평면에 있는 두 직선 사이의 각도입니다. 두 직선 사이의 각도

이 자료는 두 개의 교차선 사이의 각도와 같은 개념에 전념합니다. 첫 번째 단락에서는 그것이 무엇인지 설명하고 그림으로 보여 드리겠습니다. 그런 다음 이 각도의 사인, 코사인 및 각도 자체를 찾을 수 있는 방법을 살펴보고(평면과 3차원 공간의 경우를 별도로 고려할 것입니다) 필요한 공식을 제공하고 예를 정확하게 보여 드리겠습니다. 실제로 어떻게 사용되는지.

Yandex.RTB R-A-339285-1

두 선이 교차할 때 형성되는 각도가 무엇인지 이해하려면 각도의 정의, 직각도 및 교차점을 기억해야 합니다.

정의 1

공통점이 하나 있으면 두 선을 교차한다고 부릅니다. 이 점을 두 직선의 교점이라고 합니다.

각 직선은 교차점을 기준으로 광선으로 나뉩니다. 두 직선은 모두 4개의 각도를 형성하며 그 중 2개는 수직이고 2개는 인접합니다. 그 중 하나의 척도를 알면 나머지도 결정할 수 있습니다.

각도 중 하나가 α와 같다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 수직인 각도도 α와 같습니다. 나머지 각도를 찾으려면 차이 180° - α를 계산해야 합니다. α가 90도이면 모든 각도는 직각이 됩니다. 직각으로 교차하는 선을 수직이라고 합니다(직각성의 개념에 대해서는 별도의 기사에서 다룹니다).

사진을 살펴보세요:

주요 정의를 공식화하는 것으로 넘어 갑시다.

정의 2

두 개의 교차선이 이루는 각도는 이 두 선을 이루는 4개의 각도 중 더 작은 각도의 척도입니다.

정의에서 중요한 결론을 도출해야 합니다. 이 경우 각도의 크기는 간격(0, 90]의 실수로 표현됩니다. 선이 수직인 경우 선 사이의 각도는 어떤 경우에도 다음과 같습니다. 90도와 같습니다.

두 개의 교차선 사이의 각도 측정값을 찾는 기능은 많은 실제 문제를 해결하는 데 유용합니다. 해결 방법은 여러 옵션 중에서 선택할 수 있습니다.

우선 기하학적 방법을 사용할 수 있습니다. 보각에 대해 알고 있다면 같거나 유사한 도형의 속성을 사용하여 필요한 각도와 연관시킬 수 있습니다. 예를 들어, 삼각형의 변을 알고 있고 이 변이 위치한 선 사이의 각도를 계산해야 한다면 코사인 정리가 우리 솔루션에 적합합니다. 조건에 직각 삼각형이 있는 경우 계산을 위해 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트도 알아야 합니다.

좌표 방법은 이러한 유형의 문제를 해결하는 데에도 매우 편리합니다. 올바르게 사용하는 방법을 설명하겠습니다.

두 개의 직선이 있는 직사각형(직교) 좌표계 O x y가 있습니다. 문자 a와 b로 표시합시다. 직선은 몇 가지 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다. 원래 선에는 교차점 M이 있습니다. 이 직선 사이에 필요한 각도(α로 표시)를 결정하는 방법은 무엇입니까?

주어진 조건에서 각도를 찾는 기본 원리를 공식화하는 것부터 시작하겠습니다.

우리는 직선의 개념이 방향 벡터, 법선 벡터와 같은 개념과 밀접한 관련이 있다는 것을 알고 있습니다. 특정 직선의 방정식이 있으면 그 방정식에서 이러한 벡터의 좌표를 가져올 수 있습니다. 우리는 두 개의 교차하는 선에 대해 동시에 이 작업을 수행할 수 있습니다.

두 개의 교차선이 이루는 각도는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다.

• 방향 벡터 사이의 각도;
• 법선 벡터 사이의 각도;
• 한 선의 법선 벡터와 다른 선의 방향 벡터 사이의 각도입니다.

이제 각 방법을 개별적으로 살펴보겠습니다.

