Pojem desetinných zlomků a akce s nimi. Jak řešit desetinná místa

§ 102. Předběžná upřesnění.

V předchozím díle jsme zvažovali zlomky se všemi možnými jmenovateli a nazývali je obyčejnými zlomky. Zajímal nás každý zlomek, který v procesu měření nebo dělení vznikl, bez ohledu na to, jakého jmenovatele jsme dostali.

Nyní z celé množiny zlomků vybereme zlomky se jmenovateli: 10, 100, 1 000, 10 000 atd., tedy takové zlomky, jejichž jmenovatelem jsou pouze čísla reprezentovaná jednotkou (1) následovaná nulami (jedna popř. několik). Takové zlomky se nazývají desetinný.

Zde jsou příklady desetinných míst:

S desetinnými zlomky jsme se již setkali, ale neuvedli jsme žádné zvláštní vlastnosti, které by jim byly vlastní. Nyní si ukážeme, že mají některé pozoruhodné vlastnosti, což zjednodušuje veškeré výpočty se zlomky.

§ 103. Obraz desetinného zlomku bez jmenovatele.

Desetinné zlomky se obvykle zapisují ne stejným způsobem jako běžné zlomky, ale podle pravidel, podle kterých se píší celá čísla.

Abyste pochopili, jak zapsat desetinný zlomek bez jmenovatele, musíte si zapamatovat, jak se v desítkové soustavě zapisuje jakékoli celé číslo. Pokud například napíšeme trojciferné číslo pouze pomocí čísla 2, tedy čísla 222, pak bude mít každá z těchto dvojek zvláštní význam v závislosti na místě, které v čísle zaujímá. První dva zprava představují jednotky, druhý desítky a třetí stovky. Jakákoli číslice nalevo od jakékoli jiné číslice tedy označuje jednotky desetkrát větší, než jsou jednotky označené předchozí číslicí. Pokud některá číslice chybí, na její místo se zapíše nula.

Tedy v celém počtu jsou jednotky na prvním místě vpravo, desítky na druhém atd.

Nyní si položme otázku, jakou kategorii jednotek získáme, pokud jsme např. v čísle 222 s že jo straně přidáme ještě jedno číslo. Chcete-li odpovědět na tuto otázku, musíte vzít v úvahu, že poslední dvě (první zprava) označují jednotky.

Pokud tedy po dvojce, označující jednotky, trochu ustoupíme, napíšeme nějaké jiné číslo, například 3, bude to označovat jednotky, desetkrát menší než ty předchozí, jinými slovy bude označovat desetiny Jednotky; výsledkem je číslo obsahující 222 celých jednotek a 3 desetiny jednotky.

Je obvyklé vkládat čárku mezi celé číslo a zlomkovou část čísla, tj. psát takto:

Pokud za trojku v tomto čísle přidáme další číslo, například 4, bude to znamenat 4 setiny zlomky jednotky; číslo bude vypadat takto:

a vyslovuje se: dvě stě dvacet dva bodů, třicet čtyři setin.

Nová číslice, například 5, přiřazená tomuto číslu, nám dává tisíciny: 222,345 (dvě stě dvacet dva bodů, tři sta čtyřicet pět tisícin).

Pro větší přehlednost lze uspořádání v počtu celých a zlomkových číslic prezentovat ve formě tabulky:

Tak jsme si vysvětlili, jak se desetinné zlomky píší bez jmenovatele. Pojďme si některé z těchto zlomků napsat.

Chcete-li zapsat zlomek bez jmenovatele 5/10, musíte vzít v úvahu, že nemá celá čísla, a proto místo celých čísel musí být obsazeno nulou, tj. 5/10 = 0,5.

Zlomek 2 9/100 bez jmenovatele se zapíše takto: 2,09, to znamená, že místo desetin je třeba dosadit nulu. Pokud bychom tuto 0 přeskočili, dostali bychom úplně jiný zlomek, a to 2,9, tedy dva celé body a devět desetin.

Takže při psaní desetinných zlomků musíte chybějící celé číslo a zlomkové číslice označit nulou:

0,325 – žádná celá čísla,
0,012 - žádná celá čísla a žádné desetiny,
1,208 - žádné setiny,
0,20406 - žádná celá čísla, žádné setiny a žádné desetitisíciny.

Čísla napravo od desetinné čárky se nazývají desetinná místa.

Aby nedošlo k chybám při zápisu desetinných zlomků, je třeba pamatovat na to, že za desetinnou čárkou v obrázku desetinného zlomku by mělo být tolik číslic, kolik bude nul ve jmenovateli, pokud bychom tento zlomek psali se jmenovatelem, tzn.

0,1 \u003d 1 / 10 (jmenovatel má jednu nulu a jednu číslici za desetinnou čárkou);

§ 104. Přiřazení nul desetinnému zlomku.

V předchozím odstavci bylo popsáno, jak se zobrazují desetinné zlomky bez jmenovatelů. Nula má velký význam při psaní desetinných zlomků. Každý pravidelný desetinný zlomek má místo celých čísel nulu, což znamená, že takový zlomek celá čísla nemá. Nyní napíšeme několik různých desetinných míst pomocí čísel: 0, 3 a 5.

0,35 - 0 celých čísel, 35 setin,
0,035 – 0 celých čísel, 35 tisícin,
0,305 – 0 celých čísel, 305 tisícin,
0,0035 - 0 celých čísel, 35 desetitisícin.

Pojďme nyní zjistit, jaký význam mají nuly umístěné na konci desetinného zlomku, tedy vpravo.

Pokud vezmeme celé číslo, například 5, dáme za něj čárku a pak za čárku napíšeme nulu, pak tato nula bude znamenat nulu desetin. Tato nula přiřazená zprava tedy neovlivní hodnotu čísla, tzn.

Nyní vezmeme číslo 6.1 a přičteme k němu zprava nulu, dostaneme 6.10, tj. za desetinnou čárkou jsme měli 1/10 a stalo se 10/100, ale 10/100 se rovná 1/10. To znamená, že hodnota čísla se nezměnila a od přiřazení vpravo od nuly se změnil pouze tvar čísla a výslovnost (6,1 - šest bodů jedna desetina; 6,10 - šest bodů deset setin).

