간격이 증가합니다. 기능 연구

단조

함수의 매우 중요한 속성은 단조성입니다. 다양한 특수 기능의 이러한 속성을 알면 다양한 물리적, 경제적, 사회적 및 기타 여러 프로세스의 동작을 결정하는 것이 가능합니다.

다음과 같은 유형의 기능 단조로움이 구별됩니다.

1) 기능 증가하다, 특정 간격에 있는 경우, 두 지점에 대해 이 간격은 다음과 같습니다. 저것들. 더 큰 인수 값은 더 큰 함수 값에 해당합니다.

2) 기능 감소하다, 특정 간격에 있는 경우, 두 지점에 대해 이 간격은 다음과 같습니다. 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

3) 기능 비감소, 특정 간격에 있는 경우, 두 지점에 대해 이 간격은 다음과 같습니다.

4) 기능 증가하지 않는다, 특정 간격에 있는 경우, 두 지점에 대해 이 간격은 다음과 같습니다.

2. 처음 두 경우에는 "엄격한 단조성"이라는 용어도 사용됩니다.

3. 마지막 두 가지 경우는 구체적이며 일반적으로 여러 기능의 구성으로 지정됩니다.

4. 별도로, 함수 그래프의 증가 및 감소는 왼쪽에서 오른쪽으로 고려되어야 하며 그 외 다른 것은 고려되지 않습니다.

2. 홀수.

이 함수는 홀수라고 불립니다., 인수의 부호가 변경되면 값이 반대 방향으로 변경됩니다. 이에 대한 공식은 다음과 같습니다. . 즉, 모든 x 대신에 "마이너스 x" 값을 함수에 대입하면 함수의 부호가 변경됩니다. 이러한 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

홀수 함수의 예는 다음과 같습니다.

예를 들어 그래프는 실제로 원점에 대해 대칭을 갖습니다.

함수는 even이라고 불립니다., 인수의 부호가 변경되면 해당 값은 변경되지 않습니다. 이에 대한 공식은 다음과 같습니다. 즉, 모든 x 대신에 "마이너스 x" 값을 함수에 대입한 후에는 결과적으로 함수가 변경되지 않습니다. 이러한 함수의 그래프는 축을 기준으로 대칭입니다.

짝수 함수의 예는 다음과 같습니다.

예를 들어, 축에 대한 그래프의 대칭을 보여드리겠습니다.

함수가 지정된 유형 중 어느 것에도 속하지 않으면 짝수 또는 홀수 또는 호출되지 않습니다. 일반 기능. 이러한 기능에는 대칭이 없습니다.

예를 들어, 이러한 함수는 최근 그래프와 함께 고려한 선형 함수입니다.

3. 함수의 특별한 속성은 다음과 같습니다. 주기성.

사실 표준 학교 커리큘럼에서 고려되는 주기 함수는 삼각 함수일 뿐입니다. 우리는 관련 주제를 공부할 때 이미 자세히 이야기했습니다.

주기적인 기능인수에 0이 아닌 특정 상수를 추가해도 값이 변경되지 않는 함수입니다.

이 최소 숫자를 호출합니다. 기능의 기간문자로 지정됩니다.

이에 대한 공식은 다음과 같습니다.

사인 그래프의 예를 사용하여 이 속성을 살펴보겠습니다.

함수의 기간은 and is , 기간은 and 임을 기억합시다.

우리가 이미 알고 있듯이, 복잡한 인수를 갖는 삼각 함수는 비표준 주기를 가질 수 있습니다. 우리는 다음 형식의 기능에 대해 이야기하고 있습니다.

그들의 기간은 동일합니다. 기능에 대해서는 다음과 같습니다.

그들의 기간은 동일합니다.

보시다시피, 새로운 기간을 계산하려면 표준 기간을 인수의 인수로 나누기만 하면 됩니다. 이는 기능의 다른 수정에 의존하지 않습니다.

한정.

기능 y=f(x) 임의의 xϵX에 대해 부등식 f(x)가 유지되는 숫자 a가 있는 경우 집합 X⊂D(f)에서 아래로부터 유계라고 합니다.< a.

기능 y=f(x) 임의의 хϵХ에 대해 부등식 f(x)가 유지되는 숫자 a가 있는 경우 집합 X⊂D(f)에서 위에서 유계라고 합니다.< a.

간격 X가 지정되지 않으면 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 제한되는 것으로 간주됩니다. 위와 아래 모두 경계가 있는 함수를 경계(bounded)라고 합니다.

함수의 한계는 그래프를 통해 쉽게 읽을 수 있습니다. y=a라는 선을 그릴 수 있으며 함수가 이 선보다 높으면 아래로부터 경계가 지정됩니다.

아래라면 그에 따라 위입니다. 아래는 아래에 제한된 함수의 그래프입니다. 여러분, 제한된 함수의 그래프를 직접 그려보세요.

주제: 함수의 속성: 증가 및 감소 간격; 최고 및 최저 값; 극점(국소 최대값 및 최소값), 함수의 볼록성.

증가 및 감소 간격.

함수의 증감에 대한 충분한 조건(부호)을 바탕으로 함수의 증감 간격을 구합니다.

