역삼각함수를 푸는 방법. 모든 역삼각함수를 통해 표현해보자

역삼각함수는 삼각함수의 역수인 수학 함수입니다.

함수 y=arcsin(x)

숫자 α의 아크사인은 사인이 α와 같은 구간 [-π/2;π/2]의 숫자 α입니다.
함수 그래프
구간 [-π/2;π/2]의 함수 у= sin⁡(x)는 순증가하고 연속적입니다. 그러므로 역함수(inverse function)를 가지며, 엄격하게 증가하고 연속됩니다.
함수 y= sin⁡(x)(여기서 x ∈[-π/2;π/2])에 대한 역함수는 아크사인이라고 하며 y=arcsin(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈[-1;1 ].
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크사인 정의 영역은 세그먼트 [-1;1]이고 값 집합은 세그먼트 [-π/2;π/2]입니다.
x ∈[-1;1]인 함수 y=arcsin(x)의 그래프는 x∈[-π/2;π인 경우 y= sin(⁡x) 함수의 그래프와 대칭입니다. /2], 좌표각 1/4과 3/4의 이등분선에 대해.

함수 범위 y=arcsin(x).

예 1.

arcsin(1/2)을 찾으시겠습니까?

함수 arcsin(x)의 값의 범위는 [-π/2;π/2] 구간에 속하므로 π/6 값만 적합하므로 arcsin(1/2) =π/ 6.
답:π/6

예 2.
arcsin(-(√3)/2)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2]이므로 -π/3 값만 적합하므로 arcsin(-(√3)/2) =- π /삼.

함수 y=arccos(x)

숫자 α의 아크코사인은 코사인이 α와 같은 구간에서 나온 숫자 α입니다.

함수 그래프

세그먼트의 함수 y= cos(⁡x)는 엄격하게 감소하고 연속적입니다. 그러므로 역함수(inverse function)를 가지며, 엄격하게 감소하고 연속됩니다.
함수 y= cos⁡x(여기서 x ∈)에 대한 역함수는 다음과 같습니다. 아크코사인 y=arccos(x)로 표시되며, 여기서 x ∈[-1;1]입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크코사인의 정의 영역은 세그먼트 [-1;1]이고 값 집합은 세그먼트입니다.
함수 y=arccos(x)의 그래프는 x ∈[-1;1]이 이등분선을 기준으로 x ∈인 함수 y= cos(⁡x)의 그래프와 대칭입니다. 1쿼터와 3쿼터의 좌표 각도.

함수 범위 y=arccos(x).

예 번호 3.

arccos(1/2)를 찾으시나요?

함수 arccos(x)의 값의 범위는 구간에 속하므로 3π/4 값만 적합하므로 arccos(-(√2)/2) = 3π/4가 됩니다.

답: 3π/4

함수 y=arctg(x)

숫자 α의 아크탄젠트는 탄젠트가 α와 같은 구간 [-π/2;π/2]의 숫자 α입니다.

함수 그래프

탄젠트 함수는 연속적이고 구간(-π/2;π/2)에서 엄격하게 증가합니다. 그러므로 연속적이고 엄격하게 증가하는 역함수를 갖습니다.
함수 y= tan⁡(x)의 역함수, 여기서 x∈(-π/2;π/2); 아크탄젠트라고 하며 y=arctg(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈R입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크탄젠트 정의 영역은 간격 (-무한대;+무한대)이고 값 집합은 간격입니다.
(-π/2;π/2).
x∈R인 함수 y=arctg(x)의 그래프는 x ∈ (-π/2;π/2)인 함수 y= tan⁡x의 그래프와 대칭입니다. 1/4과 3/4의 좌표 각도의 이등분선입니다.

함수 y=arctg(x)의 범위.

예 5 번?

아크탄((√3)/3)을 구하세요.

