비스듬히 던져진 몸의 움직임. 수평선을 향해 비스듬히 던져진 몸의 움직임! 운동학은 쉽다

1972년 뮌헨올림픽 농구대회 결승전 종료까지 3초 남았습니다. 미국 팀인 미국인들은 이미 승리를 축하하고 있었습니다! 우리 팀(소련 국가대표팀)은 위대한 꿈의 팀을 상대로 약 10점을 따냈습니다...

경기 종료 몇 분 전. 그러나 결국 모든 이점을 잃은 그녀는 이미 49:50에서 1 점을 잃고있었습니다. 다음에 일어난 일은 놀라웠습니다! Ivan Edeshko는 미국인의 링 아래 전체 영역에 걸쳐 엔드 라인 뒤에서 공을 던집니다. 여기서 우리 센터 Alexander Belov는 두 명의 상대에게 둘러싸인 공을 받아 바구니에 넣습니다. 51:50 - 우리는 올림픽 챔피언입니다!!!

그때 나는 어렸을 때 가장 강한 감정을 경험했습니다. 처음에는 실망과 분개, 그다음에는 미친 기쁨이었습니다! 이 에피소드의 감정적 기억은 평생 동안 내 마음에 새겨집니다! 인터넷에서 "Alexander Belov의 골든 던지기"요청에 대한 비디오를 시청하면 후회하지 않을 것입니다.

미국인들은 패배를 인정하지 않고 은메달을 거부했습니다. 우리 선수들이 한 일을 3초 안에 할 수 있습니까? 물리학을 기억하자!

이 글에서는 수평선에 대해 비스듬히 던진 물체의 움직임을 고려하고 초기 데이터의 다양한 조합으로 이 문제를 해결하기 위한 Excel 프로그램을 만들고 위의 질문에 답하려고 합니다.

이것은 물리학에서 꽤 잘 알려진 문제입니다. 우리의 경우 수평선에 비스듬히 던져진 몸은 농구공입니다. Ivan Edeshko가 코트 전체에 던지고 Alexander Belov의 손에 떨어지는 공의 초기 속도, 시간 및 궤적을 계산합니다.

농구 비행의 수학과 물리학.

아래 공식과 계산뛰어나다공기 마찰의 영향을 고려하지 않고 수평선에 비스듬히 던져지고 포물선 궤도를 따라 비행하는 물체에 대한 광범위한 문제에 대해 보편적입니다.

계산 방식은 아래 그림과 같습니다. MS Excel 또는 OOO Calc를 실행합니다.

초기 데이터:

1. 우리는 행성 지구에 있고 지구 중력장에서 물체의 움직임과 같은 탄도 문제를 고려하고 있기 때문에 먼저 중력장의 주요 특성인 자유 낙하 가속도를 기록합니다. g m/s 2

셀 D3에: 9,81

2. 농구 코트의 크기는 길이 28m, 너비 15m입니다. 거의 코트를 가로질러 반대쪽 엔드 라인에서 링까지 수평으로 볼의 비거리 엑스미터로 쓰다

D4 셀에: 27,000

3. Edeshko가 약 2m 높이에서 던졌고 Belov가 링 높이 어딘가에서 공을 잡았다 고 가정하면 농구 후프 높이가 3.05m 인 경우 출발 지점과 도착 지점 사이의 거리 공은 수직으로 1미터가 될 것입니다. 수직 변위를 적어 봅시다 와이미터 단위

D5 셀에: 1,000

4. 제가 영상으로 측정한 결과 볼의 출발각도는 α 0 Edeshko의 손에서 20 °를 초과하지 않았습니다. 이 값을 입력하십시오

셀 D6에: 20,000

계산 결과:

공기 저항을 고려하지 않고 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 움직임을 설명하는 기본 방정식:

엑스 =v0* 왜냐하면 α 0 *티

와이 =v0*죄 α 0 *t -g *t 2 /2

5. 시간을 표현하자 티첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식으로 대입하여 공의 초기 속도를 계산하십시오. V 0 m/s 단위

셀 D8: =(D3*D4^2/2/COS(라디안(D6))^2/(D4*TAN(라디안(D6))-D5))^0.5 =21,418

v0 =(g *x 2 /(2*(코사인α 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0.5

6. Edeshko의 손에서 Belov의 손으로 공이 날아가는 시간 티몇 초 만에 계산, 지금 알기 V 0 , 첫 번째 방정식에서

셀 D9: =D4/D8/COS(라디안(D6)) =1,342

티 = 엑스 /(V 0 * 코사인α 0 )

7. 공의 속도 방향각 찾기 α 나우리의 관심 지점에서. 이를 위해 초기 방정식 쌍을 다음 형식으로 작성합니다.

와이 =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(코사인α 0 ) 2)

이것은 포물선의 방정식 - 비행 경로입니다.

관심 지점에서 포물선에 대한 접선의 경사각을 찾아야합니다. 이것이 각도가 될 것입니다. α 나. 이렇게 하려면 탄젠트 기울기의 탄젠트인 미분을 취하십시오.

와이' =TGα 0 -g *x /(v 0 2*(코사인α 0 ) 2)

Belov의 손에 공이 도착하는 각도를 계산하십시오. α 나도 단위

셀 D10: =ATAN(TAN(라디안(D6)) -D3*D4/D8^2/COS(라디안(D6))^2)/PI()*180 =-16,167

α 나 = arctg와이 ’ = arctg(TGα 0 — g * 엑스 /(V 0 2 *(코사인α 0 ) 2))

Excel의 계산은 원칙적으로 완료됩니다.

기타 결제 옵션:

작성된 프로그램을 사용하여 초기 데이터의 다른 조합으로 빠르고 쉽게 계산을 수행할 수 있습니다.

