Největší a nejmenší hodnota funkce. Největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřené doméně

V úloze B14 z Jednotné státní zkoušky z matematiky potřebujete najít nejmenší nebo největší hodnotu funkce jedné proměnné. Jde o celkem triviální problém z matematické analýzy a právě z tohoto důvodu se každý absolvent střední školy může a měl by se naučit jej normálně řešit. Podívejme se na pár příkladů, které školáci řešili při diagnostické práci v matematice, konané v Moskvě 7. prosince 2011.

V závislosti na intervalu, ve kterém chcete najít maximální nebo minimální hodnotu funkce, se k vyřešení tohoto problému použije jeden z následujících standardních algoritmů.

I. Algoritmus pro nalezení největší nebo nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Najděte derivaci funkce.
Z bodů podezřelých z extrému vyberte ty, které patří do daného segmentu a oboru definice funkce.
Vypočítejte hodnoty funkcí(ne derivace!) v těchto bodech.
Mezi získanými hodnotami vyberte největší nebo nejmenší, bude to požadovaná.

Příklad 1 Najděte nejmenší hodnotu funkce
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 v segmentu.

Řešení: Postupujeme podle algoritmu pro nalezení nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Rozsah funkce není omezen: D(y) = R.
Derivace funkce se rovná: y' = 3X 2 – 36X+ 81. Definiční obor derivace funkce také není omezen: D(y’) = R.
Nuly derivátu: y' = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, což znamená X 2 – 12X+ 27 = 0, odkud X= 3 a X= 9, náš interval zahrnuje pouze X= 9 (jeden bod podezřelý pro extrém).
Hodnotu funkce najdeme v bodě podezřelém z extrému a na okrajích mezery. Pro usnadnění výpočtu uvádíme funkci ve tvaru: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- y(8) = 8. (8-9)2 +23 = 31;
- y(9) = 9. (9-9)2+23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Takže ze získaných hodnot je nejmenší 23. Odpověď: 23.

II. Algoritmus pro nalezení největší nebo nejmenší hodnoty funkce:

Najděte definiční obor funkce.
Najděte derivaci funkce.
Identifikujte body podezřelé z extrému (ty body, ve kterých derivace funkce mizí, a body, ve kterých neexistuje žádná oboustranná konečná derivace).
Označte tyto body a definiční obor funkce na číselné ose a určete znaménka derivát(ne funkce!) na výsledných intervalech.
Definujte hodnoty funkcí(ne derivace!) v minimálních bodech (těch bodech, ve kterých se znaménko derivace mění z mínus na plus), nejmenší z těchto hodnot bude nejmenší hodnota funkce. Pokud nejsou žádné minimální body, pak funkce nemá minimální hodnotu.
Definujte hodnoty funkcí(ne derivace!) v maximálních bodech (těch bodech, ve kterých se znaménko derivace mění z plus na mínus), největší z těchto hodnot bude největší hodnota funkce. Pokud nejsou žádné maximální body, pak funkce nemá největší hodnotu.

Příklad 2 Najděte největší hodnotu funkce.

$\blacktriangleright$ Abychom našli největší/nejmenší hodnotu funkce na segmentu  , je nutné schematicky znázornit graf funkce na tomto segmentu.
V problémech z tohoto podtématu to lze provést pomocí derivace: najděte intervaly rostoucí ($f">0$ ) a klesající ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ Nezapomeňte, že funkce může mít největší/nejmenší hodnotu nejen ve vnitřních bodech segmentu , ale i na jeho koncích.

$\blacktriangleright$ Největší/nejmenší hodnota funkce je hodnota souřadnice $y=f(x)$ .

$\blacktriangleright$ Derivace komplexní funkce $f(t(x))$ se nalézá podle pravidla: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkce) f(x) & \text(Derivace) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(pole) \quad \quad \quad \quad \begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkce) f(x) & \text(Derivace) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(pole)\]

Úkol 1 #2357

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte nejmenší hodnotu funkce $y = e^(x^2 - 4)$ na segmentu $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – libovolný.

1) \

\ Tedy $y" = 0$ pro $x = 0$ .

3) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ na uvažovaném segmentu $[-10; -2]$ :

4) Náčrt grafu na segmentu $[-10; -2]$ :

Funkce tedy dosáhne své nejmenší hodnoty v $[-10; -2]$ v $x = -2$ .

\ Celkem: $1$ – nejmenší hodnota funkce $y$ na $[-10; -2]$ .

Odpověď: 1

Úkol 2 #2355

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ na segmentu $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – libovolný.

1) \

Pojďme najít kritické body (tj. vnitřní body definičního oboru funkce, ve kterých je její derivace rovna $0$ nebo neexistuje): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Derivace existuje pro libovolné $x$ .

2) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ :

3) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ na uvažovaném segmentu $[-1; 1]$ :

4) Náčrt grafu na segmentu $[-1; 1]$ :

Funkce tedy dosáhne své největší hodnoty v $[-1; 1]$ v $x = -1$ nebo v $x = 1$ . Porovnejme hodnoty funkcí v těchto bodech.

\ Celkem: $2$ – největší hodnota funkce $y$ na $[-1; 1]$ .

Odpověď: 2

Úkol 3 #2356

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte nejmenší hodnotu funkce $y = \cos 2x$ na segmentu  .

ODZ: $x$ – libovolný.

1) \

Pojďme najít kritické body (tj. vnitřní body definičního oboru funkce, ve kterých je její derivace rovna $0$ nebo neexistuje): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivace existuje pro libovolné $x$ .

2) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ :

(zde je nekonečný počet intervalů, ve kterých se střídají znaménka derivace).

3) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ na uvažovaném segmentu :

4) Náčrt grafu na segmentu  :

Funkce tedy dosáhne své nejmenší hodnoty na  v $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ Celkem: $-1$ – nejmenší hodnota funkce $y$ na  .

Odpověď: -1

Úkol 4 #915

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte největší hodnotu funkce

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . Pojďme se rozhodnout pro ODZ:

1) Označme $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , pak $y(t)=-\log_(17)t$ .

Pojďme najít kritické body (tj. vnitřní body definičního oboru funkce, ve kterých je její derivace rovna $0$ nebo neexistuje): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– na ODZ, odkud najdeme kořen $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ . Derivace funkce $y$ neexistuje, když $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$, ale tato rovnice má záporný diskriminant, proto nemá řešení. Abyste našli největší/nejmenší hodnotu funkce, musíte pochopit, jak její graf schematicky vypadá.

2) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ :

3) Náčrt grafu:

Funkce tedy dosáhne své největší hodnoty v $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

Celkem: $0$ – největší hodnota funkce $y$ .

Odpověď: 0

Úkol 5 #2344

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte nejmenší hodnotu funkce

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . Pojďme se rozhodnout pro ODZ:

1) Označme $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , pak $y(t)=\log_(3)t$ .

Pojďme najít kritické body (tj. vnitřní body definičního oboru funkce, ve kterých je její derivace rovna $0$ nebo neexistuje): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– na ODZ, odkud najdeme kořen $x = -4$ . Derivace funkce $y$ neexistuje, když $x^2 + 8x + 19 = 0$, ale tato rovnice má záporný diskriminant, proto nemá řešení. Abyste našli největší/nejmenší hodnotu funkce, musíte pochopit, jak její graf schematicky vypadá.

2) Najděte intervaly konstantního znaménka $y"$ :

3) Náčrt grafu:

Tedy $x = -4$ je minimální bod funkce $y$ a v něm je dosaženo nejmenší hodnoty:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Celkem: $1$ – nejmenší hodnota funkce $y$ .

Odpověď: 1

Úkol 6 #917

Úroveň úkolu: Obtížnější než jednotná státní zkouška

Najděte největší hodnotu funkce

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Z praktického hlediska je největší zájem o použití derivace k nalezení největších a nejmenších hodnot funkce. S čím to souvisí? Maximalizace zisku, minimalizace nákladů, stanovení optimálního zatížení zařízení... Jinými slovy, v mnoha oblastech života musíme řešit problémy s optimalizací některých parametrů. A to jsou úkoly hledání největších a nejmenších hodnot funkce.

Je třeba poznamenat, že největší a nejmenší hodnoty funkce se obvykle hledají na určitém intervalu X, což je buď celý definiční obor funkce, nebo část definičního oboru. Samotný interval X může být segment, otevřený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovořit o hledání největších a nejmenších hodnot explicitně definované funkce jedné proměnné y=f(x) .

Navigace na stránce.

Největší a nejmenší hodnota funkce - definice, ilustrace.

Podívejme se krátce na hlavní definice.

Největší hodnota funkce že pro kohokoli nerovnost je pravdivá.

Nejmenší hodnota funkce y=f(x) na intervalu X se nazývá taková hodnota že pro kohokoli nerovnost je pravdivá.

Tyto definice jsou intuitivní: největší (nejmenší) hodnota funkce je největší (nejmenší) přijatá hodnota na uvažovaném intervalu na úsečce.

Stacionární body– to jsou hodnoty argumentu, při kterém se derivace funkce stane nulou.

Proč potřebujeme stacionární body při hledání největších a nejmenších hodnot? Odpověď na tuto otázku dává Fermatova věta. Z této věty vyplývá, že pokud má diferencovatelná funkce v nějakém bodě extrém (lokální minimum nebo lokální maximum), pak je tento bod stacionární. Funkce tedy často nabývá svou největší (nejmenší) hodnotu na intervalu X v jednom ze stacionárních bodů z tohoto intervalu.