1. 방향 벡터 a → = (a x, a y)를 갖는 선 a와 방향 벡터 b → (b x, b y)를 갖는 선 b가 있다고 가정합니다. 이제 교차점에서 두 벡터 a → 및 b →를 플로팅해 보겠습니다. 그 후에 우리는 그것들이 각자의 직선 위에 위치하는 것을 보게 될 것입니다. 그런 다음 상대적 배열에 대한 네 가지 옵션이 있습니다. 그림 참조:

두 벡터 사이의 각도가 둔각이 아닌 경우 교차하는 선 a와 b 사이에 필요한 각도가 됩니다. 둔각인 경우 원하는 각도는 각도 a →, b → ^에 인접한 각도와 같습니다. 따라서 a → , b → ^ ≤ 90 °이면 α = a → , b → ^, a → , b → ^ > 90 °이면 α = 180 ° - a → , b → ^입니다.

동일한 각도의 코사인이 동일하다는 사실을 기반으로 결과 평등을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. cos α = cos a →, b → ^, a →, b → ^ ≤ 90 °인 경우; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, a →인 경우 b → ^ > 90 °.

두 번째 경우에는 축소 공식이 사용되었습니다. 따라서,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

마지막 공식을 단어로 작성해 보겠습니다.

정의 3

두 개의 교차 직선으로 형성된 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도 코사인 계수와 같습니다.

두 벡터 a → = (a x , a y)와 b → = (b x , b y) 사이의 각도 코사인 공식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

이것으로부터 주어진 두 직선 사이의 각도의 코사인 공식을 도출할 수 있습니다.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

그런 다음 각도 자체는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

여기서 a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)는 주어진 선의 방향 벡터입니다.

문제 해결의 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1

평면 위의 직교 좌표계에는 두 개의 교차선 a와 b가 주어집니다. 이는 매개변수 방정식 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R 및 x 5 = y - 6 - 3으로 설명할 수 있습니다. 이 선들 사이의 각도를 계산하십시오.

해결책

우리 조건에는 파라메트릭 방정식이 있는데, 이는 이 선에 대해 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있음을 의미합니다. 이를 위해서는 매개변수에 대한 계수 값을 가져와야 합니다. 즉, 직선 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R은 방향 벡터 a → = (4, 1)을 갖습니다.

두 번째 줄은 표준 방정식 x 5 = y - 6 - 3을 사용하여 설명됩니다. 여기서 우리는 분모로부터 좌표를 얻을 수 있습니다. 따라서 이 선은 방향 벡터 b → = (5 , - 3) 을 갖습니다.

다음으로 각도 찾기로 직접 이동합니다. 이렇게 하려면 두 벡터의 기존 좌표를 위 공식 α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 에 대입하면 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

답변: 이 직선은 45도 각도를 이룹니다.

법선 벡터 사이의 각도를 찾아 비슷한 문제를 해결할 수 있습니다. 법선 벡터 n a → = (n a x , n a y)를 갖는 선 a와 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y)를 갖는 선 b가 있는 경우, 그 사이의 각도는 n a →와 사이의 각도와 같습니다. n b → 또는 n a →, n b → ^에 인접할 각도. 이 방법은 그림에 나와 있습니다.

법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차하는 선 사이의 각도와 이 각도 자체의 코사인을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

여기서 n a → 및 n b →는 주어진 두 선의 법선 벡터를 나타냅니다.

실시예 2

직각 좌표계에서는 방정식 3 x + 5 y - 30 = 0 및 x + 4 y - 17 = 0을 사용하여 두 개의 직선이 제공됩니다. 그들 사이의 각도의 사인과 코사인과 이 각도 자체의 크기를 구합니다.

해결책

원래 선은 A x + B y + C = 0 형식의 정규선 방정식을 사용하여 지정됩니다. 법선 벡터를 n → = (A, B)로 나타냅니다. 한 줄에 대한 첫 번째 법선 벡터의 좌표를 찾아 다음과 같이 작성해 보겠습니다. n a → = (3, 5) . 두 번째 라인 x + 4 y - 17 = 0의 경우 법선 벡터의 좌표는 n b → = (1, 4)입니다. 이제 얻은 값을 공식에 ​​추가하고 합계를 계산해 보겠습니다.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

각도의 코사인을 알면 기본 삼각 항등식을 사용하여 사인을 계산할 수 있습니다. 직선이 이루는 각도 α는 둔각이 아니므로 sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34입니다.

이 경우 α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34입니다.

답: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

한 직선의 방향 벡터와 다른 직선의 법선 벡터의 좌표를 알고 있다면 직선 사이의 각도를 찾는 마지막 사례를 분석해 보겠습니다.