Podobným uvažováním se můžeme ujistit, že přiřazení nul zprava k desetinnému zlomku nezmění jeho hodnotu. Můžeme tedy napsat následující rovnosti:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 atd.

Pokud nalevo od desetinného zlomku přiřadíme nuly, nebudou mít žádný význam. Pokud totiž napíšeme nulu nalevo od čísla 4.6, pak bude mít číslo tvar 04.6. kde je nula? Stojí na místě desítek, tedy ukazuje, že v tomto čísle žádné desítky nejsou, ale to je jasné i bez nuly.

Je však třeba mít na paměti, že někdy jsou desetinným zlomkům vpravo přiřazeny nuly. Například existují čtyři zlomky: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Nuly přiřazujeme vpravo těm zlomkům, které mají za desetinnou čárkou méně desetinných míst: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

K čemu to je? Přiřazením nul doprava jsme dostali za každé číslo čtyři číslice za desetinnou čárkou, což znamená, že každý zlomek bude mít jmenovatele 10 000 a před přiřazením nul byl jmenovatel prvního zlomku 100, druhého 10, třetího. 10 000 a čtvrtý 1 000. Takže přiřazením nul jsme vyrovnali počet desetinných míst našich zlomků, tj. přivedli je na společného jmenovatele. Proto se redukce desetinných zlomků na společného jmenovatele provádí tak, že se těmto zlomkům přiřadí nuly.

Na druhou stranu, pokud má nějaký desetinný zlomek vpravo nuly, pak je můžeme zahodit, aniž bychom změnili jeho hodnotu, například: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.

Jak má člověk rozumět takovému vyhazování nul napravo od desetinného zlomku? Je ekvivalentní jeho redukci a to lze vidět, pokud tyto desetinné zlomky zapíšeme se jmenovatelem:

§ 105. Porovnání desetinných zlomků ve velikosti.

Při používání desetinných zlomků je velmi důležité umět zlomky mezi sebou porovnávat a odpovědět na otázku, které z nich se rovnají, které jsou větší a které méně. Porovnávání desetinných míst se provádí jinak než porovnávání celých čísel. Například dvouciferné celé číslo je vždy větší než jednociferné číslo, bez ohledu na to, kolik jedniček je v jednociferném čísle; trojciferné číslo je více než dvoumístné a ještě více jednomístné. Ale při porovnávání desetinných zlomků by byla chyba počítat všechna znaménka, kterými se zlomky píší.

Vezměme dva zlomky: 3,5 a 2,5 a porovnejme je ve velikosti. Mají stejná desetinná místa, ale první zlomek má 3 celá čísla a druhý 2. První zlomek je větší než druhý, tzn.

Vezměme další zlomky: 0,4 a 0,38. Pro porovnání těchto zlomků je užitečné přiřadit nulu napravo od prvního zlomku. Poté porovnáme zlomky 0,40 a 0,38. Každý z nich má za desetinnou čárkou dvě číslice, což znamená, že tyto zlomky mají stejného jmenovatele 100.

Stačí nám porovnat jejich čitatele, ale čitatel 40 je větší než 38. První zlomek je tedy větší než druhý, tzn.

První zlomek má více desetin než druhý, nicméně druhý zlomek má o 8 setin více, ale jsou menší než jedna desetina, protože 1/10 \u003d 10/100.

Nyní porovnejme takové zlomky: 1,347 a 1,35. Napravo od druhého zlomku přiřadíme nulu a porovnáme desetinné zlomky: 1,347 a 1,350. Části celého čísla jsou stejné, takže stačí porovnat zlomkové části: 0,347 a 0,350. Jmenovatel těchto zlomků je společný, ale čitatel druhého zlomku je větší než čitatel prvního, což znamená, že druhý zlomek je větší než první, tj. 1,35\u003e 1,347.

Nakonec porovnejme další dva zlomky: 0,625 a 0,62473. K prvnímu zlomku přidáme dvě nuly tak, aby se číslice rovnaly, a porovnáme výsledné zlomky: 0,62500 a 0,62473. Jejich jmenovatelé jsou stejní, ale čitatel prvního zlomku 62500 je větší než čitatel druhého zlomku 62473. Proto je první zlomek větší než druhý, tj. 0,625 > 0,62473.

Na základě výše uvedeného můžeme vyvodit následující závěr: ze dvou desetinných zlomků je ten, který má více celých čísel, větší; když jsou celá čísla stejná, je tento zlomek větší, ve kterém je větší počet desetin; když se celá čísla a desetiny rovnají, je tento zlomek větší, ve kterém je větší počet setin atd.

§ 106. Zvýšení a snížení desetinného zlomku 10, 100, 1 000 atd. krát.

Již víme, že přidání nul k desetinnému číslu neovlivní jeho hodnotu. Když jsme studovali celá čísla, viděli jsme, že každá nula přiřazená vpravo zvyšuje číslo 10krát. Není těžké pochopit, proč se to stalo. Vezmeme-li celé číslo, například 25, a napravo od něj přiřadíme nulu, pak se číslo zvýší 10krát, číslo 250 je 10krát větší než 25. Když se vpravo objevila nula, číslo 5, které dříve označovaly jednotky, nyní začaly označovat desítky a číslo 2, které dříve znamenalo desítky, nyní znamená stovky. Takže díky vzhledu nuly byly staré číslice nahrazeny novými, zvětšily se, posunuly se o jedno místo doleva. Když je potřeba zvětšit desetinný zlomek např. 10x, pak musíme posunout i číslice o jedno místo doleva, ale takového pohybu nelze dosáhnout s nulou. Desetinný zlomek se skládá z celočíselné části a zlomkové části, které jsou odděleny čárkou. Nalevo od desetinné čárky je nejnižší celé číslo, napravo je nejvyšší desetinná číslice. Zvažte zlomek:

Jak v něm můžeme posunout číslice alespoň o jedno místo, tedy jinými slovy, jak jej můžeme 10x zvětšit? Pokud posuneme čárku o jedno místo doprava, pak to především ovlivní osud pěti: spadne z oblasti zlomkových čísel do oblasti celých čísel. Číslo pak bude mít tvar: 12345.678. Změna nastala u všech ostatních čísel, nejen u pětky. Všechna čísla zahrnutá v čísle začala hrát novou roli, stalo se následující (viz tabulka):

Všechny hodnosti změnily své jméno a všechny jednotky hodnosti takříkajíc o jedno místo postoupily. Z toho se celý počet zvýšil 10krát. Posunutím čárky o jeden znak doprava se tedy číslo zvýší 10krát.

