स्वतंत्र एकसारखे वितरीत यादृच्छिक चल. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या बेरजेचे मानक विचलन

हे आधीच ज्ञात आहे की वितरण कायद्यानुसार यादृच्छिक व्हेरिएबलची संख्यात्मक वैशिष्ट्ये शोधू शकतात. हे खालीलप्रमाणे आहे की जर अनेक यादृच्छिक चलांचे समान वितरण असेल, तर त्यांची संख्यात्मक वैशिष्ट्ये सारखीच असतात.

चला विचार करूया पीपरस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चल एक्स 1 , एक्स 2 , ...., X p,ज्यांचे वितरण समान आहे, आणि म्हणून समान वैशिष्ट्ये (गणितीय अपेक्षा, फैलाव इ.). या परिमाणांच्या अंकगणित माध्यमाच्या संख्यात्मक वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करणे हे सर्वात जास्त स्वारस्य आहे, जे आपण या विभागात करणार आहोत.

द्वारे विचाराधीन यादृच्छिक चलांचे अंकगणितीय माध्य दर्शवू :

= (एक्स 1 +X 2 +…+X n)/n

खालील तीन तरतुदी अंकगणितीय सरासरीच्या संख्यात्मक वैशिष्ट्यांमधील संबंध स्थापित करतात एक्सआणि प्रत्येक वैयक्तिक प्रमाणाची संबंधित वैशिष्ट्ये.

1. समान रीतीने वितरीत केलेल्या परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या अंकगणितीय सरासरीची गणितीय अपेक्षा प्रत्येक मूल्याच्या गणितीय अपेक्षेइतकी आहे:

एम()=a

पुरावा. गणितीय अपेक्षेचे गुणधर्म वापरून (गणितीय अपेक्षेच्या चिन्हातून स्थिर घटक काढता येतो; बेरीजची गणितीय अपेक्षा अटींच्या गणितीय अपेक्षांच्या बेरजेइतकी असते), आमच्याकडे

एम( )= एम

अटीनुसार प्रत्येक राशीची गणितीय अपेक्षा समान आहे हे लक्षात घेऊन अ,आम्हाला मिळते

एम()=na/n=a.

2. n समान रीतीने वितरित परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचे अंकगणितीय माध्यचे विखुरणे प्रत्येक मूल्याच्या फैलाव D पेक्षा n पट कमी आहे:

डी()=D/n(* )

पुरावा. फैलावण्याच्या गुणधर्मांचा वापर करून (विभागणी चिन्हातून स्थिर घटक काढता येतो; स्वतंत्र प्रमाणांच्या बेरजेचे विखुरणे अटींच्या विखुरण्याच्या बेरजेइतके असते)

डी( )=D

स्थितीनुसार प्रत्येक परिमाणांचा फरक समान आहे हे लक्षात घेऊन डी,आम्हाला मिळते

डी( )= nD/n 2 =D/n.

3. n समान रीतीने वितरित परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचे अंकगणितीय सरासरीचे मानक विचलन मानक विचलनापेक्षा कित्येक पट कमी आहे s प्रत्येक प्रमाण:

पुरावा. कारण डी()= D/n,नंतर मानक विचलन समान आहे

s ( )= .

सूत्र (*) आणि (**) पासून सामान्य निष्कर्ष: विखुरणे आणि मानक विचलन यादृच्छिक चलांच्या फैलावाचे उपाय म्हणून काम करतात हे लक्षात ठेवून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या पुरेशा मोठ्या संख्येचा अंकगणितीय माध्य लक्षणीयरीत्या कमी आहे. प्रत्येक वैयक्तिक मूल्यापेक्षा फैलाव.

सरावासाठी या निष्कर्षाचे महत्त्व उदाहरणासह स्पष्ट करूया.

उदाहरण.सामान्यतः, विशिष्ट भौतिक प्रमाण मोजण्यासाठी, अनेक मोजमाप केले जातात, आणि नंतर प्राप्त संख्यांचे अंकगणितीय माध्य शोधले जाते, जे मोजलेल्या प्रमाणाचे अंदाजे मूल्य म्हणून घेतले जाते. मोजमाप समान परिस्थितीत केले जातात असे गृहीत धरून, सिद्ध करा:

अ) अंकगणित सरासरी वैयक्तिक मोजमापांपेक्षा अधिक विश्वासार्ह परिणाम देते;

ब) मोजमापांच्या संख्येत वाढ झाल्यामुळे, या निकालाची विश्वासार्हता वाढते.

उपाय. अ) हे ज्ञात आहे की वैयक्तिक मोजमाप मोजलेल्या प्रमाणाची भिन्न मूल्ये देतात. प्रत्येक मोजमापाचा परिणाम अनेक यादृच्छिक कारणांवर अवलंबून असतो (तापमानातील बदल, साधन चढउतार इ.), ज्याचा पूर्णपणे आगाऊ विचार केला जाऊ शकत नाही.