직선 a에는 방향 벡터 a → = (a x , a y) 가 있고 직선 b에는 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y) 가 있다고 가정합니다. 이러한 벡터를 교차점에서 따로 설정하고 상대적 위치에 대한 모든 옵션을 고려해야 합니다. 그림을 참조하세요:

주어진 벡터 사이의 각도가 90도를 넘지 않으면 a와 b 사이의 각도를 직각으로 보완하는 것으로 나타났습니다.

a → , n b → ^ = 90 ° - a → 인 경우 α, n b → ^ ≤ 90 ° .

90도 미만이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

a → , n b → ^ > 90 ° , 그런 다음 a → , n b → ^ = 90 ° + α

동일한 각도의 코사인 평등 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α → a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 °의 경우 sin α .

따라서,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

결론을 공식화합시다.

정의 4

평면에서 교차하는 두 선 사이의 각도의 사인을 찾으려면 첫 번째 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터 사이의 각도의 코사인 계수를 계산해야 합니다.

필요한 수식을 적어 봅시다. 각도의 사인 구하기:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

각도 자체 찾기:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

여기서 a →는 첫 번째 선의 방향 벡터이고, n b →는 두 번째 선의 법선 벡터입니다.

실시예 3

두 개의 교차 선은 방정식 x - 5 = y - 6 3 및 x + 4 y - 17 = 0으로 제공됩니다. 교차 각도를 찾아보세요.

해결책

주어진 방정식에서 가이드와 법선 벡터의 좌표를 가져옵니다. a → = (-5, 3) 및 n → b = (1, 4)로 나타납니다. α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 공식을 사용하여 계산합니다.

α = 아크사인 = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = 아크사인 7 2 34

이전 문제에서 방정식을 가져와 정확히 동일한 결과를 얻었지만 방식은 다릅니다.

답변:α = arcsin7234

주어진 직선의 각도계수를 이용하여 원하는 각도를 찾는 또 다른 방법을 제시해보자.

방정식 y = k 1 x + b 1을 사용하여 직교 좌표계로 정의된 선 a와 y = k 2 x + b 2로 정의된 선 b가 있습니다. 이것은 기울기가 있는 선의 방정식입니다. 교차 각도를 찾으려면 다음 공식을 사용합니다.

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, 여기서 k 1 과 k 2 는 주어진 선의 기울기입니다. 이 기록을 얻기 위해 법선 벡터의 좌표를 통해 각도를 결정하는 공식이 사용되었습니다.

실시예 4

방정식 y = - 3 5 x + 6 및 y = - 1 4 x + 17 4로 주어진 평면에서 교차하는 두 개의 선이 있습니다. 교차 각도의 값을 계산합니다.

해결책

우리 선의 각도 계수는 k 1 = - 3 5 및 k 2 = - 1 4와 같습니다. 이를 공식 α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1에 추가하고 계산해 보겠습니다.

α = 아크코사인 - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = 아크코사인 23 20 34 24 · 17 16 = 아크코사인 23 2 34

답변:α = a r c cos 23 2 34

이 단락의 결론에서는 여기에 제공된 각도를 찾는 공식을 암기할 필요가 없다는 점에 유의해야 합니다. 이를 위해서는 주어진 선의 안내선 및/또는 법선 벡터의 좌표를 알고 다양한 유형의 방정식을 사용하여 이를 결정할 수 있으면 충분합니다. 그러나 각도의 코사인을 계산하는 공식을 기억하거나 적어 두는 것이 좋습니다.

공간에서 교차하는 선 사이의 각도를 계산하는 방법

이러한 각도의 계산은 방향 벡터의 좌표를 계산하고 이러한 벡터에 의해 형성된 각도의 크기를 결정하는 것으로 축소될 수 있습니다. 이러한 예의 경우 이전에 제시한 것과 동일한 추론이 사용됩니다.

3차원 공간에 위치한 직각 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기에는 교차점 M이 있는 두 개의 직선 a와 b가 포함되어 있습니다. 방향 벡터의 좌표를 계산하려면 이 선의 방정식을 알아야 합니다. 방향 벡터 a → = (a x , a y , a z) 및 b → = (b x , b y , b z) 를 나타냅니다. 그들 사이의 각도의 코사인을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

각도 자체를 찾으려면 다음 공식이 필요합니다.

