การเคลื่อนไหวของร่างกายถูกโยนเป็นมุม การเคลื่อนไหวของร่างที่พุ่งไปที่ขอบฟ้า! จลนศาสตร์เป็นเรื่องง่าย

เหลือเวลาอีก 3 วินาทีในการสิ้นสุดการแข่งขันบาสเกตบอลนัดสุดท้ายของการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกมิวนิกปี 1972 ชาวอเมริกัน - ทีมสหรัฐฯ - กำลังฉลองชัยชนะอยู่แล้ว! ทีมของเรา - ทีมชาติสหภาพโซเวียต - ชนะประมาณ 10 แต้มกับทีมในฝันอันยิ่งใหญ่...

ไม่กี่นาทีก่อนจบการแข่งขัน แต่เมื่อสูญเสียความได้เปรียบทั้งหมดไปในที่สุด เธอเสียแต้มหนึ่งไปแล้ว 49:50 สิ่งที่เกิดขึ้นต่อไปนั้นช่างเหลือเชื่อ! Ivan Edeshko ขว้างลูกบอลจากด้านหลังเส้นท้ายข้ามพื้นที่ทั้งหมดภายใต้วงแหวนของชาวอเมริกัน โดยที่ Alexander Belov ศูนย์กลางของเรารับลูกบอลที่ล้อมรอบด้วยฝ่ายตรงข้ามสองคนแล้ววางลงในตะกร้า 51:50 - พวกเราคือแชมป์โอลิมปิก!!!

ตอนนั้นฉันเป็นเด็ก ฉันมีประสบการณ์กับอารมณ์ที่รุนแรงที่สุด - ความผิดหวังและความขุ่นเคืองในครั้งแรก จากนั้นก็เป็นความสุขอย่างบ้าคลั่ง! ความทรงจำทางอารมณ์ของตอนนี้ถูกจารึกไว้ในใจของฉันไปตลอดชีวิต! ดูวิดีโอบนอินเทอร์เน็ตสำหรับคำขอ "โยนทองของ Alexander Belov" คุณจะไม่เสียใจ

ชาวอเมริกันไม่ยอมรับความพ่ายแพ้และปฏิเสธที่จะรับเหรียญเงิน เป็นไปได้ไหมที่จะทำในสามวินาทีตามที่ผู้เล่นของเราทำ? มาจำฟิสิกส์กันเถอะ!

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาการเคลื่อนไหวของวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า สร้างโปรแกรม Excel เพื่อแก้ปัญหานี้ด้วยการรวมข้อมูลเริ่มต้นที่หลากหลาย และพยายามตอบคำถามข้างต้น

นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในวิชาฟิสิกส์ ในกรณีของเรา ร่างกายที่พุ่งไปที่ขอบฟ้าคือบาสเก็ตบอล เราจะคำนวณความเร็ว เวลา และวิถีเริ่มต้นของลูกบอลที่โยนข้ามคอร์ทโดย Ivan Edeshko และตกไปอยู่ในมือของ Alexander Belov

คณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของการบินบาสเก็ตบอล

สูตรด้านล่างและการคำนวณในเก่งเป็นสากลสำหรับปัญหาที่หลากหลายเกี่ยวกับวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าและบินไปตามวิถีพาราโบลาโดยไม่คำนึงถึงผลกระทบของแรงเสียดทานของอากาศ

รูปแบบการคำนวณแสดงในรูปด้านล่าง เรียกใช้ MS Excel หรือ OOo Calc

ข้อมูลเบื้องต้น:

1. เนื่องจากเราอยู่บนดาวเคราะห์โลกและกำลังพิจารณาปัญหาเรื่องขีปนาวุธ - การเคลื่อนไหวของวัตถุในสนามแรงโน้มถ่วงของโลก อันดับแรกเราจึงเขียนลักษณะสำคัญของสนามโน้มถ่วง - ความเร่งการตกอย่างอิสระ gในหน่วย m/s 2

ไปยังเซลล์ D3: 9,81

2. ขนาดสนามบาสเก็ตบอล ยาว 28 เมตร กว้าง 15 เมตร ระยะการบินของลูกบอลเกือบข้ามคอร์ทถึงวงแหวนจากเส้นท้ายฝั่งตรงข้ามในแนวนอน xเขียนเป็นเมตร

ไปยังเซลล์ D4: 27,000

3. หากเราคิดว่า Edeshko โยนจากความสูงประมาณสองเมตรและ Belov จับลูกบอลที่ไหนสักแห่งที่ระดับของวงแหวนจากนั้นด้วยความสูงของห่วงบาสเก็ตบอล 3.05 เมตรระยะห่างระหว่างจุดออกและการมาถึงของ ลูกบอลจะอยู่ในแนวตั้ง 1 เมตร ลองเขียนการกระจัดในแนวตั้งกัน yหน่วยเป็นเมตร

ไปยังเซลล์ D5: 1,000

4. ตามการวัดของฉันในวิดีโอ มุมของการออกของลูกบอล α 0 จากมือของ Edeshko ไม่เกิน 20 ° ใส่ค่านี้

ไปยังเซลล์ D6: 20,000

ผลการคำนวณ:

สมการพื้นฐานที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่โยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ:

x =v0* cos α 0 *t

y =v0*บาป α 0 *t -g *t 2 /2

5. มาแสดงเวลากันเถอะ tจากสมการแรก เปลี่ยนเป็นสมการที่สองแล้วคำนวณความเร็วเริ่มต้นของลูกบอล วี 0 ในหน่วย m/s

ในเซลล์ D8: =(D3*D4^2/2/COS (เรเดียน(D6))^2/(D4*TAN (เรเดียน(D6))-D5))^0.5 =21,418

v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0.5

6. เวลาส่งบอลจากมือของ Edeshko ถึงมือของ Belov tคำนวณเป็นวินาที รู้ทันที วี 0 , จากสมการแรก

ในเซลล์ D9: =D4/D8/COS (เรเดียน(D6)) =1,342

t = x /(วี 0 * cosα 0 )

7. หามุมของความเร็วของลูกบอล α ผมในจุดที่เราสนใจ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการคู่เริ่มต้นในรูปแบบต่อไปนี้:

y =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*วี 0 2*(cosα 0 ) 2)

นี่คือสมการของพาราโบลา - เส้นทางการบิน

เราต้องหามุมเอียงของเส้นสัมผัสกับพาราโบลา ณ จุดที่เราสนใจ - นี่จะเป็นมุม α ผม. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ หาอนุพันธ์ ซึ่งเป็นแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์:

คุณ =tgα 0 -g *x /(วี 0 2*(cosα 0 ) 2)

คำนวณมุมของการมาถึงของลูกบอลในมือของ Belov α ผมเป็นองศา

ในเซลล์ D10: =ATAN (TAN (เรเดียน(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (เรเดียน(D6))^2)/PI()*180 =-16,167

α ผม = arctgy ’ = arctg(tgα 0 — g * x /(วี 0 2 *(cosα 0 ) 2))

ตามหลักการแล้วการคำนวณใน excel เสร็จสมบูรณ์

ตัวเลือกการชำระเงินอื่นๆ:

เมื่อใช้โปรแกรมที่เขียนขึ้น คุณสามารถทำการคำนวณร่วมกับข้อมูลเริ่มต้นอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย

ให้, กำหนดแนวนอน x = 27 เมตร , แนวตั้ง y = ระยะการบิน 1 เมตรและความเร็วเริ่มต้น วี 0 = 25 เมตร/วินาที

จำเป็นต้องค้นหาเวลาเที่ยวบิน tและมุมออกเดินทาง α 0 และการมาถึง α ผม

มาใช้บริการ MS Excel "การเลือกพารามิเตอร์" ฉันได้อธิบายวิธีใช้งานอย่างละเอียดหลายครั้งในบทความบล็อกหลายฉบับ คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้บริการนี้

เราตั้งค่าในเซลล์ D8 เป็น 25,000 โดยเปลี่ยนการเลือกค่าในเซลล์ D6 ผลลัพธ์อยู่ในรูปด้านล่าง

ข้อมูลเริ่มต้นในเวอร์ชันนี้ของการคำนวณใน excel (เช่นเดียวกับในก่อนหน้า) จะถูกเน้นในกรอบสีน้ำเงิน และผลลัพธ์จะถูกวงกลมในกรอบสี่เหลี่ยมสีแดง!

