Nejednadžbe s modulom. Novi pogled na rješenje
Modul brojeva naziva se sam ovaj broj ako je nenegativan, ili isti broj sa suprotnim predznakom ako je negativan.
Na primjer, modul broja 6 je 6, a modul broja -6 također je 6.
To jest, modul broja se shvaća kao apsolutna vrijednost, apsolutna vrijednost ovog broja bez uzimanja u obzir njegovog znaka.
Označava se na sljedeći način: |6|, | x|, |A| itd.
(Više detalja u odjeljku “Modul brojeva”).
Jednadžbe s modulom.
Primjer 1 . Riješite jednadžbu|10 x - 5| = 15.
Riješenje.
Prema pravilu, jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi:
10x - 5 = 15
10x - 5 = -15
Mi odlučujemo:
10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10
x = 20: 10
x = -10: 10
x = 2
x = -1
Odgovor: x 1 = 2, x 2 = -1.
Primjer 2 . Riješite jednadžbu|2 x + 1| = x + 2.
Riješenje.
Budući da je modul nenegativan broj, onda x+ 2 ≥ 0. Prema tome:
x ≥ -2.
Napravimo dvije jednadžbe:
2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)
Mi odlučujemo:
2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2
2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1
x = 1
x = -1
Oba broja su veća od -2. Dakle, oboje su korijeni jednadžbe.
Odgovor: x 1 = -1, x 2 = 1.
Primjer 3
. Riješite jednadžbu
|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1
Riješenje.
Jednadžba ima smisla ako nazivnik nije nula - to znači ako x≠ 1. Uzmimo ovaj uvjet u obzir. Naša prva radnja je jednostavna - ne samo da se rješavamo razlomka, već ga transformiramo tako da dobijemo modul u njegovom čistom obliku:
|x+ 3| - 1 = 4 · ( x - 1),
|x + 3| - 1 = 4x - 4,
|x + 3| = 4x - 4 + 1,
|x + 3| = 4x - 3.
Sada imamo samo izraz ispod modula na lijevoj strani jednadžbe. Samo naprijed.
Modul broja je nenegativan broj - to jest, mora biti veći od nule ili jednak nuli. Prema tome rješavamo nejednadžbu:
4x - 3 ≥ 0
4x ≥ 3
x ≥ 3/4
Dakle, imamo drugi uvjet: korijen jednadžbe mora biti najmanje 3/4.
U skladu s pravilom sastavljamo skup od dvije jednadžbe i rješavamo ih:
x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)
x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3
x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3
x = 2
x = 0
Dobili smo dva odgovora. Provjerimo jesu li oni korijeni izvorne jednadžbe.
Imali smo dva uvjeta: korijen jednadžbe ne može biti jednak 1, a mora biti najmanje 3/4. To je x ≠ 1, x≥ 3/4. Oba ova uvjeta odgovaraju samo jednom od dva dobivena odgovora - broju 2. To znači da je samo to korijen izvorne jednadžbe.
Odgovor: x = 2.
Nejednadžbe s modulom.
Primjer 1 . Riješite nejednadžbu| x - 3| < 4
Riješenje.
Pravilo modula kaže:
|A| = A, Ako A ≥ 0.
|A| = -A, Ako A < 0.
Modul može imati i nenegativne i negativne brojeve. Stoga moramo razmotriti oba slučaja: x- 3 ≥ 0 i x - 3 < 0.
1) Kada x- 3 ≥ 0 naša izvorna nejednadžba ostaje kakva jest, samo bez znaka modula:
x - 3 < 4.
2) Kada x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(x - 3) < 4.
Otvaranjem zagrada dobivamo:
-x + 3 < 4.
Dakle, iz ova dva uvjeta došli smo do objedinjavanja dva sustava nejednakosti:
x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4
x - 3 < 0
-x + 3 < 4
Riješimo ih:
x ≥ 3
x < 7
x < 3
x > -1
Dakle, naš odgovor je unija dva skupa:
3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.
Odredite najmanju i najveću vrijednost. To su -1 i 7. Štoviše x veći od -1 ali manji od 7.
Osim, x≥ 3. To znači da je rješenje nejednadžbe cijeli niz brojeva od -1 do 7, isključujući ove ekstremne brojeve.
Odgovor: -1 < x < 7.
Ili: x ∈ (-1; 7).
Dodaci.
1) Postoji jednostavniji i kraći način rješavanja naše nejednakosti - grafički. Da biste to učinili, morate nacrtati vodoravnu os (slika 1).
Izraz | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x do točke 3 je manje od četiri jedinice. Na osi označimo broj 3 i lijevo i desno od nje odbrojimo 4 podjela. S lijeve strane ćemo doći do točke -1, s desne strane - do točke 7. Dakle, točke x samo smo ih vidjeli, a da ih nismo izračunali.
Štoviše, prema uvjetu nejednakosti, sami -1 i 7 nisu uključeni u skup rješenja. Dakle, dobivamo odgovor:
1 < x < 7.
