Co je to konvexní mnohoúhelník. Mnohoúhelník, konvexní mnohoúhelník, čtyřúhelník

V 8. ročníku se žáci v hodinách geometrie ve škole poprvé seznamují s pojmem konvexní mnohoúhelník. Velmi brzy zjistí, že tato postava má velmi zajímavou vlastnost. Bez ohledu na to, jak složitý může být, součet všech vnitřních a vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku nabývá přesně definované hodnoty. V tomto článku učitel matematiky a fyziky mluví o tom, jaký je součet úhlů konvexního mnohoúhelníku.

Součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku

Jak dokázat tento vzorec?

Než přistoupíme k důkazu tohoto tvrzení, připomeneme si, který polygon se nazývá konvexní. Mnohoúhelník se nazývá konvexní, pokud leží celý na jedné straně čáry obsahující kteroukoli z jeho stran. Například ten, který je na tomto obrázku:

Pokud polygon nesplňuje uvedenou podmínku, pak se nazývá nekonvexní. Například takto:

Součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku je , kde je počet stran mnohoúhelníku.

Důkazem této skutečnosti je všem školákům dobře známá věta o součtu úhlů v trojúhelníku. Jsem si jist, že tuto větu znáte. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je .

Cílem je rozdělit konvexní mnohoúhelník na více trojúhelníků. To lze provést různými způsoby. Podle toho, jakou metodu zvolíme, se budou důkazy mírně lišit.

1. Rozdělte konvexní mnohoúhelník na trojúhelníky všemi možnými úhlopříčkami nakreslenými z nějakého vrcholu. Je snadné pochopit, že náš n-úhelník bude rozdělen na trojúhelníky:

Navíc součet všech úhlů všech výsledných trojúhelníků je roven součtu úhlů našeho n-úhelníku. Každý úhel ve výsledných trojúhelnících je totiž dílčím úhlem v našem konvexním mnohoúhelníku. To znamená, že požadovaná částka se rovná .

2. Můžete také vybrat bod uvnitř konvexního mnohoúhelníku a připojit jej ke všem vrcholům. Potom bude náš n-úhelník rozdělen na trojúhelníky:

Navíc součet úhlů našeho mnohoúhelníku v tomto případě bude roven součtu všech úhlů všech těchto trojúhelníků mínus středový úhel, který se rovná . To znamená, že požadovaná částka se opět rovná .

Součet vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku

Položme si nyní otázku: Jaký je součet vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku? Na tuto otázku lze odpovědět následujícím způsobem. Každý vnější roh sousedí s odpovídajícím vnitřním rohem. Proto se rovná:

Pak součet všech vnějších úhlů je . To znamená, že se rovná .

To je velmi vtipný výsledek. Pokud odložíme postupně jeden po druhém všechny vnější rohy libovolného konvexního n-úhelníku, pak bude vyplněna přesně celá rovina.

Tento zajímavý fakt lze ilustrovat následovně. Pojďme proporcionálně zmenšit všechny strany nějakého konvexního mnohoúhelníku, dokud se nespojí v bod. Poté se všechny vnější rohy odloží jeden od druhého a vyplní tak celou rovinu.

Zajímavý fakt, že? A takových faktů je v geometrii spousta. Naučte se tedy geometrii, milí studenti!

Materiál o tom, čemu se rovná součet úhlů konvexního mnohoúhelníku, připravil Sergey Valerievich

Určení konvexnosti mnohoúhelníku.

Algoritmus Kyrus-Back předpokládá, že se jako okno použije konvexní polygon.

V praxi však poměrně často nastává problém odříznutí polygonem a informace o tom, zda je konvexní nebo ne, není zpočátku specifikována. V tomto případě je před zahájením ořezové procedury nutné určit, zda je daný polygon konvexní či nikoliv.

Uveďme několik definic konvexity mnohoúhelníku

Mnohoúhelník je považován za konvexní, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:

1) v konvexním mnohoúhelníku jsou všechny vrcholy umístěny na jedné straně čáry nesoucí jakoukoli hranu (na vnitřní straně dané hrany);

2) všechny vnitřní úhly mnohoúhelníku jsou menší než 180 o;

3) všechny úhlopříčky spojující vrcholy mnohoúhelníku leží uvnitř tohoto mnohoúhelníku;

4) všechny rohy polygonu jsou obejity ve stejném směru (obr. 3.3‑1).

