정비례 수량 정의. 정비례 의존성

동영상 강의를 활용한 학습의 장점에 대해 끝없이 이야기할 수 있습니다. 첫째, 그들은 자신의 생각을 명확하고 이해하기 쉽게 일관되고 체계적으로 표현합니다. 둘째, 정해진 시간이 걸리고 지루하거나 지루하지 않습니다. 셋째, 학생들에게 익숙한 정규 수업보다 더 흥미진진합니다. 조용한 환경에서 보실 수 있습니다.

수학 과정의 많은 문제에서 6학년 학생들은 직접 및 반비례 관계에 직면하게 됩니다. 이 주제를 연구하기 전에 비율이 무엇인지, 기본 속성이 무엇인지 기억하는 것이 좋습니다.

이전 비디오 강의에서는 "비율"이라는 주제를 다뤘습니다. 이것은 논리적 연속입니다. 이 주제가 매우 중요하고 자주 접한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 한번에 제대로 이해해볼 가치가 있습니다.

주제의 중요성을 보여주기 위해 비디오 수업은 작업으로 시작됩니다. 상태가 화면에 나타나고 아나운서가 알려줍니다. 데이터 기록은 비디오 녹화를 보는 학생이 최대한 이해할 수 있도록 일종의 다이어그램 형식으로 제공됩니다. 처음에는 이런 형태의 녹음을 고수하는 것이 더 나을 것입니다.

대부분의 경우 관례적으로 미지수는 라틴 문자 x로 표시됩니다. 그것을 찾으려면 먼저 값을 십자형으로 곱해야합니다. 따라서 두 비율의 동등성이 얻어집니다. 이는 비율과 관련이 있으며 주요 속성을 기억할 가치가 있음을 시사합니다. 모든 값은 동일한 측정 단위로 표시됩니다. 그렇지 않으면 이를 1차원으로 줄여야 했습니다.

영상 속 해결 방법을 보시고 나면 이런 문제에 어려움은 없으실 겁니다. 아나운서는 각 동작에 대해 설명하고 모든 동작을 설명하며 사용된 학습 자료를 회상합니다.

비디오 강의 "직접 및 역비례 종속성"의 첫 번째 부분을 시청한 직후 학생에게 힌트의 도움 없이 동일한 문제를 해결하도록 요청할 수 있습니다. 그 후에 대체 작업을 제안할 수 있습니다.

학생의 정신적 능력에 따라 후속 과제의 난이도가 점차 높아질 수 있습니다.

첫 번째 문제를 고려한 후 정비례 수량의 정의가 제공됩니다. 아나운서가 정의를 읽어줍니다. 주요 개념은 빨간색으로 강조 표시됩니다.

다음으로, 반비례 관계를 설명하는 또 다른 문제를 설명합니다. 학생이 이러한 개념을 공책에 적어 두는 것이 가장 좋습니다. 필요한 경우 시험 전에 학생은 모든 규칙과 정의를 쉽게 찾아 다시 읽을 수 있습니다.

이 비디오를 시청한 후 6학년 학생들은 특정 작업에서 비율을 사용하는 방법을 이해하게 됩니다. 이것은 어떤 상황에서도 놓쳐서는 안되는 매우 중요한 주제입니다. 학생이 수업 중에 교사가 제시한 자료를 다른 학생들 사이에서 인식할 수 없다면 그러한 교육 자료는 큰 구원이 될 것입니다!

완료자: Chepkasov Rodion

6학년 학생

MBOU "중등 학교 No. 53"

바르나울

머리 : Bulykina O.G.

수학 선생님

MBOU "중등 학교 No. 53"

바르나울

소개. 1

관계와 비율. 삼

직접 및 역비례 관계. 4

정비례 및 반비례 6의 적용

다양한 문제를 해결할 때 의존성.

결론. 열하나

문학. 12

소개.

