산술진행은 숫자의 연속입니다. 진행 상황은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

산술 진행의 합입니다.

산술진행의 합은 간단합니다. 의미와 공식 모두에서. 하지만 이 주제에는 온갖 종류의 작업이 있습니다. 기본부터 아주 탄탄한 것까지.

먼저 금액의 의미와 공식을 알아보겠습니다. 그런 다음 결정하겠습니다. 당신의 즐거움을 위해.) 금액의 의미는 무처럼 간단합니다. 산술 수열의 합을 구하려면 모든 항을 조심스럽게 더하면 됩니다. 이러한 항이 적다면 수식 없이 추가할 수 있습니다. 하지만 너무 많으면... 더하기 귀찮습니다.) 이 경우에는 공식이 도움이 됩니다.

금액 공식은 간단합니다.

수식에 어떤 종류의 문자가 포함되어 있는지 알아 봅시다. 이렇게 하면 상황이 많이 해결될 것입니다.

Sn - 산술진행의 합. 덧셈 결과 모든 사람멤버들과 함께 첫 번째에 의해 마지막.그건 중요해. 그것들은 정확히 합산됩니다. 모두건너뛰거나 건너뛰지 않고 연속적으로 멤버를 만듭니다. 그리고 정확하게는 다음부터 시작합니다. 첫 번째.세 번째와 여덟 번째 항의 합을 구하거나 다섯 번째에서 20번째 항의 합을 구하는 문제에서 공식을 직접 적용하면 실망스러울 것입니다.)

1 - 첫 번째진행 멤버. 여기서는 모든 것이 명확하고 간단합니다. 첫 번째행 번호.

앤- 마지막진행 멤버. 시리즈의 마지막 번호입니다. 별로 낯설지 않은 이름이지만 금액으로 따지면 아주 딱 맞는 이름이네요. 그러면 스스로 보게 될 것입니다.

N - 마지막 멤버의 번호. 공식에서 이 숫자를 이해하는 것이 중요합니다. 추가된 용어의 수와 일치합니다.

개념을 정의해보자 마지막회원 앤. 까다로운 질문: 어떤 멤버가 될 것인가? 마지막 하나주어진다면 끝없는연산 진행?)

자신있게 답하려면, 수열의 기본적인 의미를 이해하고... 문제를 주의 깊게 읽어야 합니다!)

등차수열의 합을 구하는 작업에서는 항상 마지막 항이 (직접적으로든 간접적으로든) 나타납니다. 제한되어야합니다.그렇지 않은 경우 최종 특정 금액 단순히 존재하지 않습니다.솔루션의 경우 진행이 유한인지 무한인지 여부는 중요하지 않습니다. 일련의 숫자 또는 n 번째 항에 대한 공식 등 그것이 어떻게 주어지는지는 중요하지 않습니다.

가장 중요한 것은 수식이 진행의 첫 번째 항부터 숫자가 있는 항까지 작동한다는 것을 이해하는 것입니다. N.실제로 공식의 전체 이름은 다음과 같습니다. 산술 수열의 처음 n 항의 합입니다.이 첫 번째 회원의 수, 즉 N, 작업에 의해서만 결정됩니다. 작업에서 이 모든 귀중한 정보는 종종 암호화됩니다. 그렇습니다... 하지만 걱정하지 마세요. 아래 예에서 이러한 비밀을 공개합니다.)

산술 진행의 합계에 대한 작업의 예입니다.

우선, 유용한 정보:

산술 수열의 합과 관련된 작업의 주요 어려움은 공식 요소를 올바르게 결정하는 데 있습니다.

작업 작성자는 이러한 요소를 무한한 상상력으로 암호화합니다.) 여기서 가장 중요한 것은 두려워하지 않는 것입니다. 요소의 본질을 이해하면 단순히 해독하는 것만으로도 충분합니다. 몇 가지 예를 자세히 살펴보겠습니다. 실제 GIA를 기반으로 한 작업부터 시작해 보겠습니다.

1. 산술적 수열은 a n = 2n-3.5 조건으로 제공됩니다. 처음 10개 항의 합을 구합니다.

잘했어요. 쉽습니다.) 공식을 사용하여 금액을 결정하려면 무엇을 알아야 합니까? 첫 번째 멤버 1, 마지막 기간 앤, 네, 마지막 멤버의 번호입니다 N.

마지막 회원번호는 어디서 알 수 있나요? N? 예, 조건에 따라 바로 거기에 있습니다! 그것은 말한다: 합계를 찾아라 선착순 10명.음, 어떤 숫자로 될까요? 마지막, 10번째 멤버?) 믿기지 않으시겠지만 그의 번호는 10번째입니다!) 그러므로 대신에 앤우리는 공식으로 대체 할 것입니다 10, 그리고 대신 N- 십. 반복합니다. 마지막 멤버 수는 멤버 수와 일치합니다.

결정하는 것이 남아있다 1그리고 10. 이는 문제 설명에 제공된 n번째 항에 대한 공식을 사용하여 쉽게 계산됩니다. 이 작업을 수행하는 방법을 모르십니까? 이전 수업에 참여하세요. 이것이 없으면 방법이 없습니다.

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

Sn = 에스 10.

우리는 등차수열의 합에 대한 공식의 모든 요소의 의미를 알아냈습니다. 남은 것은 그것들을 대체하고 계산하는 것입니다.

그게 다야. 답: 75.

GIA를 기반으로 한 또 다른 작업입니다. 조금 더 복잡합니다.

2. 산술급수(an)가 주어지면 그 차이는 3.7입니다. a1=2.3. 처음 15개 항의 합을 구합니다.

우리는 즉시 합계 공식을 작성합니다.

이 공식을 사용하면 숫자로 모든 용어의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 간단한 대체를 찾습니다:

15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

산술 진행의 합계에 대한 공식에 모든 요소를 ​​​​대체하고 답을 계산하는 것이 남아 있습니다.

답: 423.

그건 그렇고, 대신 합계 공식에 있다면 앤 n번째 항을 공식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

유사한 것을 제시하고 산술 수열 항의 합에 대한 새로운 공식을 얻습니다.

보시다시피 여기서는 n번째 항이 필요하지 않습니다. 앤. 어떤 문제에서는 이 공식이 많은 도움이 됩니다. 그렇습니다... 이 공식을 기억하실 수 있습니다. 아니면 여기처럼 적절한 시간에 간단히 표시할 수도 있습니다. 결국 합계의 공식과 n번째 항의 공식을 항상 기억해야 합니다.)