K vytvoření analytické reprezentace posledního kritéria konvexity používáme vektorový součin.

vektorový produkt W dva vektory A a b (Obr. 3.3-2 a) definováno jako:

Ax,ay,az a bx,by,bz A a b,

- i, j, k– jednotkové vektory podél souřadnicových os X , Y , Z .

Rýže.3.3 ‑ 1

Rýže.3.3 ‑ 2

Pokud dvourozměrné zobrazení mnohoúhelníku považujeme za jeho zobrazení v souřadnicové rovině XY trojrozměrného souřadnicového systému X ,Y ,Z (obr. 3.3-2 b ), pak výraz pro vznik křížového součinu vektorů U a PROTI, kde jsou vektory U a PROTI jsou sousední hrany, které tvoří roh mnohoúhelníku, lze zapsat jako determinant:

Vektor křížového součinu je kolmý k rovině, ve které se nacházejí vektory faktorů. Směr vektoru produktu je určen pravidlem gimlet nebo pravidlem pravotočivého šroubu.

Pro případ znázorněný na Obr. 3.3‑2 b), vektor W, odpovídající vektorovému součinu vektorů PROTI, U, bude mít stejnou směrovost jako směr osy souřadnice Z.

Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že projekce vektorů-faktorů na ose Z jsou v tomto případě rovné nule, může být vektorový součin reprezentován jako:

(3.3-1)

Jednotkový vektor k vždy kladné, odtud znaménko vektoru w vektorový součin bude určen pouze znaménkem determinantu D ve výše uvedeném výrazu. Všimněte si, že na základě vlastnosti vektorového součinu při přeskupování faktorových vektorů U a PROTI vektor znamení w se změní na opak.

Z toho vyplývá, že pokud jako vektory PROTI a U uvažujme dvě sousední hrany mnohoúhelníku, pak lze pořadí výčtu vektorů ve vektorovém součinu dát do souladu s vynecháním uvažovaného rohu mnohoúhelníku nebo hran tvořících tento roh. To nám umožňuje použít pravidlo jako kritérium pro určení konvexnosti mnohoúhelníku:

pokud je pro všechny dvojice hran mnohoúhelníku splněna následující podmínka:

Pokud se znaménka vektorových součinů pro jednotlivé úhly neshodují, pak polygon není konvexní.

Protože hrany mnohoúhelníku jsou zadány jako souřadnice jejich koncových bodů, je vhodnější použít determinant k určení znaménka křížového součinu.

Konvexní množina bodů v rovině.

Nazývá se množina bodů v rovině nebo v trojrozměrném prostoru konvexní, jestliže libovolné dva body této množiny lze spojit úsečkou, která zcela leží v této množině.

Věta 1. Průsečíkem konečného počtu konvexních množin je konvexní množina.

Následek. Průsečíkem konečného počtu konvexních množin je konvexní množina.

rohové body.

Hraniční bod konvexní množiny se nazývá hranatý, je-li možné přes něj protáhnout úsečku, jejíž všechny body do dané množiny nepatří.

Množiny různých tvarů mohou mít konečný nebo nekonečný počet rohových bodů.

Konvexní mnohoúhelník.

Polygon volala konvexní, pokud leží na jedné straně každé přímky procházející jejími dvěma sousedními vrcholy.

Věta: Součet úhlů konvexního n-úhelníku je 180˚ *(n-2)

6) Řešení soustav m lineárních nerovnic se dvěma proměnnými

Je dána soustava m lineárních nerovností se dvěma proměnnými

Známky některých nebo všech nerovností mohou být ≥.

Zvažte první nerovnost v souřadnicovém systému X1OX2. Postavme rovnou čáru

což je hraniční čára.

Tato přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny 1 a 2 (obr. 19.4).

Poloviční rovina 1 obsahuje počátek, poloviční rovina 2 počátek neobsahuje.

K určení, na které straně hraniční čáry se daná polorovina nachází, je třeba vzít libovolný bod na rovině (lépe počátek) a dosadit souřadnice tohoto bodu do nerovnosti. Je-li nerovnost pravdivá, pak je polorovina otočena směrem k tomuto bodu, pokud není pravdivá, pak opačným směrem od bodu.

