Кому поля не жмут. Ферма великая теорема Теорема ферма смысл и применение

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

В 17 веке во Франции жил юрист и по совместительству математик Пьер Ферма , который отдавал своему увлечению долгие часы досуга. Как-то зимним вечером, сидя у камина, он выдвинул одно прелюбопытнейшее утверждение из области теории чисел – именно оно в дальнейшем было названо Великой или Большой теоремой Ферма. Возможно, ажиотаж не был бы настолько весомым в математических кругах, не случись одно событие. Математик часто проводил вечера за штудированием любимой книги Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век), при этом записывал на ее полях важные мысли – этот раритет бережно сохранил для потомков его сын. Так вот, на широких полях этой книги рукой Ферма была оставлена такая надпись: «У меня есть довольно поразительное доказательство, но оно слишком большое, чтобы его можно было поместить на полях». Именно эта запись стала причиной ошеломительного ажиотажа вокруг теоремы. У математиков не вызывало сомнений, что великий ученый заявил о том, что доказал собственную теорему. Вы наверняка задаетесь вопросом: «Неужели он на самом деле ее доказал, или это была банальная ложь, а может есть другие версии, зачем эта запись, не дававшая умиротворенно спать математикам последующих поколений, оказалась на полях книги?».

Суть Великой теоремы

Довольно известная теорема Ферма проста по своей сути и заключается в том, что при условии, когда n больше двойки, положительного числа, уравнение Х n +Y n =Z n не будет иметь решений нулевого типа в рамках натуральных чисел. В этой с виду простой формуле была замаскирована невероятная сложность, и на ее доказательством бились целых три века. Есть одна странность – теорема опоздала с рождением на свет, так как ее частный случай при n=2 появился еще 2200 лет тому назад – это не менее знаменитая теорема Пифагора.

Необходимо отметить, что история, касающаяся всем известной теоремы Ферма, является очень поучительной и занимательной, причем не только для ученых-математиков. Что самое интересное, так это то, что наука являлась для ученого не работой, а простым хобби, которое в свою очередь, доставляла Фермеру огромное удовольствие. Также он постоянно поддерживал связь с ученым-математиком, а по совместительству, еще и другом, делился идеями, но как ни странно, собственные работы опубликовывать в свет не стремился.

Труды математика Фермера

Что касается самих работ Фермера, то их обнаружили именно в форме обычных писем. Местами не было целых страниц, и сохранились лишь обрывки переписок. Более интересен тот факт, что на протяжении трех веков ученые искали ту теорему, которая была обнаружена в трудах Фермера.

Но кто бы не решался ее доказать, попытки сводились к «нулю». Известный математик Декарт и вовсе обвинял ученого в хвастовстве, но все это сводилось лишь к самой обычной зависти. Помимо создания, Фермер еще и доказал собственную теорему. Правда решение было найдено для того случая, где n=4. Что касается случая для n=3, то его выявил математик Эйлер.

Как пытались доказать теорему Фермера

В самом начале 19 века данная теорема продолжила свое существование. Математики нашли много доказательств теорем, которые ограничивались натуральными числами в пределах двухсот.

А в 1909 году была поставлена на кон довольно крупная сумма, равная ста тысячам маркам немецкого происхождения – и все это только лишь за то, чтобы решить вопрос, связанный с этой теоремой. Сам фонд призовой категории был оставлен богатым любителем математики Паулем Вольфскелем, родом из Германии, кстати, именно он хотел «наложить на себя руки», но благодаря такой вовлеченности в теорему Фермера, захотел жить. Возникший ажиотаж породил тонны «доказательств», заполонивших германские университеты, а в кругу математиков родилось прозвище «фермист», которым полупрезрительно называли всякого амбициозного выскочку, не сумевшего привести явные доказательства.

Гипотеза японского математика Ютаки Танияма

Сдвигов в истории Великой теоремы до середины 20 столетия так и не наблюдалось, но одно занимательное событие все-таки произошло. В 1955 году математик из Японии Ютака Танияма, которому было 28 лет, явил миру утверждение из абсолютно другой математической области – его гипотеза в отличие от Ферма опередило свое время. Она гласит: «Каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма». Вроде бы абсурд для каждого математика, подобно, что дерево состоит из определенного металла! Парадоксальную гипотезу, как и большинство прочих ошеломляющих и гениальных открытий, не приняли, так как еще попросту не доросли до нее. И Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством, спустя три года – поступок необъяснимый, но, вероятно, честь для истинного гения-самурая была превыше всего.

Целое десятилетие о гипотезе не вспоминали, но в семидесятые она поднялась на пик популярности – ее подтверждали все, кто мог в ней разобраться, но, как и теорема Ферма, она оставалась недоказанной.

Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Спустя 15 лет в математике произошло ключевое событие, и оно объединило гипотезу прославленного японца и теорему Ферма. Герхард Грей заявил, что когда будет доказана гипотеза Танияма, тогда и найдутся доказательства теоремы Ферма. То есть последняя – это следствие гипотезы Танияма, и уже через полтора года профессором университета в Калифорнии Кеннетом Рибетом теорема Ферма была доказана.