Funkce také může často nabývat své největší a nejmenší hodnoty v bodech, ve kterých první derivace této funkce neexistuje a funkce samotná je definována.

Pojďme si rovnou odpovědět na jednu z nejčastějších otázek na toto téma: „Je vždy možné určit největší (nejmenší) hodnotu funkce“? Ne vždy. Někdy se hranice intervalu X shodují s hranicemi definičního oboru funkce nebo je interval X nekonečný. A některé funkce v nekonečnu a na hranicích definičního oboru mohou nabývat jak nekonečně velkých, tak nekonečně malých hodnot. V těchto případech nelze nic říci o největší a nejmenší hodnotě funkce.

Pro názornost uvedeme grafické znázornění. Podívejte se na obrázky a mnohé bude jasnější.

Na segmentu

Na prvním obrázku funkce přebírá největší (max y) a nejmenší (min y) hodnoty ve stacionárních bodech umístěných uvnitř segmentu [-6;6].

Zvažte případ znázorněný na druhém obrázku. Změňme segment na . V tomto příkladu je nejmenší hodnota funkce dosažena ve stacionárním bodě a největší v bodě s úsečkou odpovídající pravé hranici intervalu.

Na obrázku 3 jsou hraniční body segmentu [-3;2] úsečkami bodů odpovídajících největší a nejmenší hodnotě funkce.

V otevřeném intervalu

Na čtvrtém obrázku funkce přijímá největší (max y) a nejmenší (min y) hodnoty ve stacionárních bodech umístěných uvnitř otevřeného intervalu (-6;6).

Na intervalu nelze vyvozovat žádné závěry o největší hodnotě.

V nekonečnu

V příkladu uvedeném na sedmém obrázku má funkce největší hodnotu (max y) ve stacionárním bodě s úsečkou x=1 a nejmenší hodnoty (min y) je dosaženo na pravé hranici intervalu. V mínus nekonečnu se hodnoty funkce asymptoticky blíží y=3.

V průběhu intervalu funkce nedosahuje ani nejmenší, ani největší hodnoty. Jak se x=2 blíží zprava, mají funkční hodnoty tendenci k mínus nekonečnu (přímka x=2 je vertikální asymptota), a jak se úsečka blíží k plus nekonečnu, funkční hodnoty se asymptoticky blíží k y=3. Grafické znázornění tohoto příkladu je na obrázku 8.

Algoritmus pro nalezení největších a nejmenších hodnot spojité funkce na segmentu.

Pojďme napsat algoritmus, který nám umožní najít největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu.

Najdeme doménu definice funkce a zkontrolujeme, zda obsahuje celý segment.
Najdeme všechny body, ve kterých první derivace neexistuje a které jsou obsaženy v segmentu (takové body se obvykle nacházejí ve funkcích s argumentem pod znaménkem modulu a v mocninných funkcích s zlomkově-racionálním exponentem). Pokud žádné takové body nejsou, přejděte k dalšímu bodu.
Určíme všechny stacionární body spadající do segmentu. K tomu ji srovnáme s nulou, vyřešíme výslednou rovnici a vybereme vhodné kořeny. Pokud nejsou žádné stacionární body nebo žádný z nich nespadá do segmentu, přejděte k dalšímu bodu.
Počítáme hodnoty funkce ve vybraných stacionárních bodech (pokud existují), v bodech, ve kterých první derivace neexistuje (pokud existuje), a také v x=a a x=b.
Ze získaných hodnot funkce vybereme největší a nejmenší - budou to požadované největší a nejmenší hodnoty funkce, resp.

Pojďme analyzovat algoritmus pro řešení příkladu, abychom našli největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu.

Příklad.

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce

na segmentu;
na segmentu [-4;-1] .

Řešení.

Definiční obor funkce je celá množina reálných čísel, tedy s výjimkou nuly. Oba segmenty spadají do definiční domény.

Najděte derivaci funkce vzhledem k:

Je zřejmé, že derivace funkce existuje ve všech bodech segmentů a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionární body. Jediný skutečný kořen je x=2. Tento stacionární bod spadá do prvního segmentu.

V prvním případě vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a ve stacionárním bodě, tedy pro x=1, x=2 a x=4:

Proto největší hodnota funkce je dosaženo při x=1 a nejmenší hodnotě – při x=2.

Ve druhém případě počítáme funkční hodnoty pouze na koncích segmentu [-4;-1] (protože neobsahuje jediný stacionární bod):

S touto službou můžete najít největší a nejmenší hodnotu funkce jedna proměnná f(x) s řešením naformátovaným ve Wordu. Je-li tedy dána funkce f(x,y), je nutné najít extrém funkce dvou proměnných. Můžete také najít intervaly rostoucích a klesajících funkcí.

