n개의 기하학적 수열의 합입니다. 기하학적 진행

기하수열은 첫 번째 항이 0이 아닌 수열이며, 각 후속 항은 이전 항에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱한 값과 같습니다. 기하수열은 b1,b2,b3, …, bn, …으로 표시됩니다.

기하학적 진행의 속성

이전 항에 대한 기하학적 오차 항의 비율은 동일한 수와 같습니다. 즉, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … 이는 산술 진행의 정의에서 직접 따릅니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다. 일반적으로 기하학적 수열의 분모는 문자 q로 표시됩니다.

기하학적 수열을 지정하는 방법 중 하나는 첫 번째 항 b1과 기하학적 오류 q의 분모를 지정하는 것입니다. 예를 들어, b1=4, q=-2입니다. 이 두 가지 조건은 기하학적 수열 4, -8, 16, -32, …을 정의합니다.

q>0(q가 1이 아닌 경우)이면 수열은 단조 수열입니다. 예를 들어, 시퀀스 2, 4,8,16,32, ...는 단조 증가 시퀀스(b1=2, q=2)입니다.

기하학적 오류의 분모가 q=1이면 기하학적 수열의 모든 항은 서로 동일합니다. 이러한 경우 진행은 일정한 순서라고 합니다.

진행의 n번째 항에 대한 공식

수열(bn)이 기하수열이 되려면 두 번째부터 시작하는 각 구성원이 이웃 구성원의 기하평균이 되어야 합니다. 즉, n>0에 대해 다음 방정식 - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2)을 충족해야 합니다. 여기서 n은 자연수 집합 N에 속합니다.

기하수열의 n번째 항에 대한 공식은 다음과 같습니다.

bn=b1*q^(n-1), 여기서 n은 자연수 집합 N에 속합니다.

간단한 예를 살펴보겠습니다.

기하수열 b1=6, q=3, n=8에서 bn을 구합니다.

기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용해 봅시다.

산술 및 기하 수열

이론적인 정보

이론적인 정보

	산술 진행	기하학적 진행
정의	산술 진행 앤두 번째부터 시작하는 각 멤버가 동일한 번호에 추가된 이전 멤버와 동일한 시퀀스입니다. 디 (디-진행차이)	기하학적 진행 비앤 0이 아닌 숫자의 시퀀스로, 각 항은 두 번째부터 시작하여 이전 항에 동일한 숫자를 곱한 것과 같습니다. 큐 (큐- 진행의 분모)
반복 공식	어떤 자연적인 N n + 1 = n + d	어떤 자연적인 N bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
수식 n번째 항	n = a 1 + d (n - 1)	bn = b 1 ∙ qn - 1 , bn ≠ 0
특징적인 재산
처음 n항의 합

댓글이 있는 작업의 예

연습 1

산술진행에서 ( 앤) 1 = -6, 2

n번째 항의 공식에 따르면:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21일

조건별:

1= -6, 그러면 22= -6 + 21d .

진행의 차이를 찾는 것이 필요합니다.

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

답변 : 22 = -48.

작업 2

기하수열의 다섯 번째 항을 찾습니다: -3; 6;....

첫 번째 방법(n항 공식 사용)

기하수열의 n번째 항에 대한 공식에 따르면:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

왜냐하면 비 1 = -3,

두 번째 방법(반복식 사용)

진행의 분모는 -2(q = -2)이므로 다음과 같습니다.

비 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

비 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

비 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

답변 : 비 5 = -48.

작업 3

산술진행에서 ( 안) 74 = 34; 76= 156. 이 수열의 75번째 항을 구하세요.

산술 수열의 경우 특징적인 속성은 다음과 같은 형식을 갖습니다. .

그러므로:

데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.

답: 95.

작업 4

산술진행에서 ( 안 ) 안= 3n - 4. 처음 17개 항의 합을 구합니다.

산술 수열의 처음 n 항의 합을 구하려면 두 가지 공식이 사용됩니다.

이 경우 어느 것이 더 편리합니까?

조건에 따라 원래 수열의 n번째 항에 대한 공식은 알려져 있습니다( 앤) 앤= 3n - 4. 즉시 찾을 수 있고 1, 그리고 16찾지 못한 채 d. 따라서 첫 번째 공식을 사용하겠습니다.

답: 368.

작업 5

산술진행에서( 앤) 1 = -6; 2= -8. 수열의 22번째 항을 구하세요.

n번째 항의 공식에 따르면:

22 = 1 + 디 (22 – 1) = 1+ 21d.

조건에 따라, 1= -6, 그러면 22= -6 + 21d . 진행의 차이를 찾는 것이 필요합니다.

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

답변 : 22 = -48.

작업 6

기하학적 수열의 여러 연속 용어가 작성됩니다.

x로 표시된 진행의 항을 찾으세요.

풀 때 n 번째 항에 대한 공식을 사용합니다. bn = b 1 ∙ qn - 1기하학적 진행을 위해. 진행의 첫 번째 용어입니다. 수열 q의 분모를 찾으려면 주어진 수열 항 중 하나를 취하고 이전 항으로 나누어야 합니다. 이 예에서는 취하고 나눌 수 있습니다. 우리는 q = 3을 얻습니다. 주어진 기하학적 수열의 세 번째 항을 찾는 것이 필요하기 때문에 n 대신에 공식에서 3을 대체합니다.

발견된 값을 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

답변 : .

