Inverzni odnos. Prva razina

Prva razina

Inverzni odnos. Prva razina.

Sada ćemo govoriti o obrnutoj ovisnosti, odnosno obrnutoj proporcionalnosti, kao funkciji. Sjećate li se da je funkcija određena vrsta ovisnosti? Ako još niste pročitali temu, toplo preporučam da odustanete od svega i pročitate je, jer ne možete proučavati niti jednu konkretnu funkciju, a da ne razumijete što je to - funkcija.

Također je vrlo korisno savladati dvije jednostavnije funkcije prije nego započnete ovu temu: i . Tamo ćete učvrstiti koncept funkcije i naučiti raditi s koeficijentima i grafovima.

Dakle, sjećate li se što je funkcija?
Ponovimo: funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu jednog skupa (argumentu) pridružuje određena ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). To jest, ako imate funkciju, to znači da za svaku valjanu vrijednost varijable (koja se naziva "argument") postoji odgovarajuća vrijednost varijable (koja se naziva "funkcija"). Što znači "prihvatljivo"? Ako ne možete odgovoriti na ovo pitanje, vratite se ponovno na temu “”! Sve je u konceptu "domena": Za neke funkcije nisu svi argumenti jednako korisni i mogu se zamijeniti u zavisnosti. Na primjer, za funkciju, negativne vrijednosti argumenata nisu dopuštene.

Funkcija koja opisuje inverzni odnos

Ovo je funkcija oblika where.

Na drugi način, to se naziva inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Definirajmo domenu definicije. Čemu može biti jednako? Ili, drugim riječima, čemu ne može biti jednak?

Jedini broj s kojim se ne može podijeliti je dakle:

ili, što je isto,

(ovakav zapis znači da to može biti bilo koji broj, osim: znak “ ” označava skup realnih brojeva, odnosno sve moguće brojeve; znak “ ” označava isključenje nečega iz tog skupa (analogno “minus” ”), a broj u vitičastim zagradama znači samo broj; ispada da iz svih mogućih brojeva isključujemo).

Ispostavilo se da je skup vrijednosti funkcije potpuno isti: na kraju krajeva, ako, onda bez obzira na što ga podijelimo, neće raditi:

Moguće su i neke varijacije formule. Na primjer, ovo je također funkcija koja opisuje inverzni odnos.
Sami odredite domenu definicije i raspon vrijednosti ove funkcije. Trebalo bi izgledati ovako:

Pogledajmo ovu funkciju: . Je li to obrnuto povezano?

Na prvi pogled teško je reći: uostalom, s povećanjem rastu i nazivnik razlomka i brojnik, pa nije jasno hoće li se funkcija smanjivati, a ako hoće, hoće li se smanjivati ​​proporcionalno? Da bismo ovo razumjeli, moramo transformirati izraz tako da nema varijable u brojniku:

Doista, dobili smo obrnuti odnos, ali s upozorenjem: .

Evo još jednog primjera: .

Ovdje je još kompliciranije: uostalom, brojnik i nazivnik sada se sigurno ne poništavaju. Ali ipak možemo pokušati:

Razumiješ li što sam učinio? U brojniku sam zbrajao i oduzimao isti broj (), pa kao da nisam ništa mijenjao, ali sada je u brojniku dio koji je jednak nazivniku. Sada ću podijeliti pojam po pojam, odnosno podijelit ću ovaj razlomak na zbroj dvaju razlomaka:

(doista, ako ono što sam dobio svedemo na zajednički nazivnik, dobit ćemo naš početni razlomak):

Wow! Opet radi obrnuti odnos, samo što mu je sada dodan broj.
Ova metoda će nam kasnije biti od velike koristi pri konstruiranju grafova.