α = a r c cos a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

실시예 5

방정식 x 1 = y - 3 = z + 3 - 2를 사용하여 3차원 공간에 정의된 선이 있습니다. Oz축과 교차하는 것으로 알려져 있습니다. 절편각과 해당 각도의 코사인을 계산합니다.

해결책

계산해야 할 각도를 문자 α로 표시해 보겠습니다. 첫 번째 직선(a → = (1, - 3, - 2))에 대한 방향 벡터의 좌표를 적어 보겠습니다. 해당 축의 경우 좌표 벡터 k → = (0, 0, 1)을 기준으로 사용할 수 있습니다. 필요한 데이터를 받았으며 이를 원하는 공식에 추가할 수 있습니다.

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

결과적으로 우리는 필요한 각도가 a r c cos 1 2 = 45 °와 같다는 것을 발견했습니다.

답변: cos α = 1 2 , α = 45° .

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정의.두 직선이 y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2로 주어지면 이 직선 사이의 예각은 다음과 같이 정의됩니다.

k 1 = k 2이면 두 선은 평행합니다. k 1 = -1/ k 2이면 두 직선은 수직입니다.

정리. Ax + Bу + C = 0 및 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 선은 계수 A 1 = λA, B 1 = λB가 비례할 때 평행합니다. 또한 C 1 = λC이면 선이 일치합니다. 두 선의 교차점 좌표는 이 선의 방정식 시스템에 대한 해로 구됩니다.

주어진 점을 지나는 선의 방정식

주어진 선에 수직

정의.점 M 1 (x 1, y 1)을 통과하고 직선 y = kx + b에 수직인 직선은 다음 방정식으로 표현됩니다.

점에서 선까지의 거리

정리.점 M(x 0, y 0)이 주어지면 선 Ax + Bу + C = 0까지의 거리는 다음과 같이 결정됩니다.

.

증거.점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 직선으로 떨어뜨린 수직선의 밑면으로 설정합니다. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:

(1)

좌표 x 1 및 y 1은 방정식 시스템을 풀어 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 선에 수직인 주어진 점 M 0을 통과하는 선의 방정식입니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이러한 표현식을 방정식 (1)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

예. 선 사이의 각도를 결정합니다. y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgψ = ; Φ= p /4.

예. 선 3x – 5y + 7 = 0과 10x + 6y – 3 = 0이 수직임을 보여줍니다.

해결책. k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1이므로 선은 수직입니다.

예. 주어진 삼각형의 정점은 A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1)입니다. 꼭지점 C에서 끌어낸 높이의 방정식을 구합니다.

해결책. 우리는 변 AB의 방정식을 찾습니다: ; 4 x = 6 y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

필요한 높이 방정식의 형식은 Ax + By + C = 0 또는 y = kx + b입니다. k = . 그러면 y = . 왜냐하면 높이는 점 C를 통과하고 그 좌표는 다음 방정식을 충족합니다. 여기서 b = 17. 총계: .

답: 3 x + 2 y – 34 = 0.

주어진 방향으로 주어진 점을 통과하는 선의 방정식. 주어진 두 점을 지나는 선의 방정식. 두 직선 사이의 각도. 두 직선의 평행성과 직각성의 조건. 두 선의 교차점 결정

1. 주어진 점을 지나는 선의 방정식 ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 주어진 방향에서, 경사에 의해 결정됨 케이,

와이 - 와이 1 = 케이(엑스 - 엑스 1). (1)

이 방정식은 한 점을 통과하는 선의 연필을 정의합니다. ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 이를 빔 중심이라고 한다.

2. 두 점을 지나는 선의 방정식: ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 그리고 비(엑스 2 , 와이 2) 다음과 같이 작성되었습니다.

주어진 두 점을 통과하는 직선의 각도 계수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

3. 직선 사이의 각도 ㅏ그리고 비첫 번째 직선이 회전해야 하는 각도입니다. ㅏ두 번째 선과 일치할 때까지 시계 반대 방향으로 두 선의 교차점을 중심으로 비. 기울기가 있는 방정식으로 두 직선이 주어지면

와이 = 케이 1 엑스 + 비 1 ,

와이 = 케이 2 엑스 + 비 2 , (4)

그 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

분수의 분자에서 첫 번째 선의 기울기는 두 번째 선의 기울기에서 뺍니다.