이제 짧은 암호화 형태의 작업입니다.

3. 3의 배수인 모든 양수 두 자리 숫자의 합을 구합니다.

우와! 첫 멤버도, 마지막 멤버도, 진행도 전혀... 어떻게 살아요!?

당신은 머리로 생각하고 조건에서 산술 진행의 합의 모든 요소를 ​​뽑아내야 합니다. 우리는 두 자리 숫자가 무엇인지 알고 있습니다. 두 개의 숫자로 구성됩니다.) 어떤 두 자리 숫자가 될까요? 첫 번째? 10으로 추정됩니다.) A 마지막 것두 자리 숫자? 물론 99! 세 자리 숫자가 그를 따라갈 것입니다 ...

3의 배수... 흠... 여기 3으로 나누어지는 숫자가 있습니다! 10은 3으로 나누어지지 않고, 11도 나누어지지 않습니다... 12... 는 나누어집니다! 그래서 뭔가가 떠오르고 있습니다. 문제의 조건에 따라 이미 시리즈를 작성할 수 있습니다.

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

이 시리즈는 산술수열일까요? 틀림없이! 각 용어는 이전 용어와 정확히 3가지 다릅니다. 용어에 2 또는 4를 추가하면 결과는 다음과 같습니다. 새 숫자는 더 이상 3으로 나눌 수 없습니다. 산술 진행의 차이를 즉시 확인할 수 있습니다. d = 3.도움이 될 거예요!)

따라서 일부 진행 매개변수를 안전하게 기록할 수 있습니다.

숫자는 어떻게 될까요? N마지막 멤버? 99가 치명적인 착각이라고 생각하시는 분들은... 숫자는 항상 연속으로 이어지는데 우리 멤버들은 3을 뛰어 넘습니다. 일치하지 않습니다.

여기에는 두 가지 해결책이 있습니다. 한 가지 방법은 매우 열심히 일하는 것입니다. 진행 상황, 일련의 전체 숫자를 적고 손가락으로 멤버 수를 셀 수 있습니다.) 두 번째 방법은 사려 깊습니다. n번째 항의 공식을 기억해야 합니다. 문제에 공식을 적용하면 99가 수열의 30번째 항이라는 것을 알 수 있습니다. 저것들. n = 30.

산술 진행의 합에 대한 공식을 살펴보겠습니다.

우리는 보고 기뻐합니다.) 문제 설명에서 금액을 계산하는 데 필요한 모든 것을 꺼냈습니다.

1= 12.

30= 99.

Sn = 에스 30.

남은 것은 초등 산수뿐입니다. 숫자를 공식에 대체하고 계산합니다.

답: 1665년

인기 있는 또 다른 유형의 퍼즐:

4. 산술적 진행이 주어지면:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

20번째부터 34번째까지의 항의 합을 구합니다.

우리는 금액에 대한 공식을 보고... 화가 납니다.) 상기시켜 드리는 공식은 금액을 계산합니다. 처음부터회원. 그리고 문제에서는 합계를 계산해야 합니다. 스무살 이후로...공식이 작동하지 않습니다.

물론 전체 진행을 시리즈로 작성하고 20~34까지 용어를 추가할 수도 있습니다. 하지만... 어쩐지 황당하고 시간도 오래 걸리죠?)

더 우아한 솔루션이 있습니다. 시리즈를 두 부분으로 나누어 보겠습니다. 첫 번째 부분은 첫 번째 학기부터 열아홉 번째 학기까지.두 번째 부분 - 스물넷에서 ​​서른넷까지.첫 번째 부분의 항의 합을 계산하면 에스 1-19, 두 번째 부분의 항의 합을 더해 보겠습니다. 스 20-34, 우리는 첫 번째 항에서 34번째 항까지의 진행 합계를 얻습니다. 에스 1-34. 이와 같이:

에스 1-19 + 스 20-34 = 에스 1-34

이것으로부터 우리는 합계를 찾는 것을 볼 수 있습니다 스 20-34간단한 뺄셈으로 할 수 있다

스 20-34 = 에스 1-34 - 에스 1-19

오른쪽의 두 금액이 모두 고려됩니다. 처음부터회원, 즉 표준 합계 공식은 그들에게 상당히 적용 가능합니다. 시작하자?

문제 설명에서 진행 매개변수를 추출합니다.

d = 1.5.

1= -21,5.

처음 19개 항과 처음 34개 항의 합을 계산하려면 19번째 항과 34번째 항이 필요합니다. 문제 2에서와 같이 n번째 항에 대한 공식을 사용하여 이를 계산합니다.

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

아무것도 남지 않았습니다. 34개 항의 합에서 19개 항의 합을 뺍니다.

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

답: 262.5

한 가지 중요한 참고 사항! 이 문제를 해결하는 데 매우 유용한 트릭이 있습니다. 직접 계산하는 대신 당신에게 필요한 것 (S 20-34),우리는 세었다 필요하지 않을 것 같은 것 - S 1-19.그리고 그들은 결정했습니다. 스 20-34, 전체 결과에서 불필요한 부분을 삭제합니다. 이런 종류의 “귀를 속이는 것”은 종종 당신을 사악한 문제에 빠지게 만듭니다.)

이번 강의에서 우리는 산술수열의 합의 의미를 이해하는 것만으로도 충분한 문제를 살펴보았습니다. 글쎄, 당신은 몇 가지 공식을 알아야합니다.)

실용적인 조언:

산술 수열의 합과 관련된 문제를 해결할 때 이 주제의 두 가지 주요 공식을 즉시 작성하는 것이 좋습니다.

n번째 항의 공식:

이 공식은 문제를 해결하기 위해 무엇을 찾아야 할지, 어떤 방향으로 생각해야 할지 즉시 알려줄 것입니다. 도움이됩니다.

이제 독립적인 솔루션을 위한 작업이 남았습니다.

5. 3으로 나누어지지 않는 모든 두 자리 숫자의 합을 구합니다.

멋지죠?) 힌트는 문제 4에 대한 메모에 숨겨져 있습니다. 음, 문제 3이 도움이 될 것입니다.

6. 산술적 수열은 다음 조건에 의해 제공됩니다: a 1 = -5.5; n+1 = n +0.5. 처음 24개 항의 합을 구합니다.