작업 7

n번째 항의 수식에 따른 수열 중에서 조건을 만족하는 수열을 선택하세요. 27 > 9:

수열의 27번째 항에 대해 주어진 조건이 충족되어야 하므로 4개의 수열 각각에서 n 대신 27을 대체합니다. 4번째 진행에서는 다음을 얻습니다.

답: 4.

작업 8

산술 진행에서 1= 3, d = -1.5. 부등식이 유지되는 n의 가장 큰 값을 지정합니다. 앤 > -6.

자, 앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:

숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자가 있습니다). 우리가 숫자를 아무리 많이 써도 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 항상 알 수 있으며 마지막까지 계속해서 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서숫자 집합으로, 각 숫자에는 고유한 숫자가 할당될 수 있습니다.

예를 들어, 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 시퀀스의 한 번호에만 적용됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(번째 숫자와 마찬가지로)는 항상 동일합니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 n번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

가장 일반적인 유형의 수열은 산술 및 기하 수열입니다. 이 주제에서는 두 번째 유형에 대해 이야기하겠습니다. 기하학적 진행.

기하학적 진행이 필요한 이유와 그 역사가 무엇입니까?

고대에도 이탈리아 수학자 수도사 피사의 레오나르도(피보나치로 더 잘 알려짐)는 무역의 실질적인 요구를 다루었습니다. 스님은 제품의 무게를 측정하는 데 사용할 수 있는 가장 작은 추의 수를 결정해야 하는 과제에 직면했습니다. 그의 작품에서 피보나치는 그러한 가중치 시스템이 최적이라는 것을 증명합니다. 이것은 사람들이 기하학적 수열을 처리해야 하는 첫 번째 상황 중 하나이며, 아마도 이미 들어봤고 적어도 일반적인 이해를 갖고 있을 것입니다. 주제를 완전히 이해한 후에는 그러한 시스템이 왜 최적인지 생각해 보십시오.

현재 생활 관행에서 은행에 돈을 투자 할 때 이전 기간 동안 계좌에 누적 된 금액에이자 금액이 발생하면 기하학적 진행이 나타납니다. 즉, 저축은행에 정기 예금을 넣어두면 1년 후에 예금이 원래 금액만큼 증가합니다. 새로운 금액은 기부금을 곱한 금액과 같습니다. 다음 해에는 이 금액이 다음과 같이 증가합니다. 그 당시 얻은 금액에 다시 곱하는 식입니다. 유사한 상황이 소위 계산 문제에 설명되어 있습니다. 복리– 이전 이자를 고려하여 계정 금액에서 매번 백분율을 가져옵니다. 이 작업에 대해서는 잠시 후에 이야기하겠습니다.

기하학적 수열이 적용되는 간단한 경우가 더 많이 있습니다. 예를 들어, 인플루엔자의 확산: 한 사람이 다른 사람을 감염시키고, 그 사람이 또 다른 사람을 감염시켰습니다. 따라서 두 번째 감염 물결은 사람이고, 그들은 차례로 다른 사람을 감염시켰습니다... 등등.. .

그건 그렇고, 동일한 MMM 인 금융 피라미드는 기하학적 진행의 속성을 기반으로 한 간단하고 건식 계산입니다. 흥미로운? 그것을 알아 봅시다.

기하학적 진행.

숫자 시퀀스가 있다고 가정해 보겠습니다.

당신은 이것이 쉽고 그러한 서열의 이름은 그 구성원의 차이에 따라 다르다고 즉시 대답할 것입니다. 이건 어때:

다음 숫자에서 이전 숫자를 빼면 새로운 차이가 나올 때마다(등등) 알 수 있지만 수열은 확실히 존재하고 쉽게 알아볼 수 있습니다. 각 후속 숫자는 이전 숫자보다 몇 배 더 큽니다!

이러한 유형의 숫자 시퀀스를 호출합니다. 기하학적 진행그리고 지정됩니다.

기하학적 진행 ()은 첫 번째 항이 0과 다른 숫자 시퀀스이며 두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항과 동일하며 동일한 숫자를 곱합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

첫 번째 항( )이 동일하지 않고 무작위가 아니라는 제한 사항입니다. 아무 것도 없고 첫 번째 항은 여전히 같고 q는 다음과 같다고 가정해 보겠습니다. 흠.. 그대로 두면 다음과 같이 됩니다.

이것이 더 이상 진행되지 않는다는 데 동의하십시오.

아시다시피, 0이 아닌 숫자가 있으면 동일한 결과를 얻게 됩니다. 이 경우 전체 숫자 계열이 모두 0이거나 하나의 숫자이고 나머지는 모두 0이 되기 때문에 단순히 진행이 없습니다.

이제 기하학적 수열의 분모, 즉 o에 대해 더 자세히 이야기합시다.

반복하자: - 이것은 숫자입니다 각 후속 항은 몇 번이나 변경됩니까?기하학적 진행.

그게 무엇일 수 있다고 생각하세요? 맞습니다, 양수이고 음수이지만 0은 아닙니다(우리는 이에 대해 조금 더 높게 이야기했습니다).

우리가 긍정적이라고 가정 해 봅시다. 우리의 경우에는 다음과 같습니다. 두 번째 용어의 가치는 무엇입니까? 다음과 같이 쉽게 대답할 수 있습니다.

좋아요. 따라서 진행의 모든 후속 용어는 동일한 부호를 갖습니다. 긍정적이다.

부정적인 경우에는 어떻게 되나요? 예를 들어, 두 번째 용어의 가치는 무엇입니까?