จัดโต๊ะเก่งค่าที่น่าสนใจในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งที่มีการเติมสีเหลืองอ่อนโดยการเลือกค่าที่เปลี่ยนแปลงในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งที่มีการเติมสีเทอร์ควอยซ์อ่อน ในกรณีทั่วไป คุณจะได้รับตัวเลือกสิบตัวเลือกที่แตกต่างกันสำหรับการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของ ร่างพุ่งเป็นมุมสู่ขอบฟ้าด้วยแหล่งข้อมูลสิบชุดที่แตกต่างกัน !!!

ตอบคำถาม:

มาตอบคำถามที่โพสต์ไว้ตอนต้นของบทความกัน ลูกบอลที่ส่งโดย Ivan Edeshko บินไปที่ Belov ตามการคำนวณของเราใน 1.342 วินาที Alexander Belov จับลูกบอล ตกลงพื้น กระโดดขึ้นแล้วขว้าง ทั้งหมดนี้เขามี "ทะเล" ของเวลา - 1.658 วินาที! นี่เป็นเวลาเพียงพอจริงๆ กับระยะขอบ! มุมมองรายละเอียดของวิดีโอแบบเฟรมต่อเฟรมยืนยันข้างต้น สามวินาทีก็เพียงพอแล้วสำหรับผู้เล่นของเราในการส่งบอลจากแนวหน้าไปยังกระดานหลังของฝ่ายตรงข้ามแล้วโยนลงสังเวียน เขียนชื่อของพวกเขาในประวัติศาสตร์บาสเก็ตบอลด้วยทองคำ!

ฉันขอ เคารพ ผลงานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับบทความประกาศ!

จลนศาสตร์เป็นเรื่องง่าย!

หลังจากการขว้าง ขณะบิน แรงโน้มถ่วงจะกระทำต่อร่างกาย ฟุตและแรงต้านอากาศ Fc.
หากการเคลื่อนที่ของร่างกายเกิดขึ้นที่ความเร็วต่ำ แรงต้านอากาศมักจะไม่นำมาพิจารณาเมื่อทำการคำนวณ
ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าแรงโน้มถ่วงเท่านั้นที่กระทำต่อร่างกาย ซึ่งหมายความว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนคือ ตกฟรี.
ถ้านี่เป็นการตกอย่างอิสระ ความเร่งของตัวที่โยนก็เท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ g.
ที่ระดับความสูงต่ำเมื่อเทียบกับพื้นผิวโลก แรงโน้มถ่วง Ft แทบไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นร่างกายจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่

ดังนั้น การเคลื่อนไหวของวัตถุที่ทำมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าจึงเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของการตกอย่างอิสระ กล่าวคือ การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่และวิถีโคจรเป็นเส้นตรง(เนื่องจากเวกเตอร์ความเร็วและความเร่งไม่ตรงกันในทิศทาง)

สูตรของการเคลื่อนไหวนี้ในรูปแบบเวกเตอร์: วิถีของร่างกายคือพาราโบลานอนอยู่ในระนาบที่ผ่านเวกเตอร์ Fт และ Vo .
จุดกำเนิดของวัตถุที่ถูกโยนมักจะถูกเลือกเป็นจุดกำเนิดของพิกัด

การเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายไปในทิศทางเดียวกับความเร่งในทุกช่วงเวลา

เวกเตอร์ความเร็วของวัตถุที่จุดใด ๆ ของวิถีสามารถแบ่งออกเป็น 2 องค์ประกอบ: เวกเตอร์ V x และเวกเตอร์ V y
ความเร็วของร่างกายจะถูกกำหนดเป็นผลรวมทางเรขาคณิตของเวกเตอร์เหล่านี้ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง:

ตามรูป การฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วบนแกนพิกัด OX และ OY มีลักษณะดังนี้:

การคำนวณความเร็วของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง:

การคำนวณการกระจัดของร่างกายในเวลาใดก็ได้:

แต่ละจุดของวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายสอดคล้องกับพิกัด X และ Y:

สูตรการคำนวณสำหรับพิกัดของวัตถุที่ถูกโยนเมื่อใดก็ได้:

จากสมการการเคลื่อนที่ สามารถรับสูตรสำหรับการคำนวณช่วงการบินสูงสุด L:

และระดับความสูงสูงสุดของเที่ยวบิน H:

ป.ล.
1. ด้วยความเร็วเริ่มต้นเท่ากัน Vo ช่วงการบิน:
- เพิ่มขึ้นหากมุมขว้างเริ่มต้นเพิ่มขึ้นจาก 0 o เป็น 45 o ,
- ลดลงหากมุมการขว้างเริ่มต้นเพิ่มขึ้นจาก 45 o เป็น 90 o

2. ด้วยมุมการขว้างครั้งแรกที่เท่ากัน ระยะการบิน L จะเพิ่มขึ้นตามความเร็วเริ่มต้น Vo ที่เพิ่มขึ้น

3. กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ทำมุมกับขอบฟ้าคือ การเคลื่อนไหวของร่างกายโยนในแนวนอนในขณะที่มุมขว้างเริ่มต้นเป็นศูนย์

การตกอย่างอิสระคืออะไร? นี่คือการล่มสลายของร่างกายสู่พื้นโลกโดยปราศจากแรงต้านของอากาศ กล่าวอีกนัยหนึ่งตกลงไปในความว่างเปล่า แน่นอน การไม่มีแรงต้านของอากาศเป็นสุญญากาศที่ไม่สามารถพบได้บนโลกภายใต้สภาวะปกติ ดังนั้นเราจะไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศโดยพิจารณาว่ามีขนาดเล็กมากจนละเลยได้

ความเร่งของแรงโน้มถ่วง

จากการทดลองที่มีชื่อเสียงของเขาบนหอเอนเมืองปิซา กาลิเลโอ กาลิเลอีพบว่าร่างกายทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงมวลของพวกมัน ตกลงสู่พื้นโลกในลักษณะเดียวกัน นั่นคือ สำหรับทุกร่างกาย ความเร่งของการตกอย่างอิสระจะเท่ากัน ตามตำนานเล่าว่านักวิทยาศาสตร์ได้ขว้างลูกบอลจำนวนมากออกจากหอคอย

ความเร่งของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของการตกอย่างอิสระ - ความเร่งที่วัตถุทั้งหมดตกลงสู่พื้นโลก

ความเร่งจากการตกอย่างอิสระมีค่าประมาณ 9.81 m s 2 และเขียนแทนด้วยตัวอักษร g บางครั้ง เมื่อความแม่นยำไม่สำคัญโดยพื้นฐาน ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะถูกปัดเศษขึ้นเป็น 10 ม. s 2 .

โลกไม่ใช่ทรงกลมที่สมบูรณ์แบบ และที่จุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก ค่าของ g จะแตกต่างกันไปตามพิกัดและความสูงเหนือระดับน้ำทะเล ดังนั้น ความเร่งการตกอย่างอิสระที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่เสา (≈ 9, 83 m s 2) และที่เล็กที่สุดอยู่ที่เส้นศูนย์สูตร (≈ 9, 78 m s 2) .

