수학적 모델의 유형. 미취학 아동에게 수학을 가르치는 방법으로 모델링

전기기계 전기 구동 시스템 모델링

풀타임 및 파트타임 학생을 위한 지침 및 실험실 워크샵

전문 분야 140604 "산업 설비 및 기술 단지의 전기 구동 및 자동화"

Vyatka State University 편집 및 출판 협의회의 결정에 따라 출판됨

UDC 621.31112: 621.313

검토자: 기술 과학 후보자, 학과 부교수. AT V. I. Semyonov

편집자: EP&APD D.V.학과 교사 이슈티노프

인감 조건에 서명했습니다. 오븐 엘. 2.5

오프셋 용지. 인쇄 복사기 Aficio 1022

주문 번호 340 순환 52 무료.

텍스트는 컴파일러가 제공한 원래 레이아웃에서 인쇄됩니다.

610000, 키로프, 성. 모스코브스카야, 36세.

표지 디자인, 제작 – PRIP VyatGU

Ó Vyatka 주립대학교, 2011

소개

유추- 이는 두 개체 사이의 특별한 유사성으로, 중요하거나 덜 중요할 수 있습니다. 유사성의 중요성은 추상화 수준에 따라 달라지며 연구 목적에 따라 결정됩니다.

객관적으로 존재하는 실제 세계를 반영하는 유추는 시각적입니다. 즉, 추론을 단순화하고 현상의 본질을 명확히 하는 실험을 수행하는 데 도움이 됩니다. 그러한 비유를 모델 .

모델– 이는 원본 객체의 대체 객체로, 원본의 일부 속성에 대한 연구를 제공합니다.

모델링– 이는 모델에 대한 실험을 수행하여 해당 모델에서 발생하는 가장 중요한 속성 및 물리적 프로세스에 대한 정보를 얻기 위해 모델로 실제 물리적 개체를 표현하는 것입니다.

모델링 프로세스 동안 모델은 독립적인 개체로 작동하므로 모델링 결과에 대한 지식을 얻을 수 있습니다. 이것이 확인되고 연구 대상 개체에서 발생하는 프로세스를 예측하기 위한 기초 역할을 할 수 있는 경우 모델이 고려됩니다. 적절한 물체. 적절한 모델을 기반으로 이러한 물체를 연구할 수 있습니다.

1. 모델링 유형의 분류

전기 모터, 전기 드라이브의 기계 부품, 제어 시스템이 결합된 최신 전기 기계 시스템을 개발하고 설계할 때 복잡한 계산 문제를 해결해야 합니다. 이를 위해 많은 경우 모델링에 의존합니다.

모델링의 종류는 다양한 기준에 따라 분류될 수 있습니다. 모델의 유형과 수학적 설명을 제시하는 방법의 관점에서 분류를 그림 1.1에 나타내었다.

따라서 모델링은 수학적 유형과 물리적 유형의 두 가지 주요 유형으로 나눌 수 있습니다.

물리적 모델링실제 물체나 그 모델에 대한 연구를 수행하는 것입니다. 실제 물체에 대한 실험을 수행할 때 물체 자체 또는 그 일부에 대한 다양한 특성을 연구합니다. 일반 모드 또는 특수 모드에서 작동하는 객체에 대해 물리적 모델링을 수행할 수 있습니다. 실제 모델링이 가장 적합하지만 실제 객체와 시스템의 물리적, 기술적 및 기타 기능으로 인해 그 기능이 제한됩니다.

물리적 모델링의 또 다른 유형은 실물 모형을 이용한 실험이 어렵거나 불가능하거나 위험한 경우에 사용되는 모형 모델링입니다. 프로토타입을 사용한 연구는 물리적 유사성을 갖고 연구 대상의 현상 특성을 보존하는 설치물에 대해 수행됩니다.

물리적 모델링은 실시간 또는 임의의 시간 규모로 이루어질 수 있습니다. 가장 복잡하고 흥미로운 점은 가장 신뢰할 수 있는 연구 결과를 얻을 수 있는 실시간 모델링입니다.

수학 모델링분석 연구 방법은 물론 아날로그(AVM) 및 디지털(컴퓨터) 컴퓨터를 사용하여 수행할 수 있습니다.

분석적 연구 방법을 사용할 때 일반적인 형태로 대상의 원하는 특성에 대한 명시적인 종속성을 얻는 것이 가능합니다. 분석 연구를 통해 시스템의 기능 프로세스에 대한 가장 일반적인 아이디어를 얻을 수 있지만 비교적 간단한 시스템의 경우에도 가능하며 노동 집약적인 계산과 관련됩니다. 가장 간단한 경우(선형 시스템의 경우)에서도 분석 모델링을 사용하면 포괄적인 결과를 얻을 수 없습니다. 시스템에 비선형 요소, 가변 매개변수 및 계산을 복잡하게 만드는 기타 요소가 포함되어 있는 경우 분석 계산 방법의 기능은 더욱 제한됩니다.

최신 컴퓨터를 사용하면 전달 함수, 비선형 정적 특성, 곱 및 몫을 충분히 정확하게 시뮬레이션할 수 있습니다. 컴퓨터와 모델은 아날로그일 수도 있고 디지털일 수도 있습니다.

아래에 아날로그 모델연속량을 연결하는 방정식으로 설명되는 것으로 이해됩니다. AVM의 미분 방정식의 해는 연속적입니다. 실제 물리적 객체는 아날로그 모델링 중에 유사한 물리적 객체로 대체됩니다. AVM에서는 결정적인 연산 증폭기가 그러한 개체로 작동합니다. AVM 모델링의 주요 장점은 모델의 높은 가시성과 다른 기술적 수단을 모델에 연결할 수 있다는 것입니다. 또한 AVM을 사용하면 상당히 간단한 시스템에 대한 연구 속도를 높일 수 있습니다. 반면에 복잡한 모델 설정과 관련된 문제가 있습니다. AVM 매개변수의 드리프트와 비선형성의 조각별 선형화로 인해 오류가 나타납니다. AVM의 결정적인 연산 증폭기의 최대 출력 전압은 100V로 제한됩니다. 따라서 모든 모델 변수에 대해 스케일링 인자가 도입되어 추가적인 오차가 누적될 수 있습니다.

아래에 디지털 모델방정식의 해와 방정식에서 발생하는 프로세스가 본질적으로 이산적인 모델로 이해됩니다. 결과적으로 모든 계산된 수량은 일부 이산 시간 간격으로 정의됩니다. 디지털 모델은 물리적 명확성이 떨어지지만 아날로그 모델에 내재된 단점은 없습니다. 현대 컴퓨터 기술은 디지털 모델을 설계하는 데 사용되며 이러한 모델의 계산은 수치적 방법을 기반으로 합니다.

컴퓨터 기술의 도움으로 미분 방정식 시스템의 직접적인 해법과 블록 다이어그램을 사용한 모델링을 기반으로 수학적 모델을 연구할 수 있습니다.

첫 번째 경우, 수학적 모델링은 연구 중인 객체의 동작을 설명하는 미분 방정식 시스템을 수치적으로 해결하는 것으로 구성됩니다. 이러한 모델은 물리적 객체의 실제 구조를 반영하지 않습니다. 이 경우 모델을 계산하기 위해서는 전문적인 CAD 시스템에 대한 지식이 필요하지 않지만, 실제 물리적 객체의 구조를 이해하는 것은 어려워집니다.