Směr poloroviny na obrázcích je znázorněn šipkou.

Definice 15. Řešením každé nerovnosti systému je polorovina obsahující hraniční čáru a umístěná na jedné její straně.

Definice 16. Průsečík polorovin, z nichž každá je určena odpovídající nerovností systému, se nazývá oblast řešení systému (SR).

Definice 17. Oblast řešení systému, který splňuje podmínky nezápornosti (xj ≥ 0, j =), se nazývá oblast nezáporných, neboli přípustných řešení (ODS).

Pokud je systém nerovnic konzistentní, pak OP a ODE mohou být mnohostěn, neomezená mnohostěnná oblast nebo jeden bod.

Pokud je systém nerovností nekonzistentní, pak OR a ODR jsou prázdnou množinou.

Příklad 1

Řešení. Najděte OR první nerovnosti: x1 + 3x2 ≥ 3. Sestrojme hraniční čáru x1 + 3x2 - 3 = 0 (obr. 19.5). Dosaďte souřadnice bodu (0,0) do nerovnice: 1∙0 + 3∙0 > 3; protože souřadnice bodu (0,0) tomu nevyhovují, je řešením nerovnice (19.1) polorovinou, která neobsahuje bod (0,0).

Podobně najdeme řešení zbývajících nerovností systému. Dostaneme, že OP a ODE soustavy nerovnic je konvexní mnohostěn ABCD.

Najděte rohové body mnohostěnu. Bod A je definován jako průsečík čar

Řešením soustavy dostaneme A(3/7, 6/7).

Najdeme bod B jako průsečík přímek

Ze systému dostaneme B(5/3, 10/3). Podobně zjistíme souřadnice bodů C a D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Příklad 2. Najděte OR a ODR systému nerovnic

Řešení. Sestrojme přímky a určeme řešení nerovnic (19.5)-(19.7). OR a ODR jsou neohraničené polyedrické oblasti ACFM a ABDEKM (obr. 19.6).

Příklad 3. Najděte OR a ODR systému nerovnic

Řešení. Najdeme řešení nerovnic (19.8)-(19.10) (obr. 19.7). OP představuje neohraničenou polyedrickou oblast ABC; ODR - bod B.

Příklad 4. Najděte OP a ODS systému nerovností

Řešení. Po sestrojení přímek najdeme řešení nerovností soustavy. OR a ODR jsou nekompatibilní (obr. 19.8).

CVIČENÍ

Najděte OR a ODR systémů nerovnic

Teorém. Pokud xn ® a, pak .

Důkaz. Z xn ® a vyplývá, že . Ve stejný čas:

Tito. , tj. . Věta byla prokázána.

Teorém. Jestliže xn ® a, pak je posloupnost (xn) omezená.

Nutno podotknout, že obrácené tvrzení není pravdivé, tzn. ohraničenost posloupnosti neznamená její konvergenci.

Například sekvence nemá žádné omezení, ačkoli

Rozšíření funkcí do mocninných řad.

Rozšiřování funkcí v mocninné řadě má velký význam pro řešení různých problémů studia funkcí, derivace, integrace, řešení diferenciálních rovnic, výpočet limit, výpočet přibližných hodnot funkce.

Celkem získáme:

Zvažte způsob, jak rozšířit funkci do řady pomocí integrace.

Pomocí integrace je možné v řadě rozšířit takovou funkci, u které je expanze v řadě její derivace známa nebo ji lze snadno nalézt.

Najdeme diferenciál funkce a integrujeme jej v rozsahu od 0 do x.

Koncept mnohoúhelníku

Definice 1

polygon nazývaný geometrický obrazec v rovině, který se skládá z párově propojených segmentů, z nichž sousední neleží na jedné přímce.

V tomto případě jsou segmenty volány strany polygonu a jejich konce jsou vrcholy mnohoúhelníku.

Definice 2

$n$-úhelník je mnohoúhelník s $n$ vrcholy.

Typy polygonů

Definice 3

Pokud mnohoúhelník leží vždy na jedné straně jakékoli úsečky procházející jeho stranami, nazývá se mnohoúhelník konvexní(Obr. 1).