2) Ali postoji još jedno rješenje koje je jednostavnije čak i od grafičke metode. Da bismo to učinili, naša nejednakost mora biti predstavljena u sljedećem obliku:
4 < x - 3 < 4.
Uostalom, tako je to po pravilu modula. Nenegativan broj 4 i njemu sličan negativni broj -4 su granice za rješavanje nejednadžbe.
4 + 3 < x < 4 + 3
1 < x < 7.
Primjer 2 . Riješite nejednadžbu| x - 2| ≥ 5
Riješenje.
Ovaj primjer bitno se razlikuje od prethodnog. Lijeva strana je veća od 5 ili jednaka 5. S geometrijskog gledišta, rješenje nejednadžbe su svi brojevi koji su od točke 2 udaljeni 5 jedinica ili više (slika 2). Grafikon pokazuje da su to sve brojevi manji ili jednaki -3 i veći ili jednaki 7. To znači da smo odgovor već dobili.
Odgovor: -3 ≥ x ≥ 7.
Usput rješavamo istu nejednadžbu preuređivanjem slobodnog člana lijevo i desno sa suprotnim predznakom:
5 ≥ x - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2
Odgovor je isti: -3 ≥ x ≥ 7.
Ili: x ∈ [-3; 7]
Primjer je riješen.
Primjer 3 . Riješite nejednadžbu 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0
Riješenje.
Broj x može biti pozitivan broj, negativan broj ili nula. Stoga trebamo uzeti u obzir sve tri okolnosti. Kao što znate, oni se uzimaju u obzir u dvije nejednakosti: x≥ 0 i x < 0. При x≥ 0 jednostavno prepisujemo našu izvornu nejednakost kakva jest, samo bez znaka modula:
6x 2 - x - 2 ≤ 0.
Sada o drugom slučaju: ako x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.
Proširivanje zagrada:
6x 2 + x - 2 ≤ 0.
Tako smo dobili dva sustava jednadžbi:
6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0
6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0
Moramo riješiti nejednadžbe u sustavima - a to znači da moramo pronaći korijene dviju kvadratnih jednadžbi. Da bismo to učinili, izjednačavamo lijeve strane nejednakosti s nulom.
Počnimo s prvim:
6x 2 - x - 2 = 0.
Kako riješiti kvadratnu jednadžbu - pogledajte odjeljak “Kvadratna jednadžba”. Odgovor ćemo odmah navesti:
x 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Iz prvog sustava nejednadžbi proizlazi da je rješenje izvorne nejednadžbe cijeli skup brojeva od -1/2 do 2/3. Pišemo uniju rješenja na x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Sada riješimo drugu kvadratnu jednadžbu:
6x 2 + x - 2 = 0.
Njegovi korijeni:
x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.
Zaključak: kada x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Kombinirajmo dva odgovora i dobijemo konačni odgovor: rješenje je cijeli niz brojeva od -2/3 do 2/3, uključujući ove ekstremne brojeve.
Odgovor: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.
Ili: x ∈ [-2/3; 2/3].
Općinska obrazovna ustanova "Srednja škola Khvastovichi"
"Metoda intervala za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s više modula"
Istraživački rad iz matematike
Izvedena:
Učenik 10. razreda
Golysheva Evgeniya
Nadglednik:
profesorica matematike
Shapenskaya E.N.
Uvod……………………………………………………………………………………… … ….3 Poglavlje 1. Metode rješavanja problema s nekoliko modula…… …………… …............4 1.1.Definicija modula. Rješenje po definiciji.........4 1.2 Rješavanje jednadžbi s više modula metodom intervala......5 1.3 . Problemi s više modula. Metode rješavanja………………………………..7 1.4. Metoda intervala u zadacima s modulima…………………………………………......9 Poglavlje 2. Jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže module…………………………….… 11 2.1 Rješavanje jednadžbi s više modula metodom intervala..….11 2.2 Rješavanje nejednadžbi s više modula metodom intervala..13 Zaključak………………………………………………… …………………………...15 Književnost……………………………………………………………………………………………. ….16
Uvod
Pojam apsolutne vrijednosti jedna je od najvažnijih karakteristika broja, kako u području realnih tako iu području kompleksnih brojeva. Ovaj se koncept naširoko koristi ne samo u raznim dijelovima školskog tečaja matematike, već iu tečajevima više matematike, fizike i tehničkih znanosti koji se studiraju na sveučilištima. Problemi vezani uz apsolutne vrijednosti često se nalaze na matematičkim olimpijadama, prijemnim ispitima na sveučilištima i Jedinstvenom državnom ispitu.
Predmet:"Intervalna metoda za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s više modula intervalnom metodom."
Ciljno područje: matematika.
Predmet proučavanja: rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s modulom.
Predmet proučavanja: intervalna metoda za rješavanje s više modula.
Svrha studije: utvrditi učinkovitost rješavanja jednadžbi i nejednadžbi s više modula metodom intervala.
Hipoteza: Ako intervalnom metodom rješavate nejednadžbe i jednadžbe s više modula, možete značajno pojednostaviti svoj rad.
Metode rada: prikupljanje informacija i njihova analiza.