간격에 따라 함수가 증가하고 감소하는 징후에 대한 공식은 다음과 같습니다.

· 함수의 도함수인 경우 y=f(x)누구에게나 긍정적인 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 증가합니다. 엑스;

· 함수의 도함수인 경우 y=f(x)누구에게나 부정적 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 감소합니다. 엑스.

따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.

· 함수 정의 영역을 찾습니다.

· 함수의 도함수를 찾아보세요;

· 정의 영역의 불평등을 해결합니다.

증가하는 함수의 정의.

기능 y=f(x)간격에 따라 증가 엑스, 만약 그렇다면 그리고 불평등이 유지됩니다. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값도 커집니다.

감소하는 함수의 정의.

기능 y=f(x)간격으로 감소 엑스, 만약 그렇다면 그리고 불평등이 유지된다 . 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.

참고: 함수가 정의되고 증가 또는 감소 간격의 끝에서 연속되는 경우 (a;b), 즉, 언제 x=a그리고 x=b, 이 점은 증가 또는 감소 구간에 포함됩니다. 이는 구간에 대한 증가 및 감소 함수의 정의와 모순되지 않습니다. 엑스.

예를 들어, 기본 기본 함수의 속성을 통해 우리는 다음을 알고 있습니다. y=sinx인수의 모든 실제 값에 대해 정의되고 연속적입니다. 그러므로 구간에 대한 사인 함수의 증가로부터 구간에 따라 증가한다고 주장할 수 있습니다.

극점, 함수의 극값.

점이라고 합니다 최대 포인트기능 y=f(x), 만약 모두를 위해 엑스이웃에서 불평등이 유효합니다. 최대점에서 함수의 값을 호출합니다. 기능의 최대그리고 표시하다.

점이라고 합니다 최소 포인트기능 y=f(x), 만약 모두를 위해 엑스이웃에서 불평등이 유효합니다. 최소점에서의 함수 값을 호출합니다. 최소 기능그리고 표시하다.

점의 이웃은 간격으로 이해됩니다. , 여기서 충분히 작은 양수입니다.

최소 및 최대 포인트를 호출합니다. 극한점, 극점에 해당하는 함수값을 호출한다. 함수의 극값.

함수의 극값과 함수의 최대값 및 최소값을 혼동하지 마십시오.

첫 번째 그림에서 세그먼트에 대한 함수의 가장 큰 값 최대 지점에 도달하고 함수의 최대 값과 동일하며 두 번째 그림에서는 함수의 가장 높은 값이 해당 지점에서 달성됩니다. x=b, 이는 최대 지점이 아닙니다.

함수의 증가 및 감소에 대한 충분한 조건.

함수의 증감에 대한 충분한 조건(부호)을 바탕으로 함수의 증감 간격을 구합니다.

간격에 따라 함수가 증가하고 감소하는 징후에 대한 공식은 다음과 같습니다.

함수의 파생물인 경우 y=f(x)누구에게나 긍정적인 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 증가합니다. 엑스;

함수의 파생물인 경우 y=f(x)누구에게나 부정적 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 감소합니다. 엑스.

따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.

알고리즘을 설명하기 위해 증가 함수와 감소 함수의 간격을 찾는 예를 생각해 보겠습니다.

예.

증가하는 함수와 감소하는 함수의 간격을 찾습니다.

해결책.

첫 번째 단계는 함수의 정의를 찾는 것입니다. 이 예에서 분모의 표현식은 0이 되어서는 안 됩니다. 따라서 .

함수의 미분을 찾는 것으로 넘어 갑시다.

충분한 기준에 따라 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하기 위해 정의 영역에서 부등식을 해결합니다. 간격 방법의 일반화를 사용해 보겠습니다. 분자의 유일한 실수근은 다음과 같습니다. 엑스 = 2이고, 분모는 0이 됩니다. x=0. 이러한 점은 정의 영역을 함수의 도함수가 부호를 유지하는 간격으로 나눕니다. 이 점들을 수직선에 표시해 봅시다. 우리는 관례적으로 도함수가 양수이거나 음수인 간격을 플러스와 마이너스로 표시합니다. 아래 화살표는 해당 구간에서 함수의 증가 또는 감소를 개략적으로 보여줍니다.

함수의 성격을 결정하고 그 동작에 대해 이야기하려면 증가와 감소의 간격을 찾는 것이 필요합니다. 이 과정을 함수 연구 및 그래프 작성이라고 합니다. 극점은 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 때 사용됩니다. 그 이유는 함수가 간격에서 증가하거나 감소하기 때문입니다.

이 기사는 정의를 밝히고, 간격의 증가 및 감소에 대한 충분한 부호와 극한의 존재 조건을 공식화합니다. 이는 예제와 문제 해결에 적용됩니다. 해법은 도함수 찾기를 사용해야 하기 때문에 미분 함수에 관한 섹션을 반복해야 합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

x 1 ∈ X 및 x 2 ∈ X, x 2 > x 1에 대해 부등식 f (x 2) > f (x 1)이 충족되면 함수 y = f (x)는 x 구간에서 증가합니다. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값도 커집니다.