직선의 방정식이 일반적인 형태로 주어지면

ㅏ 1 엑스 + 비 1 와이 + 씨 1 = 0,

ㅏ 2 엑스 + 비 2 와이 + 씨 2 = 0, (6)

그들 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

4. 두 라인의 병렬성 조건:

a) 선이 각도 계수를 사용하여 방정식 (4)로 제공되는 경우 평행성에 필요하고 충분한 조건은 각도 계수의 동일성입니다.

케이 1 = 케이 2 . (8)

b) 선이 일반 형식 (6)의 방정식으로 제공되는 경우 평행성에 대한 필요 충분 조건은 방정식에서 해당 현재 좌표에 대한 계수가 비례한다는 것입니다.

5. 두 직선의 직각도 조건은 다음과 같습니다.

a) 선이 각도 계수를 갖는 식 (4)로 주어지는 경우, 직각도에 대한 필요 충분 조건은 각도 계수의 크기가 반대이고 부호가 반대라는 것입니다.

이 조건은 다음 형식으로도 작성할 수 있습니다.

케이 1 케이 2 = -1. (11)

b) 선의 방정식이 일반 형식 (6)으로 주어지면 직각도(필요 및 충분) 조건은 등식을 충족해야 합니다.

ㅏ 1 ㅏ 2 + 비 1 비 2 = 0. (12)

6. 두 선의 교차점 좌표는 방정식 (6) 시스템을 풀어 구합니다. 라인 (6)은 다음과 같은 경우에만 교차합니다.

1. 점 M을 지나는 직선의 방정식을 쓰십시오. 그 중 하나는 주어진 직선 l에 평행하고 다른 하나는 수직입니다.

ㅏ. 두 개의 직선이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 직선은 1장에서 설명한 것처럼 다양한 양의 각도와 음의 각도를 형성하며 예각이거나 둔각일 수 있습니다. 이러한 각도 중 하나를 알면 다른 각도도 쉽게 찾을 수 있습니다.

그건 그렇고, 이 모든 각도에 대해 접선의 수치는 동일하며 차이점은 부호에만 있습니다.

선의 방정식. 숫자는 첫 번째 직선과 두 번째 직선의 방향 벡터를 투영한 것으로, 이 벡터 사이의 각도는 직선이 이루는 각도 중 하나와 같습니다. 따라서 문제는 벡터 사이의 각도를 결정하는 것입니다.

단순화를 위해 두 직선 사이의 각도가 예각인 양의 각도라는 데 동의할 수 있습니다(예를 들어 그림 53에서와 같이).

그러면 이 각도의 접선은 항상 양수입니다. 따라서 식 (1)의 오른쪽에 빼기 기호가 있으면 이를 버려야 합니다. 즉, 절대값만 저장해야 합니다.

예. 직선 사이의 각도 결정

공식 (1)에 따르면 우리는

와 함께. 각도의 어느 쪽이 시작이고 어느 쪽이 끝인지 표시되면 항상 각도의 방향을 시계 반대 방향으로 세어 공식 (1)에서 더 많은 것을 추출할 수 있습니다. 그림에서 쉽게 알 수 있듯이. 53에서 식 (1)의 오른쪽에서 얻은 부호는 두 번째 직선이 첫 번째 직선과 어떤 종류의 각도(예각 또는 둔각)를 형성하는지 나타냅니다.

(실제로 그림 53에서 우리는 첫 번째와 두 번째 방향 벡터 사이의 각도가 직선 사이의 원하는 각도와 같거나 ±180°만큼 다르다는 것을 알 수 있습니다.)

디. 선이 평행하면 방향 벡터도 평행합니다. 두 벡터의 평행 조건을 적용하면 다음을 얻습니다.

이는 두 선의 평행성에 대한 필요충분조건입니다.

예. 직접

평행하기 때문에

이자형. 선이 수직이면 방향 벡터도 수직입니다. 두 벡터의 수직성 조건을 적용하면 두 직선의 수직성 조건, 즉

예. 직접

수직이기 때문에

평행성 및 직각성의 조건과 관련하여 다음 두 가지 문제를 해결합니다.

