모듈러스와의 부등식. 솔루션에 대한 새로운 시각

숫자의 계수이 숫자 자체가 음수가 아니면 호출되고, 음수이면 반대 부호가 붙은 동일한 숫자라고 합니다.

예를 들어 숫자 6의 모듈러스는 6이고 숫자 -6의 모듈러스도 6입니다.

즉, 숫자의 계수는 부호를 고려하지 않고 이 숫자의 절대값인 절대값으로 이해됩니다.

다음과 같이 지정됩니다: |6|, | 엑스|, |ㅏ| 등.

(자세한 내용은 "숫자 모듈" 섹션을 참조하세요).

모듈러스가 있는 방정식.

실시예 1 . 방정식을 풀어보세요|10 엑스 - 5| = 15.

해결책.

규칙에 따르면 방정식은 두 방정식의 조합과 같습니다.

10엑스 - 5 = 15
10엑스 - 5 = -15

우리는 다음을 결정합니다:

10엑스 = 15 + 5 = 20
10엑스 = -15 + 5 = -10

엑스 = 20: 10
엑스 = -10: 10

엑스 = 2
엑스 = -1

답변: 엑스 1 = 2, 엑스 2 = -1.

실시예 2 . 방정식을 풀어보세요|2 엑스 + 1| = 엑스 + 2.

해결책.

모듈러스는 음수가 아니므로 엑스+ 2 ≥ 0. 따라서:

엑스 ≥ -2.

두 가지 방정식을 만들어 보겠습니다.

2엑스 + 1 = 엑스 + 2
2엑스 + 1 = -(엑스 + 2)

우리는 다음을 결정합니다:

2엑스 + 1 = 엑스 + 2
2엑스 + 1 = -엑스 - 2

2엑스 - 엑스 = 2 - 1
2엑스 + 엑스 = -2 - 1

엑스 = 1
엑스 = -1

두 숫자 모두 -2보다 큽니다. 따라서 둘 다 방정식의 뿌리입니다.

답변: 엑스 1 = -1, 엑스 2 = 1.

실시예 3 . 방정식을 풀어보세요

|엑스 + 3| - 1
————— = 4
엑스 - 1

해결책.

분모가 0이 아닌 경우 방정식은 의미가 있습니다. 즉, 엑스≠ 1. 이 조건을 고려해보자. 첫 번째 작업은 간단합니다. 분수를 제거하는 것이 아니라 변환하여 순수한 형태의 모듈을 얻습니다.

|엑스+ 3| - 1 = 4 · ( 엑스 - 1),

|엑스 + 3| - 1 = 4엑스 - 4,

|엑스 + 3| = 4엑스 - 4 + 1,

|엑스 + 3| = 4엑스 - 3.

이제 방정식의 왼쪽에 있는 계수 아래에 표현식만 있습니다. 계속하세요.
숫자의 모듈러스는 음수가 아닌 숫자입니다. 즉, 0보다 크거나 0과 같아야 합니다. 따라서 우리는 불평등을 해결합니다.

4엑스 - 3 ≥ 0

4엑스 ≥ 3

엑스 ≥ 3/4

따라서 두 번째 조건이 있습니다. 방정식의 근은 최소한 3/4이어야 합니다.

규칙에 따라 우리는 두 개의 방정식 세트를 구성하고 이를 해결합니다.

엑스 + 3 = 4엑스 - 3
엑스 + 3 = -(4엑스 - 3)

엑스 + 3 = 4엑스 - 3
엑스 + 3 = -4엑스 + 3

엑스 - 4엑스 = -3 - 3
엑스 + 4엑스 = 3 - 3

엑스 = 2
엑스 = 0

우리는 두 가지 답변을 받았습니다. 이들이 원래 방정식의 근인지 확인해 봅시다.

두 가지 조건이 있었습니다. 방정식의 근은 1이 될 수 없으며 최소한 3/4이어야 합니다. 그건 엑스 ≠ 1, 엑스≥ 3/4. 이 두 조건은 모두 수신된 두 답변 중 하나인 숫자 2에만 해당합니다. 이는 이것이 원래 방정식의 근본임을 의미합니다.

답변: 엑스 = 2.

모듈러스와의 부등식.

실시예 1 . 불평등 해결| 엑스 - 3| < 4

해결책.

모듈 규칙에는 다음과 같이 명시되어 있습니다.

|ㅏ| = ㅏ, 만약에 ㅏ ≥ 0.

|ㅏ| = -ㅏ, 만약에 ㅏ < 0.

모듈은 음수가 아닌 숫자와 음수를 모두 가질 수 있습니다. 따라서 우리는 두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다. 엑스- 3 ≥ 0 및 엑스 - 3 < 0.

1) 언제 엑스- 3 ≥ 0 원래 부등식은 모듈러스 기호 없이 그대로 유지됩니다.
엑스 - 3 < 4.

2) 언제 엑스 - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(엑스 - 3) < 4.

괄호를 열면 다음을 얻습니다.

-엑스 + 3 < 4.

따라서 이 두 가지 조건으로부터 우리는 두 가지 불평등 시스템을 통합하게 되었습니다.

엑스 - 3 ≥ 0
엑스 - 3 < 4

엑스 - 3 < 0
-엑스 + 3 < 4

문제를 해결해 봅시다:

엑스 ≥ 3
엑스 < 7

엑스 < 3
엑스 > -1

따라서 우리의 대답은 두 세트의 합집합입니다.

3 ≤ 엑스 < 7 U -1 < 엑스 < 3.

