Vlastnosti kořene funkce x. "Funkce "kořen x", její vlastnosti a grafy"

8. třída

Učitel: Melniková T.V.

Cíle lekce:

Zařízení:

Počítač, interaktivní tabule, leták.

Prezentace na lekci.

BĚHEM lekcí

Plán lekce.

Úvod učitelem.

Opakování dříve probrané látky.

Učení se nové látky (skupinová práce).

Funkční výzkum. Vlastnosti grafu.

Diskuse o rozvrhu (frontální práce).

Hra s matematickými kartami.

Výsledky lekce.

I. Aktualizace základních znalostí.

Pozdrav učitele.

Učitel :

Závislost jedné proměnné na druhé se nazývá funkce. Zatím jste studovali funkce y = kx + b; y \u003d k / x, y \u003d x 2. Dnes budeme pokračovat ve studiu funkcí. V dnešní lekci se dozvíte, jak vypadá graf funkce s odmocninou, naučte se sami vykreslovat funkce druhé odmocniny.

Zapište si téma lekce (snímek1).

2. Opakování probrané látky.

1. Jak se jmenují funkce definované vzorci:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y \u003d -1 / 2x + 4; d) y=2x; e) y \u003d -6 / x e) y \u003d x 2?

2. Jaký je jejich rozvrh? jak se nachází? Zadejte rozsah a rozsah každé z těchto funkcí ( na Obr. jsou zobrazeny grafy funkcí dané těmito vzorci, u každé funkce uveďte její typ) (snímek 2).

3. Jaký je graf každé funkce, jak jsou tyto grafy sestaveny?

(snímek3, grafy funkcí jsou schematicky konstruovány).

3. Učení nového materiálu.

Učitel:

Dnes tedy studujeme funkci
a její rozvrh.

Víme, že graf funkce y \u003d x 2 je parabola. Jaký bude graf funkce y \u003d x 2, pokud vezmeme pouze x ≥ 0? Je součástí paraboly – její pravé větve. Nyní nakreslíme funkci
.

Zopakujme si algoritmus pro konstrukci grafů funkcí ( snímek 4 s algoritmem)

Otázka : Co si myslíte, když se podíváte na analytický zápis funkce, můžete říct, jaké hodnoty X povoleno? (Ano, x≥0). Od výrazu
dává smysl pro všechna x větší nebo rovna 0.

Učitel: V přírodních jevech, v lidské činnosti často existují vztahy mezi dvěma veličinami. Jaký graf může tento vztah znázornit? ( skupinová práce)

Třída je rozdělena do skupin. Každá skupina dostane za úkol: sestrojit funkční graf
na milimetrový papír podle všech bodů algoritmu. Poté vystoupí zástupce z každé skupiny a ukáže práci skupiny. (otevře se sklad 5, probíhá kontrola, pak se rozvrh zabuduje do poznámkových bloků)

4. Studie funkce (skupinová práce pokračuje)

Učitel:

najít rozsah funkce;

najít rozsah funkce;

určit intervaly poklesu (zvýšení) funkce;

y>0, y<0.

Výsledky zapište (snímek 6).

Učitel: Pojďme analyzovat graf. Grafem funkce je větev paraboly.

Otázka : Řekni mi, už jsi někde viděl tento graf?

Podívejte se na graf a řekněte mi, jestli protíná přímku OX? (Ne) OU? (Ne). Podívejte se na graf a řekněte mi, zda má graf střed symetrie? Osa symetrie?

Pojďme si to shrnout:

Nyní věřme, jak jsme se naučili nové téma a zopakovali si probranou látku. Hra s matematickými kartami. (Pravidla hry: každé skupině 5 osob je nabídnuta sada karet (25 karet). Každý hráč dostane 5 karet, na kterých jsou napsány otázky. První žák předá jednu z karet druhému student, který musí odpovědět na otázku z karty Pokud student na otázku odpoví, pak je karta odbita, pokud ne, pak si student vezme kartu pro sebe a zradí tah atd. pouze 5 tahů. Pokud student nemá žádné zbývají karty, pak je skóre -5, zbývá 1 karta - skóre 4, 2 karty - skóre 3, 3 karty - skóre - 2)

5. Výsledky lekce.(studenti jsou hodnoceni na kontrolních seznamech)

Zadání domácího úkolu.