Zadaci:
Proučite literaturu na ovu temu.
Razmotrite rješenja nejednadžbi i jednadžbi s više modula.
Odredite najučinkovitije rješenje.
Praktični fokus projekta:
Ovo djelo može poslužiti kao nastavno sredstvo za učenike i kao nastavno pomagalo za nastavnike.
Poglavlje 1.
1.1.Definicija modula. Rješenje po definiciji.
Po definiciji, modul ili apsolutna vrijednost nenegativnog broja a podudara se sa samim brojem, a modul negativnog broja jednak je suprotnom broju, to jest a:
Modul broja uvijek je nenegativan. Pogledajmo primjere.
Primjer 1. Riješite jednadžbu |–x| = –3.
Ovdje nema potrebe analizirati slučajeve jer je apsolutna vrijednost broja uvijek nenegativna, a to znači da ova jednadžba nema rješenja.
Napišimo rješenje ovih najjednostavnijih jednadžbi u općem obliku:
Primjer 2. Riješite jednadžbu |x| = 2 – x.
Riješenje. Pri x 0 imamo jednadžbu x = 2 – x, tj. x = 1. Budući da je 1 0, x = 1 je korijen izvorne jednadžbe. U drugom slučaju (x
Odgovor: x = 1.
Primjer 3. Riješite jednadžbu 3|x – 3| + x = –1.
Riješenje. Ovdje je podjela na slučajeve određena predznakom izraza x – 3. Za x – 3 ³ 0 imamo 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Ali 2 – 3 0.
Odgovor: jednadžba nema korijena.
Primjer 4. Riješite jednadžbu |x – 1| = 1 – x.
Riješenje. Budući da je 1 – x = – (x – 1), izravno iz definicije modula slijedi da jednadžbu zadovoljavaju oni i samo oni x za koje je x – 1 0. Ta je jednadžba svedena na nejednadžbu, a odgovor je cijeli interval (zraka).
Odgovor: x 1.
1.2. Rješavanje jednadžbi s modulima pomoću sustava.
Ranije razmotreni primjeri omogućuju nam formuliranje pravila za uklanjanje predznaka modula u jednadžbama. Za jednadžbe oblika |f(x)| = g(x) postoje dva takva pravila:
1. pravilo: |f(x)| = g(x) Û (1)
2. pravilo: |f(x)| = g(x) Û (2)
Objasnimo ovdje korišteni zapis. Vitičaste zagrade predstavljaju sustave, a uglate zagrade predstavljaju agregate.
Rješenja sustava jednadžbi su vrijednosti varijable koje istovremeno zadovoljavaju sve jednadžbe sustava.
Rješenja skupa jednadžbi su sve vrijednosti varijable, od kojih je svaka korijen barem jedne od jednadžbi u skupu.
Dvije jednadžbe su ekvivalentne ako je bilo koje rješenje svake od njih također rješenje one druge, drugim riječima, ako se skupovi njihovih rješenja podudaraju.
Ako jednadžba sadrži nekoliko modula, možete ih se riješiti jedan po jedan, koristeći zadana pravila. Ali obično postoje kraći putevi. Upoznat ćemo ih kasnije, ali sada pogledajmo rješavanje najjednostavnije od ovih jednadžbi:
|f(x)| = |g(x)| Û
Ova ekvivalencija proizlazi iz očite činjenice da ako su apsolutne vrijednosti dvaju brojeva jednake, onda su i sami brojevi jednaki ili suprotni.
Primjer 1. Riješite jednadžbu |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Riješenje. Riješimo se modula na dva gore opisana načina:
1. način: 2. način:
Kao što vidite, u oba slučaja moramo riješiti dvije iste kvadratne jednadžbe, ali u prvom slučaju one su popraćene kvadratnim nejednadžbama, au drugom linearnim. Stoga je druga metoda za ovu jednadžbu jednostavnija. Rješavajući kvadratne jednadžbe, nalazimo korijene prve, oba korijena zadovoljavaju nejednadžbu. Diskriminant druge jednadžbe je negativan, stoga jednadžba nema korijena.
Odgovor: .
Primjer 2. Riješite jednadžbu |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.
Riješenje. Već znamo da ovdje nema potrebe razmatrati (čak 4) varijante raspodjele predznaka izraza pod modulima: ova jednadžba je ekvivalentna skupu od dvije kvadratne jednadžbe bez dodatnih nejednakosti: Što je ekvivalentno: prva jednadžba skupa rješenja nema (diskriminanta joj je negativna), druga jednadžba ima dva korijena.
1.3. Problemi s više modula. Metode rješenja.
Sekvencijalno širenje modula.
Postoje dva glavna pristupa rješavanju jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže više modula. Možemo ih nazvati "serijskim" i "paralelnim". Sada se upoznajmo s prvim od njih.
Njegova ideja je da se prvo jedan od modula izolira u jednom dijelu jednadžbe (ili nejednadžbe) i otkrije jednom od ranije opisanih metoda. Zatim se ista stvar ponavlja sa svakom od dobivenih jednadžbi s modulima, i tako dalje dok se ne riješimo svih modula.