비율이라는 단어는 일반적으로 비례, 부분의 정렬(부분의 특정 비율)을 의미하는 라틴어 비율에서 유래합니다. 고대에는 피타고라스학파가 비례의 교리를 높이 평가했습니다. 비율을 통해 그들은 자연의 질서와 아름다움, 음악의 자음, 우주의 조화에 대한 생각을 연관시켰습니다. 그들은 어떤 유형의 비율을 음악적 또는 조화적이라고 불렀습니다.

고대에도 인간은 자연의 모든 현상이 서로 연결되어 있고 모든 것이 지속적으로 움직이고 변화하며 숫자로 표현되면 놀라운 패턴을 드러낸다는 것을 발견했습니다.

피타고라스 학파와 그 추종자들은 세상의 모든 것에 대한 수치 표현을 추구했습니다. 그들은 발견했다; 수학적 비율이 음악의 기초가 됩니다(음정에 대한 현 길이의 비율, 음정 간의 관계, 화음에서 화음 소리를 내는 소리의 비율). 피타고라스 사람들은 세계의 통일성에 대한 생각을 수학적으로 입증하려고 노력했으며 우주의 기초가 대칭적인 기하학적 모양이라고 주장했습니다. 피타고라스학파는 아름다움에 대한 수학적 기초를 추구했습니다.

피타고라스 학파를 따라 중세 과학자 어거스틴은 아름다움을 “수적 평등”이라고 불렀습니다. 스콜라 철학자 보나벤투라는 이렇게 썼습니다. “비례성 없이는 아름다움과 즐거움이 없으며, 비례성은 주로 숫자로 존재합니다.” 레오나르도 다빈치는 회화에 관한 그의 논문에서 예술에서의 비율의 사용에 대해 다음과 같이 썼습니다. "화가는 과학자가 수치 법칙의 형태로 알고 있는 자연에 숨겨진 동일한 패턴을 비율의 형태로 구현합니다."

고대와 중세의 다양한 문제를 해결하기 위해 비율이 사용되었습니다. 특정 유형의 문제는 이제 비율을 사용하여 쉽고 빠르게 해결됩니다. 비율과 비례성은 수학뿐만 아니라 건축과 예술에서도 사용되었습니다. 건축과 예술의 비율은 건물, 인물, 조각 또는 기타 예술 작품의 다양한 부분 크기 간의 특정 관계를 유지하는 것을 의미합니다. 그러한 경우 비례성은 정확하고 아름다운 구성과 묘사의 조건입니다.

나의 작업에서는 삶의 다양한 영역에서 직비례관계와 반비례관계의 활용을 고려하고, 과제를 통해 학문적 주제와의 연관성을 추적하려고 노력했다.

관계 및 비율.

두 숫자의 몫을 호출합니다. 태도이것들 숫자.

태도는 보여줍니다, 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자보다 몇 배나 큰지 또는 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자의 몇 부분인지를 나타냅니다.

일.

배 2.4톤, 사과 3.6톤이 매장으로 반입되었습니다. 가져온 과일 중 배는 몇 퍼센트나 되나요?

해결책 . 그들이 가져온 과일의 양을 찾아봅시다: 2.4+3.6=6(t). 가져온 과일 중 배가 어느 부분인지 알아내기 위해 비율을 2.4:6=으로 만듭니다. 답은 소수점 이하 자릿수나 백분율로 표시될 수도 있습니다: = 0.4 = 40%.

상호 역전~라고 불리는 숫자, 그 곱은 1과 같습니다. 따라서 관계를 역관계라고 합니다.

4.5:3과 6:4라는 두 가지 동일한 비율을 고려해보세요. 그들 사이에 등호를 넣고 비율을 구해 봅시다: 4.5:3=6:4.

비율두 관계의 동일성: a ​​: b =c :d 또는 = , 여기서 a와 d는 극단적인 비율, c 및 b – 평균 회원(비율의 모든 항은 0과 다릅니다).

비율의 기본 속성:

정확한 비율에서 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다.