가장 작은 값과 가장 큰 값을 결정합니다. 이는 -1과 7입니다. 게다가 엑스-1보다 크고 7보다 작습니다.
게다가, 엑스≥ 3. 이는 불평등에 대한 해결책이 이러한 극단 숫자를 제외한 -1부터 7까지의 전체 숫자 집합이라는 것을 의미합니다.

답변: -1 < 엑스 < 7.

또는: 엑스 ∈ (-1; 7).

부가기능.

1) 불평등을 그래픽으로 해결하는 더 간단하고 짧은 방법이 있습니다. 이렇게 하려면 수평 축을 그려야 합니다(그림 1).

표현 | 엑스 - 3| < 4 означает, что расстояние от точки 엑스 3번 지점은 4개 단위 미만입니다. 축에 숫자 3을 표시하고 축의 왼쪽과 오른쪽에 4개의 구분선을 셉니다. 왼쪽에서는 -1 지점, 오른쪽에서는 7 지점으로 이동합니다. 따라서 지점은 엑스우리는 계산하지 않고 그냥 보았습니다.

또한 부등식 조건에 따라 -1과 7 자체는 해 집합에 포함되지 않습니다. 따라서 우리는 답을 얻습니다.

1 < 엑스 < 7.

2) 그러나 그래픽 방식보다 더 간단한 또 ​​다른 솔루션이 있습니다. 이를 위해서는 불평등이 다음과 같은 형식으로 표현되어야 합니다.

4 < 엑스 - 3 < 4.

결국 이것은 모듈러스 규칙에 따른 방법입니다. 음수가 아닌 숫자 4와 유사한 음수 -4는 부등식을 해결하기 위한 경계입니다.

4 + 3 < 엑스 < 4 + 3

1 < 엑스 < 7.

실시예 2 . 불평등 해결| 엑스 - 2| ≥ 5

해결책.

이 예는 이전 예와 크게 다릅니다. 왼쪽은 5보다 크거나 5와 같습니다. 기하학적 관점에서 부등식에 대한 해법은 점 2에서 5단위 이상 떨어진 모든 숫자입니다(그림 2). 그래프는 이것이 모두 -3보다 작거나 같고 7보다 크거나 같은 숫자임을 보여줍니다. 이는 우리가 이미 답을 받았다는 것을 의미합니다.

답변: -3 ≥ 엑스 ≥ 7.

그 과정에서 우리는 반대 기호를 사용하여 자유 항을 왼쪽과 오른쪽으로 재배열하여 동일한 부등식을 해결합니다.

5 ≥ 엑스 - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ 엑스 ≥ 5 + 2

대답은 동일합니다: -3 ≥ 엑스 ≥ 7.

또는: 엑스 ∈ [-3; 7]

예제가 해결되었습니다.

실시예 3 . 불평등 해결 6 엑스 2 - | 엑스| - 2 ≤ 0

해결책.

숫자 엑스양수, 음수 또는 0일 수 있습니다. 그러므로 우리는 세 가지 상황을 모두 고려해야 합니다. 아시다시피 두 가지 불평등이 고려됩니다. 엑스≥ 0 및 엑스 < 0. При 엑스≥ 0이면 모듈러스 기호 없이 원래 부등식을 있는 그대로 다시 작성합니다.

6x2 - 엑스 - 2 ≤ 0.

이제 두 번째 경우에 대해 설명합니다. 엑스 < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6엑스 2 - (-엑스) - 2 ≤ 0.

대괄호 확장:

6엑스 2 + 엑스 - 2 ≤ 0.

따라서 우리는 두 가지 방정식 시스템을 얻었습니다.

6엑스 2 - 엑스 - 2 ≤ 0
엑스 ≥ 0

6엑스 2 + 엑스 - 2 ≤ 0
엑스 < 0

우리는 시스템의 부등식을 풀어야 합니다. 이는 두 개의 이차 방정식의 근을 찾아야 함을 의미합니다. 이를 위해 부등식의 왼쪽을 0으로 동일시합니다.

첫 번째부터 시작해 보겠습니다.

6엑스 2 - 엑스 - 2 = 0.

이차 방정식을 푸는 방법 - "이차 방정식" 섹션을 참조하세요. 즉시 답변의 이름을 지정하겠습니다.

엑스 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

첫 번째 불평등 체계로부터 우리는 원래 불평등에 대한 해가 -1/2에서 2/3까지의 전체 숫자 집합이라는 것을 얻습니다. 우리는 솔루션 조합을 작성합니다. 엑스 ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

이제 두 번째 이차 방정식을 풀어보겠습니다.

6엑스 2 + 엑스 - 2 = 0.

그 뿌리:

엑스 1 = -2/3, 엑스 2 = 1/2.

결론: 언제 엑스 < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

두 가지 답을 결합하여 최종 답을 얻습니다. 답은 이러한 극단 숫자를 포함하여 -2/3에서 2/3까지의 전체 숫자 집합입니다.

답변: -2/3 ≤ 엑스 ≤ 2/3.

또는: 엑스 ∈ [-2/3; 2/3].

시립 교육 기관 "Khvastovichi Secondary School"

"여러 모듈을 사용하여 방정식과 부등식을 풀기 위한 간격 방법"

수학 연구 논문

수행:

10학년 학생

골리셰바 예브게니아

감독자:

수학 선생님

Shapenskaya E.N.