Sada sami transformirajte izraze u inverzni odnos:

odgovori:

2. Ovdje se trebate sjetiti kako se faktorizira kvadratni trinom (to je detaljno opisano u temi “”). Dopustite mi da vas podsjetim da za ovo trebate pronaći korijene odgovarajuće kvadratne jednadžbe: . Pronaći ću ih usmeno pomoću Vietinog teorema: , . Kako se to radi? To možete naučiti čitajući temu.
Dakle, dobivamo: , dakle:

3. Jeste li to već pokušali sami riješiti? U čemu je kvaka? Sigurno je činjenica da imamo u brojniku i u nazivniku - to je jednostavno. Nije problem. Trebat ćemo smanjiti za, pa ga u brojniku staviti izvan zagrade (tako da u zagradi dobijemo bez koeficijenta):

Graf inverznog odnosa

Kao i uvijek, počnimo s najjednostavnijim slučajem: .
Napravimo tablicu:

Nacrtajmo točke na koordinatnoj ravnini:

Sada ih treba glatko povezati, ali kako? Vidi se da točke na desnoj i lijevoj strani tvore naizgled nepovezane zakrivljene linije. Način na koji je. Grafikon će izgledati ovako:

Ovaj graf se zove "hiperbola"(postoji nešto poput "parabole" u tom nazivu, zar ne?). Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što one nisu međusobno povezane. Svaki od njih nastoji svojim krajevima približiti se osi i, ali ih nikako ne doseže. Ako istu hiperbolu pogledate izdaleka, dobit ćete sljedeću sliku:

To je razumljivo: budući da graf ne može prijeći os. Ali također, tako da graf nikada neće dodirivati ​​os.

Pa, sada da vidimo na što koeficijenti utječu. Razmotrite ove funkcije:
:

Wow, kakva ljepota!
Svi grafikoni su iscrtani u različitim bojama kako bi se lakše međusobno razlikovali.

Dakle, na što prvo trebamo obratiti pozornost? Na primjer, ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada je grafikon okrenut, odnosno prikazan je simetrično u odnosu na os.

Drugo: što je veći broj u nazivniku, to graf više "bježi" od ishodišta.

Što ako funkcija izgleda složenije, na primjer, ?

U ovom slučaju, hiperbola će biti potpuno ista kao i uobičajena, samo će se malo pomaknuti. Razmislimo, gdje?

Čemu sad ne može biti jednako? Točno, . To znači da graf nikada neće dosegnuti ravnu liniju. Čemu ne može biti jednako? Sada. To znači da će sada grafikon težiti ravnoj liniji, ali je nikada neće prijeći. Dakle, sada ravne linije igraju istu ulogu kao koordinatne osi za funkciju. Takve linije nazivaju se asimptote(linije kojima graf teži, ali ih ne doseže):

Naučit ćemo više o tome kako se takvi grafovi konstruiraju u temi.

Sada pokušajte riješiti nekoliko primjera za konsolidaciju:

1. Na slici je prikazan graf funkcije. Definirati.

2. Na slici je prikazan graf funkcije. Definirati

3. Na slici je prikazan graf funkcije. Definirati.

4. Na slici je prikazan graf funkcije. Definirati.

5. Na slici su prikazani grafovi funkcija i.

Odaberite ispravan omjer:

odgovori:

Obrnuta ovisnost u životu

Gdje u praksi nalazimo takvu funkciju? Primjera je mnogo. Najčešći je kretanje: što je veća brzina kojom se krećemo, manje će nam vremena trebati da prijeđemo istu udaljenost. Doista, sjetimo se formule za brzinu: , gdje je brzina, je vrijeme putovanja, je udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme:

Primjer:

Osoba ide na posao prosječnom brzinom od km/h i stigne za sat vremena. Koliko će minuta provesti na istoj cesti ako vozi brzinom od km/h?

Riješenje:

Općenito, takve zadatke ste već rješavali u 5. i 6. razredu. Napravili ste omjer:

Odnosno, koncept obrnute proporcionalnosti već vam je poznat. Pa smo se sjetili. A sad isto, samo na odrasli način: kroz funkciju.

Funkcija (to jest, ovisnost) vremena u minutama o brzini:

Poznato je da tada:

Treba pronaći:

Sada smislite nekoliko primjera iz života u kojima je prisutna obrnuta proporcionalnost.
Izmislio? Bravo ako to učinite. Sretno!