ร่างกายตกอย่างอิสระ

พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการตกอย่างอิสระ ให้ร่างบางตกจากที่สูง h ด้วยความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ สมมติว่าเรายกเปียโนขึ้นสูง h และปล่อยมันไปอย่างสงบ

การตกอย่างอิสระ - การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ ให้กำหนดแกนพิกัดจากจุดตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกายไปยังโลก คุณสามารถเขียนสูตรของจลนศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่ที่เร่งความเร็วสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงได้

ชั่วโมง = วี 0 + ก. เสื้อ 2 2 .

เนื่องจากความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ เราจึงเขียนใหม่:

จากนี้ไปพบนิพจน์สำหรับเวลาที่ร่างกายตกลงมาจากที่สูง ชั่วโมง:

โดยคำนึงถึงว่า v \u003d g t เราพบความเร็วของร่างกายในเวลาที่ตกนั่นคือความเร็วสูงสุด:

v = 2 ชม. · ก. = 2 ชม. ก.

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่พุ่งขึ้นไปในแนวตั้งด้วยความเร็วเริ่มต้นที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น เราโยนลูกบอลขึ้น

ให้แกนพิกัดพุ่งขึ้นไปในแนวตั้งจากจุดโยนร่างกาย คราวนี้ร่างกายเคลื่อนไหวช้าสม่ำเสมอสูญเสียความเร็ว ที่จุดสูงสุด ความเร็วของร่างกายจะเป็นศูนย์ โดยใช้สูตรจลนศาสตร์ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

แทนที่ v = 0 เราพบเวลาที่ร่างกายจะสูงขึ้นถึงความสูงสูงสุด:

เวลาตกจะตรงกับเวลาขึ้น และร่างกายจะกลับสู่พื้นโลกหลังจาก t = 2 v 0 g .

ความสูงสูงสุดของลำตัวในแนวตั้ง:

ลองมาดูที่รูปด้านล่าง แสดงกราฟอัตราเร็วของการเคลื่อนที่ 3 กรณีด้วยความเร่ง a = - g ลองพิจารณาแต่ละรายการหลังจากระบุว่าในตัวอย่างนี้ ตัวเลขทั้งหมดถูกปัดเศษ และความเร่งของการตกอย่างอิสระจะเท่ากับ 10 ม. 2 .

กราฟแรกเป็นการตกของวัตถุจากความสูงระดับหนึ่งโดยไม่มีความเร็วต้น เวลาตก t p = 1 วินาที ง่ายที่จะได้รับจากสูตรและจากกราฟว่าความสูงที่ร่างกายตกลงมานั้นเท่ากับ h = 5 ม.

กราฟที่สองคือการเคลื่อนที่ของวัตถุที่พุ่งขึ้นไปในแนวตั้งด้วยความเร็วเริ่มต้น v 0 = 10 m s ความสูงยกสูงสุด h = 5 m. เวลาขึ้นและลง t p = 1 s.

กราฟที่สามคือความต่อเนื่องของกราฟแรก วัตถุที่ตกลงมาจะกระเด้งออกจากพื้นผิวและความเร็วของมันเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงข้ามอย่างกะทันหัน การเคลื่อนไหวเพิ่มเติมของร่างกายสามารถพิจารณาได้ตามกราฟที่สอง

ปัญหาการตกอย่างอิสระของร่างกายมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับปัญหาของการเคลื่อนไหวของวัตถุที่โยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า ดังนั้น การเคลื่อนที่ตามแนววิถีพาราโบลาสามารถแสดงเป็นผลรวมของการเคลื่อนไหวอิสระสองอย่างเกี่ยวกับแกนแนวตั้งและแนวนอน

ตามแกน O Y ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่ง g ความเร็วเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวนี้คือ v 0 y การเคลื่อนที่ตามแนวแกน OX มีความสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง โดยมีความเร็วเริ่มต้น v 0 x .

เงื่อนไขการเคลื่อนที่ตามแนวแกน OX:

x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; x = 0 .

เงื่อนไขการเคลื่อนที่ตามแนวแกน O Y:

y 0 = 0; v 0 y = v 0 บาป α ; y = - ก.

เรานำเสนอสูตรสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ทำมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า

เวลาบินของร่างกาย:

เสื้อ = 2 v 0 บาป α ก.

ช่วงการบินของร่างกาย:

L \u003d v 0 2 บาป 2 α g.

ระยะการบินสูงสุดทำได้ที่มุม α = 45°

L m a x = v 0 2 g .

ความสูงยกสูงสุด:

ชั่วโมง \u003d v 0 2 บาป 2 α 2 ก.

โปรดทราบว่าในสภาพจริง การเคลื่อนไหวของวัตถุที่ทำมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าสามารถเป็นไปตามวิถีที่แตกต่างจากพาราโบลาเนื่องจากแรงต้านของอากาศและลม การศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนในอวกาศเป็นวิทยาศาสตร์พิเศษ - ขีปนาวุธ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หากร่างกายถูกโยนไปที่ขอบฟ้า แรงโน้มถ่วงและแรงต้านของอากาศจะได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงในขณะบิน หากละเลยแรงต้าน แรงที่เหลืออยู่ก็คือแรงโน้มถ่วง ดังนั้นเนื่องจากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน ร่างกายจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ การคาดคะเนความเร่งบนแกนพิกัด ax = 0, ay = - g.

รูปที่ 1 ลักษณะทางจลนศาสตร์ของวัตถุที่ทำมุมกับขอบฟ้า

การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของจุดวัสดุสามารถแสดงเป็นการกำหนดการเคลื่อนไหวอิสระตามแกนพิกัด และในทิศทางของแกนที่แตกต่างกัน ประเภทของการเคลื่อนไหวอาจแตกต่างกัน ในกรณีของเรา การเคลื่อนที่ของวัตถุที่บินสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวอิสระสองแบบ: การเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามแกนนอน (แกน X) และการเคลื่อนที่ที่เร่งอย่างสม่ำเสมอตามแกนแนวตั้ง (แกน Y) (รูปที่ 1) .

การคาดคะเนความเร็วของร่างกายจึงเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ $v_0$ คือความเร็วเริ่มต้น $(\mathbf \alpha )$ คือมุมการขว้าง

ด้วยการเลือกแหล่งกำเนิด พิกัดเริ่มต้น (รูปที่ 1) คือ $x_0=y_0=0$ จากนั้นเราได้รับ:

(1)

ให้เราวิเคราะห์สูตร (1) ให้เรากำหนดเวลาของการเคลื่อนไหวของร่างกายที่ถูกโยน ในการทำเช่นนี้ เราตั้งค่าพิกัด y ให้เท่ากับศูนย์เพราะ ในขณะที่ลงจอดความสูงของร่างกายจะเป็นศูนย์ จากที่นี่เราได้เวลาเที่ยวบิน:

ค่าที่สองของเวลาที่ความสูงเท่ากับศูนย์เท่ากับศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับช่วงเวลาของการขว้างปานั่นคือ ค่านี้ยังมีความหมายทางกายภาพ

ช่วงการบินได้มาจากสูตรแรก (1) ช่วงการบินคือค่าของพิกัด x เมื่อสิ้นสุดเที่ยวบิน นั่นคือ ในขณะนี้เท่ากับ $t_0$ แทนค่า (2) ในสูตรแรก (1) เราได้รับ:

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าระยะการบินสูงสุดอยู่ที่มุมโยน 45 องศา

ความสูงในการยกสูงสุดของตัวที่โยนนั้นสามารถหาได้จากสูตรที่สอง (1) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนค่าของเวลาเท่ากับครึ่งหนึ่งของเวลาเที่ยวบิน (2) ในสูตรนี้ เนื่องจาก อยู่ที่จุดกึ่งกลางของวิถีที่ระดับความสูงสูงสุดของเที่ยวบิน ดำเนินการคำนวณเราได้รับ

จากสมการ (1) เราสามารถหาสมการของวิถีโคจรของร่างกายได้ กล่าวคือ สมการที่เกี่ยวข้องกับพิกัด x และ y ของร่างกายระหว่างการเคลื่อนไหว ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงเวลาจากสมการแรก (1):

และแทนค่าลงในสมการที่สอง จากนั้นเราได้รับ:

สมการนี้คือสมการวิถี จะเห็นได้ว่านี่คือสมการของพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลง ดังที่แสดงด้วยเครื่องหมาย “-” หน้าเทอมกำลังสอง โปรดทราบว่ามุมขว้าง $\alpha $ และฟังก์ชันของมันเป็นค่าคงที่ตรงนี้ กล่าวคือ ตัวเลขคงที่

วัตถุถูกโยนด้วยความเร็ว v0 ที่มุม $(\mathbf \alpha )$ ไปที่ขอบฟ้า เวลาบิน $t = 2 s$ Hmax ร่างกายจะสูงเท่าไหร่?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

กฎการเคลื่อนที่ของร่างกายคือ:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

เวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้นสร้างมุม $(\mathbf \alpha )$ กับแกน OX เพราะเหตุนี้,

\ \ \

ก้อนหินถูกขว้างจากยอดภูเขาเป็นมุม = 30$()^\circ$ ไปที่ขอบฟ้าด้วยความเร็วเริ่มต้น $v_0 = 6 m/s$ มุมระนาบเอียง = 30$()^\circ$ หินจะตกลงมาจากจุดโยนเท่าไร?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

ลองวางจุดกำเนิดของพิกัดที่จุดโยน OX - ตามระนาบเอียงลง OY - ตั้งฉากกับระนาบเอียงขึ้น ลักษณะทางจลนศาสตร์ของการเคลื่อนไหว:

กฎการเคลื่อนที่:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

แทนค่าผลลัพธ์ของ $t_B$ เราจะพบ $S$:

ปล่อยให้ร่างหนึ่งพุ่งไปที่มุม α ไปยังขอบฟ้าด้วยความเร็ว เช่นเดียวกับกรณีก่อนหน้านี้ เราจะละเลยแรงต้านของอากาศ เพื่ออธิบายการเคลื่อนไหว จำเป็นต้องเลือกแกนพิกัดสองแกน - Ox และ Oy (รูปที่ 29)

รูปที่ 29

ต้นกำเนิดเข้ากันได้กับตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกาย การคาดการณ์ความเร็วเริ่มต้นบนแกน Oy และ Ox: , . ประมาณการการเร่งความเร็ว: ,

จากนั้นการเคลื่อนที่ของร่างกายจะอธิบายด้วยสมการดังนี้

(8)

(9)

จากสูตรเหล่านี้ ร่างกายจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอในแนวนอน และเร่งอย่างสม่ำเสมอในแนวตั้ง

วิถีของร่างกายจะเป็นพาราโบลา เมื่อพิจารณาว่าที่ด้านบนสุดของพาราโบลา คุณสามารถหาเวลาที่ร่างกายจะขึ้นไปถึงยอดของพาราโบลาได้:

แทนค่าของ t 1 เป็นสมการ (8) เราพบความสูงสูงสุดของลำตัว:

ความสูงในการยกสูงสุด

เราหาเวลาบินของร่างกายจากเงื่อนไขที่ t \u003d t 2 พิกัด y 2 \u003d 0 เพราะเหตุนี้, . ดังนั้น - เวลาของการบินของร่างกาย เมื่อเปรียบเทียบสูตรนี้กับสูตร (10) เราจะเห็นว่า t 2 =2t 1 .

เวลาของการเคลื่อนไหวของร่างกายจากความสูงสูงสุด t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . ดังนั้น เวลาที่ร่างกายขึ้นไปถึงความสูงสูงสุด เท่าใด เวลาที่ตกจากความสูงนี้ แทนค่าของเวลา t 2 ลงในสมการของพิกัด x (6) เราพบว่า:

- ช่วงของร่างกาย

ความเร็วชั่วพริบตาที่จุดใด ๆ ของวิถีจะถูกกำหนดแนวสัมผัสไปยังวิถี (ดูรูปที่ 29) โมดูลัสความเร็วถูกกำหนดโดยสูตร

ดังนั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุที่พุ่งเป็นมุมถึงขอบฟ้าหรือในแนวนอนถือได้ว่าเป็นผลจากการเคลื่อนไหวอิสระสองครั้ง - สม่ำเสมอในแนวนอนและแนวตั้งเร่งสม่ำเสมอ (ตกอย่างอิสระโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้นหรือการเคลื่อนไหวของวัตถุในแนวตั้งขึ้นด้านบน ).

พิจารณาว่าอะไรคือเป้าหมายของปัญหาจลนศาสตร์

1. เราอาจสนใจการเปลี่ยนแปลงของปริมาณจลนศาสตร์ใน กระบวนการเคลื่อนไหว, เช่น. การรับข้อมูลเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพิกัด ความเร็ว ความเร่ง ตลอดจนค่าเชิงมุมที่สอดคล้องกัน

2. ในหลายปัญหา เช่น ปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้า จำเป็นต้องเรียนรู้เกี่ยวกับค่าของปริมาณทางกายภาพใน เฉพาะรัฐ: ระยะการบิน การขึ้นสูงสุด ฯลฯ

3. ในกรณีที่ร่างกายมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวหลายอย่างพร้อม ๆ กัน (เช่นการกลิ้งลูกบอล) หรือการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัตถุหลาย ๆ อย่างจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง (เชิงเส้นและเชิงมุม) เช่น. หาสมการ การเชื่อมต่อทางจลนศาสตร์.

แม้จะมีปัญหามากมายในด้านจลนศาสตร์ แต่ก็สามารถเสนออัลกอริทึมต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหาได้:

1. สร้างแผนผังแสดงตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกายและสถานะเริ่มต้น กล่าวคือ และ .

2. เลือกกรอบอ้างอิงตามการวิเคราะห์เงื่อนไขของปัญหา ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเลือกเนื้อหาอ้างอิงและเชื่อมโยงระบบพิกัดด้วย โดยระบุที่มาของพิกัด ทิศทางของแกนพิกัด โมเมนต์ของจุดเริ่มต้นของการอ้างอิงเวลา เมื่อเลือกทิศทางบวก ทิศทางการเคลื่อนที่ (ความเร็ว) หรือทิศทางความเร่งจะชี้นำ

3. ตามกฎของการเคลื่อนที่ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบเวกเตอร์สำหรับวัตถุทั้งหมด จากนั้นให้อยู่ในรูปแบบสเกลาร์ ฉายสมการการเคลื่อนที่ของเวกเตอร์เหล่านี้บนแกนพิกัด เมื่อเขียนสมการเหล่านี้ เราควรให้ความสนใจกับเครื่องหมาย "+" และ "-" ของการคาดคะเนของปริมาณเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น

4. คำตอบจะต้องได้รับในรูปแบบของสูตรการวิเคราะห์ (ในแง่ทั่วไป) และในตอนท้ายเพื่อทำการคำนวณเชิงตัวเลข

ตัวอย่างที่ 4นานแค่ไหนที่ผู้โดยสารนั่งที่หน้าต่างรถไฟที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 54 กม./ชม. จะเห็นรถไฟที่กำลังมาผ่านเขาซึ่งมีความเร็ว 36 กม./ชม. และความยาว 250 เมตร?

