제곱 삼항식의 근을 구합니다. 제곱삼항식과 그 근

"사각삼항식과 그 근"이라는 주제는 9학년 대수학 과정에서 공부됩니다. 다른 수학 수업과 마찬가지로 이 주제에 대한 수업에도 특별한 교수 도구와 방법이 필요합니다. 가시성이 필요합니다. 그 중 하나가 이 비디오 튜토리얼입니다. 이 비디오 튜토리얼은 교사의 작업을 더 쉽게 만들기 위해 특별히 제작되었습니다.

이 강의는 6분 36초 동안 진행됩니다. 이 기간 동안 저자는 주제를 완전히 공개합니다. 교사는 자료를 강화하기 위해 주제에 대한 작업만 선택하면 됩니다.

수업은 변수가 하나인 다항식의 예를 보여주는 것으로 시작됩니다. 그러면 다항식의 근의 정의가 화면에 나타납니다. 이 정의는 다항식의 근을 찾는 데 필요한 예에서 뒷받침됩니다. 방정식을 푼 후 저자는 다항식의 근을 얻습니다.

다음은 2차 삼항식에 선행 계수를 제외한 두 번째, 세 번째 또는 두 계수가 모두 0인 2차 다항식도 포함된다는 설명입니다. 이 정보는 자유 계수가 0인 예를 통해 뒷받침됩니다.

그런 다음 저자는 이차 삼항식의 근을 찾는 방법을 설명합니다. 이렇게 하려면 이차방정식을 풀어야 합니다. 그리고 저자는 이차 삼항식이 주어진 예를 사용하여 이를 확인할 것을 제안합니다. 우리는 그 뿌리를 찾아야 합니다. 해는 주어진 이차 삼항식에서 얻은 이차 방정식의 해를 기반으로 구성됩니다. 해결책은 화면에 상세하고 명확하며 이해하기 쉽게 작성되어 있습니다. 저자는 이 예를 풀면서 이차방정식을 푸는 방법을 기억하고, 공식을 적어서 결과를 얻는다. 답변이 화면에 기록됩니다.

저자는 예제를 바탕으로 제곱삼항식의 근을 구하는 방법을 설명했습니다. 학생들이 본질을 이해하면 저자가 하는 일인 보다 일반적인 요점으로 넘어갈 수 있습니다. 따라서 그는 위의 모든 내용을 추가로 요약합니다. 수학 언어의 일반적인 용어로 저자는 제곱 삼항식의 근을 찾는 규칙을 기록합니다.

다음은 일부 문제에서는 이차 삼항식을 조금 다르게 작성하는 것이 더 편리하다는 설명입니다. 이 항목이 화면에 표시됩니다. 즉, 제곱 삼항식에서 이항식의 제곱을 추출할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 예를 들어 이러한 변환을 고려하는 것이 제안됩니다. 이 예에 대한 해결책이 화면에 표시됩니다. 이전 예와 마찬가지로 솔루션은 필요한 모든 설명과 함께 자세하게 구성됩니다. 그런 다음 저자는 방금 제공된 정보를 사용하는 문제를 고려합니다. 기하학적 증명 문제입니다. 솔루션에는 그림 형식의 그림이 포함되어 있습니다. 문제에 대한 해결책이 자세하고 명확하게 설명되어 있습니다.

이것으로 수업을 마칩니다. 그러나 교사는 주어진 주제에 해당하는 학생의 능력에 따라 과제를 선택할 수 있습니다.

이 비디오 강의는 대수 수업의 새로운 자료에 대한 설명으로 사용될 수 있습니다. 학생들이 독립적으로 수업을 준비하는 데 적합합니다.

많은 물리적, 기하학적 패턴에 대한 연구는 종종 매개변수 문제 해결로 이어집니다. 일부 대학에서는 시험지에 방정식, 부등식 및 해당 시스템을 포함하는데, 이는 종종 매우 복잡하고 솔루션에 대한 비표준 접근 방식이 필요합니다. 학교에서는 학교 대수학 과정에서 가장 어려운 부분 중 하나인 이 부분을 소수의 선택 과목이나 교과 과정에서만 고려합니다.
제 생각에는 함수형 그래픽 방법이 매개변수를 사용하여 방정식을 푸는 편리하고 빠른 방법입니다.
알려진 바와 같이 매개변수가 있는 방정식과 관련하여 문제에 대한 두 가지 공식이 있습니다.

1. 방정식을 풉니다(각 매개변수 값에 대해 방정식의 모든 해를 찾습니다).
2. 방정식의 해가 주어진 조건을 만족하는 각각에 대한 매개변수의 모든 값을 찾습니다.