Podívejme se na další příklady:

1) Vezměte zlomek 0,5 a posuňte čárku o jedno místo doprava; dostaneme číslo 5, což je 10krát více než 0,5, protože dříve pětka znamenala desetiny jednotky a nyní to znamená celé jednotky.

2) Posuňte čárku v čísle 1,234 o dvě číslice doprava; číslo se změní na 123,4. Toto číslo je 100x větší než předchozí, protože v něm číslo 3 začalo označovat jednotky, číslo 2 - desítky a číslo 1 - stovky.

Chcete-li tedy zvýšit desetinný zlomek o 10, musíte v něm čárku posunout o jedno místo doprava; pro zvýšení 100krát musíte čárku posunout o dvě místa doprava; zvýšit 1 000krát - tři číslice vpravo atd.

Pokud zároveň pro číslo není dostatek znaků, jsou mu vpravo přiřazeny nuly. Zvětšeme například zlomek 1,5 100krát posunutím čárky o dvě číslice; dostaneme 150. Zvětšeme zlomek 0,6 1000krát; dostaneme 600.

v případě potřeby zpět pokles desetinný zlomek o 10, 100, 1 000 atd. krát, pak je v něm potřeba posunout čárku doleva o jeden, dva, tři atd. znaky. Nechť je dán zlomek 20,5; zmenšíme to 10krát; k tomu posuneme čárku o jedno znaménko doleva, zlomek bude mít tvar 2,05. Zmenšeme zlomek 0,015 100krát; dostaneme 0,00015. Zmenšíme číslo 334 10krát; máme 33.4.

Už jsme řekli, že zlomky jsou obyčejný A desetinný. V tuto chvíli jsme trochu studovali obyčejné zlomky. Dozvěděli jsme se, že existují řádné zlomky a nevlastní zlomky. Také jsme se dozvěděli, že obyčejné zlomky lze redukovat, sčítat, odečítat, násobit a dělit. A také jsme se dozvěděli, že existují takzvaná smíšená čísla, která se skládají z celého čísla a zlomkové části.

Ještě jsme úplně neprostudovali obyčejné zlomky. Existuje mnoho jemností a detailů, o kterých by se mělo diskutovat, ale dnes začneme studovat desetinný zlomky, protože obyčejné a desetinné zlomky se často musí kombinovat. To znamená, že při řešení úloh musíte pracovat s oběma typy zlomků.

Tato lekce se může zdát složitá a nesrozumitelná. Je to docela normální. Tyto druhy lekcí vyžadují, aby byly prostudovány a nikoli přelétány.

Obsah lekce

Vyjadřování veličin ve zlomkovém tvaru

Někdy je vhodné ukázat něco ve zlomkové formě. Například jedna desetina decimetru se zapíše takto:

Tento výraz znamená, že jeden decimetr byl rozdělen na deset stejných dílů a z těchto deseti dílů byl odebrán jeden díl. A jedna část z deseti se v tomto případě rovná jednomu centimetru:

Zvažte následující příklad. Ukažte 6 cm a další 3 mm v centimetrech ve zlomkovém tvaru.

Chcete tedy zobrazit 6 cm a 3 mm v centimetrech, ale ve zlomkové formě. Už máme celých 6 centimetrů:

Ale ještě zbývají 3 milimetry. Jak zobrazit tyto 3 milimetry, zatímco v centimetrech? Na pomoc přicházejí zlomky. Jeden centimetr je deset milimetrů. Tři milimetry jsou tři části z deseti. A tři díly z deseti jsou psány jako cm

Výraz cm znamená, že jeden centimetr byl rozdělen na deset stejných dílů a z těchto deseti dílů byly odebrány tři díly.

Ve výsledku máme šest celých centimetrů a tři desetiny centimetru:

V tomto případě 6 ukazuje počet celých centimetrů a zlomek ukazuje počet zlomků. Tento zlomek se čte jako "šest bodů a tři desetiny centimetru".

Zlomky, v jejichž jmenovateli jsou čísla 10, 100, 1000, lze psát bez jmenovatele. Nejprve napište celočíselnou část a poté čitatel zlomkové části. Celočíselná část se odděluje od čitatele zlomkové části čárkou.

Například pišme bez jmenovatele. Nejprve si zapište celou část. Celá část je 6

Nahrává se celá část. Ihned po napsání celé části dejte čárku:

A teď si zapíšeme čitatel zlomkové části. Ve smíšeném čísle je čitatelem zlomkové části číslo 3. Trojku píšeme za desetinnou čárkou:

Zavolá se jakékoli číslo, které je zastoupeno v tomto tvaru desetinný.

Proto můžete zobrazit 6 cm a další 3 mm v centimetrech pomocí desetinného zlomku:

6,3 cm

Bude to vypadat takto:

Ve skutečnosti jsou desetinná místa stejné běžné zlomky a smíšená čísla. Zvláštností takových zlomků je, že jmenovatel jejich zlomkové části obsahuje čísla 10, 100, 1000 nebo 10000.

Stejně jako smíšené číslo má desetinné číslo celočíselnou část a zlomkovou část. Například ve smíšeném čísle je celočíselná část 6 a zlomková část je .

V desetinném zlomku 6.3 je celočíselnou částí číslo 6 a zlomkovou částí je čitatel zlomku, tedy číslo 3.

