볼록 다각형이란 무엇입니까? 다각형, 볼록 다각형, 사변형
8 학년 때 학교 기하학 수업에서 학생들은 처음으로 볼록 다각형의 개념을 알게됩니다. 곧 그들은 이 수치가 매우 흥미로운 속성을 가지고 있다는 것을 알게 될 것입니다. 아무리 복잡하더라도 볼록 다각형의 모든 내부 및 외부 각도의 합은 엄격하게 정의된 값을 갖습니다. 이 기사에서는 볼록 다각형의 각도의 합이 무엇인지 수학 및 물리학 교사가 이야기합니다.
볼록 다각형의 내각의 합
이 공식을 증명하는 방법?
이 진술의 증명을 진행하기 전에 어떤 다각형이 볼록한지 기억합니다. 폴리곤이 폴리곤의 변 중 하나를 포함하는 선의 한 변에 완전히 놓이는 경우 폴리곤을 볼록이라고 합니다. 예를 들어, 이 그림에 표시된 항목은 다음과 같습니다.
다각형이 지정된 조건을 충족하지 않으면 볼록하지 않다고 합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
볼록 다각형의 내각의 합은 입니다. 여기서 는 다각형의 변의 수입니다.
이 사실의 증거는 모든 학생에게 잘 알려진 삼각형의 각도의 합에 대한 정리를 기반으로 합니다. 나는 당신이 이 정리에 익숙하다고 확신합니다. 삼각형의 내각의 합은 입니다.
아이디어는 볼록 다각형을 여러 삼각형으로 분할하는 것입니다. 이것은 다른 방법으로 수행될 수 있습니다. 우리가 어떤 방법을 선택하느냐에 따라 증거는 약간 다를 것이다.
1. 볼록 다각형을 일부 정점에서 그린 가능한 모든 대각선으로 삼각형으로 나눕니다. 그러면 n-gon이 삼각형으로 나누어진다는 것을 이해하기 쉽습니다.
또한 모든 결과 삼각형의 모든 각도의 합은 n각형 각도의 합과 같습니다. 결국 결과 삼각형의 각 각도는 볼록 다각형의 부분 각도입니다. 즉, 필요한 금액은 와 같습니다.
2. 볼록 다각형 내부의 점을 선택하고 모든 정점에 연결할 수도 있습니다. 그런 다음 n-gon은 삼각형으로 나뉩니다.
또한이 경우 다각형 각도의 합은이 모든 삼각형의 모든 각도에서 중심 각도를 뺀 값과 같습니다. . 즉, 원하는 금액은 다시 와 같습니다.
볼록 다각형의 외각의 합
이제 "볼록 다각형의 외각의 합은 얼마입니까?"라는 질문을 스스로에게 해봅시다. 이 질문은 다음과 같은 방식으로 답할 수 있습니다. 각 외부 모서리는 해당 내부 모서리에 인접합니다. 따라서 다음과 같습니다.
그러면 모든 외부 각도의 합은 입니다. 즉, 와 같습니다.
아주 재미있는 결과입니다. 볼록한 n-gon의 모든 외부 모서리를 차례로 차례로 놓으면 결과적으로 전체 평면이 채워집니다.
이 흥미로운 사실은 다음과 같이 설명할 수 있습니다. 볼록 다각형이 한 점으로 병합될 때까지 일부 볼록 다각형의 모든 면을 비례적으로 줄여보겠습니다. 이런 일이 발생하면 모든 외부 모서리가 서로 따로 설정되어 전체 평면을 채웁니다.
흥미로운 사실이죠? 기하학에는 그러한 사실이 많이 있습니다. 친애하는 학생 여러분, 기하학을 배우십시오!
볼록 다각형의 각도의 합이 무엇인지에 대한 자료는 Sergey Valerievich가 준비했습니다.
다각형의 볼록도 결정.
Kyrus-Back 알고리즘은 창으로 사용할 볼록 다각형을 가정합니다.
그러나 실제로는 다각형으로 잘리는 문제가 자주 발생하며 볼록 여부에 대한 정보가 초기에 지정되지 않습니다. 이 경우 클리핑 절차를 시작하기 전에 주어진 다각형이 볼록한지 여부를 확인해야 합니다.
다각형의 볼록성에 대한 몇 가지 정의를 제공하겠습니다.
다음 조건 중 하나가 충족되면 다각형이 볼록한 것으로 간주됩니다.