정의 2

함수 y = f (x)는 임의의 x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1에 대해 f (x 2) > f (x 1) 등식인 경우 구간 x에서 감소하는 것으로 간주됩니다. 사실로 간주됩니다. 즉, 함수 값이 클수록 인수 값은 작아집니다. 아래 그림을 고려하십시오.

논평: 함수가 증가와 감소의 구간, 즉 (a; b)(여기서 x = a, x = b)의 끝에서 정적 연속인 경우 해당 점은 증가 및 감소 구간에 포함됩니다. 이는 정의와 모순되지 않습니다. 즉, 간격 x에서 발생한다는 의미입니다.

y = sin x 유형의 기본 함수의 주요 속성은 인수의 실제 값에 대한 확실성과 연속성입니다. 여기에서 우리는 사인이 간격 - π 2에 걸쳐 증가한다는 것을 얻습니다. π 2이면 세그먼트의 증가는 -π 2 형식입니다. π 2.

정의 3

x 0 점을 호출합니다. 최대 포인트함수 y = f (x)의 경우 x의 모든 값에 대해 부등식 f (x 0) ≥ f (x)가 유효할 때. 최대 기능는 한 점에서의 함수 값이고 y m a x 로 표시됩니다.

x 0 점은 y = f (x) 함수의 최소점이라고하며, x의 모든 값에 대해 부등식 f (x 0) ≤ f (x)가 유효합니다. 최소 기능는 한 지점에서의 함수 값이며 y min i n 형식으로 지정됩니다.

x 0 지점의 인근 지역이 고려됩니다. 극한점,그리고 극점에 해당하는 함수의 값입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

함수의 최대값과 최소값을 갖는 함수의 극값입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

첫 번째 그림은 세그먼트 [a; 비] . 최대점을 이용하여 구하며 함수의 최대값과 같고, 두 번째 그림은 x=b에서 최대점을 찾는 것에 가깝다.

함수가 증가하거나 감소하기 위한 충분한 조건

함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 함수가 이러한 조건을 만족하는 경우 극값의 부호를 적용해야 합니다. 첫 번째 기호는 가장 자주 사용되는 것으로 간주됩니다.

극한값에 대한 첫 번째 충분조건

정의 4

점 x 0의 ε 이웃에서 미분 가능하고 주어진 점 x 0에서 연속성을 갖는 함수 y = f (x)가 주어집니다. 여기에서 우리는 그것을 얻습니다

x ∈ (x 0 - ε ; x 0) 및 f " (x)를 사용하여 f " (x) > 0인 경우< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
f "(x) 일 때< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε)에 대해 0이면 x 0이 최소점입니다.

즉, 부호 설정을 위한 조건을 얻습니다.

함수가 x 0 지점에서 연속적이면 부호가 변경되는 도함수, 즉 +에서 -로 파생됩니다. 이는 해당 지점을 최대값이라고 함을 의미합니다.
함수가 x 0 지점에서 연속적이면 부호가 -에서 +로 변경되는 도함수를 갖게 됩니다. 이는 해당 지점을 최소값이라고 함을 의미합니다.

함수의 최대점과 최소점을 정확하게 결정하려면 이를 찾는 알고리즘을 따라야 합니다.

정의 영역을 찾으세요.
이 영역에서 함수의 미분을 찾아보세요.
함수가 존재하지 않는 영점과 점을 식별합니다.
간격에 따른 도함수의 부호를 결정하는 단계;
함수의 부호가 변경되는 지점을 선택합니다.

함수의 극값을 찾는 몇 가지 예를 해결하여 알고리즘을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

주어진 함수 y = 2 (x + 1) 2 x - 2 의 최대점과 최소점을 구합니다.

해결책

이 함수의 정의 영역은 x = 2를 제외한 모든 실수입니다. 먼저, 함수의 도함수를 구하고 다음을 얻습니다.

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

여기에서 함수의 0은 x = - 1, x = 5, x = 2입니다. 즉, 각 괄호는 0과 동일해야 합니다. 숫자 축에 표시하고 다음을 얻습니다.

이제 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 구간에 포함된 점을 선택하여 수식에 대입해야 합니다. 예를 들어 점 x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6입니다.

우리는 그것을 얻습니다

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, 이는 구간 - - 1이 양의 도함수를 갖는다는 것을 의미합니다.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

두 번째 간격이 0보다 작은 것으로 나타났으므로 해당 간격의 도함수는 음수가 됩니다. 세 번째는 마이너스, 네 번째는 플러스입니다. 연속성을 결정하려면 도함수의 부호에 주의를 기울여야 합니다. 만약 그것이 변하면 이것이 극점입니다.

x = - 1 지점에서 함수는 연속적이라는 것을 알 수 있습니다. 즉, 도함수의 부호가 +에서 -로 변경된다는 의미입니다. 첫 번째 기호에 따르면 x = - 1이 최대점이라는 것을 알 수 있습니다. 이는 다음을 의미합니다.

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

점 x = 5는 함수가 연속적이며 도함수는 부호가 –에서 +로 변경됨을 나타냅니다. 이는 x = -1이 최소점이며 그 결정의 형식은 다음과 같습니다.