म्हणून, आम्हाला संभाव्य परिणामांचा विचार करण्याचा अधिकार आहे nयादृच्छिक चल म्हणून वैयक्तिक मोजमाप एक्स 1 , एक्स 2 , ..., X p(निर्देशांक मापन क्रमांक दर्शवितो). या प्रमाणांमध्ये समान संभाव्यता वितरण आहे (मापे समान पद्धत वापरून आणि समान उपकरणांसह केली जातात), आणि म्हणून समान संख्यात्मक वैशिष्ट्ये; याव्यतिरिक्त, ते परस्पर स्वतंत्र आहेत (प्रत्येक वैयक्तिक मोजमापाचा परिणाम इतर मोजमापांवर अवलंबून नाही).

आम्हांला आधीच माहित आहे की अशा प्रमाणांच्या अंकगणितीय माध्यामध्ये प्रत्येक वैयक्तिक प्रमाणापेक्षा कमी फैलाव असतो. दुस-या शब्दात, अंकगणित सरासरी वेगळ्या मोजमापाच्या परिणामापेक्षा मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्याच्या जवळ निघते. याचा अर्थ अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य एका मोजमापापेक्षा अधिक विश्वासार्ह परिणाम देते.

b) आपल्याला आधीच माहित आहे की वैयक्तिक यादृच्छिक चलांची संख्या जसजशी वाढते तसतसे अंकगणित सरासरीचे विखुरलेले प्रमाण कमी होते. याचा अर्थ असा की मोजमापांची संख्या जसजशी वाढते तसतसे अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्यापेक्षा कमी कमी होत जाते. अशा प्रकारे, मोजमापांची संख्या वाढवून, अधिक विश्वासार्ह परिणाम प्राप्त होतो.

उदाहरणार्थ, जर वैयक्तिक मोजमापाचे मानक विचलन s= 6 मीटर असेल आणि एकूण n= 36 मोजमाप, तर या मोजमापांच्या अंकगणित सरासरीचे मानक विचलन फक्त 1 मी आहे. खरंच,

s ( )=

आपण पाहतो की अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य, एखाद्याच्या अपेक्षेप्रमाणे, वेगळ्या मापनाच्या परिणामापेक्षा मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्याच्या जवळ निघाले.

ते म्हणतात स्वतंत्र (आणि) समान वितरीत, जर त्यांच्यापैकी प्रत्येकाचे वितरण इतरांसारखेच असेल आणि सर्व परिमाण एकत्रितपणे स्वतंत्र असतील. "स्वतंत्र एकसारखे वितरीत" हा वाक्यांश सहसा संक्षिप्त केला जातो i.i.d(इंग्रजीतून स्वतंत्र आणि समान-वितरीत ), कधीकधी - “n.o.r”.

अर्ज

यादृच्छिक व्हेरिएबल्स स्वतंत्र असतात आणि समान रीतीने वितरीत केले जातात हे गृहितक संभाव्यता सिद्धांत आणि आकडेवारीमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते, कारण ते एखाद्याला सैद्धांतिक गणना मोठ्या प्रमाणात सुलभ करण्यास आणि मनोरंजक परिणाम सिद्ध करण्यास अनुमती देते.

संभाव्यता सिद्धांताच्या मुख्य प्रमेयांपैकी एक - मध्यवर्ती मर्यादा प्रमेय - असे सांगते की जर स्वतंत्रपणे वितरित यादृच्छिक चलांचा एक क्रम असेल, तर, ते अनंताकडे झुकत असताना, त्यांच्या सरासरीचे वितरण - यादृच्छिक चल सामान्य वितरणामध्ये एकत्रित होते.

सांख्यिकीमध्ये, साधारणपणे असे गृहीत धरले जाते की सांख्यिकीय नमुना हा i.i.d.चा एक क्रम आहे. काही यादृच्छिक व्हेरिएबलची प्राप्ती (अशा नमुनाला म्हणतात सोपे).

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

म्हणजे
इंटेल ८०४८

इतर शब्दकोषांमध्ये "स्वतंत्रपणे वितरित यादृच्छिक चल" काय आहेत ते पहा:

जुगाराची नासाडी समस्या- खेळाडूच्या नाशाची समस्या ही संभाव्यता सिद्धांताच्या क्षेत्रातील समस्या आहे. "संभाव्यता" या मोनोग्राफमध्ये रशियन गणितज्ञ ए.एन. शिर्याएव यांनी तपशीलवार विचार केला आहे ... विकिपीडिया

शाश्वत वितरण- संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, हे एक वितरण आहे जे स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या बेरजेच्या वितरणावर मर्यादा म्हणून प्राप्त केले जाऊ शकते. सामग्री 1 व्याख्या 2 नोट्स ... विकिपीडिया