수평이 주어지면 엑스 = 27미터 , 세로 와이 = 1미터 비행 범위 및 초기 속도 V 0 = 25m/s.

비행 시간을 찾는 데 필요합니다. 티및 이탈 각도 α 0 그리고 도착 α 나

MS Excel "매개 변수 선택" 서비스를 사용해 봅시다. 나는 그것을 사용하는 방법을 여러 블로그 기사에서 반복적으로 자세히 설명했습니다. 이 서비스 사용에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다.

D6 셀의 값 선택을 변경하여 D8 셀의 값을 25,000으로 설정합니다. 그 결과는 아래 사진과 같습니다.

이 Excel 계산 버전의 초기 데이터(실제로 이전 데이터에서와 같이)는 파란색 프레임으로 강조 표시되고 결과는 빨간색 직사각형 프레임으로 표시됩니다!

테이블 설정뛰어나다밝은 청록색으로 채워진 셀 중 하나에서 변경된 값을 선택하여 밝은 노란색으로 채워진 셀 중 하나에서 관심 있는 일부 값을 선택합니다. 일반적으로 운동 문제를 해결하기 위한 10가지 옵션을 얻을 수 있습니다. 10개의 서로 다른 소스 데이터 세트로 수평선에 비스듬히 던져진 몸!!!

질문에 대한 답변:

기사 시작 부분에 제기된 질문에 답해 봅시다. Ivan Edeshko가 보낸 공은 우리 계산에 따르면 1.342 초 만에 Belov로 날아갔습니다. Alexander Belov는 공을 잡고 착지하고 뛰어 올라 던졌습니다. 이 모든 것에 대해 그는 시간의 "바다"를 가졌습니다 – 1.658s! 여백이있는 시간은 정말 충분합니다! 프레임별로 비디오를 자세히 보면 위의 내용이 확인됩니다. 우리 선수들이 최전선에서 상대 백보드로 공을 전달하고 링에 던지는 데 3초면 충분했습니다. 농구 역사에 금으로 이름을 새기는 일!

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운동학은 쉽습니다!

던지기 후, 비행 중에 몸에 중력이 작용합니다. 피트그리고 공기 저항의 힘 FC.
몸의 움직임이 저속으로 발생하면 일반적으로 계산할 때 공기 저항력이 고려되지 않습니다.
따라서 우리는 중력만이 몸에 작용한다고 가정할 수 있습니다. 자유 낙하.
이것이 자유 낙하라면 던진 물체의 가속도는 자유 낙하의 가속도와 같습니다. g.
지구 표면에 비해 낮은 고도에서 중력 Ft는 실질적으로 변하지 않으므로 몸은 일정한 가속도로 움직입니다.

따라서 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 움직임은 자유 낙하의 변형입니다. 일정한 가속도와 곡선 궤적을 가진 움직임(속도와 가속도 벡터는 방향이 일치하지 않기 때문에).

벡터 형태의 이 움직임의 공식: 신체의 궤적은 벡터 Fт 및 Vo를 통과하는 평면에 놓인 포물선입니다.
던진 몸체의 원점은 일반적으로 좌표의 원점으로 선택됩니다.

언제든지 방향의 신체 속도 변화는 가속도와 일치합니다.

궤적의 임의 지점에서 신체의 속도 벡터는 벡터 V x 및 벡터 V y 의 두 가지 구성 요소로 분해될 수 있습니다.
언제든지 신체의 속도는 다음 벡터의 기하학적 합으로 결정됩니다.

그림에 따르면 좌표축 OX 및 OY에 대한 속도 벡터의 투영은 다음과 같습니다.

언제든지 신체 속도 계산:

언제든지 신체의 변위 계산:

바디 모션 궤적의 각 지점은 X 및 Y 좌표에 해당합니다.

언제든지 던진 몸체의 좌표에 대한 계산 공식:

모션 방정식에서 최대 비행 범위 L을 계산하기 위한 공식을 도출할 수 있습니다.

최대 비행 고도 H:

추신
1. 동일한 초기 속도 Vo에서 비행 범위는 다음과 같습니다.
- 초기 투사 각도가 0o에서 45o로 증가하면 증가,
- 초기 투척각도가 45o에서 90o로 증가하면 감소합니다.

2. 동일한 초기 투사 각도에서 비행 범위 L은 초기 속도 Vo가 증가함에 따라 증가합니다.

3. 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 운동의 특수한 경우는 다음과 같습니다. 수평으로 던진 몸의 운동, 초기 던지기 각도는 0입니다.

자유낙하란? 이것은 공기 저항이 없을 때 물체가 지구로 떨어지는 것입니다. 즉, 공허에 빠지는 것입니다. 물론 공기 저항이 없다는 것은 정상적인 조건에서는 지구상에서 찾아볼 수 없는 진공 상태이다. 따라서 무시할 수 있을 정도로 작은 공기 저항의 힘을 고려하지 않을 것입니다.

중력가속도

피사의 사탑에서 유명한 실험을 수행한 갈릴레오 갈릴레이는 질량에 관계없이 모든 물체가 같은 방식으로 지구로 떨어진다는 사실을 발견했습니다. 즉, 모든 물체에 대해 자유 낙하 가속도는 동일합니다. 전설에 따르면 과학자는 탑에서 다른 질량의 공을 던졌습니다.

중력가속도

자유 낙하 가속도 - 모든 물체가 지구로 떨어지는 가속도.

자유 낙하 가속도는 대략 9.81m s 2와 같으며 문자 g로 표시됩니다. 때로는 정확도가 근본적으로 중요하지 않은 경우 중력 가속도를 10 m s 2 로 반올림합니다.

