함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값

수학 통합 상태 시험의 B14 작업에서는 한 변수의 함수 중 가장 작거나 가장 큰 값을 찾아야 합니다. 이것은 수학적 분석에서 볼 때 상당히 사소한 문제이므로 모든 고등학교 졸업생은 정상적으로 문제를 해결하는 방법을 배울 수 있고 배워야 합니다. 2011년 12월 7일 모스크바에서 열린 수학 진단 작업 중에 학생들이 풀었던 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

함수의 최대값 또는 최소값을 구하려는 간격에 따라 다음 표준 알고리즘 중 하나를 사용하여 이 문제를 해결합니다.

I. 세그먼트에서 함수의 최대값 또는 최소값을 찾는 알고리즘:

함수의 미분을 찾아보세요.
주어진 세그먼트와 함수 정의 영역에 속하는 극값으로 의심되는 점 중에서 선택합니다.
값 계산 기능(미분 아님!) 이 지점에서.
얻은 값 중에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 선택하면 원하는 값이 됩니다.

예시 1.함수의 가장 작은 값 찾기
와이 = 엑스 3 – 18엑스 2 + 81엑스세그먼트에서 + 23.

해결책:우리는 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값을 찾는 알고리즘을 따릅니다.

기능의 범위는 제한되지 않습니다. 일(년) = 아르 자형.
함수의 미분은 다음과 같습니다. 와이' = 3엑스 2 – 36엑스+ 81. 함수 도함수의 정의 영역도 제한되지 않습니다. 디(y') = 아르 자형.
도함수의 0: 와이' = 3엑스 2 – 36엑스+ 81 = 0, 즉 엑스 2 – 12엑스+ 27 = 0, 어디서? 엑스= 3 그리고 엑스= 9, 우리의 간격에는 다음만 포함됩니다. 엑스= 9(극값이 의심되는 1점)
우리는 극값이 의심되는 지점과 간격의 가장자리에서 함수의 값을 찾습니다. 계산의 편의를 위해 함수를 다음 형식으로 표시합니다. 와이 = 엑스 3 – 18엑스 2 + 81엑스 + 23 = 엑스(엑스-9) 2 +23:
- 와이(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- 와이(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- 와이(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

따라서 얻은 값 중 가장 작은 값은 23입니다. 답: 23.

II. 함수의 최대값 또는 최소값을 찾는 알고리즘:

함수 정의 영역을 찾으세요.
함수의 미분을 찾아보세요.
극값이 의심되는 점(함수의 도함수가 사라지는 점과 양면 유한 도함수가 없는 점)을 식별합니다.
수직선에 이 점들과 함수 정의 영역을 표시하고 부호를 결정하십시오. 유도체(함수 아님!) 결과 간격에 대해.
가치 정의 기능(미분 아님!) 최소 지점(미분의 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되는 지점)에서 이 값 중 가장 작은 값이 함수의 가장 작은 값이 됩니다. 최소점이 없으면 함수에 최소값이 없습니다.
가치 정의 기능(미분 아님!) 최대 지점(미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되는 지점)에서 이 값 중 가장 큰 값이 함수의 가장 큰 값이 됩니다. 최대점이 없으면 함수는 가장 큰 값을 가지지 않습니다.

예시 2.함수의 가장 큰 값을 찾습니다.

$\blacktriangleright$ 세그먼트 에서 함수의 최대/최소 값을 찾으려면 이 세그먼트에서 함수의 그래프를 개략적으로 묘사할 필요가 있습니다.
이 하위 주제의 문제에서는 도함수를 사용하여 이를 수행할 수 있습니다. 증가하는 간격($f">0$ )과 감소하는 간격($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ 이 함수는 세그먼트 의 내부 지점뿐만 아니라 끝에서도 최대/최소 값을 취할 수 있다는 점을 잊지 마십시오.

$\blacktriangleright$ 함수의 최대/최소 값은 좌표 값 $y=f(x)$ 입니다.