특이한가요?) 이것은 반복되는 공식입니다. 이에 대해서는 이전 강의에서 읽을 수 있습니다. 링크를 무시하지 마십시오. 이러한 문제는 State Academy of Sciences에서 자주 발견됩니다.

7. Vasya는 휴가를 위해 돈을 저축했습니다. 최대 4550 루블! 그리고 나는 내가 가장 좋아하는 사람(나 자신)에게 며칠간의 행복을 주기로 결심했습니다. 아무것도 부정하지 않고 아름답게 살아보세요. 첫날에 500루블을 쓰고, 다음 날에는 이전 날보다 50루블을 더 씁니다! 돈이 다 떨어질 때까지. Vasya는 며칠 동안 행복했습니까?

어렵나요?) 작업 2의 추가 공식이 도움이 될 것입니다.

답변(혼란): 7, 3240, 6.

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공식의 주요 본질은 무엇입니까?

이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 어느 그의 번호로 " N" .

물론 첫 번째 용어도 알아야합니다. 1그리고 진행 차이 디, 음, 이러한 매개변수가 없으면 특정 진행 상황을 기록할 수 없습니다.

이 공식을 암기하는 것(또는 암기하는 것)만으로는 충분하지 않습니다. 그 본질을 이해하고 다양한 문제에 공식을 적용해야 합니다. 그리고 적절한 순간에 잊지 말아야 할 것도 있습니다. 예...) 어떻게 잊지 마세요- 모르겠습니다. 그리고 여기 기억하는 방법필요한 경우 반드시 조언해 드리겠습니다. 레슨을 끝까지 완수하신 분들을 위해.)

그럼, 산술수열의 n번째 항에 대한 공식을 살펴보겠습니다.

일반적으로 공식이란 무엇입니까? 그건 그렇고, 아직 읽지 않았다면 살펴보십시오. 모든 것이 간단합니다. 그것이 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다. n번째 학기.

일반적으로 진행 상황은 일련의 숫자로 표시될 수 있습니다.

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- 산술 수열의 첫 번째 항을 나타냅니다. 3- 세 번째 멤버 4- 네 번째 등등. 5번째 학기에 관심이 있다면, 5, 백이십일 경우 - s 120.

일반적인 용어로 어떻게 정의할 수 있나요? 어느산술 진행의 용어, 어느숫자? 매우 간단합니다! 이와 같이:

앤

그게 바로 그거야 산술수열의 n번째 항.문자 n은 모든 회원 번호(1, 2, 3, 4 등)를 한 번에 숨깁니다.

그리고 그러한 기록은 우리에게 무엇을 제공하는가? 숫자 대신에 편지를 썼다고 생각해보세요...

이 표기법은 산술 진행 작업을 위한 강력한 도구를 제공합니다. 표기법 사용 앤, 우리는 빨리 찾을 수 있습니다 어느회원 어느산술 진행. 그리고 다른 진행 문제도 해결하세요. 당신은 더 자세히 알게 될 것입니다.

산술수열의 n번째 항에 대한 공식에서:

1- 산술 수열의 첫 번째 항;

N- 회원번호.

공식은 모든 진행의 주요 매개변수를 연결합니다. 앤 ; 1 ; 디그리고 N. 모든 진행 문제는 이러한 매개변수를 중심으로 이루어집니다.

n 번째 용어 공식은 특정 진행을 작성하는 데에도 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 문제는 진행이 다음 조건에 의해 지정된다고 말할 수 있습니다.

n = 5 + (n-1) 2.

그런 문제는 막다른 골목이 될 수도 있다... 계열도 없고 차이도 없다... 하지만 조건을 공식과 비교해보면 이 수열에서는 이해하기 쉽다. a1 =5, d=2.

그리고 상황은 더욱 악화될 수 있습니다!) 동일한 조건을 적용하면 다음과 같습니다. n = 5 + (n-1) 2,네, 괄호를 열고 비슷한 괄호를 가져오시겠어요? 우리는 새로운 공식을 얻습니다.

n = 3 + 2n.

이것 일반적인 것이 아니라 특정 진행을 위한 것입니다. 여기에 함정이 숨어있습니다. 어떤 사람들은 첫 번째 용어가 3이라고 생각합니다. 실제로 첫 번째 항은 5개이지만... 조금 더 낮은 수준에서 우리는 이러한 수정된 공식을 사용하여 작업할 것입니다.

진행 문제에는 또 다른 표기법이 있습니다. n+1. 이것은 추측한 대로 진행의 "n 더하기 첫 번째" 항입니다. 그 의미는 간단하고 무해합니다.) 이것은 숫자 n보다 1만큼 큰 수열의 구성원입니다. 예를 들어, 어떤 문제에 직면하면 앤그럼 5학기 n+1여섯번째 멤버가 됩니다. 등.

지정하는 경우가 가장 많습니다. n+1반복 수식에서 찾을 수 있습니다. 무서운 단어이니 겁먹지 마세요!) 이것은 단지 수열의 멤버를 표현하는 방법일 뿐입니다. 이전 것을 통해.반복 공식을 사용하여 다음 형식의 산술 수열이 제공된다고 가정해 보겠습니다.

n+1 = n +3

2 = 1 + 3 = 5+3 = 8

3 = 2 + 3 = 8+3 = 11

네 번째 - 세 번째, 다섯 번째 - 네 번째 등. 예를 들어 20번째 용어를 어떻게 즉시 계산할 수 있습니까? 20? 하지만 방법은 없습니다!) 19번째 용어를 찾을 때까지는 20번째 용어를 셀 수 없습니다. 이것이 반복 공식과 n 번째 항 공식의 근본적인 차이점입니다. 반복 작업을 통해서만 이전의항이고, n번째 항의 공식은 다음과 같습니다. 첫 번째그리고 허용 곧바로번호로 회원을 찾으세요. 전체 숫자 계열을 순서대로 계산하지 않고.

산술 수열에서는 반복 수식을 일반 수식으로 바꾸는 것이 쉽습니다. 연속된 용어 쌍을 세어 차이를 계산합니다. 디,필요한 경우 첫 번째 항을 찾으십시오. 1, 일반적인 형식으로 공식을 작성하고 작업해 보세요. 이러한 작업은 State Academy of Sciences에서 자주 발생합니다.

산술수열의 n번째 항에 대한 공식을 적용합니다.

먼저, 공식의 직접적인 적용을 살펴보겠습니다. 이전 강의 끝에 문제가 있었습니다.

산술급수(an)이 제공됩니다. a 1 =3이고 d=1/6이면 121을 구합니다.

