Kako pronaći najmanji višekratnik brojeva. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) – definicija, primjeri i svojstva

Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku koji smo započeli u odjeljku “LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri.” U ovoj temi, pogledat ćemo načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, a pogledat ćemo i pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a

Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada naučimo kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj pomoću formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primjer 1

Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Riješenje

Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi NNO brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite brojeve 68 i 34.

Riješenje

GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo s 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom smo primjeru koristili pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika cijelih pozitivnih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, LCM tih brojeva bit će jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Sada pogledajmo metodu pronalaženja LCM-a, koja se temelji na rastavljanju brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo umnožak svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve proste faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
• umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM zadanih brojeva.

Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora koji sudjeluju u rastavljanju ta dva broja. U ovom slučaju, gcd dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorizirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako isključimo faktore koji su zajednički brojevima 3 i 5, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , rastavljajući oba broja na proste faktore.

Riješenje

Pronađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobivamo dva niza brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Umnožak svih faktora koji su sudjelovali u rastavljanju ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pronađimo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo ga iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispada da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odgovor: LOC(441, 700) = 44 100.

Dajmo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo iz ukupnog broja isključili faktore zajedničke za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Rastavimo oba broja na proste faktore:
• umnošku prostih faktora prvog broja dodati faktore drugog broja koji nedostaju;
• dobijemo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se brojevima 75 i 210 za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Rastavimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Umnošku faktora 3, 5 i 5 brojevima 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobivamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Riješenje

Rastavimo brojeve iz uvjeta na jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo umnošku faktore 2, 2, 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3 brojevi 648. Dobivamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Bez obzira s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: uzastopno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorem.

Teorem 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi se brojevi nalaze sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Sada pogledajmo kako se teorem može primijeniti za rješavanje specifičnih problema.

Primjer 7

Trebate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva 140, 9, 54 i 250 .

Riješenje

Uvodimo oznake: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobivamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Dakle, m 2 = 1,260.

Izračunajmo sada koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.

Samo trebamo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Slijedimo isti algoritam. Dobivamo m 4 = 94 500.

LCM četiri broja iz uvjeta primjera je 94500.

Odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići na drugi način.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:

• sve brojeve rastavljamo na proste faktore;
• umnošku faktora prvog broja pribrajamo faktore koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
• proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi dodamo nedostajuće faktore trećeg broja itd.;
• dobiveni umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Morate pronaći LCM pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Riješenje

Rastavimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti na proste faktore. Takvi brojevi koincidiraju s njihovim rastavljanjem na proste faktore.

Sada uzmimo umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i pribrojimo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rastavili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo zbrajati množitelje koji nedostaju. Prijeđimo na broj 48, od čijeg umnoška prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim zbrajamo prosti faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 iz petog. Dobivamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik izvornih pet brojeva.

Odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo moramo zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti izračune pomoću gornjih algoritama.

Primjer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Riješenje

Zamijenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, pomoću algoritma, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidskog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

Odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Lancinova Aisa

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Problemi na GCD i LCM brojeva Rad učenika 6. razreda MCOU "Kamyshovskaya secondary school" Lantsinova Aisa Nadzornica Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, učiteljica matematike str. Kamyshevo, 2013

Primjer nalaženja NNO brojeva 50, 75 i 325. 1) Rastavimo brojeve 50, 75 i 325 na proste faktore. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Od faktora koji su uključeni u proširenje jednog od ovih brojeva, precrtamo one koji nisu uključeni u proširenje ostalih. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Nađi umnožak preostalih faktora 5 ∙ 5 = 25 Odgovor: GCD (50, 75 i 325) = 25 Najveći prirodni broj kojim Kada se brojevi a i b dijele bez ostatka, najveći zajednički djelitelj tih brojeva naziva se najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva.

Primjer nalaženja LCM brojeva 72, 99 i 117. 1) Rastavimo brojeve 72, 99 i 117 na proste faktore 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Zapišite faktore koji su uključeni u proširenje jednog od brojeva 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 i dodajte im faktore koji nedostaju preostalih brojeva. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nađite umnožak dobivenih faktora. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odgovor: LCM (72, 99 i 117) = 10296 Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik a i b.