OBRNUTA OVISNOST. UKRATKO O GLAVNOM

1. Definicija

Funkcija koja opisuje inverzni odnos je funkcija oblika gdje.

Na drugi način, ova se funkcija naziva obrnutom proporcionalnošću, budući da povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.

ili, što je isto,

Graf inverznog odnosa je hiperbola.

2. Koeficijenti, i.

Odgovoran za “spljoštenost” i smjer grafa: što je ovaj koeficijent veći, to se hiperbola nalazi dalje od ishodišta, pa stoga "zaokreće" manje strmo (vidi sliku). Predznak koeficijenta utječe na to u kojoj se četvrtini nalazi graf:

• ako, tada se grane hiperbole nalaze u i četvrtinama;
• ako, onda u i.

x=a je vertikalna asimptota, odnosno vertikala kojoj graf teži.

Broj je odgovoran za pomicanje grafa funkcije prema gore za iznos ako je , i za pomak prema dolje ako je .

Stoga je ovo horizontalna asimptota.

Ponovimo teoriju o funkcijama. Funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu jednog skupa (argumentu) pridružuje određena ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). Odnosno, ako postoji funkcija \(y = f(x)\), to znači da za svaku valjanu vrijednost varijable \(x\)(koji se naziva “argument”) odgovara jednoj vrijednosti varijable \(y\)(naziva se "funkcija").

Funkcija koja opisuje inverzni odnos

Ovo je funkcija forme \(y = \frac(k)(x)\), gdje \(k\ne 0.\)

Na drugi način, to se naziva inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Definirajmo domenu definicije. Čemu može biti jednako \(x\)? Ili, drugim riječima, čemu ne može biti jednak?

Jedini broj s kojim se ne može podijeliti je 0, dakle \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty)\)

ili, što je isto:

\(D(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\).\)

Ovaj zapis znači da \(x\) može biti bilo koji broj osim 0: znak “R” označava skup realnih brojeva, odnosno sve moguće brojeve; znak "\" označava isključenje nečega iz ovog skupa (analogno znaku "minus"), a broj 0 u vitičastim zagradama jednostavno označava broj 0; Ispada da iz svih mogućih brojeva isključujemo 0.

Ispostavilo se da je skup vrijednosti funkcije potpuno isti: nakon svega, ako je \(k \ne 0.\) , bez obzira na to čime ga podijelimo, 0 neće raditi:

\(E(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty)\)

ili \(E(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\).\)

Moguće su i neke varijacije formule \(y = \frac(k)(x)\)​​. Na primjer, \(y = \frac(k)((x + a))\) je također funkcija koja opisuje inverzni odnos. Opseg i raspon vrijednosti ove funkcije su sljedeći:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \šalica (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty).\)

Razmotrimo primjer, reduciramo izraz na oblik inverznog odnosa:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Umjetno smo unijeli vrijednost 3 u brojnik, a sada dijelimo brojnik s nazivnikom član po član, dobivamo:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Dobili smo inverzni odnos plus broj 1.

Graf inverznog odnosa

Počnimo s jednostavnim slučajem \(y = \frac(1)(x).\)

Kreirajmo tablicu vrijednosti:

Nacrtajmo točke na koordinatnoj ravnini:

Spojite točkice, grafikon će izgledati ovako:

Ovaj graf se zove "hiperbola". Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što one nisu međusobno povezane. Svaki od njih nastoji pomaknuti svoje krajeve bliže osi Vol I Joj, ali nikada ne dopire do njih.

Zabilježimo neke značajke funkcije:

1. Ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada je graf okrenut, odnosno prikazuje se simetrično u odnosu na os Vol.
2. Što je veći broj u nazivniku, to graf dalje “bježi” od ishodišta.

Obrnuta ovisnost u životu

Gdje u praksi nalazimo takvu funkciju? Primjera je mnogo. Najčešći je kretanje: što je veća brzina kojom se krećemo, manje će nam vremena trebati da prijeđemo istu udaljenost. Sjetimo se formule za brzinu:

\(v = \frac(S)(t),\)

gdje je v brzina, t vrijeme putovanja, S udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme: \(t = \frac(S)(v).\)

Danas ćemo pogledati koje se veličine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf obrnute proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na nastavi matematike, već i izvan škole.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno ovisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Posljedično, odnosi među količinama opisuju se izravnom i obrnutom proporcionalnošću.