Studijní předmět 8.

Řešení #172, #179, #183.

Připravte zprávy na téma „Uplatnění funkce v různých oblastech vědy a literatury“.

Odraz.

Ukažte svou náladu pomocí obrázků na stole.

Dnešní lekce

Líbí se mi to.

nelíbilo se mi.

Materiál lekce I pochopil, nepochopil).

Odmocnina jako elementární funkce.

Odmocnina je elementární funkce a speciální případ mocninné funkce pro . Aritmetická odmocnina je hladká v , a v nule je přímo spojitá, ale není diferencovatelná.

Jako funkce je kořen komplexní proměnné dvouhodnotová funkce, jejíž listy konvergují v nule.

Vykreslení funkce druhé odmocniny.

1. Vyplňte datovou tabulku:

2. Umístěte body, které jsme získali, na souřadnicovou rovinu.

3. Spojíme tyto body a získáme graf funkce druhé odmocniny:

Transformace grafu funkce druhé odmocniny.

Určíme, jaké transformace funkce je třeba provést, abychom mohli vykreslit grafy funkcí. Pojďme definovat typy transformací.

Často se transformace funkcí kombinují.

Například, musíte funkci vykreslit . Toto je odmocnina, která má být posunuta o jednu jednotku dolů po ose OY a jeden vpravo podél osy ACH a zároveň to 3x protáhnout podél osy OY.

Stává se, že bezprostředně před vykreslením funkčního grafu jsou potřeba předběžné shodné transformace nebo zjednodušení funkcí.

Městský vzdělávací ústav

střední škola №1

Umění. Brjukhovetskaja

obecní formace Bryukhovetsky okres

Učitel matematiky

Guchenko Anžela Viktorovna

rok 2014

Funkce y =
, jeho vlastnosti a graf

Typ lekce: učení nového materiálu

Cíle lekce:

Úkoly řešené v lekci:

naučit žáky pracovat samostatně;

vytvářet domněnky a domněnky;

být schopen zobecnit studované faktory.

Zařízení: tabule, křída, multimediální projektor, leták

Načasování lekce.

Určení tématu lekce společně se studenty -1 min.

Stanovení cílů a cílů lekce společně se studenty -1 min.

Aktualizace znalostí (frontální průzkum) -3 min.

Ústní práce -3 min.

Vysvětlení nového materiálu, postaveného na vytváření problémových situací -7 min

fizminutka -2 minuty.

Sestavení grafu společně s třídou s návrhem konstrukce v sešitech a určení vlastností funkce, práce s učebnicí -10 min.

Upevňování získaných znalostí a rozvoj dovedností pro transformaci grafů -9 min .

Shrnutí lekce, vytvoření zpětné vazby -3 min.

Domácí práce -1 min.

Celkem 40 minut.

Během vyučování.

Určení tématu hodiny společně se studenty (1 min).

Téma lekce určí studenti pomocí návodných otázek:

funkce- práce vykonávaná tělem, tělem jako celkem.

funkce- možnost, možnost, schopnost programu nebo zařízení.

funkce- povinnost, rozsah činností.

funkce postava v literárním díle.

funkce- druh podprogramu v informatice

funkce v matematice zákon závislosti jedné veličiny na druhé.

Stanovení cílů a cílů lekce společně se studenty (1 min).

Učitel s pomocí žáků formuluje a vyslovuje cíle a cíle této lekce.

Aktualizace znalostí (frontální průzkum - 3 min).

Ústní práce - 3 min.

Přední práce.

(A a B patří, C ne)

Výklad nového materiálu (na základě vytváření problémových situací - 7 min).

Problémová situace: popsat vlastnosti neznámé funkce.

Rozdělte třídu do týmů po 4–5 lidech, rozdejte formuláře k zodpovězení otázek

Formulář №1

y=0, v x=?

Rozsah funkcí.

Sada hodnot funkcí.

Na každou otázku odpovídá jeden ze zástupců týmu, zbytek týmů hlasuje signálními kartami „pro“ nebo „proti“ a případně doplní odpovědi spolužáků.

Společně s třídou udělejte závěr o definičním oboru, množině hodnot, nulách funkce y=.

