정 프리즘의 측면. 정사각기둥의 부피와 표면적

정의. 프리즘는 다면체이며, 모든 꼭지점은 두 개의 평행한 평면에 위치하고, 이 동일한 두 평면에는 프리즘의 두 면이 놓여 있습니다. 이 두 면은 상응하는 평행한 변을 가진 동일한 다각형이며, 이 평면에 있지 않은 모든 모서리는 평행합니다.

두 개의 동일한 얼굴이 호출됩니다. 프리즘 베이스(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

프리즘의 다른 모든 면은 다음과 같습니다. 옆면(AA 1B 1B, BB 1C 1C, CC 1D 1D, DD 1E 1E, EE 1A 1A).

모든 측면이 형성됨 프리즘의 측면 .

프리즘의 모든 측면은 평행사변형입니다. .

밑면에 있지 않은 가장자리를 프리즘의 측면 가장자리( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

프리즘 대각선 같은 면(AD 1)에 있지 않은 프리즘의 두 꼭지점을 끝으로 가지는 세그먼트입니다.

프리즘의 밑면을 연결하고 동시에 두 밑면에 수직인 세그먼트의 길이를 호출합니다. 프리즘 높이 .

지정:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (먼저 순회 순서에 따라 한 밑면의 꼭지점을 표시한 다음 동일한 순서로 다른 밑면의 꼭지점을 표시합니다. 각 측면 모서리의 끝은 동일한 문자로 지정되며 한 밑면에 있는 꼭지점만 지정됩니다. 색인이 없는 문자로, 다른 문자로는 색인이 있는 문자로)

프리즘의 이름은 밑면에 있는 그림의 각도 수와 연관되어 있습니다. 예를 들어 그림 1에서는 밑면에 오각형이 있으므로 프리즘이라고 합니다. 오각형 프리즘. 하지만 왜냐하면 그런 프리즘은 7개의 면을 가지고 있습니다. 칠면체(2면 - 프리즘의 밑면, 5면 - 평행사변형, - 측면)

직선 프리즘 중에서 특정 유형이 눈에 띕니다. 바로 정 프리즘입니다.

직선 프리즘이라 불린다. 옳은,밑면이 정다각형인 경우.

정기둥은 모든 측면이 직사각형과 같습니다. 프리즘의 특별한 경우는 평행육면체입니다.

평행육면체

평행육면체밑면에 평행사변형(경사 평행육면체)이 있는 사각형 프리즘입니다. 직육면체- 측면 모서리가 밑면의 평면에 수직인 평행육면체.

직육면체- 밑변이 직사각형인 직육면체.

속성과 정리:

평행육면체의 일부 속성은 평행사변형의 알려진 속성과 유사합니다. 동일한 치수를 갖는 직육면체를 호출합니다. 입방체 .정육면체의 모든 면은 정사각형입니다. 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다.

여기서 d는 정사각형의 대각선입니다.
a는 정사각형의 측면입니다.

프리즘에 대한 아이디어는 다음과 같습니다.

다양한 건축 구조;
어린이 장난감;
포장 상자;
디자이너 아이템 등

프리즘의 전체 표면과 측면의 면적

프리즘의 전체 표면적모든 면의 면적의 합입니다 측면 표면적옆면의 넓이의 합이라고 합니다. 프리즘의 밑면은 동일한 다각형이고 면적은 동일합니다. 그렇기 때문에

S 전체 = S 측 + 2S 메인,

어디 S 가득- 총 표면적, S측- 측면 표면적, S 베이스- 기본 면적

직선 프리즘의 측면 표면적은 밑면 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다.

S측= P 기본 * h,

어디 S측-직선 프리즘의 측면 표면적,

P 메인 -직선 프리즘 밑면의 둘레,

h는 직선 프리즘의 높이이며 측면 가장자리와 같습니다.

프리즘 볼륨

프리즘의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱과 같습니다.

직선 프리즘에 대한 일반 정보

프리즘의 측면(보다 정확하게는 측면 표면적)이라고 합니다. 합집합측면의 영역. 프리즘의 전체 표면은 측면 표면과 밑면 면적의 합과 같습니다.

정리 19.1. 직선 프리즘의 측면은 밑면 둘레와 프리즘 높이의 곱, 즉 측면 가장자리의 길이와 같습니다.

증거. 직선 프리즘의 측면은 직사각형입니다. 이 직사각형의 밑면은 프리즘의 밑면에 있는 다각형의 변이며 높이는 측면 가장자리의 길이와 같습니다. 프리즘의 측면은 다음과 같습니다.