Primjer 1. Riješite jednadžbu: +
Riješenje. Izolirajmo drugi modul i proširimo ga prvom metodom, odnosno jednostavnim određivanjem apsolutne vrijednosti:
Na dobivene dvije jednadžbe primjenjujemo drugu metodu uklanjanja modula:
Konačno, rješavamo dobivene četiri linearne jednadžbe i odabiremo one korijene koji zadovoljavaju odgovarajuće nejednadžbe. Kao rezultat toga, preostale su samo dvije vrijednosti: x = –1 i .
Odgovor: -1; .
Paralelno širenje modula.
Možete ukloniti sve module u jednadžbi ili nejednadžbi odjednom i zapisati sve moguće kombinacije predznaka submodularnih izraza. Ako u jednadžbi ima n modula, tada će biti 2 n opcija, jer svaki od n izraza ispod modula, prilikom uklanjanja modula, može dobiti jedan od dva predznaka - plus ili minus. U principu, trebamo riješiti svih 2 n jednadžbi (ili nejednadžbi), oslobođenih modula. Ali njihova će rješenja također biti rješenja izvornog problema samo ako leže u područjima gdje se odgovarajuća jednadžba (nejednadžba) podudara s izvornom. Ta su područja definirana predznacima izraza ispod modula. Sljedeću nejednadžbu smo već riješili, pa možete usporediti različite pristupe rješavanju.
Primjer 2.+
Riješenje.
Razmotrimo 4 moguća skupa simbola za izraze pod modulima.
Samo prvi i treći od ovih korijena zadovoljavaju odgovarajuće nejednakosti, a time i izvornu jednadžbu.
Odgovor: -1; .
Slično, možete riješiti sve probleme s nekoliko modula. Ali, kao i svaka univerzalna metoda, ovo rješenje nije uvijek optimalno. U nastavku ćemo vidjeti kako se to može poboljšati.
1.4. Intervalna metoda u problemima s modulima
Promotrimo li pobliže uvjete koji specificiraju različite mogućnosti raspodjele predznaka submodularnih izraza u prethodnom rješenju, vidjet ćemo da je jedan od njih, 1 – 3x
Zamislite da rješavamo jednadžbu koja uključuje tri modula linearnih izraza; na primjer, |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.
Prvi modul je jednak x – a za x ³ a i a – x za x b i x
Oni tvore četiri prostora. Na svakom od njih svaki od izraza ispod modula zadržava svoj predznak, stoga jednadžba u cjelini nakon proširenja modula ima isti oblik na svakom intervalu. Dakle, od 8 teoretski mogućih opcija za otvaranje modula, samo 4 su nam se pokazale dovoljnima!
Također možete riješiti bilo koji problem s nekoliko modula. Naime, numerička os se dijeli na intervale konstantnog predznaka svih izraza pod modulima, a zatim se na svakom od njih rješava jednadžba ili nejednadžba u koju se zadani problem pretvara na tom intervalu. Konkretno, ako su svi izrazi pod modulima racionalni, tada je dovoljno na osi označiti njihove korijene, kao i točke u kojima nisu definirani, odnosno korijene njihovih nazivnika. Označene točke definiraju tražene intervale konstantnog predznaka. Na potpuno isti način postupamo kada rješavamo racionalne nejednadžbe metodom intervala. I metoda koju smo opisali za rješavanje problema s modulima ima isto ime.
Primjer 1. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Nađimo nule funkcije, odakle. Zadatak rješavamo na svakom intervalu:
Dakle, ova jednadžba nema rješenja.
Primjer 2. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Nađimo nule funkcije. Zadatak rješavamo na svakom intervalu:
1) (nema rješenja);
Primjer 3. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Izrazi pod znakom apsolutne vrijednosti nestaju na . Prema tome, moramo razmotriti tri slučaja:
2) - korijen jednadžbe;
3) je korijen ove jednadžbe.
Poglavlje 2. Jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže module.
2.1 Rješavanje jednadžbi s više modula metodom intervala.
Primjer 1.
Riješite jednadžbu:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) + x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 – ne zadovoljava
stanje x
nema rješenja
2. Ako je -2≤h
x+2 = -(x-1)+x-3
zadovoljava
stanje -2
3. Ako je x≥1, tada
Odgovor: x=6
Primjer 2.
Riješite jednadžbu:
1) Pronađite nule submodularnih izraza
Nule submodularnih izraza dijele brojevni pravac na nekoliko intervala. Na tim intervalima rasporedimo predznake submodularnih izraza.
U svakom intervalu otvaramo module i rješavamo dobivenu jednadžbu. Nakon pronalaska korijena provjeravamo da li pripada intervalu na kojem trenutno radimo.
1. :
- odgovara.
2. :
– ne odgovara.
3. :
– odgovara.
4. :
– ne odgovara. Odgovor:
2.2 Rješavanje nejednadžbi s više modula metodom intervala.
Primjer 1.