स्थिर वितरणासाठी लेव्ही-खिंचिन सूत्र- संभाव्यता सिद्धांतातील स्थिर वितरण हे असे वितरण आहे जे स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या बेरजेच्या वितरणावर मर्यादा म्हणून प्राप्त केले जाऊ शकते. सामग्री 1 व्याख्या 2 टिप्पणी 3 स्थिर वितरणाचे गुणधर्म ... विकिपीडिया

अनंत विभाज्य वितरण- संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, हे यादृच्छिक चलचे वितरण आहे जसे की ते स्वतंत्र, समान वितरीत संज्ञांच्या अनियंत्रित संख्येच्या स्वरूपात प्रस्तुत केले जाऊ शकते. सामग्री 1 व्याख्या ... विकिपीडिया

क्रेमर-लंडबर्ग मॉडेल- क्रेमर लुंडबर्ग मॉडेल हे एक गणितीय मॉडेल आहे जे तुम्हाला विमा कंपनीच्या नाशाच्या जोखमीचे मूल्यांकन करण्यास अनुमती देते. या मॉडेलच्या चौकटीत, असे गृहीत धरले जाते की विम्याचे प्रीमियम समान रीतीने, पारंपारिक आर्थिक युनिट्स प्रति युनिट दराने प्राप्त होतात... ... विकिपीडिया

अनंत विभाज्य वितरणासाठी लेव्ही-खिंचिन सूत्र- संभाव्यता सिद्धांतातील असीम विभाज्य वितरण हे यादृच्छिक चलचे वितरण आहे जसे की ते स्वतंत्र, समान वितरीत पदांच्या अनियंत्रित संख्या म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. सामग्री 1 व्याख्या 2 ... ... विकिपीडिया

क्रेमर मॉडेल- हा लेख विकिफाईड असावा. कृपया लेखाच्या स्वरूपन नियमांनुसार त्याचे स्वरूपन करा. क्रॅमर लुंडबर्ग मॉडेल हे एक गणितीय मॉडेल आहे जे एखाद्याला विमा कंपनीच्या दिवाळखोरीच्या जोखमीचे मूल्यांकन करण्यास अनुमती देते... विकिपीडिया

स्वीकृती सांख्यिकीय नियंत्रण- निर्दिष्ट आवश्यकतांसह त्यांचे अनुपालन ओळखण्यासाठी वस्तुमान उत्पादनांचे निरीक्षण करण्यासाठी सांख्यिकीय पद्धतींचा संच. P.S. j. वस्तुमान उत्पादनांची चांगली गुणवत्ता सुनिश्चित करण्याचे प्रभावी माध्यम. P.S. वर चालते....... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

बहुपदी वितरण- संभाव्यता सिद्धांतातील बहुपदी (बहुपदी) वितरण हे अनेक संभाव्य परिणामांसह यादृच्छिक प्रयोगाच्या स्वतंत्र चाचण्यांच्या बाबतीत द्विपदी वितरणाचे सामान्यीकरण आहे. व्याख्या स्वतंत्र होऊ द्या... ... विकिपीडिया

बहुपदी वितरण- संभाव्यता सिद्धांतातील बहुपदी (बहुपदी) वितरण हे अनेक संभाव्य परिणामांसह यादृच्छिक प्रयोगाच्या स्वतंत्र चाचण्यांच्या बाबतीत द्विपदी वितरणाचे सामान्यीकरण आहे. व्याख्या: स्वतंत्र समान असू द्या... ... विकिपीडिया

बऱ्याच व्यावहारिक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, परिस्थितीचा एक संच माहित असणे आवश्यक आहे ज्यामुळे मोठ्या संख्येने यादृच्छिक घटकांच्या एकत्रित प्रभावाचा परिणाम जवळजवळ संधीपासून स्वतंत्र असतो. या परिस्थितींचे वर्णन अनेक प्रमेयांमध्ये केले आहे, ज्यांना एकत्रितपणे मोठ्या संख्येचा नियम म्हणतात, जेथे यादृच्छिक चल k 1 किंवा 0 च्या बरोबरीने kth चाचणीचा निकाल यशस्वी किंवा अपयशी आहे यावर अवलंबून आहे. अशा प्रकारे, Sn ही n परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांची बेरीज आहे, ज्यातील प्रत्येक मूल्ये p आणि q संभाव्यतेसह 1 आणि 0 घेते.

मोठ्या संख्येच्या नियमाचा सर्वात सोपा प्रकार म्हणजे बर्नौलीचे प्रमेय, ज्यामध्ये असे म्हटले आहे की जर एखाद्या घटनेची संभाव्यता सर्व चाचण्यांमध्ये सारखीच असेल, तर चाचण्यांची संख्या जसजशी वाढते तसतसे घटनेची वारंवारता घटनेच्या संभाव्यतेकडे झुकते आणि यादृच्छिक होणे थांबते.