소개.......................................................................................................................................................... ... ...3 Chapter 1. 여러 모듈의 문제 해결 방법... .........................................4 1.1.모듈의 정의. 정의에 따른 해법...........................................4 1.2 간격 방법을 사용하여 여러 모듈로 방정식 풀기...5 1.3 . 여러 모듈에 문제가 있습니다. 해결 방법..........................................7 1.4. 모듈 문제의 간격 방법................................................................................9 2장. 모듈을 포함하는 방정식과 부등식................................................................... 11 2.1 간격법을 사용하여 여러 모듈을 사용하여 방정식 풀기.....11 2.2 간격 방법을 사용하여 여러 모듈을 사용하여 부등식 풀기....13 결론.................................................................... ...................................................15 문학 ....................................................................................................................................... ….16

소개

절대값의 개념은 실수와 복소수 분야 모두에서 숫자의 가장 중요한 특성 중 하나입니다. 이 개념은 학교 수학 과정의 다양한 섹션뿐만 아니라 대학에서 공부하는 고등 수학, 물리학 및 기술 과학 과정에서도 널리 사용됩니다. 절대값과 관련된 문제는 수학 올림피아드, 대학 입학 시험, 통합 국가 시험에서 자주 발견됩니다.

주제:"구간법을 사용하여 여러 모듈을 사용하여 방정식과 부등식을 풀기 위한 간격 방법입니다."

목표 영역:수학.

연구 대상:모듈러스를 사용하여 방정식과 부등식을 해결합니다.

연구 주제:여러 모듈을 사용하여 문제를 해결하는 간격 방법.

공부의 목적:간격 방법을 사용하여 여러 모듈을 사용하여 방정식과 부등식을 푸는 효과를 식별합니다.

가설:간격 방법을 사용하여 여러 모듈로 부등식과 방정식을 풀면 작업이 크게 단순화될 수 있습니다.

작업 방법:정보 수집 및 분석.

작업:

이 주제에 관한 문헌을 연구하십시오.

여러 모듈을 사용하여 부등식과 방정식에 대한 솔루션을 고려해보세요.

가장 효과적인 솔루션을 식별하십시오.

프로젝트의 실제적인 초점:

본 작품은 학생을 위한 교재로, 교사를 위한 교재로 활용될 수 있습니다.

1장.

1.1.모듈의 정의. 정의에 따른 솔루션.

정의에 따르면, 음수가 아닌 숫자 a의 모듈러스 또는 절대값은 숫자 자체와 일치하고 음수의 모듈러스는 반대 숫자, 즉 a와 같습니다.

숫자의 모듈러스는 항상 음수가 아닙니다. 예를 살펴보겠습니다.

예시 1.방정식 풀기 |–x| = -3.

숫자의 절대값은 항상 음수가 아니므로 여기서 사례를 분석할 필요가 없으며 이는 이 방정식에 해가 없음을 의미합니다.

이러한 가장 간단한 방정식의 해를 일반적인 형식으로 작성해 보겠습니다.

예시 2.방정식 |x|를 풀어보세요 = 2 – x.

해결책. x 0에서 방정식 x = 2 – x가 있습니다. 즉, x = 1. 1 0이므로 x = 1은 원래 방정식의 근입니다. 두 번째 경우(x

답: x = 1.

예시 3.방정식 3|x – 3| 풀기 + x = –1.

해결책. 여기서 케이스 구분은 x – 3이라는 표현의 부호에 의해 결정됩니다. x – 3 ³ 0의 경우 3x – 9 + x = –1 Û x = 2입니다. 그러나 2 – 3 0입니다.

답: 방정식에는 뿌리가 없습니다.

예시 4.방정식 |x – 1| 풀기 = 1 – x.

해결책. 1 – x = – (x – 1)이므로, 방정식은 x – 1 0인 x에 의해서만 충족되는 모듈러스의 정의로부터 직접 따릅니다. 이 방정식은 부등식으로 감소되었으며, 대답은 전체 간격(광선)입니다.

답: x 1.

1.2. 시스템을 사용하여 계수로 방정식을 푼다.

앞에서 논의한 예를 통해 방정식에서 모듈러스 기호를 제거하는 규칙을 공식화할 수 있습니다. |f(x)| 형식의 방정식의 경우 = g(x) 다음과 같은 두 가지 규칙이 있습니다.

첫 번째 규칙: |f(x)| = g(x) Û (1)
두 번째 규칙: |f(x)| = g(x) Û (2)

여기에 사용된 표기법을 설명하겠습니다. 중괄호는 시스템을 나타내고 대괄호는 집계를 나타냅니다.

방정식 시스템의 해는 시스템의 모든 방정식을 동시에 만족시키는 변수 값입니다.

일련의 방정식에 대한 해는 변수의 모든 값이며, 각 변수는 세트에 있는 방정식 중 적어도 하나의 근입니다.

두 방정식의 해가 다른 방정식의 해이기도 하면, 즉 해의 집합이 일치하면 두 방정식은 동일합니다.

방정식에 여러 모듈이 포함되어 있으면 주어진 규칙을 사용하여 모듈을 하나씩 제거할 수 있습니다. 그러나 일반적으로 더 짧은 방법도 있습니다. 나중에 알게 되겠지만, 이제 다음 방정식 중 가장 간단한 것을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

|f(x)| = |g(x)| 유

이 동등성은 두 숫자의 절대값이 같으면 숫자 자체가 같거나 반대라는 명백한 사실에서 비롯됩니다.

실시예 1. 방정식 |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
해결책. 위에서 설명한 두 가지 방법으로 모듈을 제거해 보겠습니다.

첫 번째 방법: 두 번째 방법:

보시다시피, 두 경우 모두 동일한 두 개의 이차 방정식을 풀어야 하지만 첫 번째 경우에는 이차 부등식을 동반하고 두 번째에는 선형 부등식을 동반합니다. 따라서 이 방정식의 두 번째 방법이 더 간단합니다. 이차 방정식을 풀면 첫 번째 근이 모두 부등식을 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 두 번째 방정식의 판별식은 음수이므로 방정식에는 근이 없습니다.