Problémová situace : zkuste sestavit graf neznámé funkce (probíhá diskuse v týmech, hledání řešení).

S učitelem si připomeneme algoritmus pro konstrukci grafů funkcí. Studenti v týmech se snaží nakreslit graf funkce y \u003d na formulářích, poté si formuláře navzájem vymění pro sebe a vzájemné ověření.

Fizminutka (klaunství)

Sestavení grafu společně s třídou s návrhem konstrukce v sešitech - 10 min.

Po obecné diskusi je úkol sestrojit graf funkce y \u003d individuálně proveden každým studentem v poznámkovém bloku. Učitel v této době poskytuje žákům diferencovanou pomoc. Po dokončení úkolu se studentům zobrazí graf funkce na tabuli a studenti jsou požádáni, aby odpověděli na následující otázky:

Závěr: společně se studenty udělejte ještě jednou závěr o vlastnostech funkce a přečtěte si je z učebnice:

Upevňování získaných znalostí a rozvoj dovedností pro transformaci grafu - 9 min.

Studenti pracují na své kartě (podle možností), poté se vzájemně mění a kontrolují. Na tabuli se pak zobrazí grafy a studenti svou práci hodnotí srovnáním s tabulí.

Karta č. 1

Karta č. 2

Závěr: o transformacích grafů

1) paralelní translace podél osy OS

2) posun podél osy OX.

9. Shrnutí lekce, zjištění zpětné vazby - 3 min.

SNÍMKY – vložit chybějící slova

Rozsah této funkce, všechna čísla kromě ... (negativní).

Graf funkce je umístěn v... (já)čtvrtletí.

Když je hodnota argumentu x = 0, hodnota ... (funkce) y =... (0).

Největší hodnota funkce... (neexistuje), nejmenší hodnotu - …(rovná se 0)

10. Domácí úkol (s komentářem - 1 min).

Podle učebnice- §13

Podle knihy problémů- č. 13.3, č. 74 (opakování neúplných kvadratických rovnic)

Základní cíle:

1) vytvořit si představu o účelnosti zobecněného studia závislostí reálných veličin na příkladu veličin souvisejících vztahem y=

2) vytvořit schopnost vykreslit y= a jeho vlastnosti;

3) zopakovat a upevnit metody ústních a písemných výpočtů, kvadratury, vytahování odmocniny.

Vybavení, předváděcí materiál: leták.

1. Algoritmus:

2. Ukázka pro splnění úkolu ve skupinách:

3.Ukázka pro autotest samostatné práce:

4. Karta pro fázi reflexe:

1) Přišel jsem na to, jak znázornit graf funkce y=.

2) Mohu uvést jeho vlastnosti podle rozpisu.

3) Ve své samostatné práci jsem nedělal chyby.

4) Udělal jsem chyby v samostatné práci (uveďte tyto chyby a uveďte jejich důvod).

Během vyučování

1. Sebeurčení k učebním činnostem

Účel etapy:

1) zapojit studenty do vzdělávacích aktivit;

2) určete obsah lekce: nadále pracujeme s reálnými čísly.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 1:

Co jsme se učili v minulé lekci? (Studovali jsme množinu reálných čísel, akce s nimi, postavili jsme algoritmus pro popis vlastností funkce, zopakovali jsme funkce probrané v 7. ročníku).

– Dnes budeme pokračovat v práci s množinou reálných čísel, funkcí.

2. Aktualizace znalostí a odstraňování potíží v činnostech

Účel etapy:

1) aktualizovat vzdělávací obsah nezbytný a postačující pro vnímání nového materiálu: funkce, nezávislá proměnná, závislá proměnná, grafy

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) aktualizovat mentální operace nezbytné a dostatečné pro vnímání nového materiálu: srovnání, analýza, zobecnění;

3) opravit všechny opakované koncepty a algoritmy ve formě schémat a symbolů;

4) opravit individuální obtíž v činnosti a prokázat nedostatečnost existujících znalostí na osobně významné úrovni.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 2:

1. Připomeňme si, jak lze nastavit závislosti mezi veličinami? (pomocí textu, vzorce, tabulky, grafu)

2. Co se nazývá funkce? (Vztah mezi dvěma veličinami, kde každá hodnota jedné proměnné odpovídá jediné hodnotě druhé proměnné y = f(x)).