Шло время, регресс заменялся прогрессом, а наука стремительно продвигалась вперед, особенно в области компьютерных технологий. Таким образом, значение n стало все больше повышаться.

В самом конце 20 века самые мощные компьютеры находились в лабораториях военного направления, было осуществлено программирование на вывод решения задачи всем известного Ферма. Как следствие всем попыткам было выявлено то, что данная теорема правильная для многих значений n, x, y. Но, к сожалению, окончательным доказательством это не стало, так как не было конкретики как таковой.

Джон Уайлс доказал великую Теорему Ферма

И вот, наконец, только в конце 1994 года, математик из Англии, Джон Уайлс нашел и продемонстрировал точное доказательство спорной теоремы Фермера. Тогда, после множества доработок, дискуссии по этому поводу пришли к своему логическому завершению.

Опровержение было размещено на более ста страницах одного журнала! Причем теорема была доказана на более современном аппарате высшей математики. И что удивительно, на тот момент, когда Фермер писал свой труд, такого аппарата в природе не существовало. Словом, человек был признан гением в этой области, с чем поспорить не мог никто. Несмотря на все что было, на сегодняшний день можно быть уверенными в том, что представленная теорема великого ученого Фермера оправдана и доказана, и споры и на эту тему не заведет ни одни математик со здравым смыслом, с чем согласны даже самые заядлые скептики всего человечества.

Полное имя человека, в честь которого была названа представленная теорема, звали Пьер де Фермер. Он внес свой вклад в самые разнообразные области математики. Но, к сожалению, большинство его трудов были опубликованы только после его смерти.

Вряд ли хоть один год в жизни нашей редакции проходил без того, чтобы она не получала добрый десяток доказательств теоремы Ферма. Теперь, после «победы» над ней, поток поутих, но не иссяк.

Конечно, не для того чтобы его высушить окончательно, публикуем мы эту статью. И не в своё оправдание - что, мол, вот почему мы отмалчивались, сами не доросли ещё до обсуждения столь сложных проблем.

Но если статья действительно покажется сложной, загляните сразу в её конец. Вы должны будете почувствовать, что страсти поутихли временно, наука не окончена, и вскорости новые доказательства новых теорем направятся в редакции.

Кажется, ХХ век прошёл не зря. Сначала люди создали на миг второе Солнце, взорвав водородную бомбу. Потом они прогуливались по Луне и, наконец, доказали пресловутую теорему Ферма. Из этих трёх чудес первые два у всех на слуху, ибо они вызвали огромные социальные последствия. Напротив, третье чудо выглядит очередной учёной игрушкой - в одном ряду с теорией относительности, квантовой механикой и теоремой Гёделя о неполноте арифметики. Впрочем, относительность и кванты привели физиков к водородной бомбе, а изыскания математиков наполнили наш мир компьютерами. Продолжится ли этот ряд чудес в XXI веке? Можно ли проследить связь между очередными учёными игрушками и революциями в нашем быту? Позволяет ли эта связь делать успешные предсказания? Попробуем понять это на примере теоремы Ферма.

Заметим для начала, что она родилась гораздо позже своего естественного срока. Ведь первый частный случай теоремы Ферма - это уравнение Пифагора X 2 + Y 2 = Z 2 , связывающее длины сторон прямоугольного треугольника. Доказав эту формулу двадцать пять веков назад, Пифагор сразу задался вопросом: много ли в природе таких треугольников, у которых оба катета и гипотенуза имеют целую длину? Кажется, египтяне знали лишь один такой треугольник - со сторонами (3, 4, 5) . Но нетрудно найти и другие варианты: например (5, 12, 13) , (7, 24, 25) или (8, 15, 17) . Во всех этих случаях длина гипотенузы имеет вид (А 2 + В 2) , где А и В - взаимно простые числа разной чётности. При этом длины катетов равны (А 2 - В 2) и 2АВ.

Заметив эти соотношения, Пифагор без труда доказал, что любая тройка чисел (X = A 2 - B 2 , Y = 2AB , Z = A 2 + B 2) является решением уравнения X 2 + Y 2 = Z 2 и задаёт прямоугольник со взаимно простыми длинами сторон. Видно также, что число разных троек такого сорта бесконечно. Но все ли решения уравнения Пифагора имеют такой вид? Ни доказать, ни опровергнуть такую гипотезу Пифагор не смог и оставил эту проблему потомкам, не заостряя на ней внимание. Кому охота подчёркивать свои неудачи? Похоже, что после этого проблема целочисленных прямоугольных треугольников лежала в забвении семь столетий - до тех пор, пока в Александрии не появился новый математический гений по имени Диофант.

Мы мало знаем о нём, но ясно: он был совсем не похож на Пифагора. Тот чувствовал себя царём в геометрии и даже за её пределами - будь то в музыке, астрономии или политике. Первая арифметическая связь между длинами сторон благозвучной арфы, первая модель Вселенной из концентрических сфер, несущих планеты и звёзды, с Землёю в центре, наконец, первая республика учёных в италийском городе Кротоне - таковы личные достижения Пифагора. Что мог противопоставить таким успехам Диофант - скромный научный сотрудник великого Музея, давно переставшего быть гордостью городской толпы?