S = a 1 l + a 2 l + ... + an l = pl,

여기서 a 1과 n은 밑변의 길이이고, p는 프리즘 밑변의 둘레이고, I는 옆 변의 길이입니다. 정리가 입증되었습니다.

실제적인 작업

문제 (22) . 기울어진 프리즘에서 수행됩니다. 부분, 측면 갈비뼈에 수직이고 모든 측면 갈비뼈와 교차합니다. 단면의 둘레가 p와 같고 측면 모서리가 l과 같을 때 프리즘의 측면을 구합니다.

해결책. 그려진 단면의 평면은 프리즘을 두 부분으로 나눕니다(그림 411). 프리즘의 베이스를 결합하여 그 중 하나를 병렬 번역하도록 하겠습니다. 이 경우 기본 프리즘이 원래 프리즘의 단면이고 측면 가장자리가 l인 직선 프리즘을 얻습니다. 이 프리즘은 원본과 동일한 측면을 가지고 있습니다. 따라서 원래 프리즘의 측면은 pl과 같습니다.

다루는 주제 요약

이제 프리즘에 대해 다룬 주제를 요약하고 프리즘이 어떤 특성을 가지고 있는지 기억해 보겠습니다.

프리즘 속성

첫째, 프리즘은 모든 밑면이 동일한 다각형으로 되어 있습니다.
둘째, 프리즘에서는 모든 측면이 평행사변형입니다.
셋째, 프리즘과 같은다면적인 그림에서는 모든 측면 모서리가 동일합니다.

또한 프리즘과 같은 다면체는 직선일 수도 있고 기울어질 수도 있다는 점을 기억해야 합니다.

직선 프리즘이라고 불리는 프리즘은 무엇입니까?

프리즘의 측면 가장자리가 밑면에 수직으로 위치하면 이러한 프리즘을 직선 프리즘이라고 합니다.

직선 프리즘의 측면이 직사각형이라는 것을 기억하는 것은 불필요한 일이 아닙니다.

경사 프리즘이라고 불리는 유형의 프리즘은 무엇입니까?

그러나 프리즘의 측면 가장자리가 밑면에 수직으로 위치하지 않으면 경사 프리즘이라고 안전하게 말할 수 있습니다.

어느 프리즘이 옳습니까?

정다각형이 직선 프리즘의 밑면에 있으면 그러한 프리즘은 정다각형입니다.

이제 일반 프리즘이 갖는 특성을 기억해 봅시다.

일반 프리즘의 특성

첫째, 정다각형은 항상 정다각형 프리즘의 밑면 역할을 합니다.
둘째, 정기둥의 측면을 고려하면 항상 동일한 직사각형입니다.
셋째, 측면 갈비뼈의 크기를 비교하면 일반 프리즘에서는 항상 동일합니다.
넷째, 올바른 프리즘은 항상 직선입니다.
다섯째, 정기둥의 측면이 정사각형 모양인 경우 이러한 도형을 일반적으로 반정다각형이라고 합니다.

프리즘 단면

이제 프리즘의 단면을 살펴보겠습니다.

숙제

이제 문제를 해결하면서 배운 주제를 통합해 보겠습니다.

기울어진 삼각형 프리즘을 그리면 모서리 사이의 거리는 3cm, 4cm, 5cm가 되고 이 프리즘의 측면은 60cm2가 됩니다. 이러한 매개변수를 가지고 이 프리즘의 측면 가장자리를 찾습니다.

기하학 수업뿐만 아니라 일상 생활에서도 기하학적 도형이 끊임없이 우리를 둘러싸고 있다는 것을 알고 계십니까? 기하학적 도형과 유사한 물체가 있습니다.

집, 학교, 직장에 있는 모든 사람은 직각 프리즘 모양의 시스템 장치를 갖춘 컴퓨터를 가지고 있습니다.

간단한 연필을 집어 보면 연필의 주요 부분이 프리즘이라는 것을 알 수 있습니다.

도시의 중심가를 따라 걷다 보면 발 아래에 육각형 프리즘 모양의 타일이 놓여 있는 것을 볼 수 있습니다.

A. V. Pogorelov, 7-11학년용 기하학, 교육 기관용 교과서

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서적

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입체 측정법은 동일한 평면에 있지 않은 도형을 연구하는 기하학의 한 분야입니다. 입체 측정 연구 대상 중 하나는 프리즘입니다. 이 기사에서는 기하학적 관점에서 프리즘을 정의하고 프리즘의 특징적인 속성을 간략하게 나열합니다.