Stává se také, že obyčejné zlomky, v jejichž jmenovateli jsou čísla 10, 100, 1000, jsou uvedeny bez celočíselné části. Například zlomek je uveden bez celočíselné části. Chcete-li takový zlomek zapsat jako desetinné číslo, zapište nejprve 0, poté čárku a zapište čitatel zlomkové části. Zlomek bez jmenovatele by se zapsal takto:

Čte se jako "nulový bod pět desetin".

Převeďte smíšená čísla na desetinná místa

Když píšeme smíšená čísla bez jmenovatele, převádíme je na desetinná místa. Při převodu obyčejných zlomků na desetinné zlomky je potřeba vědět pár věcí, o kterých si nyní povíme.

Po napsání celočíselné části je nutné spočítat počet nul ve jmenovateli zlomkové části, protože počet nul ve zlomkové části a počet číslic za desetinnou čárkou v desetinném zlomku musí být stejný. . Co to znamená? Zvažte následující příklad:

Nejprve

A hned byste si mohli zapsat čitatele zlomkové části a desetinný zlomek je hotový, ale rozhodně musíte počítat počet nul ve jmenovateli zlomkové části.

Spočítáme tedy počet nul ve zlomkové části smíšeného čísla. Jmenovatel zlomkové části má jednu nulu. Takže v desetinném zlomku za desetinnou čárkou bude jedna číslice a toto číslo bude čitatelem zlomkové části smíšeného čísla, tedy čísla 2

Smíšené číslo, když se převede na desetinný zlomek, se tedy stane 3,2.

Toto desetinné číslo se čte takto:

"Tři celé dvě desetiny"

"Desátky", protože zlomková část smíšeného čísla obsahuje číslo 10.

Příklad 2 Převeďte smíšené číslo na desítkové.

Zapíšeme celou část a dáme čárku:

A hned byste si mohli zapsat čitatele zlomkové části a dostat desetinný zlomek 5,3, ale pravidlo říká, že za desetinnou čárkou by mělo být tolik číslic, kolik je nul ve jmenovateli zlomkové části smíšeného čísla. A vidíme, že ve jmenovateli zlomkové části jsou dvě nuly. Takže v našem desetinném zlomku za desetinnou čárkou by měly být dvě číslice, ne jedna.

V takových případech je třeba mírně upravit čitatele zlomkové části: před čitatele, tedy před číslo 3, přidejte nulu.

Nyní můžete toto smíšené číslo převést na desítkové. Zapíšeme celou část a dáme čárku:

A napište čitatel zlomkové části:

Desetinný zlomek 5,03 zní takto:

"Pět bodů tři setiny"

„Stovky“, protože jmenovatelem zlomkové části smíšeného čísla je číslo 100.

Příklad 3 Převeďte smíšené číslo na desítkové.

Z předchozích příkladů jsme se dozvěděli, že pro úspěšný převod smíšeného čísla na desetinné musí být počet číslic v čitateli zlomkové části a počet nul ve jmenovateli zlomkové části stejný.

Před převodem smíšeného čísla na desetinný zlomek je třeba jeho zlomkovou část mírně upravit, a to tak, aby bylo zajištěno, že počet číslic v čitateli zlomkové části a počet nul ve jmenovateli zlomkové části jsou stejné. stejný.

Nejprve se podíváme na počet nul ve jmenovateli zlomkové části. Vidíme, že jsou tři nuly:

Naším úkolem je uspořádat tři číslice v čitateli zlomkové části. Jednu číslici už máme - to je číslo 2. Zbývá přidat další dvě číslice. Budou to dvě nuly. Přidejte je před číslo 2. V důsledku toho bude počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli stejný:

Nyní můžeme toto smíšené číslo převést na desítkové. Nejprve zapíšeme celou část a dáme čárku:

a ihned zapište čitatel zlomkové části

3,002

Vidíme, že počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomkové části smíšeného čísla jsou stejné.

Desetinné 3,002 zní takto:

"Tři celé, dvě tisíciny"

"Tisítiny", protože jmenovatelem zlomkové části smíšeného čísla je číslo 1000.

Převod běžných zlomků na desetinná místa

Obyčejné zlomky, ve kterých je jmenovatel 10, 100, 1000 nebo 10000, lze také převést na desetinné zlomky. Protože běžný zlomek nemá celočíselnou část, zapište nejprve 0, pak čárku a zapište čitatel zlomkové části.

I zde platí, že počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli musí být stejný. Proto byste měli být opatrní.

Příklad 1

Chybí celá část, takže nejprve napíšeme 0 a dáme čárku:

Nyní se podívejte na počet nul ve jmenovateli. Vidíme, že je jedna nula. A čitatel má jednu číslici. Můžete tedy klidně pokračovat v desetinném zlomku tak, že za desetinnou čárku napíšete číslo 5

Ve výsledném desetinném zlomku 0,5 je počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomku stejný. Takže zlomek je správný.

Desetinný zlomek 0,5 zní takto:

"Bod nula, pět desetin"

Příklad 2 Převeďte běžný zlomek na desetinné číslo.

Chybí celá část. Nejprve napíšeme 0 a dáme čárku:

Nyní se podívejte na počet nul ve jmenovateli. Vidíme, že jsou tam dvě nuly. A čitatel má pouze jednu číslici. Aby byl počet číslic a počet nul stejný, přidejte před číslo 2 v čitateli jednu nulu. Potom zlomek získá tvar . Nyní je počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli stejný. Takže můžete pokračovat v desítkové soustavě:

Ve výsledném desetinném zlomku 0,02 je počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomku stejný. Takže zlomek je správný.

Desetinný zlomek 0,02 zní takto:

"Bod nula, dvě setiny."

Příklad 3 Převeďte běžný zlomek na desetinné číslo.

