Definicija Pascalovog trokuta. Istraživački rad iz matematike na temu "Pascalov trokut" (7. razred)

Povijest trokuta. Prvo spominjanje trokutastog niza binomnih koeficijenata nazvanog meru-prastaara javlja se u komentaru indijskog matematičara Halayudhe iz 10. stoljeća na radove drugog matematičara, Pingale. Trokut je također istraživao Omar Khayyam oko 1100. godine, zbog čega se u Iranu ovaj uzorak naziva Khayyamov trokut. Godine 1303. objavljena je knjiga kineskog matematičara Zhu Shijiea "Ogledalo od četiri elementa u jaspisu", u kojoj je na jednoj od ilustracija prikazan Pascalov trokut; Vjeruje se da ga je izumio još jedan kineski matematičar, Yang Hui (zbog čega ga Kinezi zovu Yang Huijev trokut). Naslovna stranica udžbenika aritmetike koju je 1529. godine napisao Peter Apian, astronom sa Sveučilišta u Ingoltstadtu, također prikazuje Pascalov trokut. A 1653. (u drugim izvorima 1655.) objavljena je knjiga Blaisea Pascala "Traktat o aritmetičkom trokutu".

Svojstva Pascalovog trokuta. Ako ocrtate Pascalov trokut, dobit ćete jednakokračni trokut. U ovom trokutu postoje jedan na vrhu i na stranama. Svaki broj jednak je zbroju dvaju brojeva iznad njega. Trokut se može nastaviti unedogled. Crte trokuta su simetrične u odnosu na okomitu os. Ima primjenu u teoriji vjerojatnosti i ima zanimljiva svojstva.

Svojstva Pascalovog trokuta. Brojevi trokuta su simetrični (jednaki) oko okomite osi. prvi i zadnji broj jednaki su 1. drugi i pretposljednji broj jednaki su n. treći broj jednak je trokutastom broju, koji je također jednak zbroju brojeva prethodnih redaka. četvrti broj je tetraedarski. Zbroj brojeva rastuće dijagonale počevši od prvog elementa (n-1) reda je n-ti Fibonaccijev broj. Ako susjedni broj iz istog reda oduzmete od središnjeg broja u parnom redu, dobit ćete katalonski broj. Zbroj brojeva u n-tom redu Pascalovog trokuta je 2n. Prosti djelitelji brojeva Pascalova trokuta tvore simetrične sebi slične strukture. Ako su u Pascalovom trokutu svi neparni brojevi obojeni crno, a parni brojevi bijelo, tada nastaje trokut Sierpinskog. Svi brojevi u n-tom redu, osim jednog, djeljivi su s n ako i samo ako je n prost broj. Ako u nizu s neparnim brojem zbrojimo sve brojeve s rednim brojevima oblika 3n, 3n+1, 3n+2, tada će prva dva zbroja biti jednaka, a treći će biti za 1 manji. Svaki broj u trokutu jednak je broju načina da se do njega dođe od vrha, krećući se desno-dolje ili lijevo-dolje.

Poznati američki znanstvenik Martin Gardner rekao je: “Pascalov trokut je toliko jednostavan da ga čak i desetogodišnje dijete može napisati. Istovremeno, krije neiscrpna blaga i povezuje različite aspekte matematike koji na prvi pogled nemaju ništa zajedničko. Takva neobična svojstva čine Pascalov trokut jednim od najelegantnijih dijagrama u cijeloj matematici.”

Kako bi primili Pascalov trokut, prepisujemo tablicu 1 iz odjeljka "Skraćene formule množenja: stupanj zbroja i stupanj razlike" u sljedećem obliku (tablica P.):

Tablica P. – Prirodne potencije binoma x + y

Sada ćemo, koristeći treći stupac tablice P., sastaviti sljedeću tablicu - Pascalov trokut:

Sada, zapisujući samo koeficijente proširenja binomnih potencija u zbroj monoma, dobivamo sljedeću tablicu - Pascalov trokut:

Tablica - Pascalov trokut

Za svaki slučaj, podsjetimo da je Blaise Pascal slavni fizičar i matematičar koji je prije više od tri stoljeća živio u Francuskoj.