값의 범위는 arctg(x) x ∈(-π/2;π/2)이므로 π/6 값만 적합하므로 arctg((√3)/3) =π/6입니다.
예 번호 6.
arctg(-1)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arctg(x) x ∈(-π/2;π/2)이므로 -π/4 값만 적합합니다. 따라서 arctg(-1) = - π/4입니다.

함수 y=arcctg(x)

함수 그래프

구간 (0;π)에서 코탄젠트 함수는 엄격하게 감소합니다. 게다가 이 간격의 모든 지점에서 연속적입니다. 따라서 구간 (0;π)에서 이 함수는 역함수를 가지는데, 이는 엄격하게 감소하고 연속적입니다.
함수 y=ctg(x)(여기서 x ∈(0;π))에 대한 역함수는 아크코탄젠트라고 하며 y=arcctg(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈R입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크코탄젠트의 정의 영역은 R이 되고, 값의 집합은 구간(0;π)이 됩니다.함수 y=arcctg(x)의 그래프 여기서 x∈R은 1/4과 3/4의 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 함수 y=ctg(x) x∈(0 ;π)의 그래프에 대칭입니다.

함수 범위 y=arcctg(x).

예 번호 8.
arcctg(-(√3)/3)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arcctg(x) x∈(0;π)이므로 2π/3 값만 적합하므로 arccos(-(√3)/3) = 2π/3이 됩니다.

편집자: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

레슨 32-33. 역삼각함수

표적: 역삼각 함수와 삼각 방정식의 해를 작성하는 데 사용하는 방법을 고려합니다.

I. 수업의 주제와 목적을 전달합니다.

II. 새로운 자료를 학습

1. 역삼각함수

다음 예를 통해 이 주제에 대한 논의를 시작하겠습니다.

실시예 1

방정식을 풀어 봅시다: a) 죄 x = 1/2; b) 죄 x = a.

a) 세로축에 값 1/2을 플롯하고 각도를 구성합니다. x 1 그리고 x2입니다.죄 x = 1/2. 이 경우 x1 + x2 = π, x2 = π – x 1 . 삼각 함수 값 표를 사용하여 x1 = π/6 값을 찾은 다음사인 함수의 주기성을 고려하고 이 방정식의 해를 적어 보겠습니다.여기서 k ∈ Z입니다.

b) 분명히 방정식을 풀기 위한 알고리즘은죄 x = a는 이전 단락과 동일합니다. 물론 이제 a 값은 세로축을 따라 표시됩니다. 각도 x1을 어떻게든 지정해야 할 필요가 있습니다. 우리는 이 각도를 기호로 표시하기로 합의했습니다.아크신 ㅏ. 그러면 이 방정식의 해는 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.이 두 공식은 하나로 결합될 수 있습니다.여기서

나머지 역삼각함수도 비슷한 방식으로 도입됩니다.

알고 있는 삼각함수 값으로부터 각도의 크기를 결정해야 하는 경우가 매우 많습니다. 이러한 문제는 다중 값입니다. 삼각 함수가 동일한 값과 같은 수많은 각도가 있습니다. 따라서 삼각함수의 단조성을 바탕으로 각도를 고유하게 결정하기 위해 다음과 같은 역삼각함수를 도입합니다.

숫자 a의 아크사인(arcsin , 그 사인은 a와 같습니다. 즉

숫자의 아크코사인에이(아르코스 a)는 코사인이 a와 같은 구간으로부터의 각도 a입니다.

숫자의 아크탄젠트 a(아크트그 a) - 간격으로부터의 각도 a그 탄젠트는 a와 같습니다. 즉tg a = a.

숫자의 역탄젠트 a(arcctg a)는 구간 (0; π)로부터의 각도 a이며, 그 코탄젠트는 a와 같습니다. 즉 ctg a = a.

실시예 2

찾아보자:

역삼각 함수의 정의를 고려하여 다음을 얻습니다.