Только одно: лучшее понимание древнего мира чисел, законы которого едва успели ощутить Пифагор, Евклид и Архимед. Заметим, что Диофант ещё не владел позиционной системой записи больших чисел, но он знал, что такое отрицательные числа и, наверное, провёл немало часов, размышляя о том, почему произведение двух отрицательных чисел положительно. Мир целых чисел впервые открылся Диофанту как особая вселенная, отличная от мира звёзд, отрезков или многогранников. Главное занятие учёных в этом мире - решение уравнений, настоящий мастер находит все возможные решения и доказывает, что других решений нет. Так поступил Диофант с квадратным уравнением Пифагора, а потом задумался: имеет ли хоть одно решение сходное кубическое уравнение X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Найти такое решение Диофанту не удалось, его попытка доказать, что решений нет, тоже не увенчалась успехом. Поэтому, оформляя итоги своих трудов в книге «Арифметика» (это был первый в мире учебник теории чисел), Диофант подробно разобрал уравнение Пифагора, но ни словом не заикнулся о возможных обобщениях этого уравнения. А мог бы: ведь именно Диофант впервые предложил обозначения для степеней целых чисел! Но увы: понятие «задачник» было чуждо эллинской науке и педагогике, а публиковать перечни нерешённых задач считалось неприличным занятием (только Сократ поступал иначе). Не можешь решить проблему - молчи! Диофант умолк, и это молчание затянулось на четырнадцать веков - вплоть до наступления Нового времени, когда возродился интерес к процессу человеческого мышления.

Кто только и о чём не фантазировал на рубеже XVI - XVII веков! Неутомимый вычислитель Кеплер пытался угадать связь между расстояниями от Солнца до планет. Пифагору это не удалось. Кеплер добился успеха после того, как научился интегрировать многочлены и другие несложные функции. Напротив, фантазёр Декарт не любил длинных расчётов, но именно он первый представил все точки плоскости или пространства, как наборы чисел. Эта дерзкая модель сводит любую геометрическую задачу о фигурах к некой алгебраической задаче об уравнениях - и наоборот. Например, целые решения уравнения Пифагора соответствуют целым точкам на поверхности конуса. Поверхность, соответствующая кубическому уравнению X 3 + Y 3 = Z 3 , выглядит сложнее, её геометрические свойства ничего не подсказали Пьеру Ферма, и тому пришлось прокладывать новые пути сквозь дебри целых чисел.

В 1636 году в руки молодого юриста из Тулузы попала книга Диофанта, только что переведённая на латынь с греческого оригинала, случайно уцелевшего в каком-то византийском архиве и привезённого в Италию кем-то из беглецов-ромеев в пору турецкого разорения. Читая изящное рассуждение об уравнении Пифагора, Ферма задумался: можно ли найти такое его решение, которое состоит из трёх чисел-квадратов? Малых чисел такого сорта нет: это легко проверить перебором. А как насчёт больших решений? Не имея компьютера, Ферма не мог поставить численный эксперимент. Но он заметил, что по каждому «большому» решению уравнения X 4 + Y 4 = Z 4 можно построить меньшее его решение. Значит, сумма четвёртых степеней двух целых чисел никогда не равна той же степени третьего числа! А как насчёт суммы двух кубов?

Вдохновлённый успехом для степени 4, Ферма попытался модифицировать «метод спуска» для степени 3 - и это ему удалось. Оказалось, что невозможно составить два малых куба из тех единичных кубиков, на которые рассыпался большой куб с целой длиной ребра. Торжествующий Ферма сделал краткую запись на полях книги Диофанта и послал в Париж письмо с подробным сообщением о своём открытии. Но ответа он не получил - хотя обычно столичные математики быстро реагировали на очередной успех их одинокого коллеги-соперника в Тулузе. В чём тут дело?

Очень просто: к середине XVII века арифметика вышла из моды. Большие успехи итальянских алгебраистов XVI века (когда были решены уравнения-многочлены степеней 3 и 4) не стали началом общенаучной революции, ибо они не позволили решить новые яркие задачи в сопредельных областях науки. Вот если бы Кеплеру удалось угадать орбиты планет с помощью чистой арифметики… Но увы - для этого потребовался математический анализ. Значит, его и надо развивать - вплоть до полного торжества математических методов в естествознании! Но анализ вырастает из геометрии, арифметика же остаётся полем забав для досужих юристов и прочих любителей вечной науки о числах и фигурах.

Итак, арифметические успехи Ферма оказались несвоевременны и остались неоценёнными. Он не был этим огорчён: для славы математика довольно впервые открывшихся ему фактов дифференциального исчисления, аналитической геометрии и теории вероятностей. Все эти открытия Ферма сразу вошли в золотой фонд новой европейской науки, меж тем как теория чисел отошла на задний план ещё на сто лет - пока её не возродил Эйлер.

Этот «король математиков» XVIII века был чемпионом во всех применениях анализа, но не пренебрегал и арифметикой, поскольку новые методы анализа приводили к неожиданным фактам о числах. Кто бы мог подумать, что бесконечная сумма обратных квадратов (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) равна π 2 /6? Кто из эллинов мог предвидеть, что похожие ряды позволят доказать иррациональность числа π?