วิธีการแก้.มาเชื่อมต่อกรอบอ้างอิงคงที่กับโลก เฟรมเคลื่อนที่ - กับรถไฟที่ผู้โดยสารตั้งอยู่ ตามกฎหมายว่าด้วยการเพิ่มความเร็ว ความเร็วของรถไฟที่กำลังมาจะสัมพันธ์กับความเร็วขบวนแรกโดยที่ ในการฉายภาพบนแกน Ox:

เนื่องจากเส้นทางที่รถไฟวิ่งมาซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทางแรกเท่ากับความยาวของรถไฟ เวลา

ตัวอย่างที่ 5เรือกลไฟไปจาก Nizhny Novgorod ถึง Astrakhan 5.0 วันและย้อนกลับ - 7.0 วัน แพจะแล่นจาก Nizhny Novgorod ไป Astrakhan นานแค่ไหน? ไม่รวมที่จอดรถและการจราจรล่าช้า

ให้: t 1 \u003d 5 วัน t 2 \u003d 7 วัน

วิธีการแก้.เราจะเชื่อมโยงกรอบอ้างอิงคงที่กับชายฝั่ง และกรอบที่เคลื่อนไหวกับน้ำ เราคิดว่าความเร็วของน้ำเท่ากันตลอดทาง และความเร็วของหม้อนึ่งที่สัมพันธ์กับน้ำนั้นคงที่และเท่ากับโมดูลัสของความเร็วชั่วขณะของหม้อนึ่งที่สัมพันธ์กับน้ำ

เนื่องจากแพเคลื่อนที่สัมพันธ์กับฝั่งด้วยความเร็วของกระแสน้ำ ดังนั้นเวลาของการเคลื่อนที่คือ โดยที่ s คือระยะห่างระหว่างเมือง เมื่อเรือกลไฟเคลื่อนที่ไปตามกระแสน้ำ ความเร็วของมันตามกฎของการบวกความเร็วหรือในการฉายบนแกน Ox:

โดยที่ความเร็วของเรือเทียบกับฝั่งคือความเร็วของเรือเทียบกับแม่น้ำ

เมื่อทราบเวลาของการเคลื่อนไหว คุณจะพบความเร็ว:

จากสูตร (1) และ (2) เรามี:

เมื่อเรือกลไฟเคลื่อนที่สวนทางกับกระแสน้ำ หรือในการฉายบนแกน Ox ความเร็วของหม้อนึ่งจะสัมพันธ์กับฝั่งโดยที่

ในทางกลับกัน, . แล้ว

การแก้ระบบสมการ (3) และ (4) เทียบกับ เราได้รับ:

หาเวลาเคลื่อนแพกัน:

ตัวอย่างที่ 6ด้วยการเคลื่อนไหวที่เร่งอย่างสม่ำเสมอ ร่างกายจะผ่านช่วงเวลาเท่ากันสองช่วงแรก 4.0 วินาทีในแต่ละเส้นทาง s 1 \u003d 24 ม. และ s 2 \u003d 64 ม. ตามลำดับ กำหนดความเร็วเริ่มต้นและความเร่งของร่างกาย

ให้: t 1 \u003d t 2 \u003d 4.0 s, s 1 \u003d 24 m, s 2 \u003d 64 m.

วิธีการแก้.ลองเขียนสมการเส้นทางสำหรับ s 1 และ (s 1 + s 2) ตามลำดับ เนื่องจากความเร็วเริ่มต้นเท่ากันในกรณีนี้ ดังนั้น

ตั้งแต่ t1=t2 แล้ว

แสดงจาก (1) และแทนที่เป็น (2) เราได้รับ:

จากนั้นความเร็วเริ่มต้น

ตัวอย่าง 7รถเคลื่อนที่ไปตามวิถีเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอด้วยความเร็วเริ่มต้น 5.0 ม./วินาที ครอบคลุมระยะทาง 6.0 ม. ในวินาทีแรก หาอัตราเร่งของรถความเร็วชั่วขณะเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่สองและ การกระจัดใน 2.0 วินาที

วิธีการแก้.เมื่อรู้เส้นทางที่ร่างกายเดินทางในวินาทีแรก คุณจะพบความเร่งได้ดังนี้

ความเร็วที่จุดสิ้นสุดของวินาทีที่สองนั้นหาได้จากสูตร

ตัวอย่างที่ 8 X) มีรูปแบบ x \u003d A + Bt + Ct 3 โดยที่ A \u003d 4 m, B \u003d 2m / s, C \u003d -0.5 m / s 3

สำหรับช่วงเวลา t 1 =2 c กำหนด: 1) พิกัดของจุด x 1 ของจุด; 2) ความเร็วทันที v1; 3) การเร่งความเร็วทันที 1.

ให้: x \u003d A + Bt + Ct 3, A \u003d 4 m, B \u003d 2 m / s, C \u003d -0.5 m / s 3, t 1 \u003d 2 s

ค้นหา: x 1; v1; ก 1 .

วิธีการแก้. 1. แทนที่ในสมการการเคลื่อนที่แทน t ค่าที่กำหนดของเวลา t 1: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3 เราแทนที่ค่า A, B, C, t 1 ลงในนิพจน์นี้และทำการคำนวณ: x 1 \u003d 4 ม.

2. ความเร็วทันที: จากนั้น ณ เวลา เสื้อ 1 ความเร็วชั่วขณะคือ v 1 = B + 3Ct 1 2 . ลองแทนค่า B, C, t 1: v 1 = - 4 m / s แทน เครื่องหมายลบแสดงว่า ณ เวลา t 1 =2 c จุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบของแกนพิกัด

3. การเร่งความเร็วทันที: การเร่งความเร็วทันทีที่เวลา t 1 คือ a 1 = 6Сt 1 . แทนค่า C, t 1: a 1 \u003d -6 m / s 2 เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางลบของแกนพิกัด และเป็นกรณีนี้สำหรับช่วงเวลาใดๆ ภายใต้เงื่อนไขของปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 9สมการจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุตามแนวเส้นตรง (axis X) มีรูปแบบ x \u003d A + Bt + Ct 2 โดยที่ A \u003d 5 m, B \u003d 4m / s, C \u003d -1m / s 2 กำหนดความเร็วเฉลี่ย v xsr สำหรับช่วงเวลาตั้งแต่ t 1 \u003d 1 c ถึง t 2 \u003d 6 c

ให้: x \u003d A + Bt + Ct 2, A \u003d 5m, B \u003d 4m / s, C \u003d - 1m / s 2, t 1 \u003d 1 c, t 2 \u003d 6 c

ค้นหา: v xsr -? และ xsr -?

วิธีการแก้.ความเร็วเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลา t 2 -t 1 ถูกกำหนดโดยนิพจน์ v cf = (x 2 -x 1) / (t 2 - t 1)

x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8 ม. x 2 \u003d A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7 ม.

แทนค่า x 1 , x 2 , t 1 , t 2 และทำการคำนวณ: v xsr = -3 m/s

ตัวอย่าง 10บรรทุกสิ่งของตกจากเฮลิคอปเตอร์ที่ความสูง h = 300 ม. หลังจากเวลาใดที่บรรทุกจะถึงพื้นถ้า: a) เฮลิคอปเตอร์หยุดนิ่ง; b) เฮลิคอปเตอร์ลงด้วยความเร็ว v 0 =5 m/s; 3) เฮลิคอปเตอร์ขึ้นด้วยความเร็ว v 0 =5 m/s อธิบายการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันของโหลดในแกน s(t), v(t) และ a(t) แบบกราฟิก

วิธีการแก้.ก) สินค้าที่ออกจากเฮลิคอปเตอร์หยุดนิ่งตกอย่างอิสระ กล่าวคือ เคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร่งของการตกอย่างอิสระ g. เราหาเวลาของการเคลื่อนไหวจากอัตราส่วน กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกทำเครื่องหมายเป็น 1 ในรูป

b) การเคลื่อนที่ของภาระที่ออกจากเฮลิคอปเตอร์ซึ่งลงมาด้วยความเร็วคงที่ v 0 \u003d 5 m / s เป็นการเคลื่อนที่ที่เร่งอย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่งคงที่ g และอธิบายโดยสมการ

การแทนที่ค่าตัวเลขจะให้สมการ 9.8t 2 +10t-600=0

ผลลัพธ์เชิงลบไม่มีความหมายทางกายภาพ ดังนั้นเวลาของการเคลื่อนไหวคือ t=7.57 s

กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกทำเครื่องหมายเป็น 2 ในรูป

3) การเคลื่อนไหวของสินค้าที่ออกจากเฮลิคอปเตอร์ซึ่งเพิ่มขึ้นด้วยความเร็วคงที่ v 0 =5 m/s ประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก โหลดจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่งคงที่ g ตรงข้ามกับความเร็ว และอธิบายโดยสมการ

ที่ด้านบนสุดของวิถีความเร็วจะกลายเป็นศูนย์ ดังนั้น

แทนสมการที่สองของระบบลงในสมการแรก เราจะได้

ในระยะที่สอง - ตกอย่างอิสระจากความสูง h 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1.28 \u003d 301.28 ม.