$\blacktriangleright$ 복소 함수 $f(t(x))$의 도함수는 다음 규칙에 따라 구됩니다. \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(배열)(|r|c|c|) \hline & \text(함수 ) f(x) & \text(도함수 ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(배열) \quad \quad \quad \quad \begin(배열)(|r|c|c|) \hline & \text(함수 ) f(x) & \text(도함수 ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(배열)\]

작업 1 #2357

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

세그먼트 $[-10; -2]$ 에서 함수 $y = e^(x^2 - 4)$ 의 가장 작은 값을 찾습니다.

ODZ: $x$ – 임의.

1) \

\ 따라서 $x = 0$ 에 대해 $y" = 0$ 입니다.

3) 고려 중인 세그먼트 $[-10; -2]$에서 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

4) $[-10; -2]$ 세그먼트의 그래프 스케치:

따라서 함수는 $x = -2$ 에서 $[-10; -2]$ 에서 가장 작은 값에 도달합니다.

\ 합계: $1$ – $[-10; -2]$ 에서 함수 $y$의 가장 작은 값입니다.

답: 1

작업 2 #2355

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$세그먼트 $[-1; 1]$ 에 있습니다.

ODZ: $x$ – 임의.

1) \

임계점(즉, 도함수가 $0$과 같거나 존재하지 않는 함수 정의 영역의 내부 지점)을 찾아보겠습니다. \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]모든 $x$ 에 대한 파생 상품이 존재합니다.

2) 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

3) 고려 중인 세그먼트 $[-1; 1]$에서 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

4) $[-1; 1]$ 세그먼트의 그래프 스케치:

따라서 함수는 $x = -1$ 또는 $x = 1$에서 $[-1; 1]$에서 가장 큰 값에 도달합니다. 이 지점에서 함수 값을 비교해 보겠습니다.

\ 합계: $2$ – $[-1; 1]$ 에서 함수 $y$의 가장 큰 값입니다.

답: 2

작업 3 #2356

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

세그먼트  에서 함수 $y = \cos 2x$ 의 가장 작은 값을 찾습니다.

ODZ: $x$ – 임의.

1) \

임계점(즉, 도함수가 $0$과 같거나 존재하지 않는 함수 정의 영역의 내부 지점)을 찾아보겠습니다. \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]모든 $x$ 에 대한 파생 상품이 존재합니다.

2) 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

(여기에는 미분의 부호가 번갈아 나타나는 무한한 수의 간격이 있습니다).

3) 고려 중인 세그먼트 에서 상수 부호 $y"$의 간격을 구해 보겠습니다.

4)  세그먼트의 그래프 스케치 :

따라서 함수는 $x = \dfrac(\pi)(2)$ 에서 에서 가장 작은 값에 도달합니다.

\ 합계: $-1$ –  에 대한 함수 $y$의 가장 작은 값입니다.

답: -1

작업 4 #915

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

함수의 가장 큰 값 찾기

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . ODZ를 결정합시다:

1) $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , 그 다음 $y(t)=-\log_(17)t$ 을 나타냅니다.

임계점(즉, 도함수가 $0$과 같거나 존재하지 않는 함수 정의 영역의 내부 지점)을 찾아보겠습니다. \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ에서 루트 $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ 를 찾습니다. $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$일 때 $y$ 함수의 미분은 존재하지 않지만 이 방정식에는 음의 판별식이 있으므로 해가 없습니다. 함수의 최대/최소 값을 찾으려면 그래프가 개략적으로 어떻게 보이는지 이해해야 합니다.

2) 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

3) 그래프 스케치:

따라서 함수는 $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$에서 가장 큰 값에 도달합니다.

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

합계: $0$ – 함수 $y$ 의 가장 큰 값입니다.

답: 0

작업 5 #2344

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

함수의 가장 작은 값 찾기

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . ODZ를 결정합시다:

1) $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , 그 다음 $y(t)=\log_(3)t$ 을 나타냅니다.

임계점(즉, 도함수가 $0$과 같거나 존재하지 않는 함수 정의 영역의 내부 지점)을 찾아보겠습니다. \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZ에서 루트 $x = -4$ 를 찾습니다. $x^2 + 8x + 19 = 0$일 때 함수 $y$의 미분은 존재하지 않지만 이 방정식에는 음의 판별식이 있으므로 해가 없습니다. 함수의 최대/최소 값을 찾으려면 그래프가 개략적으로 어떻게 보이는지 이해해야 합니다.