본 논문에서는 두 번째 유형의 문제를 제곱 삼항식의 근과 관련하여 고려하고 연구하며, 그 결과는 이차 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다.
저자는 이 작업이 교사가 수업을 개발하고 통합 상태 시험을 준비할 때 도움이 되기를 바랍니다.

1. 매개변수란 무엇인가

형태의 표현 아 2 +bx+c학교 대수학 과정에서 그들은 다음과 관련하여 이차 삼항식을 부릅니다. 엑스,어디 에, 비, c에는 실수가 주어지고, ㅏ=/= 0. 식이 0이 되는 변수 x의 값을 제곱삼항식의 근이라고 합니다. 이차 삼항식의 근을 찾으려면 이차 방정식을 풀어야 합니다. 아 2 + bх + c = 0.
학교 대수학 과정에서 배운 기본 방정식을 기억해 봅시다 도끼 + b = 0;
aх2 + bх + c = 0.자신의 근을 검색할 때 변수의 값은 에이, 비, 씨,방정식에 포함된 것은 고정되어 주어진 것으로 간주됩니다. 변수 자체를 매개변수라고 합니다. 학교 교과서에는 매개변수에 대한 정의가 없기 때문에 다음과 같은 가장 간단한 버전을 기본으로 삼을 것을 제안합니다.

정의.매개 변수는 독립 변수이며 문제에서 그 값은 주어진 고정 또는 임의의 실수 또는 미리 결정된 집합에 속하는 숫자로 간주됩니다.

2. 매개변수 문제를 해결하기 위한 기본 유형 및 방법

매개변수가 있는 작업 중에서 다음과 같은 주요 작업 유형을 구분할 수 있습니다.

1. 매개변수 값 또는 미리 지정된 세트에 속하는 매개변수 값에 대해 풀어야 하는 방정식입니다. 예를 들어. 방정식 풀기: 도끼 = 1, (ㅏ - 2)x = 에이 2 – 4.
2. 매개변수(매개변수) 값에 따라 솔루션 수를 결정하는 데 필요한 방정식입니다. 예를 들어. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ방정식 4엑스 2 – 4도끼 + 1 = 0루트가 하나야?
3. 필수 매개변수 값에 대해 솔루션 세트가 정의 영역에서 지정된 조건을 충족하는 방정식입니다.

예를 들어 방정식의 근이 다음과 같은 매개변수 값을 찾습니다( ㅏ - 2)엑스 2 – 2도끼 + 에 + 3 = 0 긍정적인.
매개변수 문제를 해결하는 주요 방법: 분석 및 그래픽.

분석적- 이는 매개 변수가 없는 문제에서 답을 찾기 위해 표준 절차를 반복하는 소위 직접 해결 방법입니다. 그러한 작업의 예를 살펴보겠습니다.

과제 1번

매개 변수 a의 어떤 값에서 방정식이 수행됩니까? 엑스 2 – 2도끼+a 2 – 1 = 0은 구간(1; 5)에 속하는 두 개의 서로 다른 근을 가집니다.

해결책

엑스 2 – 2도끼+a 2 – 1 = 0.
문제의 조건에 따라 방정식은 두 개의 서로 다른 근을 가져야 하며 이는 D > 0 조건에서만 가능합니다.
우리는: D = 4 ㅏ 2 – 2(ㅏ 2 – 1) = 4. 보시다시피 판별식은 a에 의존하지 않으므로 방정식은 매개변수 a의 모든 값에 대해 두 개의 서로 다른 근을 갖습니다. 방정식의 근을 찾아봅시다: 엑스 1 = ㅏ + 1, 엑스 2 = ㅏ – 1
방정식의 근은 구간 (1; 5)에 속해야 합니다. 즉,
그래서 2시에<ㅏ < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

답: 2<ㅏ < 4.
고려 중인 유형의 문제를 해결하기 위한 이러한 접근 방식은 이차 방정식의 판별식이 "좋은" 경우에 가능하고 합리적입니다. 는 임의의 숫자나 표현식의 정확한 제곱이거나, 비에타의 역정리를 사용하여 방정식의 근을 찾을 수 있습니다. 그러면 뿌리는 비합리적인 표현을 나타내지 않습니다. 그렇지 않으면 이러한 유형의 문제를 해결하려면 기술적 관점에서 볼 때 매우 복잡한 절차가 필요합니다. 그리고 비합리적인 불평등을 해결하려면 학생의 새로운 지식이 필요합니다.