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

그래픽 이미지

답변: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

극값에 대한 첫 번째 충분 기준을 사용하면 x 0 지점에서 함수의 미분 가능성이 필요하지 않으므로 계산이 단순화된다는 사실에 주목할 가치가 있습니다.

실시예 2

함수 y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8의 최대점과 최소점을 구합니다.

해결책.

함수의 정의역은 모두 실수입니다. 이는 다음 형식의 방정식 시스템으로 작성될 수 있습니다.

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

그런 다음 파생 상품을 찾아야 합니다.

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

x = 0 점은 단측 극한의 값이 다르기 때문에 도함수가 없습니다. 우리는 그것을 얻습니다:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

함수는 x = 0 지점에서 연속적이므로 다음을 계산합니다.

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 한계 y x → 0 + 0 = 한계 x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

도함수가 0이 될 때 인수의 값을 찾기 위해 계산을 수행해야 합니다.

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

각 간격의 부호를 결정하려면 획득한 모든 점을 직선에 표시해야 합니다. 따라서 각 구간마다 임의의 지점에서 도함수를 계산할 필요가 있습니다. 예를 들어, x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 값으로 점을 취할 수 있습니다. 우리는 그것을 얻습니다

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

직선상의 이미지는 다음과 같습니다.

이는 우리가 극한의 첫 번째 징후에 의지할 필요가 있다는 결론에 도달했음을 의미합니다. 계산해서 찾아보자

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , 여기에서 최대 점의 값은 x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3입니다.

최소값 계산으로 넘어 갑시다.

y min = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y min = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

함수의 최대값을 계산해 봅시다. 우리는 그것을 얻습니다

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

그래픽 이미지

답변:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

함수 f " (x 0) = 0이 주어지면 f "" (x 0) > 0이면 f "" (x 0)이면 x 0이 최소점이라는 것을 얻습니다.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

실시예 3

함수 y = 8 x x + 1의 최대값과 최소값을 구합니다.

해결책

먼저 정의 영역을 찾습니다. 우리는 그것을 얻습니다

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

기능을 차별화해야하며 그 후에 우리는 다음을 얻습니다.

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1에서 도함수는 0이 됩니다. 이는 해당 점이 가능한 극값임을 의미합니다. 명확히 하려면 2차 도함수를 구하고 x = 1에서의 값을 계산해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

이는 극값에 대해 2의 충분 조건을 사용하여 x = 1이 최대점임을 얻음을 의미합니다. 그렇지 않은 경우 항목은 y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4와 같습니다.

그래픽 이미지

답변: y m a x = y (1) = 4 ..

정의 5

함수 y = f (x)는 주어진 점 x 0 의 ε 이웃에서 n차까지 도함수를 갖고, 점 x 0에서 n + 1차까지 도함수를 가집니다. 그러면 f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

n이 짝수이면 x 0은 변곡점으로 간주되고, n이 홀수이면 x 0은 극점이고, f (n + 1) (x 0) > 0이면 x가 됩니다. 0은 최소점, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

실시예 4

함수 y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4의 최대점과 최소점을 구합니다.

해결책

원래 함수는 유리수 전체 함수입니다. 이는 정의 영역이 모두 실수임을 의미합니다. 기능의 차별화가 필요합니다. 우리는 그것을 얻습니다

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3(7×-5)

이 도함수는 x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3에서 0이 됩니다. 즉, 그 점은 가능한 극점일 수 있다. 극한값에 대해서는 세 번째 충분조건을 적용할 필요가 있다. 2차 도함수를 찾으면 함수의 최대값과 최소값이 있는지 정확하게 확인할 수 있습니다. 2차 도함수는 가능한 극값 지점에서 계산됩니다. 우리는 그것을 얻습니다

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

이는 x 2 = 5 7 이 최대점임을 의미합니다. 세 번째 충분 기준을 적용하면 n = 1 및 f (n + 1) 5 7에 대해 다음을 얻습니다.< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 점의 특성을 결정하는 것이 필요합니다. 이렇게 하려면 3차 도함수를 구하고 이 지점의 값을 계산해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

이는 n = 2이고 f (n + 1) (- 1) ≠ 0이므로 x 1 = - 1이 함수의 변곡점임을 의미합니다. x3=3점을 조사할 필요가 있다. 이를 위해 4차 도함수를 구하고 이 시점에서 계산을 수행합니다.

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

위에서 결정된 것으로부터 우리는 x 3 = 3이 함수의 최소점이라는 결론을 내립니다.

그래픽 이미지

답변: x 2 = 5 7은 최대점이고, x 3 = 3은 주어진 함수의 최소점입니다.

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충분한 부호를 바탕으로 함수의 증가 및 감소 간격을 찾습니다.

표지판의 문구는 다음과 같습니다.

함수의 파생물인 경우 와이 = 에프(엑스)누구에게나 긍정적인 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 증가합니다. 엑스;
함수의 파생물인 경우 와이 = 에프(엑스)누구에게나 부정적 엑스간격에서 엑스, 그러면 함수는 다음과 같이 감소합니다. 엑스.

따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.

함수의 영역을 찾으세요.

함수의 미분을 찾으세요.

결과 간격에 함수가 정의되고 연속적인 경계점을 추가합니다.