이 문제는 어떤 공식도 없이 단순히 산술수열의 의미를 토대로 풀 수 있습니다. 추가하고 추가하세요... 한두 시간 정도.)

공식에 따르면 솔루션은 1분도 채 걸리지 않습니다. 시간을 정할 수 있습니다.) 결정합시다.

조건은 공식을 사용하기 위한 모든 데이터를 제공합니다. a 1 =3, d=1/6.무엇이 평등한지 알아내는 것이 남아 있습니다 N.괜찮아요! 우리는 찾아야 해요 121. 그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

주의해주세요! 인덱스 대신 N특정 숫자가 나타납니다: 121. 이는 매우 논리적입니다.) 우리는 산술 진행의 구성원에 관심이 있습니다 번호 백이십일.이것은 우리 것이 될 것이다 N.이것이 의미이다 N= 121 우리는 괄호 안에 공식을 추가로 대체하겠습니다. 모든 숫자를 공식에 대체하고 계산합니다.

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

그게 다야. 마찬가지로 빨리 오백십번째 용어와 천삼번째 용어를 찾을 수 있습니다. 우리는 대신 넣어 N문자 색인에서 원하는 숫자 " ㅏ"괄호 안에는 숫자가 포함됩니다.

요점을 상기시켜 드리겠습니다. 이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 어느산술진행항 그의 번호로 " N" .

좀 더 교활한 방법으로 문제를 해결해 봅시다. 다음 문제를 살펴보겠습니다.

a 17 =-2인 경우 등차수열의 첫 번째 항(an)을 찾습니다. d=-0.5.

어려움이 있으시면 첫 번째 단계를 알려 드리겠습니다. 산술수열의 n번째 항의 공식을 적어보세요!예 예. 노트에 바로 손으로 적어보세요.

이제 공식의 글자를 보면 우리가 가지고 있는 데이터와 누락된 데이터가 무엇인지 이해하게 됩니까? 사용 가능 d=-0.5,열일곱 번째 멤버가 있는데... 그게 다야? 그렇게 생각하면 문제가 해결되지 않을 거에요, 그렇죠…

아직 전화번호가 있어요 N! 상태 17 =-2숨겨진 두 개의 매개변수.이는 17번째 항(-2)의 값이자 해당 숫자(17)입니다. 저것들. n=17.이 "사소한 일"은 종종 머리를 지나쳐 지나가고, 그것 없이는(머리가 아닌 "사소한 일" 없이!) 문제를 해결할 수 없습니다. 하지만...그리고 머리도 없습니다.)

이제 우리는 데이터를 공식에 어리석게 대체할 수 있습니다.

17 = 1 + (17-1)·(-0.5)

바로 이거 야, 17우리는 그것이 -2라는 것을 압니다. 좋습니다. 다음과 같이 바꾸겠습니다.

-2 = 1 + (17-1)·(-0.5)

기본적으로 그게 전부입니다. 공식에서 산술 진행의 첫 번째 항을 표현하고 계산하는 것이 남아 있습니다. 대답은 다음과 같습니다: 1 = 6.

공식을 작성하고 알려진 데이터를 간단히 대체하는 이 기술은 간단한 작업에 큰 도움이 됩니다. 물론, 수식으로 변수를 표현할 수 있어야 하는데 어떡하지!? 이 기술이 없으면 수학은 전혀 공부할 수 없습니다...

또 다른 인기 퍼즐:

a 1 =2인 경우 산술급수(an)의 차이를 구합니다. 15 = 12.

우리는 무엇을하고 있습니까? 당신은 놀랄 것입니다. 우리는 공식을 작성하고 있습니다!)

우리가 알고 있는 것을 생각해 봅시다: a1=2; 15=12; 그리고 (특히 강조하겠습니다!) n=15. 이것을 공식으로 대체해 보세요:

12=2 + (15-1)d

우리는 계산을 합니다.)

12=2 + 14일

디=10/14 = 5/7

이것이 정답입니다.

그래서 에 대한 과제는 앤, 에이 1그리고 디결정했다. 남은 것은 숫자를 찾는 방법을 배우는 것입니다.

숫자 99는 산술급수(an)의 구성원입니다. 여기서 a 1은 12입니다. d=3. 이 회원의 번호를 찾아보세요.

우리에게 알려진 양을 n번째 항의 공식으로 대체합니다.

n = 12 + (n-1) 3

언뜻 보면 여기에는 알 수 없는 두 가지 수량이 있습니다. n과 n.하지만 앤- 이것은 숫자가 있는 진행의 일부 멤버입니다. N...그리고 우리는 이 발전 멤버를 알고 있습니다! 99입니다. 우리는 그 숫자를 모릅니다. N,그래서 이 숫자를 찾아야 합니다. 우리는 진행 99의 용어를 공식으로 대체합니다.

99 = 12 + (n-1) 3

우리는 공식으로 표현합니다. N, 우리는 생각한다. 우리는 답을 얻습니다: n=30.

이제 동일한 주제에 대한 문제가 발생했지만 더 창의적인 문제가 발생했습니다.

숫자 117이 등차수열(an)의 구성원인지 확인합니다.

-3,6; -2,4; -1,2 ...

수식을 다시 작성해 보겠습니다. 매개변수가 없나요? 흠... 눈은 왜 주나요?) 진행의 첫 번째 항이 보이나요? 우리는보다. 이것은 -3.6입니다. 다음과 같이 안전하게 작성할 수 있습니다. a1 = -3.6.차이점 디시리즈를 통해 알 수 있나요? 산술 진행의 차이점이 무엇인지 알면 쉽습니다.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

그래서 우리는 가장 간단한 일을 했습니다. 알 수 없는 번호를 처리하는 것이 남아 있습니다. N그리고 이해할 수 없는 숫자 117. 이전 문제에서는 적어도 주어진 수열의 용어인 것으로 알려졌습니다. 그런데 여기서 우리는 아무것도 모릅니다... 어떡하지!? 글쎄, 어떻게 될지, 어떻게 될지... 창의력을 발휘해보세요!)

우리 가정하다결국 117은 우리 발전의 구성원입니다. 알 수 없는 번호로 N. 그리고 이전 문제와 마찬가지로 이 숫자를 찾아보도록 하겠습니다. 저것들. 공식을 작성하고(예, 예!) 숫자를 대체합니다.