Такие успехи заставили Эйлера внимательно перечитать сохранившиеся рукописи Ферма (благо, сын великого француза успел их издать). Правда, доказательство «большой теоремы» для степени 3 не сохранилось, но Эйлер легко восстановил его по одному лишь указанию на «метод спуска», и сразу постарался перенести этот метод на следующую простую степень - 5.

Не тут-то было! В рассуждениях Эйлера появились комплексные числа, которые Ферма ухитрился не заметить (таков обычный удел первооткрывателей). Но разложение целых комплексных чисел на множители - дело тонкое. Даже Эйлер не разобрался в нём до конца и отложил «проблему Ферма» в сторону, торопясь завершить свой главный труд - учебник «Основы анализа», который должен был помочь каждому талантливому юноше встать вровень с Лейбницем и Эйлером. Издание учебника завершилось в Петербурге в 1770 году. Но к теореме Ферма Эйлер уже не возвращался, будучи уверен: всё, чего коснулись его руки и разум, не будет забыто новой учёной молодёжью.

Так и вышло: преемником Эйлера в теории чисел стал француз Адриен Лежандр. В конце XVIII века он завершил доказательство теоремы Ферма для степени 5 - и хотя потерпел неудачу для больших простых степеней, но составил очередной учебник теории чисел. Пусть его юные читатели превзойдут автора так же, как читатели «Математических принципов натурфилософии» превзошли великого Ньютона! Лежандр был не чета Ньютону или Эйлеру, но среди его читателей оказались два гения: Карл Гаусс и Эварист Галуа.

Столь высокой кучности гениев способствовала Французская революция, провозгласившая государственный культ Разума. После этого каждый талантливый учёный ощутил себя Колумбом или Александром Македонским, способным открыть или покорить новый мир. Многим это удавалось, оттого в XIX веке научно-технический прогресс сделался главным движителем эволюции человечества, и все разумные правители (начиная с Наполеона) сознавали это.

Гаусс по характеру был близок к Колумбу. Но он (как и Ньютон) не умел пленять воображение правителей или студентов красивыми речами, и потому ограничил свои амбиции сферой научных понятий. Здесь он мог всё, чего хотел. Например, древняя задача о трисекции угла почему-то не решается с помощью циркуля и линейки. С помощью комплексных чисел, изображающих точки плоскости, Гаусс переводит эту задачу на язык алгебры - и получает общую теорию выполнимости тех или иных геометрических построений. Так одновременно появились строгое доказательство невозможности построения циркулем и линейкой правильного 7- или 9-угольника и такой способ построения правильного 17-угольника, о котором не мечтали самые мудрые геометры Эллады.

Конечно, такой успех не даётся даром: приходится изобретать новые понятия, отражающие суть дела. Ньютон ввёл три таких понятия: флюксию (производную), флюенту (интеграл) и степенной ряд. Их хватило для создания математического анализа и первой научной модели физического мира, включающей механику и астрономию. Гаусс тоже ввёл три новых понятия: векторное пространство, поле и кольцо. Из них выросла новая алгебра, подчинившая себе греческую арифметику и созданную Ньютоном теорию числовых функций. Оставалось ещё подчинить алгебре логику, созданную Аристотелем: тогда можно будет с помощью расчётов доказывать выводимость или невыводимость любых научных утверждений из данного набора аксиом! Например, выводится ли теорема Ферма из аксиом арифметики, или постулат Евклида о параллельных прямых - из прочих аксиом планиметрии?

Эту дерзкую мечту Гаусс не успел осуществить - хотя продвинулся он далеко и угадал возможность существования экзотических (некоммутативных) алгебр. Построить первую неевклидову геометрию сумел только дерзкий россиянин Николай Лобачевский, а первую некоммутативную алгебру (Теорию Групп) - француз Эварист Галуа. И лишь много позже смерти Гаусса - в 1872 году - юный немец Феликс Кляйн догадался, что разнообразие возможных геометрий можно привести во взаимно-однозначное соответствие с разнообразием возможных алгебр. Попросту говоря, всякая геометрия определяется своей группой симметрий - тогда как общая алгебра изучает все возможные группы и их свойства.

Но такое понимание геометрии и алгебры пришло гораздо позже, а штурм теоремы Ферма возобновился ещё при жизни Гаусса. Сам он пренебрёг теоремой Ферма из принципа: не царское это дело - решать отдельные задачи, которые не вписываются в яркую научную теорию! Но ученики Гаусса, вооружённые его новой алгеброй и классическим анализом Ньютона и Эйлера, рассуждали иначе. Сначала Петер Дирихле доказал теорему Ферма для степени 7, используя кольцо целых комплексных чисел, порождённых корнями этой степени из единицы. Потом Эрнст Куммер распространил метод Дирихле на ВСЕ простые степени (!) - так ему сгоряча показалось, и он восторжествовал. Но вскоре пришло отрезвление: доказательство проходит безупречно, только если всякий элемент кольца однозначно разлагается на простые множители! Для обычных целых чисел этот факт был известен ещё Евклиду, но только Гаусс дал его строгое доказательство. А как обстоит дело с целыми комплексными числами?