Jak se nazývá x? (Nezávislá proměnná – argument)

jak se jmenuješ? (Závislá proměnná).

3. Učili jsme se funkce v 7. třídě? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2, ).

Individuální úkol:

Jaký je graf funkcí y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Identifikace příčin obtíží a stanovení cíle činnosti

Účel etapy:

1) organizovat komunikační interakci, během níž je odhalena a fixována charakteristická vlastnost úkolu, která způsobila potíže ve vzdělávacích aktivitách;

2) dohodnout se na účelu a tématu lekce.

Organizace vzdělávacího procesu ve 3. etapě:

Co je na tomto úkolu zvláštní? (Závislost je dána vzorcem y = se kterým jsme se ještě nesetkali).

- Jaký je účel lekce? (Seznamte se s funkcí y \u003d, jejími vlastnostmi a grafem. Funkce v tabulce určuje typ závislosti, sestavte vzorec a graf.)

- Uhodnete téma lekce? (Funkce y=, její vlastnosti a graf).

- Napište téma do sešitu.

4. Vytvoření projektu, jak se dostat z obtížnosti

Účel etapy:

1) organizovat komunikativní interakci s cílem vybudovat nový způsob jednání, který eliminuje příčinu zjištěných potíží;

2) zafixovat nový způsob jednání ve znakové, verbální formě a pomocí normy.

Organizace vzdělávacího procesu ve 4. etapě:

Práci ve fázi lze organizovat do skupin tak, že skupiny vyzvete, aby vykreslily y = a poté analyzovaly výsledky. Také lze nabídnout skupiny pro popis vlastností této funkce podle algoritmu.

5. Primární konsolidace ve vnější řeči

Účel etapy: fixovat studovaný vzdělávací obsah v externí řeči.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 5:

Sestavte graf y= - a popište jeho vlastnosti.

Vlastnosti y= - .

1.Rozsah definice funkce.

2.Rozsah funkčních hodnot.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0, pokud x=0.

y<0, если х(0;+)

4.Zvýšení, snížení funkce.

Funkce je klesající v x.

Nakreslíme y=.

Vyberme jeho část na segmentu . Všimněme si, že v Naim. = 1 pro x = 1 a y max. \u003d 3 pro x \u003d 9.

Odpověď: naim. = 1, při max. =3

6. Samostatná práce s autotestem dle normy

Účel fáze: otestovat vaši schopnost aplikovat nový výukový obsah v typických podmínkách na základě porovnání vašeho řešení se standardem pro samotestování.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 6:

Studenti plní úkol samostatně, provádějí autotest podle normy, analyzují, opravují chyby.

Nakreslíme y=.

Pomocí grafu najděte nejmenší a největší hodnoty funkce v segmentu.

7. Zařazení do systému znalostí a opakování

Účel fáze: trénovat dovednosti používání nového obsahu ve spojení s dříve naučeným: 2) zopakovat učební obsah, který bude vyžadován v následujících lekcích.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 7:

Vyřešte graficky rovnici: \u003d x - 6.

Jeden žák u tabule, zbytek v sešitech.

8. Reflexe činnosti

Účel etapy:

1) opravit nový obsah naučený v lekci;

2) zhodnotit vlastní aktivity v hodině;

3) poděkovat spolužákům, kteří pomohli k výsledku hodiny;

4) opravit nevyřešené obtíže jako směr pro budoucí vzdělávací aktivity;

5) Diskutujte a zapisujte si domácí úkoly.

Organizace vzdělávacího procesu ve fázi 8:

- Kluci, jaký byl náš dnešní cíl? (Prostudujte funkci y \u003d, její vlastnosti a graf).

- Jaké znalosti nám pomohly dosáhnout cíle? (Schopnost hledat vzory, schopnost číst grafy.)

- Zkontrolujte své aktivity ve třídě. (Reflexní karty)

Domácí práce

položka 13 (až do příkladu 2) № 13.3, 13.4

Řešte rovnici graficky.

Vlastnosti grafu a funkce na = │Ach│ (modul)

Zvažte funkci na = │Ach│, kde A- určitý počet.