그래픽- 좌표평면(x; y) 또는 (x; a)에서 그래프를 이용하는 방식입니다. 이 해결 방법의 명확성과 아름다움은 문제를 해결하는 빠른 방법을 찾는 데 도움이 됩니다. 1번 문제를 그래픽으로 풀어보겠습니다.
대수학 과정에서 알 수 있듯이, 이차 방정식(이차 삼항식)의 근은 해당 이차 함수의 0입니다. Y = 엑스 2 – 2오 + ㅏ 2 – 1. 함수의 그래프는 포물선이고 가지가 위쪽을 향합니다(첫 번째 계수는 1입니다). 문제의 모든 요구 사항을 충족하는 기하학적 모델은 다음과 같습니다.

이제 남은 것은 필요한 조건을 사용하여 원하는 위치에 포물선을 "고정"하는 것입니다.

1. 포물선에는 축과 두 개의 교차점이 있으므로 엑스, D > 0.
2. 포물선의 꼭지점은 수직선 사이에 있습니다. 엑스= 1 및 엑스= 5이므로 포물선 x o 꼭지점의 가로좌표는 간격 (1; 5)에 속합니다. 즉
   1 <엑스영형< 5.
3. 우리는 그것을 알아차린다 ~에(1) > 0, ~에(5) > 0.

따라서 문제의 기하학적 모델에서 분석적인 모델로 이동하여 불평등 시스템을 얻습니다.

답: 2<ㅏ < 4.

예에서 볼 수 있듯이 뿌리가 "나쁜" 경우, 즉 고려 중인 유형의 문제를 해결하기 위한 그래픽 방법이 가능합니다. 근호 아래에 매개변수가 포함되어 있습니다(이 경우 방정식의 판별식은 완전제곱식이 아닙니다).
두 번째 해법에서는 방정식의 계수와 함수의 범위를 사용하여 작업했습니다. ~에 = 엑스 2 – 2오 + ㅏ 2 – 1.
이 해결 방법은 그래픽으로만 호출할 수 없습니다. 여기서 우리는 불평등 시스템을 해결해야 합니다. 오히려 이 방법은 기능적 방법과 그래픽 방법이 결합되어 있습니다. 이 두 가지 방법 중에서 후자는 우아할 뿐만 아니라 가장 중요합니다. 문제에 대한 구두 설명, 기하학적 모델 - 2차 삼항식 그래프, 분석적 모델 등 모든 유형의 수학적 모델 간의 관계를 보여주기 때문입니다. 모델 - 불평등 시스템에 의한 기하학적 모델에 대한 설명입니다.
그래서 우리는 이차 삼항식의 근이 원하는 매개변수 값에 대한 정의 영역에서 주어진 조건을 만족시키는 문제를 고려했습니다.

2차 삼항식의 근이 원하는 매개변수 값에 대해 충족할 수 있는 다른 가능한 조건은 무엇입니까?

정사각형 삼항식 a*x 2 +b*x+c 형식의 삼항식이라고 합니다. 여기서 a,b,c는 임의의 실수이고 x는 변수입니다. 또한, 숫자 a는 0이 되어서는 안됩니다.

숫자 a,b,c를 계수라고 합니다. 숫자 a를 선행 계수라고 하고, 숫자 b를 x의 계수, 숫자 c를 자유 항이라고 합니다.

제곱 삼항식의 근 a*x 2 +b*x+c는 제곱 삼항식 a*x 2 +b*x+c가 사라지는 변수 x의 값입니다.

이차 삼항식의 근을 찾으려면 a*x 2 +b*x+c=0 형식의 이차 방정식을 풀어야 합니다.

이차 삼항식의 근을 찾는 방법

이 문제를 해결하려면 알려진 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다.

• 1 방향.

공식을 사용하여 제곱 삼항식의 근을 구합니다.

1. 공식 D =b 2 -4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 구합니다.

2. 판별식의 값에 따라 다음 공식을 사용하여 근을 계산합니다.

D > 0이면,그러면 제곱 삼항식은 두 개의 근을 가집니다.

x = -b±√D / 2*a

만약 D< 0, 그러면 제곱 삼항식은 하나의 근을 가집니다.

판별식이 음수이면 이차 삼항식에는 근이 없습니다.

• 방법 2.

완전제곱수를 분리하여 이차 삼항식의 근을 찾습니다. 주어진 이차 삼항식의 예를 살펴보겠습니다. 선행 계수가 1인 축소된 2차 방정식입니다.

이차 삼항식 x 2 +2*x-3의 근을 구해 봅시다. 이를 위해 다음 2차 방정식을 푼다: x 2 +2*x-3=0;

이 방정식을 변형해 보겠습니다.