Согласно «принципу наибольшей пакости», там может и ДОЛЖНО встретиться неоднозначное разложение на множители! Как только Куммер научился вычислять степень неоднозначности методами математического анализа, он обнаружил эту пакость в кольце для степени 23. Гаусс не успел узнать о таком варианте экзотической коммутативной алгебры, но ученики Гаусса вырастили на месте очередной пакости новую красивую Теорию Идеалов. Правда, решению проблемы Ферма это не особенно помогло: только стала яснее её природная сложность.

На протяжении XIX века этот древний идол требовал от своих почитателей всё новых жертв в форме новых сложных теорий. Не удивительно, что к началу ХХ века верующие пришли в уныние и взбунтовались, отвергая былой кумир. Слово «ферматист» стало бранным прозвищем среди профессиональных математиков. И хотя за полное доказательство теоремы Ферма была назначена немалая премия, но её соискателями выступали в основном самоуверенные невежды. Сильнейшие математики той поры - Пуанкаре и Гильберт - демонстративно сторонились этой темы.

В 1900 году Гильберт не включил теорему Ферма в перечень двадцати трёх важнейших проблем, стоящих перед математикой ХХ века. Правда, он включил в их ряд общую проблему разрешимости диофантовых уравнений. Намёк был ясен: следуйте примеру Гаусса и Галуа, создавайте общие теории новых математических объектов! Тогда в один прекрасный (но не предсказуемый заранее) день старая заноза выпадет сама собой.

Именно так действовал великий романтик Анри Пуанкаре. Пренебрегая многими «вечными» проблемами, он всю жизнь изучал СИММЕТРИИ тех или иных объектов математики или физики: то функций комплексного переменного, то траекторий движения небесных тел, то алгебраических кривых или гладких многообразий (это многомерные обобщения кривых линий). Мотив его действий был прост: если два разных объекта обладают сходными симметриями - значит, между ними возможно внутреннее родство, которое мы пока не в силах постичь! Например, каждая из двумерных геометрий (Евклида, Лобачевского или Римана) имеет свою группу симметрий, которая действует на плоскости. Но точки плоскости суть комплексные числа: таким путём действие любой геометрической группы переносится в безбрежный мир комплексных функций. Можно и нужно изучать самые симметричные из этих функций: АВТОМОРФНЫЕ (которые подвластны группе Евклида) и МОДУЛЯРНЫЕ (которые подчиняются группе Лобачевского)!

А ещё на плоскости есть эллиптические кривые. Они никак не связаны с эллипсом, но задаются уравнениями вида Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX и потому пересекаются с любой прямой в трёх точках. Этот факт позволяет ввести среди точек эллиптической кривой умножение - превратить её в группу. Алгебраическое устройство этой группы отражает геометрические свойства кривой, может быть, она однозначно определена своей группой? Этот вопрос стоит изучить, поскольку для некоторых кривых интересующая нас группа оказывается модулярной, то есть она связана с геометрией Лобачевского…

Так рассуждал Пуанкаре, соблазняя математическую молодёжь Европы, но в начале ХХ века эти соблазны не привели к ярким теоремам или гипотезам. Иначе получилось с призывом Гильберта: изучать общие решения диофантовых уравнений с целыми коэффициентами! В 1922 году молодой американец Льюис Морделл связал множество решений такого уравнения (это - векторное пространство определённой размерности) с геометрическим родом той комплексной кривой, которая задаётся этим уравнением. Морделл пришёл к выводу, что если степень уравнения достаточно велика (больше двух), то размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность КОНЕЧНА. Напротив - в степени 2 уравнение Пифагора имеет БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ семейство решений!

Конечно, Морделл видел связь своей гипотезы с теоремой Ферма. Если станет известно, что для каждой степени n > 2 пространство целых решений уравнения Ферма конечномерно, это поможет доказать, что таких решений вовсе нет! Но никаких путей к доказательству своей гипотезы Морделл не видел - и хотя он прожил долгую жизнь, но не дождался превращения этой гипотезы в теорему Фальтингса. Это случилось в 1983 году - в совсем иную эпоху, после великих успехов алгебраической топологии многообразий.

Пуанкаре создал эту науку как бы нечаянно: ему захотелось узнать, какие бывают трёхмерные многообразия. Ведь разобрался же Риман в строении всех замкнутых поверхностей и получил очень простой ответ! Если в трёхмерном или многомерном случае такого ответа нет - нужно придумать систему алгебраических инвариантов многообразия, определяющую его геометрическое строение. Лучше всего, если такие инварианты будут элементами каких-нибудь групп - коммутативных или некоммутативных.

Как ни странно, этот дерзкий план Пуанкаре удался: он был выполнен с 1950 по 1970 год благодаря усилиям очень многих геометров и алгебраистов. До 1950 года шло тихое накопление разных методов классификации многообразий, а после этой даты как будто накопилась критическая масса людей и идей и грянул взрыв, сравнимый с изобретением математического анализа в XVII веке. Но аналитическая революция растянулась на полтора столетия, охватив творческие биографии четырёх поколений математиков - от Ньютона и Лейбница до Фурье и Коши. Напротив, топологическая революция ХХ века уложилась в двадцать лет - благодаря большому числу её участников. При этом сложилось многочисленное поколение самоуверенных молодых математиков, вдруг оставшихся без работы на исторической родине.

