Řešení lineárních rovnic s příklady. Řešte rovnice se dvěma proměnnými Řešte rovnici 2 4

Rovnice s jednou neznámou, která po otevření závorek a zmenšení podobných členů nabývá tvaru

ax + b = 0, kde a a b jsou libovolná čísla, se nazývá lineární rovnice s jednou neznámou. Dnes zjistíme, jak tyto lineární rovnice vyřešit.

Například všechny rovnice:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineární.

Hodnota neznámé, která změní rovnici na skutečnou rovnost, se nazývá rozhodnutí nebo kořen rovnice .

Pokud například v rovnici 3x + 7 \u003d 13 dosadíme místo neznámého x číslo 2, pak dostaneme správnou rovnost 3 2 + 7 \u003d 13. Hodnota x \u003d 2 je tedy řešením resp. kořen rovnice.

A hodnota x \u003d 3 nezmění rovnici 3x + 7 \u003d 13 na skutečnou rovnost, protože 3 2 + 7 ≠ 13. Hodnota x \u003d 3 proto není řešením ani kořenem rovnice.

Řešení libovolných lineárních rovnic je redukováno na řešení rovnic tvaru

ax + b = 0.

Volný člen převedeme z levé strany rovnice na pravou, při změně znaménka před b na opačné dostaneme

Pokud a ≠ 0, pak x = – b/a .

Příklad 1 Řešte rovnici 3x + 2 =11.

Přeneseme 2 z levé strany rovnice na pravou, zatímco změníme znaménko před 2 na opačné, dostaneme
3x \u003d 11–2.

Tak pojďme na odčítání
3x = 9.

Chcete-li najít x, musíte vydělit produkt známým faktorem, tj.
x = 9:3.

Takže hodnota x = 3 je řešením nebo kořenem rovnice.

Odpověď: x = 3.

Pokud a = 0 a b = 0, pak dostaneme rovnici 0x \u003d 0. Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení, protože při vynásobení libovolného čísla 0 dostaneme 0, ale b je také 0. Řešením této rovnice je libovolné číslo.

Příklad 2 Vyřešte rovnici 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Rozbalíme závorky:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Zde jsou podobní členové:
0x = 0.

Odpověď: x je libovolné číslo.

Pokud a = 0 a b ≠ 0, pak dostaneme rovnici 0x = - b. Tato rovnice nemá řešení, protože vynásobením libovolného čísla 0 dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Příklad 3 Vyřešte rovnici x + 8 = x + 5.

Seskupme termíny obsahující neznámé na levé straně a volné termíny na pravé straně:
x - x \u003d 5 - 8.

Zde jsou podobní členové:
0x = - 3.

Odpověď: žádná řešení.

Na Obrázek 1 je znázorněno schéma řešení lineární rovnice

Sestavme obecné schéma řešení rovnic s jednou proměnnou. Zvažte řešení příkladu 4.

Příklad 4 Pojďme řešit rovnici

1) Vynásobte všechny členy rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů rovným 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Chcete-li oddělit členy obsahující neznámé a volné členy, otevřete závorky:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Do jedné části seskupujeme termíny obsahující neznámé a do druhé volné termíny:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Zde jsou podobní členové:
-22x = -154.

6) Vydělte - 22 , Dostaneme
x = 7.

Jak vidíte, kořen rovnice je sedm.

Obecně takové rovnice lze řešit následovně:

a) převést rovnici do celočíselného tvaru;

b) otevřené závorky;

c) seskupit členy obsahující neznámou v jedné části rovnice a volné členy ve druhé;

d) přivést podobné členy;

e) vyřešte rovnici tvaru aх = b, která byla získána po přivedení stejných členů.

Toto schéma však není vyžadováno pro každou rovnici. Při řešení mnoha jednodušších rovnic je třeba začít nikoli od první, ale od druhé ( Příklad. 2), Třetí ( Příklad. 13) a dokonce od páté fáze, jako v příkladu 5.

Příklad 5Řešte rovnici 2x = 1/4.

Najdeme neznámé x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Zvažte řešení některých lineárních rovnic, se kterými se setkáte v hlavní státní zkoušce.

Příklad 6Řešte rovnici 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Odpověď: - 0,125

Příklad 7 Vyřešte rovnici - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odpověď: 2.3

Příklad 8 Vyřešte rovnici

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Příklad 9 Najděte f(6), jestliže f (x + 2) = 3 7

Řešení

Protože potřebujeme najít f(6) a víme f (x + 2),
pak x + 2 = 6.