이건 전혀 다른 이야기예요

이 진행 과정의 조건을 세어보세요. 얼마를 받았나요? 나는 가지고있다. 따라서, 그렇다면 기하학적 진행 조건의 표시가 번갈아 나타납니다. 즉, 해당 구성원에 대해 교대 부호가 있는 진행이 표시되면 분모는 음수입니다. 이 지식은 이 주제에 대한 문제를 해결할 때 자신을 테스트하는 데 도움이 될 수 있습니다.

이제 조금 연습해 보겠습니다. 어떤 수열이 기하수열이고 어떤 수열이 산술수열인지 알아보세요.

알았어요? 답변을 비교해 보겠습니다.

기하학적 진행 – 3, 6.
산술 진행 – 2, 4.
이는 산술도 아니고 기하학적 수열도 아닙니다(1, 5, 7).

마지막 진행으로 돌아가서 산술에서와 마찬가지로 해당 멤버를 찾아 보겠습니다. 짐작하셨겠지만, 그것을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다.

우리는 각 항에 다음을 연속적으로 곱합니다.

따라서 설명된 기하학적 수열의 번째 항은 다음과 같습니다.

이미 짐작했듯이 이제 기하학적 진행의 구성원을 찾는 데 도움이 되는 공식을 직접 도출할 것입니다. 아니면 이미 스스로 개발하여 번째 멤버를 찾는 방법을 단계별로 설명했습니까? 그렇다면 추론이 올바른지 확인하십시오.

이 수열의 번째 항을 찾는 예를 통해 이를 설명하겠습니다.

다시 말해서:

주어진 기하수열 항의 값을 직접 찾아보세요.

일어난? 답변을 비교해 보겠습니다.

기하학적 진행의 각 이전 항을 순차적으로 곱했을 때 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 이를 일반적인 형식으로 표현하고 다음을 얻습니다.

파생된 공식은 양수와 음수 모두 모든 값에 적용됩니다. 다음 조건에 따라 기하학적 진행의 항을 계산하여 이를 직접 확인하십시오. , a.

세어봤어? 결과를 비교해 보겠습니다.

용어와 동일한 방법으로 진행의 용어를 찾는 것이 가능하다는 데 동의하지만 잘못 계산할 가능성이 있습니다. 그리고 우리가 기하수열의 번째 항을 이미 찾았다면 공식의 "잘린" 부분을 사용하는 것보다 더 간단한 것은 무엇일까요?

기하학적 진행이 무한히 감소합니다.

최근에 우리는 그것이 0보다 크거나 작을 수 있다는 사실에 대해 이야기했지만 기하학적 진행이라고 불리는 특별한 값이 있습니다. 무한히 감소.

왜 이런 이름이 붙었다고 생각하시나요?
먼저 항으로 구성된 기하학적 수열을 적어 보겠습니다.
그러면 다음과 같이 말해보자:

우리는 각 후속 항이 이전 항보다 인수만큼 적음을 알 수 있지만 숫자가 있습니까? 당신은 즉시 “아니오”라고 대답할 것이다. 그렇기 때문에 무한히 감소합니다. 감소하고 감소하지만 결코 0이 되지 않습니다.

이것이 시각적으로 어떻게 보이는지 명확하게 이해하기 위해 진행 상황에 대한 그래프를 그려 보겠습니다. 따라서 우리의 경우 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그래프에서 우리는 의존성을 그리는 데 익숙합니다. 따라서:

표현의 본질은 변하지 않았습니다. 첫 번째 항목에서 우리는 기하 수열 구성원의 값이 서수에 의존한다는 것을 보여 주었고 두 번째 항목에서는 단순히 기하 수열 구성원의 값을 다음과 같이 취했습니다. , 서수를 as가 아닌 as로 지정하였다. 이제 남은 일은 그래프를 작성하는 것뿐입니다.
당신이 무엇을 얻었는지 보자. 제가 생각해낸 그래프는 다음과 같습니다.

당신이 보여요? 함수는 감소하고 0이 되는 경향이 있지만 절대 교차하지 않으므로 무한히 감소합니다. 그래프에 점을 표시하고 동시에 좌표와 의미를 표시해 보겠습니다.

첫 번째 항도 동일한 경우 기하학적 수열의 그래프를 개략적으로 묘사해 보십시오. 이전 그래프와 차이점이 무엇인지 분석해 보세요.

당신은 관리 했습니까? 제가 생각해낸 그래프는 다음과 같습니다.

이제 기하수열 주제의 기본 사항을 완전히 이해했으므로 기하수열이 무엇인지, 용어를 찾는 방법을 알고 무한히 감소하는 기하수열이 무엇인지 알았으므로 주요 속성으로 넘어가겠습니다.

기하학적 진행의 속성.

등차수열 항의 속성을 기억하시나요? 예, 예, 이 진행 조건의 이전 및 후속 값이 있을 때 특정 진행 수의 값을 찾는 방법입니다. 기억 나니? 이것:

이제 우리는 기하학적 수열의 용어에 대해서도 똑같은 질문에 직면합니다. 그러한 공식을 도출하기 위해 그림을 그리고 추론을 시작합시다. 보시다시피 매우 쉽습니다. 잊어버린 경우 직접 꺼낼 수 있습니다.

우리가 알고 있는 또 다른 간단한 기하학적 진행을 살펴보겠습니다. 찾는 방법? 산술진행을 사용하면 쉽고 간단하지만 여기서는 어떻습니까? 사실, 기하학에도 복잡한 것은 없습니다. 공식에 따라 우리에게 주어진 각 값을 적어두면 됩니다.