Riješite nejednadžbu:
|x-1| + |x-3| 4
-(x-1) - (x-3) 4
2. Ako je 1≤h
x-1– (x-3) 4
24 nije točno
nema rješenja
3. Ako je x≥3, tada
Odgovor: xÊ (-∞;0) U (4;+∞)
Primjer 2.
Riješimo nejednadžbu
Riješenje. Točke i (korijeni izraza ispod modula) dijele cijelu numeričku os na tri intervala, na svakom od kojih treba proširiti module.
1) Kada je , a nejednadžba ima oblik , tj. U ovom slučaju odgovor je.
2) Kada je , nejednadžba ima oblik , tj. Ova nejednakost vrijedi za bilo koju vrijednost varijable, a uzimajući u obzir činjenicu da je rješavamo na skupu, odgovor dobivamo u drugom slučaju.
3) Kada je , nejednadžba se transformira u , a rješenje je u tom slučaju . Općenito rješenje nejednakosti je kombiniranje tri dobivena odgovora.
Stoga je za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže nekoliko modula prikladno koristiti metodu intervala. Da biste to učinili, morate pronaći nule svih submodularnih funkcija i označiti ih na ODZ jednadžbi i nejednadžbi.
Zaključak
Nedavno su u matematici široko korištene metode za pojednostavljenje rješavanja problema, posebice metoda intervala, koja može značajno ubrzati izračune. Stoga je relevantno proučavanje intervalne metode za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s više modula.
U procesu rada na temi “Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s predznakom modula nepoznanice metodom intervala” sam: proučavao literaturu o ovoj problematici, upoznao se s algebarskim i grafičkim pristupom rješavanju jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže nepoznato pod znakom modula i došao do zaključka:
U nekim slučajevima, kod rješavanja jednadžbi s modulom, moguće je jednadžbe rješavati prema pravilima, a ponekad je zgodnije koristiti intervalnu metodu.
Kod rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koje sadrže modul intervalna metoda je preglednija i relativno jednostavnija.
Tijekom pisanja znanstvenog rada otkrio sam mnoge probleme koji se mogu riješiti metodom intervala. Najvažniji zadatak je rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s više modula.
Tijekom rada na rješavanju nejednadžbi i jednadžbi s više modula metodom intervala, utvrdio sam da se brzina rješavanja zadataka udvostručila. To vam omogućuje značajno ubrzanje procesa rada i smanjenje troškova vremena. Time je potvrđena moja hipoteza “ako intervalnom metodom rješavate nejednadžbe i jednadžbe s više modula, možete značajno pojednostaviti svoj rad”. Tijekom rada na istraživanju stekao sam iskustvo u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi s više modula. Mislim da će mi znanje koje sam stekla omogućiti da izbjegnem greške prilikom donošenja odluka.
Književnost
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s modulom I.I. M.: Izdavačka kuća Factorial, 2009. - 112 str.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Jednadžbe i nejednadžbe. Nestandardne metode rješenja. M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. - 219 str.
Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Jednadžbe i nejednadžbe s modulima i metode za njihovo rješavanje. M.: Izdavačka kuća Prosvjetljenje 2005. - 112 str.
Sadovnichy Yu.V. Jedinstveni državni ispit. Radionica iz matematike. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi. Pretvaranje algebarskih izraza. M.: Izdavačka kuća Legion 2015. - 128 str.
Shevkin A.V. Kvadratne nejednakosti. Metoda intervala. M.: LLC “Ruska riječ - obrazovna knjiga”, 2003. – 32 str.
http://padabum.com
Metode (pravila) za otkrivanje nejednakosti s modulima sastoje se u sekvencijalnom otkrivanju modula, koristeći intervale konstantnog predznaka submodularnih funkcija. U konačnoj verziji dobiva se nekoliko nejednakosti iz kojih se pronalaze intervali ili intervali koji zadovoljavaju uvjete zadatka.
Prijeđimo na rješavanje uobičajenih primjera u praksi.
Linearne nejednadžbe s modulima
Pod linearnim podrazumijevamo jednadžbe u kojima varijabla linearno ulazi u jednadžbu.
Primjer 1. Pronađite rješenje nejednadžbe
Riješenje:
Iz uvjeta zadatka proizlazi da se moduli pretvaraju u nulu pri x=-1 i x=-2. Te točke dijele brojevni pravac na intervale
U svakom od ovih intervala rješavamo zadanu nejednadžbu. Da bismo to učinili, prije svega crtamo grafičke crteže područja konstantnog znaka submodularnih funkcija. Oni su prikazani kao područja sa znakovima svake od funkcija
odnosno intervale s predznacima svih funkcija. 
U prvom intervalu širimo module
Pomnožimo obje strane s minus jedan i predznak u nejednadžbi će se promijeniti u suprotan. Ako vam je teško naviknuti se na ovo pravilo, možete pomaknuti svaki od dijelova iza znaka kako biste se riješili minusa. Na kraju ćete dobiti
Sjecište skupa x>-3 s površinom na kojoj su jednadžbe rješavane bit će interval (-3;-2). Za one kojima je lakše pronaći rješenja, možete grafički nacrtati sjecište ovih područja
Rješenje će biti zajedničko sjecište područja. Ako su strogo neravni, rubovi nisu uključeni. Ako nije strogo, provjerite zamjenom.