List kartona ima oblik pravokutnika, čija je duljina 48 cm, a širina 40 cm.Ovaj list mora biti izrezan na jednake kvadrate bez otpada. Koji se najveći kvadrati mogu dobiti iz ovog radnog lista i koliko? Rješenje: 1) S = a ∙ b – površina pravokutnika. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – površina od kartona. 2) a – stranica kvadrata 48: a – broj kvadrata koji se mogu složiti po duljini kartona. 40: a – broj kvadrata koji se mogu postaviti po širini kartona. 3) NOT (40 i 48) = 8 (cm) – stranica kvadrata. 4) S = a² – površina jednog kvadrata. S = 8² = 64 (cm²) – površina jednog kvadrata. 5) 1960: 64 = 30 (broj kvadrata). Odgovor: 30 kvadrata sa stranicom 8 cm svaki. GCD problemi

Kamin u sobi mora biti popločan u obliku kvadrata. Koliko je crijepova potrebno za kamin dimenzija 195 ͯ 156 cm i koje su najveće veličine crijepova? Rješenje: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S površine kamina. 2) GCD (195 i 156) = 39 (cm) – strana pločice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – površina 1 pločice. 4) 30420: = 20 (komada). Odgovor: 20 pločica dimenzija 39 ͯ 39 (cm). GCD problemi

Okućnica veličine 54 ͯ 48 m oko perimetra mora biti ograđena; za to je potrebno postaviti betonske stupove u pravilnim razmacima. Koliko je stupova potrebno donijeti za gradilište i na kojoj će maksimalnoj udaljenosti jedan od drugog biti postavljeni stupovi? Rješenje: 1) P = 2(a + b) – opseg mjesta. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) NKT (54 i 48) = 6 (m) – razmak između stupova. 3) 204: 6 = 34 (stupova). Odgovor: 34 stupa, na udaljenosti od 6 m. GCD problemi

Buketi su sakupljeni od 210 bordo, 126 bijelih i 294 crvene ruže, pri čemu je svaki buket sadržavao jednak broj ruža iste boje. Koji je najveći broj buketa napravljen od ovih ruža i koliko je ruža svake boje u jednom buketu? Rješenje: 1) NOT (210, 126 i 294) = 42 (buketa). 2) 210: 42 = 5 (bordo ruže). 3) 126: 42 = 3 (bijele ruže). 4) 294: 42 = 7 (crvenih ruža). Odgovor: 42 buketa: 5 bordo, 3 bijele, 7 crvenih ruža u svakom buketu. GCD problemi

Tanya i Masha kupile su isti broj poštanskih paketa. Tanja je platila 90 rubalja, a Maša 5 rubalja. više. Koliko košta jedan set? Koliko je kompleta svaka osoba kupila? Rješenje: 1) 90 + 5 = 95 (rub.) Masha je platila. 2) GCD (90 i 95) = 5 (rub.) – cijena 1 kompleta. 3) 980: 5 = 18 (setova) – kupila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (setova) – kupila Maša. Odgovor: 5 rubalja, 18 kompleta, 19 kompleta. GCD problemi

U lučkom gradu započinju tri izleta turističkim brodom, od kojih prvi traje 15 dana, drugi 20 i treći 12 dana. Vrativši se u luku, brodovi su istoga dana ponovno krenuli. Danas su brodovi isplovili iz luke na sve tri rute. Za koliko dana će prvi put ponovno zajedno jedriti? Koliko će putovanja obaviti svaki brod? Rješenje: 1) NOC (15,20 i 12) = 60 (dana) – vrijeme sastanka. 2) 60: 15 = 4 (putovanja) – 1 brod. 3) 60: 20 = 3 (putovanja) – 2 broda. 4) 60: 12 = 5 (letova) – 3 broda. Odgovor: 60 dana, 4 leta, 3 leta, 5 letova. Zadaci NOO-a