곱셈의 교환 특성을 적용하면 정확한 비율로 극단항이나 중간항의 위치를 ​​교환하는 것이 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 결과 비율도 정확합니다.

비례의 기본 속성을 사용하면 다른 항을 모두 알고 있으면 알려지지 않은 항을 찾을 수 있습니다.

비율의 알려지지 않은 극단 항을 찾으려면 평균 항을 곱하고 알려진 극단 항으로 나누어야 합니다. x : b = c : d , x =

비율의 알려지지 않은 중간항을 찾으려면 극단항을 곱하고 알려진 중간항으로 나누어야 합니다. a : b =x : d , x = .

직접 및 역비례 관계.

서로 다른 두 수량의 값은 서로 상호 의존적일 수 있습니다. 따라서 정사각형의 면적은 변의 길이에 따라 달라지며 그 반대도 마찬가지입니다. 정사각형의 변의 길이는 면적에 따라 다릅니다.

증가함에 따라 두 양이 비례한다고 말합니다.

그 중 하나는 여러 번(감소), 다른 하나는 같은 횟수로 증가(감소)합니다.

두 수량이 정비례하는 경우 해당 수량의 해당 값의 비율은 동일합니다.

예 정비례 의존성 .

주유소에서휘발유 2리터의 무게는 1.6kg이다. 무게가 얼마나 나가나요?휘발유 5리터?

해결책:

등유의 무게는 부피에 비례합니다.

2l - 1.6kg

5l - xkg

2:5=1.6:x,

x=5*1.6 x=4

답: 4kg.

여기서 무게 대 부피 비율은 변경되지 않습니다.

두 수량 중 하나가 여러 번 증가(감소)하면 다른 수량은 같은 양만큼 감소(증가)하는 경우 두 수량을 반비례라고 합니다.

양이 반비례하는 경우 한 양의 값의 비율은 다른 양의 해당 값의 역비와 같습니다.

피 예반비례 관계.

두 직사각형의 면적은 같습니다. 첫 번째 직사각형의 길이는 3.6m이고 폭은 2.4m입니다. 두 번째 직사각형의 길이는 4.8m입니다.

해결책:

직사각형 1개 3.6m 2.4m

직사각형 4.8m x m 2개

3.6mxm

4.8m 2.4m

x = 3.6*2.4 = 1.8m

답: 1.8m.

보시다시피, 비례량과 관련된 문제는 비율을 사용하여 해결할 수 있습니다.

두 수량 모두가 정비례하거나 반비례하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 아이의 키는 나이가 들어감에 따라 증가하지만 이러한 값은 비례하지 않습니다. 왜냐하면 나이가 두 배가 되어도 아이의 키는 두 배가 되지 않기 때문입니다.

직접 및 반비례 의존성의 실제 적용.

과제 1번

학교 도서관에는 210권의 수학 교과서가 있는데, 이는 전체 도서관 장서의 15%에 해당합니다. 도서관 소장품에는 몇 권의 책이 있나요?

해결책:

총 교과서 - ? - 100%

수학자 - 210 -15%

15% 210 학술.

X = 100* 210 = 교과서 1400권

100% x 그렇죠. 15

답: 1400권의 교과서.

문제 2번

자전거 타는 사람은 3시간 안에 75km를 이동합니다. 자전거 타는 사람이 같은 속도로 125km를 이동하는 데 얼마나 걸리나요?

해결책:

3시간 – 75km

H - 125km

시간과 거리는 정비례하는 양이므로

3:x=75:125,

x=
,

x=5.

답: 5시간 안에요.

작업 번호 3

8개의 동일한 파이프가 25분 안에 수영장을 채웁니다. 이러한 파이프 10개로 수영장을 채우는 데 몇 분이 소요됩니까?

해결책:

8개 파이프 – 25분

파이프 10개 - ? 분

파이프의 수는 시간에 반비례하므로

8:10 = x:25,

x =

엑스 = 20

답: 20분 안에요.