पॉसन्सचे प्रमेयअसे नमूद करते की स्वतंत्र चाचण्यांच्या मालिकेतील घटनेची वारंवारता त्याच्या संभाव्यतेच्या अंकगणितीय माध्यमाकडे झुकते आणि यादृच्छिकपणे थांबते.

संभाव्यता सिद्धांताची मर्यादा प्रमेय, मोइव्रे-लॅप्लेस प्रमेय घटनेच्या वारंवारतेच्या स्थिरतेचे स्वरूप स्पष्ट करते. हे स्वरूप या वस्तुस्थितीत आहे की चाचणीच्या संख्येत अमर्यादित वाढीसह घटनेच्या घटनांच्या संख्येचे मर्यादित वितरण (जर इव्हेंटची संभाव्यता सर्व चाचण्यांमध्ये समान असेल तर) एक सामान्य वितरण आहे.

केंद्रीय मर्यादा प्रमेयसामान्य वितरण कायद्याचे व्यापक वितरण स्पष्ट करते. प्रमेय असे सांगते की जेव्हा जेव्हा मर्यादित व्हेरिएबल्ससह मोठ्या संख्येने स्वतंत्र यादृच्छिक व्हेरिएबल्स जोडल्या गेल्याने एक यादृच्छिक चल तयार होतो, तेव्हा या यादृच्छिक चलचा वितरण नियम जवळजवळ सामान्य नियम बनतो.

ल्यापुनोव्हचे प्रमेयसामान्य वितरण कायद्याचे व्यापक वितरण स्पष्ट करते आणि त्याच्या निर्मितीची यंत्रणा स्पष्ट करते. प्रमेय आपल्याला हे सांगण्यास अनुमती देते की जेव्हा जेव्हा मोठ्या संख्येने स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या जोडणीच्या परिणामी एक यादृच्छिक चल तयार होते, ज्यातील भिन्नता बेरीजच्या विखुरण्याच्या तुलनेत लहान असतात, तेव्हा या यादृच्छिक चलचा वितरण नियम वळतो. जवळजवळ सामान्य कायदा आहे. आणि यादृच्छिक व्हेरिएबल्स नेहमी असीम कारणांमुळे निर्माण होतात आणि बहुतेकदा त्यापैकी कोणत्याहीमध्ये यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या विखुरण्याशी तुलना करता येत नसल्यामुळे, व्यवहारात आढळणारी बहुतेक यादृच्छिक चल सामान्य वितरण कायद्याच्या अधीन असतात.

मोठ्या संख्येच्या कायद्याची गुणात्मक आणि परिमाणवाचक विधाने यावर आधारित आहेत चेबिशेव्ह असमानता. हे यादृच्छिक चलच्या मूल्याचे त्याच्या गणितीय अपेक्षेपासून विचलन विशिष्ट निर्दिष्ट संख्येपेक्षा जास्त असण्याच्या संभाव्यतेवर वरची सीमा निर्धारित करते. हे उल्लेखनीय आहे की चेबिशेव्हची असमानता एका यादृच्छिक चलच्या घटनेच्या संभाव्यतेचा अंदाज देते ज्याचे वितरण अज्ञात आहे, फक्त त्याची गणितीय अपेक्षा आणि भिन्नता ज्ञात आहे.

चेबिशेव्हची असमानता. यादृच्छिक चल x मध्ये भिन्नता असल्यास, कोणत्याही x > 0 साठी असमानता सत्य आहे, जेथे एम x आणि डी x - यादृच्छिक चल x चे गणितीय अपेक्षा आणि भिन्नता.

बर्नौलीचे प्रमेय. x n ही n बर्नौली चाचण्यांमधील यशांची संख्या आणि p वैयक्तिक चाचणीतील यशाची संभाव्यता असू द्या. मग कोणत्याही s > 0 साठी ते खरे आहे.

ल्यापुनोव्हचे प्रमेय. s 1, s 2, …, s n, … गणितीय अपेक्षा m 1, m 2, …, m n, … आणि s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. सह स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा अमर्यादित क्रम असू द्या. चला सूचित करूया.

नंतर = Ф(b) - Ф(a) कोणत्याही वास्तविक संख्या a आणि b साठी, जेथे Ф(x) हे सामान्य वितरण कार्य आहे.