이제 우리는 이에 대해 어떻게 해야 합니까? 예, 매우 간단합니다. 먼저, 이러한 공식을 그림으로 표현하고 값을 얻기 위해 다양한 조작을 시도해 보겠습니다.

우리에게 주어진 숫자를 추상화하고 공식을 통한 표현에만 집중합시다. 주황색으로 강조 표시된 값을 찾아서 인접한 용어를 알아야 합니다. 그들과 함께 다양한 행동을 수행해 보도록 하겠습니다. 그 결과를 얻을 수 있습니다.

덧셈.
두 가지 표현식을 추가해 보면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

보시다시피 이 표현에서는 어떤 식으로도 표현할 수 없으므로 다른 옵션인 빼기를 시도해 보겠습니다.

빼기.

보시다시피 이것도 표현할 수 없습니다. 따라서 이 표현들을 서로 곱해 보겠습니다.

곱셈.

이제 우리에게 주어진 기하학적 진행의 항을 찾아야 하는 것과 비교하여 곱함으로써 우리가 가지고 있는 것을 주의 깊게 살펴보십시오.

내가 무슨 말을하는지 맞춰보세요? 올바르게 찾으려면 원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행 숫자의 제곱근을 서로 곱해야 합니다.

여기요. 당신은 기하학적 진행의 속성을 직접 도출했습니다. 이 공식을 일반적인 형태로 작성해 보세요. 일어난?

조건을 잊으셨나요? 왜 중요한지 생각해 보세요. 예를 들어 직접 계산해 보세요. 이 경우 어떻게 될까요? 맞습니다. 공식은 다음과 같기 때문에 완전히 넌센스입니다.

따라서 이 제한 사항을 잊지 마십시오.

이제 그것이 무엇인지 계산해 봅시다

정답 - ! 계산 중에 가능한 두 번째 값을 잊지 않았다면 훌륭한 것이며 즉시 훈련으로 넘어갈 수 있습니다. 잊어버린 경우 아래 설명된 내용을 읽고 두 근을 모두 기록해야 하는 이유에 주의하세요. 답변.

두 가지 기하학적 진행을 모두 그려 보겠습니다. 하나는 값이고 다른 하나는 값이고 둘 다 존재할 권리가 있는지 확인합니다.

그러한 기하학적 수열이 존재하는지 여부를 확인하려면 주어진 항이 모두 동일한지 확인해야 합니까? 첫 번째와 두 번째 경우에 대해 q를 계산합니다.

왜 우리가 두 개의 답변을 작성해야 하는지 아시나요? 찾고 있는 용어의 부호는 그것이 긍정적인지 부정적인지에 따라 달라지기 때문입니다! 그리고 그것이 무엇인지 모르기 때문에 두 답 모두 플러스와 마이너스로 작성해야 합니다.

이제 주요 사항을 숙지하고 기하학적 진행의 속성에 대한 공식을 도출했으므로 찾고 알고 알고

귀하의 답변을 올바른 답변과 비교하십시오.

원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행 조건의 값이 아니라 그로부터 등거리의 값이 주어지면 어떻게 생각하십니까? 예를 들어, 우리는 찾기와 주어진 그리고가 필요합니다. 이 경우에 우리가 도출한 공식을 사용할 수 있나요? 원래 공식을 도출할 때 했던 것처럼 각 값이 무엇으로 구성되어 있는지 설명하면서 같은 방식으로 이 가능성을 확인하거나 반박해 보세요.
무엇을 얻었나요?

이제 다시 주의 깊게 살펴보세요.
이에 따라:

이것으로부터 우리는 공식이 작동한다는 결론을 내릴 수 있습니다 이웃뿐만 아니라기하학적 수열의 원하는 항뿐만 아니라 등거리회원들이 찾고 있는 것 중에서.

따라서 초기 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

즉, 첫 번째 경우에 우리가 그렇게 말했다면 이제는 더 작은 자연수와 같을 수 있다고 말합니다. 가장 중요한 것은 주어진 두 숫자 모두에 대해 동일하다는 것입니다.

구체적인 예를 들어 연습하세요. 각별히 주의하세요!

, . 찾다.
, . 찾다.
, . 찾다.

결정했다? 나는 당신이 매우 세심하고 작은 문제를 알아차렸기를 바랍니다.

결과를 비교해 보겠습니다.

처음 두 경우에는 위 공식을 차분하게 적용하여 다음 값을 얻습니다.

세 번째 경우, 우리에게 주어진 숫자의 일련번호를 주의 깊게 조사한 결과, 우리는 그것이 우리가 찾고 있는 숫자와 등거리에 있지 않다는 것을 알게 됩니다. 이전 숫자이지만 특정 위치에서 제거되었으므로 다음과 같습니다. 수식을 적용할 수 없습니다.

어떻게 해결하나요? 실제로는 보이는 것만큼 어렵지 않습니다! 우리에게 주어진 각 숫자와 우리가 찾고 있는 숫자가 무엇으로 구성되어 있는지 적어 봅시다.

그래서 우리는 가지고 있습니다. 우리가 그들로 무엇을 할 수 있는지 볼까요? 나누어서 하는 것이 좋습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

데이터를 다음 공식으로 대체합니다.

우리가 찾을 수 있는 다음 단계는 - 이를 위해 결과 숫자의 세제곱근을 구해야 합니다.

이제 우리가 가지고 있는 것을 다시 살펴보겠습니다. 우리는 그것을 가지고 있지만 찾아야 하며, 결과적으로 다음과 같습니다.