알고리즘을 설명하기 위해 예를 살펴보겠습니다.

예.

증가 및 감소 함수의 간격을 찾으십시오.

해결책.

첫 번째 단계는 함수의 정의를 찾는 것입니다. 이 예에서 분모의 표현식은 0이 되어서는 안 됩니다. .

미분 함수로 넘어가겠습니다.

충분한 기준에 따라 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하기 위해 불평등을 해결합니다. 그리고 정의의 영역에서. 간격 방법의 일반화를 사용해 보겠습니다. 분자의 유일한 실수근은 다음과 같습니다. 엑스 = 2이고, 분모는 0이 됩니다. 엑스 = 0. 이러한 점은 정의 영역을 함수의 도함수가 부호를 유지하는 간격으로 나눕니다. 이 점들을 수직선에 표시해 봅시다. 우리는 관례적으로 도함수가 양수이거나 음수인 간격을 플러스와 마이너스로 표시합니다. 아래 화살표는 해당 구간에서 함수의 증가 또는 감소를 개략적으로 보여줍니다.

따라서, 그리고 .

그 시점에 엑스 = 2함수는 정의되고 연속적이므로 증가하는 구간과 감소하는 구간 모두에 추가해야 합니다. 그 시점에 엑스 = 0함수가 정의되지 않았으므로 이 지점을 필요한 간격에 포함하지 않습니다.

우리는 얻은 결과를 비교하기 위해 함수 그래프를 제시합니다.

답변:기능은 다음과 같이 증가합니다. , 간격에 따라 감소 (0; 2] .

- 하나의 변수에 대한 함수의 극점. 극한의 충분조건

구간에서 정의되고 연속적인 함수 f(x)가 단조롭지 않다고 가정합니다. 내부 지점에서 함수에 의해 가장 큰 값과 가장 작은 값이 달성되는 구간의 [ , ] 부분이 있습니다. 와 ~ 사이에있는.

함수 f(x)는 함수에 다음과 같은 부등식이 주어지는 구간에 포함된 이웃 (x 0 - ,x 0 +)으로 이 점이 둘러싸일 수 있는 경우 해당 점에서 최대값(또는 최소값)을 갖는다고 합니다. 모든 요점을 유지합니다.

에프엑스(f(x))< f(x 0)(или f(x)>에프(x0))

즉, 값 f(x 0)가 일부 함수에서 허용되는 값 중 가장 큰(가장 작은) 값으로 판명되면 점 x 0은 함수 f(x)에 최대값(최소값)을 제공합니다. (적어도 작은) 이 지점 근처. 최대(최소) 정의 자체는 함수가 x 0 지점의 양쪽에 지정되어 있다고 가정합니다.

(x=x 0에서) 엄격한 불평등이 존재하는 이웃이 있는 경우

에프엑스(f(x)) 에프(x0)

그런 다음 그들은 함수가 x 0 지점에서 자체 최대값(최소값)을 가지며, 그렇지 않으면 부적절한 함수를 갖는다고 말합니다.

함수가 x 0과 x 1 지점에서 최대값을 갖는 경우 두 번째 Weierstrass 정리를 구간에 적용하면 함수가 x 0과 x 1 사이의 x 2 지점에서 이 구간의 가장 작은 값에 도달하고 다음을 갖는 것을 알 수 있습니다. 거기 최소. 마찬가지로, 두 최소값 사이에는 확실히 최대값이 있을 것입니다. 가장 간단한(그리고 실제로 가장 중요한) 경우, 함수에 일반적으로 유한한 수의 최대값과 최소값만 있는 경우에는 단순히 교대로 나타납니다.

최대 또는 최소를 나타내기 위해 이를 통합하는 용어인 극한도 있습니다.

최대값(max f(x))과 최소값(min f(x))의 개념은 함수의 로컬 속성이며 특정 지점 x 0에서 발생합니다. 가장 큰 값(sup f(x))과 가장 작은 값(inf f(x))의 개념은 유한 세그먼트를 나타내며 세그먼트에 대한 함수의 전역 속성입니다.

그림 1에서 x1과 x3 지점에 국소적 최대값이 있고 x2와 x4 지점에 국소적 최소점이 있다는 것이 분명합니다. 그러나 함수는 x=a 지점에서 최소값에 도달하고 x=b 지점에서 최대값에 도달합니다.

함수에 극값을 부여하는 인수의 모든 값을 찾는 문제를 제기해 보겠습니다. 이를 해결할 때 파생상품이 주요 역할을 하게 됩니다.

먼저 함수 f(x)가 구간 (a,b)에서 유한 도함수를 갖는다고 가정해 보겠습니다. x 0 지점에서 함수에 극값이 있는 경우 위에서 설명한 간격 (x 0 - , x 0 +)에 페르마의 정리를 적용하면 f (x) = 0이 극값의 필수 조건이라고 결론을 내릴 수 있습니다. . 극값은 도함수가 0인 지점에서만 찾아야 합니다.

그러나 도함수가 0과 같은 모든 지점이 함수에 극값을 제공한다고 생각해서는 안 됩니다. 방금 표시된 필요 조건만으로는 충분하지 않습니다.