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

다시 우리는 공식으로 표현합니다N, 우리는 계산하고 얻습니다:

이런! 숫자가 나왔다 분수!백일 반. 그리고 진행의 분수 수 없습니다.우리는 어떤 결론을 내릴 수 있습니까? 예! 117호 아니다우리 진행의 멤버입니다. 그것은 백일차와 백두번째 용어 사이 어딘가에 있습니다. 숫자가 자연스러워진 경우, 즉 양의 정수이면 그 숫자는 발견된 숫자와 함께 진행의 구성원이 됩니다. 그리고 우리의 경우 문제에 대한 답은 다음과 같습니다. 아니요.

GIA의 실제 버전을 기반으로 한 작업:

산술적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.

n = -4 + 6.8n

수열의 첫 번째 항과 열 번째 항을 찾습니다.

여기서 진행은 특이한 방식으로 설정됩니다. 일종의 공식... 그런 일이 발생합니다.) 그러나 이 공식은 (위에 쓴 대로) - 또한 산술수열의 n번째 항에 대한 공식도 있습니다!그녀는 또한 허용 해당 번호로 진행의 구성원을 찾습니다.

첫 번째 멤버를 찾고 있습니다. 생각하는 사람. 첫 번째 항이 마이너스 4라는 것은 치명적인 착각입니다!) 문제의 공식이 수정되었기 때문입니다. 그것의 산술 진행의 첫 번째 항 숨겨진.괜찮습니다. 지금 찾아보겠습니다.)

이전 문제와 마찬가지로 대체합니다. n=1이 공식에:

1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

여기! 첫 번째 항은 -4가 아니라 2.8입니다!

같은 방식으로 열 번째 용어를 찾습니다.

10 = -4 + 6.8 10 = 64

그게 다야.

그리고 이제 이 글을 읽으신 분들에게는 약속된 보너스가 주어졌습니다.)

국가 시험이나 통합 국가 시험의 어려운 전투 상황에서 산술 수열의 n번째 항에 대한 유용한 공식을 잊어버렸다고 가정해 보십시오. 뭔가 기억나는데 뭔가 불확실한데... 아니면 N거기 아니면 n+1 또는 n-1...어때요!?

침착한! 이 공식은 도출하기 쉽습니다. 아주 엄격하지는 않지만 자신감과 올바른 결정을 내리기 위해서는 확실히 충분합니다!) 결론을 내리려면 산술 수열의 기본 의미를 기억하고 몇 분의 시간을 갖는 것으로 충분합니다. 그림만 그리시면 됩니다. 명확성을 위해.

수직선을 그리고 그 위에 첫 번째 선을 표시하세요. 두 번째, 세 번째 등등 회원. 그리고 우리는 차이점을 주목합니다 디회원간. 이와 같이:

우리는 그림을 보고 다음과 같이 생각합니다. 두 번째 용어는 무엇입니까? 두번째 하나 디:

ㅏ 2 =a 1 + 1 디

세 번째 용어는 무엇입니까? 제삼항은 첫 번째 항에 더하기 둘 디.

ㅏ 3 =a 1 + 2 디

알아 들었 니? 일부 단어를 굵게 강조한 것은 아무것도 아닙니다. 좋아, 한 단계 더).

네 번째 용어는 무엇입니까? 네번째항은 첫 번째 항에 더하기 삼 디.

ㅏ 4 =a 1 + 3 디

이제 간격의 수, 즉 디, 언제나 찾고 있는 회원 수보다 한 명 적습니다. N. 즉, 숫자에 n, 공백 수~ 할 것이다 n-1.따라서 공식은 다음과 같습니다(변형 없음!).

일반적으로 시각적 그림은 수학의 많은 문제를 해결하는 데 매우 도움이 됩니다. 사진을 무시하지 마십시오. 하지만 그림을 그리는 것이 어렵다면... 공식만 있으면 됩니다!) 또한 n번째 항의 공식을 사용하면 수학의 강력한 무기고 전체를 방정식, 부등식, 시스템 등의 솔루션에 연결할 수 있습니다. 방정식에 그림을 삽입할 수 없습니다...

독립적인 솔루션을 위한 작업입니다.

따뜻하게:

1. 산술수열(an)에서 a 2 =3; a5=5.1. 3 을 찾으세요.

힌트: 그림에 따르면 문제는 20초 안에 풀 수 있습니다... 공식에 따르면 문제는 더 어려워집니다. 하지만 공식을 익히려면 더 유용합니다.) 555절에서는 그림과 공식을 모두 사용하여 이 문제를 해결합니다. 차이를 느껴봐!)

그리고 이것은 더 이상 워밍업이 아닙니다.)

2. 산술수열(an)에서 a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3 을 구하세요.

뭐, 그림 그리기 싫은 거야?) 물론이지! 공식에 따르면 더 낫습니다. 예..

3. 산술적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.a1 = -5.5; n+1 = n +0.5. 이 수열의 125번째 항을 구하십시오.

이 작업에서는 진행이 반복적인 방식으로 지정됩니다. 하지만 125 번째 학기까지 세면... 모든 사람이 그런 위업을 할 수 있는 것은 아닙니다.) 그러나 n 번째 학기의 공식은 모든 사람의 힘 안에 있습니다!

4. 산술수열(an)이 주어지면:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

진행의 가장 작은 양수 항의 수를 찾습니다.

5. 과제 4의 조건에 따라 진행의 최소 양수 항과 최대 음수 항의 합을 구합니다.

6. 증가하는 산술 수열의 다섯 번째 항과 열두 번째 항의 곱은 -2.5이고 세 번째 항과 열한 번째 항의 합은 0입니다. 14 를 찾으세요.

가장 쉬운 작업은 아닙니다. 그렇습니다...) 여기서는 "손가락 끝" 방법이 작동하지 않습니다. 공식을 작성하고 방정식을 풀어야 합니다.

답변(혼란):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

일어난? 좋네요!)

모든 것이 잘 되지는 않나요? 일어난다. 그런데 마지막 작업에는 미묘한 점이 하나 있습니다. 문제를 읽을 때 주의가 필요합니다. 그리고 논리.

이러한 모든 문제에 대한 해결책은 섹션 555에서 자세히 논의됩니다. 그리고 네 번째에 대한 환상의 요소, 여섯 번째에 대한 미묘한 요점, n 번째 항의 공식과 관련된 문제를 해결하기 위한 일반적인 접근 방식-모든 것이 설명됩니다. 추천합니다.

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예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)

함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.