Obrázek 1. Konvexní mnohoúhelník

Definice 4

Leží-li mnohoúhelník na opačných stranách alespoň jedné přímky procházející jeho stranami, pak se mnohoúhelník nazývá nekonvexní (obr. 2).

Obrázek 2. Nekonvexní mnohoúhelník

Součet úhlů mnohoúhelníku

Zavedeme větu o součtu úhlů -gon.

Věta 1

Součet úhlů konvexního -gonu je definován následovně

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Důkaz.

Dostaneme konvexní mnohoúhelník $A_1A_2A_3A_4A_5\tečky A_n$. Spojte jeho vrchol $A_1$ se všemi ostatními vrcholy daného polygonu (obr. 3).

Obrázek 3

S takovým spojením dostaneme $n-2$ trojúhelníky. Sečtením jejich úhlů dostaneme součet úhlů daného -gonu. Protože součet úhlů trojúhelníku je $(180)^0,$, dostaneme, že součet úhlů konvexního -gonu je určen vzorcem

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Věta byla prokázána.

Pojem čtyřúhelník

Pomocí definice $2$ je snadné zavést definici čtyřúhelníku.

Definice 5

Čtyřúhelník je mnohoúhelník s $4$ vrcholy (obr. 4).

Obrázek 4. Čtyřúhelník

Pro čtyřúhelník jsou pojmy konvexní čtyřúhelník a nekonvexní čtyřúhelník definovány podobně. Klasickými příklady konvexních čtyřúhelníků jsou čtverec, obdélník, lichoběžník, kosočtverec, rovnoběžník (obr. 5).

Obrázek 5. Konvexní čtyřúhelníky

Věta 2

Součet úhlů konvexního čtyřúhelníku je $(360)^0$

Důkaz.

Podle věty $1$ víme, že součet úhlů konvexního -gonu je určen vzorcem

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Součet úhlů konvexního čtyřúhelníku je tedy

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Věta byla prokázána.

Konvexní čtyřúhelník je obrazec skládající se ze čtyř stran navzájem spojených ve vrcholech, které spolu se stranami svírají čtyři úhly, přičemž samotný čtyřúhelník je vždy ve stejné rovině vzhledem k přímce, na které leží jedna z jeho stran. Jinými slovy, celá postava je na jedné straně kterékoli z jejích stran.

V kontaktu s

Jak vidíte, definice je docela snadno zapamatovatelná.

Základní vlastnosti a typy

Téměř všechny nám známé postavy, sestávající ze čtyř rohů a stran, lze připsat konvexním čtyřúhelníkům. Lze rozlišit následující:

rovnoběžník;
náměstí;
obdélník;
lichoběžník;
kosočtverec.

Všechny tyto obrazce spojuje nejen to, že jsou čtyřúhelníkové, ale také to, že jsou také konvexní. Stačí se podívat na schéma:

Obrázek ukazuje konvexní lichoběžník. Zde můžete vidět, že lichoběžník je ve stejné rovině nebo na jedné straně segmentu. Pokud provedete podobné akce, můžete zjistit, že v případě všech ostatních stran je lichoběžník konvexní.

Je rovnoběžník konvexní čtyřúhelník?

Nahoře je obrázek rovnoběžníku. Jak je vidět z obrázku, rovnoběžník je také konvexní. Podíváte-li se na obrázek s ohledem na přímky, na kterých leží úsečky AB, BC, CD a AD, je jasné, že je od těchto přímek vždy ve stejné rovině. Hlavní rysy rovnoběžníku jsou, že jeho strany jsou po párech rovnoběžné a stejné stejným způsobem jako opačné úhly jsou si navzájem rovné.

Nyní si představte čtverec nebo obdélník. Podle jejich hlavních vlastností jsou také rovnoběžníky, to znamená, že všechny jejich strany jsou uspořádány ve dvojicích paralelně. Pouze v případě obdélníku může být délka stran různá a úhly jsou pravé (rovné 90 stupňů), čtverec je obdélník, ve kterém jsou všechny strany stejné a úhly jsou také pravé, zatímco délky strany a úhly rovnoběžníku mohou být různé.