Izravna proporcionalnost– to je takav odnos između dviju veličina u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su vaše ocjene veće. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vam ruksak biti teži za nošenje. Oni. Količina truda uloženog u pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari upakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost– ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta nezavisne vrijednosti (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutom odnosu. Oni. Što više jabuka kupite, to će vam manje novca ostati.

Funkcija i njen graf

Funkcija obrnute proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(g): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Raspon su svi realni brojevi osim g= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne siječe koordinatne osi.
7. Nema nula.
8. Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija proporcionalno opada na svakom svom intervalu. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije obrnute proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano na sljedeći način:

Problemi obrnute proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je obrnuta proporcionalnost i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu vremena trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti zapisivanjem formule koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju obrnute proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to provjerili, pronađimo V 2, koji je prema uvjetu 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od početne brzine, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema također se može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice označavaju obrnuto proporcionalni odnos. Također sugeriraju da se prilikom sastavljanja proporcija desna strana ploče mora okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje ćemo dobiti x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadani obim posla mogu izvršiti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da obave istu količinu posla?

Zapišimo uvjete problema u obliku vizualnog dijagrama:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x ​​h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će provesti 2 puta više vremena radeći sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz tu cijev?

Za početak svedimo sve veličine koje su nam dane prema uvjetima zadatka na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen sporije puni kroz drugu cijev, to znači da je protok vode manji. Proporcionalnost je obrnuta. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Zatim sastavljamo omjer: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, svedimo dobiveni odgovor na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak br. 4. Mala privatna tiskara tiska posjetnice. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi cijeli dan - 8 sati. Kad bi radio brže i ispisao 48 posjetnica u sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Slijedimo provjereni put i sastavljamo dijagram prema uvjetima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/sat – 8 sati

↓ 48 posjetnica/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica zaposlenik tiskare otisne na sat, toliko će mu puta manje vremena trebati da obavi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, zaposlenik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi obrnute proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A glavna stvar je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina može biti korisno više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremate na put, u shopping, odlučite malo dodatno zaraditi tijekom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere obrnutih i izravnih proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete koliko je to uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na društvenim mrežama kako bi se i vaši prijatelji i kolege iz razreda mogli igrati.

web stranici, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

1 lekcija na temu

Izvedena:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. ponoviti sve proučeno gradivo o funkcijama.
2. upoznati definiciju obrnute proporcionalnosti i naučiti graditi njezin grafikon.
3. razvijati logičko mišljenje.
4. njegovati pažnju, točnost, točnost.

Plan učenja:

1. Ponavljanje.
2. Objašnjenje novog gradiva.
3. Minute tjelesnog odgoja.
4. Konsolidacija.

Oprema: plakati.

Tijekom nastave:

1. Lekcija počinje ponavljanjem. Od učenika se traži da riješe križaljku (koja je unaprijed pripremljena na velikom listu papira).

Pitanja za križaljke:

1. Ovisnost između varijabli, u kojoj svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj vrijednosti zavisne varijable. [Funkcija].

2. Nezavisna varijabla. [Argument].

3. Skup točaka apscisne koordinatne ravnine, koje su jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su jednake vrijednostima funkcije. [Raspored].

4. Funkcija dana formulom y=kx+b. [Linearno].

5. Kojim se koeficijentom naziva broj? k u formuli y=kx+b? [Kutak].

6. Što je graf linearne funkcije? [Ravno].

7. Ako je k≠0, tada graf y=kx+b siječe ovu os, a ako je k=0, onda je s njom paralelan. Kojim slovom je označena ova os? [X].