เพราะว่า

กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกทำเครื่องหมายเป็น 3 ในรูป

ตัวอย่างที่ 11จากบอลลูนที่พุ่งลงมาด้วยความเร็วคงที่ 2 เมตร/วินาที สิ่งของจะถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งด้วยความเร็ว 18 เมตร/วินาทีที่สัมพันธ์กับพื้น กำหนดระยะห่างระหว่างลูกบอลกับโหลดในขณะที่โหลดถึงจุดสูงสุดของการยกขึ้น หลังจากเวลาใดที่น้ำหนักจะบินผ่านลูกบอลล้มลง

ให้: v 01 = 2 m/s, v 02 =18 m/s

ค้นหา: s-? τ-?

วิธีการแก้.ลองนำแกน 0Y ขึ้นไปในแนวตั้ง จุดเริ่มต้นเข้ากันได้กับจุด 0 ซึ่งลูกบอลอยู่ในขณะที่กำลังขว้างของ

จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ของสินค้าและบอลลูน:

ความเร็วของการเคลื่อนที่ของโหลดแตกต่างกันไปตามกฎหมาย v 2 =v 02 - gt

ที่จุดสูงสุด ในการยกน้ำหนัก v 2 =0. แล้วเวลายกมาถึงจุดนี้ พิกัดของโหลดที่จุด B

ในช่วงเวลานี้ บอลลูนได้เคลื่อนลงมายังจุด A พิกัด

ระยะห่างระหว่างจุด A และ B:

หลังจากช่วงเวลา τ เมื่อก้อนหินเคลื่อนผ่านลูกบอล พิกัดของวัตถุจะเหมือนกัน: y 1C = y 2C;

ตัวอย่างที่ 12เครื่องบินควรบินด้วยความเร็วเท่าใดและในเส้นทางใดเพื่อที่จะบินไปทางเหนือ 300 กม. ในสองชั่วโมง หากระหว่างบิน ลมตะวันตกเฉียงเหนือพัดทำมุม 30 o ถึงเส้นเมอริเดียนที่ความเร็ว 27 กม./ชม.?

ให้: t=7.2∙10 3 วินาที; l=3∙10 5 เมตร; α=30° ≈ 0.52 rad; v 2 ≈7.2 ม./วินาที

ค้นหา: v 2 -? ฟาย-?

วิธีการแก้.ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของเครื่องบินในกรอบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับโลก

ลองวาดแกน OX ไปทางทิศตะวันออกและแกน OY - ไปทางทิศเหนือ จากนั้นความเร็วของเครื่องบินในกรอบอ้างอิงที่เลือก

โดยที่ v= l/t(2)

สมการ (1) ในการฉายภาพบนแกน

ตกลง: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα หรือ v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

หารสมการเหล่านี้ด้วยเทอม เราได้ tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),

หรือคำนึงถึง (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≈0.078 rad.

ยกกำลังสองส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (3) และเพิ่มสมการที่ได้

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

มาจากไหน หรือคำนึงถึง (2)

ตัวอย่างที่ 13ร่างกายที่ถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งจะกลับสู่พื้นหลังจาก t=3 วินาที ค้นหาความสูงของร่างกายและความเร็วเริ่มต้น

วิธีการแก้.การเคลื่อนไหวของร่างกายขึ้นช้าเท่ากันด้วยความเร่ง - gและเกิดขึ้นตามกาลเวลา t 1 และการเคลื่อนที่ลงจะเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่ง g และเกิดขึ้นในช่วงเวลา t 2. สมการที่อธิบายการเคลื่อนที่ในส่วน AB และ BA เป็นระบบ:

เนื่องจาก v B =0 แล้ว v 0 =gt 1 แทนที่ v 0 ลงในสมการแรกของระบบ เราจะได้ . ถ้าเราเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับสมการที่สามของระบบ เราสามารถสรุปได้ว่าเวลาขึ้นนั้นเท่ากับเวลาลง t 1 =t 2 =t/2=1.5s ความเร็วเริ่มต้นและความเร็วขณะลงจอดมีค่าเท่ากันและเท่ากับ v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s

ความสูงของร่างกาย

ตัวอย่างที่ 14ร่างที่ร่วงหล่นอย่างอิสระในวินาทีสุดท้ายของการเคลื่อนไหวได้ผ่านไปครึ่งทางแล้ว หาความสูงจากการขว้างและเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่

วิธีการแก้.การพึ่งพาระยะทางที่เดินทางตรงเวลาสำหรับร่างกายที่ตกลงมาอย่างอิสระ เนื่องจากส่วน BC ซึ่งประกอบเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทางทั้งหมด ถูกส่งผ่านในเวลาเท่ากับ 1 วินาที ครึ่งแรกของเส้นทาง AB จะถูกส่งผ่านในเวลา (t-1) s จากนั้นการเคลื่อนที่ในส่วน BC สามารถอธิบายได้ดังนี้

แก้ระบบ

เราได้ t 2 -4t+2=0 รากของสมการนี้คือ t 1 \u003d 3.41 s และ t 2 \u003d 0.59 s รูตที่สองไม่เหมาะสมเพราะ เวลาของการเคลื่อนไหวตามสภาพของปัญหาควรเกินหนึ่งวินาที ดังนั้นร่างกายจึงตกลงมาในช่วง 3.41 วินาที และในช่วงเวลานี้มันจึงปิดเส้นทาง

ตัวอย่างที่ 15ขว้างก้อนหินในแนวนอนจากหอคอยสูง 25 ม. ด้วยความเร็ว 15 ม./วินาที

จงหา: 1) ก้อนหินจะเคลื่อนที่ได้นานแค่ไหน 2) ก้อนหินจะตกลงสู่พื้นได้ไกลเท่าใด 3) ก้อนหินจะตกลงสู่พื้นด้วยความเร็วเท่าใด 4) วิถีโคจรของหินจะทำมุมใดกับ ขอบฟ้า ณ จุดที่ร่วงลงสู่พื้น แรงต้านอากาศจะถูกละเว้น

ให้: H=25 m, v o =15 m/s

ค้นหา: t-? s x - ? วี-? ฟาย-?

วิธีการแก้.การเคลื่อนที่ของหินที่ขว้างในแนวนอนสามารถแบ่งออกเป็นสอง: แนวนอน s xและแนวตั้ง s y:

โดยที่ t คือเวลาของการเคลื่อนไหว

2) s x \u003d v o t \u003d 33.9 ม.;

3) v y \u003d gt \u003d 22.1 m / s;

4) sinφ= v y /v=0.827;

ตัวอย่างที่ 16โยนร่างในแนวนอนจากหอคอยสูง 25 ม. ด้วยความเร็ว v x = 10 m/s

ค้นหา: 1) เวลา t ของการล่มสลายของร่างกาย 2) ที่ระยะทาง lจากฐานของหอคอย มันจะตกลงมา 3) ความเร็ว v เมื่อสิ้นสุดการตก 4) มุมที่วิถีโคจรของร่างกายจะทำกับพื้น ณ จุดที่ลงจอด

วิธีการแก้.การเคลื่อนไหวของร่างกายมีความซับซ้อน มันมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอในแนวนอนและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่ง g ตามแนวดิ่ง ดังนั้น ส่วน AB ถูกอธิบายโดยสมการ:

สำหรับจุด A สมการเหล่านี้อยู่ในรูปแบบ:

แล้ว l\u003d 10 2.26 \u003d 22.6 ม. และ v y \u003d 9.8 2.26 \u003d 22.15 m / s

ตั้งแต่นั้นมา

มุมที่วิถีโคจรทำกับพื้นโลกเท่ากับมุม φ ในรูปสามเหลี่ยมความเร็วที่จุด A ซึ่งมีค่าแทนเจนต์ ดังนั้น φ=68.7°

ตัวอย่างที่ 17สำหรับร่างกายที่ขว้างด้วยความเร็วแนวนอน v x \u003d 10 m / s หลังจากเวลา t \u003d 2 s หลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว ค้นหา: ความเร่งปกติ, สัมผัสและเต็มตลอดจนรัศมีความโค้งของวิถีที่ จุดนี้.