두 번째 경우에는 연구 중인 시스템의 구조에 따라 요소가 연결된 구조 모델이 구성됩니다. 구조적 방법을 사용할 때 시스템 모델은 연구 중인 시스템의 개별 물리적 장치의 작동을 시뮬레이션하는 일반적인 동적 TAP 링크 및 비선형 블록 모델의 형태로 제공됩니다. 구조 모델을 사용하면 연구 대상 개체의 구조가 모델링 중에 보존될 수 있으므로 실제 물리적 개체의 매개변수 및 구조의 변경 사항이 모델에서 쉽게 재현됩니다(예: 수정 장치 포함, 선택). 피드백의 깊이, 기계 부품의 관성 모멘트 변화 및 기계적 특성의 강성.

수학적 모델링 방법

시스템 작동 중에 발생하는 기술 시스템 및 물리적 프로세스의 특성을 연구하려면 수학적 방법을 사용하여 프로세스의 공식화를 수행해야 합니다. 수학적 모델이 구축되었습니다.

수학 모델링실제 물리적 대상과 일부 수학적 대상(수학적 설명)을 일치시키는 과정입니다. 수학적 모델, 그리고 이 모델에 대한 연구를 통해 고려 중인 실제 물체의 특성을 대략적으로 얻을 수 있습니다. 수학적 모델링은 동적, 시뮬레이션 및 결합이 가능합니다.

전기 구동 문제를 해결할 때 객체의 동적 모델이 사용됩니다. 이러한 모델은 미분 방정식 시스템으로 설명되며 분석적, 수치적 또는 정성적 방법을 사용하여 연구됩니다.

분석 연구를 통해 시스템 기능 프로세스에 대한 가장 일반적인 아이디어를 얻을 수 있지만 이는 비교적 단순하거나 선형 시스템에서만 가능합니다.

수치해석법은 시스템의 수학적 설명을 일반적인 형태로 해석하는 것이 불가능하거나 시스템이 상당히 비선형적인 경우에 사용됩니다. 수치해석법은 컴퓨터를 사용할 때 가장 효과적입니다.

어떤 경우에는 수학적 모델을 분석하는 정성적 방법이 시스템을 연구하는 데 충분합니다. 이러한 방법은 자동 제어 이론에 사용되며, 예를 들어 특정 제어 하에서 시스템의 안정성을 판단하는 것을 가능하게 합니다.

일반적으로 특정 동적 객체는 다음 형식의 n차 미분 방정식 시스템으로 설명됩니다.

, (2.1)

어디 x 1, x 2, … xn– 동적 객체의 변수;

- 동적 객체 변수의 변화율(미분)

– 초기 순간의 변수 값;

티- 독립 변수.

상미분 방정식의 해를 기반으로 하는 수학적 모델링은 수치적 방법에 의존합니다. 수치적 방법을 사용하면 적분 단계라고 하는 특정 시간 간격으로 서로 분리된 실제 연속 프로세스의 대략적인 값을 얻을 수 있습니다. 통합 단계의 선택은 모델링된 시스템의 동적 속성에 따라 달라집니다. 광범위한 동적 시스템의 경우 통합 단계가 작을수록 수치 솔루션이 더 정확해집니다. 그러나 통합 단계를 과도하게 줄이면 컴퓨터 시간 비용이 크게 증가할 수 있다는 점을 명심해야 합니다.

미분 방정식의 수치 적분에 가장 일반적으로 사용되는 방법에는 오일러 방법(유한 증분 방법)과 4차 Runge-Kutta 방법이 있습니다.

오일러법이는 Taylor 급수에서 연구 중인 점 근처에서 피적분 함수의 확장을 기반으로 합니다.

, (2.2)

어디 시간– 연구 중인 지점의 작은 이웃(통합 단계)

이자형- 테일러 급수 전개의 오류.

오일러의 방법은 테일러 급수의 1차 도함수만 고려합니다. 그러면 방정식 (2.2)는 다음과 같습니다:

는 점 에서 계산된 미분방정식의 우변입니다.

따라서 오일러 방법을 사용하여 방정식 또는 1계 미분 방정식 시스템을 풀려면 초기 조건이 있는 다음 방정식 시스템을 컴파일해야 합니다.

, (2.4)

어디 나는, 나는 +1

xj, 나는, xj, i+1- 의미 제이

fj– j번째 변수에 대한 피적분 함수;

시간– 통합 단계;

나는 = 0 ..m

j = 0 ..n

오일러 방법의 장점은 다음과 같습니다.

· 충분히 작은 적분 단계로 해의 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 이 방법의 오류는 적분 단계의 제곱과 거의 같습니다. 전자»h 2;

· 오일러의 방법은 전기 기계 전기 구동 시스템 연구와 관련된 광범위한 문제를 해결하기 위한 안정적인 계산 알고리즘을 가지고 있습니다.

오일러 방법의 단점은 필요한 정확도를 보장하는 데 필요한 적분 단계를 줄이면 계산 속도가 크게 느려진다는 사실입니다.

Runge-Kutta 방법이는 연구 중인 점 부근의 피적분 함수를 테일러 급수로 확장하는 것에 기초합니다. Taylor 계열 계수(최대 4차)는 특수 Runge-Kutta 계수를 사용하여 계산됩니다. 이 접근 방식을 사용하면 솔루션의 더 높은 정확도를 얻을 수 있습니다.

Runge-Kutta 방법을 사용하여 미분 방정식 또는 1계 미분 방정식 시스템에 대한 수치 해를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

, (2.5)

어디 나는, 나는 +1– 이전 및 다음 통합 단계의 독립 변수(시간) 값

xj, 나는, xj, i+1- 의미 제이– 이전 및 다음 통합 단계에서 동적 개체의 번째 변수;

fj– 피적분 함수 제이– 아 변수;

k l 나, j– Runge-Kutta 계수( 내가 = 1 .. 4);

시간– 통합 단계;

나는 = 0 ..m- 통합 단계의 수;

j = 0 ..n– 동적 객체의 변수 수.

Runge-Kutta 방법의 장점은 다음과 같습니다. 수치해석의 정확도가 높습니다. 고정 적분 단계의 경우 솔루션 오류는 적분 단계의 5제곱과 거의 같습니다. 전자 » 시간 5.

그러나 이 방법이 항상 지속 가능한 솔루션을 제공하는 것은 아닙니다. 솔루션의 안정성은 통합 단계의 규모와 연구 중인 시스템의 역학에 따라 달라집니다.

3. 블록 다이어그램을 사용한 시스템의 동적 계산

CAD 시스템을 사용하여 시스템 보기

CAD 시스템 뷰를 사용하면 구조 모델 수준에서 동적 시스템 계산을 수행하고 테이블, 과도 프로세스 및 주파수 특성 그래프, 제어 품질에 대한 복잡한 지표 형태로 결과를 얻을 수 있습니다.

블록 다이어그램은 사용 편의성을 위해 4개의 라이브러리로 결합된 블록을 사용하여 SV 패키지(그림 3.1)의 기본 창 작업 필드에 입력됩니다. 합산 블록과 곱셈 블록은 별도로 만들어집니다.