8. Riječ u nazivu funkcije y=kx? [Proporcionalnost].

9. Funkcija dana formulom y=x 2. [Kvadratični].

10. Naziv grafa kvadratne funkcije. [Parabola].

11. Slovo latiničnog alfabeta, koje često označava funkciju. [Igrek].

12. Jedan od načina zadavanja funkcije. [Formula].

Učitelj, nastavnik, profesor : Koji su glavni načini specificiranja funkcije koje poznajemo?

(Jedan učenik na ploči dobiva zadatak: ispuniti tablicu vrijednosti funkcije 12/x koristeći zadane vrijednosti njezina argumenta, a zatim ucrtati odgovarajuće točke na koordinatnu ravninu).

Ostali odgovaraju na pitanja nastavnika: (koja su unaprijed napisana na ploči)

1. Kako se zovu sljedeće funkcije dane formulama: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Navedite domenu definiranja sljedećih funkcija: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Zatim učenici rade prema tablici, odgovarajući na pitanja nastavnika:

1. Koja slika iz tablice prikazuje grafikone:

a) linearna funkcija;

b) izravna proporcionalnost;

c) kvadratna funkcija;

d) funkcije oblika y=kx 3 ?

2. Koji predznak ima koeficijent k u formulama oblika y=kx+b koje odgovaraju grafovima na slikama 1, 2, 4, 5 u tablici?

3. Pronađite u tablici grafove linearnih funkcija čiji su nagibi:

a) jednaka;

b) jednaki po veličini i suprotni po predznaku.

(Zatim cijeli razred provjerava je li učenik pozvan pred ploču ispravno ispunio tablicu i postavio točke na koordinatnu ravninu).

2. Objašnjenje počinje motivacijom.

Učitelj, nastavnik, profesor: Kao što znate, svaka funkcija opisuje neke procese koji se odvijaju u svijetu oko nas.

Razmotrimo, na primjer, pravokutnik sa stranicama x i y i površine 12 cm 2 . Poznato je da je x*y=12, ali što se događa ako počnete mijenjati jednu od stranica pravokutnika, recimo stranicu s duljinom x?

Duljina stranice y može se pronaći iz formule y=12/x. Ako x povećati za 2 puta, imat će y=12/2x, tj. strana g će se smanjiti 2 puta. Ako vrijednost x povećati za 3, 4, 5... puta, zatim vrijednost g smanjit će se za isti iznos. Naprotiv, ako x zatim smanjiti nekoliko puta g će se povećati za isti iznos. (Raditi prema tablici).

Stoga se funkcija oblika y=12/x naziva obrnutom proporcionalnošću. Općenito, piše se kao y=k/x, gdje je k konstanta, a k≠0.

Ovo je tema današnje lekcije, zapisali smo je u naše bilježnice. Dajem strogu definiciju. Za funkciju y=12/x, koja je posebna vrsta obrnute proporcionalnosti, već smo zapisali niz vrijednosti argumenta i funkcije u tablici te ćemo prikazati odgovarajuće točke na koordinatnoj ravnini. Kako izgleda graf ove funkcije? Teško je na temelju konstruiranih točaka prosuditi cijeli graf jer se točke mogu povezati na bilo koji način. Pokušajmo zajedno izvući zaključke o grafu funkcije koji proizlaze iz razmatranja tablice i formule.

Pitanja za razred:

1. Koja je domena definicije funkcije y=12/x?
2. Jesu li vrijednosti y pozitivne ili negativne ako

a) x

b) x>0?

3. Kako se mijenja vrijednost varijable g s promjenjivom vrijednošću x?

Tako,

1. točka (0,0) ne pripada grafu, tj. ne siječe ni OX ni OY os;
2. grafikon je u Ι i ΙΙΙ koordinatnim četvrtinama;
3. glatko se približava koordinatnim osima iu Ι koordinatnoj četvrtini iu ΙΙΙ, i približava se osi koliko god je potrebno.

S tim podacima već možemo spojiti točkice na slici (nastavnik to radi sam na ploči) i vidjeti cijeli graf funkcije y=12/x. Dobivena krivulja naziva se hiperbola, što na grčkom znači "prolazak kroz nešto". Ovu su krivulju otkrili matematičari starogrčke škole oko 4. stoljeća pr. Pojam, hiperbola, uveo je Apolonije iz grada Pergama (Mala Azija), koji je živio u 6.-8.st. PRIJE KRISTA.