지구는 완전한 구형이 아니며 지표면의 좌표와 높이에 따라 지표면의 다른 지점에서 g 값이 달라집니다. 따라서 가장 큰 자유 낙하 가속도는 극(≈ 9, 83 m s 2)에 있고 가장 작은 가속도는 적도(≈ 9, 78 m s 2)에 있습니다.

자유낙하체

자유 낙하의 간단한 예를 고려하십시오. 어떤 물체가 초기 속도가 0인 높이 h에서 떨어지게 하십시오. 피아노를 높이 h까지 올리고 조용히 놓았다고 가정해 봅시다.

자유 낙하 - 일정한 가속도를 갖는 직선 운동. 몸의 초기 위치에서 지구로 좌표축을 향하게합시다. 직선 등가속도 운동에 기구학의 공식을 적용하면 쓸 수 있다.

h = v 0 + g t 2 2 .

초기 속도가 0이므로 다음과 같이 다시 작성합니다.

여기에서 신체가 높이 h에서 떨어지는 시간에 대한 표현이 발견됩니다.

v \u003d g t를 고려하여 낙하 당시의 신체 속도, 즉 최대 속도를 찾습니다.

v = 2hg · g = 2hg .

유사하게 우리는 일정한 초기 속도로 수직으로 위쪽으로 던져진 물체의 움직임을 고려할 수 있습니다. 예를 들어 공을 위로 던집니다.

몸을 던진 지점에서 좌표축이 수직으로 위쪽을 향하도록하십시오. 이번에는 몸이 균일하게 느리게 움직이며 속도를 잃습니다. 가장 높은 지점에서 신체의 속도는 0입니다. 운동학 공식을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

v = 0 을 대입하면 몸이 최대 높이까지 상승하는 시간을 찾습니다.

하강 시간은 상승 시간과 일치하며 본체는 t = 2 v 0 g 후에 지구로 돌아갑니다.

수직으로 던진 몸체의 최대 높이:

아래 그림을 살펴보자. 가속도 a = - g인 세 가지 운동 사례에 대한 신체 속도 그래프를 보여줍니다. 이 예에서 모든 숫자는 반올림되고 자유 낙하 가속도는 10m s 2 와 같다고 지정한 후 각각을 고려해 봅시다.

첫 번째 그래프는 초기 속도 없이 특정 높이에서 물체가 떨어지는 것입니다. 하강 시간 tp = 1s. 공식과 그래프에서 몸이 떨어진 높이가 h = 5m라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 그래프는 초기 속도 v 0 = 10 m s로 위쪽으로 수직으로 던져진 물체의 움직임입니다. 최대 리프팅 높이 h = 5m 상승 시간 및 하강 시간 t p = 1초.

세 번째 그래프는 첫 번째 그래프의 연속입니다. 낙하하는 물체는 표면에서 튕겨 나가고 그 속도는 갑자기 반대 방향으로 부호가 바뀝니다. 두 번째 그래프에 따라 신체의 추가 움직임을 고려할 수 있습니다.

물체의 자유 낙하 문제는 수평선에 대해 일정한 각도로 던져진 물체의 운동 문제와 밀접한 관련이 있습니다. 따라서 포물선 궤적을 따른 이동은 수직 및 수평 축에 대한 두 개의 독립적인 이동의 합으로 나타낼 수 있습니다.

O Y 축을 따라 몸은 가속도 g로 균일하게 가속되며 이 움직임의 초기 속도는 v 0 y입니다. O X 축을 따른 움직임은 균일하고 직선적이며 초기 속도는 v 0 x 입니다.

O X 축을 따라 이동하기 위한 조건:

x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; x = 0 .

O Y 축을 따라 이동하기 위한 조건:

y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α ; y = - g .

우리는 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 운동에 대한 공식을 제시합니다.

본체 비행 시간:

t = 2 v 0 sin α g .

바디 비행 범위:

L \u003d v 0 2 sin 2 α g.

최대 비행 범위는 각도 α = 45°에서 달성됩니다.

L m a x = v 0 2 g .

최대 리프팅 높이:

h \u003d v 0 2 sin 2 α 2 g.

실제 조건에서 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 움직임은 공기와 바람의 저항으로 인해 포물선과 다른 궤적을 따를 수 있습니다. 우주에 던져진 신체의 움직임에 대한 연구는 탄도학이라는 특별한 과학입니다.

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물체가 수평선에 대해 비스듬히 던져지면 비행 중에 중력과 공기 저항의 영향을 받습니다. 저항력을 무시하면 남은 힘은 중력뿐이다. 따라서 뉴턴의 제2법칙에 따라 물체는 자유 낙하 가속도와 같은 가속도로 움직입니다. 좌표축 ax = 0, ay = - g에 대한 가속도 투영.

그림 1. 수평선에 대해 비스듬히 던져진 신체의 운동학적 특성

재료 점의 복잡한 움직임은 좌표축을 따라 독립적인 움직임을 부과하는 것으로 나타낼 수 있으며 다른 축 방향에서는 움직임 유형이 다를 수 있습니다. 우리의 경우 비행체의 운동은 수평축(X축)을 따라 등속 운동과 수직축(Y축)을 따라 등속 가속 운동의 두 가지 독립적인 운동의 중첩으로 나타낼 수 있습니다(그림 1). .

따라서 신체의 속도 예측은 다음과 같이 시간에 따라 변경됩니다.

여기서 $v_0$는 초기 속도이고 $(\mathbf \alpha )$는 던지는 각도입니다.

원점을 선택한 경우 초기 좌표(그림 1)는 $x_0=y_0=0$입니다. 그런 다음 다음을 얻습니다.

(1)

공식 (1)을 분석해 보겠습니다. 던진 물체의 운동 시간을 결정합시다. 이를 위해 y 좌표를 0으로 설정합니다. 착지 순간 몸의 높이는 0입니다. 여기에서 우리는 비행 시간을 얻습니다.

