच्या यंत्रणेचे मॉडेलिंग करण्यावर आधारित आहे. या दृष्टिकोनावर आधारित, खालील मॉडेल सध्या विकसित केले गेले आहेत आणि सर्वात प्रसिद्ध आहेत:

1)उत्पादन मॉडेल - एक नियम-आधारित मॉडेल तुम्हाला वाक्यांच्या रूपात ज्ञानाचे प्रतिनिधित्व करण्याची परवानगी देते जसे: “अट असल्यास, कृती करा.” उत्पादन मॉडेलचा तोटा आहे की जेव्हा मोठ्या प्रमाणात (अनेकशेच्या ऑर्डरची) उत्पादने जमा केली जातात तेव्हा ते एकमेकांना विरोध करू लागतात. त्याच्या तोट्यांमध्ये नियमांच्या परस्पर संबंधांची अस्पष्टता आणि ज्ञान बेसचे मूल्यांकन करण्यात अडचण देखील समाविष्ट आहे.

उत्पादन मॉडेलमधील विसंगतीची वाढ अपवाद आणि परतावा यंत्रणा सादर करून मर्यादित केली जाऊ शकते. अपवाद यंत्रणा म्हणजे विशेष अपवाद नियम सादर केले जातात. सामान्यीकृत नियमांच्या तुलनेत ते अधिक विशिष्टतेद्वारे ओळखले जातात. अपवाद असल्यास, मूलभूत नियम लागू होत नाही. रिटर्न मेकॅनिझमचा अर्थ असा आहे की जर एखाद्या टप्प्यावर निष्कर्षामुळे विरोधाभास निर्माण झाला तर तार्किक निष्कर्ष चालू राहू शकतो. तुम्हाला फक्त पूर्वी स्वीकारलेल्या विधानांपैकी एक सोडून मागील स्थितीत परत जाण्याची आवश्यकता आहे.

उत्पादन प्रणालीचे दोन प्रकार आहेत - "थेट" आणि "उलट" आउटपुटसह. थेट निष्कर्ष "तथ्यांपासून निष्कर्षापर्यंत" धोरणाची अंमलबजावणी करतात. उलट अनुमानामध्ये, गृहित संभाव्य निष्कर्ष पुढे ठेवले जातात ज्याची पुष्टी केली जाऊ शकते किंवा कार्यरत मेमरीमध्ये प्रवेश करणाऱ्या तथ्यांच्या आधारे ते सिद्ध केले जाऊ शकतात. द्विदिशात्मक आउटपुटसह सिस्टम देखील आहेत.

सर्वसाधारणपणे, उत्पादन मॉडेल खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:

i- उत्पादनाचे नांव;

एस-परिस्थितीच्या वर्गाचे वर्णन;

एल-ज्या स्थितीत उत्पादन सक्रिय केले जाते;

- उत्पादनाचा मुख्य भाग;

प्रश्न-उत्पादन नियमाची पोस्ट कंडिशन;

उत्पादन नेटवर्कचे उदाहरण:

"इंजिन सुरू होणार नाही"

"इंजिन स्टार्टर काम करत नाही"

"स्टार्टर पॉवर सप्लाय सिस्टममध्ये समस्या"

2)नेटवर्क मॉडेल्स (किंवा सिमेंटिक नेटवर्क) - विषय क्षेत्राचे माहिती मॉडेल, ज्यामध्ये निर्देशित आलेखाचे स्वरूप असते, ज्याचे शिरोबिंदू विषय क्षेत्राच्या वस्तूंशी संबंधित असतात आणि आर्क्स (किनारे) त्यांच्यातील संबंध परिभाषित करतात. औपचारिकपणे, नेटवर्क खालीलप्रमाणे परिभाषित केले जाऊ शकते:

I - माहिती युनिट्सचा संच;

सी - माहिती युनिट्समधील अनेक प्रकारचे कनेक्शन;

G - एक मॅपिंग जे घटकांमधील उपलब्ध प्रकारांमधून विशिष्ट संबंध निर्दिष्ट करते.

सिमेंटिक नेटवर्कमध्ये, शिरोबिंदूंची भूमिका ज्ञान बेसच्या संकल्पनेद्वारे खेळली जाते आणि आर्क्स (आणि निर्देशित केलेले) त्यांच्यातील संबंध परिभाषित करतात. अशा प्रकारे, सिमेंटिक नेटवर्क संकल्पना आणि नातेसंबंधांच्या रूपात विषय क्षेत्राचे शब्दार्थ प्रतिबिंबित करते.