Sada ćemo pored grafa funkcije y=12/x konstruirati graf funkcije y=-12/x. (Ovaj zadatak učenici rješavaju u bilježnicama, a jedan učenik na ploči).

Uspoređujući oba grafikona, učenici uočavaju da drugi zauzima 2 i 4 koordinatne četvrtine. Osim toga, ako se graf funkcije y=12/x prikaže simetrično u odnosu na os op-amp, tada će se dobiti graf funkcije y=-12/x.

Pitanje: Kako položaj grafa hiperbole y=k/x ovisi o predznaku i vrijednosti koeficijenta k?

Učenici su uvjereni da ako je k>0, onda se graf nalazi u Ι I ΙΙΙ koordiniraju četvrtine, a ako k

1. Nastavu tjelesnog odgoja izvodi učitelj.

1. Učvršćivanje onoga što se proučava odvija se ispunjavanjem brojeva 180, 185 iz udžbenika.

1. Lekcija je sažeta, ocjene, domaća zadaća: str. 8 br. 179, 184.

Lekcija 2 na temu

“Funkcija obrnute proporcionalnosti i njezin grafikon.”

Izvedena:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. učvrstiti vještinu konstruiranja grafa funkcije obrnute proporcionalnosti;
2. razvijati interes za predmet, logično razmišljanje;
3. njegovati samostalnost i pažnju.

Plan učenja:

1. Provjera izvršenja domaće zadaće.
2. Usmeni rad.
3. Rješavanje problema.
4. Minute tjelesnog odgoja.
5. Samostalni rad u više razina.
6. Sažimanje, ocjene, domaća zadaća.

Oprema: kartice.

Tijekom nastave:

1. Nastavnik najavljuje temu sata, ciljeve i plan sata.

Zatim dva učenika na ploči popunjavaju dodijeljene kućne brojeve 179, 184.

1. Ostali učenici rade frontalno, odgovarajući na pitanja nastavnika.

Pitanja:

• Definirajte funkciju obrnute proporcionalnosti.
• Što je graf funkcije obrnute proporcionalnosti.
• Kako položaj grafa hiperbole y=k/x ovisi o vrijednosti koeficijenta k?

Zadaci:

1. Među funkcijama navedenim formulama su i funkcije obrnute proporcionalnosti:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Za funkcije obrnute proporcionalnosti navedite koeficijent i označite u kojim četvrtinama se nalazi graf.

3. Odredite područje definicije za funkcije obrnute proporcionalnosti.

(Zatim učenici jedni drugima provjeravaju domaću zadaću olovkom na temelju rješenja brojeva na ploči koje je provjerio nastavnik i ocjenjuju).

Frontalni rad prema udžbeniku br. 190, 191, 192, 193 (usmeno).

1. Izvedba u bilježnicama i na ploči iz udžbenika br.186(b), 187(b),182.

4. Sat tjelesnog odgoja izvodi učitelj.

5. Samostalni rad zadan je u tri opcije različite složenosti (raspodijeljene na karticama).

Ι c. (lagano).

Iscrtajte graf funkcije obrnute proporcionalnosti y=-6/x pomoću tablice:

Pomoću grafikona pronađite:

a) vrijednost y ako je x = - 1,5; 2;

b) vrijednost x pri kojoj je y = - 1; 4.

ΙΙ stoljeće (srednja težina)

Nacrtajte graf funkcije obrnute proporcionalnosti y=16/x, prethodno popunivši tablicu.

Pomoću grafikona pronađite pri kojim vrijednostima x y >0.

ΙΙΙ stoljeća (povećana težina)

Nacrtajte graf funkcije obrnute proporcionalnosti y=10/x-2, prethodno popunivši tablicu.

Pronađite domenu definicije ove funkcije.

(Učenici predaju listove s ucrtanim grafikonima za provjeru).

6. Sažetak lekcije, ocjene, domaća zadaća: br. 186 (a), 187 (a).