एक स्वतंत्र यादृच्छिक चल देऊ द्या. चाचण्यांच्या संख्येवर Sn यशाच्या संख्येच्या अवलंबनाचा विचार करूया. प्रत्येक चाचणीसाठी, Sn 1 किंवा 0 ने वाढतो. हे विधान असे लिहिले जाऊ शकते:

Sn = 1 +…+ n. (१.१)

मोठ्या संख्येचा कायदा. (k) समान वितरणासह परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा एक क्रम असू द्या. जर गणितीय अपेक्षा = M(k) अस्तित्वात असेल, तर n साठी कोणत्याही > 0 साठी

दुस-या शब्दात, सरासरी S n / n गणितीय अपेक्षेपेक्षा अनियंत्रितपणे दिलेल्या मूल्यापेक्षा कमी असण्याची संभाव्यता एकाकडे झुकते.

केंद्रीय मर्यादा प्रमेय.(k) समान वितरणासह परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा एक क्रम असू द्या. ते अस्तित्वात आहेत असे मानू या. Sn = 1 +…+ n , नंतर कोणत्याही निश्चित साठी

F () -- F () (1.3)

येथे Ф(х) हे सामान्य वितरण कार्य आहे. हे प्रमेय लिनलबर्गने तयार केले आणि सिद्ध केले. ल्यापुनोव्ह आणि इतर लेखकांनी हे आधी सिद्ध केले आहे, अधिक प्रतिबंधात्मक परिस्थितीत. अशी कल्पना करणे आवश्यक आहे की वर तयार केलेले प्रमेय हे अधिक सामान्य प्रमेयाचे केवळ एक विशेष प्रकरण आहे, जे इतर अनेक मर्यादा प्रमेयांशी जवळून संबंधित आहे. लक्षात घ्या की (1.3) (1.2) पेक्षा खूप मजबूत आहे, कारण (1.3) संभाव्यतेचा अंदाज देते की फरक जास्त आहे. दुसरीकडे, यादृच्छिक चल k मध्ये मर्यादित भिन्नता नसली तरीही मोठ्या संख्येचा नियम (1.2) सत्य आहे, म्हणून तो केंद्रीय मर्यादा प्रमेय (1.3) पेक्षा अधिक सामान्य केसला लागू होतो. शेवटची दोन प्रमेये उदाहरणांसह स्पष्ट करू.

उदाहरणे.अ) सममितीय डाईच्या स्वतंत्र थ्रोच्या क्रमाचा विचार करा. k ही kth फेक दरम्यान मिळालेल्या गुणांची संख्या मानू. मग

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 आणि S n /n

n फेकल्यामुळे प्राप्त होणाऱ्या गुणांची सरासरी संख्या आहे.

मोठ्या संख्येचा नियम असे सांगतो की मोठ्या संख्येसाठी ही सरासरी 3.5 च्या जवळ असेल हे वाजवी आहे. केंद्रीय मर्यादा प्रमेय संभाव्यता सांगते की |Sn -- 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) नमुना घेणे. आपण असे गृहीत धरू की सामान्य लोकांमध्ये,

N कुटुंबांचा समावेश आहे, Nk कुटुंबांना प्रत्येकी k मुले आहेत

(k = 0, 1 ...; Nk = N). जर एखादे कुटुंब यादृच्छिकपणे निवडले असेल, तर त्यातील मुलांची संख्या ही एक यादृच्छिक चल असते जी p = N/N संभाव्यतेसह मूल्य घेते. बॅक-टू- बॅक सिलेक्शनमध्ये, n स्वतंत्र यादृच्छिक व्हेरिएबल्स किंवा "निरीक्षण" 1, ..., n या सर्वांचे वितरण समान आहे असे n आकार n चा नमुना पाहता येईल; S n / n हा नमुना सरासरी आहे. मोठ्या संख्येचा कायदा असे सांगतो की मोठ्या प्रमाणातील यादृच्छिक नमुन्यासाठी, त्याची सरासरी ही लोकसंख्येच्या सरासरीच्या जवळपास असण्याची शक्यता असते. मध्यवर्ती मर्यादा प्रमेय एखाद्याला या माध्यमांमधील विसंगतीच्या संभाव्य विशालतेचा अंदाज लावू देतो आणि विश्वासार्ह अंदाजासाठी आवश्यक नमुना आकार निर्धारित करतो. सराव मध्ये, आणि आणि सहसा अज्ञात आहेत; तथापि, बहुतेक प्रकरणांमध्ये प्राथमिक अंदाज प्राप्त करणे सोपे आहे आणि ते नेहमी विश्वसनीय सीमांमध्ये संलग्न केले जाऊ शकते. जर आम्हाला 0.99 किंवा त्याहून अधिक संभाव्यता हवी असेल की नमुन्याचा अर्थ S n / n अज्ञात लोकसंख्येपेक्षा 1/10 पेक्षा कमी असेल तर नमुना आकार असा घेतला पाहिजे

F(x) - F(-- x) = 0.99 या समीकरणाचे x रूट x = 2.57 ... च्या बरोबरीचे आहे, आणि म्हणून n हे 2.57 किंवा n > 660 असे असले पाहिजे. एक काळजीपूर्वक प्राथमिक अंदाज आवश्यक नमुना आकार शोधणे शक्य करते.

c) विष वितरण.