Rozsah definice funkcí na = │Ach│, je množina všech reálných čísel. Obrázek ukazuje resp funkční grafy na = │X│, na = │ 2x │, na = │X/2│.

Můžete vidět, že graf funkce na = | Ach| získané z grafu funkce na = Ach, pokud je záporná část grafu funkce na = Ach(je pod osou O X), odrážet symetricky tato osa.

Graf je snadno vidět vlastnosti funkcí na = │ Ach │.

Na X= 0, dostáváme na= 0, to znamená, že počátek souřadnic náleží grafu funkce; na X= 0, dostáváme na> 0, to znamená, že všechny ostatní body grafu leží nad osou O X.

Pro opačné hodnoty X, hodnoty na bude stejný; Osa O na toto je osa symetrie grafu.

Můžete například vykreslit funkci na = │X 3│. Pro srovnání vlastností na = │X 3 │a na = X 3 vytvoříme tabulku jejich hodnot se stejnými hodnotami argumentů.

Z tabulky vidíme, že za účelem vykreslení funkce na = │X 3 │, můžete začít vykreslením funkce na = X 3. Poté stojí symetricky k ose O X zobrazit tu část, která je pod touto osou. V důsledku toho dostaneme graf znázorněný na obrázku.

Vlastnosti grafu a funkce na = X 1/2 (vykořenit)

Zvažte funkci na = X 1/2 .

Rozsah definice této funkce je množina nezáporných reálných čísel, protože výraz X 1/2 záleží pouze na tom, kdy X > 0.

Pojďme sestavit graf. K sestavení tabulky jeho hodnot používáme mikrokalkulátor, který zaokrouhluje hodnoty funkcí na desetiny.

Po nakreslení bodů na souřadnicové rovině a jejich hladkém spojení dostaneme funkční graf na = X 1/2 .

Sestrojený graf nám umožňuje některé formulovat vlastnosti funkcí na = X 1/2 .

Na X= 0, dostáváme na= 0; na X> 0, dostáváme na> 0; graf prochází počátkem; zbývající body grafu jsou umístěny v první souřadnicové čtvrtině.

Teorém. Graf funkcí na = X 1/2 je symetrická ke grafu funkce na = X 2, kde X> 0, relativně rovné na = X.

Důkaz. Graf funkcí na = X 2, kde X> 0 je větev paraboly umístěná v prvním souřadnicovém kvadrantu. Nechte bod R (A; b) je libovolný bod tohoto grafu. Pak je rovnost pravdivá b = A 2. Vzhledem k tomu, podle stavu, počet A je nezáporná, pak je rovnost také pravdivá A= b 1/2. A to znamená, že souřadnice bodu Q (b; A) transformovat vzorec na = X 1/2 ke skutečné rovnosti, nebo jinak, tečka Q (b; A na= X 1/2 .

Je také dokázáno, že pokud bod M (S; d) patří do grafu funkce na = X 1/2 pak tečka N (d; S) patří do grafu na = X 2, kde X > 0.

Ukazuje se, že každý bod R(A; b) funkční graf na = X 2, kde X> 0, odpovídá pouze jeden bod Q (b; A) funkční graf na = X 1/2 a naopak.

Zbývá dokázat, že body R (A; b) A Q (b; A) jsou symetrické vzhledem k přímce na = X. Vypuštění kolmice k souřadnicovým osám z bodů R A Q, získáme body na těchto osách E(A; 0), D (0; b), F (b; 0), S (0; A). Tečka R průsečíky kolmiček RE A QC má souřadnice ( A; A) a proto patří do řady na = X. Trojúhelník PRQ je rovnoramenný, od jeho stran RP A RQ rovná se │ b – A│ každý. Rovný na = X půlit jako úhel DOF, stejně jako úhel PRQ a překročí čáru PQ v určitém bodě S. Proto segment RS je osa trojúhelníku PRQ. Protože osou rovnoramenného trojúhelníku je jeho výška a medián PQ ┴ RS A PS = QS. A to znamená, že body R (A; b) A Q (b; A) symetrický vzhledem k přímce na = X.

Vzhledem k tomu, graf funkce na = X 1/2 je symetrická ke grafu funkce na = X 2, kde X> 0, relativně rovné na= X, pak graf funkce na = X 1/2 je větev paraboly.