답변: .
실시예 2. 방정식 |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

해결책. 우리는 여기 모듈에서 표현식 부호 분포의 변형(최대 4개)을 고려할 필요가 없다는 것을 이미 알고 있습니다. 이 방정식은 추가 부등식 없이 두 개의 이차 방정식 세트와 동일합니다. 해 집합의 첫 번째 방정식에는 없습니다(판별식이 음수임). 두 번째 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

1.3. 여러 모듈에 문제가 있습니다. 해결 방법.

모듈의 순차적 확장.

여러 모듈이 포함된 방정식과 부등식을 해결하는 데는 두 가지 주요 접근 방식이 있습니다. 우리는 그것들을 "직렬"과 "병렬"이라고 부를 수 있습니다. 이제 그중 첫 번째에 대해 알아 보겠습니다.

그 아이디어는 모듈 중 첫 번째 모듈이 방정식(또는 부등식)의 한 부분에서 분리되고 앞서 설명한 방법 중 하나에 의해 밝혀진다는 것입니다. 그런 다음 모듈이 포함된 각 결과 방정식에 대해 동일한 작업이 반복되며 모든 모듈을 제거할 때까지 계속됩니다.

예시 1.방정식을 푼다: +

해결책. 두 번째 모듈을 분리하고 첫 번째 방법, 즉 단순히 절대값을 결정하여 확장해 보겠습니다.

결과 두 방정식에 모듈을 제거하는 두 번째 방법을 적용합니다.

마지막으로 결과 4개의 선형 방정식을 풀고 해당 부등식을 만족하는 근을 선택합니다. 결과적으로 x = –1 및 2개의 값만 남습니다.

답: -1; .

모듈의 병렬 확장.

방정식이나 부등식의 모든 모듈을 한 번에 제거하고 하위 모듈 식 기호의 가능한 모든 조합을 적어 둘 수 있습니다. 방정식에 n개의 모듈이 있는 경우 모듈 아래의 n개의 표현식 각각은 모듈을 제거할 때 플러스 또는 마이너스 두 기호 중 하나를 받을 수 있기 때문에 2n개의 옵션이 있습니다. 원칙적으로 모듈러스가 없는 2n개 방정식(또는 부등식)을 모두 풀어야 합니다. 그러나 그들의 해법은 해당 방정식(부등식)이 원래 방정식과 일치하는 영역에 있는 경우에만 원래 문제에 대한 해법이기도 합니다. 이러한 영역은 모듈 아래의 표현식 기호로 정의됩니다. 우리는 이미 다음 부등식을 해결했으므로 이를 해결하기 위한 다양한 접근 방식을 비교할 수 있습니다.

실시예 2.+
해결책.

모듈 아래의 표현식에 대해 가능한 4가지 기호 세트를 고려해 보겠습니다.

이 근의 첫 번째와 세 번째만이 해당 부등식을 만족하므로 원래 방정식을 충족합니다.

답: -1; .

마찬가지로 여러 모듈을 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 다른 보편적인 방법과 마찬가지로 이 솔루션도 항상 최적인 것은 아닙니다. 아래에서는 어떻게 개선될 수 있는지 살펴보겠습니다.

1.4. 모듈 문제의 간격 방법

이전 솔루션에서 하위 모듈 표현식의 부호 분포에 대한 다양한 옵션을 지정하는 조건을 자세히 살펴보면 그 중 하나인 1 – 3x를 볼 수 있습니다.

선형 표현식의 세 가지 모듈을 포함하는 방정식을 풀고 있다고 상상해 보십시오. 예를 들어 |x – a| + |x – b| + |x – c| =m.

첫 번째 모듈은 x 3 a의 경우 x – a와 x b 및 x의 경우 a – x ​​​​와 같습니다.

4개의 공간을 형성하고 있습니다. 각각에 대해 모듈 아래의 각 표현식은 해당 부호를 유지하므로 모듈을 확장한 후 전체적으로 방정식은 각 간격에서 동일한 형식을 갖습니다. 따라서 이론적으로 모듈을 여는 데 가능한 8가지 옵션 중 4가지만 충분하다는 것이 밝혀졌습니다!

여러 모듈을 사용하여 문제를 해결할 수도 있습니다. 즉, 수치 축은 모듈 아래의 모든 표현식의 상수 부호 간격으로 나누어지고, 각 모듈에서 주어진 문제가 이 간격에서 변환되는 방정식 또는 부등식이 해결됩니다. 특히, 모듈 아래의 모든 식이 합리적이면 축에 뿌리를 표시하는 것뿐만 아니라 정의되지 않은 지점, 즉 분모의 뿌리를 표시하는 것으로 충분합니다. 표시된 점은 필요한 상수 부호 간격을 정의합니다. 간격법을 사용하여 합리적 부등식을 풀 때도 똑같은 방식으로 행동합니다. 그리고 모듈 문제를 해결하기 위해 설명한 방법도 같은 이름을 가지고 있습니다.

실시예 1. 방정식을 풀어보세요.

해결책. 어디에서 함수의 0을 찾아봅시다. 우리는 각 간격마다 문제를 해결합니다.

따라서 이 방정식에는 해가 없습니다.

실시예 2. 방정식을 풀어보세요.

해결책. 함수의 0을 찾아봅시다. 우리는 각 간격에서 문제를 해결합니다.

1) (해결책 없음)

실시예 3. 방정식을 풀어보세요.

해결책. 절대값 기호 아래의 표현식은 에서 사라집니다. 따라서 우리는 세 가지 경우를 고려해 볼 필요가 있습니다.