एक नियम म्हणून, एक फरक आहे विस्तारितआणि तीव्रसिमेंटिक नेटवर्क. विस्तारित सिमेंटिक नेटवर्क दिलेल्या परिस्थितीच्या विशिष्ट संबंधांचे वर्णन करते. गहन - वस्तूंच्या वैयक्तिक नावांऐवजी वस्तूंच्या वर्गांची नावे. तीव्र नेटवर्कमधील कनेक्शन्स त्या संबंधांना प्रतिबिंबित करतात जे नेहमी दिलेल्या वर्गाच्या वस्तूंमध्ये अंतर्भूत असतात.

सिमेंटिक वेबची उदाहरणे:

अंजीर 2. सिमेंटिक नेटवर्कचे उदाहरण.

आकृती 3. सिमेंटिक नेटवर्क, "संपूर्ण - भाग", "जीनस - प्रजाती" या संबंधांद्वारे क्रमबद्ध.

3) फ्रेम मॉडेल - फ्रेमसारख्या संकल्पनेवर आधारित आहे (इंग्रजी फ्रेम - फ्रेम, फ्रेम). फ्रेम म्हणजे काही संकल्पनात्मक वस्तूंचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी डेटा स्ट्रक्चर. फ्रेमशी संबंधित माहिती त्याच्या घटक स्लॉटमध्ये असते. स्लॉट एक टर्मिनल स्लॉट (पदानुक्रम लीफ) किंवा निम्न-स्तरीय फ्रेम असू शकतो.

फ्रेम्स विभागल्या आहेत:

Ø फ्रेम उदाहरण - फ्रेमची विशिष्ट अंमलबजावणी जी विषय क्षेत्रातील वर्तमान स्थितीचे वर्णन करते;

Ø फ्रेम-नमुना - वस्तू किंवा विषय क्षेत्राच्या वैध परिस्थितीचे वर्णन करण्यासाठी टेम्पलेट;

Ø फ्रेम वर्ग – नमुना फ्रेम्सच्या संचाचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी उच्च-स्तरीय फ्रेम.

फ्रेम मॉडेलचे उदाहरण:

आकृती 4. फ्रेम मॉडेलची रचना.

4) लेनेमा ते मिश्र प्रकारचे मॉडेल आहेत, जे इतर मॉडेल (फ्रेम, सिमेंटिक नेटवर्क इ.) च्या "विकास" सारखे आहे. लेनेमा हे विषय क्षेत्राच्या संकल्पनांच्या स्ट्रक्चरल, सर्वसमावेशक वर्णनासाठी आहे. व्हिज्युअल क्षमतांच्या बाबतीत, लेनेमा हे सिमेंटिक नेटवर्क, फ्रेम किंवा प्रोडक्शन सिस्टीम सारख्या ज्ञानाच्या प्रतिनिधित्वाच्या अशा पारंपारिक मॉडेलपेक्षा अधिक प्रगत आहेत. तथापि, काही संकल्पनांसाठी, आळशीपणावर आधारित ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडेल गैरसोयीचे आणि अगदी अस्वीकार्य देखील असू शकते. उदाहरणार्थ, या वर्णनातील संकल्पना आहेत ज्यात अंतर्गत गतिशीलता खूप महत्वाची भूमिका बजावते. लेनेमच्या आधारे तयार केलेले मॉडेल वापरकर्ता स्तरावर सध्या अस्तित्वात असलेले तीन ज्ञान प्रस्तुतीकरण प्रतिमान एकत्र करणे शक्य करते:

1) तार्किक (उत्पादन आणि तार्किक मॉडेल);

2) स्ट्रक्चरल (सिमेंटिक नेटवर्क आणि फ्रेम);

3) प्रक्रियात्मक.

काही परिस्थितींसाठी, हे अतिशय सोयीचे आहे, कारण विविध प्रकारच्या ज्ञानाचा समावेश असलेल्या जटिल मॉडेल्सची अंमलबजावणी करताना, एका ज्ञानाच्या प्रतिनिधित्वाच्या भाषेत भिन्न संकल्पना एकत्र करणे आवश्यक आहे.

5)न्यूरल नेटवर्क, अनुवांशिक अल्गोरिदम . या मॉडेल्सचे काटेकोरपणे प्रायोगिक किंवा सैद्धांतिक दृष्टिकोन म्हणून वर्गीकरण केले जाऊ शकत नाही. बायोनिक दिशेने, आधी सांगितल्याप्रमाणे त्यांचे वर्गीकरण केले जाते. हे या गृहीतावर आधारित आहे की जर मानवी मेंदूची रचना आणि प्रक्रिया कृत्रिम प्रणालीमध्ये पुनरुत्पादित केली गेली तर अशा प्रणालीद्वारे समस्या सोडवण्याचे परिणाम एखाद्या व्यक्तीद्वारे प्राप्त झालेल्या परिणामांसारखेच असतील.