2) 상수 부호 $y"$의 간격을 찾아보겠습니다.

3) 그래프 스케치:

따라서 $x = -4$는 함수 $y$의 최소점이며 가장 작은 값이 이 지점에서 달성됩니다.

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

합계: $1$ – 함수 $y$ 의 가장 작은 값입니다.

답: 1

작업 6 #917

작업 수준: 통합 상태 시험보다 더 어렵습니다.

함수의 가장 큰 값 찾기

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

실용적인 관점에서 가장 큰 관심은 도함수를 사용하여 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것입니다. 이것은 무엇과 관련이 있습니까? 이익 극대화, 비용 최소화, 최적의 장비 부하 결정... 즉, 삶의 여러 영역에서 우리는 일부 매개 변수를 최적화하는 문제를 해결해야 합니다. 그리고 이것은 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 작업입니다.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 일반적으로 함수의 전체 영역 또는 정의 영역의 일부인 특정 간격 X에서 구됩니다. 간격 X 자체는 세그먼트, 열린 간격일 수 있습니다. , 무한 간격.

이 기사에서는 하나의 변수 y=f(x)에 대해 명시적으로 정의된 함수의 최대값과 최소값을 찾는 방법에 대해 설명합니다.

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함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 - 정의, 그림.

주요 정의를 간단히 살펴보겠습니다.

함수의 가장 큰 값 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

함수의 가장 작은 값구간 X의 y=f(x)를 이러한 값이라고 합니다. 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

이러한 정의는 직관적입니다. 함수의 가장 큰(가장 작은) 값은 가로좌표에서 고려 중인 구간에서 허용되는 가장 큰(가장 작은) 값입니다.

고정점– 함수의 미분이 0이 되는 인수의 값입니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 때 고정점이 필요한 이유는 무엇입니까? 이 질문에 대한 답은 페르마의 정리에 의해 주어집니다. 이 정리에 따르면 미분 가능 함수가 어떤 지점에서 극값(국소 최솟값 또는 국부 최댓값)을 갖는 경우 이 지점은 고정되어 있습니다. 따라서 함수는 종종 이 구간의 고정점 중 하나에서 구간 X에서 가장 큰(가장 작은) 값을 취합니다.

또한 함수는 이 함수의 1차 도함수가 존재하지 않고 함수 자체가 정의되는 지점에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 취할 수 있는 경우가 많습니다.

이 주제에 대한 가장 일반적인 질문 중 하나인 "함수의 최대(최소) 값을 결정하는 것이 항상 가능합니까?"에 즉시 답해 보겠습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 때로는 간격 X의 경계가 함수 정의 영역의 경계와 일치하거나 간격 X가 무한합니다. 그리고 무한대와 정의 영역의 경계에 있는 일부 함수는 무한히 큰 값과 무한히 작은 값을 모두 가질 수 있습니다. 이 경우 함수의 최대값과 최소값에 대해서는 아무 것도 말할 수 없습니다.

명확성을 위해 그래픽 그림을 제공합니다. 사진을 보시면 많은 것이 더 명확해질 것입니다.

세그먼트에서

첫 번째 그림에서 함수는 세그먼트 [-6;6] 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

두 번째 그림에 묘사된 사례를 고려해보세요. 세그먼트를 으로 변경해 보겠습니다. 이 예에서 함수의 가장 작은 값은 고정된 지점에서 달성되고, 간격의 오른쪽 경계에 해당하는 가로좌표가 있는 지점에서 가장 큰 값이 달성됩니다.

그림 3에서 세그먼트 [-3;2]의 경계점은 함수의 최대값과 최소값에 해당하는 점의 가로좌표입니다.

열린 간격으로

네 번째 그림에서 함수는 열린 구간(-6;6) 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

구간에서는 가장 큰 값에 대한 결론을 도출할 수 없습니다.

무한대에서

일곱 번째 그림에 제시된 예에서 함수는 가로좌표 x=1인 정지점에서 가장 큰 값(최대 y)을 취하고 구간의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값(최소 y)을 얻습니다. 음의 무한대에서 함수 값은 점근적으로 y=3에 접근합니다.

