Apa itu poligon cembung. Poligon, poligon cembung, segi empat

Di kelas 8, dalam pelajaran geometri di sekolah, siswa untuk pertama kalinya berkenalan dengan konsep poligon cembung. Segera mereka akan mengetahui bahwa sosok ini memiliki properti yang sangat menarik. Tidak peduli seberapa rumitnya, jumlah semua sudut internal dan eksternal poligon cembung memiliki nilai yang ditentukan secara ketat. Pada artikel ini, seorang tutor matematika dan fisika berbicara tentang jumlah sudut poligon cembung.

Jumlah sudut dalam poligon cembung

Bagaimana membuktikan rumus ini?

Sebelum melanjutkan ke pembuktian pernyataan ini, kita ingat poligon mana yang disebut cembung. Suatu poligon disebut cembung jika terletak seluruhnya pada satu sisi garis yang memuat salah satu sisinya. Misalnya, yang ditunjukkan pada gambar ini:

Jika poligon tidak memenuhi kondisi yang ditunjukkan, maka itu disebut non-cembung. Misalnya seperti ini:

Jumlah sudut interior poligon cembung adalah , Dimana adalah jumlah sisi poligon.

Bukti fakta ini didasarkan pada teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, yang diketahui semua anak sekolah. Saya yakin Anda sudah familiar dengan teorema ini. Jumlah sudut dalam segitiga adalah .

Idenya adalah untuk membagi poligon cembung menjadi beberapa segitiga. Ini dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Tergantung pada metode mana yang kita pilih, buktinya akan sedikit berbeda.

1. Bagilah poligon cembung menjadi segitiga dengan semua kemungkinan diagonal yang ditarik dari beberapa titik. Mudah dipahami bahwa kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah semua sudut dari semua segitiga yang dihasilkan sama dengan jumlah sudut n-gon kita. Bagaimanapun, setiap sudut dalam segitiga yang dihasilkan adalah sudut parsial dalam poligon cembung kami. Artinya, jumlah yang dibutuhkan sama dengan .

2. Anda juga dapat memilih titik di dalam poligon cembung dan menghubungkannya ke semua simpul. Kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah sudut poligon kami dalam kasus ini akan sama dengan jumlah semua sudut dari semua segitiga ini dikurangi sudut pusat, yang sama dengan . Artinya, jumlah yang diinginkan lagi sama dengan .

Jumlah sudut luar poligon cembung

Mari kita sekarang bertanya pada diri sendiri pertanyaan: "Berapa jumlah sudut luar poligon cembung?" Pertanyaan ini dapat dijawab dengan cara berikut. Setiap sudut luar bersebelahan dengan sudut dalam yang sesuai. Oleh karena itu sama dengan:

Maka jumlah semua sudut luar adalah . Artinya, sama dengan .

Itu adalah hasil yang sangat lucu. Jika kita mengesampingkan secara berurutan semua sudut luar dari n-gon cembung apa pun, maka sebagai hasilnya persis seluruh bidang akan terisi.

Fakta menarik ini dapat digambarkan sebagai berikut. Mari kita kurangi secara proporsional semua sisi dari beberapa poligon cembung hingga menyatu menjadi satu titik. Setelah ini terjadi, semua sudut luar akan dipisahkan satu sama lain dan dengan demikian memenuhi seluruh bidang.

Fakta yang menarik bukan? Dan ada banyak fakta seperti itu dalam geometri. Jadi belajarlah geometri, murid-murid terkasih!

Materi tentang jumlah sudut poligon cembung disiapkan oleh Sergey Valerievich

Menentukan konveksitas poligon.

Algoritma Kyrus-Back mengasumsikan poligon cembung untuk digunakan sebagai jendela.

Namun, dalam praktiknya, masalah pemotongan oleh poligon cukup sering muncul, dan informasi tentang apakah itu cembung atau tidak awalnya tidak ditentukan. Dalam hal ini, sebelum memulai prosedur clipping, perlu ditentukan apakah poligon yang diberikan cembung atau tidak.

Mari kita berikan beberapa definisi konveksitas poligon

Sebuah poligon dianggap cembung jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

1) dalam poligon cembung, semua simpul terletak di satu sisi garis yang membawa tepi apa pun (di bagian dalam tepi yang diberikan);

2) semua sudut interior poligon kurang dari 180 o;

3) semua diagonal yang menghubungkan simpul poligon terletak di dalam poligon ini;

4) semua sudut poligon dilewati dalam arah yang sama (Gbr. 3.3‑1).