높이가 0이 되는 시간의 두 번째 값은 0과 같으며 이는 던지는 순간에 해당합니다. 이 값에는 물리적 의미도 있습니다.

비행 범위는 첫 번째 공식(1)에서 구합니다. 비행 범위는 비행 종료 시 x 좌표의 값입니다. $t_0$와 같은 시점에. 값(2)을 첫 번째 공식(1)에 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

이 공식에서 가장 큰 비행 범위는 45도의 투사 각도에서 달성된다는 것을 알 수 있습니다.

던진 몸체의 가장 높은 리프팅 높이는 두 번째 공식 (1)에서 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 이 공식에서 비행 시간의 절반(2)에 해당하는 시간 값을 대체해야 합니다. 비행 고도가 최대가 되는 것은 궤적의 중간 지점입니다. 계산을 수행하면

방정식 (1)에서 신체 궤적의 방정식을 얻을 수 있습니다. 움직이는 동안 신체의 x 및 y 좌표와 관련된 방정식. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식(1)에서 시간을 표현해야 합니다.

두 번째 방정식에 대입하십시오. 그런 다음 다음을 얻습니다.

이 방정식은 궤적 방정식입니다. 이것은 2차항 앞의 "-" 기호로 표시한 바와 같이 가지가 아래로 향하는 포물선의 방정식임을 알 수 있습니다. 던지는 각도 $\alpha $와 그 함수는 여기에서 단지 상수라는 것을 명심해야 합니다. 상수.

물체를 속도 v0로 각도 $(\mathbf \alpha )$로 수평선에 던졌습니다. 비행 시간 $t = 2s$. 신체가 상승하는 높이 Hmax는 얼마입니까?

$$t_B = 2s$$ $$H_max - ?$$

신체 운동의 법칙은 다음과 같습니다.

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

초기 속도 벡터는 OX 축과 각도 $(\mathbf \alpha )$를 형성합니다. 따라서,

\ \ \

돌을 산꼭대기에서 $v_0 = 6 m/s$의 초기 속도로 30$()^\circ$ 각도로 수평선으로 던졌습니다. 경사면 각도 = 30$()^\circ$. 던진 지점에서 돌이 떨어지는 지점은?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

던지는 지점에 좌표의 원점을 OX-경사면을 따라 아래로, OY-경사면에 수직으로 위로 놓으십시오. 움직임의 운동학적 특성:

운동 법칙:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

$t_B$의 결과 값을 대체하면 $S$를 찾습니다.

물체를 수평선에 대해 각도 α로 속도로 던진다고 하자. 이전 사례와 마찬가지로 공기 저항을 무시합니다. 움직임을 설명하려면 Ox와 Oy의 두 좌표축을 선택해야 합니다(그림 29).

그림 29

원점은 본체의 초기 위치와 호환됩니다. Oy 및 Ox 축의 초기 속도 투영: , . 가속 예측: ,

그러면 신체의 움직임은 다음 방정식으로 설명됩니다.

(8)

(9)

이러한 공식으로부터 물체는 수평 방향으로 균일하게 이동하고 수직 방향으로 균일하게 가속됩니다.

몸의 궤도는 포물선이 될 것입니다. 포물선의 상단에서 몸이 포물선의 상단까지 올라가는 데 걸리는 시간을 찾을 수 있습니다.

t 1의 값을 방정식 (8)에 대입하면 신체의 최대 높이를 찾습니다.

최대 리프팅 높이.

t \u003d t 2에서 좌표 y 2 \u003d 0이라는 조건에서 신체의 비행 시간을 찾습니다. 따라서, . 따라서 - 신체의 비행 시간. 이 공식을 공식 (10)과 비교하면 t 2 =2t 1 임을 알 수 있습니다.

최대 높이에서 몸이 움직이는 시간 t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . 따라서 몸이 최대 높이까지 올라간 시간, 이 높이에서 떨어지는 시간. x 좌표(6)의 방정식에 시간 t 2의 값을 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

- 신체 범위.

궤적의 임의 지점에서의 순간 속도는 궤적에 접선 방향으로 향하고(그림 29 참조) 속도 계수는 공식에 의해 결정됩니다.

따라서 수평 방향 또는 수평 방향으로 비스듬히 던져진 물체의 움직임은 두 개의 독립적인 움직임, 즉 수평 균일 및 수직 균일 가속(초기 속도 없는 자유 낙하 또는 수직으로 위쪽으로 던져진 물체의 움직임)의 결과로 간주될 수 있습니다. ).

운동학적 문제의 목표가 무엇인지 생각해 보십시오.

1. 우리는 운동학적 양의 변화에 관심이 있을 수 있습니다. 움직임의 과정, 즉. 좌표, 속도, 가속도 및 해당 각도 값의 변경에 대한 정보를 얻습니다.

2. 예를 들어 수평선에 대해 비스듬히 몸을 움직이는 문제와 같은 여러 문제에서 다음의 물리량 값에 대해 배워야합니다. 특정 상태: 비행 범위, 최대 상승 등

3. 물체가 동시에 여러 움직임(예: 공의 구르기)에 참여하거나 여러 물체의 상대적인 움직임이 고려되는 경우 변위, 속도 및 가속도(선형 및 각도) 사이의 관계를 설정해야 합니다. 즉. 방정식 찾기 기구학적 연결.

운동학의 다양한 문제에도 불구하고 이를 해결하기 위해 다음과 같은 알고리즘을 제안할 수 있습니다.

1. 바디의 초기 위치와 초기 상태를 보여주는 개략도를 만듭니다. 그리고 .