1) 볼록 다각형에서 모든 꼭지점은 가장자리를 전달하는 선의 한쪽(주어진 가장자리의 내부)에 위치합니다.
2) 다각형의 모든 내각은 180o 미만입니다.
3) 다각형의 정점을 연결하는 모든 대각선은 이 다각형 안에 있습니다.
4) 다각형의 모든 모서리가 같은 방향으로 우회됩니다(그림 3.3‑1).
마지막 볼록성 기준의 분석적 표현을 개발하기 위해 벡터 곱을 사용합니다.
벡터 제품 여 두 벡터 ㅏ 그리고 비 (그림 3.3-2a) 로써 정의 된:
A x ,a y ,az 및 b x ,by ,b z ㅏ그리고 비,
- 나, 제이, 케이– 좌표축 X , Y , Z 를 따른 단위 벡터.
 |
쌀.3.3 ‑ 1
쌀.3.3 ‑ 2
다각형의 2차원 표현을 3차원 좌표계 X ,Y ,Z의 XY 좌표 평면에서의 표현으로 간주하면(그림 3.3-2 b) 외적 형성에 대한 표현은 다음과 같습니다. 벡터의 유그리고 V, 여기서 벡터 유그리고 V다각형의 모서리를 형성하는 인접한 가장자리는 결정자로 쓸 수 있습니다.
외적 벡터는 요인 벡터가 위치한 평면에 수직입니다. 곱 벡터의 방향은 김릿 규칙 또는 오른나사의 규칙에 의해 결정됩니다.
Fig. 3.3‑2 b), 벡터 여, 벡터의 벡터 곱에 해당 V, 유, Z 좌표축의 방향과 동일한 지향성을 갖게 됩니다.
이 경우 벡터 요인의 Z축 투영이 0이라는 사실을 고려하면 벡터 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
(3.3-1)
단위 벡터 케이항상 양수이므로 벡터의 부호 승벡터 곱은 위 식에서 결정자 D의 부호에 의해서만 결정됩니다. 벡터 곱의 속성에 따라 요인 벡터를 재정렬할 때 유그리고 V벡터 기호 승반대로 바뀌게 됩니다.
이것으로부터 만약 벡터로서 V그리고 유다각형의 인접한 두 모서리를 고려한 다음 벡터 제품의 벡터 열거 순서는 다각형의 고려된 모서리 또는 이 모서리를 형성하는 모서리의 우회에 따라 배치될 수 있습니다. 이를 통해 다각형의 볼록성을 결정하는 기준으로 규칙을 사용할 수 있습니다.
다각형의 모든 가장자리 쌍에 대해 다음 조건이 충족되는 경우:
 |
개별 각도에 대한 벡터 곱의 부호가 일치하지 않으면 다각형이 볼록하지 않습니다.
다각형의 가장자리는 끝점의 좌표로 지정되므로 외적의 부호를 결정하는 데 행렬식을 사용하는 것이 더 편리합니다.
평면 위의 볼록한 점 집합입니다.
평면 또는 3차원 공간의 점 집합을 호출합니다. 볼록한, 이 집합의 두 점이 이 집합에 완전히 포함된 선분으로 연결될 수 있는 경우.
정리 1. 유한한 수의 볼록 집합의 교집합은 볼록 집합입니다.
결과.유한한 수의 볼록 집합의 교집합은 볼록 집합입니다.
코너 포인트.
볼록 집합의 경계점은 다음과 같습니다. 모난, 세그먼트를 통해 세그먼트를 그릴 수 있는 경우 모든 포인트가 주어진 세트에 속하지 않습니다.
다양한 모양의 세트는 유한하거나 무한한 수의 꼭지점을 가질 수 있습니다.
볼록 다각형.
다각형~라고 불리는 볼록한, 인접한 두 정점을 통과하는 각 선의 한쪽에 있는 경우.
정리: 볼록한 n각형의 각도의 합은 180˚ *(n-2)
6) 변수가 두 개인 m 선형 부등식의 풀이 시스템
두 개의 변수가 있는 m 선형 부등식 시스템이 주어집니다.
부등식의 일부 또는 전부의 징후는 ≥일 수 있습니다.
X1OX2 좌표계의 첫 번째 부등식을 고려하십시오. 직선을 세우자
경계선입니다.
이 직선은 평면을 두 개의 반평면 1과 2로 나눕니다(그림 19.4).