Na drugom intervalu dobivamo 
Presjek će biti interval (-2;-5/3). Grafički će rješenje izgledati ovako
Na trećem intervalu dobivamo
Ovaj uvjet ne pruža rješenja u željenoj regiji.
Budući da dva pronađena rješenja (-3;-2) i (-2;-5/3) graniče s točkom x=-2, provjeravamo i to.
Dakle, točka x=-2 je rješenje. Opće rješenje koje ovo uzima u obzir izgledat će kao (-3;5/3).
Primjer 2. Naći rješenje nejednadžbe
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Riješenje:
Nulte točke submodularnih funkcija bit će točke x=2, x=3, x=4. Za vrijednosti argumenata manje od ovih točaka submodularne funkcije su negativne, a za veće vrijednosti pozitivne.
Točke dijele realnu os u četiri intervala. Proširujemo module prema intervalima konstantnog predznaka i rješavamo nejednadžbe.
1) U prvom intervalu sve submodularne funkcije su negativne, pa kod proširenja modula mijenjamo predznak u suprotan.
Sjecište pronađenih x vrijednosti s razmatranim intervalom bit će skup točaka
2) Na intervalu između točaka x=2 i x=3 prva submodularna funkcija je pozitivna, druga i treća su negativne. Proširujući module, dobivamo
nejednadžba koja kada se presječe s intervalom na kojem rješavamo daje jedno rješenje – x=3.
3) Na intervalu između točaka x=3 i x=4 prva i druga submodularna funkcija su pozitivne, a treća negativna. Na temelju ovoga dobivamo
Ovaj uvjet pokazuje da će cijeli interval zadovoljiti nejednakost s modulima.
4) Za vrijednosti x>4 sve funkcije imaju pozitivne predznake. Kod proširenja modula ne mijenjamo im predznak.
Nađeni uvjet u sjecištu s intervalom daje sljedeći skup rješenja
Budući da je nejednadžba riješena na svim intervalima, ostaje pronaći zajedničku vrijednost svih pronađenih vrijednosti x. Rješenje će biti dva intervala 
Ovo zaključuje primjer.
Primjer 3. Pronađite rješenje nejednadžbe
||x-1|-5|>3-2x
Riješenje:
Imamo nejednakost s modulom iz modula. Takve se nejednakosti otkrivaju kako se moduli ugniježđuju, počevši od onih koji se nalaze dublje.
Submodularna funkcija x-1 se pretvara u nulu na x=1. Za manje vrijednosti iznad 1 negativan je i pozitivan za x>1. Na temelju toga proširujemo interni modul i razmatramo nejednakost na svakom od intervala.
Prvo, razmotrite interval od minus beskonačnosti do jedan 
Submodularna funkcija je nula pri x=-4 . Pri manjim vrijednostima je pozitivan, pri većim negativan. Proširimo modul za x<-4:
Na raskrižju s područjem koje razmatramo dobivamo skup rješenja
Sljedeći korak je proširenje modula na interval (-4;1) 
Uzimajući u obzir područje proširenja modula, dobivamo interval rješenja
ZAPAMTITE: ako u takvim nepravilnostima s modulima dobijete dva intervala koja graniče sa zajedničkom točkom, onda je to u pravilu također rješenje.
Da biste to učinili, samo trebate provjeriti.
U ovom slučaju, zamijenimo točku x=-4.
Dakle, x=-4 je rješenje.
Proširimo interni modul za x>1
Submodularna funkcija negativna za x<6.
Proširujući modul dobivamo
Ovaj uvjet u odsječku s intervalom (1;6) daje prazan skup rješenja.
Za x>6 dobivamo nejednakost
Također rješavajući dobili smo prazan skup.
Uzimajući u obzir sve navedeno, jedino rješenje nejednakosti s modulima bit će sljedeći interval.
Nejednadžbe s modulima koji sadrže kvadratne jednadžbe
Primjer 4. Pronađite rješenje nejednadžbe
|x^2+3x|>=2-x^2 
Riješenje:
Submodularna funkcija nestaje u točkama x=0, x=-3. Jednostavna zamjena minus jedan 
utvrđujemo da je manji od nule u intervalu (-3;0) i pozitivan izvan njega.
Proširimo modul u područjima gdje je submodularna funkcija pozitivna 
Preostaje odrediti područja u kojima je kvadratna funkcija pozitivna. Da bismo to učinili, odredimo korijene kvadratne jednadžbe 
Radi praktičnosti, zamjenjujemo točku x=0, koja pripada intervalu (-2;1/2). Funkcija je negativna u ovom intervalu, što znači da će rješenje biti sljedeći skupovi x 
Ovdje su rubovi područja s rješenjima označeni zagradama; to je učinjeno namjerno, uzimajući u obzir sljedeće pravilo.
ZAPAMTITE: Ako je nejednadžba s modulima, ili jednostavna nejednadžba stroga, tada rubovi pronađenih područja nisu rješenja, ali ako nejednadžbe nisu stroge (), onda su bridovi rješenja (označeni uglatim zagradama).