간격 동안 함수는 가장 작은 값이나 가장 큰 값에 도달하지 않습니다. x=2가 오른쪽에서 접근할수록 함수값은 마이너스 무한대(x=2선은 수직 점근선)에 가까워지는 경향이 있고, 가로좌표는 플러스 무한대 방향으로 갈수록 함수값은 y=3에 점근적으로 접근합니다. 이 예의 그래픽 그림이 그림 8에 나와 있습니다.

세그먼트에서 연속 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾을 수 있는 알고리즘을 작성해 보겠습니다.

함수 정의 영역을 찾아 전체 세그먼트가 포함되어 있는지 확인합니다.
우리는 1차 도함수가 존재하지 않고 세그먼트에 포함된 모든 점을 찾습니다(일반적으로 이러한 점은 모듈러스 기호 아래에 인수가 있는 함수와 분수-유리 지수가 있는 거듭제곱 함수에서 발견됩니다). 해당 지점이 없으면 다음 지점으로 이동합니다.
우리는 세그먼트 내에 속하는 모든 고정 지점을 결정합니다. 이를 위해 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀고 적절한 근을 선택합니다. 고정된 지점이 없거나 그 중 어느 것도 세그먼트에 포함되지 않으면 다음 지점으로 이동합니다.
선택된 고정점(있는 경우), 1차 도함수가 존재하지 않는 지점(있는 경우) 및 x=a 및 x=b에서 함수 값을 계산합니다.
얻은 함수 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다. 이는 각각 함수에 필요한 가장 큰 값과 가장 작은 값이 됩니다.

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 예제를 해결하기 위한 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

예.

함수의 최대값과 최소값 찾기

세그먼트에서 ;
세그먼트 [-4;-1] 에서.

해결책.

함수 정의 영역은 즉, 0을 제외한 전체 실수 집합입니다. 두 세그먼트 모두 정의 영역에 속합니다.

다음과 관련하여 함수의 도함수를 구합니다.

분명히 함수의 미분은 세그먼트와 [-4;-1]의 모든 지점에 존재합니다.

방정식에서 고정점을 결정합니다. 유일한 실제 근은 x=2입니다. 이 고정점은 첫 번째 세그먼트에 속합니다.

첫 번째 경우, 세그먼트 끝과 고정점, 즉 x=1, x=2 및 x=4에서 함수 값을 계산합니다.

따라서 함수의 가장 큰 가치는 x=1에서 달성되며 가장 작은 값 – x=2에서.

두 번째 경우에는 세그먼트 [-4;-1] 끝에서만 함수 값을 계산합니다(단일 고정점이 포함되어 있지 않기 때문).

이 서비스를 이용하면 다음과 같은 일을 할 수 있습니다. 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기 Word 형식의 솔루션을 사용하는 하나의 변수 f(x). 따라서 함수 f(x,y)가 주어지면 두 변수 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 함수의 증가 및 감소 간격을 찾을 수도 있습니다.

기능 입력 규칙:

한 변수의 함수의 극한에 대한 필요 조건

방정식 f" 0 (x *) = 0은 한 변수의 함수의 극값에 대한 필수 조건입니다. 즉, x * 지점에서 함수의 1차 도함수는 사라져야 합니다. 이는 함수가 나타나지 않는 고정 지점 x c를 식별합니다. 증가 또는 감소.

한 변수의 함수의 극값에 대한 충분조건

f 0 (x)가 집합 D에 속하는 x에 대해 두 번 미분 가능하다고 가정합니다. x * 지점에서 조건이 충족되면:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

그러면 x * 지점은 함수의 로컬(전역) 최소 지점입니다.

x * 지점에서 조건이 충족되면:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

그러면 점 x *는 지역(전역) 최대값입니다.

예 1. 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.
해결책.

임계점은 1 x 1 = 2(f'(x)=0)입니다. 이 지점은 세그먼트에 속합니다. (0∉이므로 x=0 지점은 중요하지 않습니다.)
세그먼트 끝과 임계점에서 함수 값을 계산합니다.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
답: x=2에서 f min = 5 / 2; x=1에서 f 최대 =9

예 2. 고차 도함수를 사용하여 함수 y=x-2sin(x) 의 극값을 구합니다.
해결책.
함수의 도함수를 구합니다: y'=1-2cos(x) . 임계점을 찾아봅시다: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)를 찾아 계산합니다. 이는 x= π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최소 점입니다. , 이는 x=- π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최대 점입니다.