В семидесятые годы они устремились в сопредельные области математики и теоретической физики. Многие создали свои научные школы в десятках университетов Европы и Америки. Между этими центрами поныне циркулирует множество учеников разного возраста и национальности, с разными способностями и склонностями, и каждый хочет прославиться каким-нибудь открытием. Именно в этом столпотворении были, наконец, доказаны гипотеза Морделла и теорема Ферма.

Однако первая ласточка, не ведая о своей судьбе, выросла в Японии в голодные и безработные послевоенные годы. Звали ласточку Ютака Танияма. В 1955 году этому герою исполнилось 28 лет, и он решил (вместе с друзьями Горо Шимура и Такаудзи Тамагава) возродить в Японии математические исследования. С чего начать? Конечно, с преодоления изоляции от зарубежных коллег! Так в 1955 году три молодых японца устроили в Токио первую международную конференцию по алгебре и теории чисел. Сделать это в перевоспитанной американцами Японии было, видимо, легче, чем в замороженной Сталиным России…

Среди почётных гостей были два богатыря из Франции: Андре Вейль и Жан-Пьер Серр. Тут японцам крупно повезло: Вейль был признанным главой французских алгебраистов и членом группы Бурбаки, а молодой Серр играл сходную роль среди топологов. В жарких дискуссиях с ними головы японской молодёжи трещали, мозги плавились, но в итоге кристаллизовались такие идеи и планы, которые вряд ли могли родиться в иной обстановке.

Однажды Танияма пристал к Вейлю с неким вопросом насчёт эллиптических кривых и модулярных функций. Сначала француз ничего не понял: Танияма был не мастер изъясняться по-английски. Потом суть дела прояснилась, но придать своим надеждам точную формулировку Танияма так и не сумел. Всё, что Вейль мог ответить молодому японцу, - это что если ему очень повезёт по части вдохновения, то из его невнятных гипотез вырастет что-то дельное. Но пока надежда на это слаба!

Очевидно, Вейль не заметил небесного огня во взоре Танияма. А огонь-то был: похоже, что на миг в японца вселилась неукротимая мысль покойного Пуанкаре! Танияма пришёл к убеждению, что каждая эллиптическая кривая порождается модулярными функциями - точнее, она «униформизуется модулярной формой». Увы, эта точная формулировка родилась много позже - в разговорах Танияма с его другом Шимура. А потом Танияма покончил с собой в приступе депрессии… Его гипотеза осталась без хозяина: непонятно было, как её доказать или где её проверить, и оттого её долгое время никто не принимал всерьёз. Первый отклик пришёл лишь через тридцать лет - почти как в эпоху Ферма!

Лёд тронулся в 1983 году, когда двадцатисемилетний немец Герд Фальтингс объявил всему миру: гипотеза Морделла доказана! Математики насторожились, но Фальтингс был истинный немец: в его длинном и сложном доказательстве не нашлось пробелов. Просто пришло время, накопились факты и понятия - и вот один талантливый алгебраист, опираясь на результаты десяти других алгебраистов, сумел решить проблему, которая шестьдесят лет простояла в ожидании хозяина. В математике ХХ века это не редкость. Стоит вспомнить вековую континуум-проблему в теории множеств, две гипотезы Бернсайда в теории групп или гипотезу Пуанкаре в топологии. Наконец и в теории чисел пришла пора собирать урожай давних посевов… Какая вершина станет следующей в ряду покорённых математиками? Неужели рухнут проблема Эйлера, гипотеза Римана или теорема Ферма? Хорошо бы!

И вот через два года после откровения Фальтингса в Германии объявился ещё один вдохновенный математик. Звали его Герхард Фрей, и утверждал он нечто странное: будто теорема Ферма ВЫВОДИТСЯ из гипотезы Танияма! К сожалению, стилем изложения своих мыслей Фрей больше напоминал невезучего Танияма, чем своего чёткого соотечественника Фальтингса. В Германии Фрея никто не понял, и он поехал за океан - в славный городок Принстон, где после Эйнштейна привыкли и не к таким визитёрам. Недаром там свил своё гнездо Барри Мазур - разносторонний тополог, один из героев недавнего штурма гладких многообразий. И вырос рядом с Мазуром ученик - Кен Рибет, равно искушённый в тонкостях топологии и алгебры, но ещё ничем себя не прославивший.

Впервые услыхав речи Фрея, Рибет решил, что это чушь и околонаучная фантастика (вероятно, так же реагировал Вейль на откровения Танияма). Но забыть эту «фантастику» Рибет не смог и временами возвращался к ней мысленно. Через полгода Рибет поверил, что в фантазиях Фрея есть нечто дельное, а через год он решил, что сам почти умеет доказать странную гипотезу Фрея. Но оставались некоторые «дырки», и Рибет решил исповедаться своему шефу Мазуру. Тот внимательно выслушал ученика и спокойно ответил: «Да у тебя же всё сделано! Вот здесь нужно применить преобразование Ф, тут - воспользоваться леммами В и К, и всё примет безупречный вид!» Так Рибет совершил прыжок из безвестности в бессмертие, использовав катапульту в лице Фрея и Мазура. По справедливости, всем им - вместе с покойным Танияма - следовало бы считаться доказателями великой теоремы Ферма.

