Grafički nacrtajte funkciju s rješenjem. Potpuno ispitivanje funkcije i crtanje grafikona

Da biste u potpunosti proučili funkciju i iscrtali njezin grafikon, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1) pronaći domenu definicije funkcije;

2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) ispitati funkciju za paritet (neparnost) i periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odrediti intervale konveksnosti i točke infleksije;

7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osima i, ako je moguće, neke dodatne točke koje pojašnjavaju graf.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s izgradnjom njezinog grafikona.

Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite grafikon.

1. Opseg definicije: ;

2. Funkcija trpi diskontinuitet u točkama
,
;

Ispitujemo funkciju na prisutnost vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Ispitujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Ravno
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Ravno
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je parna jer
. Paritet funkcije označava simetriju grafa u odnosu na ordinatnu os.

5. Odredite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Pronađimo kritične točke, tj. točke u kojima je derivacija 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove točke dijele cijelu realnu os u četiri intervala. Definirajmo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) ─ opada. Pri prolasku kroz točku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, u ovoj točki funkcija ima maksimum
.

6. Odredite intervale konveksnosti i točke infleksije.

Pronađimo točke u kojima je 0, ili ne postoji.

nema pravih korijena.
,
,

Bodovi
I
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak u svakom intervalu.

Dakle, krivulja na intervalima
I
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema točaka infleksije, jer je funkcija u točkama
I
nije utvrđeno.

7. Pronađite točke sjecišta s osi.

S osovinom
graf funkcije siječe se u točki (0; -1), a s osi
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.

Graf zadane funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije relativnom prirastu varijable na
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje koliko će se postotaka funkcija promijeniti
kada se mijenja nezavisna varijabla za 1%.

Funkcija elastičnosti koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i naći vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII), elastičnost funkcije je:

Neka je onda x=3
.To znači da ako nezavisna varijabla poraste za 1%, tada će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene izgleda kao
, Gdje ─ konstantni koeficijent. Odredite vrijednost pokazatelja elastičnosti funkcije potražnje pri cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)

vjerujući
monetarne jedinice, dobivamo
. To znači da po cijeni
monetarne jedinice povećanje cijene od 1% uzrokovat će smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Provedite cjelovitu studiju i grafički nacrtajte funkciju

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Opseg funkcije. Budući da je funkcija razlomak, moramo pronaći nule nazivnika.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Jedinu točku x=1x=1 izuzimamo iz domene definicije funkcije i dobivamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta. Pronađimo jednostrana ograničenja:

Kako su granice jednake beskonačnosti, točka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, pravac x=1x=1 je vertikalna asimptota.

3) Odredimo sjecišne točke grafa funkcije s koordinatnim osima.

Nađimo točke presjeka s osi ordinata OyOy za koje izjednačimo x=0x=0:

Dakle, sjecišna točka s osi OyOy ima koordinate (0;8)(0;8).

Nađimo sjecišne točke s osi apscisa OxOx za koje smo postavili y=0y=0:

Jednadžba nema korijena, pa nema ni točaka sjecišta s osi OxOx.

Primijetite da x2+8>0x2+8>0 za bilo koji xx. Dakle, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funkcija y>0y>0 (poprima pozitivne vrijednosti, graf je iznad x-osi), za x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Ispitajmo periodičnost funkcije. Funkcija nije periodična, jer je frakcijska racionalna funkcija.

6) Ispitajmo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvu derivaciju funkcije:

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i pronađemo stacionarne točke (u kojima je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične točke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Podijelimo cijelo područje definicije funkcije na intervale s tim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivacija y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) izvod y′>0y′>0, funkcija raste na tim intervalima.

U ovom slučaju, x=−2x=−2 je lokalna minimalna točka (funkcija opada, a zatim raste), x=4x=4 je lokalna maksimalna točka (funkcija raste, a zatim opada).

Pronađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna točka je (−2;4)(−2;4), maksimalna točka je (4;−8)(4;−8).

7) Ispitajmo funkciju za pregibe i konveksnost. Nađimo drugu derivaciju funkcije:

Izjednačimo drugu derivaciju s nulom:

Rezultirajuća jednadžba nema korijena, pa nema ni točaka infleksije. Štoviše, kada je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 zadovoljeno, to jest, funkcija je konkavna, kada je x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) zadovoljava y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Ispitajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti, to jest na .