6) लॉजिक मॉडेल . तार्किक मॉडेलमधील सर्व माहिती त्यांना जोडणारी तथ्ये आणि विधानांचा संच मानली जाते, जी काही तर्कशास्त्रात सूत्र म्हणून सादर केली जाते. या प्रकरणात, ज्ञान समान विधानांच्या संचाच्या रूपात प्रस्तुत केले जाते, आणि निष्कर्ष काढणे आणि नवीन ज्ञान प्राप्त करणे हे तार्किक निष्कर्ष प्रक्रियेची अंमलबजावणी करण्यासाठी खाली येते. ही प्रक्रिया काटेकोरपणे औपचारिक केली जाऊ शकते, कारण ती गणितीय तर्कशास्त्राच्या शास्त्रीय उपकरणावर आधारित आहे.

गणितीय तर्कशास्त्रात गणितीय ज्ञानाचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, तार्किक औपचारिकता वापरली जातात - प्रस्तावित कॅल्क्युलस आणि प्रेडिकेट कॅल्क्युलस. या औपचारिकतांमध्ये स्पष्ट औपचारिक शब्दार्थ आहेत आणि त्यांच्यासाठी अनुमान यंत्रणा विकसित केली गेली आहे. म्हणून, प्रीडिकेट कॅल्क्युलस ही पहिली तार्किक भाषा होती जी लागू केलेल्या समस्या सोडवण्याशी संबंधित विषय क्षेत्रांचे औपचारिक वर्णन करण्यासाठी वापरली गेली.

प्रेडिकेट लॉजिकचा वापर करून ज्ञान प्रस्तुतीकरणाचे तार्किक मॉडेल लागू केले जातात. प्रीडिकेट हे विषय क्षेत्रासाठी परिभाषित केलेले तार्किक एन-एरी प्रपोझिशनल फंक्शन आहे आणि सत्य किंवा असत्यतेची मूल्ये घेतात.

उदाहरण लॉजिक मॉडेल:

द्या (मिखाईल, व्लादिमीर, पुस्तक);

($x) (ELEMENT (x, EVENT-GIVE) ? स्रोत (x, मायकेल) ? गंतव्य? (x, व्लादिमीर) ऑब्जेक्ट (x, पुस्तक).

येथे एक तथ्य रेकॉर्ड करण्याच्या दोन पद्धतींचे वर्णन केले आहे: "मिखाईलने व्लादिमीरला पुस्तक दिले."

तार्किक निष्कर्ष सिलोजिझम वापरून काढला जातो (जर B A वरून आणि C नंतर B वरून, C नंतर A वरून येतो).

7)संयोजन मॉडेल स्वतंत्र वस्तू, मर्यादित संच आणि त्यावर निर्दिष्ट केलेल्या क्रम संबंधांच्या विचारावर आधारित आहेत. कॉम्बिनेटरिक्सच्या चौकटीत, सर्व संभाव्य बदल, क्रमपरिवर्तन आणि दिलेल्या संचांमधील संयोजनांचा देखील विचार केला जातो, विशेषत: आलेख सिद्धांतासह, भिन्न गणिताची अधिक विस्तृत शाखा म्हणून समजली जाते.

कॉम्बिनेटोरियल मॉडेल्सचा वापर टोपोलॉजी समस्यांमध्ये (उदाहरणार्थ, पथ शोध), ऑटोमेटाच्या वर्तनाचा अंदाज लावण्याच्या समस्या, निर्णय वृक्षांच्या अभ्यासामध्ये आणि अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये केला जातो.

मुख्य समस्या या मॉडेलच्या व्याख्येमध्ये दर्शविली आहे: ती केवळ एकसंध संबंधांनी जोडलेल्या वेगळ्या वस्तू आणि मर्यादित संचांसह कार्य करते.

8) बीजगणित मॉडेल काही बीजगणितीय आदिमांच्या स्वरूपात ज्ञानाचे प्रतिनिधित्व सूचित करते, ज्यावर क्रियांचा एक संच परिभाषित केला जातो (त्यापैकी काही सारण्यांमध्ये निर्दिष्ट केल्या जाऊ शकतात). या स्वरूपात सादर केलेल्या ज्ञानाच्या संचासाठी, बीजगणितीय संचाचे नियम लागू होतात, जसे की औपचारिकीकरण, उपप्रणालींची व्याख्या आणि समतुल्य संबंध. सेटची साखळी बांधणे देखील शक्य आहे (ज्या सेटसाठी "सबसिस्टम असणे" च्या संबंधाचा क्रम परिभाषित केला जातो).