Napíšeme 0 a dáme čárku:

Nyní spočítáme počet nul ve jmenovateli zlomku. Vidíme, že je pět nul a v čitateli je pouze jedna číslice. Aby byl počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli stejný, musíte před číslo 5 přidat čtyři nuly v čitateli:

Nyní je počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli stejný. Můžete tedy pokračovat v desítkové soustavě. Čitatele zlomku zapisujeme za desetinnou čárkou

Ve výsledném desetinném zlomku 0,00005 je počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomku stejný. Takže zlomek je správný.

Desetinný zlomek 0,00005 zní takto:

"Bod nula, pět set tisícin."

Převeďte nesprávné zlomky na desetinná místa

Nevlastní zlomek je zlomek, jehož čitatel je větší než jmenovatel. Existují nesprávné zlomky, které mají ve jmenovateli čísla 10, 100, 1000 nebo 10000. Takové zlomky lze převést na desetinné zlomky. Ale před převodem na desetinný zlomek musí mít takové zlomky celočíselnou část.

Příklad 1

Zlomek je nesprávný zlomek. Chcete-li převést takový zlomek na desetinný zlomek, musíte nejprve vybrat jeho celočíselnou část. Připomínáme, jak vybrat celou část nevlastních zlomků. Pokud jste zapomněli, doporučujeme vám vrátit se a prostudovat si ji.

Vyberme tedy celočíselnou část v nesprávném zlomku. Připomeňme, že zlomek znamená dělení – v tomto případě dělení čísla 112 číslem 10

Podívejme se na tento obrázek a sestavme si nové smíšené číslo, jako dětskou stavebnici. Číslo 11 bude celočíselnou částí, číslo 2 bude čitatelem zlomkové části, číslo 10 bude jmenovatelem zlomkové části.

Máme smíšené číslo. Převedeme to na desetinné číslo. A už víme, jak taková čísla převést na desetinné zlomky. Nejprve zapíšeme celou část a dáme čárku:

Nyní spočítáme počet nul ve jmenovateli zlomkové části. Vidíme, že je jedna nula. A čitatel zlomkové části má jednu číslici. To znamená, že počet nul ve jmenovateli zlomkové části a počet číslic v čitateli zlomkové části jsou stejné. To nám dává možnost okamžitě napsat čitatel zlomkové části za desetinnou čárkou:

Ve výsledném desetinném zlomku 11.2 je počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomku stejný. Takže zlomek je správný.

To znamená, že nesprávný zlomek se po převodu na desetinný zlomek změní na 11,2

Desetinné 11.2 zní takto:

"Jedenáct celých, dvě desetiny."

Příklad 2 Převeďte nesprávný zlomek na desetinné číslo.

Toto je nesprávný zlomek, protože čitatel je větší než jmenovatel. Lze jej však převést na desetinný zlomek, protože jmenovatelem je číslo 100.

Nejprve vybereme celočíselnou část tohoto zlomku. Chcete-li to provést, vydělte 450 x 100 rohem:

Pojďme shromáždit nové smíšené číslo - dostaneme . A už víme, jak převést smíšená čísla na desetinné zlomky.

Zapíšeme celou část a dáme čárku:

Nyní spočítáme počet nul ve jmenovateli zlomkové části a počet číslic v čitateli zlomkové části. Vidíme, že počet nul ve jmenovateli a počet číslic v čitateli jsou stejné. To nám dává možnost okamžitě napsat čitatel zlomkové části za desetinnou čárkou:

Ve výsledném desetinném zlomku 4,50 je počet číslic za desetinnou čárkou a počet nul ve jmenovateli zlomku stejný. Zlomek je tedy přeložen správně.

Takže nesprávný zlomek, když se převede na desetinný zlomek, se změní na 4,50

Při řešení problémů, pokud jsou na konci desetinného zlomku nuly, mohou být vyřazeny. Vynechme v naší odpovědi nulu. Pak dostaneme 4,5

To je jedna ze zajímavých vlastností desetinných čísel. Spočívá v tom, že nuly, které jsou na konci zlomku, nedávají tomuto zlomku žádnou váhu. Jinými slovy, desetinná místa 4,50 a 4,5 se rovnají. Položme mezi ně rovnítko:

4,50 = 4,5

Nabízí se otázka: proč se to děje? Koneckonců, 4,50 a 4,5 vypadají jako různé zlomky. Celé tajemství spočívá v základní vlastnosti zlomku, kterou jsme studovali dříve. Pokusíme se dokázat, proč jsou desetinné zlomky 4,50 a 4,5 stejné, ale po prostudování dalšího tématu, které se nazývá "převod desetinného zlomku na smíšené číslo."

Převod desetinných čísel na smíšená čísla

Jakýkoli desetinný zlomek lze převést zpět na smíšené číslo. K tomu stačí umět číst desetinné zlomky. Například převedeme 6,3 na smíšené číslo. 6,3 je šest celých bodů a tři desetiny. Nejprve zapíšeme šest celých čísel:

a další tři desetiny:

Příklad 2 Převeďte desetinné číslo 3,002 na smíšené číslo

3,002 jsou tři celá čísla a dvě tisíciny. Nejprve zapište tři celá čísla.

a dále napíšeme dvě tisíciny:

Příklad 3 Převeďte desetinné číslo 4,50 na smíšené číslo

4,50 jsou čtyři body a padesát setin. Zapište čtyři celá čísla

a dalších padesát setin:

Mimochodem, připomeňme si poslední příklad z předchozího tématu. Řekli jsme, že desetinná místa 4,50 a 4,5 se rovnají. Také jsme si řekli, že nulu lze zahodit. Pokusme se dokázat, že desetinná čísla 4,50 a 4,5 se rovnají. K tomu převedeme oba desetinné zlomky na smíšená čísla.

Po převodu na smíšené číslo se desetinné číslo 4,50 změní na , a desetinné číslo 4,5

Máme dvě smíšená čísla a . Převeďte tato smíšená čísla na nesprávné zlomky:

Nyní máme dva zlomky a . Je na čase si připomenout základní vlastnost zlomku, která říká, že při násobení (nebo dělení) čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem se hodnota zlomku nezmění.