U Pascalovom trokutu svaki redak odgovara liniji s istim brojem u tablici P. Međutim, u svakom retku Pascalovog trokuta, za razliku od tablice P., samo koeficijenti širenja u zbroj monoma odgovarajućeg stupnja binoma x + y.

Nakon što smo prvo ispunili linije Pascalovog trokuta s brojevima 0 i 1, razmotrite linije s brojevima 2 i dalje.

Glavno svojstvo Pascalovog trokuta, što vam omogućuje da uzastopno ispunjavate njegove retke, počevši od retka broj 2, jest sljedeće svojstvo :

Svaka od linija , počevši od reda broj 2, prvo, počinje i završava brojem 1, a drugo, između brojeva 1 nalaze se brojevi, svaki od kojih jednak zbroju dvaju brojeva iznad njega u prethodnom redu.

Zaista, broj 2 u retku broj dva jednak je zbroju brojeva 1 plus 1 u prvom retku. Na isti način, brojevi 3 i 3 u retku broj tri jednaki su zbroju brojeva 1 plus 2 i zbroju brojeva 2 plus 1 u drugom retku.

Isto za ostale linije.

Dakle, svojstvo Pascalovog trokuta omogućuje da se, ispunivši jedan od redaka, lako ispuni sljedeći, tj. dobiti potrebne koeficijente proširenja u zbroj monoma sljedećeg stupnja binoma x + y.

Primjer. Napiši dekompoziciju oblika:

(x + g) 7 .

Riješenje . Koristeći liniju Pascalovog trokuta s brojem 6 i primjenjujući glavno svojstvo Pascalovog trokuta, dobivamo liniju s brojem 7:

Na našoj web stranici također se možete upoznati s obrazovnim materijalima koje su razvili nastavnici centra za obuku Resolventa za pripremu za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit iz matematike.

Za školarce koji se žele dobro pripremiti i položiti Jedinstveni državni ispit

Odjel za obrazovanje, sport i turizam Izvršnog odbora okruga Borisov

Državna obrazovna ustanova

"Srednja škola br. 16 u Borisovu"

Pascalov trokut

učenica 7 "A" razreda

Abojan Elizaveta Aleksandrovna,

kućna adresa: Borisov,

Smolevichiskaya st., 8, 76-51-80

Nadglednik:

Ishchuk Olga Eduardovna, učiteljica matematike

Borisov, 2016

Sadržaj

Uvod

Ove školske godine započeli smo učiti novi predmet „geometrija“.

Jedno od poglavlja tečaja geometrije zove se “Trokuti”. Jako me zanimala ova tema. Oduvijek sam želio naučiti puno novih stvari o trokutima, njihovom podrijetlu i značenju u našim životima. Uostalom, svijet trokuta vrlo je tajanstven i zanimljiv.

Trokut je prva geometrijska figura pronađena u drevnim ornamentima. Proučavajući književnost saznala sam da je u Egiptu simbolizirala trijadu duhovne volje, ljubavi, intuicije i višeg uma čovjeka, odnosno njegove osobnosti ili duše.

Asteci su koristili sliku trokuta s vrhom na vrhu povezanog s obrnutim trokutom kao simbolom vremenskog ciklusa. Trokut u kombinaciji s križem tvori alkemijski znak Sumpora.

Jednakostranični trokut, simbolizirajući, prema hebrejskoj tradiciji, savršenstvo, među kršćanima znači Trojstvo - Otac, Sin i Duh Sveti.

Postoje mnoge vrste trokuta, ali mene je najviše zanimao Pascalov trokut.

Problem istraživanja:

Problem mog istraživanja je taj što sam pokušao identificirati i pokazati koliko se trokuti široko koriste u praktičnom životu.