문제 4번

8명의 작업자로 구성된 팀이 15일 만에 작업을 완료합니다. 동일한 생산성으로 작업하면서 10일 안에 작업을 완료할 수 있는 작업자는 몇 명입니까?

해결책:

영업일 기준 8일 – 15일

근로자 - 10일

일하는 사람의 수는 일수에 반비례하므로

x:8 = 15:10,

x=
,

x=12.

대답: 12명의 노동자.

문제 5번

5.6kg의 토마토에서 2리터의 소스를 얻습니다. 54kg의 토마토에서 몇 리터의 소스를 얻을 수 있습니까?

해결책:

5.6kg – 2리터

54kg - ? 엘

토마토의 킬로그램 수는 얻은 소스의 양에 정비례하므로

5.6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

답 : 19l.

문제 6번

학교 건물 난방을 위해 석탄을 소비율로 180일 동안 저장했습니다.

하루 0.6톤의 석탄. 하루에 0.5톤을 소비한다면 이 공급량은 며칠 동안 지속됩니까?

해결책:

일 수

소비율

일수는 석탄 소비율에 반비례하므로

180:x=0.5:0.6,

x = 180*0.6:0.5,

x = 216.

답: 216일.

문제 7번

철광석에는 철 7개당 불순물이 3개 포함되어 있습니다. 철 73.5톤이 함유된 광석에는 몇톤의 불순물이 들어있나요?

해결책:

부품수

무게

철

73,5

불순물

부품 수는 질량에 정비례하므로

7:73.5=3:x.

x = 73.5 * 3:7,

x = 31.5.

답: 31.5t

문제 번호 8

이 자동차는 35리터의 휘발유를 사용하여 500km를 주행했습니다. 420km를 이동하려면 몇 리터의 휘발유가 필요합니까?

해결책:

거리, 킬로미터

가솔린, l

거리는 휘발유 소비량에 정비례하므로

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29.4.

답: 29.4리터

문제 9번

2시간만에 붕어 12마리를 잡았습니다. 3시간 안에 붕어는 몇 마리나 잡히나요?

해결책:

붕어의 수는 시간에 좌우되지 않습니다. 이 양은 정비례하거나 반비례하지 않습니다.

답변: 답변이 없습니다.

문제 10번

광산 기업은 대당 12,000루블의 가격으로 일정 금액의 새 기계 5대를 구입해야 합니다. 한 기계의 가격이 15,000루블이 되면 기업은 이러한 기계 중 몇 대를 구입할 수 있습니까?

해결책:

자동차 수, 개

가격, 천 루블

자동차 수는 비용에 반비례하므로

5:x=15:12,

x=5*12:15,

x=4.

답: 자동차 4대.

문제 11번

도시 N 광장 P에는 주인이 너무 엄격해서 지각에 대해 하루 1회 지각에 대해 급여에서 70루블을 공제하는 상점이 있습니다. Yulia와 Natasha라는 두 소녀가 한 부서에서 일합니다. 그들의 임금은 근무일수에 따라 달라집니다. Yulia는 20일 만에 4,100루블을 받았고 나타샤는 21일 만에 더 많이 받았어야 했는데 3일 연속 지각했습니다. 나타샤는 몇 루블을 받게 되나요?

해결책:

근무일

급여, 문지름.

줄리아

4100

나타샤

급여는 근무일수에 정비례하므로

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 문지름. 나타샤는 그것을 받았어야 했어요.

4305 – 3 * 70 = 4095 (문지름)

답변: 나타샤는 4095 루블을 받게 됩니다.

문제 12번

지도에서 두 도시 사이의 거리는 6cm입니다. 지도 축척이 1:250000인 경우 지상에서 두 도시 사이의 거리를 구하세요.

해결책:

지상의 도시 사이의 거리를 x(센티미터)로 표시하고 지도의 세그먼트 길이와 지상의 거리의 비율을 구해 보겠습니다. 이는 지도 축척과 같습니다. 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000cm = 15km

답: 15km.