기하학적 도형

기하학에서 프리즘의 정의는 다음과 같습니다. 이는 정점으로 서로 연결된 평행 평면에 위치한 두 개의 동일한 n각형으로 구성된 공간적 그림입니다.

프리즘을 얻는 것은 어렵지 않습니다. 두 개의 동일한 n각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 여기서 n은 변 또는 꼭지점의 수입니다. 서로 평행이 되도록 배치해 보겠습니다. 그런 다음 한 다각형의 꼭지점을 다른 다각형의 해당 꼭지점에 연결해야 합니다. 결과 그림은 밑변이라고 하는 두 개의 n각형 변과 일반적으로 평행사변형인 n개의 사각형 변으로 구성됩니다. 평행사변형 세트는 그림의 측면을 형성합니다.

문제의 그림을 기하학적으로 얻는 또 다른 방법이 있습니다. 따라서 n각형을 가져와 동일한 길이의 평행 세그먼트를 사용하여 다른 평면으로 전송하면 새 평면에서 원래 다각형을 얻게 됩니다. 정점에서 그려진 다각형과 모든 평행 선분은 모두 프리즘을 형성합니다.

위의 그림은 밑면이 삼각형이기 때문에 그렇게 불립니다.

피규어를 구성하는 요소

위에서 프리즘의 정의가 주어졌는데, 이를 통해 그림의 주요 요소가 외부 공간으로부터 프리즘의 모든 내부 지점을 제한하는 가장자리 또는 측면이라는 것이 분명해졌습니다. 문제의 인물의 얼굴은 두 가지 유형 중 하나에 속합니다.

옆쪽;
근거.

n개의 측면 조각이 있으며 평행사변형 또는 특정 유형(직사각형, 정사각형)입니다. 일반적으로 측면은 서로 다릅니다. 밑면에는 두 개의 면만 있으며 n각형이며 서로 동일합니다. 따라서 모든 프리즘에는 n+2개의 변이 있습니다.

측면 외에도 그림의 정점이 특징입니다. 세 개의 면이 동시에 닿는 지점을 나타냅니다. 또한 세 개의 면 중 두 개는 항상 측면에 속하고 하나는 베이스에 속합니다. 따라서 프리즘에는 특별히 할당된 하나의 꼭지점이 없습니다. 예를 들어 피라미드에서는 모두 동일합니다. 그림의 꼭짓점 수는 2*n(각 밑면에 대해 n개)입니다.

마지막으로 프리즘의 세 번째 중요한 요소는 리브입니다. 이는 그림의 측면이 교차하여 형성된 특정 길이의 세그먼트입니다. 면과 마찬가지로 가장자리에도 두 가지 유형이 있습니다.

또는 측면으로만 형성됩니다.
또는 평행사변형과 n각형 밑변의 교차점에서 발생합니다.

따라서 간선의 수는 3*n과 동일하며 그 중 2*n은 명명된 유형 중 두 번째 유형에 속합니다.

프리즘의 종류

프리즘을 분류하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그러나 이는 모두 그림의 두 가지 기능을 기반으로 합니다.

n-탄소 염기의 유형에 관한 것;
사이드 타입.

먼저 두 번째 특징으로 돌아가 직선의 정의를 살펴보겠습니다. 적어도 한 변이 일반 평행사변형이면 그 그림을 경사 또는 경사라고 합니다. 모든 평행사변형이 직사각형이나 정사각형이면 프리즘은 직선이 됩니다.

정의는 약간 다르게 주어질 수도 있습니다. 직선 도형은 측면 가장자리와 면이 밑면에 수직인 프리즘입니다. 그림은 두 개의 사각형 도형을 보여줍니다. 왼쪽은 직선, 오른쪽은 기울어져 있습니다.

이제 베이스에 놓여 있는 n형의 유형에 따른 분류로 넘어가겠습니다. 측면과 각도가 같을 수도 있고 다를 수도 있습니다. 첫 번째 경우에는 다각형을 일반이라고 합니다. 문제의 도형의 밑면에 변과 각도가 같고 직선인 다각형이 포함되어 있으면 정각형이라고 합니다. 이 정의에 따르면, 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 육각형 등을 밑면에 있는 정기둥이 가질 수 있습니다. 나열된 일반 수치가 그림에 표시됩니다.