2. 문제 조건 분석을 기반으로 참조 프레임을 선택합니다. 이렇게하려면 참조 본문을 선택하고 좌표의 원점, 좌표축의 방향, 시간 참조의 시작 순간을 나타내는 좌표계를 연관시켜야합니다. 양의 방향을 선택하면 이동 방향(속도) 또는 가속 방향으로 안내됩니다.

3. 운동 법칙에 따라 모든 신체에 대해 벡터 형식으로 방정식 시스템을 구성한 다음 이러한 벡터 운동 방정식을 좌표축에 투영하여 스칼라 형식으로 구성합니다. 이 방정식을 작성할 때 여기에 포함된 벡터 양의 투영 기호 "+" 및 "-"에 주의를 기울여야 합니다.

4. 답은 분석 공식(일반 용어)의 형태로 얻어야 하며 마지막에는 수치 계산을 해야 합니다.

예 4 54km/h의 속도로 달리는 기차의 창가에 앉아 있는 승객은 36km/h의 속도에 길이가 250m인 자신을 지나가는 다가오는 기차를 얼마나 오래 볼 수 있습니까?

해결책.승객이있는 기차와 함께 이동 프레임 인 지구와 고정 기준 프레임을 연결합시다. 속도 추가 법칙에 따르면 첫 번째 열차에 대한 다가오는 열차의 속도는 어디에 있습니까? Ox 축의 투영에서:

첫 번째 기차에 비해 다가오는 기차가 이동한 경로는 기차의 길이와 같기 때문에 시간은

실시예 5증기선은 Nizhny Novgorod에서 Astrakhan까지 5.0 일, 다시 7.0 일로 이동합니다. 뗏목은 Nizhny Novgorod에서 Astrakhan까지 얼마나 걸립니까? 주차 및 교통 체증은 제외됩니다.

주어진 시간: t 1 \u003d 5일, t 2 \u003d 7일.

해결책.고정된 참조 프레임을 해안에 연결하고 움직이는 프레임을 물에 연결합니다. 우리는 물의 속도가 항상 동일하고 물에 대한 증기선의 속도가 일정하고 물에 대한 증기선의 순간 속도 계수와 같다고 가정합니다.

뗏목은 강의 흐름 속도로 해안을 기준으로 움직이기 때문에 이동 시간은 입니다. 여기서 s는 도시 간 거리입니다. 증기선이 하류로 이동할 때 속도 추가 법칙 또는 Ox 축의 투영에 따른 속도:

해안에 대한 배의 속도는 어디에 강에 대한 배의 속도입니다.

이동 시간을 알면 속도를 찾을 수 있습니다.

공식 (1)과 (2)에서 우리는 다음을 얻습니다.

기선이 해류에 대항하여 움직일 때, 또는 해안에 대한 기선의 속도인 Ox 축의 투영에서.

반면에, . 그 다음에

방정식 (3)과 (4)의 시스템을 풀면 , 우리는 다음을 얻습니다.

뗏목이 움직이는 시간을 알아봅시다.

실시예 6균일하게 가속된 동작으로 신체는 각 경로 s 1 \u003d 24 m 및 s 2 \u003d 64 m인 처음 두 개의 동일한 연속 시간 간격인 4.0초 동안 통과합니다. 신체의 초기 속도와 가속도를 결정합니다.

주어진 : t 1 \u003d t 2 \u003d 4.0 s, s 1 \u003d 24 m, s 2 \u003d 64 m.

해결책.각각 s 1 및 (s 1 + s 2)에 대한 경로 방정식을 작성해 봅시다. 이 경우 초기 속도는 같으므로

t1=t2이므로

(1)에서 표현하고 (2)로 대체하면 다음을 얻습니다.

그러면 초기 속도

실시예 7초기 속도 5.0m/s로 등가속도로 직선 궤적을 따라 이동한 자동차는 1초에 6.0m의 거리를 주파했고, 자동차의 가속도, 2초가 끝날 때의 순간 속도와 2.0초의 변위.

해결책. 1초 동안 신체가 이동한 경로를 알면 가속도를 찾을 수 있습니다.

두 번째 초가 끝날 때의 속도는 공식으로 구합니다.

실시예 8 엑스) 형식은 x \u003d A + Bt + Ct 3이며, 여기서 A \u003d 4m, B \u003d 2m/s, C \u003d -0.5m/s 3입니다.

시간 동안 t 1 =2 c 결정: 1) 점의 좌표 x 점의 1; 2) 순간 속도 v1; 3) 순간 가속 1.

주어진 경우 : x \u003d A + Bt + Ct 3, A \u003d 4m, B \u003d 2m / s, C \u003d -0.5m / s 3, t 1 \u003d 2s.

찾기: x 1; v1; 1.

해결책. 1. t 대신 운동 방정식에서 주어진 시간 값 t 1: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3으로 대체합니다. A, B, C, t 1 값을 이 식에 대입하고 계산을 수행합니다. x 1 \u003d 4 m.

2. 즉각적인 속도: 그런 다음 시간 t 1에서 순간 속도는 v 1 = B + 3Ct 1 2 입니다. 여기에 값 B, C, t 1을 대입합니다. v 1 = - 4m / s. 빼기 기호는 시간 t 1 =2 c에서 점이 좌표축의 음의 방향으로 이동하고 있음을 나타냅니다.

3. 즉각적인 가속: 시간 t 1에서의 순간 가속도는 a 1 = 6Сt 1 입니다. 값 C, t 1을 대체하십시오 : a 1 \u003d -6 m / s 2. 빼기 기호는 가속도 벡터의 방향이 좌표축의 음의 방향과 일치한다는 것을 나타내며, 이 문제의 조건에서는 어떤 순간에도 마찬가지입니다.