Да вот беда: они выводили своё утверждение из гипотезы Танияма, которая сама не доказана! А вдруг она неверна? Математики давно знают, что «из лжи следует всё, что угодно», если догадка Танияма ошибочна, то грош цена безупречным рассуждениям Рибета! Нужно срочно доказывать (или опровергать) гипотезу Танияма - иначе кто-нибудь вроде Фальтингса докажет теорему Ферма иным путём. Он и выйдет в герои!

Вряд ли мы когда-нибудь узнаем, сколько юных или матёрых алгебраистов накинулось на теорему Ферма после успеха Фальтингса или после победы Рибета в 1986 году. Все они старались работать в тайне, чтобы в случае неудачи не быть причисленными к сообществу «чайников»-ферматистов. Известно, что самый удачливый из всех - Эндрю Уайлз из Кембриджа - ощутил вкус победы только в начале 1993 года. Это не столько обрадовало, сколько напугало Уайлза: что если в его доказательстве гипотезы Танияма обнаружится ошибка или пробел? Тогда погибла его научная репутация! Надо же аккуратно записать доказательство (но это будут многие десятки страниц!) и отложить его на полгода-год, чтобы потом перечитать хладнокровно и придирчиво… Но если за это время кто-нибудь опубликует своё доказательство? Ох, беда…

Всё же Уайлз придумал двойной способ быстрой проверки своего доказательства. Во-первых, нужно довериться одному из надёжных друзей-коллег и рассказать ему весь ход рассуждений. Со стороны все ошибки видней! Во-вторых, надо прочитать спецкурс на эту тему смышлёным студентам и аспирантам: уж эти умники не пропустят ни одной ошибки лектора! Только надо не сообщать им конечную цель курса до последнего момента - иначе об этом узнает весь мир! И конечно, искать такую аудиторию надо подальше от Кембриджа - лучше даже не в Англии, а в Америке… Что может быть лучше далёкого Принстона?

Туда и направился Уайлз весной 1993 года. Его терпеливый друг Никлас Кац, выслушав долгий доклад Уайлза, обнаружил в нём ряд пробелов, но все они оказались легко исправимы. Зато принстонские аспиранты вскоре разбежались со спецкурса Уайлза, не желая следовать за прихотливой мыслью лектора, который ведёт их неведомо куда. После такой (не особенно глубокой) проверки своей работы Уайлз решил, что пора явить великое чудо свету.

В июне 1993 года в Кембридже проходила очередная конференция, посвящённая «теории Ивасава» - популярному разделу теории чисел. Уайлз решил рассказать на ней своё доказательство гипотезы Танияма, не объявляя главный результат до самого конца. Доклад шёл долго, но успешно, постепенно начали стекаться журналисты, которые что-то почуяли. Наконец, грянул гром: теорема Ферма доказана! Общее ликование не было омрачено какими-либо сомнениями: кажется, всё чисто… Но через два месяца Кац, прочтя окончательный текст Уайлза, заметил в нём ещё одну брешь. Некий переход в рассуждениях опирался на «систему Эйлера» - но то, что построил Уайлз, такой системой не являлось!

Уайлз проверил узкое место и понял, что тут он ошибся. Хуже того: непонятно, чем заменить ошибочное рассуждение! После этого в жизни Уайлза наступили самые мрачные месяцы. Прежде он вольно синтезировал небывалое доказательство из подручного материала. Теперь он привязан к узкой и чёткой задаче - без уверенности, что она имеет решение и что он сумеет его найти в обозримый срок. Недавно Фрей не устоял в такой же борьбе - и вот его имя заслонилось именем удачливого Рибета, хотя догадка Фрея оказалась верна. А что будет с МОЕЙ догадкой и с МОИМ именем?

Эта каторжная работа тянулась ровно год. В сентябре 1994 года Уайлз был готов признать своё поражение и оставить гипотезу Танияма более удачливым преемникам. Приняв такое решение, он начал медленно перечитывать своё доказательство - с начала до конца, вслушиваясь в ритм рассуждений, вновь переживая удовольствие от удачных находок. Дойдя до «проклятого» места, Уайлз, однако, не услышал мысленно фальшивой ноты. Неужели ход его рассуждений был всё-таки безупречен, а ошибка возникла лишь при СЛОВЕСНОМ описании мысленного образа? Если тут нет «системы Эйлера», то что тут скрыто?

Неожиданно пришла простая мысль: «система Эйлера» не работает там, где применима теория Ивасава. Почему бы не применить эту теорию напрямую - благо, самому Уайлзу она близка и привычна? И почему он не испробовал этот подход с самого начала, а увлёкся чужим видением проблемы? Вспомнить эти детали Уайлз уже не мог - да и ни к чему это стало. Он провёл необходимое рассуждение в рамках теории Ивасава, и всё получилось за полчаса! Так - с опозданием в один год - была закрыта последняя брешь в доказательстве гипотезы Танияма. Итоговый текст был отдан на растерзание группе рецензентов известнейшего математического журнала, годом позже они заявили, что теперь ошибок нет. Таким образом, в 1995 году последняя гипотеза Ферма скончалась на трёхсотшестидесятом году своей жизни, превратившись в доказанную теорему, которая неизбежно войдёт в учебники теории чисел.