그림 3.1 - 시스템 보기 기본 창

요소 라이브러리는 SV 작업 창의 왼쪽에 있으며 다양한 기능 및 동적 요소 세트를 포함합니다. 그래픽적으로 요소는 입력과 출력이 있는 직사각형으로 표시됩니다. 블록다이어그램에 있는 요소의 일련번호는 왼쪽 상단에 적혀 있고, 요소 종류는 중앙에 그림 형태로 적혀 있습니다.

작업

주제

이 문제를 해결하려면 먼저 비디오 카메라로 얼굴을 감지하는 작업을 수정하는 기능을 시스템에 설정한 다음 입술 움직임의 위치 파악을 수행하는 것이 필요합니다.

첫 번째 작업의 경우 두 가지 유형을 구별해야 합니다.
얼굴 위치 파악;
얼굴 추적.
우리는 얼굴 표정을 인식하는 알고리즘을 개발해야 하는 과제에 직면해 있으므로 머리를 너무 적극적으로 움직이지 않는 한 사용자가 이 시스템을 사용할 것이라고 가정하는 것이 논리적입니다. 따라서 입술 동작 인식 기술을 구현하려면 이미지에 얼굴이 하나만 있는 검출 문제의 단순화된 버전을 기본으로 삼는 것이 필요합니다.

이는 얼굴 검색이 비교적 드물게 수행될 수 있음을 의미합니다(약 10프레임/초 또는 그 이하). 동시에 대화 중 화자의 입술 움직임이 매우 활발하므로 윤곽 평가를 더 강도 높게 수행해야합니다.

이미지에서 얼굴을 찾는 작업은 기존 도구를 사용하여 해결할 수 있습니다. 오늘날 이미지에서 얼굴을 감지하고 위치를 파악하는 여러 가지 방법이 있으며 이는 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다.
1. 실증적 인식
2. 얼굴 이미지 모델링. .

첫 번째 범주에는 촬영 조건과 관련하여 불변하는 이미지 내 얼굴 존재의 일부 징후가 있다는 가정을 기반으로 하는 얼굴 이미지의 불변 특징을 기반으로 하는 하향식 인식 방법이 포함됩니다. 이러한 방법은 2개의 하위 범주로 나눌 수 있습니다.
1.1. 얼굴 이미지의 특징적인 요소 및 특징(가장자리, 밝기, 색상, 얼굴 특징의 특징적인 모양 등)을 감지합니다.
1.2. 감지된 특징 분석, 얼굴 수 및 위치 결정(경험적 알고리즘, 특징의 상대적 위치 통계, 시각적 이미지 프로세스 모델링, 고정 및 변형 가능한 템플릿 사용 등).

알고리즘이 올바르게 작동하려면 후속 테스트를 통해 얼굴 특징 데이터베이스를 생성해야 합니다. 경험적 방법을 보다 정확하게 구현하기 위해 얼굴 변환 가능성을 고려한 모델을 사용할 수 있으므로 인식을 위한 확장된 기본 데이터 세트 또는 기본 요소에 대한 모델링 변환을 허용하는 메커니즘이 있습니다. 개인의 특성, 얼굴 특징 등을 가진 다양한 사용자를 대상으로 분류자 데이터베이스를 구축하는 데 어려움이 있어 이 방법의 인식 정확도가 저하됩니다.

두 번째 범주에는 수학적 통계 및 기계 학습 방법이 포함됩니다. 이 범주의 방법은 이미지 인식 도구를 기반으로 하며 얼굴 인식 작업을 인식 작업의 특수한 사례로 간주합니다. 이미지에는 얼굴/비얼굴이라는 두 가지 클래스로 이미지를 분류하는 데 사용되는 특정 특징 벡터가 할당됩니다. 특징 벡터를 얻는 가장 일반적인 방법은 이미지 자체를 사용하는 것입니다. 각 픽셀은 벡터의 구성 요소가 되어 n×m 이미지를 R^(n×m) 공간의 벡터로 변환합니다. 여기서 n과 m은 양수입니다. 정수. . 이 표현의 단점은 특징 공간의 차원이 매우 높다는 것입니다. 이 방법의 장점은 전체 절차에서 인간 참여 분류기의 구성을 배제할 뿐만 아니라 특정 사용자를 위해 시스템 자체를 훈련할 가능성도 있다는 것입니다. 따라서 얼굴 위치 파악의 수학적 모델을 구축하기 위해 이미지 모델링 방법을 사용하는 것이 문제를 해결하는 데 가장 적합합니다.

얼굴 프로필을 분할하고 일련의 프레임에서 입술 점의 위치를 ​​추적하는 경우 수학적 모델링 방법을 사용하여 이 문제를 해결해야 합니다. 얼굴 표정의 움직임을 결정하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 그 중 가장 유명한 방법은 활성 윤곽 모델을 기반으로 한 수학적 모델을 사용하는 것입니다.

능동 윤곽 모델의 수학적 모델을 기반으로 한 얼굴 표정 영역의 위치 파악

활성 윤곽을 얼굴 표정 이미지에 적용하려면 연구 대상 개체의 적절한 이진화, 즉 개체를 디지털 래스터 이미지 유형으로 변환한 다음 매개변수에 대한 적절한 평가를 수행해야 합니다. 활성 윤곽선과 특징 벡터 계산이 수행되어야 합니다.

활성 윤곽 모델은 다음과 같이 정의됩니다.
N점 세트;
내부 탄성 에너지 항;
외부 가장자리 기반 에너지 용어.

인식 품질을 향상시키기 위해 피부와 입술이라는 두 가지 색상 클래스가 구별됩니다. 색상 클래스 멤버십 함수는 0에서 1 사이의 값을 갖습니다.

활성 윤곽 모델(스네이크)의 방정식은 다음과 같은 공식 v(s)로 표현됩니다.

여기서 E는 뱀의 에너지입니다(활성 윤곽 모델). 처음 두 항은 활성 윤곽 모델(스네이크)의 규칙성 에너지를 설명합니다. 극좌표계에서 v(s) = , s는 0부터 1까지입니다. 세 번째 항은 이미지에서 얻은 외부 힘과 관련된 에너지이고, 네 번째 항은 압력과 관련된 에너지입니다.

외력은 위에서 설명한 특성에 따라 결정됩니다. 제어점을 특정 강도 값으로 이동할 수 있습니다. 다음과 같이 계산됩니다.

그라데이션 승수(미분)는 해당 방사형 선을 따라 뱀 점에서 계산됩니다. 기울기가 음수이면 힘이 증가하고 그렇지 않으면 감소합니다. 그라데이션 이전의 계수는 이미지의 토폴로지에 따라 달라지는 가중치 요소입니다. 압축력은 최소 중량 계수의 1/2을 사용하여 간단하게 상수입니다. 특정 횟수의 반복 후에 에너지 기능을 최소화하여 최상의 뱀 모양을 얻습니다.

기본적인 이미지 처리 작업을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 단순화를 위해 화자의 입 영역을 이미 선택했다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 수행해야 하는 결과 이미지를 처리하기 위한 주요 작업이 그림 1에 나와 있습니다. 삼.

결론

사용된 소스 목록

계속됩니다

타티아나 포트노바

나는 주제에 대해 Petrovsk의 유치원 교육 기관 No. 17 "Rozhdestvensky"의 업무 경험을 발표합니다. 미취학 아동에게 수학을 가르치는 방법으로서의 모델링 방법.