समजा की यादृच्छिक चल k मध्ये पॉसॉन वितरण (p(k;)) आहे. नंतर Sn मध्ये पॉसॉन वितरण आहे ज्यामध्ये n च्या बरोबरीचा मध्य आणि भिन्नता आहे.

n ऐवजी लिहून, आम्ही निष्कर्ष काढतो की n साठी

बेरीज 0 ते सर्व k वर केली जाते. Ph-la (1.5) देखील अनियंत्रित मार्गाने धारण करते.

चला विचार करूया nपरस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चल एक्स 1 , एक्स 2 , …,एक्स एन, ज्यांचे वितरण समान आहे आणि म्हणून समान वैशिष्ट्ये (गणितीय अपेक्षा, फैलाव इ.). या परिमाणांच्या अंकगणितीय सरासरीच्या संख्यात्मक वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करणे हे सर्वात जास्त स्वारस्य आहे.

विचाराधीन असलेल्या यादृच्छिक चलांचा अंकगणितीय अर्थ याद्वारे दर्शवूया:

खालील तीन तरतुदी अंकगणित सरासरीची संख्यात्मक वैशिष्ट्ये आणि प्रत्येक वैयक्तिक मूल्याची संबंधित वैशिष्ट्ये यांच्यातील संबंध स्थापित करतात.

1. समान रीतीने वितरीत केलेल्या परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या अंकगणितीय सरासरीची गणितीय अपेक्षा प्रत्येक व्हेरिएबल्सच्या गणितीय अपेक्षेइतकी असते:

पुरावा.गणितीय अपेक्षेचे गुणधर्म वापरून (गणितीय अपेक्षेच्या चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो; बेरीजची गणितीय अपेक्षा अटींच्या गणितीय अपेक्षांच्या बेरजेइतकी असते)

अटीनुसार प्रत्येक राशीची गणितीय अपेक्षा समान आहे हे लक्षात घेऊन ए, आम्हाला मिळते

2. अंकगणित सरासरीचा फैलाव nमध्ये परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चल वितरीत केले nपट कमी फरक डीप्रत्येक प्रमाण:

पुरावा. फैलावचे गुणधर्म वापरून (विभागणी चिन्हातून स्थिर घटक काढता येतो; स्वतंत्र प्रमाणांच्या बेरजेचे विखुरणे अटींच्या विखुरण्याच्या बेरजेइतके असते)

स्थितीनुसार प्रत्येक परिमाणांचा फरक समान आहे हे लक्षात घेऊन डी, आम्हाला मिळते

3. अंकगणित सरासरीचे मानक विचलन nसमान रीतीने वितरीत केलेले परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चल प्रत्येक मूल्याच्या मानक विचलन a पेक्षा पट कमी असतात:

पुरावा. पासून, नंतर मानक विचलन समान आहे

सूत्र (7.3) आणि (7.4) मधील सामान्य निष्कर्ष: विखुरणे आणि मानक विचलन हे यादृच्छिक चलांच्या फैलावाचे उपाय म्हणून काम करतात हे लक्षात ठेवून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या पुरेशा मोठ्या संख्येच्या अंकगणितीय सरासरीमध्ये लक्षणीय घट आहे. प्रत्येक वैयक्तिक मूल्यापेक्षा फैलाव.

सरावासाठी या निष्कर्षाचे महत्त्व उदाहरणासह स्पष्ट करूया.

अ) अंकगणित सरासरी वैयक्तिक मोजमापांपेक्षा अधिक विश्वासार्ह परिणाम देते;

ब) मोजमापांच्या संख्येत वाढ झाल्यामुळे, या निकालाची विश्वासार्हता वाढते.

उपाय. अ) हे ज्ञात आहे की वैयक्तिक मोजमाप मोजलेल्या प्रमाणाची भिन्न मूल्ये देतात. प्रत्येक मोजमापाचा परिणाम अनेक यादृच्छिक कारणांवर अवलंबून असतो (तापमानातील बदल, साधन चढउतार इ.), ज्याचा पूर्णपणे आगाऊ विचार केला जाऊ शकत नाही.

म्हणून, आम्हाला संभाव्य परिणामांचा विचार करण्याचा अधिकार आहे nयादृच्छिक चल म्हणून वैयक्तिक मोजमाप एक्स 1 , एक्स 2 , …,एक्स एन(निर्देशांक मापन क्रमांक दर्शवितो). या प्रमाणांमध्ये समान संभाव्यता वितरण आहे (मापे समान पद्धत वापरून आणि समान उपकरणांसह केली जातात), आणि म्हणून समान संख्यात्मक वैशिष्ट्ये; याव्यतिरिक्त, ते परस्पर स्वतंत्र आहेत (प्रत्येक वैयक्तिक मोजमापाचा परिणाम इतर मोजमापांवर अवलंबून नाही).