계산에 필요한 모든 데이터를 찾았습니다. 공식으로 대체하십시오 :

우리의 대답: .

다른 유사한 문제를 직접 해결해 보세요.
주어진 값: ,
찾다:

얼마를 받았나요? 나는 가지고있다 - .

보시다시피 본질적으로 당신은 필요합니다 공식 하나만 기억하세요- . 나머지는 언제든지 어려움 없이 직접 철회하실 수 있습니다. 이렇게 하려면 종이에 가장 간단한 기하학적 수열을 쓰고 위에서 설명한 공식에 따라 각 숫자가 무엇인지 적어보세요.

기하학적 수열 항의 합입니다.

이제 주어진 간격에서 기하급수 항의 합을 빠르게 계산할 수 있는 공식을 살펴보겠습니다.

유한 기하 수열 항의 합에 대한 공식을 도출하려면 위 방정식의 모든 부분에 다음을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

주의 깊게 보십시오. 마지막 두 공식의 공통점은 무엇입니까? 맞습니다, 예를 들어 첫 번째와 마지막 멤버를 제외한 일반 멤버 등입니다. 2번째 방정식에서 1번째 방정식을 빼도록 합시다. 무엇을 얻었나요?

이제 공식을 통해 기하학적 진행의 항을 표현하고 결과 표현식을 마지막 공식으로 대체합니다.

표현식을 그룹화합니다. 당신은 다음을 얻어야합니다 :

이제 해야 할 일은 다음과 같이 표현하는 것뿐입니다.

따라서 이 경우에는.

만약 그러하다면? 그러면 어떤 공식이 작동합니까? 기하학적 진행을 상상해보십시오. 그녀는 어떤가요? 일련의 동일한 숫자가 정확하므로 공식은 다음과 같습니다.

산술수열과 기하수열에 관한 많은 전설이 있습니다. 그 중 하나가 체스의 창시자 세트의 전설이다.

많은 사람들은 체스 게임이 인도에서 발명되었다는 것을 알고 있습니다. 힌두 왕이 그녀를 만났을 때, 그는 그녀의 재치와 그녀의 다양한 입장에 기뻐했습니다. 그것이 그의 신하 중 한 사람에 의해 발명되었다는 것을 알게 된 왕은 그에게 개인적으로 보상하기로 결정했습니다. 그는 발명가를 불러 자신이 원하는 모든 것을 요구하라고 명령했으며 가장 능숙한 욕구까지도 충족하겠다고 약속했습니다.

세타는 생각할 시간을 달라고 요청했고, 다음날 세타가 왕 앞에 나타났을 때 전례 없는 겸손한 요청으로 왕을 놀라게 했습니다. 그는 체스판의 첫 번째 칸에는 밀 한 톨, 두 번째 칸에는 밀 한 톨, 세 번째, 네 번째 칸에는 밀 한 톨 등을 달라고 요청했습니다.

왕은 노하여 그 종의 요구가 왕의 관대함에 합당하지 않다며 셋을 쫓아내되 그 종이 네모 반에 해당하는 곡식을 주겠다고 약속했습니다.

이제 질문입니다. 기하학적 수열 항의 합에 대한 공식을 사용하여 Seth가 받아야 하는 곡물의 수를 계산해 보세요.

추론을 시작합시다. 조건에 따라 Seth는 체스판의 첫 번째 사각형, 두 번째, 세 번째, 네 번째 등을 위해 밀알을 요청했기 때문에 문제는 기하학적 진행에 관한 것임을 알 수 있습니다. 이 경우에는 무엇이 동일합니까?
오른쪽.

체스판의 총 제곱입니다. 각각 . 우리는 모든 데이터를 가지고 있으며, 남은 것은 이를 공식에 연결하고 계산하는 것뿐입니다.

주어진 숫자의 대략적인 "척도"를 상상하기 위해 정도의 속성을 사용하여 변환합니다.

물론 원한다면 계산기를 사용하여 어떤 숫자가 나올지 계산할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 제 말을 따라야 합니다. 표현식의 최종 값은 다음과 같습니다.
그건:

1조 1000조 1000조 1000억 1000만 1000억.

휴) 이 숫자가 얼마나 엄청난지 상상하고 싶다면 전체 곡물량을 수용하는 데 얼마나 큰 헛간이 필요한지 추정해 보세요.
헛간의 높이가 m이고 너비가 m인 경우 길이는 km만큼 연장되어야 합니다. 지구에서 태양까지의 거리는 2배입니다.

만약 왕이 수학에 능했다면 그는 과학자 자신을 초대하여 곡물을 세어 보도록 초대했을 수도 있습니다. 왜냐하면 백만 개의 곡물을 세려면 적어도 하루는 지칠 줄 모르는 계산이 필요하기 때문입니다. 평생 동안 계산되어야 할 것입니다.

이제 기하수열 항의 합과 관련된 간단한 문제를 풀어보겠습니다.
5A반 Vasya 학생은 독감에 걸렸지만 계속 학교에 다니고 있습니다. 매일 Vasya는 두 사람을 감염시키고, 그 사람은 다시 두 사람을 더 감염시키는 식으로 진행됩니다. 수업에는 사람만 있어요. 며칠 안에 학급 전체가 독감에 걸리게 됩니까?

따라서 기하학적 진행의 첫 번째 항은 Vasya, 즉 사람입니다. 기하진행의 3번째 항은 그가 도착 첫날 감염시킨 두 사람이다. 진행 기간의 총합은 5A 학생 수와 같습니다. 따라서 우리는 다음과 같은 진행 상황에 대해 이야기합니다.