실시예 3

계산해보자

각도 a = 아크사인(arcsin) 3/5, 정의에 따라죄 a = 3/5이고 . 그러므로 우리는 찾아야 한다.코사인 ㅏ. 기본 삼각법 항등식을 사용하면 다음을 얻습니다.cos a ≥ 0이라는 점을 고려합니다. 따라서,

역삼각함수의 정의 및 기본 속성과 관련된 보다 일반적인 예를 몇 가지 들어보겠습니다.

실시예 4

함수의 정의역을 찾아보자

함수 y가 정의되기 위해서는 부등식을 만족해야 합니다.이는 불평등 시스템과 동일합니다.첫 번째 부등식의 해는 구간 x입니다.∈ (-무한대; +무한대), 초 -이 간격 불평등 시스템에 대한 해결책이므로 함수 정의 영역입니다.

실시예 5

기능이 변화하는 영역을 찾아보자

함수의 동작을 고려해 봅시다지 = 2x - x2(그림 참조).

z ∈임이 분명하다 (-무한대; 1]. 인수를 고려하면지 아크 코탄젠트 함수는 우리가 얻은 테이블 데이터에서 지정된 한계 내에서 다양합니다.그래서 변화의 영역

실시예 6

함수 y =임을 증명해 보겠습니다.아크트그 x 홀수. 허락하다그러면 tg a = -x 또는 x = - tg a = tg (- a)이고, 따라서 - a = arctg x 또는 a = - arctg 엑스. 따라서 우리는즉, y(x)는 홀수 함수입니다.

실시예 7

모든 역삼각함수를 통해 표현해보자

허락하다 그것은 분명하다 그러다가

각도를 소개하자면 왜냐하면 저것

그러므로 마찬가지로 그리고

그래서,

실시예 8

함수 y =의 그래프를 만들어 봅시다. cos(아크신x).

a = arcsin x를 나타내자. x = sin a 및 y = cos a, 즉 x 2를 고려해 봅시다. + y2 = 1, x에 대한 제한(x∈ [-1; 1]) 및 y(y ≥ 0). 그러면 함수 y =의 그래프가 나타납니다. cos(아르크신 x)는 반원이다.

실시예 9

함수 y =의 그래프를 만들어 봅시다.아크코스(cos x ).

cos 함수부터 x 간격 [-1; 1], 함수 y는 전체 수치 축에 정의되고 세그먼트 에 따라 달라집니다. y=라는 점을 명심하자.아크코스(cosx) = 세그먼트의 x; 함수 y는 주기가 2π인 짝수 주기입니다. 함수에 다음과 같은 속성이 있다는 점을 고려하면왜냐하면 x 이제 그래프를 쉽게 만들 수 있습니다.

몇 가지 유용한 평등을 살펴보겠습니다.

실시예 10

함수의 최소값과 최대값을 찾아보자나타내자 그 다음에 함수를 구해보자 이 함수는 해당 지점에서 최소값을 가집니다. z = π/4이며 이는 다음과 같습니다. 함수의 가장 큰 가치는 그 지점에서 달성됩니다. z = -π/2이며 동일합니다. 따라서,

실시예 11

방정식을 풀어보자

그 점을 고려해보자 그러면 방정식은 다음과 같습니다.또는 어디 아크탄젠트의 정의에 따라 다음을 얻습니다.

2. 간단한 삼각 방정식 풀기

예제 1과 유사하게 가장 간단한 삼각 방정식에 대한 해를 얻을 수 있습니다.

실시예 12

방정식을 풀어보자

사인 함수가 홀수이므로 방정식을 다음 형식으로 작성합니다.이 방정식의 해법:우리는 그것을 어디서 찾을 수 있나요?

실시예 13

방정식을 풀어보자

주어진 공식을 사용하여 방정식의 해를 기록합니다.그리고 우리는 찾을 것이다

방정식을 풀 때 특별한 경우(a = 0; ±1)에 유의하세요.죄 x = a와 cos x = 일반 공식을 사용하지 않고 단위원을 기반으로 해를 작성하는 것이 더 쉽고 편리합니다.