반평면 1은 원점을 포함하고 반평면 2는 원점을 포함하지 않습니다.
주어진 반평면이 경계선의 어느 쪽에 있는지 확인하려면 평면에서 임의의 점(더 나은 원점)을 가져와 이 점의 좌표를 부등식으로 대체해야 합니다. 부등식이 참이면 반평면이 이 점을 향하고, 그렇지 않으면 점에서 반대 방향으로 향합니다.
그림에서 반면의 방향은 화살표로 표시됩니다.
정의 15. 시스템의 각 부등식에 대한 솔루션은 경계선을 포함하고 그 한쪽에 위치한 반면입니다.
정의 16. 시스템의 해당 부등식에 의해 각각 결정되는 반면의 교차점을 시스템의 솔루션 영역(SR)이라고 합니다.
정의 17. 비음성 조건(xj ≥ 0, j =)을 만족하는 시스템의 솔루션 영역을 비음성 또는 허용 가능한 솔루션(ODS) 영역이라고 합니다.
부등식 시스템이 일치하면 OP와 ODE는 다면체, 무한 다면체 영역 또는 단일 점이 될 수 있습니다.
불평등 시스템이 일치하지 않으면 OR 및 ODR은 공집합입니다.
예 1
해결책. 첫 번째 부등식의 OR을 찾아봅시다: x1 + 3x2 ≥ 3. 경계선 x1 + 3x2 - 3 = 0을 구성합시다(그림 19.5). 점(0,0)의 좌표를 부등식으로 대체: 1∙0 + 3∙0 > 3; 점(0,0)의 좌표가 이를 만족하지 않기 때문에 부등식(19.1)에 대한 해는 점(0,0)을 포함하지 않는 반평면입니다.
마찬가지로 우리는 시스템의 나머지 불평등에 대한 해결책을 찾습니다. 우리는 부등식 시스템의 OP와 ODE가 볼록 다면체 ABCD라는 것을 얻습니다.
다면체의 모서리 점을 찾으십시오. 점 A는 선의 교차점으로 정의됩니다.
시스템을 풀면 A(3/7, 6/7)가 됩니다.
우리는 점 B를 선의 교차점으로 찾습니다.
시스템에서 우리는 B(5/3, 10/3)를 얻습니다. 마찬가지로 점 C와 D의 좌표를 찾습니다. C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
예 2. 불평등 시스템의 OR 및 ODR 찾기
해결책. 직선을 만들고 부등식 (19.5)-(19.7)의 해를 결정합시다. OR과 ODR은 각각 무한다면체 면적 ACFM과 ABDEKM이다(그림 19.6).
예 3. 불평등 시스템의 OR 및 ODR 찾기
해결책. 불평등 (19.8)-(19.10)에 대한 해결책을 찾습니다(그림 19.7). OP는 경계가 없는 다면체 영역 ABC를 나타냅니다. ODR - 지점 B.
예 4. 불평등 시스템의 OP 및 ODS 찾기
해결책. 직선을 구성하면 시스템의 불평등에 대한 해결책을 찾을 수 있습니다. OR과 ODR은 호환되지 않습니다(그림 19.8).
수업 과정
불평등 시스템의 OR 및 ODR 찾기
정리. xn ® a이면 .
증거. 그것은 xn ® a에서 다음과 같습니다. 동시에:
저것들. , 즉. . 정리가 입증되었습니다.
정리. xn ® a이면 시퀀스(xn)가 제한됩니다.
반대 진술은 사실이 아니라는 점에 유의해야 합니다. 시퀀스의 경계가 수렴을 의미하지는 않습니다.
예를 들어 시퀀스에는 제한이 없지만
멱급수로 기능 확장.
멱급수에서 함수의 확장은 함수 연구, 미분, 적분, 미분 방정식 풀기, 한계 계산, 함수의 근사값 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 매우 중요합니다.
전체적으로 다음을 얻습니다.
통합을 사용하여 함수를 시리즈로 확장하는 방법을 고려하십시오.
적분의 도움으로 일련의 도함수의 확장이 알려져 있거나 쉽게 찾을 수 있는 함수를 일련의 확장으로 확장할 수 있습니다.
함수의 미분을 찾아 0에서 x까지의 범위 내에서 적분합니다.