Řešíme lineární rovnici x + 2 = 6,
dostaneme x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Pokud x = 4, pak
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odpověď: 27.

Pokud máte ještě dotazy, je chuť se řešením rovnic zabývat důkladněji, přihlaste se na mé lekce v ROZVRHU. Rád vám pomohu!

TutorOnline také doporučuje zhlédnout nový video tutoriál od naší lektorky Olgy Alexandrovny, který vám pomůže porozumět jak lineárním rovnicím, tak dalším.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

V kurzu matematiky 7. třídy se nejprve setkávají s rovnice se dvěma proměnnými, ale jsou studovány pouze v kontextu soustav rovnic se dvěma neznámými. Z dohledu proto vypadává řada problémů, ve kterých jsou na koeficienty rovnice zavedeny určité podmínky, které je omezují. Kromě toho jsou ignorovány také metody pro řešení problémů jako „Vyřešte rovnici v přirozených nebo celých číslech“, i když se s problémy tohoto druhu setkáváme stále častěji v USE materiálech a při přijímacích zkouškách.

Která rovnice se bude nazývat rovnice se dvěma proměnnými?

Takže například rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 nebo xy = 12 jsou rovnice se dvěma proměnnými.

Uvažujme rovnici 2x - y = 1. Ta se změní na skutečnou rovnost v x = 2 a y = 3, takže tato dvojice proměnných hodnot je řešením uvažované rovnice.

Řešením jakékoli rovnice se dvěma proměnnými je tedy množina uspořádaných dvojic (x; y), hodnot proměnných, které tato rovnice promění ve skutečnou číselnou rovnost.

Rovnice se dvěma neznámými může:

A) mít jedno řešení. Například rovnice x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné řešení (0; 0);

b) mít více řešení. Například (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 řešení: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

PROTI) nemají řešení. Například rovnice x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá řešení;

G) má nekonečně mnoho řešení. Například x + y = 3. Řešení této rovnice budou čísla, jejichž součet je 3. Množinu řešení této rovnice lze zapsat jako (k; 3 - k), kde k je libovolné reálné číslo.

Hlavními metodami řešení rovnic se dvěma proměnnými jsou metody založené na faktoringových výrazech, zvýraznění plného čtverce, využití vlastností kvadratické rovnice, vázaných výrazů a vyhodnocovací metody. Rovnice se zpravidla převede do tvaru, ze kterého lze získat systém pro hledání neznámých.

Faktorizace

Příklad 1

Řešte rovnici: xy - 2 = 2x - y.

Řešení.

Pro účely faktoringu seskupujeme termíny:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Vyjměte společný faktor z každé závorky:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Máme:

y = 2, x je libovolné reálné číslo nebo x = -1, y je libovolné reálné číslo.

Tím pádem, odpověď jsou všechny dvojice ve tvaru (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovnost nezáporných čísel k nule

Příklad 2

Řešte rovnici: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Řešení.

Seskupení:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nyní lze každou závorku sbalit pomocí vzorce čtvercového rozdílu.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Součet dvou nezáporných výrazů je nula pouze v případě, že 3x - 2 = 0 a 2y - 3 = 0.

Takže x = 2/3 a y = 3/2.

Odpověď: (2/3; 3/2).

Metoda hodnocení

Příklad 3

Řešte rovnici: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Řešení.

V každé závorce vyberte celý čtverec:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhad význam výrazů v závorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, pak levá strana rovnice je vždy alespoň 2. Rovnost je možná, pokud:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y - 2) 2 + 2 = 2, takže x = -1, y = 2.

Odpověď: (-1; 2).

Pojďme se seznámit s další metodou řešení rovnic se dvěma proměnnými druhého stupně. Tato metoda spočívá v tom, že rovnice je považována za čtverec vzhledem k nějaké proměnné.

Příklad 4

Řešte rovnici: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Řešení.

Řešme rovnici jako kvadratickou vzhledem k x. Pojďme najít diskriminant:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Rovnice bude mít řešení pouze tehdy, když D = 0, tedy pokud y = 4. Do původní rovnice dosadíme hodnotu y a zjistíme, že x = 3.

Odpověď: (3; 4).

Často v rovnicích se dvěma neznámými naznač omezení proměnných.