Praktični značaj studije:

Ovaj istraživački rad može se koristiti kao dodatni materijal za nastavu geometrije, za izvannastavni rad iz matematike.

Svrha studije:

Upoznati se s Pascalovim trokutom i njegovom primjenom kao vrste trokuta;

Hipoteza:

Ako brojevi Pascalovog trokuta imaju posebna svojstva, tada se on može smatrati jedinstvenim za rješavanje raznih problema

Zadaci:

Odrediti primjenu svojstava brojeva Pascalova trokuta;

Proučite literaturu na temu "Pascalov trokut";

Prepoznati svojstva brojeva koji čine Pascalov trokut;

Formulirati zaključak i rezultate studije;

Predmet proučavanja: trokut kao geometrijski lik

Predmet istraživanja: svojstva Pascalovog trokuta

Metode istraživanja:

Analitički i statistički rad s referentnom, znanstvenom, obrazovnom i specijalnom literaturom;

Traženje informacija na internetskim resursima.

Područja rada:

Odabir problema, izvora literature, izrada plana;

Rad s literaturom i drugim izvorima;

Obrada primljenih podataka;

Analiza rezultata, formuliranje zaključaka;

Multimedijska obuka.

Glavne faze studije: pripremni; aktivan;

Napredak studija: reflektivni; analitički; prezentacijski.

Teorijski dio rada

Uvod u Pascalov trokut

Moje prvo upoznavanje s Pascalovim trokutom dogodilo se dok sam proučavao temu "Podizanje binoma na potenciju" na satu algebre.Već znam formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike, kub zbroja i kub razlike. Primijetio sam da možete dobiti formule za podizanje binoma na četvrtinu, peticu itd. stupanj je moguć, s obzirom na određeni obrazac u koeficijentima i stupnjevima svakog člana.

Koeficijenti svih linija mogu se posložiti u obliku trokuta:

Tako sam se upoznao s Pascalovim trokutom i odlučio nastaviti proučavati aritmetički trokut.

Blaise Pascal - francuski matematičar

B Les Pascal (19. lipnja 1623., Clermont-Ferrand, - 19. kolovoza 1662., Pariz) - francuski matematičar, fizičar, pisac i filozof.

Pascal je bio prvorazredni matematičar. Pomogao je u stvaranju dva velika nova područja matematičkog istraživanja. U dobi od šesnaest godina napisao je izvanrednu raspravu o temi projektivne geometrije i 1654. dopisivao se s Pierreom de Fermatom o teoriji vjerojatnosti, koja je kasnije imala temeljni utjecaj na razvoj moderne ekonomije.

Pascalov trokut kao vrsta trokuta

Proučavajući vrste trokuta, saznao sam da je Pascalov trokut aritmetički trokut sastavljen od binomnih koeficijenata. Ime je dobio po Blaiseu Pascalu. Zapravo, Pascalov trokut bio je poznat davno prije 1653. godine, datuma objavljivanja Rasprave o aritmetičkom trokutu. Tako je ovaj trokut reproduciran na naslovnoj stranici udžbenika aritmetike koji je početkom 16. stoljeća napisao Peter Apian, astronom sa Sveučilišta u Ingoltstadtu. Trokut je također prikazan na ilustraciji u knjizi kineskog matematičara objavljenoj 1303. godine. Omar Khayyam, koji nije bio samo filozof i pjesnik, već i matematičar, znao je za postojanje trokuta već oko 1100. godine, pak, posuđujući ga iz ranijih kineskih ili indijskih izvora.

Također sam iz knjige “Matematički romani” (M., Mir, 1974.) Martina Gardnera naučio da je “Pascalov trokut toliko jednostavan da ga čak i desetogodišnje dijete može napisati. Istovremeno, krije neiscrpne čuva i povezuje različite aspekte matematike ", koji na prvi pogled nemaju ništa zajedničko jedno s drugim. Takva neobična svojstva omogućuju nam da Pascalov trokut smatramo jednom od najelegantnijih shema u cijeloj matematici."