Budući da su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b pomoću poznatih formula:

Utvrdili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatni bodovi. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim točkama kako bismo točnije konstruirali graf.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Na temelju dobivenih podataka konstruirat ćemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plavo), y=−x−1y=−x−1 (zeleno) i označiti karakteristične točke (ljubičasto sjecište s ordinatom os, narančasti ekstremi, crne dodatne točke):

Zadatak 4: Geometrijski, Ekonomski zadaci (nemam pojma što, evo okvirnog izbora zadataka s rješenjima i formulama)

Primjer 3.23. a

Riješenje. x I g g
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz tu točku. Za xa/4 S " > 0, i za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24.

Riješenje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ​​-2) (x - 3), tada su kritične točke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremumi mogu biti samo na ove točke. Dakle, kako pri prolasku kroz točku x 1 = 2 izvodnica mijenja predznak iz plusa u minus, tada u ovoj točki funkcija ima maksimum. Prolaskom kroz točku x 2 = 3 izvodnica mijenja predznak iz minus na plus, stoga u točki x 2 = 3 funkcija ima minimum. Izračunavši vrijednosti funkcije u točkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Primjer 3.23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravokutni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a četvrta strana je uz zid. Za ovo postoji a dužni metri mreže. U kojem će omjeru stranica imati najveću površinu?

Riješenje. Označimo stranice platforme sa x I g. Površina mjesta je S = xy. Neka g- ovo je duljina stranice uz zid. Tada prema uvjetu mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (duljina i širina podloge ne mogu biti negativne). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pri x = a/4, odakle
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz tu točku. Za xa/4 S " > 0, i za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični spremnik zapremine V=16p ≈ 50 m 3 . Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika (polumjer R i visina H) da se za njegovu izradu potroši što manje materijala?

Riješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Poznata nam je zapremina cilindra V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . To znači S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo izvod ove funkcije:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Povezane informacije.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y=f(x) neprekidna na intervalu , a njezina je derivacija pozitivna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) raste za (f"(x)0) . Ako je funkcija y=f (x) neprekidna na segmentu, a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"(x)0 )

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Monotonost funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili ima diskontinuitet nazivamo kritičnim.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 tako da je funkcija kontinuirana na intervalu i diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije točka ekstrema. . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plus u minus (lijevo od x 0 f"(x)>0 je zadovoljeno, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak iz minus do plus (desno od x 0 izvršeno f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimum i minimum funkcije nazivaju se njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan znak lokalnog ekstrema).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f’(x 0)=0 ili f’(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake točke i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka; za to zamijenite vrijednosti kritičnih točaka u ovu funkciju. Koristeći dovoljne uvjete za ekstrem, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Ispitajte funkciju y=x 3 -9x 2 +24x za ekstremum

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je svugdje definiran; To znači da osim dvije nađene točke nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y"=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2, derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je f"(x 0) iu točki x 0 postoji f""(x 0). Tada ako je f""(x 0)>0, onda je x 0 točka minimuma, a ako je f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y=f(x) može postići najmanju (y najmanje) ili najveću (y najveću) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a;b), bilo na krajeve segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f"(x).
2) Pronađite točke u kojima f"(x)=0 ili f"(x) ne postoji i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y=f(x) u točkama dobivenim u koraku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveću i najmanju od njih: one su, redom, najveće (y najveća) i najmanja (y najmanja) vrijednost funkcije na intervalu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu.

1) Imamo y"=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x 2 =5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Isječak sadrži samo točku x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, y max = 225, y min = 50.

Proučavanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je konveksan prema gore, drugi je konveksan prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom prema gore (prema dolje) na tom intervalu ako, za axb, njezin graf ne leži više (ne niže) od tangenta povučena u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na intervalu ; ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 kada je x 1 =0, x 2 =1. Prolaskom kroz točku x=0 izvodnica mijenja predznak iz minus u plus, ali prolaskom kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 je također točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y=; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞, tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema za proučavanje funkcije i konstruiranje njezina grafikona

I. Nađite domenu definicije funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite moguće ekstremne točke.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćne slike istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Konstruirajte grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Konstruirajte graf funkcije prema gornjem dijagramu

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva osim x=1.
II. Budući da jednadžba x 2 +1=0 nema realnih korijena, graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, ali siječe os Oy u točki (0;-1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ kao x → -∞, y → +∞ kao x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije moguće točke ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Ispitajmo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite domenu postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +,-,+.
Nalazimo da funkcija raste na (-∞;1-√2), opada na (1-√2;1+√2) i ponovno raste na (1+√2;+∞). Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, a f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, te f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) je konveksan prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka konstruiramo skicu grafa funkcije