예를 들어 \(2\); \(5\); \(8\); \(열하나\); \(14\)...는 각 후속 요소가 이전 요소와 3씩 다르기 때문에 산술 수열입니다(이전 요소에서 3을 더하여 얻을 수 있음).

이 수열에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 동일)이므로 다음 각 항은 이전 항보다 큽니다. 그러한 진행을 소위 증가.

그러나 \(d\)는 음수일 수도 있습니다. 예를 들어, 산술진행 \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... 진행 차이 \(d\)는 -6과 같습니다.

이 경우 다음 각 요소는 이전 요소보다 작아집니다. 이러한 진행을 호출합니다. 감소하는.

산술 진행 표기법

진행 상황은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 호출합니다. 회원(또는 요소).

산술 수열과 동일한 문자로 표시되지만 숫자 인덱스는 순서대로 요소 수와 동일합니다.

예를 들어, 산술 수열 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 요소 \(a_1=2\)로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 수열의 경우 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 해결

원칙적으로 위에 제시된 정보는 거의 모든 산술 수열 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 해결하는 데 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(b_1=7; d=4\) 조건에 의해 지정됩니다. \(b_5\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 수열의 처음 세 항은 다음과 같습니다: \(62; 49; 36…\) 이 수열의 첫 번째 음수 항의 값을 구하십시오.
해결책:

답변: \(-3\)

예(OGE). 산술 수열의 여러 연속 요소가 주어지면: \(…5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 지정된 요소의 값을 찾습니다.
해결책:

답변: \(7,5\).

예(OGE). 산술적 진행은 다음 조건으로 정의됩니다: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 수열의 처음 6개 항의 합을 구하세요.
해결책:

답변: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술수열 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾아보세요.
해결책:

답변: \(d=7\).

산술 진행을 위한 중요한 공식

보시다시피, 산술 수열에 대한 많은 문제는 산술 수열이 숫자의 체인이고 이 체인의 각 후속 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 추가하여 얻어지는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 진행의 차이)

그러나 때로는 '정면'을 결정하는 것이 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 386번째 요소 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. \(385\) 번을 4번 더해야 할까요? 또는 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 구해야 한다고 상상해 보세요. 계산하기 지치실 거에요...

따라서 이러한 경우에는 "정면"으로 문제를 해결하지 않고 산술 수열을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요한 것은 수열의 n번째 항에 대한 공식과 \(n\) 첫 번째 항의 합에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 항의 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)은 수열의 첫 번째 항입니다.
\(n\) – 필수 요소의 수;
\(a_n\) – 숫자 \(n\)의 진행 조건입니다.

이 공식을 사용하면 수열의 첫 번째 요소와 차이점만 알면 300번째 또는 백만 번째 요소도 빠르게 찾을 수 있습니다.

예. 산술 수열은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_(246)=1850\).

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\) – 마지막으로 합산된 용어입니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(a_n=3.4n-0.6\) 조건에 의해 지정됩니다. 이 수열의 첫 \(25\)항의 합을 구하세요.
해결책:

답변: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \만 하면 됩니다. \(a_n\) 대신 (\cdot 25\ ) 공식을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)로 대체하세요. 우리는 다음을 얻습니다:

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – \(n\) 첫 번째 요소의 필수 합계입니다.
\(a_1\) – 첫 번째 합산 용어;
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) – 총 요소 수입니다.

예. 산술수열의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 구합니다. \(17\); \(15.5\); \(14\)…
해결책:

답변: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 수열 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 갖게 되었습니다. 공식을 적용해야 할 뿐만 아니라 약간의 생각도 해야 하는 문제를 고려하여 주제를 마무리하겠습니다(수학에서는 이것이 유용할 수 있습니다 ☺).

예(OGE). 수열의 모든 음수항의 합을 구합니다: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
해결책:

답변: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술적 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째부터 \(42\)번째 요소까지의 합을 구합니다.
해결책:

답변: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 몇 가지 공식이 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

중등학교(9학년)에서 대수학을 공부할 때 중요한 주제 중 하나는 기하 및 산술의 진행을 포함하는 숫자 시퀀스에 대한 연구입니다. 이 글에서는 산술 수열과 해법의 예를 살펴보겠습니다.

산술진행이란 무엇인가요?

이를 이해하려면 문제의 진행 과정을 정의하고 나중에 문제 해결에 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.

일부 대수 수열에서는 첫 번째 항이 6이고, 일곱 번째 항이 18인 것으로 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 수열을 7번째 항으로 복원해야 합니다.

공식을 사용하여 알 수 없는 항을 결정해 보겠습니다. a n = (n - 1) * d + a 1 . 조건에서 알려진 데이터, 즉 숫자 a 1과 a 7을 대체해 보겠습니다. 18 = 6 + 6 * d입니다. 이 식을 통해 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다: d = (18 - 6) /6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분에 답했습니다.

7번째 항으로 수열을 복원하려면 대수수열의 정의, 즉 a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등을 사용해야 합니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

예 3: 진행 상황 작성

문제를 더욱 복잡하게 만들어 보겠습니다. 이제 우리는 산술수열을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예가 주어질 수 있습니다. 예를 들어 4와 5와 같이 두 개의 숫자가 제공됩니다. 이들 사이에 세 개의 항이 더 배치되도록 대수적 진행을 생성해야 합니다.

이 문제를 해결하기 전에 주어진 숫자가 향후 진행에서 어떤 위치를 차지할지 이해해야 합니다. 그들 사이에 세 개의 항이 더 있기 때문에 a 1 = -4이고 a 5 = 5입니다. 이를 확립한 후 이전 문제와 유사한 문제로 넘어갑니다. 다시 말하지만, n번째 항에 대해 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. a 5 = a 1 + 4 * d. From: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. 여기서 얻은 것은 차이의 정수 값이 아니라 유리수이므로 대수 수열의 공식은 동일하게 유지됩니다.

이제 발견된 차이를 1에 추가하고 수열의 누락된 항을 복원해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, 이는 일치합니다. 문제의 조건으로.

예 4: 진행의 첫 번째 기간

계속해서 솔루션을 사용한 산술 진행의 예를 들어보겠습니다. 이전의 모든 문제에서는 대수적 수열의 첫 번째 숫자가 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려해 보겠습니다. a 15 = 50이고 a 43 = 37인 두 숫자가 주어집니다. 이 시퀀스가 ​​어느 숫자로 시작하는지 찾아야 합니다.