Untuk mengembangkan representasi analitis dari kriteria konveksitas terakhir, kami menggunakan produk vektor.

produk vektor W dua vektor sebuah dan b (Gbr. 3.3-2a) didefinisikan sebagai:

A x ,a y ,a z dan b x ,b y ,b z sebuah dan b,

- saya, j, k– vektor satuan sepanjang sumbu koordinat X , Y , Z .

Beras.3.3 ‑ 1

Beras.3.3 ‑ 2

Jika kita menganggap representasi dua dimensi dari poligon sebagai representasinya dalam bidang koordinat XY dari sistem koordinat tiga dimensi X ,Y ,Z (Gbr. 3.3-2 b ), maka ekspresi untuk pembentukan produk silang dari vektor kamu dan V, dimana vektor kamu dan V adalah sisi-sisi yang berdekatan yang membentuk sudut poligon, dapat ditulis sebagai determinan:

Vektor perkalian silang tegak lurus terhadap bidang di mana vektor faktor berada. Arah vektor produk ditentukan oleh aturan gimlet atau aturan sekrup tangan kanan.

Untuk kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 3.3‑2 b ), vektor W, sesuai dengan produk vektor dari vektor V, kamu, akan memiliki arah yang sama dengan arah sumbu koordinat Z.

Mempertimbangkan fakta bahwa proyeksi pada sumbu Z faktor-vektor dalam hal ini sama dengan nol, produk vektor dapat direpresentasikan sebagai:

(3.3-1)

Vektor satuan k selalu positif, maka tanda dari vektor w produk vektor akan ditentukan hanya oleh tanda determinan D dalam ekspresi di atas. Perhatikan bahwa, berdasarkan sifat produk vektor, ketika mengatur ulang vektor faktor kamu dan V tanda vektor w akan berubah sebaliknya.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika sebagai vektor V dan kamu Perhatikan dua sisi yang berdekatan dari poligon, maka urutan penghitungan vektor dalam produk vektor dapat ditempatkan sesuai dengan bypass dari sudut yang dianggap dari poligon atau tepi yang membentuk sudut ini. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan aturan sebagai kriteria untuk menentukan konveksitas poligon:

jika untuk semua pasang sisi poligon memenuhi kondisi berikut:

Jika tanda perkalian vektor untuk masing-masing sudut tidak cocok, maka poligon tidak cembung.

Karena tepi poligon ditentukan sebagai koordinat titik akhirnya, akan lebih mudah menggunakan determinan untuk menentukan tanda perkalian silang.

Himpunan titik cembung pada bidang.

Himpunan titik pada bidang atau ruang tiga dimensi disebut cembung, jika dua titik dari himpunan ini dapat dihubungkan oleh segmen garis yang terletak sepenuhnya pada himpunan ini.

Teorema 1. Perpotongan dari sejumlah berhingga himpunan cembung adalah himpunan cembung.

Konsekuensi. Perpotongan dari sejumlah berhingga himpunan cembung adalah himpunan cembung.

titik sudut.

Titik batas himpunan cembung disebut bersudut, jika mungkin untuk menggambar segmen melaluinya, semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.

Himpunan berbagai bentuk dapat memiliki jumlah titik sudut yang terbatas atau tidak terbatas.

Poligon cembung.

Poligon ditelepon cembung, jika terletak pada satu sisi dari setiap garis yang melalui dua simpul yang berdekatan.

Teorema: Jumlah sudut n-gon cembung adalah 180˚ *(n-2)

6) Memecahkan sistem pertidaksamaan linier m dengan dua variabel

Diberikan sistem pertidaksamaan linier m dengan dua variabel

Tanda-tanda dari beberapa atau semua ketidaksetaraan mungkin .

Pertimbangkan pertidaksamaan pertama dalam sistem koordinat X1OX2. Mari kita membangun garis lurus

yang merupakan garis batas.

Garis lurus ini membagi bidang menjadi dua setengah bidang 1 dan 2 (Gbr. 19.4).

Setengah bidang 1 berisi asal, setengah bidang 2 tidak berisi asal.

Untuk menentukan di sisi mana garis batas setengah bidang tertentu berada, Anda perlu mengambil titik sembarang pada bidang (lebih baik, asal) dan mengganti koordinat titik ini ke dalam pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan benar, maka setengah bidang diputar ke arah titik ini, jika tidak benar, maka ke arah yang berlawanan dari titik tersebut.