Vydělme první zlomek 10

Přijato a toto je druhý zlomek. Takže a jsou si navzájem rovny a rovnají se stejné hodnotě:

Zkuste nejprve na kalkulačce vydělit 450 krát 100 a pak 45 krát 10. Vyjde to vtipná věc.

Převeďte desetinné číslo na běžný zlomek

Jakýkoli desetinný zlomek lze převést zpět na běžný zlomek. K tomu opět stačí umět číst desetinné zlomky. Převeďme například 0,3 na obyčejný zlomek. 0,3 je nula a tři desetiny. Nejprve napíšeme nula celých čísel:

a vedle tří desetin 0 . Nula se tradičně nezapisuje, takže konečná odpověď nebude 0, ale jednoduše.

Příklad 2 Převeďte desetinné číslo 0,02 na běžný zlomek.

0,02 je nula a dvě setiny. Nezapisujeme nulu, takže rovnou zapisujeme dvě setiny

Příklad 3 Převeďte 0,00005 na zlomek

0,00005 je nula a pět set tisícin. Nula se nezapisuje, takže rovnou zapisujeme pět set tisícin

Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině Vkontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce

Zlomky zapsané ve tvaru 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 se nazývá desítkové. Desetinné zlomky jsou ve skutečnosti zjednodušenou reprezentací obyčejných zlomků. Tento zápis je vhodný pro všechny zlomky, jejichž jmenovatelé jsou 10, 100, 1000 atd.

Zvažte příklady (0,5 se čte jako nula pět);

(0,15 se čte jako nula, patnáct setin);

(5.3 se čte jako pět bod tři).

Všimněte si, že v zápisu desetinného zlomku odděluje čárka celočíselnou část čísla od zlomkové, celočíselná část správného zlomku je 0. Zápis zlomkové části desetinného zlomku obsahuje tolik číslic, kolik je jsou nuly ve jmenovateli odpovídajícího obyčejného zlomku.

Zvažte příklad, , , .

V některých případech může být nutné považovat přirozené číslo za desetinný zlomek, ve kterém je zlomková část rovna nule. Je obvyklé zapsat, že 5 = 5,0; 245 = 245,0 a tak dále. Všimněte si, že v desítkovém zápisu přirozeného čísla je jednotka nejméně významné číslice 10krát menší než jednotka sousední nejvýznamnější číslice. Stejnou vlastnost mají i desetinné zlomky. Proto hned za desetinnou čárkou následuje desáté místo, pak sté místo, pak tisícé místo a tak dále. Níže jsou uvedeny názvy číslic čísla 31,85431, první dva sloupce jsou celočíselná část, zbývající sloupce jsou zlomková část.

Tento zlomek se čte jako třicet jedna tečka osmdesát pět tisíc čtyři sta třicet jedna stotisícina.

Sčítání a odčítání desetinných míst

První způsob je převést desetinná místa na obyčejná a přidat je.

Jak je vidět z příkladu, tato metoda je velmi nepohodlná a je lepší použít druhou metodu, která je správnější, bez převodu desetinných zlomků na obyčejné. Chcete-li přidat dvě desetinná místa:

vyrovnat počet číslic za desetinnou čárkou ve výrazech;
pište pojmy pod sebe tak, aby každá číslice druhého termínu byla pod odpovídající číslicí prvního termínu;
výsledná čísla sečtěte stejným způsobem jako sčítání přirozených čísel;
ve výsledné částce dejte pod čárky ve výrazech čárku.

Zvažte příklady:

vyrovnat ve zmenšeném a odečteném počtu číslic za desetinnou čárkou;
napište subtrahend pod minuend tak, aby každý bit subtrahendu byl pod odpovídajícím bitem minuendu;
odečítat stejným způsobem, jako se odčítají přirozená čísla;
dejte čárku pod čárky v minuendu a subtrahend ve výsledném rozdílu.

Zvažte příklady:

Na výše diskutovaných příkladech je vidět, že sčítání a odčítání desetinných zlomků probíhalo bit po bitu, tedy stejným způsobem, jako jsme prováděli podobné operace s přirozenými čísly. To je hlavní výhoda desetinného zápisu zlomků.

Desetinné násobení

Aby bylo možné vynásobit desetinný zlomek 10, 100, 1000 atd., je nutné v tomto zlomku posunout čárku doprava, respektive o 1, 2, 3 atd., čísla. Pokud se tedy čárka posune doprava o 1, 2, 3 atd. čísla, pak se zlomek zvýší o 10, 100, 1000 a tak dále. Chcete-li vynásobit dvě desetinná místa:

vynásobte je jako přirozená čísla, čárky ignorujte;
ve výsledném produktu oddělte čárkou vpravo tolik číslic, kolik je za čárkami v obou faktorech dohromady.

Existují případy, kdy součin obsahuje méně číslic, než je nutné oddělit čárkou, před tento součin se doleva přidá požadovaný počet nul a následně se čárka posune o požadovaný počet číslic doleva.

Zvažte příklady: 2 * 4 = 8, pak 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, poté 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Existují případy, kdy je jeden z faktorů roven 0,1; 0,01; 0,001 a tak dále, je výhodnější použít následující pravidlo.

Chcete-li vynásobit desetinné místo 0,1; 0,01; 0,001 a tak dále, je nutné v tomto desetinném zlomku posunout čárku doleva, respektive o 1, 2, 3 a tak dále.

Zvažte příklady: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Násobící vlastnosti přirozených čísel platí i pro desetinné zlomky.

ab=ba- komutativní vlastnost násobení;
(ab)c = a(bc)- asociativní vlastnost násobení;
a (b + c) = ab + ac je distributivní vlastnost násobení s ohledem na sčítání.

Desetinné dělení

Je známo, že pokud vydělíme přirozené číslo A na přirozené číslo b znamená najít takové přirozené číslo C, což po vynásobení b dává číslo A. Toto pravidlo platí, pokud je alespoň jedno z čísel a, b, c je desetinné číslo.