우리의 데이터를 기하학적 수열의 항의 합에 대한 공식으로 대체해 보겠습니다.

며칠 안에 학급 전체가 아플 것입니다. 수식과 숫자를 믿지 못하시나요? 학생들의 "감염"을 직접 묘사해 보십시오. 일어난? 나에게 어떻게 보이는지 보세요:

학생들이 한 사람씩 감염되고 학급에 한 사람만 있었다면 학생들이 독감에 걸릴 때까지 며칠이 걸릴지 스스로 계산해 보십시오.

어떤 가치를 얻었나요? 하루가 지나면 모두가 아프기 시작했다는 것이 밝혀졌습니다.

보시다시피, 그러한 작업과 그에 대한 그림은 각 후속 작업이 새로운 사람들을 "가져오는" 피라미드와 유사합니다. 그러나 조만간 후자가 누구도 끌 수 없는 순간이 옵니다. 우리의 경우 클래스가 격리되어 있다고 상상하면 해당 클래스의 사람이 체인을 닫습니다(). 따라서 한 사람이 다른 참가자 두 명을 데려오면 돈이 주어지는 금융 피라미드에 연루된 경우 그 사람(또는 일반적으로)은 누구도 데려오지 않으므로 이 금융 사기에 투자한 모든 것을 잃게 됩니다.

위에서 말한 모든 것은 감소하거나 증가하는 기하 수열을 의미하지만, 기억하시는 것처럼 무한히 감소하는 기하 수열이라는 특별한 유형이 있습니다. 회원의 합계를 계산하는 방법은 무엇입니까? 그리고 이러한 유형의 진행에는 왜 특정 특성이 있습니까? 함께 알아 봅시다.

먼저, 우리의 예에서 무한히 감소하는 기하학적 수열의 그림을 다시 살펴보겠습니다.

이제 조금 더 일찍 도출된 기하수열의 합에 대한 공식을 살펴보겠습니다.
또는

우리는 무엇을 위해 노력하고 있습니까? 맞습니다. 그래프는 0이 되는 경향이 있음을 보여줍니다. 즉, at은 우리가 거의 얻을 표현식을 계산할 때 각각 거의 동일할 것입니다. 이와 관련하여 우리는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합을 계산할 때 이 괄호가 동일하므로 무시할 수 있다고 믿습니다.

- 공식은 무한히 감소하는 기하학적 수열 항의 합입니다.

중요한!조건이 명시적으로 합을 찾아야 한다고 명시하는 경우에만 무한히 감소하는 기하 수열의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다. 무한회원 수.

특정 수 n이 지정되면 or인 경우에도 n항의 합에 대한 공식을 사용합니다.

이제 연습해 봅시다.

and를 사용하여 기하수열의 첫 번째 항의 합을 구합니다.
and를 사용하여 무한히 감소하는 기하수열 항의 합을 구합니다.

각별히 조심하시길 바랍니다. 답변을 비교해 보겠습니다.

이제 기하학적 수열에 대한 모든 것을 알았으니 이제 이론에서 실습으로 넘어갈 시간입니다. 시험에서 직면하게 되는 가장 일반적인 기하학적 수열 문제는 복리 계산 문제입니다. 이것이 우리가 이야기할 것들입니다.

복리 계산에 문제가 있습니다.

소위 복리 공식에 대해 들어보셨을 것입니다. 무슨 뜻인지 이해하시나요? 그렇지 않은 경우 프로세스 자체를 이해하면 기하학적 진행이 프로세스와 어떤 관련이 있는지 즉시 이해할 수 있으므로 알아봅시다.

우리 모두는 은행에 가서 예금에 대한 다양한 조건이 있다는 것을 알고 있습니다. 여기에는 기간, 추가 서비스 및 이자를 포함하며 이를 계산하는 두 가지 다른 방법(간단함과 복잡함)이 포함됩니다.

와 함께 단순한 호기심모든 것이 다소 명확합니다. 예금 기간이 끝나면 이자가 한 번 발생합니다. 즉, 1년 동안 100루블을 예치한다고 하면 연말에만 적립됩니다. 따라서 예금이 끝나면 루블을 받게됩니다.

복리- 이것은 발생하는 옵션입니다. 이자 자본화, 즉. 입금액에 추가하고 초기 입금액이 아닌 누적 입금액에서 소득을 계산합니다. 대문자 사용은 지속적으로 발생하지 않지만 일정 빈도로 발생합니다. 일반적으로 이러한 기간은 동일하며 대부분의 은행에서는 월, 분기 또는 연도를 사용합니다.

우리가 매년 동일한 루블을 입금하지만 예금을 월 단위로 자본화한다고 가정해 보겠습니다. 우리는 무엇을하고 있습니까?

여기 다 이해되시나요? 그렇지 않은 경우 단계별로 알아 보겠습니다.

우리는 루블을 은행에 가져 왔습니다. 월말까지 우리 계좌에 루블과 그에 대한 이자로 구성된 금액이 있어야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

동의하다?

대괄호에서 꺼내면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

동의하세요. 이 공식은 이미 처음에 작성한 것과 더 유사합니다. 이제 남은 것은 백분율을 계산하는 것뿐입니다.

문제 설명에서 우리는 연간 요율에 대해 설명합니다. 아시다시피, 우리는 곱하지 않습니다. 백분율을 소수로 변환합니다. 즉,

오른쪽? 이제 그 숫자는 어디서 왔는가? 매우 간단합니다!
반복합니다. 문제 설명에는 다음과 같은 내용이 나와 있습니다. 연간발생하는 이자 월간 간행물. 아시다시피, 그에 따라 1년 안에 은행은 매달 연간 이자의 일부를 우리에게 청구할 것입니다.