दर्शविल्याप्रमाणे, अशा परिमाणांचे अंकगणितीय माध्य प्रत्येक वैयक्तिक प्रमाणापेक्षा कमी विखुरलेले असते. दुस-या शब्दात, अंकगणित सरासरी वेगळ्या मोजमापाच्या परिणामापेक्षा मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्याच्या जवळ निघते. याचा अर्थ अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य एका मोजमापापेक्षा अधिक विश्वासार्ह परिणाम देते.

b) हे ज्ञात आहे की वैयक्तिक यादृच्छिक चलांची संख्या जसजशी वाढते तसतसे अंकगणितीय सरासरीचे विखुरलेले प्रमाण कमी होते. याचा अर्थ असा की मोजमापांची संख्या जसजशी वाढते तसतसे अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्यापेक्षा कमी कमी होत जाते. अशा प्रकारे, मोजमापांची संख्या वाढवून, अधिक विश्वासार्ह परिणाम प्राप्त होतो.

उदाहरणार्थ, जर वैयक्तिक मोजमापाचे मानक विचलन s = 6 m, आणि एकूण n= 36 मोजमाप, तर या मोजमापांच्या अंकगणित सरासरीचे मानक विचलन फक्त 1 मी आहे. खरंच,

साहजिकच, अनेक मोजमापांचे अंकगणितीय माध्य, एखाद्याच्या अपेक्षेप्रमाणे, वेगळ्या मोजमापाच्या परिणामापेक्षा मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्याच्या जवळ निघाले.

अभ्यासक्रमाचे काम

विषयावर: "मोठ्या संख्येचे कायदे"

एकसारखे वितरीत यादृच्छिक चल

पॉसॉनचे प्रमेय असे सांगते की स्वतंत्र चाचण्यांच्या मालिकेतील घटनेची वारंवारता तिच्या संभाव्यतेच्या अंकगणितीय माध्यमाकडे झुकते आणि यादृच्छिकपणे थांबते.

केंद्रीय मर्यादा प्रमेय सामान्य वितरण कायद्याचे व्यापक वितरण स्पष्ट करते. प्रमेय असे सांगते की जेव्हा जेव्हा मर्यादित व्हेरिएबल्ससह मोठ्या संख्येने स्वतंत्र यादृच्छिक व्हेरिएबल्स जोडल्या गेल्याने एक यादृच्छिक चल तयार होतो, तेव्हा या यादृच्छिक चलचा वितरण नियम जवळजवळ सामान्य नियम बनतो.

ल्यापुनोव्हचे प्रमेय सामान्य वितरण कायद्याचे व्यापक वितरण स्पष्ट करते आणि त्याच्या निर्मितीची यंत्रणा स्पष्ट करते. प्रमेय आपल्याला हे सांगण्यास अनुमती देते की जेव्हा जेव्हा मोठ्या संख्येने स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या जोडणीच्या परिणामी एक यादृच्छिक चल तयार होते, ज्यातील भिन्नता बेरीजच्या विखुरण्याच्या तुलनेत लहान असतात, तेव्हा या यादृच्छिक चलचा वितरण नियम वळतो. जवळजवळ सामान्य कायदा आहे. आणि यादृच्छिक व्हेरिएबल्स नेहमी असीम कारणांमुळे निर्माण होतात आणि बहुतेकदा त्यापैकी कोणत्याहीमध्ये यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या विखुरण्याशी तुलना करता येत नसल्यामुळे, व्यवहारात आढळणारी बहुतेक यादृच्छिक चल सामान्य वितरण कायद्याच्या अधीन असतात.

चेबिशेव्हची असमानता. यादृच्छिक चल x मध्ये भिन्नता असल्यास, कोणत्याही x > 0 साठी असमानता सत्य आहे, जेथे एम x आणि डी x - यादृच्छिक चल x चे गणितीय अपेक्षा आणि भिन्नता.

बर्नौलीचे प्रमेय. x n ही n बर्नौली चाचण्यांमधील यशांची संख्या आणि p वैयक्तिक चाचणीतील यशाची संभाव्यता असू द्या. नंतर, कोणत्याही s > 0 साठी, .

ल्यापुनोव्हचे प्रमेय. चला s 1 , s 2 , …, s n , … गणितीय अपेक्षा m 1 , m 2 , … , m n , … आणि s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … सह स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा अमर्यादित क्रम असू द्या. चला , , , .