2) - 방정식의 근본;

3)은 이 방정식의 근본이다.

2장. 모듈을 포함하는 방정식과 부등식.

2.1 간격법을 사용하여 여러 모듈로 방정식을 푼다.

예시 1.

방정식을 푼다:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 – 만족하지 않음

조건 x

해결책이 없다

2. -2≤х인 경우

x+2 = -(x-1)+x-3

만족하다

조건 -2

3. x≥1이면

답: x=6

예시 2.

방정식을 푼다:

1) 하위 모듈 표현식의 0을 찾습니다.

하위 모듈 식의 0은 숫자 축을 여러 간격으로 분할합니다. 우리는 이 간격에 서브모듈식의 부호를 배열합니다.

각 간격마다 모듈을 열고 결과 방정식을 풉니다. 근을 찾은 후에는 그것이 현재 작업 중인 간격에 속하는지 확인합니다.

1. :

- 맞다.

2. :

– 맞지 않습니다.

3. :

– 맞다.

4. :

– 맞지 않습니다. 답변:

2.2 간격 방법을 사용하여 여러 모듈의 부등식을 해결합니다.

예시 1.

부등식을 해결합니다.

|x-1| + |x-3| 4

-(x-1) - (x-3) 4

2. 1≤х인 경우

x-1– (x-3) 4

24는 안 맞네요

해결책이 없다

3. x≥3이면

답: xЄ (-무한대;0) U (4;+무한대)

예시 2.

불평등을 해결하자

해결책. 점과 (모듈 아래 표현식의 루트)는 전체 수치 축을 세 개의 간격으로 나누고 각 간격에서 모듈을 확장해야 합니다.

1) 언제 , 부등식은 , 즉 . 이 경우 대답은 입니다.

2) 일 때 부등식은 , 즉 . 이 불평등은 변수의 모든 값에 해당되며 세트에서 이를 해결한다는 사실을 고려하면 두 번째 경우에 답을 얻습니다.

3) , 부등식은 로 변환되며, 이 경우의 해는 입니다. 불평등에 대한 일반적인 해결책은 받은 세 가지 답변을 결합하는 것입니다.

따라서 여러 모듈이 포함된 방정식과 부등식을 풀려면 간격 방법을 사용하는 것이 편리합니다. 이렇게 하려면 하위 모듈 함수의 마일스톤의 0을 찾아 방정식과 부등식의 ODZ에 지정해야 합니다.

결론

최근 수학에서는 문제 해결을 단순화하기 위해 방법, 특히 계산 속도를 크게 높일 수 있는 간격 방법이 널리 사용됩니다. 따라서 여러 모듈을 사용하여 방정식과 부등식을 해결하기 위한 간격 방법에 대한 연구가 적합합니다.

"구간 방법을 사용하여 모듈러스 기호 아래에 미지수를 포함하는 방정식 및 부등식을 해결"이라는 주제를 작업하는 과정에서 나는: 이 문제에 대한 문헌을 연구하고 모듈러스 기호 아래에 알려지지 않았으며 결론에 도달했습니다.

어떤 경우에는 모듈러스를 사용하여 방정식을 풀 때 규칙에 따라 방정식을 푸는 것이 가능하며 때로는 구간 방법을 사용하는 것이 더 편리합니다.

계수가 포함된 방정식과 부등식을 풀 때 간격 방법이 더 시각적이고 비교적 간단합니다.

나는 연구 논문을 작성하면서 간격법을 사용하여 해결할 수 있는 많은 문제를 발견했습니다. 가장 중요한 작업은 여러 모듈을 사용하여 방정식과 부등식을 해결하는 것입니다.

간격법을 사용하여 여러 모듈을 사용하여 부등식과 방정식을 해결하는 작업을 진행하면서 문제 해결 속도가 두 배로 빨라지는 것을 발견했습니다. 이를 통해 작업 프로세스 속도를 크게 높이고 시간 비용을 줄일 수 있습니다. 따라서 “구간법을 사용하여 여러 모듈로 부등식과 방정식을 풀면 작업이 크게 단순화될 수 있다”는 나의 가설이 확인되었습니다. 연구를 진행하면서 여러 모듈을 통해 방정식과 부등식을 푸는 경험을 쌓았습니다. 나는 내가 습득한 지식을 통해 결정을 내릴 때 실수를 피할 수 있을 것이라고 생각합니다.

문학

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   Sadovnichy Yu.V. 통합 상태 시험. 수학 워크숍. 방정식과 부등식을 해결합니다. 대수식을 변환합니다. M .: Legion Publishing House 2015-128 p.

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모듈과의 부등식을 밝히는 방법(규칙)은 하위 모듈 기능의 상수 부호 간격을 사용하여 모듈을 순차적으로 공개하는 것으로 구성됩니다. 최종 버전에서는 문제의 조건을 충족하는 간격 또는 간격이 발견되는 여러 부등식을 얻습니다.

실제로 일반적인 예를 해결해 보겠습니다.

모듈러스를 사용한 선형 부등식

선형이란 변수가 방정식에 선형으로 입력되는 방정식을 의미합니다.

예시 1. 불평등에 대한 해결책 찾기

해결책:
문제의 조건에 따르면 모듈은 x=-1 및 x=-2에서 0으로 변합니다. 이 점들은 수직선을 간격으로 나눕니다.

이러한 각 간격에서 우리는 주어진 불평등을 해결합니다. 이를 위해 먼저 서브모듈 함수의 상수 부호 영역에 대한 그래픽 그림을 작성합니다. 각 기능의 표시가 있는 영역으로 표시됩니다.

또는 모든 기능의 표시가 있는 간격.

첫 번째 간격으로 모듈을 확장합니다.