다각형의 개념
정의 1
다각형하나의 직선에 있지 않은 이웃하는 쌍으로 상호 연결된 세그먼트로 구성된 평면의 기하학적 도형이라고합니다.
이 경우 세그먼트를 호출합니다. 다각형 면, 그리고 그들의 끝은 다각형 정점.
정의 2
$n$-gon은 $n$ 정점을 가진 다각형입니다.
다각형의 종류
정의 3
다각형이 항상 측면을 통과하는 선의 한쪽에 있으면 다각형을 호출합니다. 볼록한(그림 1).
그림 1. 볼록 다각형
정의 4
다각형이 측면을 통과하는 하나 이상의 직선의 반대쪽에 있으면 다각형을 볼록하지 않은 다각형이라고 합니다(그림 2).
그림 2. 볼록하지 않은 다각형
다각형 각도의 합
-gon의 각의 합에 대한 정리를 소개합니다.
정리 1
볼록 -gon의 각도의 합은 다음과 같이 정의됩니다.
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
증거.
볼록 다각형 $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$이 주어집니다. 해당 정점 $A_1$을 주어진 다각형의 다른 모든 정점에 연결합니다(그림 3).
그림 3
이러한 연결을 통해 $n-2$ 삼각형을 얻습니다. 각도를 합산하면 주어진 -gon의 각도 합계를 얻습니다. 삼각형의 내각의 합은 $(180)^0,$이므로 볼록한 각도의 합은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
정리가 입증되었습니다.
사각형의 개념
$2$의 정의를 이용하면 사변형의 정의를 쉽게 소개할 수 있습니다.
정의 5
사변형은 $4$ 정점이 있는 다각형입니다(그림 4).
그림 4. 사변형
사각형의 경우 볼록한 사각형과 볼록하지 않은 사각형의 개념은 비슷하게 정의됩니다. 볼록한 사각형의 고전적인 예는 정사각형, 직사각형, 사다리꼴, 마름모, 평행사변형입니다(그림 5).
그림 5. 볼록 사변형
정리 2
볼록사각형의 내각의 합은 $(360)^0$
증거.
정리 $1$에 의해 우리는 볼록 -gon의 각도의 합이 다음 공식에 의해 결정된다는 것을 알고 있습니다.
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
따라서 볼록 사변형의 각도의 합은
\[\왼쪽(4-2\오른쪽)\cdot (180)^0=(360)^0\]
정리가 입증되었습니다.
볼록 사변형은 꼭짓점에서 서로 연결된 네 변으로 구성된 도형으로 변과 함께 네 각을 형성하는 반면 사각형 자체는 변 중 하나가 놓인 직선에 대해 항상 동일한 평면에 있습니다. 즉, 전체 그림은 해당 변의 한쪽에 있습니다.
접촉
보시다시피 정의는 기억하기 매우 쉽습니다.
기본 속성 및 유형
네 모서리와 측면으로 구성된 우리에게 알려진 거의 모든 도형은 볼록 사변형에 기인할 수 있습니다. 다음을 구분할 수 있습니다.
- 평행사변형;
- 정사각형;
- 직사각형;
- 사다리꼴;
- 마름모.
이 모든 수치는 사각형이라는 사실뿐만 아니라 볼록하다는 사실로도 통합됩니다. 다이어그램을 살펴보십시오.
그림은 볼록 사다리꼴을 보여줍니다.. 여기에서 사다리꼴이 동일한 평면에 있거나 세그먼트의 한쪽에 있음을 알 수 있습니다. 유사한 동작을 수행하면 다른 모든 변의 경우 사다리꼴이 볼록하다는 것을 알 수 있습니다.
평행사변형은 볼록사변형인가요?
위는 평행 사변형의 이미지입니다. 그림에서 알 수 있듯이, 평행사변형도 볼록하다. 세그먼트 AB, BC, CD 및 AD가 놓인 선과 관련하여 그림을 보면 항상 이 선에서 동일한 평면에 있다는 것이 분명해집니다. 평행사변형의 주요 특징은 대향 각도가 서로 같은 것과 같은 방식으로 변이 쌍으로 평행하고 같다는 것입니다.
이제 정사각형이나 직사각형을 상상해보십시오. 주요 속성에 따르면 평행사변형이기도 합니다. 즉, 모든 측면이 쌍으로 평행하게 배열됩니다. 직사각형의 경우에만 변의 길이가 다를 수 있고 각이 직각(90도와 같음)인 경우 정사각형은 모든 변의 길이가 같고 각도 올바른 반면 길이는 직각인 직사각형입니다. 평행사변형의 변과 각도는 다를 수 있습니다.