방정식 sin x = 1 해

방정식의 경우 sin x = 0 해 x = π k;

방정식 sin x = -1 해

cos 방정식의 경우 x = 1해 x = 2π케이;

방정식 cos x = 0 솔루션의 경우

방정식 cos x = -1 솔루션의 경우

실시예 14

방정식을 풀어보자

이 예에는 방정식의 특별한 경우가 있으므로 적절한 공식을 사용하여 해를 작성합니다.우리는 그것을 어디서 찾을 수 있나요?

III. 통제 질문(정면 조사)

1. 역삼각함수의 주요 속성을 정의하고 나열합니다.

2. 역삼각함수 그래프를 그려보세요.

3. 간단한 삼각 방정식을 푼다.

IV. 레슨 할당

§ 15, No. 3 (a, b); 4(c, d); 7(a); 8(a); 12(나); 13(a); 15(c); 16(a); 18(a, b); 19(c); 21;

§ 16, No. 4 (a, b); 7(a); 8(나); 16(a, b); 18(a); 19(c, d);

§ 17, No. 3 (a, b); 4(c, d); 5 (a, b); 7(c, d); 9(나); 10 (a, c).

V. 숙제

§ 15, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 7(c); 8(나); 12(a); 13(b); 15(g); 16(나); 18(c, d); 19(g); 22;

§ 16, No. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16(c, d); 18(나); 19(a, b);

§ 17, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 5(c, d); 7(a, b); 9(라); 10 (b, d).

6. 창의적인 작업

1. 함수의 정의역을 찾으세요:

답변:

2. 함수의 범위를 찾으십시오.

답변:

3. 함수를 그래프로 표현합니다.

Ⅶ. 수업 요약

역삼각함수수학적 분석에 널리 사용됩니다. 그러나 대부분의 고등학생의 경우 이러한 유형의 기능과 관련된 작업은 심각한 어려움을 야기합니다. 이는 주로 많은 교과서와 교육 보조 자료가 이러한 유형의 작업에 너무 적은 관심을 기울이기 때문입니다. 그리고 학생들이 역삼각 함수의 값을 계산하는 문제에 어떻게든 대처한다면, 대부분의 경우 그러한 함수를 포함하는 방정식과 부등식은 아이들을 당황하게 합니다. 실제로 역삼각함수를 포함하는 가장 간단한 방정식과 부등식조차 푸는 방법을 설명하는 교과서가 거의 없기 때문에 이는 놀라운 일이 아닙니다.

역삼각함수와 관련된 여러 방정식과 부등식을 살펴보고 자세한 설명과 함께 풀어보겠습니다.

예시 1.

방정식을 푼다: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

해결책.

방정식으로부터 역삼각함수를 표현하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

아크코스(2x + 3) = 5π/6. 이제 아크코사인의 정의를 사용해 보겠습니다.

-1에서 1까지의 세그먼트에 속하는 특정 숫자 a의 아크 코사인은 0에서 π까지의 세그먼트에서 각도 y이므로 해당 코사인은 숫자 x와 같습니다. 그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

2x + 3 = cos 5π/6.

축소 공식을 사용하여 결과 방정식의 우변을 작성해 보겠습니다.

2x + 3 = cos(π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

우변을 공통분모로 줄여보겠습니다.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

답변: -(6 + √3) / 4 .

예시 2.

방정식을 푼다: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

해결책.

cos (arcсos x) = x이고 x가 [-1; 1], 이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

시스템에 포함된 방정식을 풀어보겠습니다.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

그것은 정사각형이므로 우리는 그것을 얻습니다

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

시스템에 포함된 이중 불평등을 해결해 보겠습니다.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. 모든 부분에 9를 더하면 다음과 같습니다.

8 ≤ 4x ≤ 10. 각 숫자를 4로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

2 ≤ x ≤ 2.5.