Pogledao sam dijagram za konstruiranje trokuta koji je predložio Hugo Steinhaus u svom klasičnom “Matematičkom kaleidoskopu”: pretpostavimo da uđete u grad kao što je na dijagramu prikazano plavom strelicom, i možete se kretati samo naprijed, točnije, stalno birajući, naprijed lijevo ili naprijed desno. Čvorovi do kojih se može doći samo na jedan način označeni su zelenim emotikonima, točka do koje se može doći na dva načina prikazana je crvenim emotikonom, a tri, redom, ružičastim emotikonima. Ovo je jedna od opcija za konstrukciju trokuta.

(Slika 1)

Proučavajući stručnu literaturu naučio sam da se struktura Pascalovog trokuta može još jednostavnije objasniti riječima: svaki broj jednak je zbroju dvaju brojeva iznad njega .

Sve je elementarno, ali se u tome krije toliko čuda. Ako ocrtate Pascalov trokut, dobit ćete jednakokračni trokut. U ovom trokutu postoje jedan na vrhu i na stranama. Svaki broj jednak je zbroju dvaju brojeva iznad njega. Trokut se može nastaviti unedogled. Simetričan je u odnosu na okomitu os koja prolazi kroz njegov vrh. Uz dijagonale (koliko trokut može imati dijagonale, ali nemojmo se zezati, takva se terminologija nalazi u publikacijama), paralelno sa stranicama trokuta (označene zelenim linijama na slici), trokutasti brojevi i njihove generalizacije na slučaju izgrađenih prostora svih dimenzija. Trokutasti brojevi u najčešćem i poznatom obliku pokazuju koliko se krugova koji se dodiruju mogu posložiti u obliku trokuta - kao klasičan primjer, početni raspored kuglica u biljaru. Na jedan novčić možete priložiti još dva - za ukupno tri - za dva možete priložiti još tri - za ukupno šest.

Na slici smo dobili trokutaste brojeve: 3; 6; 10; 15.

Nastavljajući povećavati redove zadržavajući oblik trokuta, dobivamo red 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., što pokazuje druga zelena linija. Ovaj prekrasan niz, čiji je svaki član jednak zbroju prirodnog niza brojeva (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), također sadrži mnoge poznate koji su dobro poznati ljubiteljima matematike: 6 i 28 - savršeni brojevi, 36 je kvadratni broj, 8 i 21 su Fibonaccijevi brojevi.

Sljedeća zelena linija pokazat će nam tetraedarske brojeve - jednu kuglicu možemo staviti na tri - ukupno četiri, šest možemo staviti ispod tri - ukupno deset, i tako dalje.

Da biste pronašli zbroj brojeva na bilo kojoj dijagonali od početka do mjesta koje nas zanima, samo pogledajte broj koji se nalazi ispod i lijevo od zadnjeg člana (lijevo za desnu dijagonalu, desno za lijevu dijagonalno, i općenito - bliže sredini trokuta). Neka, na primjer, želimo izračunati zbroj brojeva u prirodnom nizu od 1 do 9. “Spustivši se” dijagonalno do broja 9, vidjet ćemo dolje lijevo od njega broj 45. To je ono što daje traženu svotu. Koliki je zbroj prvih osam trokutastih brojeva? Pronalazimo osmi broj na drugoj dijagonali i pomičemo se prema dolje i ulijevo. Odgovor: 120.

(Slika 2)

Pascalov trokut ima primjenu u teoriji vjerojatnosti i ima izvanredna svojstva.

Svojstva Pascalovog trokuta i njihova primjena u rješavanju problema

Pascal je detaljno istražio svojstva i primjene svog "trokuta". Dat ću kao primjer samo 3 svojstva "trokuta", koje je pronašao sam Pascal; u ovom slučaju, poći ću od položaja "trokuta" na ravnini, koji je naznačio Pascal, i govoriti o vodoravnim i okomitim redovima.