Ovo pravilo koriste mnogi učitelji: ako je zadana stroga nejednakost, a tijekom izračuna u rješenju napišete uglatu zagradu ([,]), oni će to automatski smatrati netočnim odgovorom. Također, prilikom testiranja, ako je dana nestriktna nejednakost s modulima, potražite područja s uglatim zagradama među rješenjima.
Na intervalu (-3;0), proširujući modul, mijenjamo predznak funkcije u suprotan 
Uzimajući u obzir područje otkrivanja nejednakosti, rješenje će imati oblik
Zajedno s prethodnim područjem ovo će dati dva poluintervala
Primjer 5. Pronađite rješenje nejednadžbe
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Riješenje:
Zadana je nestroga nejednadžba čija je submodularna funkcija jednaka nuli u točki x=3. Za manje vrijednosti je negativan, za veće vrijednosti je pozitivan. Proširite modul na interval x<3.
Određivanje diskriminante jednadžbe
i korijenje 
Zamjenom nulte točke, saznajemo da je na intervalu [-1/9;1] kvadratna funkcija negativna, stoga je interval rješenje. Zatim širimo modul na x>3 
Matematika je simbol mudrosti znanosti,
uzor znanstvene strogosti i jednostavnosti,
standard izvrsnosti i ljepote u znanosti.
Ruski filozof, profesor A.V. Vološinov
Nejednadžbe s modulom
Najteži problemi za rješavanje u školskoj matematici su nejednadžbe, koji sadrži varijable pod znakom modula. Da biste uspješno riješili takve nejednakosti, morate dobro poznavati svojstva modula i imati vještine za njihovo korištenje.
Osnovni pojmovi i svojstva
Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja označen sa i definira se na sljedeći način:
Jednostavna svojstva modula uključuju sljedeće odnose:
I .
Bilješka, da posljednja dva svojstva vrijede za svaki parni stupanj.
Štoviše, ako, gdje, onda i
Složenija svojstva modula, koji se mogu učinkovito koristiti pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi s modulima, formulirani su kroz sljedeće teoreme:
Teorem 1.Za sve analitičke funkcije I nejednakost je istinita.
Teorem 2. Jednakost ravno nejednakosti.
Teorem 3. Jednakost ravno nejednakosti.
Najčešće nejednakosti u školskoj matematici, koji sadrži nepoznate varijable pod znakom modula, su nejednakosti oblika i gdje neka pozitivna konstanta.
Teorem 4. Nejednakost je ekvivalent dvostrukoj nejednakosti, i rješenje nejednadžbesvodi na rješavanje skupa nejednadžbi i .
Ovaj teorem je poseban slučaj teorema 6 i 7.
Složenije nejednadžbe, koji sadrže modul su nejednadžbe oblika, i .
Metode za rješavanje takvih nejednakosti mogu se formulirati pomoću sljedeća tri teorema.
Teorem 5. Nejednakost je ekvivalentan kombinaciji dvaju sustava nejednakosti
ja (1)
Dokaz. Od tad
Ovo implicira valjanost (1).
Teorem 6. Nejednakost je ekvivalentan sustavu nejednakosti
Dokaz. jer, zatim iz nejednakosti slijedi to . Pod ovim uvjetom, nejednakostte će se u tom slučaju drugi sustav nejednakosti (1) pokazati nedosljednim.
Teorem je dokazan.
Teorem 7. Nejednakost ekvivalentan je kombinaciji jedne nejednakosti i dva sustava nejednakosti
ja (3)
Dokaz. Od , Tada je nejednakost uvijek izvršena, Ako .
Neka, zatim nejednakostbit će ekvivalent nejednakosti, iz čega slijedi skup dviju nejednakosti i .
Teorem je dokazan.
Pogledajmo tipične primjere rješavanja zadataka na temu “Nejednakosti, koji sadrži varijable pod znakom modula."
Rješavanje nejednadžbi s modulom
Najjednostavnija metoda za rješavanje nejednadžbi s modulom je metoda, na temelju proširenja modula. Ova metoda je univerzalna, međutim, u općem slučaju, njegova uporaba može dovesti do vrlo glomaznih izračuna. Stoga bi učenici trebali poznavati druge (učinkovitije) metode i tehnike za rješavanje takvih nejednakosti. Posebno, potrebno je posjedovati vještine u primjeni teorema, dano u ovom članku.
Primjer 1.Riješite nejednadžbu
. (4)
Riješenje.Nejednadžbu (4) ćemo rješavati “klasičnom” metodom – metodom otkrivanja modula. U tu svrhu dijelimo brojevnu os točkice i u intervale i razmotrimo tri slučaja.
1. Ako je , tada , , , a nejednakost (4) ima oblik ili .
Budući da se ovdje razmatra slučaj, to je rješenje nejednadžbe (4).
2. Ako, tada iz nejednakosti (4) dobivamo ili . Budući da sjecište intervala I prazno je, tada na intervalu razmatranih rješenja ne postoji nejednadžba (4).