सुरुवातीला, समानता (समतुल्यता परिभाषित करून) तयार करण्यासाठी औपचारिक प्रणाली म्हणून अशा मॉडेलचा वापर करण्याचा हेतू होता. तथापि, या औपचारिक मॉडेलवर ज्ञानाचा संपूर्ण संच मॅप करणे फार कठीण आहे, म्हणून ही कल्पना सोडण्यात आली.

दुसरा दृष्टिकोन सैद्धांतिकदृष्ट्या आधारित म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो, निर्णयांच्या शुद्धतेची हमी देतो. हे मुख्यतः औपचारिक तर्कशास्त्र (प्रपोझिशनल कॅल्क्युलस, प्रिडिकेट कॅल्क्युलस), औपचारिक व्याकरण, संयोजक मॉडेल्स, मर्यादित प्रोजेक्टिव्ह भूमिती, आलेख सिद्धांत, टेन्सर आणि बीजगणित मॉडेल्सच्या विशिष्ट मॉडेल्सवर आधारित मॉडेलद्वारे प्रस्तुत केले जाते. या दृष्टिकोनाच्या चौकटीत, आत्तापर्यंत एका अरुंद विषय क्षेत्रातून फक्त तुलनेने सोप्या समस्या सोडवणे शक्य झाले आहे.

निष्कर्ष

आजपर्यंत, पुरेशा प्रमाणात मॉडेल आधीच विकसित केले गेले आहेत. त्यांच्यापैकी प्रत्येकाचे स्वतःचे साधक आणि बाधक आहेत आणि म्हणून प्रत्येक विशिष्ट कार्यासाठी आपल्याला आपले स्वतःचे मॉडेल निवडण्याची आवश्यकता आहे. हे कार्य पूर्ण करण्याची तितकी प्रभावीता निश्चित करणार नाही जितकी ते सोडवण्याची शक्यता आहे.

संदर्भग्रंथ

1. गॅव्ह्रिलोवा टी. ए., खोरोशेव्स्की व्ही. एफ. . इंटेलिजेंट सिस्टमचे ज्ञान बेस. पाठ्यपुस्तक. - सेंट पीटर्सबर्ग: पीटर, 2000.

2. डायकोनोव्ह व्ही.पी., बोरिसोव्ह ए.व्ही. कृत्रिम बुद्धिमत्तेची मूलभूत तत्त्वे.-स्मोलेन्स्क, 2007.

3. AI मध्ये ज्ञानाचे प्रतिनिधित्व // विकिपीडिया - मुक्त ज्ञानकोश [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]. URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/knowledge_representation(प्रवेश तारीख: 12/06/2011).

4. ज्ञानाचे सादरीकरणाचे मॉडेल // कृत्रिम बुद्धिमत्ता पोर्टल [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]. URL:http://www.aiportal.ru/articles(प्रवेश तारीख: 12/06/2011).

या प्रकरणात, आम्ही रेखीय प्रणालींचे मॉडेल आणि अशा मॉडेल्सच्या पॅरामीटराइज्ड सेटचे परीक्षण केले. जसजसे आपण ओळख पद्धतींच्या अभ्यासाकडे जातो तसतसे हे स्पष्ट होते की या मॉडेल्स आणि मॉडेल्सच्या संचांनी काही विशिष्ट आवश्यकता पूर्ण केल्या पाहिजेत. या विभागात आपण यापैकी काही औपचारिक आवश्यकता पाहू. नोटेशन सुलभ करण्यासाठी, सर्व विश्लेषणात्मक संबंध केवळ एक-आयामी मॉडेल्सच्या बाबतीत लिहिले जातील.

काही नोटेशन्स.या विभागात साधित केलेली सूत्रे लिहिण्यासाठी, काही संक्षिप्त नोटेशन सादर करणे सोयीचे आहे. प्रवेश करून

आपण फॉर्म्युला (4.1) फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू शकतो

मॉडेल स्ट्रक्चर (4.4) अशाच प्रकारे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते:

या मॉडेलसह (4.107), आम्ही एक-चरण अंदाज (3.54) साठी एक सूत्र लिहू शकतो, जे फॉर्ममध्ये रूपांतरित होते.

हे स्पष्ट आहे की फॉर्म्युला (4.111) दरम्यान एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित करतो

टिप्पणी. (4.107) पासून, -स्टेप प्रेडिक्टर (3.31) ची निवड श्रेयस्कर असू शकते. (4.112) सह सुसंगतता राखण्यासाठी, आम्ही (3.31) मॉडेलसाठी (3.22) एक-चरण प्रेडिक्टर म्हणून विचार करू शकतो.