실시예 9직선을 따라 재료 점의 운동 운동 방정식 (축 엑스) 형식 x \u003d A + Bt + Ct 2, 여기서 A \u003d 5m, B \u003d 4m/s, C \u003d -1m/s 2입니다. t 1 \u003d 1 c에서 t 2 \u003d 6 c까지의 시간 간격에 대한 평균 속도 v xsr을 결정합니다.

주어진 : x \u003d A + Bt + Ct 2, A \u003d 5m, B \u003d 4m / s, C \u003d-1m / s 2, t 1 \u003d 1c, t 2 \u003d 6 c.

찾기: v xsr -? 그리고 xsr-?

해결책.시간 간격 t 2 -t 1의 평균 속도는 v cf = (x 2 -x 1) / (t 2 - t 1) 식으로 결정됩니다.

x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8m, x 2 \u003d A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7m.

x 1 , x 2 , t 1 , t 2 값을 대입하고 v xsr = -3 m/s로 계산합니다.

실시예 10 h = 300m 높이에서 헬리콥터에서 하중이 떨어졌습니다. 다음과 같은 경우 몇 시간 후에 화물이 지면에 도달합니까? a) 헬리콥터가 정지해 있습니다. b) 헬리콥터는 속도 v 0 =5 m/s로 하강합니다. 3) 헬리콥터는 속도 v 0 =5 m/s로 상승합니다. 축 s(t), v(t) 및 a(t)에서 하중의 해당 이동을 그래픽으로 설명합니다.

해결책. a) 고정 헬리콥터를 떠난 화물은 자유롭게 낙하합니다. 자유 낙하 가속도와 함께 균일하게 이동 g. 비율에서 이동 시간을 찾습니다. 개체의 이동 그래프는 그림에서 1로 표시됩니다.

b) 일정한 속도 v 0 \u003d 5m / s로 하강하는 헬리콥터를 떠난 하중의 움직임은 일정한 가속도 g로 균일하게 가속되는 움직임이며 방정식으로 설명됩니다.

수치의 대체는 방정식을 제공합니다 9.8t 2 +10t-600=0.

부정적인 결과는 물리적 의미가 없으므로 이동 시간은 t=7.57초입니다.

물체의 움직임 그래프는 그림에서 2로 표시됩니다.

3) 헬기를 떠난 화물의 일정한 속도 v 0 =5 m/s로 상승하는 이동은 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계에서 하중은 속도와 반대 방향으로 일정한 가속도 g로 균일하게 움직이며 다음 방정식으로 설명됩니다.

궤적의 상단에서는 속도가 0이 되므로

시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

두 번째 단계에서-높이에서 자유 낙하 h 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1.28 \u003d 301.28 m.

때문에

물체의 움직임 그래프는 그림에서 3으로 표시됩니다.

예 11. 2m/s의 일정한 속도로 하강하는 풍선에서 지면에 대해 18m/s의 속도로 수직 위쪽으로 하중을 던졌습니다. 하중이 가장 높은 지점에 도달하는 순간 볼과 하중 사이의 거리를 결정하십시오. 몇시에 웨이트가 공을 지나쳐 아래로 떨어질까요?

주어진 값: v 01 = 2m/s, v 02 =18m/s

찾기: s-? τ-?

해결책. 0Y 축을 수직 위쪽으로 향하게 하면 하중을 던지는 순간 공이 있던 지점 0과 원점이 호환됩니다.

그런 다음 화물과 풍선의 운동 방정식:

하중의 이동 속도는 법칙 v 2 = v 02 - gt에 따라 달라집니다.

가장 높은 지점에서 부하를 들어올릴 때 v 2 =0. 그런 다음 이 지점까지 들어 올리는 시간 B 지점에서 하중의 좌표

이 시간 동안 풍선은 A 지점으로 내려갔습니다. 그것의 좌표

점 A와 B 사이의 거리:

시간 간격 τ 후에 돌이 공을 지나갈 때 물체의 좌표는 동일합니다. y 1C = y 2C;

예 12.비행기가 2시간 동안 북쪽으로 300km를 비행하기 위해 비행기가 비행하는 동안 북서풍이 자오선과 30도 각도로 27km/h의 속도로 분다면 어떤 속도와 어떤 코스로 비행해야 합니까?

주어진: t=7.2∙10 3초; 엘=3∙10 5m; α=30° ≈ 0.52 rad; v 2 ≈7.2m/s.

찾기: v 2 -? φ-?

해결책.지구와 연결된 기준 프레임에서 항공기의 움직임을 생각해 봅시다.

OX 축을 동쪽 방향으로, OY 축을 북쪽 방향으로 그립니다. 그런 다음 선택한 기준 프레임에서 항공기의 속도

여기서 v= 엘/t(2)

축에 대한 투영의 방정식 (1)

확인: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα 또는 v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

이 방정식을 항으로 나누면 tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),

또는 (2)를 고려하여

tgφ=v1∙sinα/(v1∙cosα+ 엘/티);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ 엘/t) ≈0.078 rad.

방정식 (3)의 오른쪽과 왼쪽 부분을 제곱하고 결과 방정식을 추가하면

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

whence , 또는 고려 (2)

실시예 13수직으로 위로 던져진 몸은 t=3초 후에 땅으로 돌아옵니다. 몸의 높이와 초기 속도를 찾으십시오.

해결책.신체의 상향 이동은 가속도에 따라 똑같이 느려집니다. g그리고 시간이 지남에 따라 발생 티 1 , 하향 이동은 가속도 g 로 균일하게 가속되고 시간 동안 발생합니다. 티 2. 섹션 AB 및 BA의 움직임을 설명하는 방정식은 시스템을 형성합니다.

v B =0이므로 v 0 =gt 1 입니다. 시스템의 첫 번째 방정식에 v 0을 대입하면 . 이 식을 시스템의 세 번째 방정식과 비교하면 상승 시간이 하강 시간 t 1 =t 2 =t/2=1.5s와 같다는 결론을 내릴 수 있습니다. 초기 속도와 착지 시 속도는 서로 같고 v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s입니다.