3. Ako, tada nejednakost (4) ima oblik ili . Očito je da također je rješenje nejednadžbe (4).
Odgovor: , .
Primjer 2. Riješite nejednadžbu.
Riješenje. Pretpostavimo da. jer, tada zadana nejednakost poprima oblik ili . Od tad a odavde slijedi ili .
Međutim, dakle ili.
Primjer 3. Riješite nejednadžbu
. (5)
Riješenje. jer, tada je nejednakost (5) ekvivalentna nejednakostima ili . Odavde, prema teoremu 4, imamo skup nejednakosti i .
Odgovor: , .
Primjer 4.Riješite nejednadžbu
. (6)
Riješenje. Označimo . Tada iz nejednadžbe (6) dobivamo nejednadžbe , , ili .
Odavde, metodom intervala, dobivamo . jer, onda ovdje imamo sustav nejednakosti
Rješenje prve nejednadžbe sustava (7) je unija dvaju intervala i , a rješenje druge nejednadžbe je dvostruka nejednadžba. Iz čega slijedi , da je rješenje sustava nejednadžbi (7) unija dvaju intervala i .
Odgovor: ,
Primjer 5.Riješite nejednadžbu
. (8)
Riješenje. Transformirajmo nejednadžbu (8) na sljedeći način:
Ili .
Metodom intervala, dobivamo rješenje nejednadžbe (8).
Odgovor: .
Bilješka. Ako stavimo i u uvjete teorema 5, dobivamo .
Primjer 6. Riješite nejednadžbu
. (9)
Riješenje. Iz nejednakosti (9) slijedi. Transformirajmo nejednadžbu (9) na sljedeći način:
Ili
Od , dakle ili .
Odgovor: .
Primjer 7.Riješite nejednadžbu
. (10)
Riješenje. Od i , tada ili .
S tim u vezi a nejednakost (10) poprima oblik
Ili
. (11)
Iz toga slijedi da ili . Kako je , onda iz nejednakosti (11) također proizlazi ili .
Odgovor: .
Bilješka. Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu nejednakosti (10), onda dobivamo . Iz ovoga i nejednakosti (10) slijedi, što ili . jer, tada nejednakost (10) ima oblik ili .
Primjer 8. Riješite nejednadžbu
. (12)
Riješenje. Od tad a iz nejednakosti (12) slijedi ili . Međutim, dakle ili. Odavde dobivamo ili .
Odgovor: .
Primjer 9. Riješite nejednadžbu
. (13)
Riješenje. Prema teoremu 7, rješenje nejednadžbe (13) je ili .
Neka bude sada. U ovom slučaju a nejednakost (13) poprima oblik ili .
Ako kombinirate intervale i , tada dobivamo rješenje nejednadžbe (13) oblika.
Primjer 10. Riješite nejednadžbu
. (14)
Riješenje. Prepišimo nejednadžbu (14) u ekvivalentnom obliku: . Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu ove nejednakosti, dobit ćemo nejednakost .
Odavde i iz teorema 1 slijedi, da je nejednakost (14) zadovoljena za bilo koje vrijednosti.
Odgovor: bilo koji broj.
Primjer 11. Riješite nejednadžbu
. (15)
Riješenje. Primjenom teorema 1 na lijevu stranu nejednadžbe (15), dobivamo . Ovo i nejednadžba (15) daju jednadžbu, koji ima oblik.
Prema teoremu 3, jednadžba ravno nejednakosti. Odavde dobivamo.
Primjer 12.Riješite nejednadžbu
. (16)
Riješenje. Iz nejednadžbe (16) prema teoremu 4 dobivamo sustav nejednadžbi
Prilikom rješavanja nejednadžbeIskoristimo teorem 6 i dobijmo sustav nejednadžbiiz čega slijedi.
Razmotrimo nejednakost. Prema teoremu 7, dobivamo skup nejednakosti i . Druga nejednakost stanovništva vrijedi za svaki real.
Stoga , rješenje nejednadžbe (16) je.
Primjer 13.Riješite nejednadžbu
. (17)
Riješenje. Prema teoremu 1 možemo pisati
(18)
Uzimajući u obzir nejednadžbu (17), zaključujemo da obje nejednadžbe (18) prelaze u jednakosti, tj. postoji sustav jednadžbi
Prema teoremu 3, ovaj sustav jednadžbi je ekvivalentan sustavu nejednadžbi
ili
Primjer 14.Riješite nejednadžbu
. (19)
Riješenje. Od tad. Pomnožimo obje strane nejednakosti (19) s izrazom , koji uzima samo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost. Tada dobivamo nejednadžbu koja je ekvivalentna nejednadžbi (19), oblika
Odavde dolazimo ili , gdje . Od i tada je rješenje nejednadžbe (19). i .
Odgovor: , .
Za dublje proučavanje metoda za rješavanje nejednakosti s modulom, preporučujemo da se obratite udžbenicima, navedeno u popisu preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakultetima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: metode rješavanja i dokazivanja nejednakosti. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 str.
3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 str.
Još uvijek imate pitanja?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