깨달았나요? 이제 이자가 매일 계산된다고 말하면 공식의 이 부분이 어떻게 보일지 적어 보십시오.
당신은 관리 했습니까? 결과를 비교해 보겠습니다.

잘하셨어요! 우리의 작업으로 돌아가 보겠습니다. 누적 입금액에 대해 이자가 발생한다는 점을 고려하여 두 번째 달에 우리 계좌에 얼마가 적립될지 기록합니다.
내가 얻은 것은 다음과 같습니다.

즉, 다음과 같습니다.

나는 당신이 이미 패턴을 발견하고 이 모든 것에서 기하학적인 진행을 보았다고 생각합니다. 그 회원이 얼마인지, 즉 월말에 우리가 받게 될 금액을 적으십시오.
했다? 점검 해보자!

보시다시피, 단리로 1년 동안 은행에 돈을 넣으면 루블을 받고, 복리로 1년 동안 은행에 돈을 넣으면 루블을 받게 됩니다. 이점은 작지만 이는 해당 연도에만 발생하지만 장기간 자본화는 훨씬 더 수익성이 높습니다.

복리와 관련된 또 다른 유형의 문제를 살펴보겠습니다. 당신이 알아낸 것들은 당신에게 초보적인 일이 될 것입니다. 따라서 작업은 다음과 같습니다.

Zvezda 회사는 2000년에 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 2001년부터 매년 전년도 자본금과 맞먹는 수익을 냈다. 이익이 유통에서 인출되지 않으면 2003년 말에 Zvezda 회사는 얼마나 많은 이익을 얻게 됩니까?

2000년 Zvezda 회사의 자본.
- 2001년 Zvezda 회사의 자본.
- 2002년 Zvezda 회사의 자본.
- 2003년 Zvezda 회사의 자본.

아니면 간단히 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

우리의 경우:

2000년, 2001년, 2002년, 2003년.

각기:
루블
이 문제에서는 백분율이 매년 주어지고 매년 계산되기 때문에 by 또는 by로 나누기가 없다는 점에 유의하십시오. 즉, 복리 문제를 읽을 때 몇 퍼센트가 주어지고 어느 기간에 계산되는지주의 깊게 확인한 다음 계산을 진행하십시오.
이제 기하학적 진행에 대한 모든 것을 알게 되었습니다.

훈련.

그것이 알려져 있다면 기하수열의 항을 구하고,
그것이 알려진 경우, 기하수열의 첫 번째 항의 합을 구하고,
MDM Capital 회사는 2003년에 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 2004년부터 매년 전년도 자본금과 맞먹는 수익을 냈다. MSK 현금 흐름 회사는 2005년에 $10,000 규모로 업계에 투자하기 시작했으며 2006년에 $10,000 규모의 수익을 내기 시작했습니다. 이윤이 유통에서 인출되지 않았다면 2007년 말에 한 회사의 자본금은 다른 회사보다 몇 달러나 더 큽니까?

답변:

문제 설명에서는 진행이 무한하다고 말하지 않고 특정 수의 용어의 합을 찾아야하므로 계산은 다음 공식에 따라 수행됩니다.
MDM 캐피탈 회사:
2003년, 2004년, 2005년, 2006년, 2007년.
- 100%, 즉 2배 증가합니다.
각기:
루블
MSK 현금 흐름 회사:
2005년, 2006년, 2007년.
- 즉, 배만큼 증가합니다.
각기:
루블
루블

요약해보자.

1) 기하수열( )은 수열로, 첫 번째 항은 0이 아니며, 두 번째 항부터 시작하는 각 항은 이전 항과 같고 같은 수를 곱합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

2) 기하수열 항의 방정식은 이다.

3) and를 제외한 모든 값을 취할 수 있습니다.

그렇다면 진행의 모든 후속 용어는 동일한 부호를 갖습니다. 긍정적이다;
그렇다면 진행의 모든 후속 용어 대체 징후;
언제 - 진행을 무한 감소라고 합니다.

4) , at - 기하학적 수열의 속성(인접 용어)

또는
, at (등거리 항)

찾으면 잊지 말고 두 가지 대답이 있어야합니다.

예를 들어,

5) 기하학적 진행의 항의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.
또는

또는

중요한!무한한 수의 항의 합을 찾아야 한다는 조건이 명시적으로 명시된 경우에만 무한히 감소하는 기하 수열의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다.

6) 복리 문제는 자금이 유통에서 인출되지 않은 경우 기하급수식의 번째 항 공식을 사용하여 계산됩니다.

기하학적 진행. 주요 사항에 대해 간략하게

기하학적 진행( )는 수열로, 첫 번째 항은 0이 아니며 두 번째 항부터 시작하는 각 항은 이전 항과 동일하며 동일한 수를 곱합니다. 이 번호는 기하학적 진행의 분모.

기하학적 진행의 분모 and를 제외한 모든 값을 사용할 수 있습니다.

그렇다면 진행의 모든 후속 용어가 동일한 부호를 갖는 경우 - 양수입니다.
그렇다면 진행의 모든 후속 구성원은 기호를 번갈아 표시합니다.
언제 - 진행을 무한 감소라고 합니다.

기하학적 진행의 방정식 - .