Maša je u trgovini kupila jaja za Medvjeda. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša? Rješenje: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (jaja) Odgovor: Maša je kupila 30 jaja. Zadaci NOO-a

Potrebno je izraditi kutiju s kvadratnim dnom za kutije dimenzija 16 ͯ 20 cm. Koja je najkraća stranica kvadratnog dna da kutije tijesno stanu u kutiju? Rješenje: 1) LCM (16 i 20) = 80 (kutije). 2) S = a ∙ b – površina 1 kutije. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – površina dna 1 kutije. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - površina dna kvadrata. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimenzije kutije. Odgovor: 160 cm je stranica dna kvadrata. Zadaci NOO-a

Uz cestu od točke K svakih 45 m postavljeni su električni stupovi. Odlučili su te stupove zamijeniti drugima, postavljajući ih na udaljenosti od 60 m jedan od drugog. Koliko je stupova bilo i koliko će ih biti? Rješenje: 1) LCM (45 i 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – bilo je stupova. 3) 180: 60 = 3 – postali su stupovi. Odgovor: 4 stupa, 3 stupa. Zadaci NOO-a

Koliko vojnika maršira mimohodom ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u stroju i prestroje se u kolonu od 18 ljudi u redu? Rješenje: 1) NOO (12 i 18) = 36 (ljudi) - marš. Odgovor: 36 ljudi. Zadaci NOO-a

Ali mnogi prirodni brojevi djeljivi su i drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cijelim (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a- je prirodni broj koji dijeli zadani broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj s kojim su oba dana podijeljena bez ostatka a I b.

Zajednički višekratnici nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjizajednički višekratnik (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- prenijeti najveće razlaganje (umnožak faktora najvećeg broja zadanih) na faktore željenog umnoška, ​​a zatim dodati faktore iz razlaganja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se u njemu pojavljuju manje puta;

— rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prostim faktorima broja 28 (2, 2, 7) dodaje se faktor 3 (broj 21), a dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjuju se faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) koji je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Mnogi djelitelji

Razmotrimo sljedeći problem: nađi djelitelj broja 140. Očito, broj 140 nema jedan djelitelj, već nekoliko. U takvim slučajevima se kaže da problem postoji gomila odluke. Pronađimo ih sve. Prije svega, rastavimo ovaj broj na jednostavne faktore:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Sada možemo lako zapisati sve djelitelje. Počnimo s primarnim faktorima, to jest onima koji su prisutni u gore navedenom proširenju:

Zatim zapisujemo one koji su dobiveni množenjem prostih djelitelja po parovima:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Zatim - oni koji sadrže tri prosta djelitelja:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Na kraju, ne zaboravimo jedinicu i sam razloženi broj:

Svi djelitelji koje smo pronašli su u obliku gomila djelitelja broja 140 koji se piše u vitičastim zagradama:

Skup djelitelja broja 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Radi lakše percepcije, ovdje smo zapisali djelitelje ( elementi skupa) uzlaznim redoslijedom, ali, općenito govoreći, to nije potrebno. Dodatno uvodimo notnu kraticu. Umjesto “Skup djelitelja broja 140” pisat ćemo “D(140)”. Tako,

Na isti način možete pronaći skup djelitelja za bilo koji drugi prirodni broj. Na primjer, od razgradnje

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dobivamo:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Od skupa svih djelitelja treba razlikovati skup prostih djelitelja koji su za brojeve 140 i 105 jednaki:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Posebno treba naglasiti da se u rastavljanju broja 140 na proste faktore dva pojavljuju dva puta, dok je u skupu PD(140) samo jedan. Skup PD(140) je, u suštini, sve odgovore na problem: “Nađite prosti faktor broja 140.” Jasno je da isti odgovor ne treba ponavljati više puta.

Smanjenje razlomaka. Najveći zajednički djelitelj

Razmotrimo razlomak

Znamo da se ovaj razlomak može smanjiti za broj koji je i djelitelj brojnika (105) i djelitelj nazivnika (140). Pogledajmo skupove D(105) i D(140) i zapišimo njihove zajedničke elemente.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Zajednički elementi skupova D(105) i D(140) =

Posljednja jednakost može se napisati još kraće, naime:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Ovdje posebna ikona "∩" ("vrećica s rupom prema dolje") označava da se iz dva skupa ispisana na suprotnim stranama moraju odabrati samo zajednički elementi. Unos “D(105) ∩ D(140)” glasi “ križanje skupovi De od 105 i De od 140.”