키

실시예 14움직임의 마지막 순간에 자유 낙하하는 물체가 절반을 통과했습니다. 던진 높이와 이동하는 데 걸린 시간을 구하십시오.

해결책.자유낙하하는 물체가 시간에 따라 이동한 거리의 의존성. 전체 경로의 절반을 차지하는 구간 BC는 1초에 통과했기 때문에 경로 AB의 전반부는 (t-1)초에 통과했습니다. 그러면 BC 세그먼트의 이동은 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

시스템 해결

우리는 t 2 -4t+2=0을 얻습니다. 이 방정식의 근은 t 1 \u003d 3.41 s 및 t 2 \u003d 0.59 s입니다. 두 번째 루트는 적합하지 않습니다. 이동 시간은 문제의 조건에 따라 1초를 초과해야 합니다. 따라서 3.41초 동안 몸이 떨어졌고 이 시간 동안 경로를 덮었습니다.

실시예 15높이 25m의 탑에서 15m/s의 속도로 돌을 수평으로 던진다.

찾기: 1) 돌이 얼마나 오래 움직일 것인지, 2) 돌이 땅에 떨어질 거리, 3) 돌이 땅에 떨어질 속도, 4) 돌의 궤적은 물체와 이루는 각도 땅에 떨어지는 지점의 수평선. 공기 저항은 무시됩니다.

주어진 경우: H=25m, v o =15m/s

찾기: t-? sx - ? V-? φ-?

해결책.수평으로 던진 돌의 움직임은 두 가지로 분해할 수 있습니다. 에스 엑스수직 s y:

여기서 t는 이동 시간입니다.

2) s x \u003d v o t \u003d 33.9m;

3) vy \u003d gt \u003d 22.1m / s;

4) sinφ= v y /v=0.827;

실시예 16 25m 높이의 탑에서 속도 v x =10 m/s로 수평으로 물체를 던졌습니다.

찾기: 1) 신체 낙하 시간 t, 2) 어느 거리에서 엘 3) 낙하가 끝날 때의 속도 v, 4) 착지 지점에서 차체의 궤도가 지면과 이루는 각도.

해결책.몸의 움직임은 복잡하다. 수평 방향으로 등속 운동에 참여하고 수직 방향으로 가속도 g로 균일하게 가속됩니다. 따라서 섹션 AB는 다음 방정식으로 설명됩니다.

점 A의 경우 이 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그 다음에 엘\u003d 10 2.26 \u003d 22.6m 및 v y \u003d 9.8 2.26 \u003d 22.15m / s.

그때부터

궤도가 지구와 이루는 각도는 지점 A에서 속도 삼각형의 각도 φ와 같습니다. , 따라서 φ=68.7°.

예 17.수평 속도 v x \u003d 10m / s로 던진 몸체의 경우 이동 시작 후 시간 t \u003d 2s 후 정상, 접선 및 전체 가속도와 궤적의 곡률 반경을 찾으십시오. 이 점.

해결책.수직 속도 성분 v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s

지점 A의 속도:

벡터는 속도의 삼각형을 형성하고 벡터는 가속도의 삼각형을 형성합니다. 그림에서 볼 수 있듯이 이러한 삼각형은 유사하므로 변이 비례합니다. .

정상 가속이므로 궤적의 곡률 반경

예 18.공을 10m/s의 속력으로 수평에 대해 40° 각도로 던집니다.

찾기: 1) 공이 올라갈 높이; 2) 공을 던진 곳에서 어느 정도 거리에 땅에 떨어질지, 3) 공이 얼마나 오래 움직일 것인지.

주어진 : v o \u003d 10m / s, α \u003d 40 약.

찾기: s y - ? sx - ? 티-?

해결책. 1) 속도 v o로 수평선에 대해 각도 α만큼 던진 물체가 상승하는 최대 높이 sy max를 찾아 봅시다. 다음이 있습니다(그림 참조).

v y \u003d v o sinα - gt; (하나)

s y \u003d v o t∙sinα - gt 2 / 2. (2)

맨 위에 v y = 0 그리고 (1)에서 v o ∙sin𝛼 = gt 1 , 따라서 공을 들어 올리는 시간 t 1 =vo ∙sinα/g. t 1을 (2)에 대입하면 다음을 얻습니다.

s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2g) \u003d 2.1m.

2) 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 비행 범위 s x max를 구하십시오.

v x \u003d v 영형 cosα , (3)

s x =v x t=vo t∙cosα. (4개)

물체는 시간 t 2 =2t 1 =2v o sinα/g에서 수평면에 떨어질 것입니다.

t 2를 (4)에 대입하면 s xmax = v o 2 sin2α/ g= 10.0m

3) t 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v o sinα / g \u003d 1.3 초.

예 19.물체는 속도 v 0 =10 m/s 2 로 수평선에 대해 각도 α=30°로 던져집니다. 몸은 얼마나 높이 올라갈까요? 던진 곳에서 어느 정도 떨어져서 땅에 떨어질까요? 그는 얼마나 오래 움직일 것입니까?

해결책.초기 속도의 수평 및 수직 성분

OA 섹션의 움직임은 두 가지 간단한 움직임으로 분해할 수 있습니다. 수평으로 균일하게 이동하고 수직으로 균일하게 느려집니다.

A 지점에서

그 다음에 그리고

신체가 여러 동작에 동시에 참여하면 서로 독립적으로 각각에 참여하므로 섹션 AB의 이동 시간은 아래로 이동 시간-t 2에 의해 결정됩니다. 위로 이동하는 시간은 아래로 이동하는 시간과 같습니다.