지금까지 사용된 공식은 a 1과 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제 설명에서는 이 숫자에 대해 알려진 바가 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 어떤 정보가 이용 가능한지에 대한 각 용어에 대한 표현을 적어보겠습니다: a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d. 우리는 2개의 알려지지 않은 양(a 1과 d)이 있는 두 개의 방정식을 받았습니다. 이는 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됨을 의미합니다.

이 연립방정식을 푸는 가장 쉬운 방법은 각 방정식에 1을 표현하고 그 결과를 비교하는 것입니다. 첫 번째 방정식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. 이러한 표현식을 동일시하면 50 - 14 * d = 37 - 42 * d가 되며, 여기서 차이 d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464(소수점 3자리만 제공됨)입니다.

d를 알면 1에 대해 위의 2가지 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 먼저 a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496입니다.

얻은 결과에 대해 의문이 있는 경우 예를 들어 조건에 지정된 진행의 43번째 용어를 결정하여 확인할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. 작은 오류는 계산에 천분의 일 반올림이 사용되었기 때문에 발생합니다.

예시 5: 금액

이제 산술 수열의 합에 대한 솔루션이 포함된 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1, 2, 3, 4, ..., 다음 형식의 수치 진행이 주어집니다. 이 숫자 100의 합을 어떻게 계산하나요?

컴퓨터 기술의 발전 덕분에 이 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 사람이 Enter 키를 누르자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 추가하는 것이 가능합니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수적 수열이고 그 차이가 1이라는 점에 유의하면 문제는 정신적으로 해결될 수 있습니다. 합계에 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. S n = n * (a 1 + n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

이 문제를 "가우시안"이라고 부르는 것은 흥미롭습니다. 왜냐하면 18세기 초에 아직 10세밖에 되지 않은 유명한 독일인이 머리 속에서 몇 초 만에 문제를 풀 수 있었기 때문입니다. 그 소년은 대수수열의 합에 대한 공식을 몰랐지만, 수열의 끝 부분에 있는 숫자를 쌍으로 더하면 항상 같은 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99를 얻는다는 것을 알아냈습니다. = 3 + 98 = ... 그리고 이 합은 정확히 50(100 / 2)이 되므로 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.

예제 6: n에서 m까지의 항의 합

산술 수열의 합에 대한 또 다른 전형적인 예는 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어지면: 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 항의 합이 무엇인지 찾아야 합니다. .

문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8부터 14까지 알려지지 않은 용어를 찾아 순차적으로 합산하는 것입니다. 용어가 적기 때문에 이 방법은 그다지 노동집약적이지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법을 사용하여 이 문제를 해결하는 것이 제안되었습니다.

아이디어는 항 m과 n 사이의 대수적 수열의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n > m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 표현식을 작성합니다.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (an + a 1) / 2.

n > m이므로 두 번째 합에 첫 번째 합이 포함되는 것이 분명합니다. 마지막 결론은 이러한 합계의 차이를 취하고 여기에 a m 항을 추가하면 (차이를 취하는 경우 합계 Sn에서 빼는 경우) 문제에 필요한 답을 얻을 수 있음을 의미합니다. 우리는 다음을 얻습니다: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + an n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + an n * n/2 + am * (1-m/2). 이 표현식에 n과 m에 대한 공식을 대체할 필요가 있습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

결과 공식은 다소 번거롭지만 S mn의 합은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대체하면 S mn = 301을 얻습니다.

위의 해법에서 볼 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현식과 첫 번째 항 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제를 해결하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 찾아야 할 내용을 명확하게 이해한 다음 해결 방법을 진행하는 것이 좋습니다.

또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 그렇게 해야 합니다. 이 경우 실수할 가능성이 적기 때문입니다. 예를 들어, 솔루션 번호 6을 사용한 산술 수열의 예에서 공식 S mn = n * (a 1 + an n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m에서 멈출 수 있습니다. 전체 문제를 별도의 하위 작업으로 나눕니다(이 경우 먼저 a n과 a m이라는 용어를 찾습니다).

얻은 결과에 대해 의문이 있는 경우 제공된 일부 예에서와 같이 결과를 확인하는 것이 좋습니다. 우리는 산술급수를 구하는 방법을 알아냈습니다. 알고 보면 그리 어렵지는 않습니다.

어떤 사람들은 "진보"라는 단어를 고등 수학 분야의 매우 복잡한 용어로 조심스럽게 취급합니다. 한편, 가장 간단한 산술 진행은 택시 미터기(아직도 존재하는) 작업입니다. 그리고 몇 가지 기본 개념을 분석하면 산술 수열의 본질을 이해하는 것(그리고 수학에서는 "본질을 얻는 것"보다 더 중요한 것은 없습니다)은 그리 어렵지 않습니다.

수학적인 숫자 순서

숫자 시퀀스는 일반적으로 일련의 숫자라고 하며 각 숫자에는 고유한 숫자가 있습니다.

a 1은 시퀀스의 첫 번째 멤버입니다.

2는 수열의 두 번째 항입니다.

7은 시퀀스의 일곱 번째 멤버입니다.

n은 시퀀스의 n번째 구성원입니다.

그러나 임의의 숫자와 숫자 집합은 우리에게 관심이 없습니다. 우리는 n번째 항의 값이 수학적으로 명확하게 공식화될 수 있는 관계에 의해 서수와 관련되는 수열에 주의를 집중할 것입니다. 즉, n번째 숫자의 숫자 값은 n의 일부 함수입니다.

a는 숫자 시퀀스의 멤버 값입니다.

n은 일련번호입니다.

f(n)은 숫자 시퀀스 n의 서수가 인수인 함수입니다.

정의

산술 수열은 일반적으로 각 후속 항이 이전 항보다 동일한 숫자만큼 큰(적은) 수열이라고 합니다. 등차수열의 n번째 항에 대한 공식은 다음과 같습니다.

n - 산술 수열의 현재 멤버 값.

n+1 - 다음 숫자의 공식;

d - 차이(특정 숫자).

차이가 양수(d>0)이면 고려 중인 계열의 각 후속 구성원이 이전 항목보다 커지고 이러한 산술 진행이 증가할 것임을 쉽게 판단할 수 있습니다.

아래 그래프를 보면 숫자 순서가 "증가"라고 불리는 이유를 쉽게 알 수 있습니다.