가장 유망한 것 중 하나 미취학 아동의 수학적 발달 방법은 모델링입니다. 미취학 아동을 위한 시뮬레이션한 번에 여러 문제를 동시에 해결할 수 있으며, 그 중 주요한 것은 아이들에게 논리적 사고의 기초를 심어주고, 간단한 계산을 가르치며, 아이가 더 쉽게 배울 수 있도록 하는 것입니다. 그 결과, 아이의 지식은 일반화 수준이 높아지고 개념에 접근하게 된다.

내 일에서 나는 의지했다. 모델링 방법, D. B. Elkonin, L. A. Wenger, N. A. Vetlugina가 개발한 것은 어린이의 사고가 특별한 계획을 사용하여 개발된다는 사실에 있습니다. 모델, 시각적이고 접근 가능한 형태로 특정 개체의 숨겨진 속성과 연결을 재현합니다.

용법 미취학 아동의 수학적 개념 개발 모델링실질적이고 긍정적인 결과를 제공하며, 정확히:

현상 사이의 숨겨진 연관성을 식별하고 어린이가 이해할 수 있도록 해줍니다.

사물이나 현상의 구성 요소의 구조와 상호 연결에 대한 어린이의 이해를 향상시킵니다.

아이의 관찰 능력을 높이고 주변 세계의 특징을 알아차릴 수 있는 기회를 제공합니다.

내 작업에서는 4단계 적용 순서를 사용합니다. 모델링 방법.

첫 번째 단계는 산술 연산의 의미에 익숙해지는 것입니다.

두번째 - 교육이러한 행동을 언어로 설명 수학 기호 및 기호.

세 번째 - 교육가장 간단한 산술 계산 방법

네 번째 단계 - 교육문제 해결 방법

슬라이드 5 (사진 어린이 모델들은 한다)

마스터하기 과학적 지식의 방법으로 모델링, 생성이 필요합니다 모델. 아이들과 함께 창작하고 아이들이 만들기에 참여하도록 하세요. 모델직접적이고 적극적인 참여. 다양하게 생각하면서 아이들과 함께 모델, 나는 다음을 고수했습니다 요구 사항:

모델일반화된 이미지를 표시하고 개체 그룹에 맞아야 합니다.

객체에 필수적인 것이 무엇인지 밝혀보세요.

창작에 대한 아이디어 모델아이들이 이해할 수 있도록 토론해야합니다.

모델링새로운 유형의 작업이 어떻게 아이들의 창의력과 상상력을 발휘할 수 있는 여지를 제공하고 사고력의 발달을 보장하는지 알아보세요.

우리가 만든 모델은 다기능입니다. 기반을 둔 모델우리는 다양한 교육용 게임을 만듭니다. 사진의 도움으로 - 모델우리는 다양한 유형의 어린이 중심 활동을 조직합니다. 모델저는 수업 시간에, 교사와 협력하여, 독립적인 어린이 활동에 이 앱을 사용합니다.

창조를 향하여 모델 나는 부모님을 연결합니다, 나는 누구에게 간단한 작업을 제공합니다 모델(집에있는 부모는 자녀와 함께 만듭니다. 모델) .

따라서 3개의 상호 연결은 파티:

부모의

그리고 아이.

나는 당신에게 소개하고 싶다 모델아이들과 함께 일할 때 사용하는 것입니다.

시각적 평면 모델"1초에서 1년으로"

신청 목적:

아이들에게 일시적인 관계와 그 관계에 대한 아이디어를 제공하십시오 ;

전체와 부분의 관계에 대한 어린이의 생각을 통합하고 시간과 공간의 관계를 지정하도록 가르칩니다. 점수를 향상시키세요.

함께 작업한 설명 모델:

나는 아이들에게 다음을 소개한다. 점차적으로 모델을 삼다. 먼저 용어 자체를 소개하겠습니다. (초, 분, 시, 일, 주, 월, 년). 시간 기준으로 더 많은 것과 적은 것, 무엇이 포함되는지.

다음으로 나는 더 명확하고 좁은 아이디어를 제시합니다. 예를 들어 1초는 거의 가장 작은 시간 단위이지만 60개가 있으면 더 큰 시간 단위인 1분이 되기 때문에 아이들이 모든 용어, 시간의 모든 상호 연결을 배울 때까지 작업합니다. 두 번째부터 시작하여 연도를 마무리하는 관계.

시각적 평면 모델

"기호와 숫자가 사는 집"

신청 목적:

두 개의 작은 숫자로 숫자를 형성하는 어린이의 능력을 강화하십시오. 숫자를 더하고 빼세요.

합계의 차이에 따라 숫자와 수량의 불변성에 대한 아이디어를 어린이에게 제공하십시오.

숫자를 비교하는 능력을 배우거나 강화하십시오. (더, 더 적게, 동등하게).

구조 모델: 모델는 4층짜리 집으로 각 층마다 기호와 숫자가 살 수 있는 창문 수가 다르지만 집은 마법이기 때문에 기호와 숫자는 아이들의 도움이 있어야만 집으로 들어갈 수 있습니다. 집의 창문은 다음과 같습니다 방법:

함께 작업한 설명 모델:

1층과 2층은 문제를 해결하는 데 사용되며, 합산의 차이에 따라 수와 양의 불변성에 대한 아이디어를 아이들에게 제공하는 것입니다. 예를 들어: 4 = 1 + 1 + 1 + 1; 4 = 2 + 2.

3층은 아이들을 가르치는 데 사용됩니다 (또는 스킬을 통합)두 개의 작은 것에서 숫자를 만들고 숫자를 뺍니다. 예를 들어 3 + 5 = 8 또는 7 - 4 = 3 등입니다.

마지막 4층은 아이들을 가르치는 데 사용됩니다 (또는 스킬을 통합)"보다 작음", "보다 큼" 또는 "같음" 기호를 사용하여 숫자를 서로 비교합니다.

모델어떤 유형에도 사용할 수 있습니다 활동: 수업 중, 어린이의 자유 활동, 어린이와 개별적으로 작업할 때 등

슬라이드 11-12

시각적 평면 모델"태양계"

시니어 및 준비 그룹의 어린이에게만 해당됩니다.

신청 목적:

주다 (또는 핀)기하학적 체와 도형에 대한 아이들의 생각 (원, 공을 다른 기하학적 몸체 및 도형과 비교);

어린이들에게 결과 그룹의 그룹화, 분류, 연결 및 의존성의 기초를 식별하고 연설에 반영하도록 가르치십시오. (태양계);

가르치다 (또는 핀)시리즈의 순서를 결정하는 어린이의 능력 크기별 품목;

공간적 관계에 대한 이해를 발전시키고, 다른 물체에 상대적인 일부 물체의 위치를 ​​결정합니다.

순서 및 수량 계산을 개선합니다.

거리를 측정하기 위해 기존의 방법을 사용하는 능력을 강화합니다.

산술 문제를 해결하는 능력을 강화합니다.

구조 모델:

모델는 태양계를 묘사하는 시각적 평면 다이어그램입니다. 다이어그램 외에도 태양계에 대한 정보가 포함된 성인용 특수 카드가 있습니다. (태양계, 행성의 크기에 대한 짧은 이야기). 에게 모델단지 포함 시뮬레이션된 행성, 서로 크기의 비례를 유지하는 것이 필요합니다.