Svojstvo 1: Svaki broj A u tablici jednak je zbroju brojeva prethodnog vodoravnog retka, počevši od krajnjeg lijevog do onog neposredno iznad broja A (u kojem su ćelije koje sadrže članove koji zbrajaju A zasjenjen).(Slika 4)

(Slika 4)(Slika 5)(Slika 6)

Svojstvo 2: Svaki broj A u tablici jednak je zbroju brojeva u prethodnom okomitom retku, počevši od gornjeg prema dolje do broja A odmah lijevo.(Slika 5)

Svojstvo 3:Svaki broj u tablici, umanjen za jedan, jednak je zbroju svih brojeva koji popunjavaju pravokutnik omeđen onim okomitim i vodoravnim redovima u čijem sjecištu stoji broj A (sami ovi redovi nisu uključeni u pravokutnik u pitanje).(Slika 6)

Pascalov trokut i teorija vjerojatnosti.

Blaise Pascal i još jedan veliki Francuz, Pierre Fermat, postali su utemeljitelji teorije vjerojatnosti kada su Pascal i Fermat neovisno jedan o drugome dali ispravno objašnjenje za takozvani paradoks klađenja. Dva igrača igraju "bezopasnu" igru ​​(tj. obojica imaju iste šanse za pobjedu), slažući se da će onaj koji prvi osvoji šest igara dobiti cijelu nagradu. Pretpostavimo da je igra stala prije nego što je jedan od njih osvojio nagradu (na primjer, prvi igrač osvojio je pet igara, a drugi igrač tri). Kako pošteno podijeliti nagradu? Tako je prema jednoj odluci nagrada trebala biti podijeljena u omjeru 5:3, tj. proporcionalno dobivenim partijama, po drugoj - u omjeru 2:1 (ovdje je rezoniranje očito provedeno na sljedeći način: budući da je prvi igrač dobio još dvije partije, što je trećina od šest potrebnih partija za pobjedu, on treba dobiti jednu trećinu od nagrade, a ostatak se mora podijeliti na pola).

U međuvremenu, trebate podijeliti u omjeru 7:1. I Pascal i Fermat tretirali su paradoks podjele oklada kao problem vjerojatnosti, utvrđujući da je pravedna podjela proporcionalna šansama prvog igrača da osvoji nagradu. Pretpostavimo da prvi igrač ima još samo jednu partiju za pobjedu, a drugi treba osvojiti još tri igre da bi pobijedio, a igrači nastavljaju igru ​​i igraju sve tri igre, čak i ako se neke od njih pokažu nepotrebnim za određivanje pobjednika. . Za takav nastavak sva 2 3 = 8 mogućih ishoda bit će jednako vjerojatni. Budući da drugi igrač dobiva nagradu samo u jednom ishodu (ako pobijedi u sve tri partije), a prvi igrač pobjeđuje u ostalim slučajevima, omjer je 7:1.

U znanosti i praksi često se javljaju problemi za čije je rješavanje potrebno od konačnog broja elemenata kreirati razne kombinacije i brojati kombinacije. Takvi problemi nazivaju se kombinatorni problemi..

Razmotrimo osnovne formule kombinatorike:

Ovo je bilo koji uređeni podskupmod elemenata skupan.

.

U Pascalovom trokutubroj koji pokazuje koliko načina možete odabratikelemenata iz skupa koji sadržinrazličitih elemenata, stoji na raskrižjukth dijagonale in-ti redak. Za izračun kombinacije , nIdem na sedmu dijagonalu odozgo i vodoravno brojim tri broja. Dobio sam broj 35.

Također možete koristiti Pascalov trokut za izračun položaja.

.Ako trebamo brojati, onda znajući to , i 3!=6, dobivamo vrijednost ovog plasmana 210.