기하수열의 항의 합다음 공식으로 계산됩니다.
또는

진행이 무한히 감소하는 경우:

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기하학적 진행는 각 항(두 번째부터 시작)이 이전 항에 동일한 숫자 q ≠ 0을 곱하여 얻은 일련의 숫자입니다. 숫자 q를 호출합니다. 분모기하학적 진행. 기하학적 수열을 설정하려면 첫 번째 항을 1로 설정하고 분모를 q로 설정해야 합니다.

q > 1일 때 기하학적 진행이 증가하고, 0일 때 감소합니다.< q < 1.

기하학적 진행의 예:

1. 2, 4, 8, 16… 여기서 첫 번째 항은 1이고 분모는 2입니다.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… 여기서 첫 번째 항은 81이고 분모는 1/3입니다.

따라서 수열의 첫 번째 항은 a 1, 두 번째 항은 - a 1 q, 세 번째 항은 a 1 q*q = a 1 q 2, 네 번째 항은 a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ...입니다. . 따라서, 수열의 n번째 항은 a n = a 1 q n-1 공식을 사용하여 계산됩니다.

성명: 기하학적 수열의 n항의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.

Sn = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .

곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.

이제 S n 에서 S n q 를 빼겠습니다.

기하학적 진행에 관한 문제의 예.

1. a 1 = 3, q = 4로 알려진 경우 기하학적 수열의 처음 10개 항의 합을 구합니다.

2. 1분 안에 바이오매스가 두 배로 늘어납니다. 현재 몸무게가 3kg이라면 5분 후에 몸무게는 얼마나 될까요?

우리는 a 1 = 3이고 q = 2인 기하수열을 다루고 있습니다. 문제를 해결하려면 이 수열의 여섯 번째 항을 찾아야 합니다.

숫자열 VI

§ l48. 무한히 감소하는 기하수열의 합

지금까지 합계에 관해 이야기할 때 우리는 항상 이러한 합계에 포함된 항의 수가 유한하다고 가정했습니다(예: 2, 15, 1000 등). 그러나 일부 문제(특히 고등 수학)를 풀 때는 무한한 수의 항의 합을 다루어야 합니다.

에스= ㅏ 1 + ㅏ 2 + ... + ㅏ N + ... . (1)

이 금액은 얼마입니까? 우선순위 무한한 수의 항의 합 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ..., ㅏ N , ...를 합 S의 극한이라고 합니다. N 첫 번째 피 언제의 숫자 피 -> ∞ :

S=S N = (ㅏ 1 + ㅏ 2 + ... + ㅏ N ). (2)

물론 (2)항은 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다. 따라서 그들은 합 (1)이 존재하거나 존재하지 않는다고 말합니다.

각 특정 사례에 합계 (1)이 존재하는지 어떻게 알 수 있습니까? 이 문제에 대한 일반적인 해결책은 우리 프로그램의 범위를 훨씬 뛰어넘습니다. 그러나 이제 우리가 고려해야 할 중요한 특별한 경우가 하나 있습니다. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 항을 합하는 것에 대해 이야기하겠습니다.

허락하다 ㅏ 1 , ㅏ 1 큐 , ㅏ 1 큐 2, ...은 무한히 감소하는 기하학적 수열입니다. 이는 다음을 의미합니다 | 큐 |< 1. Сумма первых 피 이 진행 조건은 동일합니다.

변수 극한에 대한 기본 정리(§ 136 참조)로부터 다음을 얻습니다.

그러나 1 = 1, qn = 0. 따라서

따라서 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합은 이 수열의 첫 번째 항을 1에서 이 수열의 분모를 뺀 값으로 나눈 것과 같습니다.

1) 기하급수 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...의 합은 다음과 같습니다.

기하학적 수열의 합은 12입니다. -6; 삼; - 3 / 2 , ... 같음

2) 단순 주기 분수 0.454545 ...를 일반 분수로 변환합니다.

이 문제를 해결하려면 이 분수를 무한한 합으로 상상해 보세요.

이 평등의 우변은 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합으로, 첫 번째 항은 45/100이고 분모는 1/100입니다. 그렇기 때문에

설명된 방법을 사용하여 단순 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 일반적인 규칙을 얻을 수 있습니다(II장, § 38 참조).

단순 주기 분수를 일반 분수로 변환하려면 다음을 수행해야 합니다. 분자에는 소수 분수의 마침표를 넣고 분모에는 마침표의 자릿수만큼 취한 9로 구성된 숫자를 입력해야 합니다. 소수의.

3) 혼합 주기 분수 0.58333 ....을 일반 분수로 변환합니다.

이 분수를 무한한 합으로 상상해 봅시다:

이 등식의 오른쪽에서 3/1000부터 시작하는 모든 항은 무한히 감소하는 기하학적 수열을 형성하며 첫 번째 항은 3/1000이고 분모는 1/10입니다. 그렇기 때문에

설명된 방법을 사용하여 혼합 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 일반적인 규칙을 얻을 수 있습니다(II장, § 38 참조). 우리는 의도적으로 여기에 그것을 제시하지 않습니다. 이 번거로운 규칙을 기억할 필요가 없습니다. 혼합 주기 분수는 무한히 감소하는 기하 수열과 특정 수의 합으로 표현될 수 있다는 것을 아는 것이 훨씬 더 유용합니다. 그리고 공식

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대해서는 물론 기억해야 합니다.

연습으로, 아래 주어진 문제 번호 995-1000 외에도 문제 번호 301 § 38을 다시 한번 살펴보시기 바랍니다.

수업 과정

995. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 무엇이라고 합니까?

996. 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾습니다.