मॉडेल्स.मॉडेल (4.1) च्या संबंधात, आम्ही आधीच लक्षात घेतले आहे की रेखीय प्रणालीचे मॉडेल विशेष परिभाषित ट्रान्सफर फंक्शन्सद्वारे आणि अंदाज त्रुटी X च्या भिन्नतेच्या रूपात संभाव्य जोडणीसह किंवा भविष्यवाणी त्रुटीच्या संभाव्यतेच्या घनतेसह तयार केले जाते. . परिच्छेदात 3.2 आणि 3.3 आम्ही निष्कर्ष काढला की अंतिम परिणाम भविष्यातील आउटपुट मूल्यांचा अंदाज लावण्यासाठी कोणते सूत्र वापरले जातात यावर अवलंबून आहे. मॉडेल (4.1) साठी एक-चरण अंदाज सूत्र (4.109) द्वारे निर्धारित केला जातो.

जरी, (4.112) च्या सद्गुणानुसार, प्रेडिक्टर (4.109) मॉडेल (4.107) शी एक-टू-वन पत्रव्यवहारात असला तरी, कनेक्शन (4.112) सैल करून मुख्य मॉडेल म्हणून सूत्र (4.109) स्वीकारणे चांगले होईल. . इतर गोष्टींबरोबरच, हे विभाग 5.4 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, नॉनलाइनर आणि नॉनस्टेशनरी मॉडेल्समध्ये थेट संक्रमणास अनुमती देईल. तर, मॉडेल म्हणजे काय याचा औपचारिक परिचय करून घेऊ.

व्याख्या 4.1. रेखीय, स्थिर प्रणालीचे भविष्य सांगणारे मॉडेल एक स्थिर फिल्टर आहे जे स्थिती (4.110) च्या अधीन राहून अंदाज (4.109) सूत्र निर्धारित करते.

संबंधांद्वारे परिभाषित केलेली स्थिरता आवश्यकता (2.27) (दोन्ही घटकांच्या संबंधात सूत्राच्या उजव्या बाजूच्या अस्पष्ट निर्धारासाठी आवश्यक आहे (4.109). जरी स्टोकॅस्टिक रचनांच्या बाहेर निश्चितपणे विचार केल्यास भविष्यसूचक मॉडेल्सचा अर्थ होतो (हे आधीच नोंदवले गेले आहे) विभाग 3.3 मध्ये), मॉडेल्सचा विचार करणे देखील उपयुक्त आहे, जे संबंधित अंदाज त्रुटी (अद्यतन) चे विशिष्ट गुणधर्म निर्दिष्ट करतात.

व्याख्या 4.2. रेखीय, स्थिर प्रणालीचे संपूर्ण संभाव्य मॉडेल म्हणजे एक जोडी आहे ज्यामध्ये भविष्यसूचक मॉडेल आणि संबंधित भविष्यवाणी त्रुटींची संभाव्यता घनता असते.

हे स्पष्ट आहे की एक मॉडेल देखील विचारात घेऊ शकतो ज्यामध्ये संभाव्यता वितरण केवळ अंशतः निर्दिष्ट केले आहे (उदाहरणार्थ, त्रुटी भिन्नतेद्वारे).

या विभागात आम्ही केवळ भविष्यसूचक मॉडेल्सचा विचार करू. संभाव्य मॉडेल्ससाठी मूलभूत रचना समानतेवर आधारित आहेत.

आम्ही म्हणू की दोन मॉडेल्स एकमेकांच्या समान आहेत जर

k स्टेप्स (पुढे) साठी प्रेडिक्टिव मॉडेल म्हटले जाईल जर

आउटपुट एरर मॉडेलवर (किंवा सिम्युलेशन मॉडेल) जर

लक्षात घ्या की व्याख्या प्रेडिक्टरवर स्थिरतेची आवश्यकता लादते. याचा अर्थ असा नाही की सिस्टमची गतिशीलता स्वतःच स्थिर आहे.

उदाहरण 4.4. अस्थिर यंत्रणा.

असे गृहीत धरू

दुसऱ्या शब्दांत, मॉडेलचे वर्णन समीकरणाद्वारे केले जाते

आणि आणि आणि y मधील कनेक्शनची गतिशीलता स्थिर नाही. तथापि, प्रेडिक्टरमध्ये ट्रान्सफर फंक्शन्स असे लिहिलेले आहेत

जे स्पष्टपणे व्याख्या 4.1 ची स्थिती पूर्ण करते.