예 번호 3. x=0 지점 근처에서 극한 함수를 조사합니다.
해결책. 여기서 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 극한값 x=0이면 해당 유형(최소값 또는 최대값)을 알아보세요. 발견된 점 중에 x = 0이 없으면 함수 f(x=0)의 값을 계산합니다.
주어진 점의 양쪽에 있는 도함수가 그 부호를 바꾸지 않을 때, 미분 가능한 함수에 대해서도 가능한 상황은 소진되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 점 x 0의 한쪽에 있는 임의의 작은 이웃에 대해 발생할 수 있습니다. 양쪽에서 미분 변경 기호가 표시됩니다. 이 시점에서는 극한의 기능을 연구하기 위해 다른 방법을 사용할 필요가 있습니다.

예 번호 4. 숫자 49를 곱이 가장 큰 두 항으로 나눕니다.
해결책. x를 첫 번째 항으로 표시하겠습니다. 그러면 (49-x)가 두 번째 항입니다.
제품이 최대가 됩니다: x·(49-x) → max

함수의 가장 큰(최소) 값은 고려된 구간에서 허용되는 세로 좌표의 가장 큰(최소) 값입니다.

함수의 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

특정 세그먼트에 어떤 고정점이 포함되어 있는지 확인하세요.
세그먼트 끝과 3단계의 정지 지점에서 함수 값을 계산합니다.
얻은 결과에서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 선택합니다.

최대 또는 최소 포인트를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

함수 $f"(x)$의 미분을 구합니다.
$f"(x)=0$ 방정식을 풀어 고정점을 찾습니다.
함수의 도함수를 인수분해합니다.
좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치한 다음 3단계의 표기법을 사용하여 결과 간격에서 도함수의 부호를 결정합니다.
규칙에 따라 최대 또는 최소 점을 찾습니다. 한 점에서 미분 기호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 이것이 최대 점이 됩니다(마이너스에서 플러스로이면 이것이 최소 점이 됩니다). 실제로는 간격에 따라 화살표 이미지를 사용하는 것이 편리합니다. 도함수가 양수인 간격에서는 화살표가 위쪽으로 그려지고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

일부 기본 함수의 파생물 표:

기능	유도체
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(죄^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$죄^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

차별화의 기본 규칙

1. 합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

함수 $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$의 도함수를 구합니다.

합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. 제품의 파생물.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

도함수 구하기 $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. 몫의 미분

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

도함수 구하기 $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. 복소 함수의 미분은 외부 함수의 미분과 내부 함수의 미분의 곱과 같습니다.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - 죄(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ 함수의 최소점을 구합니다.

1. 함수의 ODZ를 찾습니다: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ 함수의 도함수를 구합니다.

3. 도함수를 0으로 동일시하여 고정점을 찾습니다.

$(2x+21)/(x+11)=0$

분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.

$2x+21=0; x≠-11$

4. 좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치하고 결과 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다. 이렇게 하려면 가장 오른쪽 영역의 숫자를 도함수(예: 0)로 대체합니다.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. 최소점에서 미분의 부호는 마이너스에서 플러스로 바뀌므로 $-10.5$ 점이 최소점입니다.

답변: $-10.5$

$[-5;1]$ 세그먼트에서 $y=6x^5-90x^3-5$ 함수의 가장 큰 값을 찾습니다.

1. $y′=30x^4-270x^2$ 함수의 도함수를 구합니다.

2. 도함수를 0과 동일시하고 고정점을 찾습니다.

$30x^4-270x^2=0$

괄호에서 총 인수 $30x^2$를 빼봅시다.

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

각 요소를 0으로 동일시합시다

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. 주어진 세그먼트 $[-5;1]$에 속하는 정지점을 선택합니다.

고정점 $x=0$ 및 $x=-3$가 적합합니다.

4. 세그먼트 끝과 3단계의 정지 지점에서 함수 값을 계산합니다.