양쪽에 마이너스 1을 곱하면 부등식의 부호가 반대 방향으로 바뀔 것입니다. 이 규칙이 익숙해지기 어렵다면 기호 뒤의 각 부분을 이동하여 마이너스를 제거할 수 있습니다. 결국 당신은 받게 될 것입니다

x>-3 집합과 방정식이 풀린 영역의 교차점은 간격(-3;-2)이 됩니다. 솔루션을 더 쉽게 찾을 수 있는 경우 이러한 영역의 교차점을 그래픽으로 그릴 수 있습니다.

영역의 공통 교차점이 해결책이 될 것입니다. 엄격하게 고르지 않은 경우 가장자리는 포함되지 않습니다. 엄격하지 않은 경우 대체하여 확인하세요.

두 번째 간격에서 우리는 다음을 얻습니다.

단면적은 간격(-2;-5/3)이 됩니다. 그래픽적으로 솔루션은 다음과 같습니다.

세 번째 간격에서 우리는 다음을 얻습니다.

이 조건은 원하는 지역에 솔루션을 제공하지 않습니다.

발견된 두 해(-3;-2)와 (-2;-5/3)는 x=-2 지점에 접해 있으므로 이를 확인합니다.

따라서 x=-2 점은 해입니다. 이를 고려한 일반적인 솔루션은 (-3;5/3)과 같습니다.

예 2. 불평등에 대한 해결책 찾기
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

해결책:
하위 모듈 함수의 0은 x=2, x=3, x=4 지점이 됩니다. 이 지점보다 작은 인수 값의 경우 하위 모듈 함수는 음수이고 더 큰 값의 경우 양수입니다.

점은 실제 축을 4개의 간격으로 나눕니다. 상수 부호의 간격에 따라 모듈을 확장하고 부등식을 해결합니다.

1) 첫 번째 간격에서는 모든 하위 모듈 기능이 음수이므로 모듈 확장 시 부호를 반대 기호로 변경합니다.

발견된 x 값과 고려된 간격의 교차점은 점 집합이 됩니다.

2) 점 x=2와 x=3 사이의 간격에서 첫 번째 하위 모듈 함수는 양수이고 두 번째와 세 번째 함수는 음수입니다. 모듈을 확장하면

우리가 풀고 있는 간격과 교차할 때 하나의 해(x=3)를 제공하는 부등식입니다.

3) x=3과 x=4 지점 사이의 간격에서 첫 번째와 두 번째 서브모듈 함수는 양수이고 세 번째는 음수입니다. 이를 바탕으로 우리는 얻는다.

이 조건은 전체 구간이 모듈러스를 사용한 부등식을 충족함을 보여줍니다.

4) x>4 값의 경우 모든 함수에는 양의 부호가 있습니다. 모듈을 확장할 때 해당 기호는 변경되지 않습니다.

구간과의 교차점에서 발견된 조건은 다음과 같은 솔루션 세트를 제공합니다.

부등식은 모든 구간에서 해결되므로 발견된 모든 x 값의 공통값을 찾는 것이 남아 있습니다. 해결책은 두 간격입니다.

이것으로 예제를 마칩니다.

예시 3. 불평등에 대한 해결책 찾기
||x-1|-5|>3-2x

해결책:
모듈러스와 모듈러스의 불평등이 있습니다. 이러한 불평등은 더 깊은 곳에 위치한 모듈부터 시작하여 모듈이 중첩됨에 따라 드러납니다.

하위 모듈 함수 x-1은 x=1에서 0으로 변환됩니다. 1보다 작은 값의 경우 x>1이면 음수이고 양수입니다. 이를 바탕으로 내부 모듈을 확장하고 각 구간의 부등식을 고려합니다.

먼저 마이너스 무한대에서 1까지의 간격을 고려하십시오.

하위 모듈 함수는 x=-4 에서 0입니다. 더 작은 값에서는 양수이고, 더 큰 값에서는 음수입니다. x에 대한 모듈을 확장해 보겠습니다.<-4:

우리가 고려하고 있는 영역과의 교차점에서 우리는 일련의 솔루션을 얻습니다.

다음 단계는 (-4;1) 간격으로 모듈을 확장하는 것입니다.

모듈의 확장 영역을 고려하여 솔루션 간격을 얻습니다.

기억하세요: 모듈의 불규칙성에서 공통점에 접하는 두 개의 간격을 얻는다면 일반적으로 이것이 해결책이기도 합니다.

이렇게하려면 확인하면됩니다.

이 경우 x=-4 점을 대체합니다.

따라서 x=-4가 해결책입니다.
x>1에 대한 내부 모듈을 확장해 보겠습니다.

x에 대한 음의 하위 모듈 함수<6.
우리가 얻는 모듈 확장

간격이 (1;6)인 섹션의 이 조건은 빈 솔루션 세트를 제공합니다.

x>6에 대해 우리는 불평등을 얻습니다.

또한 우리는 빈 세트를 얻었습니다.
위의 모든 사항을 고려하여 모듈의 불평등에 대한 유일한 해결책은 다음 간격입니다.

2차 방정식을 포함하는 계수와의 부등식

예시 4. 불평등에 대한 해결책 찾기
|x^2+3x|>=2-x^2

해결책:
하위 모듈 함수는 x=0, x=-3 지점에서 사라집니다. 마이너스 1의 간단한 대체

우리는 간격 (-3;0)에서 0보다 작고 그 이상에서는 양수임을 확인합니다.
서브모듈 기능이 긍정적인 영역에 모듈을 확장해 보겠습니다.