이제 우리가 받은 답변을 결합해 보겠습니다. 근 x = 7이 부등식에 대한 답을 만족하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 방정식의 유일한 해는 x = 2입니다.

답: 2.

예시 3.

방정식을 푼다: tg(arctg(0.5 – x)) = x 2 – 4x + 2.5.

해결책.

모든 실수에 대해 tg(arctg x) = x이므로 이 방정식은 다음 방정식과 동일합니다.

0.5 – x = x 2 – 4x + 2.5.

먼저 판별식을 표준 형식으로 가져온 후 판별식을 사용하여 결과 이차 방정식을 풀어 보겠습니다.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

답: 1; 2.

예시 4.

방정식 풀기: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

해결책.

arcctg f(x) = arcctg g(x) f(x) = g(x)인 경우에만, 그러면

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. 결과 이차 방정식을 풀어 보겠습니다.

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Vieta의 정리에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

x = 1 또는 x = 2.

답: 1; 2.

실시예 5.

방정식 풀기: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

해결책.

arcsin f(x) = arcsin g(x) 형식의 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

그러면 원래 방정식은 시스템과 동일합니다.

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

결과 시스템을 풀어보겠습니다.

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Vieta의 정리를 사용하여 첫 번째 방정식에서 x = 1 또는 x = 7을 얻습니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 7 ≤ x ≤ 8임을 알 수 있습니다. 따라서 근 x = 7만이 최종 방정식에 적합합니다. 답변.

답: 7.

실시예 6.

방정식을 푼다: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

해결책.

arccos x = t라고 하면 t는 세그먼트에 속하고 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

t 2 – 6t + 8 = 0. Vieta의 정리를 사용하여 결과 이차 방정식을 풀면 t = 2 또는 t = 4임을 알 수 있습니다.

t = 4는 세그먼트에 속하지 않으므로 t = 2를 얻습니다. 즉, arccos x = 2, 이는 x = cos 2를 의미합니다.

답: 왜냐하면 2입니다.

실시예 7.

방정식을 푼다: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

해결책.

등식 arcsin x + arccos x = π/2를 사용하고 방정식을 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.

(아크신 x) 2 + (π/2 – 아크신 x) 2 = 5π 2 /36.

arcsin x = t라고 하면 t는 세그먼트 [-π/2; π/2] 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

결과 방정식을 풀어 보겠습니다.

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. 방정식에서 분수를 제거하기 위해 각 항에 9를 곱하면 다음을 얻습니다.

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

판별식을 찾아 결과 방정식을 풀어보겠습니다.

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 또는 t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 또는 t = 12π/36.

축소 후 우리는 다음을 얻습니다:

t = π/6 또는 t = π/3. 그 다음에

아크사인 x = π/6 또는 아크사인 x = π/3.

따라서 x = sin π/6 또는 x = sin π/3입니다. 즉, x = 1/2 또는 x =√3/2입니다.

답: 1/2; √3/2.

실시예 8.

표현식 5nx 0의 값을 구합니다. 여기서 n은 근의 개수이고 x 0은 방정식 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2의 음수근입니다.

해결책.

-π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2이므로 -π ≤ 2 arcsin x ≤ π입니다. 더욱이, 모든 실수 x에 대해 (x + 1) 2 ≥ 0,
그런 다음 -(x + 1) 2 ≤ 0 및 -π – (x + 1) 2 ≤ -π입니다.

따라서 방정식의 양쪽이 동시에 -π와 같을 경우 방정식은 해를 가질 수 있습니다. 즉, 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

(2 아크사인 x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

결과 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.

(아크신 x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

두 번째 방정식에서 우리는 x = -1, 각각 n = 1, 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5라는 것을 얻습니다.

답: -5.

실습에서 알 수 있듯이 역삼각 함수로 방정식을 푸는 능력은 시험에 성공적으로 합격하기 위한 필수 조건입니다. 그렇기 때문에 통합 상태 시험을 준비할 때 이러한 문제를 해결하는 교육이 필요하고 필수입니다.

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