방정식의 왼쪽에는 다항식 x 2 +2*x가 있습니다. 이를 합의 제곱으로 나타내려면 1과 같은 또 다른 계수가 필요합니다. 이 표현식에서 1을 더하고 빼면 다음과 같은 결과를 얻습니다. :

(x 2 +2*x+1) -1=3

이항식의 제곱으로 괄호 안에 나타낼 수 있는 것은 무엇입니까?

이 방정식은 x+1=2 또는 x+1=-2의 두 가지 경우로 나뉩니다.

첫 번째 경우에는 x=1이라는 답을 얻었고 두 번째 경우에는 x=-3이라는 답을 얻었습니다.

답: x=1, x=-3.

변환의 결과로 왼쪽에는 이항식의 제곱을, 오른쪽에는 특정 숫자를 구해야 합니다. 오른쪽에는 변수가 포함되어서는 안 됩니다.

최고 카테고리 교사 : Minaichenko N.S., 체육관 No. 24, Sevastopol

8학년 수업: "사각삼항식과 그 근"

수업 유형 : 새로운 지식의 교훈.

수업의 목적:

이차 삼항식을 선형 인수로 분해하고 분수의 축소에 대한 지식을 통합하고 개발하기 위한 학생 활동을 조직합니다.

모든 인수분해 방법에 대한 지식을 적용하는 기술 개발: 대수학 시험을 성공적으로 통과하기 위해 괄호로 묶기, 축약된 곱셈 공식 사용 및 그룹화 방법;

인수분해를 사용할 때 주제에 대한 인지적 관심의 발달, 논리적 사고의 형성 및 자제력을 위한 조건을 만듭니다.

장비: 멀티미디어 프로젝터, 스크린, 프리젠테이션: "제곱 삼항식의 뿌리", 크로스워드 퍼즐, 테스트, 유인물.

기본 개념 . 이차 삼항식을 인수분해합니다.

학생들의 독립적인 활동. 문제 해결에 이차 삼항식의 인수분해에 대한 정리를 적용합니다.

강의 계획

학생 질문에 대한 답변

IV. 지식 습득의 기본 테스트입니다. 반사

선생님의 메시지.

학생 메시지

V. 숙제

칠판에 글쓰기

방법론적 설명:

이 주제는 "대수식의 동일한 변환" 섹션의 기본입니다. 따라서 학생들이 예제에서 인수분해 공식을 자동으로 볼 수 있을 뿐만 아니라 방정식 풀기, 표현식 변환, 항등식 증명과 같은 다른 작업에도 이를 적용할 수 있는 것이 중요합니다.

이 항목에서는 2차 삼항식 인수분해에 중점을 둡니다.

도끼+ bx + c = a(x – x)(x – x),

여기서 x와 x – 2차 방정식 ax + bx + c = 0의 근.

이를 통해 학생의 시야를 확장하고 학습 중인 자료를 사용하여 비표준 상황에서 생각하도록 가르칠 수 있습니다. 이차 삼항식을 인수분해하는 공식을 사용합니다:

대수 분수를 줄이는 능력;

대수식을 단순화하는 능력;

방정식을 푸는 능력;

신원을 증명하는 능력.

주요 수업 내용:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x - 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. 분수를 줄이세요:

№3. 표현을 단순화하십시오.

№4. 방정식을 푼다:

비)

수업 중:

I. 지식 업데이트 단계.

학습 활동에 대한 동기 부여.

a) 역사에서 :

비) 크로스워드:

워밍업 - 마음 훈련 – 크로스워드 퍼즐:

수평으로:

1) 2도의 근은… (정사각형)

2) 방정식이 진정한 평등이 되는 변수의 값(근)

3) 미지수를 포함하는 등식을... (방정식)이라고 합니다.

4) 인도 과학자, 이차 방정식을 풀기 위한 일반 규칙을 정한 사람(Brahmagupta)

5) 이차방정식의 계수는...(숫자)

6) 방정식을 풀기 위한 기하학적 방법(유클리드)을 발명한 고대 그리스 과학자

7) 이차 방정식의 계수와 근에 관한 정리(Vieta)

8) "판별", 이차 방정식의 근을 결정하는 것 - 이것은... (판별)

추가로:

D>0이면 뿌리는 몇 개인가? (둘)

D=0이면 뿌리는 몇 개인가? (하나)

만약 D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

수평 및 수직 수업 주제: "사각 삼항식"

b) 동기:

이 주제는 "대수식의 동일한 변환" 섹션의 기본입니다. 따라서 예에서 인수분해 공식을 자동으로 볼 수 있을 뿐만 아니라 분수 축소, 방정식 풀기, 표현식 변환, 항등 증명과 같은 다른 작업에도 이를 적용할 수 있는 것이 중요합니다.