함수의 증가, 감소 및 극값

함수의 증가, 감소 및 극값의 간격을 찾는 것은 독립적인 작업이자 다른 작업의 필수 부분입니다. 특히, 전체 기능 연구. 함수의 증가, 감소 및 극값에 대한 초기 정보는 다음과 같습니다. 파생상품에 대한 이론적인 장, 예비 학습에 적극 권장합니다. (또는 반복)– 또한 다음 자료가 바로 그 내용을 기반으로 하기 때문입니다. 본질적으로 파생,이 기사의 조화로운 연속입니다. 시간이 짧다면 오늘 수업의 예를 순전히 형식적으로 연습하는 것도 가능합니다.

그리고 오늘은 흔치 않은 만장일치의 분위기가 감돌고 있고, 참석한 모든 사람이 욕망으로 불타고 있다는 것을 직접적으로 느낄 수 있습니다. 도함수를 사용하여 함수를 탐색하는 방법을 배웁니다.. 그러므로 합리적이고 선하며 영원한 용어가 모니터 화면에 즉시 나타납니다.

무엇을 위해? 그 이유 중 하나는 가장 실용적인 것입니다. 특정 작업에서 일반적으로 요구되는 것이 무엇인지 명확하게 하기 위해!

함수의 단조성. 함수의 극점 및 극값

몇 가지 기능을 고려해 봅시다. 간단히 말해서, 우리는 그녀가 마디 없는전체 수직선에서:

혹시라도, 특히 최근에 알게 된 독자들을 위해 가능한 환상을 즉시 제거합시다. 함수의 상수 부호 간격. 이제, 우리 관심이 없다, 함수 그래프가 축을 기준으로 위치하는 방식(축이 교차하는 위치 위, 아래). 설득력을 얻으려면 정신적으로 축을 지우고 그래프 하나만 남겨 두십시오. 왜냐하면 거기에 관심이 있기 때문입니다.

기능 증가하다관계에 의해 연결된 이 간격의 임의의 두 지점에 대해 간격에서 부등식은 참입니다. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값도 커지며 그래프는 "아래에서 위로" 이동합니다. 데모 기능은 간격에 따라 증가합니다.

마찬가지로, 함수 감소하다와 같은 주어진 구간의 임의의 두 지점에 대해 부등식이 참인 경우 구간에서. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아지고 그래프는 "위에서 아래로" 이동합니다. 우리의 기능은 간격에 따라 감소합니다. .

함수가 일정 간격에 걸쳐 증가하거나 감소하는 경우 이를 호출합니다. 엄격하게 단조롭다이 간격으로. 단조로움이란 무엇입니까? 말 그대로 받아들이십시오 - 단조 로움.

정의할 수도 있습니다. 비감소함수(첫 번째 정의의 완화된 조건) 및 비증가기능(두 번째 정의의 완화된 조건). 일정한 구간에서 감소하지 않거나 증가하지 않는 함수를 주어진 구간에서 단조 함수라고 합니다. (엄격한 단조성은 "단순" 단조성의 특별한 경우입니다).

이론은 또한 반 간격, 세그먼트를 포함하여 함수의 증가/감소를 결정하는 다른 접근 방식을 고려하지만 머리에 기름-기름-기름을 붓지 않기 위해 범주형 정의를 사용하여 열린 간격으로 작동하는 데 동의합니다. -이것은 더 명확하며 많은 실제 문제를 해결하기에 충분합니다.

따라서, 내 기사에서 "함수의 단조성"이라는 문구는 거의 항상 숨겨져 있습니다. 간격엄격한 단조로움(엄격하게 증가하거나 엄격하게 감소하는 함수)

포인트의 이웃. 그 후 학생들은 어디든 도망가고 겁에 질려 구석에 숨었습니다. ...포스트 이후에도 코시 한계그들은 아마도 더 이상 숨지 않고 약간 떨릴 것입니다 =) 걱정하지 마십시오. 이제 수학적 분석 정리에 대한 증거는 없을 것입니다. 정의를보다 엄격하게 공식화하려면 주변 환경이 필요했습니다. 극한점. 기억하자:

포인트 주변주어진 점을 포함하는 구간을 호출하며, 편의상 구간은 종종 대칭이라고 가정됩니다. 예를 들어 점과 해당 표준 이웃은 다음과 같습니다.

실제로 정의는 다음과 같습니다.

점이라고 합니다 엄격한 최대 포인트, 만약에 존재한다그녀의 동네, 모든포인트 자체를 제외하고 불평등이 존재하는 가치. 우리의 구체적인 예에서는 이것이 점입니다.

점이라고 합니다 엄격한 최소 포인트, 만약에 존재한다그녀의 동네, 모든포인트 자체를 제외하고 불평등이 존재하는 가치. 그림에는 "a" 지점이 있습니다.

메모 : 이웃 대칭의 요구 사항은 전혀 필요하지 않습니다. 게다가 중요한 것은 존재 자체의 사실지정된 조건을 만족하는 이웃(작거나 미세한)

포인트라고 합니다 엄밀히 말하면 극한점아니면 단순히 극한점기능. 즉, 최대점과 최소점을 일반화한 용어이다.