균일한 수평 운동으로 신체는 동일한 시간 간격으로 경로의 동일한 섹션을 이동하므로

비행 범위

키

예 20.점은 법칙 x=4(t-2) 2 에 따라 평면에서 직선으로 이동합니다. 초기 속도 v 0과 점의 가속도는 얼마입니까? ㅏ? 움직임의 5초가 시작될 때 점 v t =5의 순간 속도를 찾으십시오.

해결책.

1) 때문에 v=x'이면 v 0 =(4∙(t-2) 2)'=(4∙(t 2 -4t+4))'=(4t 2 -16t+16)'=8t-16

t=0 v 0 =-16 m/s에서.

2) 때문에 a= 이면 a=(8t-16)'=8m/s.

3) t=4에서, 왜냐하면 5초가 시작되기 전에 4초가 지났습니다.

v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32m / s.

대답:초기 포인트 속도 v 0 =-16 m/s, 가속도 a=8 m/s, 이동 5초의 시작 지점 속도 v t =5 =32 m/s.

예 21.재료 점의 이동은 다음 방정식으로 설명됩니다. a) s=αt 3 ; b) s=αt2+βt. 평균속도와 초기속도와 최종속도의 산술평균을 비교 V시간 간격 0 - t에서 cf. 여기서 α와 β는 양의 상수입니다.

해결책.평균 및 순간 속도의 정의를 상기하십시오.

순간 속도에 대한 표현은 운동 방정식을 미분하여 얻습니다.

평균 속도에 대한 표현은 시간에 대한 곡선 좌표의 변화 비율로 찾을 수 있습니다.

산술 평균 속도에 대한 표현을 얻습니다.

문제의 조건에 대한 질문에 답해 봅시다. “a”의 경우 평균 속도와 산술 평균 속도가 일치하지 않고 “b”의 경우 일치하는 것을 볼 수 있습니다.

예 22.재료 점은 곡선 궤적을 따라 균일하게 이동합니다. 궤적의 어느 지점에서 가속도가 최대입니까?

해결책.곡선 경로를 따라 이동할 때 가속도는 접선과 법선의 합입니다. 접선 가속도는 속도 값(계수)의 변화 속도를 나타냅니다. 속도가 변하지 않으면 접선 가속도는 0입니다. 일반 가속은 궤적의 곡률 반경에 따라 달라집니다. V 2/R. 가속도는 곡률 반경이 가장 작은 지점, 즉 C 지점에서

예 23.재료 포인트는 법에 따라 이동합니다.

1) 가속도가 일정한 운동의 법칙과 비교하여 초기 좌표, 초기 속도 및 가속도를 결정합니다. 속도 투영에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책.일정한 가속도를 갖는 운동 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 방정식을 문제 조건의 방정식과 비교하면 다음을 얻습니다.

엑스 0 = - 1m,

V 0 x = 1m/s,

ㅏ x \u003d-0.25m / s 2.

질문이 생깁니다. 빼기 기호의 의미는 무엇입니까? 벡터의 투영은 언제 음수입니까? 벡터가 좌표축을 향하는 경우에만.

그림에서 초기 좌표, 속도 및 가속도 벡터를 묘사해 봅시다.

우리는 속도에 대한 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성합니다.

얻은 데이터를 거기에 대입(초기조건)

2) 이러한 수량의 정의를 사용하여 속도와 가속도의 시간 의존성을 찾으십시오.

해결책.속도와 가속도의 순간 값에 대한 정의를 적용합니다.

차별화, 우리는 얻는다 V x \u003d 1-0.25t, x \u003d-0.25m / s 2.

가속도는 시간에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

3) 그래프 v x (t) 및 a x (t)를 작성하십시오. 그래프의 각 섹션에서 움직임을 설명하십시오.

해결책.시간에 대한 속도의 의존성은 선형이며 그래프는 직선입니다.

t \u003d 0 v x \u003d 1m / s에서. v x = 0인 t = 4에서.

단면 "a"에서 속도 투영이 양수이고 그 값이 감소한다는 것을 그래프에서 볼 수 있습니다. 점이 x축 방향으로 천천히 이동합니다. 섹션 "b"에서 속도 투영은 음수이고 계수가 증가합니다. 점이 x축과 반대 방향으로 가속도와 함께 이동합니다. 따라서 가로축과 그래프의 교차점에서 회전이 발생하여 이동 방향이 변경됩니다.

4) 전환점의 좌표와 전환 경로를 결정합니다.

해결책.다시 한 번 전환점에서 속도가 0임을 알 수 있습니다. 이 상태에 대해 운동 방정식에서 다음을 얻습니다.

우리가 얻는 두 번째 방정식에서 티시점 = 4초. (이 값을 얻기 위해 그래프를 작성하고 분석할 필요가 없음을 알 수 있습니다.) 첫 번째 방정식에서이 값을 대체하십시오 : x pov \u003d -1 + 4-4 2 / 8 \u003d 1 m 포인트가 어떻게 이동했는지 묘사합시다.

그림에서 볼 수 있듯이 회전 경로는 좌표 변경과 같습니다. s 회전 =x 회전 -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) 점이 원점을 통과하는 시점은 언제입니까?

해결책.운동 방정식에서 x = 0을 입력해야하며 이차 방정식 0 \u003d -1 + t-t 2 / 8 또는 t 2 -8t + 8 \u003d 0을 얻습니다. 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. . t 1 \u003d 1.17초, t 2 \u003d 6.83초. 실제로 포인트는 원점을 두 번 통과합니다. "거기"와 "뒤로" 이동할 때입니다.