제곱 함수가 양수인 영역을 결정하는 것은 남아 있습니다. 이를 위해 우리는 이차 방정식의 근을 결정합니다

편의상 (-2;1/2) 구간에 속하는 점 x=0을 대체합니다. 이 구간에서 함수는 음수입니다. 이는 해가 다음 집합 x가 됨을 의미합니다.

여기서 솔루션이 있는 영역의 가장자리는 괄호로 표시됩니다. 이는 다음 규칙을 고려하여 의도적으로 수행되었습니다.

기억하세요: 모듈이 있는 부등식 또는 단순 부등식이 엄격한 경우 발견된 영역의 가장자리는 솔루션이 아니지만, 부등식이 엄격하지 않은 경우() 가장자리는 솔루션입니다(대괄호로 표시).

이 규칙은 많은 교사가 사용합니다. 엄격한 부등식이 주어지고 계산 중에 해에 대괄호([,])를 쓰면 자동으로 이를 잘못된 답으로 간주합니다. 또한 테스트할 때 모듈과의 비엄격한 부등식이 주어지면 솔루션 중에서 대괄호가 있는 영역을 찾으세요.

간격 (-3;0)에서 모듈을 확장하여 함수의 부호를 반대 부호로 변경합니다.

불평등 공개 영역을 고려하여 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이전 영역과 함께 두 번의 반 간격이 제공됩니다.

예시 5. 불평등에 대한 해결책 찾기
9x^2-|x-3|>=9x-2

해결책:
x=3 지점에서 하위 모듈 함수가 0인 비엄격 부등식이 주어집니다. 값이 작을수록 음수이고 값이 클수록 양수입니다. x 간격으로 모듈 확장<3.

방정식의 판별식 찾기

그리고 뿌리

점 0을 대입하면 [-1/9;1] 구간에서 이차 함수가 음수이므로 구간이 해라는 것을 알 수 있습니다. 다음으로 x>3에서 모듈을 확장합니다.

수학 과학의 지혜를 상징한다,

과학적 엄격함과 단순함의 모델,

과학의 우수성과 아름다움의 기준.

러시아 철학자 A.V. 볼로시노프

모듈러스와의 부등식

학교 수학에서 가장 풀기 어려운 문제는 불평등이다, 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함되어 있습니다. 이러한 불평등을 성공적으로 해결하려면 모듈의 속성에 대한 충분한 지식과 이를 활용할 수 있는 기술이 있어야 합니다.

기본 개념 및 속성

실수의 계수(절대값)로 표시 다음과 같이 정의됩니다.

모듈의 단순 속성에는 다음 관계가 포함됩니다.

그리고 .

메모, 마지막 두 속성은 모든 짝수 차수에 유효합니다.

더욱이, 만약, 어디서, 그러면 그리고

더 복잡한 모듈 속성, 모듈러스를 사용하여 방정식과 부등식을 풀 때 효과적으로 사용할 수 있습니다., 다음 정리를 통해 공식화됩니다.

정리 1.모든 분석 기능의 경우그리고 불평등은 사실이다.

정리 2.평등 불평등과 다름없다.

정리 3.평등 불평등과 다름없다.

학교 수학에서 가장 흔한 불평등, 모듈러스 기호 아래에 알 수 없는 변수가 포함되어 있음, 형태의 불평등이다그리고 어디서 일부 양의 상수.

정리 4.불평등 이중 불평등과 동일, 그리고 불평등의 해결책일련의 불평등을 해결하는 것으로 축소됩니다.그리고 .

이 정리는 정리 6과 7의 특별한 경우입니다.

더 복잡한 불평등, 모듈을 포함하는 것은 다음 형식의 부등식입니다., 그리고 .

이러한 부등식을 해결하는 방법은 다음 세 가지 정리를 사용하여 공식화될 수 있습니다.

정리 5.불평등 두 불평등 시스템을 결합한 것과 동일합니다.

나는 (1)

증거.그때부터

이는 (1)의 타당성을 의미합니다.

정리 6.불평등 불평등 시스템과 동일합니다.

증거.왜냐하면 , 그렇다면 불평등으로부터그 뒤를 따른다 . 이 조건에서 불평등은그리고 이 경우 두 번째 불평등 시스템(1)은 일관성이 없는 것으로 판명될 것입니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 7.불평등 하나의 불평등과 두 개의 불평등 시스템을 결합한 것과 같습니다.

나 (3)

증거.이후 , 그러면 부등식 항상 실행, 만약에 .

허락하다 , 그러면 불평등불평등과 같을 것이다, 두 부등식의 집합을 따르는 것그리고 .

정리가 입증되었습니다.

불평등이라는 주제에 대한 문제 해결의 일반적인 예를 살펴 보겠습니다., 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함되어 있습니다."

모듈러스로 부등식 풀기

모듈러스로 부등식을 해결하는 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다., 모듈 확장을 기반으로 합니다. 이 방법은 보편적입니다, 그러나 일반적인 경우에는 이를 사용하면 매우 번거로운 계산이 발생할 수 있습니다. 그러므로 학생들은 그러한 불평등을 해결하기 위한 다른 (보다 효과적인) 방법과 기술을 알아야 합니다. 특히, 정리를 적용하는 기술이 필요합니다, 이 기사에 나와 있습니다.

예시 1.불평등 해결

. (4)

해결책.우리는 모듈을 드러내는 방법인 "고전적인" 방법을 사용하여 불평등(4)을 해결할 것입니다. 이를 위해 숫자 축을 나눕니다.점과 간격을 두고 세 가지 경우를 고려해 보세요.

1. 만약 , 그렇다면 , , , 불평등 (4)는 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .

여기서 사례를 고려하면 불평등에 대한 해결책이 된다(4).