Došao sam do zaključka da razmatrana svojstva Pascalovog trokuta potvrđuju riječi Martina Gardnera da je Pascalov trokut jedna od najelegantnijih shema u cijeloj matematici.

Relevantnost studije je zbog godišnje komplikacije CT zadataka, što zahtijeva produbljeno znanje ne samo iz algebre, već i iz geometrije.

Praktični dio rada

U svom praktičnom radu odabrao sam niz zadataka na temu “Pascalov trokut”

Problem 1. Filatelija prodaje 8 različitih kompleta poštanskih maraka posvećenih sportskim temama. Na koliko načina među njima možete odabrati 3 kompleta?

Riješenje:

U Pascalovom trokutu, broj koji pokazuje na koliko načina se k elemenata može odabrati iz skupa koji sadrži n različitih elemenata stoji u sjecištu k-te dijagonale i n-tog retka.

Pronaći ću osmu dijagonalu odozgo i izbrojati tri broja vodoravno. Dobio sam broj 56.(Slika 8)

Zadatak 2. Od šest liječnika na klinici, dvoje treba poslati na usavršavanje. Na koliko načina se to može učiniti?

Riješenje:

Naći ću šestu dijagonalu odozgo i izbrojati dva broja vodoravno. Dobio sam broj 15.

(P(Slika 9)

Zadatak 3. Pakiranje sadrži 7 bilježnica u crte i 5 u kvadrat iste veličine. Iz paketa nasumce uzmite 3 bilježnice. Kolika je vjerojatnost da sve tri bilježnice završe u kvadratu?

Riješenje. Prvo, pronađimo ukupan broj mogućih ishoda, tj. na koliko načina možemo izabrati 3 bilježnice od 12 bilježnica?

Zadatak 4. Na ravnini postoji 10 ravnih pravaca, među kojima nema paralelnih pravaca i kroz svaku točku njihova sjecišta prolaze točno dvije prave. Koliko imaju presječnih točaka?

Rješenje: Odgovor je na sjecištu -45 bodova!

Zadatak 5.U vreći se nalazi 10 kuglica, označenih brojevima od 1 do 10. Nasumično se izvlače 2 kuglice. Kolika je vjerojatnost da to budu kuglice s brojevima 7 i 3?

Možete ukloniti 2 lopte od 10 dostupnih na 45 načina. Vjerojatnost našeg događaja je 2 od 45.(Slika 11)

Tijekom provođenja praktičnog istraživanja došao sam do sljedećih zaključaka: pri rješavanju kombinatornih problema i problema iz teorije vjerojatnosti možete koristiti ne samo kombinatoričke formule, već i svojstva Pascalovog trokuta

Zaključak

Rad na odabranoj temi odvijao se u potpunosti u skladu s planom istraživanja, a to su: postavljeni su predmet i predmet istraživanja, ciljevi i zadaci te utvrđeni očekivani rezultati. Navedene su korištene metode istraživanja i definiran problem.

U ovom radu dat je opći opis trokuta kao geometrijske figure, detaljno su ispitani Pascalov trokut i njegova svojstva.

Došao sam do zaključka da je jedna od najpoznatijih i najelegantnijih numeričkih shema u cijeloj matematici Pascalov trokut. Pascalov trokut je mnogo širi pojam nego što sam zamišljao. Ne samo da ima nevjerojatna svojstva, već su ga geodeti i arhitekti također koristili u arhitekturi srednjeg vijeka za konstruiranje proporcionalnih shema i pravih kutova. Pomoću Pascalovog trokuta možete rješavati probleme iz teorije vjerojatnosti i kombinatorike.S kombinatornim zadacima sam se susrela na nastavi matematike u 6. razredu i pri rješavanju olimpijadnih zadataka

Praktični značaj ovog rada je sljedeći: proučavajući dosta literature o ovoj problematici, stekao sam dodatna znanja iz oblasti matematike i ojačao svoj interes za ovu znanost.