"극단적"이라는 단어를 어떻게 이해합니까? 예, 단조로움만큼이나 직접적입니다. 롤러코스터의 극한점.

단조성의 경우와 마찬가지로 느슨한 가정이 존재하며 이론상 훨씬 더 일반적입니다. (물론 엄격한 경우도 해당됩니다!):

점이라고 합니다 최대 포인트, 만약에 존재한다그 주변은 이렇습니다 모든
점이라고 합니다 최소 포인트, 만약에 존재한다그 주변은 이렇습니다 모든이 동네의 가치관에는 불평등이 존재한다.

마지막 두 정의에 따르면 상수 함수(또는 함수의 "플랫 섹션")의 모든 지점은 최대점과 최소점으로 간주됩니다! 그런데 이 함수는 증가하지도 않고 감소하지도 않습니다. 즉, 단조롭습니다. 그러나 실제로 우리는 거의 항상 독특한 "언덕의 왕"또는 "늪의 공주"와 함께 전통적인 "언덕"과 "빈 공간"(그림 참조)을 고려하기 때문에 이러한 고려 사항을 이론가에게 맡길 것입니다. 다양하게 발생하는데 팁, 예를 들어 해당 지점에서 함수의 최소값을 위 또는 아래로 지정합니다.

아, 그리고 왕족에 대해 말하자면:
– 의미가 불린다. 최고기능;
– 의미가 불린다. 최저한의기능.

일반 이름 - 과격한 수단기능.

말 조심해주세요!

극점– 이는 "X" 값입니다.
과격한 수단– “게임” 의미.

! 메모 : 때때로 나열된 용어는 함수 자체의 그래프에 직접 있는 "X-Y" 점을 참조합니다.

함수는 얼마나 많은 극값을 가질 수 있나요?

없음, 1, 2, 3, ... 등. 무한대. 예를 들어 사인에는 무한히 많은 최소값과 최대값이 있습니다.

중요한!"최대 기능"이라는 용어 동일하지 않음"함수의 최대값"이라는 용어. 지역 동네에서만 값이 최대인 것을 쉽게 알 수 있으며, 왼쪽 상단에는 '더 멋있는 동지들'이 있습니다. 마찬가지로 "함수의 최소값"은 "함수의 최소값"과 동일하지 않으며, 도면에서는 특정 영역에서만 값이 최소임을 알 수 있습니다. 이와 관련하여 극한점이라고도 합니다. 국소 극점, 그리고 극한값 - 지역적 극단. 근처에서 걷고, 돌아다니고, 글로벌형제들. 따라서 모든 포물선은 정점에 있습니다. 전역 최소값또는 전역 최대값. 또한, 나는 극단적인 유형을 구별하지 않을 것이며 일반적인 교육 목적으로 설명을 더 많이 할 것입니다. 추가 형용사 "로컬"/"글로벌"이 여러분을 놀라게 해서는 안 됩니다.

테스트 샷을 통해 이론에 대한 짧은 여행을 요약해 보겠습니다. "함수의 단조성 간격과 극한점을 찾는" 작업은 무엇을 의미합니까?

이 문구는 다음을 찾도록 권장합니다.

– 증가/감소 기능의 간격(비감소, 비증가는 훨씬 덜 자주 나타납니다)

– 최대 및/또는 최소 점수(존재하는 경우). 글쎄요, 실패를 피하려면 최소값/최대값 자체를 찾는 것이 좋습니다 ;-)

이 모든 것을 어떻게 결정합니까?미분함수를 활용해보세요!

증가, 감소 간격을 찾는 방법
함수의 극단점과 극단점은 무엇입니까?

실제로 많은 규칙이 이미 알려져 있고 이해되고 있습니다. 파생어의 의미에 대한 교훈.

탄젠트 미분 전체적으로 기능이 향상되고 있다는 기쁜 소식을 전합니다. 정의 영역.

코탄젠트 및 그 파생물 상황은 정반대다.

아크사인은 간격에 따라 증가합니다. 여기서 도함수는 양수입니다. .
함수가 정의되어 있지만 미분할 수 없는 경우입니다. 그러나 임계점에는 오른쪽 파생과 오른쪽 접선이 있고 다른 가장자리에는 왼쪽 대응이 있습니다.

아크코사인과 그 미분에 대해서도 비슷한 추론을 하는 것이 그리 어렵지 않을 것이라고 생각합니다.

위의 모든 경우는 대부분 다음과 같습니다. 표 형식 파생 상품, 상기시켜드립니다. 파생 정의.

함수의 도함수를 사용하여 함수를 탐색하는 이유는 무엇입니까?

이 함수의 그래프가 어떻게 보이는지 더 잘 이해하려면: "상향식"으로 이동하고, "하향식"으로 이동하며, 최소값과 최대값에 도달합니다(도달하는 경우). 모든 함수가 그렇게 단순한 것은 아닙니다. 대부분의 경우 우리는 특정 함수의 그래프에 대해 전혀 모릅니다.