Arah setengah bidang pada gambar ditunjukkan oleh panah.

Definisi 15. Penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem adalah setengah bidang yang memuat garis batas dan terletak pada salah satu sisinya.

Definisi 16. Perpotongan setengah bidang, yang masing-masing ditentukan oleh ketidaksetaraan sistem yang sesuai, disebut area solusi sistem (SR).

Definisi 17. Luas solusi sistem yang memenuhi kondisi non-negatif (xj 0, j =) disebut luas solusi non-negatif, atau dapat diterima (ODS).

Jika sistem pertidaksamaan konsisten, maka OP dan ODE dapat berupa polihedron, daerah polihedral tak terbatas, atau titik tunggal.

Jika sistem pertidaksamaan tidak konsisten, maka OR dan ODR adalah himpunan kosong.

Contoh 1

Larutan. Mari kita cari OR dari pertidaksamaan pertama: x1 + 3x2 3. Mari kita buat garis batas x1 + 3x2 - 3 = 0 (Gbr. 19.5). Substitusikan koordinat titik (0,0) ke dalam pertidaksamaan: 1∙0 + 3∙0 > 3; karena koordinat titik (0,0) tidak memenuhinya, maka solusi pertidaksamaan (19.1) adalah setengah bidang yang tidak memuat titik (0,0).

Demikian pula, kami menemukan solusi untuk ketidaksetaraan yang tersisa dari sistem. Kami memperoleh bahwa OP dan ODE dari sistem pertidaksamaan adalah polihedron cembung ABCD.

Temukan titik sudut polihedron. Titik A didefinisikan sebagai titik perpotongan garis

Memecahkan sistem, kita mendapatkan A(3/7, 6/7).

Kami menemukan titik B sebagai titik perpotongan garis

Dari sistem kita mendapatkan B(5/3, 10/3). Demikian pula, kami menemukan koordinat titik C dan D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Contoh 2. Tentukan OR dan ODR dari sistem pertidaksamaan

Larutan. Mari kita buat garis lurus dan tentukan solusi pertidaksamaan (19.5)-(19.7). OR dan ODR masing-masing adalah area polihedral tak terbatas ACFM dan ABDEKM (Gbr. 19.6).

Contoh 3. Tentukan OR dan ODR dari sistem pertidaksamaan

Larutan. Kami menemukan solusi untuk ketidaksetaraan (19.8)-(19.10) (Gbr. 19.7). OP mewakili daerah polihedral tak terbatas ABC; ODR - titik B.

Contoh 4. Temukan OP dan ODS dari sistem pertidaksamaan

Larutan. Setelah membangun garis lurus, kami menemukan solusi untuk ketidaksetaraan sistem. OR dan ODR tidak kompatibel (Gbr. 19.8).

LATIHAN

Temukan OR dan ODR dari sistem pertidaksamaan

Dalil. Jika xn ® a, maka .

Bukti. Ini mengikuti dari xn ® a itu . Dalam waktu yang bersamaan:

Itu. , yaitu . Teorema telah terbukti.

Dalil. Jika xn ® a, maka barisan (xn) terbatas.

Perlu dicatat bahwa pernyataan kebalikannya tidak benar, mis. Keterbatasan suatu barisan tidak berarti konvergensinya.

Misalnya, barisan tidak memiliki batas, meskipun

Perluasan fungsi menjadi rangkaian daya.

Perluasan fungsi dalam deret pangkat sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah mempelajari fungsi, diferensiasi, integrasi, menyelesaikan persamaan diferensial, menghitung batas, menghitung nilai perkiraan suatu fungsi.

Secara total, kita mendapatkan:

Pertimbangkan cara untuk memperluas fungsi menjadi deret menggunakan integrasi.

Dengan bantuan integrasi, dimungkinkan untuk memperluas dalam suatu deret suatu fungsi yang perluasan dalam deret turunannya diketahui atau dapat dengan mudah ditemukan.

Kami menemukan diferensial fungsi dan mengintegrasikannya dalam rentang dari 0 hingga x.

Konsep poligon

Definisi 1

poligon disebut sosok geometris dalam bidang, yang terdiri dari segmen-segmen yang saling berhubungan berpasangan, yang bertetangga tidak terletak pada satu garis lurus.

Dalam hal ini, segmen disebut sisi poligon, dan ujungnya adalah simpul poligon.

Definisi 2

$n$-gon adalah poligon dengan simpul $n$.