วิธีการแก้.องค์ประกอบความเร็วแนวตั้ง v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s

ความเร็วที่จุด A:

เวกเตอร์สร้างสามเหลี่ยมความเร็ว และเวกเตอร์สร้างสามเหลี่ยมความเร่ง ดังที่เห็นจากรูป สามเหลี่ยมเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกัน ซึ่งหมายความว่าด้านของพวกมันเป็นสัดส่วน: .

ความเร่งปกติ ดังนั้นรัศมีความโค้งของวิถี

ตัวอย่างที่ 18ขว้างลูกบอลด้วยความเร็ว 10 m/s ที่มุม 40° กับแนวนอน

ค้นหา: 1) ความสูงของลูกบอลจะสูงขึ้น; 2) จากสถานที่ขว้างลูกบอลจะตกลงสู่พื้นในระยะใด 3) จะเคลื่อนที่ได้นานแค่ไหน

ให้: v o \u003d 10 m / s, α \u003d 40 เกี่ยวกับ

ค้นหา: s y - ? s x - ? ท-?

วิธีการแก้. 1) ลองหาความสูงสูงสุด s y สูงสุด ซึ่งวัตถุโยนด้วยความเร็ว v o โดยมุม α ถึงขอบฟ้าขึ้น เรามี (ดูรูป):

v y \u003d v o sinα - gt; (หนึ่ง)

s y \u003d v o t∙sinα - gt 2 / 2 (2)

ที่ด้านบน v y = 0 และจาก (1) เราได้ v o ∙sin𝛼 = gt 1 ดังนั้นเวลาในการยกลูกบอล t 1 =v o ∙sinα/g แทน t 1 ลงใน (2) เราได้

s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2g) \u003d 2.1 ม.

2) หาระยะการบิน s x สูงสุดของวัตถุที่ขว้างเป็นมุมถึงขอบฟ้า

เรามี: v x \u003d v o cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (สี่)

ร่างกายจะตกลงบนระนาบแนวนอนในเวลา t 2 =2t 1 =2v o sinα/g

แทนที่ t 2 ลงใน (4) เราได้ s xmax = v o 2 sin2α/ ก.= 10.0 m

3) เสื้อ 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v o sinα / g \u003d 1.3 วิ

ตัวอย่างที่ 19.ร่างกายถูกเหวี่ยงด้วยความเร็ว 0 =10 m/s 2 ที่มุม α=30° ถึงขอบฟ้า ร่างกายจะสูงแค่ไหน? โยนลงไปที่พื้นไกลแค่ไหน? เขาจะเคลื่อนไหวนานแค่ไหน?

วิธีการแก้.ส่วนประกอบแนวนอนและแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น

การเคลื่อนไหวในส่วน OA สามารถแบ่งออกเป็นสองการเคลื่อนไหวง่ายๆ: สม่ำเสมอในแนวนอนและช้าลงอย่างสม่ำเสมอในแนวตั้ง:

ณ จุด A

แล้ว และ

หากร่างกายมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวหลายครั้งพร้อมกัน ร่างกายจะมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวแต่ละอย่างเป็นอิสระจากกัน ดังนั้นเวลาของการเคลื่อนไหวในส่วน AB จะถูกกำหนดโดยเวลาของการเคลื่อนไหวลง - t 2 เวลาเลื่อนขึ้นเท่ากับเวลาเลื่อนลง แปลว่า

ด้วยการเคลื่อนไหวในแนวนอนที่สม่ำเสมอ ร่างกายจะเดินทางในส่วนเท่าๆ กันของเส้นทางในช่วงเวลาเท่ากัน ดังนั้น

ช่วงของเที่ยวบิน

ความสูงของร่างกาย

ตัวอย่างที่ 20จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงบนระนาบตามกฎ x=4(t-2) 2 . ความเร็วเริ่มต้น v 0 และความเร่งของจุดเป็นเท่าใด เอ? ค้นหาความเร็วชั่วขณะของจุด v t =5 ที่จุดเริ่มต้นของวินาทีที่ห้าของการเคลื่อนไหว

วิธีการแก้.

1) เพราะ v=x’ จากนั้น v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

ที่ t=0 v 0 =-16 m/s

2) เพราะ a= แล้ว a=(8t-16)’=8 m/s

3) ที่ t=4 เพราะ ผ่านไป 4 วิ ก่อนเริ่ม 5 วิ

v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32 m / s

ตอบ:ความเร็วจุดเริ่มต้น v 0 =-16 m/s ความเร่ง a=8 m/s ความเร็วจุดที่จุดเริ่มต้นของวินาทีที่ห้าของการเคลื่อนไหว v t =5 =32 m/s

ตัวอย่างที่ 21การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุอธิบายโดยสมการ: a) s=αt 3 ; b) s=αt 2 +βt เปรียบเทียบความเร็วเฉลี่ยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้าย วี cf ในช่วงเวลา 0 - t โดยที่ α และ β เป็นค่าคงที่บวก

วิธีการแก้.จำคำจำกัดความของความเร็วเฉลี่ยและความเร็วทันที:

นิพจน์สำหรับความเร็วชั่วขณะนั้นได้มาจากการแยกสมการการเคลื่อนที่

นิพจน์สำหรับความเร็วเฉลี่ยจะพบเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในพิกัดความโค้งต่อเวลา:

เราได้รับนิพจน์สำหรับความเร็วเฉลี่ยเลขคณิต:

มาตอบคำถามเงื่อนไขของปัญหากัน จะเห็นได้ว่าในกรณีที่ "a" ความเร็วเฉลี่ยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ตรงกัน และในกรณีที่ "b" มีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 22จุดวัสดุเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอตามวิถีโคจร ความเร่งสูงสุดอยู่ที่จุดใดในวิถีโคจร

วิธีการแก้.เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ความเร่งคือผลรวมของเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก ความเร่งในวงสัมผัสกำหนดลักษณะของความเร็วของการเปลี่ยนแปลงในค่า (โมดูลัส) ของความเร็ว ถ้าความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นศูนย์ ความเร่งปกติขึ้นอยู่กับรัศมีความโค้งของวิถี a n = วี 2/ร. ความเร่งสูงสุด ณ จุดที่มีรัศมีความโค้งน้อยที่สุด กล่าวคือ ที่จุด C

ตัวอย่าง 23.จุดวัสดุเคลื่อนที่ตามกฎหมาย:

1) กำหนดพิกัดเริ่มต้น ความเร็วต้น และความเร่งโดยเปรียบเทียบกับกฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ เขียนสมการสำหรับการฉายความเร็ว

วิธีการแก้.กฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวมีรูป

เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการของเงื่อนไขปัญหา เราจะได้

x 0 = - 1 ม.