2. 만약 , 그런 다음 불평등 (4)로부터 우리는 다음을 얻습니다.또는 . 간격의 교차 이후그리고 비었다, 그러면 고려된 솔루션 구간에는 불평등이 없습니다(4).

3. 만일, 그러면 불평등(4)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 . 그것은 분명하다 불평등에 대한 해결책이기도 하다(4).

답변: , .

예시 2.불평등 해결.

해결책.가정해보자. 왜냐하면 , 그러면 주어진 부등식은 다음과 같은 형태를 취합니다또는 . 그때부터 그리고 여기서부터 다음과 같습니다또는 .

그러나 그러므로 또는.

예시 3.불평등 해결

. (5)

해결책.왜냐하면 , 그러면 불평등(5)은 불평등과 동일합니다.또는 . 여기에서, 정리 4에 따르면, 우리에게는 일련의 불평등이 있습니다그리고 .

답변: , .

예시 4.불평등 해결

. (6)

해결책.을 나타내자. 그런 다음 부등식 (6)에서 부등식 , , 또는 을 얻습니다.

여기에서, 간격 방법을 사용하여, 우리는 얻습니다. 왜냐하면 , 그러면 여기에 불평등의 시스템이 있습니다

시스템 (7)의 첫 번째 부등식에 대한 해는 두 구간의 합집합입니다.그리고 , 두 번째 불평등에 대한 해결책은 이중 불평등입니다.. 이는 다음을 의미합니다. 불평등 연립방정식(7)의 해는 두 간격의 합집합이라는 것그리고 .

답변: ,

실시예 5.불평등 해결

. (8)

해결책. 불평등(8)을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

또는 .

간격 방법 사용, 우리는 불평등에 대한 해결책을 얻습니다(8).

답변: .

메모. 정리 5의 조건에 와 를 대입하면 을 얻습니다.

실시예 6.불평등 해결

. (9)

해결책. 불평등 (9)로부터 다음과 같다. 불평등(9)을 다음과 같이 변형해 보겠습니다.

또는

이후 , 그때 또는 .

답변: .

실시예 7.불평등 해결

. (10)

해결책.이후 및 , 다음 또는 .

이와 관련하여 불평등 (10)은 다음과 같은 형태를 취합니다.

또는

. (11)

그것은 또는 . 이후 불평등 (11)은 또는 을 의미합니다.

답변: .

메모. 부등식의 좌변에 정리 1을 적용하면 (10), 그러면 우리는 얻는다 . 이것과 불평등(10)으로부터 다음과 같다, 무엇 또는 . 왜냐하면 , 그러면 불평등(10)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .

실시예 8.불평등 해결

. (12)

해결책.그때부터 그리고 불평등 (12)으로부터 다음과 같습니다또는 . 그러나 그러므로 또는. 여기에서 우리는 또는 를 얻습니다.

답변: .

실시예 9.불평등 해결

. (13)

해결책.정리 7에 따르면 불평등(13)에 대한 해는 다음과 같습니다.

지금 그대로 두십시오. 이 경우 불평등 (13)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .

간격을 합치면그리고 , 그런 다음 우리는 다음 형식의 불평등(13)에 대한 해결책을 얻습니다..

실시예 10.불평등 해결

. (14)

해결책.부등식(14)을 동등한 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 이 부등식의 좌변에 정리 1을 적용하면 부등식 을 얻습니다.

이것과 정리 1로부터 다음과 같다, 부등식(14)은 모든 값에 대해 충족됩니다..

대답: 임의의 숫자.

실시예 11.불평등 해결

. (15)

해결책. 부등식의 좌변에 정리 1 적용(15), 우리는 얻는다 . 이것과 부등식(15)은 다음 방정식을 산출합니다., 이는 다음과 같은 형태를 가지고 있습니다..

정리 3에 따르면, 방정식 불평등과 다름없다. 여기에서 우리는 얻는다.

실시예 12.불평등 해결

. (16)

해결책. 불평등 (16)으로부터 정리 4에 따라 우리는 불평등 시스템을 얻습니다.

불평등을 해결할 때정리 6을 사용하여 부등식 시스템을 구해 보겠습니다.그로부터 다음과 같은.

불평등을 고려하라. 정리 7에 따르면, 우리는 일련의 불평등을 얻습니다그리고 . 두 번째 인구 불평등은 모든 실제 상황에 유효합니다..

따라서 , 불평등에 대한 해결책(16)은 다음과 같습니다..

실시예 13.불평등 해결

. (17)

해결책.정리 1에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(18)

불평등(17)을 고려하여 우리는 두 불평등(18)이 모두 평등으로 변한다는 결론을 내립니다. 방정식 시스템이 있습니다

정리 3에 따르면 이 방정식 시스템은 부등식 시스템과 동일합니다.

또는

실시예 14.불평등 해결

. (19)

해결책.그때부터. 불평등 (19)의 양쪽에 표현식을 곱해 보겠습니다. 어떤 값에 대해서도 양수 값만 취합니다. 그런 다음 불평등(19)과 동일한 불평등을 얻습니다.

여기에서 우리는 or , where 를 얻습니다. 이후와 그러면 불평등(19)에 대한 해결책은 다음과 같습니다.그리고 .

답변: , .

모듈러스를 사용하여 불평등을 해결하는 방법에 대한 보다 심층적인 연구를 위해서는 교과서를 참조하는 것이 좋습니다., 추천 문헌 목록에 나와 있습니다.

1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: 평화와 교육, 2013. – 608p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 불평등을 해결하고 증명하는 방법. – M.: 레넌드 / URSS, 2018. – 264p.

3. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296p.

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