Vezměme si příklad, chcete vydělit 43,52 17 rohy a ignorovat čárku. V tomto případě by se čárka v soukromém měla umístit bezprostředně před první číslici za desetinnou čárkou v dividendě.

Existují případy, kdy je dividenda menší než dělitel, pak je celá část podílu rovna nule. Zvažte příklad:

Podívejme se na další zajímavý příklad.

Proces dělení je zastaven, protože čísla dividendy skončila a zbytek nedostal nulu. Je známo, že desetinný zlomek se nezmění, pokud je k němu vpravo přiřazen libovolný počet nul. Pak je jasné, že čísla dividend nemohou skončit.

Aby bylo možné dělit desetinný zlomek 10, 100, 1000 a tak dále, je nutné posunout desetinnou čárku doleva v tomto zlomku o 1, 2, 3 atd. čísla. Zvažte příklad: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Pokud se dividenda a dělitel zvýší současně o 10, 100, 1000 a tak dále, pak se podíl nezmění.

Uvažujme příklad: 39,44: 1,6 = 24,65 zvětšíme dělitel a dělitel o 10 krát 394,4: 16 = 24,65 Je spravedlivé poznamenat, že ve druhém příkladu je jednodušší dělit desetinný zlomek přirozeným číslem.

Chcete-li dělit desetinné místo desetinným místem, musíte:

posuňte čárky v děliteli a v děliteli doprava o tolik číslic, kolik je za desetinnou čárkou v děliteli;
dělit přirozeným číslem.

Uvažujme příklad: 23,6: 0,02 všimněte si, že v děliteli jsou dvě desetinná místa, proto obě čísla vynásobíme 100 a dostaneme 2360: 2 = 1180 výsledek vydělíme 100 a dostaneme odpověď 11,80 nebo 23,6: 0, 02 = 11,8.

Desetinné srovnání

Desetinná čísla lze porovnávat dvěma způsoby. Metoda jedna, musíte porovnat dva desetinné zlomky 4,321 a 4,32, vyrovnat počet desetinných míst a začít porovnávat bit po bitu, desetiny s desetinami, setiny se setinami a tak dále, v důsledku toho dostaneme 4,321\u003e 4,320.

Druhý způsob porovnání desetinných zlomků se provádí pomocí násobení, vynásobte výše uvedený příklad 1000 a porovnejte 4321\u003e 4320. Která metoda je pohodlnější, každý si vybere pro sebe.

Z mnoha zlomků nalezených v aritmetice si zvláštní pozornost zaslouží ty, které mají ve jmenovateli 10, 100, 1000 – obecně jakákoliv mocnina deseti. Tyto zlomky mají zvláštní název a zápis.

Desetinné číslo je jakékoli číslo, jehož jmenovatelem je mocnina deseti.

Desítkové příklady:

Proč bylo vůbec nutné takové zlomky izolovat? Proč potřebují svůj vlastní vstupní formulář? Jsou pro to minimálně tři důvody:

Porovnání desetinných míst je mnohem jednodušší. Pamatujte: Chcete-li porovnat běžné zlomky, musíte je od sebe odečíst a zejména přivést zlomky na společného jmenovatele. V desetinných zlomcích se nic z toho nevyžaduje;
Redukce výpočtů. Desetinná čísla se sčítají a násobí podle vlastních pravidel a s trochou cviku s nimi budete pracovat mnohem rychleji než s běžnými;
Snadnost nahrávání. Na rozdíl od běžných zlomků se desetinná místa píší na jeden řádek bez ztráty srozumitelnosti.

Většina kalkulaček také dává odpovědi v desetinných číslech. V některých případech může jiný formát záznamu způsobit problémy. Co když například v obchodě požadujete změnu ve výši 2/3 rublů :)

Pravidla pro zápis desetinných zlomků

Hlavní výhodou desetinných zlomků je pohodlný a vizuální zápis. A to:

Desetinný zápis je forma desítkového zápisu, kde je celočíselná část oddělena od zlomkové části pomocí běžné tečky nebo čárky. V tomto případě se samotný oddělovač (tečka nebo čárka) nazývá desetinná čárka.

Například 0,3 (čti: „nulové celé číslo, 3 desetiny“); 7,25 (7 celých čísel, 25 setin); 3,049 (3 celá čísla, 49 tisícin). Všechny příklady jsou převzaty z předchozí definice.

Při psaní se jako desetinná čárka obvykle používá čárka. Zde a níže bude čárka také použita na celém webu.

Chcete-li zapsat libovolný desetinný zlomek v určeném tvaru, musíte provést tři jednoduché kroky:

Čitatele vypište samostatně;
Posuňte desetinnou čárku doleva o tolik míst, kolik je nul ve jmenovateli. Předpokládejme, že zpočátku je desetinná čárka napravo od všech číslic;
Pokud se posunula desetinná čárka a za ní jsou na konci záznamu nuly, je třeba je přeškrtnout.

Stává se, že v druhém kroku čitatel nemá dostatek číslic na dokončení směny. V tomto případě jsou chybějící pozice vyplněny nulami. A obecně platí, že nalevo od libovolného čísla lze bez újmy na zdraví přiřadit libovolný počet nul. Je to ošklivé, ale někdy užitečné.

Na první pohled se tento algoritmus může zdát poměrně komplikovaný. Ve skutečnosti je vše velmi, velmi jednoduché – stačí jen trochu cvičit. Podívejte se na příklady:

Úkol. U každého zlomku uveďte jeho desetinný zápis:

Čitatel prvního zlomku: 73. Desetinnou čárku posuneme o jedno znaménko (protože jmenovatel je 10) - dostaneme 7,3.

Čitatel druhého zlomku: 9. Posuneme desetinnou čárku o dvě číslice (protože jmenovatel je 100) - dostaneme 0,09. Musel jsem přidat jednu nulu za desetinnou čárku a ještě jednu před ní, abych nezanechal podivný zápis jako „.09“.

Čitatel třetího zlomku: 10029. Posuneme desetinnou čárku o tři číslice (protože jmenovatel je 1000) - dostaneme 10,029.