에프. 주어진 직선과 평행한 점을 지나는 선을 그리세요

해결은 이렇게 진행됩니다. 원하는 선이 이것과 평행하기 때문에 방향 벡터에 대해 주어진 선과 동일한 벡터, 즉 투영 A와 B가 있는 벡터를 사용할 수 있습니다. 그런 다음 원하는 선의 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. 양식(§ 1)

예. 직선과 평행한 점 (1; 3)을 통과하는 직선의 방정식

다음엔 있을 거야!

g. 주어진 직선에 수직인 점을 지나는 선을 그리세요

여기서는 투영 A가 있는 벡터를 안내 벡터로 사용하는 것이 더 이상 적합하지 않지만 이에 수직인 벡터를 사용하는 것이 필요합니다. 따라서 이 벡터의 투영은 두 벡터의 수직성 조건, 즉 다음 조건에 따라 선택되어야 합니다.

여기에 두 개의 미지수가 있는 하나의 방정식이 있기 때문에 이 조건은 셀 수 없이 많은 방법으로 충족될 수 있습니다. 그러나 가장 쉬운 방법은 다음과 같은 것입니다. 그러면 원하는 선의 방정식이 다음 형식으로 작성됩니다.

예. 수직선에서 점 (-7; 2)을 통과하는 선의 방정식

(두 번째 공식에 따르면) 다음이 있을 것입니다!

시간. 선이 다음 형식의 방정식으로 제공되는 경우

각도공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 줄을 입력해 보겠습니다.

분명히 직선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 벡터 사이의 각도의 코사인 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

두 직선의 평행도 및 직각도 조건은 해당 방향 벡터의 평행도 및 직각도 조건과 동일하며 다음과 같습니다.

2개 연속 평행한해당 계수가 비례하는 경우에만, 즉 엘 1개의 평행 엘 2 병렬인 경우에만 .

2개 연속 수직해당 계수의 곱의 합이 0인 경우에만: .

유 선과 평면 사이의 골

똑바로하자 디- θ 평면에 수직이 아닙니다.
디'− 선의 투영 디θ 평면으로;
직선 사이의 가장 작은 각도 디그리고 디'우리가 전화할게 직선과 평면 사이의 각도.
이를 ψ=( 디,θ)
만약에 디⊥θ, 그러면 ( 디,θ)=π/2

오이→제이→케이→− 직각 좌표계.
평면 방정식:

θ: 도끼+에 의해+Cz+디=0

직선은 점과 방향 벡터로 정의된다고 가정합니다. 디[중 0,피→]
벡터 N→(ㅏ,비,씨)⊥θ
그런 다음 벡터 사이의 각도를 찾는 것이 남아 있습니다. N→ 그리고 피→, 이를 γ=( N→,피→).

각도 γ이면<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

각도가 γ>π/2이면 원하는 각도는 Φ=γ−π/2입니다.

sinΦ=sin(2π−γ)=cosγ

sinΦ=sin(γ−2π)=−cosγ

그 다음에, 직선과 평면 사이의 각도다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

sinψ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+CP 3∣ ∣ √ㅏ 2+비 2+씨 2√피 21+피 22+피 23

질문29. 이차 형태의 개념. 이차 형태의 부호 명확성.

2차 형식 j (x 1, x 2, …, x n) n 실수 변수 x 1, x 2, …, x n형태의 합이라고 불린다.
, (1)

어디 에이 ij – 계수라고 불리는 일부 숫자. 일반성을 잃지 않으면서 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 에이 ij = 지.

이차형은 다음과 같이 불린다. 유효한,만약에 에이 ij Î GR. 이차 형태의 행렬계수로 구성된 행렬이라고 합니다. 이차 형식(1)은 유일한 대칭 행렬에 해당합니다.
그건 A T = A. 결과적으로, 2차 형식(1)은 행렬 형식 j( 엑스) = x T 아, 어디 x 티 = (엑스 1 엑스 2 … xn). (2)

그리고 반대로, 모든 대칭 행렬(2)은 변수 표기까지 고유한 이차 형태에 해당합니다.

이차 형태의 순위행렬의 순위라고 합니다. 이차형은 다음과 같이 불린다. 비퇴화,행렬이 비특이인 경우 ㅏ. (매트릭스는 ㅏ행렬식의 값이 0이 아닌 경우 비퇴화(non-degenerate)라고 합니다. 그렇지 않으면 이차 형식이 퇴화됩니다.

긍정적인 확실성(또는 엄밀히 말하면 긍정적인 경우)

제이 ( 엑스) > 0 , 누구에게나 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

행렬 ㅏ양의 정부호 이차 형태 j ( 엑스)은 양의 정부호라고도 합니다. 따라서 양의 정부호 2차 형식은 고유한 양의 정부호 행렬에 해당하고 그 반대도 마찬가지입니다.