[Usput imajte na umu da možete izvoditi razne binarne operacije sa skupovima, gotovo kao s brojevima. Druga uobičajena binarna operacija je Unija, što je označeno ikonom “∪” (“vrećica s rupom prema gore”). Unija dva skupa uključuje sve elemente obaju skupova:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Dakle, otkrili smo da je razlomak

može se smanjiti za bilo koji od brojeva koji pripadaju skupu

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

i ne može se smanjiti ni za jedan drugi prirodni broj. Evo svih mogućih prečaca (osim nezanimljivog skraćivanja za jedan):

Očito je najpraktičnije razlomak smanjiti za što veći broj. U ovom slučaju, ovo je broj 35, za koji se kaže da je najveći zajednički djelitelj (GCD) brojevi 105 i 140. Ovo se piše kao

GCD(105, 140) = 35.

Međutim, u praksi, ako su nam dana dva broja i trebamo pronaći njihov najveći zajednički djelitelj, ne bismo trebali konstruirati nikakve skupove. Dovoljno je jednostavno rastaviti oba broja na proste faktore i istaknuti one od tih faktora koji su zajednički za obje dekompozicije, na primjer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Množenjem podcrtanih brojeva (u bilo kojem od proširenja) dobivamo:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Naravno, moguće je da će biti više od dva podcrtana faktora:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Iz ovoga je jasno da

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Posebno treba spomenuti situaciju kada uopće nema zajedničkih čimbenika i nema se što istaknuti, na primjer:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

U ovom slučaju,

GCD(42, 55) = 1.

Pozivaju se dva prirodna broja za koje je GCD jednak jedan međusobno prosti. Ako od takvih brojeva napravite razlomak, npr.

onda je takav razlomak nesvodljiv.

Općenito govoreći, pravilo za smanjivanje razlomaka može se napisati na sljedeći način:

Ovdje se pretpostavlja da a I b su prirodni brojevi, a cijeli razlomak je pozitivan. Dodamo li sada znak minus objema stranama te jednakosti, dobit ćemo odgovarajuće pravilo za negativne razlomke.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Najmanji zajednički višekratnik

Pretpostavimo da trebate izračunati zbroj dva razlomka:

Već znamo kako se nazivnici rastavljaju na proste faktore:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iz ovog rastavljanja odmah slijedi da je, da bi se razlomci doveli na zajednički nazivnik, dovoljno brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnožiti s 2 ∙ 2 (umnožak nenaglašenih prostih faktora drugog nazivnika), i brojnik i nazivnik drugog razlomka za 3 (“proizvod” nenaglašenih prostih faktora prvog nazivnika). Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki broju koji se može predstaviti na sljedeći način:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Lako je vidjeti da su oba izvorna nazivnika (i 105 i 140) djelitelji broja 420, a broj 420 je pak višekratnik oba nazivnika - i to ne samo višekratnik, već je najmanji zajednički višekratnik (NOC) brojevi 105 i 140. Zapisuje se ovako:

LCM(105, 140) = 420.

Pogledamo li pobliže razlaganje brojeva 105 i 140, vidimo da

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Slično, za proizvoljne prirodne brojeve b I d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Sada dovršimo zbrajanje naših razlomaka:

Tema “Više brojeva” obrađuje se u 5. razredu srednje škole. Cilj mu je unaprijediti pismene i usmene vještine matematičkog računanja. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - “višebrojevi” i “djelitelji”, uvježbava se tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Sam se smatra najmanjim. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Morate dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, morate prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ovih dva broja.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM(6, 7) = 42.

Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik broja bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

Drugi primjer uključuje određivanje je li 9 djelitelj od 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djeljenik se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnožen njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: nd (a, b) x nd (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na jednostavne faktore i pišemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.