วี 0 x = 1 เมตร/วินาที

เอ x \u003d - 0.25 ม. / วินาที 2

คำถามเกิดขึ้น: เครื่องหมายลบหมายถึงอะไร? การฉายภาพของเวกเตอร์เป็นลบเมื่อใด เฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์หันไปทางแกนพิกัดเท่านั้น

เรามาอธิบายเวกเตอร์พิกัด ความเร็ว และความเร่งในรูปภาพกัน

เราเขียนสมการความเร็วในรูป

และแทนที่ข้อมูลที่ได้รับลงไป (เงื่อนไขเริ่มต้น)

2) ค้นหาการพึ่งพาความเร็วและความเร่งตรงเวลา โดยใช้คำจำกัดความของปริมาณเหล่านี้

วิธีการแก้.เราใช้คำจำกัดความสำหรับค่าความเร็วและความเร่งในทันที:

แตกต่างเราได้รับ วี x \u003d 1-0.25t, a x \u003d - 0.25 m / s 2

จะเห็นได้ว่าอัตราเร่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา

3) สร้างกราฟ v x (t) และ a x (t) อธิบายการเคลื่อนที่ในแต่ละส่วนของกราฟ

วิธีการแก้.ความเร็วขึ้นอยู่กับเวลาเป็นเส้นตรง กราฟเป็นเส้นตรง

ที่ t \u003d 0 v x \u003d 1 m / s ที่ t = 4 กับ v x = 0

จากกราฟจะเห็นได้ว่าในส่วน "a" การฉายภาพความเร็วเป็นบวก และค่าของมันจะลดลง กล่าวคือ จุดเคลื่อนที่ช้าในทิศทางของแกน x ในส่วน "b" การฉายภาพความเร็วเป็นลบและโมดูลัสจะเพิ่มขึ้น จุดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งในทิศทางตรงกันข้ามกับแกน x ดังนั้นที่จุดตัดของกราฟกับแกน abscissa จะเกิดการเปลี่ยนแปลงทิศทางของการเคลื่อนไหว

4) กำหนดพิกัดของจุดหักเหและเส้นทางไปยังทางเลี้ยว

วิธีการแก้.เราสังเกตอีกครั้งว่าที่จุดเปลี่ยน ความเร็วเป็นศูนย์ สำหรับสถานะนี้ จากสมการการเคลื่อนที่ที่เราได้รับ:

จากสมการที่สองเราจะได้ t pov = 4 วิ (จะเห็นได้ว่าเพื่อให้ได้ค่านี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างและวิเคราะห์กราฟ) แทนที่ค่านี้ในสมการแรก: x pov \u003d -1 + 4-4 2 / 8 \u003d 1 ม. ลองอธิบายว่าจุดเคลื่อนที่อย่างไร

เส้นทางสู่ทางเลี้ยวดังที่เห็นจากรูปนั้นเท่ากับการเปลี่ยนแปลงพิกัด: s turn =x turn -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) จุดผ่านจุดกำเนิดในเวลาใด

วิธีการแก้.ในสมการการเคลื่อนที่ ควรใส่ x = 0 เราจะได้สมการกำลังสอง 0 \u003d -1 + t-t 2 / 8 หรือ t 2 -8t + 8 \u003d 0 สมการนี้มีสองราก: . เสื้อ 1 \u003d 1.17 วินาที, เสื้อ 2 \u003d 6.83 วินาที แท้จริงแล้วจุดนั้นผ่านจุดกำเนิดสองครั้ง: เมื่อเคลื่อนที่ "ที่นั่น" และ "ย้อนกลับ"

6) ค้นหาเส้นทางที่เดินทางโดยจุดใน 5 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว และการเคลื่อนที่ในช่วงเวลานี้ ตลอดจนความเร็วภาคพื้นดินเฉลี่ยในส่วนนี้ของเส้นทาง

วิธีการแก้.ก่อนอื่น ให้หาพิกัดที่จุดนั้นปรากฏหลังจากการเคลื่อนไหว 5 วินาทีและทำเครื่องหมายไว้ในรูป

x(5)=-1+5-5 2/8= 0.875 ม.

เนื่องจากจุดอยู่ในสถานะนี้หลังจากเลี้ยว เส้นทางที่เดินทางจะไม่เท่ากับการเปลี่ยนแปลงพิกัด (การกระจัด) อีกต่อไป แต่ประกอบด้วยสองเงื่อนไข: เส้นทางไปยังทางเลี้ยว

s 1 \u003d x pov - x 0 \u003d 1 - (-1) \u003d 2 ม.

และหลังจากเลี้ยว

s 2 \u003d x pov - x (5) \u003d 1 - 0.875 \u003d 0.125 ม.

s \u003d s 1 + s 2 \u003d 2.125 ม.

การกระจัดของจุดคือ

s x \u003d x (5) - x 0 \u003d 0.875 - (-1) \u003d 1.875 ม.

ความเร็วพื้นเฉลี่ยคำนวณโดยสูตร

ในปัญหาที่พิจารณา มีการอธิบายการเคลื่อนที่ที่ง่ายที่สุดประเภทหนึ่ง - การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ อย่างไรก็ตาม แนวทางการวิเคราะห์ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวนี้เป็นสากล

ตัวอย่างที่ 24ในการเคลื่อนที่แบบมิติเดียวด้วยความเร่งคงที่ การขึ้นต่อกันของพิกัดและความเร็วของอนุภาคตรงเวลานั้นอธิบายโดยความสัมพันธ์:

สร้างความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของอนุภาคกับความเร็วของอนุภาค

วิธีการแก้.เราแยกเวลา t ออกจากสมการเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการทดแทน จากสมการที่สอง เราแสดงเวลา และแทนที่ในสมการแรก:

หากการเคลื่อนที่เริ่มจากจุดกำเนิด ( X 0 =0) จากการพักผ่อน ( วี 0 x =0) จากนั้นการพึ่งพาที่ได้จะใช้รูปแบบ

ที่รู้จักกันดีจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน

ตัวอย่างที่ 25.การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุอธิบายโดยสมการ โดยที่ i และ j เป็นออร์ตของแกน x และ y α และ β เป็นค่าคงที่บวก ในช่วงเวลาเริ่มต้น อนุภาคอยู่ที่จุด x 0 =y 0 =0 หาสมการการเคลื่อนที่ของอนุภาค y(x)

วิธีการแก้.เงื่อนไขของปัญหาถูกกำหนดโดยใช้วิธีเวกเตอร์ของคำอธิบายการเคลื่อนไหว มาดูวิธีการพิกัดกัน สัมประสิทธิ์ที่เวกเตอร์หน่วยเป็นการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็ว กล่าวคือ:

ขั้นแรก เราได้รับการอ้างอิง x(t) และ y(t) โดยการแก้ปัญหาของชั้นหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 28จากหอคอยสูง ชม.ขว้างก้อนหินด้วยความเร็ว วี 0 ที่มุม α ถึงขอบฟ้า หา:

1) ก้อนหินจะเคลื่อนที่ได้นานแค่ไหน

2) มันจะตกลงสู่พื้นในระยะใด

3) มันจะตกลงสู่พื้นด้วยความเร็วเท่าใด

4) มุมใด β จะเป็นวิถีของหินที่มีขอบฟ้าอยู่ที่จุดที่ตกลงมา

5) ความเร่งปกติและแนวดิ่งของหิน ณ จุดนี้เช่นเดียวกับรัศมีความโค้งของวิถี

6) ความสูงสูงสุดของหิน

ละเว้นความต้านทานของอากาศ

วิธีการแก้.โดยใช้ปัญหานี้เป็นตัวอย่าง เราจะแสดงให้เห็นว่า ในรูปแบบทั่วไป เราสามารถสร้างอัลกอริธึมข้างต้นเพื่อแก้ปัญหาใดๆ ของคลาสที่กำหนดได้อย่างไร

1. ปัญหาพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ (หิน) ในสนามแรงโน้มถ่วงของโลก ดังนั้น นี่คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ของแรงโน้มถ่วง g ซึ่งพุ่งลงสู่แนวตั้ง