결과적으로 사각형의 네 꼭지점의 합은 360도와 같아야 합니다.. 이를 결정하는 가장 쉬운 방법은 직사각형을 사용하는 것입니다. 직사각형의 네 모서리가 모두 옳습니다. 즉, 90도입니다. 이 90도 각도의 합은 360도, 즉 90도를 4번 더하면 원하는 결과가 나온다.
볼록 사변형의 대각선 속성
볼록 사변형 교차점의 대각선. 실제로 이 현상은 시각적으로 관찰할 수 있습니다. 그림을 보세요.
왼쪽 그림은 볼록하지 않은 사변형 또는 사변형을 보여줍니다. 당신이 원하는대로. 보시다시피 대각선은 적어도 전부는 교차하지 않습니다. 오른쪽에는 볼록한 사변형이 있습니다. 여기서 교차하는 대각선의 속성은 이미 관찰됩니다. 동일한 속성이 사변형의 볼록함의 표시로 간주될 수 있습니다.
사변형의 볼록성의 다른 속성 및 징후
특히, 이 용어에 따르면 특정 속성 및 기능을 명명하는 것은 매우 어렵습니다. 이 유형의 다른 종류의 사변형에 따라 분리하는 것이 더 쉽습니다. 평행 사변형으로 시작할 수 있습니다. 우리는 이미 이것이 한 쌍의 변이 평행하고 동일한 사각형 도형이라는 것을 알고 있습니다. 동시에 이것은 서로 교차하는 평행사변형의 대각선 속성과 그림 자체의 볼록함의 부호도 포함합니다. 그것의 측면.
그래서, 주요 기능과 속성은 다음과 같습니다.
- 사변형의 각도의 합은 360도입니다.
- 그림의 대각선은 한 지점에서 교차합니다.
직사각형. 이 도형은 평행사변형과 속성 및 특징이 모두 같지만 각이 모두 90도입니다. 따라서 이름은 직사각형입니다.
정사각형, 같은 평행사변형, 그러나 그 모서리는 직사각형처럼 옳습니다. 이 때문에 정사각형을 직사각형이라고 부르는 경우는 드뭅니다. 그러나 사각형의 주요 특징은 위에 이미 나열된 것 외에도 4면이 모두 동일하다는 것입니다.
사다리꼴은 매우 흥미로운 도형입니다.. 이것은 또한 사변형이며 또한 볼록합니다. 이 기사에서 사다리꼴은 이미 그림의 예를 사용하여 고려되었습니다. 그녀도 볼록하다는 것이 분명합니다. 주요 차이점과 그에 따른 사다리꼴의 표시는 측면의 길이와 각도의 값이 완전히 같지 않을 수 있다는 것입니다. 이 경우 그림을 형성하는 세그먼트를 따라 두 정점을 연결하는 직선에 대해 그림은 항상 동일한 평면에 남아 있습니다.
마름모는 똑같이 흥미로운 인물입니다.. 부분적으로 마름모는 정사각형으로 간주될 수 있습니다. 마름모의 표시는 대각선이 교차할 뿐만 아니라 마름모의 모서리를 반으로 나누고 대각선 자체가 직각으로 교차한다는 것, 즉 수직이라는 사실입니다. 마름모 변의 길이가 같으면 대각선도 교차점에서 반으로 나뉩니다.
삼각근 또는 볼록 능형근(마름모꼴)측면 길이가 다를 수 있습니다. 그러나 동시에 마름모 자체의 주요 속성 및 특징과 볼록의 특징 및 속성이 모두 보존됩니다. 즉, 대각선이 모서리를 이등분하고 직각으로 교차하는 것을 관찰할 수 있습니다.
오늘의 과제는 볼록 사변형이 무엇인지, 그것이 무엇인지, 주요 특징과 특성을 고려하고 이해하는 것이었습니다. 주목! 볼록한 사변형의 내각의 합이 360도라는 것을 다시 한 번 기억할 가치가 있습니다. 예를 들어 도형의 둘레는 도형을 구성하는 모든 부분의 길이의 합과 같습니다. 사변형의 둘레와 면적을 계산하는 공식은 다음 기사에서 설명합니다.
볼록 사변형의 유형