이제 좀 더 의미 있는 사례로 넘어가서 생각해 볼 때입니다. 함수의 단조성과 극값의 간격을 찾는 알고리즘:

실시예 1

함수의 증가/감소 구간과 극값 구하기

해결책:

1) 첫 번째 단계는 찾는 것입니다. 함수의 영역, 중단점(존재하는 경우)도 기록해 둡니다. 이 경우 함수는 수직선 전체에서 연속적이며 이 동작은 어느 정도 형식적입니다. 그러나 어떤 경우에는 여기에서 심각한 열정이 솟아 오르므로 경멸하지 않고 단락을 다루겠습니다.

2) 알고리즘의 두 번째 요점은 다음과 같습니다.

극한의 필요조건:

한 점에 극한값이 있으면 값이 존재하지 않습니다..

결말이 헷갈리시나요? "모듈러스 x" 함수의 극값 .

조건은 필요하지만 부족한, 그리고 그 반대가 항상 참인 것은 아닙니다. 따라서 함수가 지점에서 최대값 또는 최소값에 도달하는 등식을 아직 따르지 않습니다. 위에서는 이미 고전적인 예를 강조했습니다. 이는 3차 포물선과 그 임계점입니다.

그러나 그럴 수도 있지만 극한의 필요 조건은 의심스러운 점을 찾아야 한다는 것을 나타냅니다. 이렇게 하려면 도함수를 찾아 방정식을 풀어보세요.

첫 번째 기사의 시작 부분에서 함수 그래프에 대해예시를 이용해서 빠르게 포물선을 만드는 방법을 알려드렸는데요 : "...우리는 1차 도함수를 취하여 0과 동일시합니다. ...그래서 방정식의 해는 다음과 같습니다. - 포물선의 꼭지점이 이 지점에 위치합니다...". 이제 포물선의 정점이 정확히 이 지점에 위치하는 이유를 모두가 이해한다고 생각합니다. =) 일반적으로 여기서는 비슷한 예부터 시작해야 하지만 너무 간단합니다(찻주전자의 경우에도). 또한 수업 마지막 부분에는 다음과 같은 유사 내용이 있습니다. 함수의 파생물. 따라서 정도를 높여 보겠습니다.

실시예 2

함수의 단조성 간격과 극값 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 수업이 끝나면 문제에 대한 완전한 솔루션과 대략적인 최종 샘플이 제공됩니다.

오랫동안 기다려온 분수 유리 함수와의 만남의 순간이 왔습니다:

실시예 3

1차 도함수를 사용하여 함수 탐색

하나의 동일한 작업이 얼마나 다양하게 재구성될 수 있는지 주목하세요.

해결책:

1) 함수는 점에서 무한한 불연속성을 겪습니다.

2) 중요한 포인트를 탐지합니다. 1차 도함수를 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

방정식을 풀어 봅시다. 분수는 분자가 0일 때 0입니다:

따라서 우리는 세 가지 중요한 점을 얻습니다.

3) 수직선에 감지된 모든 점을 표시하고 간격 방법파생상품의 부호를 정의합니다.

간격의 특정 지점을 선택하고 해당 지점의 미분 값을 계산해야 함을 상기시켜 드립니다. 그리고 그 부호를 결정합니다. 계산하지 않고 구두로 "추정"하는 것이 더 유리합니다. 예를 들어 구간에 속하는 점을 선택하고 대체를 수행해 보겠습니다. .

따라서 두 개의 "플러스"와 하나의 "마이너스"는 "마이너스"를 제공하므로 도함수가 전체 간격에 걸쳐 음수임을 의미합니다.

아시다시피 작업은 6개의 간격마다 수행되어야 합니다. 그건 그렇고, 분자 요소와 분모는 모든 간격의 모든 지점에 대해 엄격하게 양수이므로 작업이 크게 단순화됩니다.

따라서 미분은 함수 자체가 다음과 같이 증가한다고 말했습니다. 로 감소합니다. 동일한 유형의 간격을 조인 아이콘으로 연결하는 것이 편리합니다.

함수가 최대값에 도달하는 지점에서:
함수가 최소값에 도달하는 지점에서:

왜 두 번째 값을 다시 계산할 필요가 없는지 생각해 보세요 ;-)

점을 통과할 때 도함수는 부호를 변경하지 않으므로 함수에는 극한값이 없습니다. 둘 다 감소하고 계속 감소합니다.

! 중요한 점을 다시 말씀드리겠습니다: 포인트는 중요한 것으로 간주되지 않습니다. 기능이 포함되어 있습니다. 결정되지 않은. 이에 따라 여기서 원칙적으로 극단적인 일은 있을 수 없다.(미분의 부호가 변경되더라도).

답변: 기능이 증가합니다. 함수의 최대값에 도달하는 지점에서 다음과 같이 감소합니다. , 그리고 그 시점에서 – 최소: .

확립된 단조성 간격과 극값에 대한 지식 점근선이미 함수 그래프의 모양에 대해 아주 좋은 아이디어를 제공합니다. 평균적인 훈련을 받은 사람은 함수 그래프에 두 개의 수직 점근선과 한 개의 경사 점근선이 있음을 구두로 결정할 수 있습니다. 여기 우리의 영웅이 있습니다:

연구 결과를 이 함수의 그래프와 연관시켜 다시 한 번 시도해 보십시오.
임계점에는 극한점이 없지만 변곡점(원칙적으로 비슷한 경우에 발생합니다).