Naučio sam da se koristi Pascalov trokut:

Svjestan algebre

Pri rješavanju kombinatornih zadataka

Za rješavanje različitih problema iz područja fizike

S pojavom računala, konstruiranje Pascalovog trokuta postalo je omiljeni problem početnika pri učenju osnova programiranja.

Rad na ovoj temi pokazao se zanimljivim i korisnim.

Popis korištenih izvora i literature

1. Abachiev S.K., Rainbow fraktalnost Pascalovog trokuta / S.K. Abachiev, - Minsk, 1999.-168p.

2. Galkin E.V. Nestandardni problemi u matematici. Logički zadaci. Knjiga za učenike od 5-11 razreda. Moskva, “Prosvjetljenje”, 1996. – 194 str.

3. Martin Gardner. Poglavlje 17. Neiscrpna čar Pascalovog trokuta / Matematički romani. - Minsk: Mir, 1974.- 456 str.

4. Pascalov trokut. V. A. Uspenskog. - 2. izd. – Moskva: Nauka, 1979. – 48 str.

5. Fuchs D., Fuchs M., Aritmetika binomnih koeficijenata / Quantum. - 1970. - br. 6. - str.17-25.

6. Enciklopedija za djecu. T 11. Matematika / Ch. izd. M. Aksenova; metoda. i odn. izd. V. Volodin. – M.: Avanta+, 2004. – 688s.

7.

8. http:// davaiknam. ru/ tekst/ volshebnij- treugolenik.

Numerički Pascalov trokut

U gornjoj liniji trokuta nalazi se usamljena jedinica. U preostalim redovima svaki broj je zbroj svoja dva susjeda na katu iznad - lijevo i desno. Ako bilo koji susjed nedostaje, smatra se da je nula. Trokut se beskonačno proteže prema dolje; predstavljamo samo prvih osam redaka: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

Označimo slovom n broj crte trokuta, a slovom k brojku u crti (numeriranje počinje u oba slučaja od nule). Najčešće se broj u n-tom redu i na k-tom mjestu u ovom retku označava C n k , rjeđe - n k .

Navedimo samo neke činjenice vezane uz Pascalov trokut.

Brojevi u n-tom redu trokuta su binomni koeficijenti, odnosno koeficijenti u proširenju n-tog stupnja Newtonov binom: a + b n = ∑ k = 0 n C n k ⁢ a k ⁢ b n − k .

Zbroj svih brojeva u n-tom retku jednak je n-toj potenciji dva: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Ova se formula dobiva iz binomne formule ako stavimo a = b = 1.

Moguće je dokazati eksplicitnu formulu za izračunavanje binomnog koeficijenta: C n k = n ! k! n − k! .

Ako su redovi u Pascalovom trokutu poravnati ulijevo, tada su zbrojevi brojeva duž dijagonala koje idu slijeva na desno i odozdo prema gore jednaki Fibonaccijevi brojevi- 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (svaki broj u ovom nizu jednak je zbroju dva prethodna, a dva počinju niz): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 6 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃

Obojite li neparne brojeve u Pascalovom trokutu u jednu boju, a parne u drugu, dobit ćete sljedeću sliku (na slici 10.1. “Pascal-Sierpinski trokut” tako su obojeni brojevi u prvih 128 redaka) :

Slična slika može se konstruirati na sljedeći način. U osjenčanom trokutu ponovno obojite njegov srednji trokut (formiran središtima stranica izvornog trokuta) u drugu boju. Tri mala trokuta koja se nalaze na uglovima velikog ostat će obojena u istoj boji. Učinimo sa svakim od njih točno na isti način kao što smo učinili s velikim, odnosno prebojimo srednji trokut u svakom. Isto ćemo učiniti i s preostalim trokutima stare boje. Ako se ovaj postupak ponavlja ad infinitum, umjesto izvornog trokuta ostat će dvobojna figura. Njegov dio koji nije prefarban tzv trokut Sierpinskog. Prvih nekoliko faza konstruiranja trokuta Sierpinski prikazano je na slici 10.2. "Konstrukcija trokuta Sierpinskog".