문제 13번

4000g의 용액에는 80g의 소금이 포함되어 있습니다. 이 용액의 소금 농도는 얼마인가?

해결책:

무게, g

집중, %

해결책

4000

소금

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

답: 소금 농도는 2%입니다.

문제 14번

은행은 연 10%의 대출을 제공합니다. 50,000 루블의 대출을 받았습니다. 1년에 은행에 얼마를 갚아야 할까요?

해결책:

50,000 문지름.

100%

x 문지르세요.

50000:x=100:10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 문지름. 10%이다.

50,000 + 5000=55,000 (문지름)

답변: 1년 안에 은행은 55,000루블을 돌려받게 됩니다.

결론.

주어진 예에서 볼 수 있듯이 직접 및 반비례 관계는 다양한 삶의 영역에 적용 가능합니다.

경제학,

거래,

생산과 산업 분야에서는

학교 생활,

요리,

건설 및 건축.

스포츠,

축산,

지형,

물리학자,

화학 등

러시아어에는 직접적 관계와 역관계를 설정하는 속담과 속담도 있습니다.

돌아올 때에도 반응할 것입니다.

그루터기가 높을수록 그림자도 높아집니다.

사람이 많을수록 산소는 적습니다.

준비가되었지만 바보입니다.

수학은 인류의 필요와 욕구에 기초하여 탄생한 가장 오래된 과학 중 하나입니다. 고대 그리스 이후 형성의 역사를 겪으면서도 여전히 모든 사람의 일상 생활에서 관련성이 있고 필요한 것으로 남아 있습니다. 정비례 및 역비례의 개념은 고대부터 알려져 왔습니다. 조각품을 만들거나 제작하는 동안 건축가에게 동기를 부여한 것이 비례의 법칙이었기 때문입니다.

비율에 대한 지식은 인간의 삶과 활동의 모든 영역에서 널리 사용됩니다. 그림(풍경, 정물, 초상화 등)을 할 때 그것 없이는 할 수 없으며 건축가와 엔지니어에게도 널리 퍼져 있습니다. 일반적으로 비율과 그 관계에 대한 지식을 사용하지 않고 무엇인가를 창조한다고 상상해 보십시오.

문학.

수학-6, N.Ya. Vilenkinet al.

대수학 -7, G.V. Dorofeev 및 기타.

F.F.가 편집한 수학-9, GIA-9 Lysenko, S.Yu. 쿨라부코바

수학-6, 교훈적인 자료, P.V. 출코프, A.B. 우에디노프

4-5학년 수학 문제, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

5~6학년 수학 문제 및 예시 모음, N.A. 테레신,

T.N. 테레시나, M. “수족관” 1997

I. 정비례 수량.

가치를 보자 와이크기에 따라 달라집니다 엑스. 증가할 경우 엑스몇배 크기 ~에같은 양만큼 증가하면 그러한 값이 엑스그리고 ~에정비례한다고 합니다.

예.

1 . 구매한 상품 수량 및 구매 가격(상품 1개당 고정 가격 - 1개 또는 1kg 등) 더 많은 상품을 구매할수록 더 많은 금액을 지불했습니다.

2 . 이동 거리와 소요 시간(일정한 속도 기준)입니다. 경로는 몇 배나 더 길고, 그것을 완료하는 데 몇 배 더 많은 시간이 걸릴 것입니다.

3 . 물체의 부피와 질량. ( 수박 하나가 다른 수박보다 2배 더 크면 질량도 2배 더 커집니다.)

II. 수량의 정비례 속성.

두 개의 양이 정비례하는 경우 첫 번째 양의 임의로 취한 두 값의 비율은 두 번째 양의 두 해당 값의 비율과 같습니다.

작업 1.우리가 먹은 라즈베리 잼은 12kg라즈베리와 8kg사하라. 섭취한다면 설탕은 얼마나 필요할까요? 9kg라즈베리?

해결책.