Příklad 5

Řešte rovnici v celých číslech: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Řešení.

Přepišme rovnici ve tvaru x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výsledné rovnice po dělení 5 dává zbytek 2. Proto x 2 není dělitelné 5. Ale čtverec čísla, které není dělitelné 5, dává zbytek 1 nebo 4. Tedy rovnost je nemožná a neexistují žádná řešení.

Odpověď: žádné kořeny.

Příklad 6

Vyřešte rovnici: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Řešení.

Vyberme celé čtverce v každé závorce:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Levá strana rovnice je vždy větší nebo rovna 3. Rovnost je možná, pokud |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Tedy x = ± 2, y = -3.

Odpověď: (2; -3) a (-2; -3).

Příklad 7

Pro každou dvojici záporných celých čísel (x; y) splňujících rovnici
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítejte součet (x + y). Odpovězte na nejmenší množství.

Řešení.

Vyberte celé čtverce:

(x2 - 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Protože x a y jsou celá čísla, jejich druhé mocniny jsou také celá čísla. Součet druhých mocnin dvou celých čísel rovný 37 dostaneme, když sečteme 1 + 36. Proto:

(x - y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Řešením těchto soustav as přihlédnutím k tomu, že x a y jsou záporné, najdeme řešení: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpověď: -17.

Pokud máte potíže při řešení rovnic o dvou neznámých, nezoufejte. S trochou cviku zvládnete jakoukoliv rovnici.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit rovnice se dvěma proměnnými?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

1. Řešení soustavy substituční metodou.
2. Řešení soustavy sčítáním (odečítáním) rovnic soustavy po členech.

Abychom vyřešili soustavu rovnic substituční metoda musíte postupovat podle jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadřujeme. Z libovolné rovnice vyjádříme jednu proměnnou.
2. Náhradník. Dosadíme v jiné rovnici místo vyjádřené proměnné výslednou hodnotu.
3. Výslednou rovnici řešíme s jednou proměnnou. Najdeme řešení systému.

Vyřešit systém sčítáním (odčítáním) po členech potřebovat:
1. Vyberte proměnnou, pro kterou uděláme stejné koeficienty.
2. Rovnice sečteme nebo odečteme, ve výsledku dostaneme rovnici s jednou proměnnou.
3. Řešíme přijaté lineární rovnice. Najdeme řešení systému.

Řešením soustavy jsou průsečíky grafů funkce.

Podívejme se podrobně na řešení systémů pomocí příkladů.

Příklad č. 1:

Řešíme substituční metodou

2x+5y=1 (1 rovnice)
x-10y=3 (2. rovnice)

1. Expresní
Je vidět, že ve druhé rovnici je proměnná x s koeficientem 1, proto se ukazuje, že je nejjednodušší vyjádřit proměnnou x z druhé rovnice.
x = 3 + 10 let

2. Po vyjádření dosadíme do první rovnice místo proměnné x 3 + 10y.
2(3+10y)+5y=1

3. Výslednou rovnici řešíme s jednou proměnnou.
2(3+10y)+5y=1 (otevřené závorky)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Řešením soustavy rovnic jsou průsečíky grafů, proto musíme najít x a y, protože průsečík se skládá z x a y. Najdeme x, v prvním odstavci, kde jsme vyjádřili, tam dosadíme y.
x = 3 + 10 let
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvním místě je zvykem psát body, zapíšeme proměnnou x a na druhém místě proměnnou y.
Odpověď: (1; -0,2)

Příklad č. 2:

Řešíme sčítáním (odčítáním) po členech.

3x-2y=1 (1 rovnice)
2x-3y=-10 (2. rovnice)

1. Vyberte proměnnou, řekněme, že vybereme x. V první rovnici má proměnná x koeficient 3, ve druhé - 2. Potřebujeme, aby koeficienty byly stejné, k tomu máme právo rovnice násobit nebo dělit libovolným číslem. Vynásobíme první rovnici 2 a druhou 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od první rovnice odečtěte druhou, abyste se zbavili proměnné x.Vyřešte lineární rovnici.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Najděte x. Nalezené y dosadíme do libovolné z rovnic, řekněme do první rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Průsečík bude x=4,6; y=6,4
Odpověď: (4.6; 6.4)

Chcete se připravit na zkoušky zdarma? Tutor online zdarma. Bez legrace.