이차 형식 (1)은 다음과 같습니다. 부정적으로 정의됨(또는 엄격히 음수)인 경우

제이 ( 엑스) < 0, для любого 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

위와 마찬가지로 음의 정부호 2차 형식의 행렬을 음의 정부호라고도 합니다.

결과적으로, 양의 (음의) 명확한 이차 형태 j ( 엑스)는 최소(최대) 값 j에 도달합니다( 엑스*) = 0 엑스* = (0, 0, …, 0).

대부분의 이차 형식은 부호가 한정적이지 않습니다. 즉, 양수도 아니고 음수도 아닙니다. 이러한 이차 형태는 좌표계의 원점뿐만 아니라 다른 지점에서도 사라집니다.

언제 N> 2, 이차 형태의 부호를 확인하려면 특별한 기준이 필요합니다. 그들을 살펴보자.

주요 미성년자이차 형태를 미성년자라고 합니다:

즉, 이들은 1, 2, ... 순서의 미성년자입니다. N행렬 ㅏ, 왼쪽 상단에 위치하며 마지막은 행렬의 행렬식과 일치합니다. ㅏ.

양의 확실성 기준 (실베스터 기준)

엑스) = x T 아양의 정부호이면 행렬의 모든 주요 부차 변수가 필요하고 충분합니다. ㅏ긍정적이었습니다. 즉, 중 1 > 0, 중 2 > 0, …, 망 > 0. 부정적인 확실성 기준 이차 형식 j( 엑스) = x T 아부정확한 경우, 짝수의 주요 부차는 양수이고 홀수 차수는 음수인 것이 필요하고 충분합니다. 즉: 중 1 < 0, 중 2 > 0, 중 3 < 0, …, (–1)N

지침

메모

삼각 함수 탄젠트의 주기는 180도와 같습니다. 이는 직선의 경사각이 절대값으로 이 값을 초과할 수 없음을 의미합니다.

유용한 조언

각도 계수가 서로 같으면 해당 선 사이의 각도는 0입니다. 왜냐하면 해당 선이 일치하거나 평행하기 때문입니다.

교차하는 선 사이의 각도 값을 결정하려면 교차할 때까지 평행 이동 방법을 사용하여 두 선(또는 그 중 하나)을 새 위치로 이동해야 합니다. 그런 다음 결과로 나타나는 교차선 사이의 각도를 찾아야 합니다.

필요할 것이예요

• 자, 직각삼각형, 연필, 각도기.

지침

따라서 벡터 V = (a, b, c)와 평면 A x + B y + C z = 0이 주어집니다. 여기서 A, B 및 C는 법선 N의 좌표입니다. 그런 다음 각도의 코사인 벡터 V와 N 사이의 α는 cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))와 같습니다.

각도를 도 또는 라디안 단위로 계산하려면 결과 표현식에서 코사인 함수의 역함수를 계산해야 합니다. 즉, 아크코사인:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

예: 찾기 모서리~ 사이 벡터(5, -3, 8) 및 비행기, 일반 방정식 2 x – 5 y + 3 z = 0으로 제공됩니다. 해결책: 평면 N = (2, -5, 3)의 법선 벡터 좌표를 기록합니다. 알려진 모든 값을 주어진 공식에 대입합니다: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≒ 0.8 → α = 36.87°.

주제에 관한 비디오

원과 하나의 공통점을 갖는 직선은 원에 접합니다. 접선의 또 다른 특징은 접촉점에 그려진 반지름에 항상 수직이라는 것, 즉 접선과 반지름이 직선을 이룬다는 것입니다. 모서리. 한 점 A에서 원 AB와 AC의 두 접선을 그리면 두 접선은 항상 서로 같습니다. 접선 사이의 각도 결정( 모서리 ABC)는 피타고라스 정리를 사용하여 만들어졌습니다.

지침

각도를 결정하려면 원 OB와 OS의 반경과 원 중심에서 접선의 시작점까지의 거리(O)를 알아야 합니다. 따라서 각도 ABO와 ACO는 동일하고 반경 OB는 다음과 같습니다. 예를 들어 10cm이고 원 AO의 중심까지의 거리는 15cm입니다. 피타고라스 정리에 따라 공식을 사용하여 접선의 길이를 결정합니다. AB = AO2 – OB2의 제곱근 또는 152 – 102 = 225 – 100 = 125;