우리는 다음과 같이 추론합니다. xkg설탕 9kg라즈베리 라즈베리의 질량과 설탕의 질량은 직접적으로 비례하는 양입니다. 라즈베리가 몇 배나 적으면 설탕도 같은 횟수만큼 적게 필요합니다. 따라서, 섭취된 라즈베리의 비율(무게 기준)( 12:9 )는 취한 설탕의 비율과 같습니다 ( 8:x). 우리는 비율을 얻습니다.

12: 9=8: 엑스;

x=9 · 8: 12;

x=6. 답변:~에 9kg산딸기를 섭취해야 함 6kg사하라.

문제의 해결다음과 같이 할 수 있습니다:

해보자 9kg산딸기를 섭취해야 함 xkg사하라.

(그림의 화살표는 한 방향을 향하고 있으며 위, 아래는 상관없습니다. 의미 : 숫자가 몇 번이나 나오는지 12 더 많은 수 9 , 같은 횟수 8 더 많은 수 엑스, 즉 여기에 직접적인 관계가 있습니다).

답변:~에 9kg라즈베리 좀 가져가야겠어 6kg사하라.

작업 2.자동차 3 시간거리를 여행했다 264km. 여행하는 데 얼마나 걸리나요? 440km, 그가 같은 속도로 운전한다면?

해결책.

을 위해 보자 x시간차가 그 거리를 커버할 것이다 440km.

답변:차가 지나갈 거야 5시간에 440km.

작업 3.물은 파이프에서 수영장으로 흐릅니다. 뒤에 2시간그녀는 채운다 1/5 수영장 수영장의 어느 부분에 물이 채워져 있나요? 5시?

해결책.

우리는 과제에 대한 질문에 대답합니다. 5시채워질 것이다 1/x수영장의 일부. (전체 수영장은 하나로 간주됩니다).

예

비례 요인

비례량의 일정한 관계를 호출합니다. 비례 계수. 비례 계수는 한 수량의 단위가 다른 수량 단위당 몇 단위인지를 나타냅니다.

정비례

정비례- 기능적 의존성, 특정 양이 다른 양에 의존하여 그 비율이 일정하게 유지되는 현상입니다. 즉, 이러한 변수는 변경됩니다. 비례적으로, 동일한 비율로, 즉 인수가 어느 방향으로든 두 번 변경되면 함수도 같은 방향으로 두 번 변경됩니다.

수학적으로 정비례는 다음 공식으로 작성됩니다.

에프(엑스) = ㅏ엑스,ㅏ = 씨영형N에스티

역비례

역비례- 이는 함수적 의존성으로, 독립값(인수)이 증가하면 종속값(함수)이 비례적으로 감소합니다.

수학적으로 역비례는 ​​다음 공식으로 표현됩니다.

기능 속성:

출처

위키미디어 재단. 2010.

예

비례 요인

비례량의 일정한 관계를 호출합니다. 비례 계수. 비례 계수는 한 수량의 단위가 다른 수량 단위당 몇 단위인지를 나타냅니다.

정비례

정비례- 기능적 의존성, 특정 양이 다른 양에 의존하여 그 비율이 일정하게 유지되는 현상입니다. 즉, 이러한 변수는 변경됩니다. 비례적으로, 동일한 비율로, 즉 인수가 어느 방향으로든 두 번 변경되면 함수도 같은 방향으로 두 번 변경됩니다.

수학적으로 정비례는 다음 공식으로 작성됩니다.

에프(엑스) = ㅏ엑스,ㅏ = 씨영형N에스티

역비례

역비례- 이는 함수적 의존성으로, 독립값(인수)이 증가하면 종속값(함수)이 비례적으로 감소합니다.

수학적으로 역비례는 ​​다음 공식으로 표현됩니다.

기능 속성:

출처

위키미디어 재단. 2010.

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비례- 그리고; 그리고. 1. 비례(1 값); 비례. P. 부품. P. 체격. P. 의회에서의 대표. 2. 수학. 비례적으로 변화하는 양 사이의 의존성. 비례 요인. 직통 전화(... ... 백과사전