Važno svojstvo trokuta Sierpinskog je njegovo samosličnost- uostalom, sastoji se od tri svoje kopije, smanjene na pola (to su dijelovi trokuta Sierpinski, sadržani u malim trokutima uz uglove). Samosličnost je jedno od karakterističnih svojstava fraktala , o čemu ćemo govoriti u poglavlju 44." L-sustavi". Trokut Sierpinskog također će biti spomenut u ovom poglavlju.

O misterioznoj vezi između Pascalovog trokuta i prostih brojeva čitamo u knjizi u kratkoj bilješci Yu. Matiyasevicha. Zamijenimo brojeve u Pascalovom trokutu njihovim ostacima od dijeljenja brojem retka. Rasporedimo retke u dobivenom trokutu tako da sljedeći redak počinje dva stupca desno od početka prethodnog (vidi sliku 10.3. “Odnos Pascalovog trokuta s prostim brojevima”). Tada će se stupci s prostim brojevima sastojati samo od nula, a stupci sa složenim brojevima sadržavat će broj različit od nule.

Binomni koeficijenti su koeficijenti u ekspanziji (1 + x)n na potencije od x (tzv. Newtonov binom): Drugim riječima, (1 + x)n je generirajuća funkcija za binomne koeficijente. Vrijednost binomnog koeficijenta određena je za sve cijele brojeve... ... Wikipedia

Wikirječnik ima članak "trokut" Trokut u širem smislu je objekt trokutastog oblika ili trio predmeta povezanih u parove ... Wikipedia

Tablica brojeva koji su binomni koeficijenti. U ovoj tablici na stranicama jednakokračnog trokuta nalaze se jedinice, a svaki od preostalih brojeva jednak je zbroju dvaju brojeva iznad njega s lijeve i desne strane: U retku označenom s n+1... .. . Matematička enciklopedija

Fraktal trokuta Sierpinskog, jedan od dvodimenzionalnih analoga Cantorovog skupa, koji je predložio poljski matematičar Sierpinski ... Wikipedia

Konstrukcija Reuleauxovog trokuta Reuleauxov trokut [* 1] predstavljen je ... Wikipedia

Trokutasta tablica brojeva za sastavljanje binomnih koeficijenata (vidi Newtonov binom). P. t. predložio je B. Pascal (Vidi Pascal). Pogledajte Aritmetički trokut...

Pascalov trokut, trokutasta tablica brojeva za konstruiranje binomnih koeficijenata (v. Newtonov binom). Na stranama A. t. nalaze se jedinice, unutar zbroja dva gornja broja. U (n + 1) redu binomnih koeficijenata A.T.... ... Velika sovjetska enciklopedija

Isto kao Pascalov trokut... Matematička enciklopedija

U matematici, binomni koeficijenti su koeficijenti u ekspanziji Newtonovog binoma na x potencije. Koeficijent za je označen ili i čita se "binomni koeficijent od n do k" (ili "ze od n do k"): U ... Wikipedia

Koeficijenti u ekspanziji (1 + x)n na x potencije (tzv. Newtonov binom): Drugim riječima, (1 + x)n je generirajuća funkcija za binomne koeficijente. Vrijednost binomnog koeficijenta definirana je za sve cijele brojeve n i k. Eksplicitne formule ... Wikipedia

knjige

• Pascalov trokut. Knjiga 102, V. A. Uspenski. Ovo predavanje govori o jednoj važnoj numeričkoj tablici (koja se naziva Pascalov trokut), korisnoj u rješavanju niza računskih problema. Uz rješavanje takvih problema...
• Pascalov trokut. Knjiga br. 102, Uspensky V.A.. Ovo predavanje raspravlja o jednoj važnoj numeričkoj tablici (koja se naziva Pascalov trokut), korisnoj u rješavanju niza računalnih problema. Uz rješavanje takvih problema...