Jenis poligon

Definisi 3

Jika poligon selalu terletak pada salah satu sisi dari setiap garis yang melalui sisi-sisinya, maka poligon tersebut disebut cembung(Gbr. 1).

Gambar 1. Poligon cembung

Definisi 4

Jika poligon terletak pada sisi yang berlawanan dari setidaknya satu garis lurus yang melewati sisi-sisinya, maka poligon tersebut disebut tidak cembung (Gbr. 2).

Gambar 2. Poligon tidak cembung

Jumlah sudut poligon

Kami memperkenalkan teorema tentang jumlah sudut a -gon.

Teorema 1

Jumlah sudut cembung -gon didefinisikan sebagai berikut:

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bukti.

Mari kita diberikan poligon cembung $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Hubungkan simpulnya $A_1$ ke semua simpul lain dari poligon yang diberikan (Gbr. 3).

Gambar 3

Dengan koneksi seperti itu, kita mendapatkan segitiga $n-2$. Menjumlahkan sudutnya, kita mendapatkan jumlah sudut dari -gon yang diberikan. Karena jumlah sudut segitiga adalah $(180)^0,$ kita mendapatkan bahwa jumlah sudut cembung -gon ditentukan oleh rumus

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema telah terbukti.

Konsep segi empat

Dengan menggunakan definisi $2$, mudah untuk memperkenalkan definisi segiempat.

Definisi 5

Segi empat adalah poligon dengan simpul $4$ (Gbr. 4).

Gambar 4. Segiempat

Untuk segiempat, konsep segiempat cembung dan segi empat tidak cembung didefinisikan dengan cara yang sama. Contoh klasik dari segi empat cembung adalah persegi, persegi panjang, trapesium, belah ketupat, jajar genjang (Gbr. 5).

Gambar 5. Segi empat cembung

Teorema 2

Jumlah sudut segi empat cembung adalah $(360)^0$

Bukti.

Dengan Teorema $1$, kita tahu bahwa jumlah sudut cembung -gon ditentukan oleh rumus

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Jadi, jumlah sudut pada segi empat cembung adalah

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema telah terbukti.

Segi empat cembung adalah sosok yang terdiri dari empat sisi yang terhubung satu sama lain di simpul, membentuk empat sudut bersama-sama dengan sisi, sedangkan segi empat itu sendiri selalu pada bidang yang sama relatif terhadap garis lurus di mana salah satu sisinya terletak. Dengan kata lain, seluruh gambar berada di satu sisi dari salah satu sisinya.

Dalam kontak dengan

Seperti yang Anda lihat, definisinya cukup mudah diingat.

Sifat dan tipe dasar

Hampir semua sosok yang kita kenal, yang terdiri dari empat sudut dan sisi, dapat dikaitkan dengan segi empat cembung. Berikut ini dapat dibedakan:

genjang;
kotak;
persegi panjang;
trapesium;
belah ketupat.

Semua angka ini disatukan tidak hanya oleh fakta bahwa mereka berbentuk segi empat, tetapi juga oleh fakta bahwa mereka juga cembung. Lihat saja diagramnya:

Gambar tersebut menunjukkan trapesium cembung. Di sini Anda dapat melihat bahwa trapesium berada pada bidang yang sama atau pada satu sisi segmen. Jika Anda melakukan tindakan serupa, Anda dapat mengetahui bahwa dalam kasus semua sisi lainnya, trapesium cembung.

Apakah jajar genjang merupakan segi empat cembung?

Di atas adalah gambar jajar genjang. Seperti yang dapat dilihat dari gambar, jajaran genjang juga cembung. Jika Anda melihat gambar sehubungan dengan garis-garis di mana segmen AB, BC, CD dan AD terletak, menjadi jelas bahwa itu selalu pada bidang yang sama dari garis-garis ini. Fitur utama dari jajaran genjang adalah bahwa sisi-sisinya sejajar berpasangan dan sama besar dengan cara yang sama seperti sudut yang berlawanan sama besar satu sama lain.

Sekarang, bayangkan sebuah persegi atau persegi panjang. Menurut sifat utamanya, mereka juga jajar genjang, yaitu, semua sisinya disusun berpasangan secara paralel. Hanya dalam kasus persegi panjang, panjang sisinya bisa berbeda, dan sudutnya siku-siku (sama dengan 90 derajat), persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama dan sudut-sudutnya juga siku-siku, sedangkan panjangnya sisi dan sudut jajar genjang bisa berbeda.