Sn = 1 +…+ n. (१.१)

मोठ्या संख्येचा कायदा. (k) समान वितरणासह परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा एक क्रम असू द्या. जर गणितीय अपेक्षा = M(k) अस्तित्वात असेल, तर n साठी कोणत्याही > 0 साठी

केंद्रीय मर्यादा प्रमेय. (k) समान वितरणासह परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चलांचा एक क्रम असू द्या. ते अस्तित्वात आहेत असे मानू या. Sn = 1 +…+ n , नंतर कोणत्याही निश्चित साठी

F () - F () (1.3)

येथे Ф(х) हे सामान्य वितरण कार्य आहे. हे प्रमेय लिनलबर्गने तयार केले आणि सिद्ध केले. ल्यापुनोव्ह आणि इतर लेखकांनी हे आधी सिद्ध केले आहे, अधिक प्रतिबंधात्मक परिस्थितीत. अशी कल्पना करणे आवश्यक आहे की वर तयार केलेले प्रमेय हे अधिक सामान्य प्रमेयाचे केवळ एक विशेष प्रकरण आहे, जे इतर अनेक मर्यादा प्रमेयांशी जवळून संबंधित आहे. लक्षात घ्या की (1.3) (1.2) पेक्षा खूप मजबूत आहे, कारण (1.3) संभाव्यतेचा अंदाज देते की फरक पेक्षा जास्त आहे. दुसरीकडे, यादृच्छिक चल k मध्ये मर्यादित भिन्नता नसली तरीही मोठ्या संख्येचा नियम (1.2) सत्य आहे, म्हणून तो केंद्रीय मर्यादा प्रमेय (1.3) पेक्षा अधिक सामान्य केसला लागू होतो. शेवटची दोन प्रमेये उदाहरणांसह स्पष्ट करू.

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 आणि S n /n

n फेकल्यामुळे प्राप्त होणाऱ्या गुणांची सरासरी संख्या आहे.

मोठ्या संख्येचा नियम असे सांगतो की मोठ्या संख्येसाठी ही सरासरी 3.5 च्या जवळ असेल हे वाजवी आहे. केंद्रीय मर्यादा प्रमेय संभाव्यता दर्शवते की |Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) नमुना घेणे. आपण असे गृहीत धरू की सामान्य लोकांमध्ये,

N कुटुंबांचा समावेश आहे, Nk कुटुंबांना प्रत्येकी k मुले आहेत

(k = 0, 1 ...; Nk = N). जर एखादे कुटुंब यादृच्छिकपणे निवडले असेल, तर त्यातील मुलांची संख्या ही एक यादृच्छिक चल असते जी p = N /N संभाव्यतेसह मूल्य घेते. बॅक-टू- बॅक सिलेक्शनमध्ये, n स्वतंत्र यादृच्छिक व्हेरिएबल्स किंवा "निरीक्षण" 1, ..., n या सर्वांचे वितरण समान आहे असे n आकार n चा नमुना पाहता येईल; S n / n हा नमुना सरासरी आहे. मोठ्या संख्येचा कायदा असे सांगतो की मोठ्या प्रमाणातील यादृच्छिक नमुन्यासाठी, सरासरी, म्हणजे लोकसंख्येच्या सरासरीच्या जवळ असण्याची शक्यता आहे. मध्यवर्ती मर्यादा प्रमेय एखाद्याला या माध्यमांमधील विसंगतीच्या संभाव्य विशालतेचा अंदाज लावू देतो आणि विश्वासार्ह अंदाजासाठी आवश्यक नमुना आकार निर्धारित करतो. सराव मध्ये, आणि आणि सहसा अज्ञात आहेत; तथापि, बहुतेक प्रकरणांमध्ये प्राथमिक अंदाज प्राप्त करणे सोपे आहे आणि ते नेहमी विश्वसनीय सीमांमध्ये संलग्न केले जाऊ शकते. जर आम्हाला 0.99 किंवा त्याहून अधिक संभाव्यता हवी असेल की नमुन्याचा अर्थ S n / n अज्ञात लोकसंख्येपेक्षा 1/10 पेक्षा कमी असेल तर नमुना आकार असा घेतला पाहिजे

F(x) - F(- x) = 0.99 या समीकरणाचे x रूट x = 2.57 ... आहे, आणि म्हणून n हे 2.57 किंवा n > 660 असे असले पाहिजे. एक काळजीपूर्वक प्राथमिक अंदाज आवश्यक नमुना आकार शोधणे शक्य करते.

c) विष वितरण.

समजा यादृच्छिक चल k मध्ये पॉसॉन वितरण (p(k; )) आहे. नंतर Sn मध्ये पॉसॉन वितरण आहे ज्यामध्ये n च्या बरोबरीचा मध्य आणि भिन्नता आहे.

n ऐवजी लिहिताना, आम्ही निष्कर्ष काढतो की n साठी

बेरीज सर्व k वर 0 ते . Ph-la (1.5) देखील अनियंत्रित मार्गाने धारण करते.