Výsledkem je součet všech čtyř rohů čtyřúhelníku musí být roven 360 stupňům. Nejjednodušší způsob, jak to určit, je pomocí obdélníku: všechny čtyři rohy obdélníku jsou pravé, tedy rovné 90 stupňům. Součet těchto 90stupňových úhlů dává 360 stupňů, jinými slovy, pokud přidáte 90 stupňů 4krát, dostanete požadovaný výsledek.

Vlastnost úhlopříček konvexního čtyřúhelníku

Úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku se protínají. Tento jev lze skutečně pozorovat vizuálně, stačí se podívat na obrázek:

Obrázek vlevo ukazuje nekonvexní čtyřúhelník nebo čtyřúhelník. Jak si přeješ. Jak je vidět, úhlopříčky se neprotínají, alespoň ne všechny. Vpravo je konvexní čtyřúhelník. Zde je již pozorována vlastnost úhlopříček protínat se. Stejnou vlastnost lze považovat za znak konvexnosti čtyřúhelníku.

Další vlastnosti a znaky konvexnosti čtyřúhelníku

Konkrétně podle tohoto termínu je velmi těžké pojmenovat nějaké konkrétní vlastnosti a vlastnosti. Je snazší izolovat podle různých druhů čtyřúhelníků tohoto typu. Můžete začít s rovnoběžníkem. Již víme, že se jedná o čtyřúhelníkový obrazec, jehož strany jsou ve dvojicích rovnoběžné a stejné. Zároveň sem patří i vlastnost úhlopříček rovnoběžníku vzájemně se protínat, stejně jako znaménko konvexnosti samotného obrazce: rovnoběžník je vždy ve stejné rovině a na jedné straně vzhledem k libovolné jeho stran.

Tak, hlavní rysy a vlastnosti jsou známé:

součet úhlů čtyřúhelníku je 360 stupňů;
úhlopříčky obrazců se protínají v jednom bodě.

Obdélník. Tento obrazec má všechny stejné vlastnosti a rysy jako rovnoběžník, ale všechny jeho úhly jsou rovné 90 stupňům. Odtud název, obdélník.

Čtverec, stejný rovnoběžník, ale jeho rohy jsou správné, jako obdélník. Z tohoto důvodu je čtverec zřídka nazýván obdélníkem. Ale hlavním rozlišovacím znakem čtverce, kromě těch, které již byly uvedeny výše, je to, že všechny čtyři jeho strany jsou stejné.

Lichoběžník je velmi zajímavá postava.. Toto je také čtyřúhelník a také konvexní. V tomto článku již byl lichoběžník zvažován pomocí příkladu výkresu. Je jasné, že je také vypouklá. Hlavním rozdílem, a tedy i znakem lichoběžníku, je to, že jeho strany se mohou absolutně lišit v délce, stejně jako jeho úhly v hodnotě. V tomto případě zůstává obrazec vždy ve stejné rovině s ohledem na kteroukoli z přímek, které spojují libovolné dva jeho vrcholy podél segmentů tvořících obrazec.

Neméně zajímavou postavou je kosočtverec. Částečně kosočtverec lze považovat za čtverec. Znakem kosočtverce je skutečnost, že jeho úhlopříčky se nejen protínají, ale také rozdělují rohy kosočtverce na polovinu a samotné úhlopříčky se protínají v pravém úhlu, to znamená, že jsou kolmé. Pokud jsou délky stran kosočtverce stejné, pak jsou úhlopříčky také rozděleny na polovinu v průsečíku.

Deltoidy nebo konvexní kosočtverce (rhombusy) mohou mít různé délky stran. Zároveň však zůstávají zachovány jak hlavní vlastnosti a rysy samotného kosočtverce, tak rysy a vlastnosti konvexnosti. To znamená, že můžeme pozorovat, že úhlopříčky půlí rohy a protínají se v pravých úhlech.

Dnešním úkolem bylo zvážit a pochopit, co jsou konvexní čtyřúhelníky, co to jsou a jejich hlavní rysy a vlastnosti. Pozornost! Ještě jednou stojí za to připomenout, že součet úhlů konvexního čtyřúhelníku je 360 stupňů. Obvod obrazců se například rovná součtu délek všech segmentů tvořících obrazec. Vzorce pro výpočet obvodu a plochy čtyřúhelníků budou diskutovány v následujících článcích.

Typy konvexních čtyřúhelníků