함께 작업한 설명 모델:

문제를 해결하려면 태양계의 모든 행성과 태양 자체가 하나의 전체 그룹이라는 것을 어린이에게 설명해야합니다. (가족). "우리 별인 태양에는 자신의 가족이 있습니다. 여기에는 태양을 중심으로 회전하는 9개의 행성이 포함됩니다. 즉, 이 10개의 천체가 모두 하나의 그룹으로 결합됩니다. 어린이들:

1. 행성의 크기가 증가함에 따라 또는 반대로 가장 큰 행성에서 가장 작은 행성으로 행성을 일렬로 배열합니다.

2. 다음의 안내에 따라 다른 행성에 대한 한 행성의 위치를 ​​결정합니다. 계획: 행성 지구는 목성 행성의 왼쪽에 있습니다.

3. 예를 들어 끈, 자 등과 같은 일반적인 측정 방법을 사용하여 행성과 별 사이, 행성 사이 등의 거리를 측정할 수 있습니다.

4. 행성은 앞뒤로 셀 수 있으며, 다양한 유형의 문제를 만들고 해결할 수 있습니다. 태양계에는 별을 포함하여 큰 행성이 ​​3개만 있고, 작은 행성은 몇 개 있는지 등이 있습니다.

슬라이드 13-14

시각적 평면 모델"케이크 계산"

신청 목적:

아이들에게 산수 문제를 해결하고 인지 능력을 개발하도록 가르치십시오.

강조하는 법을 배우세요 매우 정확한수량 간의 관계를 탐색합니다.

구조 모델,

모델에는 다음이 포함됩니다:

1. 각 부분이 나누어져 있는 "달콤한 숫자 세기 조각" 5개 세트 (같은 부분과 다른 부분 모두). 원 형태의 각 계산 케이크에는 고유 한 색상이 있습니다.

2. 흰색 판지로 잘라낸 타원은 "전체"와 "부분"을 나타냅니다. 게임 상황에서는 아이들이 숫자를 세는 조각을 놓을 접시라고 부릅니다.

함께 작업한 설명 모델:

산수 문제에서 매우 정확한관계는 "전체"와 "부분"으로 볼 수 있습니다.

첫째, '전체'와 '부분'의 개념을 아이들에게 이해시킬 필요가 있다.

숫자를 세는 케이크를 아이들 앞에 "전체"를 나타내는 접시 위에 올려 놓습니다(모든 부분, 엄마가 케이크 전체를 구웠고 우리는 그것을 "전체"를 나타내는 접시에 엄격하게 올려 놓을 것이라고 말해줍니다. 이제 우리는 케이크를자를 것입니다). 케이크를 두 부분으로 나누고, 각각을 "부분"이라고 부르겠습니다. (케이크 전체)부분으로 나누어져 있다 (2개분)그러면 전체는 더 이상 존재하지 않고 단지 2개의 부분만 있게 됩니다. 다른 사람의 접시에 남을 수 없으며 "부분"을 나타내는 접시로 옮겨야합니다. 한 부분은 한 접시에, 다른 부분은 다른 접시에 있습니다. 그런 다음 두 조각을 다시 모아서 다시 전체임을 보여주세요. 따라서 우리는 부분을 합치면 전체가 되고, 전체에서 부분을 빼면 부분이 된다는 것을 증명했습니다.

슬라이드 15-16

시각적 체적 모델"모래시계"

신청 목적:

아이들에게 다음을 사용하여 시간을 측정하도록 가르치십시오. 모래시계 모델; 실험 과정에 적극적으로 참여합니다.

구조 모델:

체적 모델, 입체.

시간을 측정하려면 병 중 하나의 바닥 뚜껑을 열고 모래가 시계의 한 칸에서 다른 칸으로 1분 안에 이동할 수 있도록 정확히 필요한 만큼의 모래를 부어야 합니다. 이는 실험을 통해 이루어져야 합니다.

글쓰기 작업 모델:

사용하여 모델모래 시계, 먼저 교육 입문 수업을 진행할 수 있습니다. 아이들에게 다양한 모래시계 사진을 보여준 다음 시연합니다. 모델, 저는 모래시계의 기원, 모래시계가 필요한 이유, 사용 방법, 작동 방식에 대해 이야기합니다. 그럼 우리가 보내는 아이들과 함께 실험: 예를 들어 시계의 정확성을 증명하는 실험입니다.

따라서, 모델링다양한 교육 및 발달 목표와 목적을 달성할 수 있는 중요한 교육 도구이자 활동입니다.

모든 형태의 사용 모델링실제 적용에서 긍정적인 결과를 제공하여 어린이의 인지 활동을 활성화합니다.

수학적 모델- 수학적 기호를 사용하여 표현된 모델링 개체에 대한 대략적인 설명.

수세기 전에 수학과 함께 수학적 모델이 나타났습니다. 컴퓨터의 출현은 수학적 모델링의 발전에 큰 자극을 주었습니다. 컴퓨터의 사용으로 인해 이전에는 분석 연구를 수행할 수 없었던 많은 수학적 모델을 실제로 분석하고 적용하는 것이 가능해졌습니다. 컴퓨터로 구현된 수학적 모델~라고 불리는 컴퓨터 수학적 모델, ㅏ 컴퓨터 모델을 사용하여 목표 계산 수행~라고 불리는 컴퓨터 실험.

컴퓨터 수학적 모델링의 단계가 그림에 나와 있습니다. 첫 단계- 모델링 목표 결정. 이러한 목표는 다를 수 있습니다.

1) 특정 객체가 어떻게 구성되어 있는지, 그 구조가 무엇인지, 기본 속성, 개발 법칙 및 외부 세계와의 상호 작용(이해)을 이해하려면 모델이 필요합니다.

2) 객체(또는 프로세스)를 관리하는 방법을 배우고 주어진 목표와 기준(관리)에 대한 최상의 관리 방법을 결정하려면 모델이 필요합니다.

3) 주어진 방법의 구현과 객체에 대한 영향 형태의 직간접적인 결과를 예측하기 위해 모델이 필요합니다 (예측).

예를 들어 설명해 보겠습니다. 연구의 목적은 액체 또는 기체의 흐름과 이 흐름을 방해하는 물체의 상호 작용입니다. 경험에 따르면 신체 부분의 흐름에 대한 저항력은 흐름 속도가 증가함에 따라 증가하지만, 충분히 높은 속도에서는 이 힘이 갑자기 감소하여 속도가 더 증가함에 따라 다시 증가합니다. 저항력이 감소한 원인은 무엇입니까? 수학적 모델링을 통해 우리는 명확한 답을 얻을 수 있습니다. 저항이 급격히 감소하는 순간 유선형 몸체 뒤의 액체 또는 가스 흐름에 형성된 소용돌이가 그것에서 이탈하기 시작하여 흐름에 의해 휩쓸려갑니다.

완전히 다른 지역의 예: 안정된 수로 평화롭게 공존하고 공통 식량 공급을 받았던 두 종의 개체군이 "갑자기" 그 수를 급격히 바꾸기 시작합니다. 그리고 여기서 수학적 모델링을 통해 (어느 정도의 신뢰성으로) 원인을 확립할 수 있습니다(또는 적어도 특정 가설을 반박할 수 있습니다).