Подводя итог трёхвековой возне вокруг теоремы Ферма, приходится сделать странный вывод: этой геройской эпопеи могло и не быть! Действительно, теорема Пифагора выражает простую и важную связь между наглядными природным объектами - длинами отрезков. Но нельзя сказать то же самое о теореме Ферма. Она выглядит скорее как культурная надстройка на научном субстрате - вроде достижения Северного полюса Земли или полёта на Луну. Вспомним, что оба эти подвига были воспеты литераторами задолго до их свершения - ещё в античную эпоху, после появления «Начал» Евклида, но до появления «Арифметики» Диофанта. Значит, тогда возникла общественная потребность в интеллектуальных подвигах этого сорта - хотя бы воображаемых! Прежде эллинам хватало поэм Гомера, как за сто лет до Ферма французам хватало религиозных увлечений. Но вот религиозные страсти схлынули - и рядом с ними встала наука.

В России такие процессы начались полтораста лет назад, когда Тургенев поставил Евгения Базарова в один ряд с Евгением Онегиным. Правда, литератор Тургенев плохо понимал мотивы действий учёного Базарова и не решился их воспеть, но это вскоре сделали учёный Иван Сеченов и просвещённый журналист Жюль Верн. Стихийная научно-техническая революция нуждается в культурной оболочке, чтобы проникнуть в умы большинства людей, и вот появляется сперва научная фантастика, а за нею научно-популярная литература (включая журнал «Знание - сила»).

При этом конкретная научная тема совсем не важна для широкой публики и не очень важна даже для героев-исполнителей. Так, услыхав о достижении Северного полюса Пири и Куком, Амундсен мгновенно изменил цель своей уже подготовленной экспедиции - и вскоре достиг Южного полюса, опередив Скотта на один месяц. Позднее успешный полёт Юрия Гагарина вокруг Земли вынудил президента Кеннеди сменить прежнюю цель американской космической программы на более дорогую, но гораздо более впечатляющую: высадку людей на Луне.

Ещё раньше проницательный Гильберт на наивный вопрос студентов: «Решение какой научной задачи было бы сейчас наиболее полезно»? - ответил шуткой: «Поймать муху на обратной стороне Луны!» На недоумённый вопрос: «А зачем это нужно?» - последовал чёткий ответ: «ЭТО никому не нужно! Но подумайте о тех научных методах и технических средствах, которые нам придётся развить для решения такой проблемы - и какое множество иных красивых задач мы решим попутно!»

Именно так получилось с теоремой Ферма. Эйлер вполне мог её не заметить.

В таком случае кумиром математиков стала бы какая-нибудь другая задача - возможно, также из теории чисел. Например, проблема Эратосфена: конечно или бесконечно множество простых чисел-близнецов (таких, как 11 и 13, 17 и 19 и так далее)? Или проблема Эйлера: всякое ли чётное число является суммой двух простых чисел? Или: есть ли алгебраическое соотношение между числами π и e? Эти три проблемы до сих пор не решены, хотя в ХХ веке математики заметно приблизились к пониманию их сути. Но этот век породил и много новых, не менее интересных задач, особенно на стыках математики с физикой и другими ветвями естествознания.

Ещё в 1900 году Гильберт выделил одну из них: создать полную систему аксиом математической физики! Сто лет спустя эта проблема далека от решения - хотя бы потому, что арсенал математических средств физики неуклонно растёт, и не все они имеют строгое обоснование. Но после 1970 года теоретическая физика разделилась на две ветви. Одна (классическая) со времён Ньютона занимается моделированием и прогнозированием УСТОЙЧИВЫХ процессов, другая (новорождённая) пытается формализовать взаимодействие НЕУСТОЙЧИВЫХ процессов и пути управления ими. Ясно, что эти две ветви физики надо аксиоматизировать порознь.

С первой из них, вероятно, удастся справиться лет за двадцать или пятьдесят…

А чего не хватает второй ветви физики - той, которая ведает всяческой эволюцией (включая диковинные фракталы и странные аттракторы, экологию биоценозов и теорию пассионарности Гумилёва)? Это мы вряд ли скоро поймём. Но поклонение учёных новому кумиру уже стало массовым явлением. Вероятно, здесь развернётся эпопея, сравнимая с трёхвековой биографией теоремы Ферма. Так на стыках разных наук рождаются всё новые кумиры - подобные религиозным, но более сложные и динамичные…

Видимо, не может человек оставаться человеком, не свергая время от времени прежних кумиров и не сотворяя новых - в муках и с радостью! Пьеру Ферма повезло оказаться в роковой момент вблизи от горячей точки рождения нового кумира - и он сумел оставить на новорождённом отпечаток своей личности. Можно позавидовать такой судьбе, и не грех ей подражать.

Сергей Смирнов
«Знание-сила»

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.