Pravidla pro zadávání funkcí:

Nutná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

Rovnice f" 0 (x *) = 0 je nutnou podmínkou pro extrém funkce jedné proměnné, tj. v bodě x * musí první derivace funkce zaniknout. Identifikuje stacionární body x c, ve kterých funkce nezaniká. zvýšit nebo snížit.

Dostatečná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

Nechť f 0 (x) je dvakrát diferencovatelné vzhledem k x patřícímu do množiny D. Pokud je v bodě x * splněna podmínka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je lokální (globální) minimální bod funkce.

Pokud je v bodě x * splněna podmínka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokální (globální) maximum.

Příklad č. 1. Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce: na segmentu.
Řešení.

Kritický bod je jedna x 1 = 2 (f’(x)=0). Tento bod patří do segmentu. (Bod x=0 není kritický, protože 0∉).
Vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a v kritickém bodě.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpověď: f min = 5 / 2 při x=2; f max = 9 při x = 1

Příklad č. 2. Pomocí derivací vyšších řádů najděte extrém funkce y=x-2sin(x) .
Řešení.
Najděte derivaci funkce: y’=1-2cos(x) . Najděte kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdeme y’’=2sin(x), vypočítejte , což znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z jsou minimální body funkce; , což znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z jsou maximální body funkce.

Příklad č. 3. Vyšetřte extrémní funkci v okolí bodu x=0.
Řešení. Zde je potřeba najít extrémy funkce. Pokud extrém x=0, zjistěte jeho typ (minimum nebo maximum). Pokud mezi nalezenými body není x = 0, pak vypočítejte hodnotu funkce f(x=0).
Je třeba si uvědomit, že když derivace na každé straně daného bodu nemění své znaménko, nejsou možné situace vyčerpány ani pro diferencovatelné funkce: může se stát, že pro libovolně malé okolí na jedné straně bodu x 0 resp. na obou stranách derivace mění znaménko. V těchto bodech je nutné použít jiné metody ke studiu funkcí v extrému.

Příklad č. 4. Rozdělte číslo 49 na dva členy, jejichž součin bude největší.
Řešení. Označme x jako první člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximálně: x·(49-x) → max

Největší (nejmenší) hodnota funkce je největší (nejmenší) přijatá hodnota pořadnice na uvažovaném intervalu.

Chcete-li najít největší nebo nejmenší hodnotu funkce, musíte:

Zkontrolujte, které stacionární body jsou zahrnuty v daném segmentu.
Vypočítejte hodnotu funkce na koncích segmentu a ve stacionárních bodech z kroku 3
Ze získaných výsledků vyberte největší nebo nejmenší hodnotu.

Chcete-li zjistit maximální nebo minimální počet bodů, musíte:

Najděte derivaci funkce $f"(x)$
Najděte stacionární body řešením rovnice $f"(x)=0$
Faktor derivace funkce.
Nakreslete souřadnicovou čáru, umístěte na ni stacionární body a určete znaménka derivace ve výsledných intervalech pomocí zápisu v kroku 3.
Najděte maximum nebo minimum bodů podle pravidla: pokud v určitém bodě derivace změní znaménko z plus na mínus, pak to bude maximální bod (pokud z mínus na plus, bude to minimální bod). V praxi je vhodné použít obrázek šipek na intervalech: na intervalu, kde je derivace kladná, je šipka tažena nahoru a naopak.

Tabulka derivací některých elementárních funkcí:

Funkce	Derivát
$c$	$0$
$ x $	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(hřích^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Základní pravidla diferenciace

1. Derivace součtu a rozdílu se rovná derivaci každého členu

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Najděte derivaci funkce $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivace součtu a rozdílu se rovná derivaci každého členu

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivát produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Najděte derivaci $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivace kvocientu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Najděte derivaci $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivace komplexní funkce se rovná součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Najděte minimální bod funkce $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Najděte ODZ funkce: $x+11>0; x>-11 $

2. Najděte derivaci funkce $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Najděte stacionární body přirovnáním derivace k nule

$(2x+21)/(x+11)=0$

Zlomek se rovná nule, pokud je čitatel nula a jmenovatel není nula.

$2x+21=0; x≠-11 $

4. Narýsujme souřadnicovou čáru, umístíme na ni stacionární body a ve výsledných intervalech určíme znaménka derivace. Chcete-li to provést, dosaďte do derivace libovolné číslo z oblasti nejvíce vpravo, například nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V minimálním bodě derivace změní znaménko z mínus na plus, proto je bod $-10,5$ minimální bod.

Odpověď: $-10,5 $

Najděte největší hodnotu funkce $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Najděte derivaci funkce $y′=30x^4-270x^2$

2. Přirovnejte derivaci k nule a najděte stacionární body

$30x^4-270x^2=0 $

Vyjmeme celkový faktor $30x^2$ ze závorek

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0 $

Srovnejme každý faktor s nulou

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$