बरेच मॉडेल.व्याख्या 4.1 रेखीय प्रणालीच्या एका विशिष्ट मॉडेलचे वर्णन करते. ओळख कार्य हे मॉडेल परिभाषित करणे आहे. योग्य मॉडेलचा शोध सहसा अनेक उमेदवार मॉडेल्सवर आयोजित केला जाईल. मॉडेलचा संच म्हणून परिभाषित करणे अगदी स्वाभाविक आहे

हा आधीपासून मॉडेल्सचा एक संच आहे, ज्यापैकी प्रत्येक परिभाषा 4.1 चे समाधान करते, आमच्या बाबतीत अनुक्रमणिका a सह चिन्हांकित केले आहे, ज्याची मूल्ये सेट A मधून चालतात.

मॉडेलचा एक सामान्य संच असू शकतो

म्हणजे, व्याख्या 4.1 चे समाधान करणारी सर्व रेखीय मॉडेल्स, किंवा

किंवा मॉडेलचा मर्यादित संच

ते म्हणतात की मॉडेलचे दोन संच समान आहेत जर कोणत्याही मॉडेलसाठी मॉडेल असेल तर, जे (पहा (4.113)) आणि त्याउलट.

मॉडेल स्ट्रक्चर्स: मॉडेल सेटचे पॅरामीटरायझेशन.बर्याचदा, मानले जाणारे मॉडेलचे संच अगणित आहेत. हे संच सर्वोत्कृष्ट मॉडेल्स शोधण्यासाठी वापरले जाणार असल्याने, मॉडेल्सची गणना करण्यासाठी स्थापित पद्धत स्वारस्यपूर्ण आहे. मूळ कल्पना म्हणजे एका चांगल्या श्रेणीवर गुळगुळीत पद्धतीने एका संचाचे पॅरामीटराइज (इंडेक्स) करणे आणि पॅरामीटर्सच्या संचावर (इंडेक्स) शोधणे. आपण असे गृहीत धरू की मॉडेल्स A-मितीय वेक्टरसह अनुक्रमित आहेत:

गुळगुळीतपणाची संकल्पना औपचारिक करण्यासाठी, आम्हाला आवश्यक आहे की फंक्शन कोणत्याही दिलेल्या 0 च्या संदर्भात भिन्न असणे आवश्यक आहे.

मॅट्रिक्स. अशा प्रकारे, अंदाज ग्रेडियंट द्वारे दिला जातो

शोध प्रक्रियेदरम्यान फिल्टरची गणना आणि वापर केला जाणार असल्याने, त्यांची स्थिरता आवश्यक आहे. परिणामी, आम्ही खालील व्याख्येवर येतो.

व्याख्या 4.3. मॉडेल स्ट्रक्चर हे स्पेसच्या कनेक्ट केलेल्या ओपन सबसेटपासून मॉडेल्सच्या संचापर्यंत भिन्न मॅपिंग आहे जसे की प्रेडिक्टर फंक्शन्सचे ग्रेडियंट स्थिर असतात. गणितीयदृष्ट्या, ही व्याख्या साखळी म्हणून लिहिली जाते

या प्रकरणात, सूत्र (4.118) मधील फिल्टर अस्तित्वात आहे आणि त्यासाठी स्थिर आहे अशा प्रकारे, चिन्ह पॅरामीटरच्या मूल्याशी संबंधित विशिष्ट मॉडेल दर्शवेल, डिस्प्लेसाठीच पदनाम जतन करेल.

टिप्पणी. सेटच्या मोकळेपणाची आवश्यकता सूत्रांमध्ये डेरिव्हेटिव्ह्जची अस्पष्ट व्याख्या सुनिश्चित करते (4-118). मॉडेल स्ट्रक्चर्स वापरताना, काहीवेळा न उघडलेले सेट अधिक श्रेयस्कर असू शकतात हे स्पष्ट आहे की जर ते काही खुल्या सेटमध्ये असतील ज्यावर संबंध (4.118) परिभाषित केले आहेत, तर कोणतीही समस्या उद्भवणार नाही. भिन्नता

विभेदनीय मॅनिफोल्ड्सवरील जागेच्या खुल्या उपसंचांपेक्षा अधिक जटिल वर देखील परिभाषित केले जाऊ शकते (पहा, उदाहरणार्थ,). या प्रकरणाच्या संदर्भग्रंथावरील टिप्पण्यांमध्ये अतिरिक्त टिप्पण्या आढळू शकतात.

उदाहरण 4.5. ARX ​​संरचना.