객체 관리를 위한 개념을 개발하는 것도 모델링의 또 다른 목표입니다. 비행이 안전하고 경제적으로 가장 수익성이 높도록 하려면 어떤 항공기 비행 모드를 선택해야 합니까? 대규모 시설 건설에 대한 수백 가지 유형의 작업을 계획하여 가능한 한 최단 시간 내에 완료되도록 하는 방법은 무엇입니까? 그러한 많은 문제들은 경제학자, 디자이너, 과학자들 앞에서 체계적으로 발생합니다.

마지막으로, 물체에 대한 특정 영향의 결과를 예측하는 것은 단순한 물리적 시스템에서는 상대적으로 간단한 문제일 수 있지만 생물학적, 경제적, 사회적 시스템에서는 타당성에 가까워 매우 복잡할 수 있습니다. 구성 합금의 변화로 인한 얇은 막대의 열 분포 모드 변화에 대한 질문에 대답하는 것은 상대적으로 쉽지만 대형 건설의 환경 및 기후 결과를 추적(예측)하는 것은 비교할 수 없을 정도로 어렵습니다. 수력 발전소 또는 세법 변경의 사회적 결과. 아마도 여기에서도 수학적 모델링 방법이 미래에 더욱 중요한 도움을 제공할 것입니다.

두 번째 단계: 모델의 입력 및 출력 매개변수 결정; 출력에 대한 변화의 영향의 중요도에 따라 입력 매개변수를 나눕니다. 이 프로세스를 순위 지정 또는 순위별 분리라고 합니다(참조 . “형식화 및 모델링”).

세 번째 단계: 수학적 모델의 구축. 이 단계에서는 모델의 추상적 공식화에서 특정 수학적 표현을 갖는 공식화로 전환됩니다.

수학적 모델- 이것은 방정식, 방정식 시스템, 부등식 시스템, 미분 방정식 또는 그러한 방정식 시스템 등입니다.

네 번째 단계: 수학적 모델을 연구하는 방법을 선택합니다. 여기서는 대부분 프로그래밍에 적합한 수치적 방법이 사용됩니다. 일반적으로 정확도, 안정성 등이 다른 여러 가지 방법이 동일한 문제를 해결하는 데 적합합니다. 전체 모델링 프로세스의 성공 여부는 올바른 방법 선택에 달려 있는 경우가 많습니다.

다섯 번째 단계: 알고리즘의 개발, 컴퓨터 프로그램의 컴파일, 디버깅은 형식화하기 어려운 과정입니다. 프로그래밍 언어 중에서 많은 전문가들은 수학적 모델링을 위해 FORTRAN을 선호합니다. 이는 전통과 탁월한 컴파일러 효율성(계산 작업용), 그리고 그 안에 작성된 수학적 방법을 위한 거대하고 신중하게 디버깅되고 최적화된 표준 프로그램 라이브러리의 가용성으로 인해 FORTRAN을 선호합니다. . 작업의 성격과 프로그래머의 성향에 따라 PASCAL, BASIC, C 등의 언어도 사용됩니다.

여섯 번째 단계: 프로그램 테스트. 프로그램의 작동은 이전에 알려진 답을 사용하여 테스트 문제에서 테스트됩니다. 이는 형식적으로 포괄적으로 설명하기 어려운 테스트 절차의 시작일 뿐입니다. 일반적으로 테스트는 사용자가 전문적인 특성을 바탕으로 프로그램이 정확하다고 판단할 때 종료됩니다.

일곱 번째 단계: 모델이 실제 객체(과정)와 일치하는지 여부를 판단하는 실제 계산 실험입니다. 컴퓨터에서 얻은 프로세스의 일부 특성이 주어진 정확도로 실험적으로 얻은 특성과 일치하면 모델은 실제 프로세스에 충분히 적합합니다. 모델이 실제 프로세스와 일치하지 않으면 이전 단계 중 하나로 돌아갑니다.

수학적 모델의 분류

수학적 모델의 분류는 다양한 원리에 기초할 수 있습니다. 과학 분야(물리학, 생물학, 사회학 등의 수학적 모델)별로 모델을 분류할 수 있습니다. 사용된 수학적 장치(상미분 방정식, 편미분 방정식, 확률론적 방법, 이산 대수 변환 등의 사용을 기반으로 한 모델)에 따라 분류될 수 있습니다. 마지막으로, 수학적 장치에 관계없이 다양한 과학 모델링의 일반적인 문제를 진행한다면 다음 분류가 가장 자연스럽습니다.

· 설명(설명) 모델;

· 최적화 모델;

· 다기준 모델;

· 게임 모델.

이를 예를 들어 설명하겠습니다.

설명 (설명) 모델. 예를 들어, 태양계를 침범한 혜성의 움직임을 모델링하여 비행 경로, 지구에서 통과할 거리 등을 예측합니다. 이 경우 모델링 목표는 본질적으로 설명적입니다. 혜성의 움직임에 영향을 미치거나 그 안의 어떤 것도 변경할 수 있는 방법이 없기 때문입니다.

최적화 모델주어진 목표를 달성하려는 시도에서 영향을 받을 수 있는 프로세스를 설명하는 데 사용됩니다. 이 경우 모델에는 영향을 받을 수 있는 하나 이상의 매개변수가 포함됩니다. 예를 들어, 곡물창고의 열 체계를 변경할 때 최대 곡물 안전성을 달성할 체계를 선택하는 목표를 설정할 수 있습니다. 저장 프로세스를 최적화합니다.

다기준 모델. 동시에 여러 매개변수에 따라 프로세스를 최적화해야 하는 경우가 종종 있으며 목표는 상당히 모순될 수 있습니다. 예를 들어, 음식 가격과 음식에 대한 개인의 필요성을 알면 많은 사람들 (군대, 어린이 여름 캠프 등)을 위해 생리적으로 정확하고 동시에 저렴하게 영양을 구성해야합니다. 가능한. 이러한 목표는 전혀 일치하지 않는다는 것이 분명합니다. 모델링할 때 여러 기준이 사용되며 그 사이에서 균형을 찾아야 합니다.

게임 모델컴퓨터 게임뿐만 아니라 매우 심각한 문제에도 관련될 수 있습니다. 예를 들어, 전투 전에 적군에 대한 정보가 불완전한 경우 지휘관은 적의 가능한 반응을 고려하여 특정 유닛을 전투에 투입할 순서 등의 계획을 개발해야 합니다. 불완전한 정보 조건 하에서 의사 결정 방법을 연구하는 현대 수학의 특별한 분야인 게임 이론이 있습니다.

학교 컴퓨터 과학 과정에서 학생들은 기본 과정의 일부로 컴퓨터 수학적 모델링에 대한 초기 이해를 얻습니다. 고등학교에서는 물리학 및 수학 수업을 위한 일반 교육 과정과 전문 ​​선택 과정의 일부를 통해 수학적 모델링을 심도 있게 공부할 수 있습니다.