Čitatel posledního zlomku: 10500. Opět posuneme bod o tři číslice - dostaneme 10,500. Na konci čísla jsou nuly navíc. Vyškrtneme je – dostaneme 10,5.

Věnujte pozornost posledním dvěma příkladům: číslům 10.029 a 10.5. Podle pravidel se musí nuly napravo přeškrtnout, jak se to dělá v posledním příkladu. V žádném případě to však nedělejte s nulami, které jsou uvnitř čísla (které jsou obklopeny jinými číslicemi). Proto jsme dostali 10,029 a 10,5, a ne 1,29 a 1,5.

Takže jsme přišli na definici a formu zaznamenávání desetinných zlomků. Nyní zjistíme, jak převést obyčejné zlomky na desetinná místa – a naopak.

Změna ze zlomků na desetinná místa

Uvažujme jednoduchý číselný zlomek tvaru a/b. Můžete použít základní vlastnost zlomku a vynásobit čitatele a jmenovatele takovým číslem, abyste pod ním dostali mocninu deseti. Než tak učiníte, přečtěte si prosím následující:

Existují jmenovatele, které nejsou redukovány na mocninu deseti. Naučte se takové zlomky rozpoznávat, protože s nimi nelze pracovat podle níže popsaného algoritmu.

A je to. Jak pochopit, zda je jmenovatel snížen na mocninu deseti nebo ne?

Odpověď je jednoduchá: rozložte jmenovatele na prvočinitele. Pokud jsou v expanzi přítomny pouze faktory 2 a 5, lze toto číslo snížit na mocninu deseti. Pokud jsou tam jiná čísla (3, 7, 11 - cokoliv), na stupeň deset můžete zapomenout.

Úkol. Zkontrolujte, zda lze zadané zlomky reprezentovat jako desetinná místa:

Vypíšeme a rozložíme jmenovatele těchto zlomků:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - jsou přítomna pouze čísla 2 a 5. Zlomek tedy může být reprezentován jako desetinné číslo.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - existuje "zakázaný" faktor 3. Zlomek nemůže být reprezentován jako desetinné číslo.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Vše je v pořádku: kromě čísel 2 a 5 není nic. Zlomek je reprezentován jako desetinné číslo.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Znovu se „vynořil“ faktor 3. Nelze jej reprezentovat jako desetinný zlomek.

Takže jsme přišli na jmenovatele - nyní zvážíme celý algoritmus pro přechod na desetinné zlomky:

Faktorizujte jmenovatele původního zlomku a ujistěte se, že je obecně reprezentovatelný jako desetinné číslo. Tito. zkontrolujte, zda jsou v expanzi přítomny pouze faktory 2 a 5. Jinak algoritmus nefunguje;
Spočítejte, kolik dvojek a pětek je v rozkladu (jiná čísla tam nebudou, pamatujete?). Zvolte takovou doplňkovou násobitelku, aby se počet dvojek a pěti rovnal.
Vlastně vynásobte čitatel a jmenovatel původního zlomku tímto faktorem - dostaneme požadované zobrazení, tzn. jmenovatelem bude mocnina deseti.

Dodatečný faktor bude samozřejmě také rozložen pouze na dvojky a pětky. Abyste si přitom nekomplikovali život, měli byste si takový faktor vybrat ze všech možných ten nejmenší.

A ještě jedna věc: pokud je v původním zlomku celočíselná část, nezapomeňte tento zlomek převést na nesprávný - a teprve potom použít popsaný algoritmus.

Úkol. Převeďte tato čísla na desetinná místa:

Rozložme jmenovatele prvního zlomku na faktor: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Proto může být zlomek reprezentován jako desetinné číslo. V rozšíření jsou dvě dvojky a žádné pětky, takže dodatečný faktor je 5 2 = 25. Počet dvojek a pětek se mu bude rovnat. My máme:

Nyní se pojďme zabývat druhým zlomkem. Chcete-li to provést, poznamenejte si, že 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - v expanzi je trojka, takže zlomek nemůže být reprezentován jako desetinné číslo.

Poslední dva zlomky mají jmenovatele 5 (prvočíslo) a 20 = 4 5 = 2 2 5 - všude jsou pouze dvojky a pětky. Současně, v prvním případě, „pro úplné štěstí“, není dostatek multiplikátoru 2 a ve druhém - 5. Dostaneme:

Přechod z desetinných míst na obyčejné

Reverzní převod – z desítkového zápisu na normální – je mnohem jednodušší. Neexistují žádná omezení a speciální kontroly, takže desetinný zlomek můžete vždy převést na klasický „dvoupatrový“.

Algoritmus překladu je následující:

Přeškrtněte všechny nuly na levé straně desetinné čárky a také desetinnou čárku. To bude čitatel požadovaného zlomku. Hlavní věc - nepřehánějte to a neškrtejte vnitřní nuly obklopené jinými čísly;
Vypočítejte, kolik číslic je v původním desetinném zlomku za desetinnou čárkou. Vezměte číslo 1 a přidejte doprava tolik nul, kolik jste spočítali znaků. Toto bude jmenovatel;
Vlastně zapiš zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsme právě našli. Pokud je to možné, snižte. Pokud v původním zlomku byla celočíselná část, nyní dostaneme nevlastní zlomek, který je velmi vhodný pro další výpočty.

Úkol. Převést desetinná místa na běžná: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Vyškrtneme nuly vlevo a čárky - dostaneme následující čísla (budou to čitatelia): 8; 3107; 225; 72008.

V prvním a druhém zlomku za desetinnou čárkou jsou 3 desetinná místa, ve druhém - 2 a ve třetím - až 4 desetinná místa. Dostaneme jmenovatele: 1000; 1000; 100; 10 000.

Nakonec spojíme čitatele a jmenovatele do běžných zlomků:

Jak je vidět z příkladů, výsledný zlomek lze velmi často snížit. Ještě jednou podotýkám, že jakýkoli desetinný zlomek může být reprezentován jako obyčejný. Opačná transformace není vždy možná.