एआरएक्स मॉडेलचा विचार करा

भविष्यवाणी करणारा सूत्र (4.10) द्वारे निर्धारित केला जातो, ज्यामध्ये या प्रकरणात फॉर्म असतो

मॉडेलचे पॅरामीटराइज्ड सेट ज्याचा आम्ही या प्रकरणात थेट अभ्यास केला आहे ते फॉर्म (4.4) मध्ये लिहिलेले आहेत आणि या प्रकरणात

किंवा (4.108) वापरून

(4.111) च्या सद्गुणाद्वारे हे त्वरित सत्यापित केले जाते

मग भिन्नतेपासून भिन्नता येते

हे समजले पाहिजे की या प्रकरणात चर्चा केलेली अक्षरशः सर्व पॅरामीटरायझेशन्स व्याख्या 4.3 च्या अर्थाने मॉडेल स्ट्रक्चर्स आहेत. विशेषतः, खालील लेमा सत्य आहे.

लेमा ४.१. पॅरामीटरायझेशन (4.35) व्हेक्टर इन फ्रॉम फॉर्म्युलासह (4.41) प्रदेशाशी संबंधित असलेल्या ओपन युनिट वर्तुळाच्या बाहेर शून्य नाही) एक मॉडेल रचना आहे.

पुरावा. तुम्हाला फक्त फंक्शन पॅरामीटरनुसार ग्रेडियंट असल्याची खात्री करणे आवश्यक आहे

सर्वांसाठी विश्लेषणात्मक कार्ये आहेत परंतु हे लगेचच या वस्तुस्थितीचे अनुसरण करते (उदाहरणार्थ, साठी

लेमा ४.२. स्टेट स्पेसमधील पॅरामीटरायझेशनचा विचार करूया (4.88). आपण असे गृहीत धरू की मॅट्रिक्स आणि घटकानुसार भिन्न आहेत

नुसार v. ते कुठे गृहीत धरू

मग संबंधित प्रेडिक्टरचे पॅरामीटरायझेशन म्हणजे मॉडेल स्ट्रक्चर.

पुरावा. समस्या पहा

लक्षात ठेवा की जर मॅट्रिक्स समीकरण (4.84) ​​चे समाधान म्हणून आढळले असेल तर, कालमन फिल्टरच्या नेहमीच्या गुणधर्मामुळे (पहा)

इतर मॉडेल स्ट्रक्चर्सचा संदर्भ देताना, आम्ही खालील व्याख्या वापरू.

व्याख्या 4.4. ते म्हणतात की मॉडेल स्ट्रक्चरमध्ये मॉडेल रचना समाविष्ट आहे आणि लिहा

जर C आणि मॅपिंग एका संचाच्या निर्बंधाने प्राप्त केले असेल तर पूर्ण करण्याची सर्वात सामान्य परिस्थिती (4.124) अशी असेल जेव्हा ते ऑर्डरचे मॉडेल आणि nth ऑर्डरचे मॉडेल ठरवते काही पॅरामीटर्स निश्चित करून सेट करा (सामान्यतः त्यांना शून्यावर सेट करून).

कधीकधी मॉडेल स्ट्रक्चर्सची खालील वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म उपयुक्त ठरतात.

व्याख्या 4.5. मॉडेल स्ट्रक्चरमध्ये स्वतंत्रपणे पॅरामीटराइज्ड ट्रान्सफर फंक्शन आणि नॉइज मॉडेल असल्यास असे म्हटले जाते

लक्षात घ्या की कुटुंबाचे एक विशेष प्रकरण (4.33), जेव्हा ते स्वतंत्र पॅरामीटरायझेशनशी संबंधित असते

मर्यादित मॉडेल स्ट्रक्चर्सबद्दल एक टीप कधीकधी उमेदवार मॉडेल्सचा संच मर्यादित असतो (पहा. अशा परिस्थितीत आता मूल्यांचा मर्यादित संच घेताना पॅरामीटर वेक्टर वापरून संच अनुक्रमित करणे इष्ट असू शकते. जरी असे बांधकाम याद्वारे पात्र होऊ शकत नाही. मॉडेल स्ट्रक्चर म्हणून व्याख्या 4.3, हे लक्षात घ्यावे की परिच्छेद 7.1-7.4 मधील अंदाज प्रक्रिया आणि परिच्छेद 8.1-8.5 मधील संबंधित अभिसरण परिणाम देखील या प्रकरणात अर्थपूर्ण ठरतील.