고등학교에서 컴퓨터 수학적 모델링을 가르치는 주요 형태는 강의, 실험실 및 시험 수업입니다. 일반적으로 각각의 새로운 모델을 연구하기 위해 만들고 준비하는 작업에는 3~4회의 수업이 소요됩니다. 자료를 발표하는 동안 미래에 학생들이 독립적으로 해결해야 할 문제가 설정되고, 이를 해결하는 방법이 일반적인 용어로 설명됩니다. 질문은 공식화되며 작업을 완료할 때 답변을 얻어야 합니다. 보다 성공적인 작업 완료를 위한 보조 정보를 얻을 수 있는 추가 문헌이 표시됩니다.

새로운 자료를 공부할 때 수업을 구성하는 형태는 일반적으로 강의입니다. 다음 모델에 대한 토론을 마친 후 학생들은 필요한 이론적 정보와 추가 작업을 위한 일련의 작업을 마음대로 사용할 수 있습니다. 과제 완료를 준비하면서 학생들은 적절한 해결 방법을 선택하고 잘 알려진 비공개 솔루션을 사용하여 개발된 프로그램을 테스트합니다. 작업을 완료하는 데 어려움이 있을 수 있는 경우에는 상담이 제공되고 문학 출처에서 이러한 섹션을 더 자세히 연구하도록 제안됩니다.

컴퓨터 모델링 교육의 실무적인 부분에 가장 적합한 것은 프로젝트 방식입니다. 이 과제는 교육 프로젝트의 형태로 학생을 위해 공식화되었으며 여러 수업에 걸쳐 수행되며 주요 조직 형태는 컴퓨터 실험실 작업입니다. 교육 프로젝트 방법을 사용한 교육 모델링은 다양한 수준에서 구현될 수 있습니다.
첫 번째- 교사가 이끄는 프로젝트 완료 과정에 대한 문제 프레젠테이션.
두번째- 교사의 지도하에 학생들이 프로젝트를 실행합니다.
제삼- 교육 연구 프로젝트를 학생들이 독립적으로 구현합니다.

작업 결과는 숫자 형식, 그래프 및 다이어그램 형식으로 표시되어야 합니다. 가능하다면 프로세스가 컴퓨터 화면에 역학적으로 표시됩니다. 계산이 완료되고 결과가 접수되면 분석을 거쳐 이론에서 알려진 사실과 비교하여 신뢰성을 확인하고 의미 있는 해석을 수행한 후 서면 보고서에 반영합니다.

결과가 학생과 교사를 만족시키면 작업이 완료된 것으로 간주되며 최종 단계는 보고서 준비입니다. 보고서에는 연구 중인 주제에 대한 간략한 이론적 정보, 문제의 수학적 공식화, 솔루션 알고리즘 및 그 정당성, 컴퓨터 프로그램, 프로그램 결과, 결과 및 결론 분석, 참고 문헌 목록이 포함됩니다.

모든 보고서가 작성되면 테스트 수업 중에 학생들은 수행한 작업에 대해 간략한 보고서를 제공하고 프로젝트를 옹호합니다. 이는 문제 설정, 형식적 모델 구축, 모델 작업 방법 선택, 컴퓨터에서 모델 구현, 완성된 모델 작업, 해석 등을 포함하여 프로젝트를 수행하는 그룹이 학급에 전달하는 효과적인 보고서 형식입니다. 결과를 보고 예측을 합니다. 결과적으로 학생들은 두 가지 등급을 받을 수 있습니다. 첫 번째는 프로젝트 정교화 및 방어 성공, 두 번째는 프로그램, 알고리즘, 인터페이스 등의 최적성입니다. 학생들은 이론 퀴즈 중에도 성적을 받습니다.

필수적인 질문은 학교 컴퓨터 과학 과정에서 수학적 모델링을 위해 어떤 도구를 사용할 것인가입니다. 모델의 컴퓨터 구현은 다음과 같이 수행될 수 있습니다.

· 스프레드시트 프로세서(보통 MS Excel)를 사용합니다.

· 전통적인 프로그래밍 언어(Pascal, BASIC 등)와 최신 버전(Delphi, Visual Basic for Application 등)으로 프로그램을 생성합니다.

· 수학 문제 해결을 위한 특수 응용 프로그램 패키지(MathCAD 등)를 사용합니다.

기본 학교 수준에서는 첫 번째 방법이 더 바람직한 것 같습니다. 그러나 고등학교에서는 모델링과 함께 프로그래밍이 컴퓨터 과학의 핵심 주제인 경우 이를 모델링 도구로 활용하는 것이 바람직합니다. 프로그래밍 과정에서 학생들은 수학적 절차의 세부 사항을 사용할 수 있습니다. 더욱이 그들은 단순히 그것을 습득하도록 강요받으며 이는 수학 교육에도 기여합니다. 특수 소프트웨어 패키지를 사용하는 경우 이는 전문 컴퓨터 과학 과정에서 다른 도구를 보완하는 데 적합합니다.

수학적 모델의 유형

현실을 반영하는 모델의 능력이 무엇을 의미하는지, 어떤 조건에서, 어떤 인식 대상과 관련하여 실현되는지에 따라 큰 다양성이 발생하고 그에 따라 분류됩니다. 기존 분류를 일반화함으로써 사용된 수학적 장치를 기반으로 기본 모델을 식별하고 이를 기반으로 특수 모델이 개발됩니다(그림 8.1).

그림 8.1 - 모델의 공식적인 분류

수학적 모델은 대수적 등식과 부등식, 적분과 미분, 유한 차분 및 기타 수학적 표현(확률 변수 분포 법칙, 회귀 모델 등)과 같은 명시적인 함수 관계의 형태로 연구 대상(프로세스, 시스템)을 표시합니다. ) 및 관계 수학적 논리.

수학적 모델을 구성하는 두 가지 기본 특징, 즉 원인과 결과 관계에 대한 설명 유형과 시간에 따른 변화에 따라 결정론적 모델과 확률론적 모델, 정적 모델과 동적 모델이 구별됩니다(그림 8.2).

그림에 표시된 다이어그램의 목적은 다음 기능을 표시하는 것입니다.

1) 수학적 모델은 결정론적일 수도 있고 확률론적일 수도 있습니다.

2) 결정론적 모델과 확률론적 모델은 정적일 수도 있고 동적일 수도 있습니다.

수학적 모델은 다음과 같이 불린다. 결정론적 (결정론적), 모든 매개변수와 변수가 고유하게 결정된 수량이고 정보의 완전한 확실성 조건도 충족되는 경우입니다. 그렇지 않고 정보가 불확실한 조건에서 모델의 매개변수와 변수가 확률 변수인 경우 모델을 호출합니다. 확률적(확률적).

그림 8.2 - 수학적 모델의 클래스

모델명은 동적, 기간이 지남에 따라 하나 이상의 변수가 변경되는 경우 공전, 변수가 기간에 따라 변하지 않는다는 가설이 받아들여지는 경우.

가장 간단한 경우 균형 모델 대차대조표 방정식의 형태로 행동합니다. 여기서 왼쪽에는 영수증 금액이 있고 오른쪽에는 지출 부분이 있으며 역시 합계 형태입니다. 예를 들어, 조직의 연간 예산이 표시되는 방식입니다.

통계 데이터를 기반으로 대차대조표 모델뿐만 아니라 상관관계, 회귀모델도 구축할 수 있습니다.