오늘 우리는 이차 삼항식을 인수분해하는 것에 중점을 둘 것입니다:

II. 새로운 자료를 학습합니다.

주제: 제곱삼항식과 그 근.

많은 변수의 다항식에 대한 일반 이론은 학교 과정의 범위를 훨씬 뛰어 넘습니다. 따라서 우리는 가장 간단한 경우에만 하나의 실수 변수의 다항식을 연구하는 것으로 제한할 것입니다. 표준 형식으로 축소된 하나의 변수의 다항식을 고려해 보겠습니다.

다항식의 근 다항식의 값이 0인 변수의 값입니다. 이는 다항식의 근을 찾으려면 이를 0과 동일시해야 함을 의미합니다. 방정식을 풀어보세요.

1차 다항식의 근
찾기 쉽다
. 시험:
.

이차 삼항식의 근은 다음 방정식을 풀어서 구할 수 있습니다.
.

이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

;

만약에 그리고 -제곱 삼항식의 근
, 어디 ≠ 0,

저것 .

증거:

이차 삼항식의 다음 변환을 수행해 보겠습니다.

=
=
=

=
=
=

=
=

판별식부터
, 우리는 다음을 얻습니다:

=
=

괄호 안의 제곱 공식의 차이를 적용하여 다음을 얻습니다.

=
=
,

왜냐하면
;
. 정리가 입증되었습니다.

결과 수식을 수식이라고 합니다.이차 삼항식을 인수분해합니다.

III. 기술과 능력의 형성.

№1. 2차 삼항식을 인수분해합니다.

해결책:

답: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

책상 위에:

b) –5x + 6x – 1;

추가로:

c) x - 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. 분수를 줄이세요:

ㅏ)

№4. 방정식을 푼다:

비)

IV. 지식 습득의 기본 테스트입니다.

ㅏ) 시험.

옵션 1.

1. 이차 삼항식의 근을 찾으세요:2배 2 -9x-5

답변:

2. 동등성이 참이 되려면 생략 부호를 대체해야 하는 다항식은 무엇입니까?

b) 옵션의 상호 검증 (답변 및 평가 매개변수가 설명되어 있습니다).

c) 반성.

V. 숙제.

판별식을 사용하여 제곱 삼항식의 근을 찾을 수 있습니다. 또한, 2차 축소다항식의 경우 계수의 비율을 기반으로 하는 Vieta의 정리가 적용됩니다.

지침

• 이차 방정식은 학교 대수학에서 상당히 광범위한 주제입니다. 이러한 방정식의 왼쪽은 A x² + B x + C 형식의 2차 다항식입니다. 즉, 미지의 x에 대한 다양한 정도의 세 가지 단항식의 표현. 제곱 삼항식의 근을 찾으려면 이 표현식이 0인 x 값을 계산해야 합니다.
• 이차 방정식을 풀려면 판별식을 찾아야 합니다. 그 공식은 다항식의 완전한 제곱을 분리한 결과이며 계수의 특정 비율을 나타냅니다: D = B² – 4 A C.
• 판별자는 음수를 포함하여 다양한 값을 가질 수 있습니다. 그리고 어린 학생들이 그러한 방정식에 뿌리가 없다고 안심하고 말할 수 있다면 고등학생들은 이미 복소수 이론을 기반으로 방정식을 결정할 수 있습니다. 따라서 세 가지 옵션이 있을 수 있습니다. 판별식 – 양수. 그러면 방정식의 근은 같습니다. x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2A;
  판별식이 0이 되었습니다. 이론적으로 이 경우 방정식에는 두 개의 근이 있지만 실제로는 동일합니다. x1 = x2 = -B/2 A;
  판별식이 0보다 작습니다. 특정 값 i² = -1이 계산에 도입되어 복잡한 솔루션을 작성할 수 있습니다. x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• 판별 방법은 모든 이차 방정식에 유효하지만, 특히 작은 정수 계수의 경우 더 빠른 방법을 사용하는 것이 권장되는 상황이 있습니다. 이 방법은 비에타의 정리(Vieta's theorem)라고 불리며, 축소된 삼항식의 계수들 사이의 관계 쌍으로 구성됩니다: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. 남은 것은 근을 찾는 것뿐입니다.
• 방정식이 유사한 형태로 축소될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 이렇게 하려면 삼항식의 모든 항을 최고 거듭제곱 A의 계수로 나누어야 합니다. A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.