मॉडेल संरचनेच्या मूल्यांची श्रेणी म्हणून मॉडेलचा संच.मॉडेल संरचनेच्या मूल्यांचा संच मॉडेलचा संच स्पष्टपणे परिभाषित करतो:

आयडेंटिफिकेशन थिअरीमध्ये, एक महत्त्वपूर्ण कार्य म्हणजे मॉडेल स्ट्रक्चर शोधणे ज्याच्या मूल्यांची श्रेणी दिलेल्या मॉडेलच्या संचाशी जुळते. हे कार्य कधीकधी सोपे असते, आणि कधीकधी अत्यंत क्षुल्लक नसते.

उदाहरण 4.6. पॅरामीटरायझेशन

जर आपण ठेवले तर सूत्राने परिभाषित केलेल्या संचाचा विचार करा

मग हे स्पष्ट आहे की तयार केलेल्या मॉडेलच्या संरचनेत मूल्यांची श्रेणी असते जी

नियमानुसार, मॉडेल्सचा दिलेला संच अनेक भिन्न मॉडेल संरचनांच्या मूल्यांच्या श्रेणीद्वारे दर्शविला जाऊ शकतो (समस्या 4E.6 आणि 4E.9 पहा).

मॉडेल स्ट्रक्चर्सच्या श्रेणींचे संघटन म्हणून मॉडेलचा संच.शेवटच्या उदाहरणात, दिलेल्या मॉडेलच्या सेटसाठी, मूल्यांच्या योग्य श्रेणीसह मॉडेल रचना निवडणे शक्य होते. आम्हाला अजूनही मॉडेलचे संच भेटतील ज्यासाठी हे अशक्य आहे, किमान इच्छित ओळखता गुणधर्म असलेल्या मॉडेल स्ट्रक्चर्समध्ये. अशा समस्यांमधून बाहेर पडण्याचा मार्ग म्हणजे मॉडेलच्या संचाचे वर्णन अनेक भिन्न मॉडेल स्ट्रक्चर्सच्या श्रेणींचे एकीकरण म्हणून करणे:

ही कल्पना आहे जी अनेक आउटपुट सिग्नलसह रेखीय प्रणालीचे वर्णन करण्याच्या विशेष प्रकरणात अंमलात आणली जाते. परिशिष्ट 4A मध्ये ही प्रक्रिया तपशीलवार आहे. आम्ही येथे फक्त हे लक्षात ठेवू की रिलेशन (4.126) द्वारे वर्णन केलेल्या मॉडेल्सचे संच वेगवेगळ्या ऑर्डरच्या मॉडेल्ससह काम करताना देखील उपयुक्त आहेत आणि कमीतकमी अस्पष्टपणे, जेव्हा इच्छित मॉडेलचा क्रम आधीच माहित नसतो तेव्हा असे सेट वापरले जातात आणि निश्चित करणे आवश्यक आहे.

ओळखण्यायोग्य गुणधर्म.आयडेंटिफायबिलिटी ही आयडेंटिफिकेशन थिअरीमधील एक मध्यवर्ती संकल्पना आहे. स्पष्टपणे सांगायचे तर, प्रश्न हा आहे की ओळख प्रक्रिया एखाद्याला पॅरामीटरचे मूल्य निःसंदिग्धपणे निर्धारित करण्यास अनुमती देते आणि/किंवा परिणामी मॉडेल वास्तविक प्रणालीशी जुळते की नाही. आम्ही या विषयावर एका वेगळ्या प्रकरणात अधिक तपशीलवार स्पर्श करू (परिच्छेद 8.2 आणि 8.3 पहा). यामध्ये, विशेषतः, डेटाचा संच (प्रायोगिक परिस्थिती) विविध मॉडेल्समधील फरक ओळखणे आणि स्वतः मॉडेल स्ट्रक्चर्सच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणे शक्य करण्यासाठी पुरेसे माहितीपूर्ण आहे की नाही या प्रश्नाचा समावेश आहे. शिवाय, जर डेटा भिन्न मॉडेल्समध्ये फरक करण्यासाठी पुरेसा माहितीपूर्ण असेल, तर पुढील प्रश्न उद्भवतो: एकसारखे मॉडेल वेगवेगळ्या मूल्यांशी सुसंगत असू शकतात का स्वीकृत शब्दावलीमध्ये, शेवटचा प्रश्न A च्या मॉडेल स्ट्रक्चरच्या अपरिवर्तनीयतेशी संबंधित आहे. , मॅपिंगची इंजेक्टिव्हिटी). आता आपण अशा रिव्हर्सिबिलिटी गुणधर्मांशी संबंधित काही संकल्पनांवर चर्चा करू. खालील सादरीकरण परिच्छेदातील सामग्रीद्वारे पूरक आहे. 8.2 आणि 8.3.