함수 Y가 변수 x 1, x 2, ... x n뿐만 아니라 다른 요인에도 의존하는 경우 Y와 x 1, x 2, ... x n 사이의 연결은 다음과 달리 부정확하거나 상관관계가 있습니다. 정확한 또는 기능적 연결. 예를 들어, 대부분의 경우 OPS의 출력 매개변수와 내부 및 외부 환경 요인 사이에서 관찰되는 연관성은 상관관계입니다(주제 5 참조).

상관 회귀 모델통계 장치를 사용하여 특정 특성의 가치에 대한 전체 요인 복합체의 영향을 연구하여 얻습니다. 이 경우, 과제는 상관 관계를 확립하는 것뿐만 아니라 이 관계를 분석적으로 표현하는 것, 즉 이러한 상관 관계 의존성을 설명하는 방정식(회귀 방정식)을 선택하는 것입니다.

회귀 방정식 매개 변수의 수치를 찾기 위해 최소 제곱법이 사용됩니다. 이 방법의 핵심은 개별 점의 Y 좌표의 제곱 편차의 합이 가장 작도록 선을 선택하는 것입니다.

상관-회귀 모델은 두 개 이상의 계열에서 관련 특성 간의 관계를 확립해야 할 때 현상 연구에 자주 사용됩니다. 이 경우 형태의 쌍선형 및 다중선형회귀가 주로 사용된다.

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

최소자승법을 적용한 결과 매개변수 a 또는 a 1 , a 2 , ..., a n 및 b의 값이 설정되고 근사의 정확성과 결과 회귀 방정식의 유의성이 설정됩니다. 평가됩니다.

특별한 그룹이 할당됩니다 그래픽 분석 모델 . 다양한 그래픽 이미지를 사용하므로 선명도가 좋습니다.

그래프 이론(Graph Theory)은 그래프를 연구하는 이산수학의 이론 중 하나이며, 그래프는 이를 연결하는 점과 선의 집합으로 이해됩니다. 그래프는 독립적인 수학적 개체입니다(D. Koenig가 처음 소개함). 트리 및 네트워크 모델은 대부분 그래프 이론을 기반으로 구축됩니다.

트리 모델(트리)은 루프나 순환을 포함하지 않는 방향이 없는 연결된 그래프입니다. 이러한 모델의 예로는 목표 트리가 있습니다.

네트워크 모델은 작업 관리에 폭넓게 적용됩니다. 네트워크 모델(그래프)은 작업 순서와 각 작업 기간을 반영합니다(그림 8.3).

그림 8.3 - 작품 생산의 네트워크 모델

네트워크 다이어그램의 각 라인은 일부 작업입니다. 옆에 있는 숫자는 실행 기간을 나타냅니다.

네트워크 모델을 사용하면 소위 핵심 경로를 찾고 다른 리소스를 제한하면서 시간이 지남에 따라 작업 일정을 최적화할 수 있습니다.

네트워크 모델은 결정적이거나 확률적일 수 있습니다. 후자의 경우 작업 기간은 확률 변수 분포 법칙에 따라 지정됩니다.

최적화 모델시스템의 행동과 움직임 제어에 특정 제한을 가하면서 시스템이 목표를 달성하기 위한 최적의 궤적을 결정하는 역할을 합니다. 이 경우 최적화 모델은 특정 목적 함수(최적화 기준)의 극값을 찾는 다양한 유형의 문제를 설명합니다.

제한된 자원(기술, 자재, 노동 및 재정) 조건에서 경영 목표를 달성하는 최적의 방법을 식별하기 위해 운영 연구 방법이 사용됩니다. 여기에는 수학적 프로그래밍 방법(선형 및 비선형, 정수, 동적 및 확률론적 프로그래밍), 분석 및 확률 통계 방법, 네트워크 방법, 대기열 이론 방법, 게임 이론(충돌 상황 이론) 등이 포함됩니다.

최적화 모델은 볼륨 및 일정 계획, 재고 관리, 자원 및 작업 배포, 장비 교체, 매개변수화 및 표준화, 운송 네트워크에서 상품 공급 흐름 배포 및 기타 관리 작업에 사용됩니다.

운영 연구 이론의 주요 성과 중 하나는 문제 해결을 위한 관리 모델과 방법의 유형화입니다. 예를 들어, 전송 문제를 해결하기 위해 차원에 따라 Vogel 방법, 잠재적 방법, Simplex 방법과 같은 표준 방법이 개발되었습니다. 또한 재고 관리 문제를 해결할 때 공식화에 따라 분석 및 확률 통계적 방법, 동적 및 확률론적 프로그래밍 방법을 사용할 수 있습니다.

관리에서는 네트워크 계획 방법이 특히 중요합니다. 이러한 방법을 통해 복잡한 다단계 작업 및 프로젝트를 설명, 모델링 및 분석하기 위한 새롭고 매우 편리한 언어를 찾을 수 있었습니다. 운영 연구에서는 큐잉 이론(섹션 8.3 참조) 방법과 마르코프 프로세스 장치를 사용하여 복잡한 시스템의 제어를 개선하는 데 중요한 위치가 주어집니다.

마르코프 랜덤 프로세스 모델- 시스템 동작의 특정 궤적을 따라 정렬된 상태 집합의 형태로 시스템 또는 해당 프로세스의 기능을 설명하는 미분 방정식 시스템입니다. 이 모델 클래스는 복잡한 시스템 기능의 수학적 모델링에 널리 사용됩니다.

게임 이론 모델제한된 무작위 정보 또는 완전한 불확실성 조건에서 최적의 전략을 선택하는 역할을 합니다.

게임은 실제 갈등 상황에 대한 수학적 모델로, 불확실한 조건에서 의사 결정자의 특정 행동 전략을 설명하는 특정 규칙 및 알고리즘에 따라 해결이 수행됩니다.

'자연과의 게임'과 '적과의 게임'이 있습니다. 상황에 따라 의사결정을 평가하는 방법과 기준이 결정됩니다. 따라서 "자연을 가지고 놀 때"에는 Laplace, maximin(Wald 기준) 및 minimax, Hurwitz 및 Savage 및 기타 여러 알고리즘 규칙과 같은 기준이 사용됩니다. "상대방과의 게임"에서는 의사결정자가 비우호적인 상대와 마주하게 되므로 지불 매트릭스, 최대값 및 최소값 기준, 특별한 수학적 변환을 사용하여 결정을 내립니다.

고려된 유형의 수학적 모델은 가능한 모든 다양성을 포괄하지 않으며 분류의 허용되는 측면에 따라 개별 유형의 특성만 나타냅니다. V.A. Kardash는 세부 사항의 네 가지 측면에 따라 모델을 분류하는 시스템을 만들려고 했습니다(그림 8.4).

A - 매개변수의 공간적 차별화가 없는 모델입니다.

B - 매개변수를 공간적으로 차별화한 모델

그림 8.4 - 세부사항의 네 가지 측면에 따른 모델 분류

컴퓨팅 도구의 개발과 함께 가장 일반적인 의사 결정 방법 중 하나는 사람의 적극적인 참여를 통한 수치 실험인 비즈니스 게임입니다. 수백 가지의 비즈니스 게임이 있습니다. 그들은 경영, 경제, 조직 이론, 심리학, 금융 및 상업 분야의 다양한 문제를 연구하는 데 사용됩니다.