차이가 음수인 경우(d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

지정된 멤버 값

때로는 산술 수열의 임의 항의 값을 결정해야 하는 경우도 있습니다. 이는 산술 진행의 모든 ​​구성원의 값을 첫 번째부터 원하는 것까지 순차적으로 계산하여 수행할 수 있습니다. 그러나 예를 들어 5천 번째 또는 800만 번째 항의 값을 찾아야 하는 경우 이 경로가 항상 허용되는 것은 아닙니다. 전통적인 계산에는 많은 시간이 걸립니다. 그러나 특정 산술 수열은 특정 공식을 사용하여 연구할 수 있습니다. n 번째 항에 대한 공식도 있습니다. 산술 수열의 모든 항의 값은 수열의 차이를 가진 수열의 첫 번째 항의 합에 원하는 항의 수를 곱하고 다음으로 줄인 값으로 결정될 수 있습니다. 하나.

이 공식은 진행을 증가 및 감소시키는 데 보편적입니다.

주어진 용어의 값을 계산하는 예

등차수열의 n번째 항의 값을 구하는 다음 문제를 풀어보겠습니다.

조건: 매개변수를 사용한 산술 수열이 있습니다.

수열의 첫 번째 항은 3입니다.

숫자 계열의 차이는 1.2입니다.

작업: 214개 용어의 값을 찾아야 합니다.

해결책: 주어진 용어의 값을 결정하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

a(n) = a1 + d(n-1)

문제 설명의 데이터를 표현식으로 대체하면 다음과 같습니다.

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

답: 수열의 214번째 항은 258.6과 같습니다.

이 계산 방법의 장점은 분명합니다. 전체 솔루션은 2줄을 넘지 않습니다.

주어진 항 수의 합

주어진 산술 시리즈에서 일부 세그먼트의 값의 합을 결정해야 하는 경우가 많습니다. 이를 위해 각 항의 값을 계산한 다음 더할 필요도 없습니다. 이 방법은 합을 구해야 하는 항의 수가 적은 경우에 적용할 수 있습니다. 다른 경우에는 다음 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다.

1에서 n까지의 등차수열 항의 합은 첫 번째 항과 n번째 항의 합에 n 항의 수를 곱하고 2로 나눈 값과 같습니다. 공식에서 n번째 항의 값이 기사의 이전 단락의 표현식으로 대체되면 다음을 얻습니다.

계산예

예를 들어, 다음 조건의 문제를 해결해 보겠습니다.

수열의 첫 번째 항은 0입니다.

차이는 0.5이다.

문제는 56에서 101까지의 계열 항의 합을 구하는 것입니다.

해결책. 진행 정도를 결정하는 공식을 사용해 보겠습니다.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

먼저, 주어진 문제 조건을 공식에 ​​대입하여 진행의 101개 항 값의 합을 결정합니다.

s 101 = (2·0 + 0.5·(101-1))·101/2 = 2,525

당연히 56번째부터 101번째까지의 진행 항의 합을 구하려면 S 101에서 S 55를 빼야 합니다.

s 55 = (2·0 + 0.5·(55-1))·55/2 = 742.5

따라서 이 예의 산술 진행의 합은 다음과 같습니다.

초 101 - 초 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

등차수열의 실제 적용 예

기사의 끝에서 첫 번째 단락에 제공된 산술 시퀀스의 예로 돌아가 보겠습니다. 택시 미터 (택시 차량 미터). 이 예를 고려해 봅시다.

택시 탑승 (3km 이동 포함) 비용은 50 루블입니다. 이후 1km당 22루블/km의 비율로 지불됩니다. 이동거리는 30km이다. 여행 비용을 계산해 보세요.

1. 처음 3km는 착륙 비용에 포함되어 있으므로 버리자.

30 - 3 = 27km.

2. 추가 계산은 산술 숫자 계열을 구문 분석하는 것 이상입니다.

회원 번호 - 이동한 킬로미터 수(처음 3개 킬로미터 제외).

회원의 가치는 합계입니다.

이 문제의 첫 번째 항은 1 = 50 루블과 같습니다.

진행 차이 d = 22 r.

우리가 관심 있는 숫자는 산술 수열의 (27+1)번째 항의 값입니다. 27km 끝의 미터 판독값은 27.999... = 28km입니다.

28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

임의로 장기간에 대한 달력 데이터 계산은 특정 숫자 순서를 설명하는 공식을 기반으로 합니다. 천문학에서 궤도의 길이는 기하학적으로 천체에서 별까지의 거리에 따라 달라집니다. 또한 다양한 숫자 계열이 통계 및 기타 수학 응용 분야에서 성공적으로 사용됩니다.

숫자 시퀀스의 또 다른 유형은 기하학적입니다.

기하급수는 산술급수에 비해 변화율이 더 큰 것이 특징입니다. 정치, 사회학, 의학에서 특정 현상, 예를 들어 전염병 중 질병의 빠른 확산 속도를 보여주기 위해 그 과정이 기하학적 진행으로 발전한다고 말하는 것은 우연이 아닙니다.

기하학적 숫자 계열의 N번째 항은 일부 상수(분모)를 곱한다는 점에서 이전 항과 다릅니다. 예를 들어 첫 번째 항은 1이고 분모는 그에 따라 2와 같습니다.

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - 기하수열의 현재 항의 값.

b n+1 - 기하학적 수열의 다음 항의 공식;

q는 기하학적 수열의 분모입니다(상수).

산술 수열의 그래프가 직선이라면 기하 수열은 약간 다른 그림을 그립니다.

산술의 경우와 마찬가지로 기하수열에는 임의 항의 값에 대한 공식이 있습니다. 기하수열의 n번째 항은 첫 번째 항과 n의 거듭제곱 수열의 분모의 곱과 같습니다.

예. 첫 번째 항이 3이고 수열의 분모가 1.5인 기하학적 수열이 있습니다. 수열의 5번째 항을 찾아보자

b5 = b1 ∙ q(5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

주어진 수의 용어의 합은 특수 공식을 사용하여 계산됩니다. 기하 수열의 처음 n 항의 합은 수열의 n번째 항과 분모, 수열의 첫 번째 항의 곱을 분모로 나눈 값과 같습니다.

위에서 설명한 공식을 사용하여 bn을 대체하면 고려 중인 수열의 처음 n항의 합계 값은 다음과 같은 형식을 취합니다.

예. 기하학적 수열은 첫 번째 항이 1인 것부터 시작합니다. 분모는 3으로 설정됩니다. 처음 8개 항의 합을 구해 보겠습니다.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280