Akibatnya, jumlah keempat sudut segiempat harus sama dengan 360 derajat. Cara termudah untuk menentukan ini adalah dengan persegi panjang: keempat sudut persegi panjang benar, yaitu sama dengan 90 derajat. Jumlah sudut 90 derajat ini menghasilkan 360 derajat, dengan kata lain, jika Anda menambahkan 90 derajat 4 kali, Anda mendapatkan hasil yang diinginkan.

Sifat-sifat diagonal segi empat cembung

Diagonal-diagonal segi empat cembung berpotongan. Memang, fenomena ini dapat diamati secara visual, lihat saja gambar:

Gambar di sebelah kiri menunjukkan segi empat tidak cembung atau segi empat. Sesuai keinginan kamu. Seperti yang Anda lihat, diagonal tidak berpotongan, setidaknya tidak semuanya. Di sebelah kanan adalah segi empat cembung. Di sini properti diagonal untuk berpotongan sudah diamati. Properti yang sama dapat dianggap sebagai tanda cembung segi empat.

Sifat-sifat dan tanda-tanda kecembungan lain dari segi empat

Secara khusus, menurut istilah ini, sangat sulit untuk menyebutkan properti dan fitur tertentu. Lebih mudah untuk mengisolasi menurut berbagai jenis segi empat dari jenis ini. Anda bisa mulai dengan jajaran genjang. Kita sudah tahu bahwa ini adalah sosok segi empat, yang sisi-sisinya sejajar dan sama. Pada saat yang sama, ini juga termasuk sifat diagonal jajar genjang untuk berpotongan satu sama lain, serta tanda cembung dari gambar itu sendiri: jajar genjang selalu berada pada bidang yang sama dan pada satu sisi relatif terhadap sembarang dari sisi-sisinya.

Jadi, fitur dan properti utama diketahui:

jumlah sudut segi empat adalah 360 derajat;
diagonal gambar berpotongan di satu titik.

Persegi panjang. Angka ini memiliki semua sifat dan fitur yang sama dengan jajaran genjang, tetapi semua sudutnya sama dengan 90 derajat. Oleh karena itu namanya, persegi panjang.

Persegi, jajaran genjang yang sama, tetapi sudutnya benar, seperti persegi panjang. Karena itu, persegi jarang disebut persegi panjang. Tetapi ciri pembeda utama dari sebuah persegi, selain yang telah disebutkan di atas, adalah bahwa keempat sisinya sama.

Trapesium adalah sosok yang sangat menarik.. Ini juga merupakan segi empat dan juga cembung. Dalam artikel ini, trapesium telah dipertimbangkan menggunakan contoh gambar. Jelas bahwa dia juga cembung. Perbedaan utama, dan, karenanya, tanda trapesium adalah bahwa sisi-sisinya bisa sama sekali tidak sama panjangnya, serta sudut nilainya. Dalam hal ini, gambar selalu tetap pada bidang yang sama terhadap salah satu garis lurus yang menghubungkan dua simpulnya di sepanjang segmen yang membentuk gambar.

Belah ketupat adalah sosok yang sama menariknya. Sebagian belah ketupat dapat dianggap persegi. Tanda belah ketupat adalah kenyataan bahwa diagonal-diagonalnya tidak hanya berpotongan, tetapi juga membagi sudut-sudut belah ketupat menjadi dua, dan diagonal-diagonal itu sendiri berpotongan tegak lurus, yaitu tegak lurus. Jika panjang sisi belah ketupat sama, maka diagonal-diagonalnya juga dibagi dua di persimpangan.

Deltoid atau belah ketupat cembung (belah ketupat) mungkin memiliki panjang sisi yang berbeda. Tetapi pada saat yang sama, baik sifat-sifat utama dan ciri-ciri belah ketupat itu sendiri maupun ciri-ciri dan sifat-sifat cembung masih dipertahankan. Artinya, kita dapat mengamati bahwa diagonal membagi dua sudut dan berpotongan di sudut kanan.

Tugas hari ini adalah untuk mempertimbangkan dan memahami apa itu segi empat cembung, apa itu dan fitur serta properti utamanya. Perhatian! Perlu diingat sekali lagi bahwa jumlah sudut segi empat cembung adalah 360 derajat. Keliling gambar, misalnya, sama dengan jumlah panjang semua segmen yang membentuk gambar. Rumus untuk menghitung keliling dan luas segi empat akan dibahas pada artikel berikut.

Jenis segi empat cembung