Өнцөгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн. Тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн! Кинематик нь амархан
1972 оны Мюнхений олимпийн сагсан бөмбөгийн тэмцээний финалын тоглолт дуусахад 3 секунд үлдлээ. Америкчууд - АНУ-ын баг аль хэдийн ялалтаа тэмдэглэж байсан! Манай баг болох ЗХУ-ын шигшээ баг агуу мөрөөдлийн багийн эсрэг 10 орчим оноо авлаа...
Тоглолт дуусахаас хэдхэн минутын өмнө. Гэвч эцэст нь бүх давуу байдлаа алдсан тэрээр 49:50-аар нэг оноо алдаж байв. Дараа нь юу болсон нь үнэхээр гайхалтай байсан! Иван Едешко бөмбөгийг төгсгөлийн шугамын цаанаас Америкчуудын цагираг дор бүхэлд нь шидэхэд манай төвийн тоглогч Александр Белов хоёр өрсөлдөгчөөр хүрээлэгдсэн бөмбөгийг хүлээн авч сагсанд хийв. 51:50 - Бид Олимпийн аваргууд!!!
Би тэр үед хүүхэд байхдаа хамгийн хүчтэй сэтгэл хөдлөлийг мэдэрсэн - эхлээд урам хугарах, дургүйцэх, дараа нь галзуу таашаал! Энэ ангийн сэтгэл хөдлөлийн дурсамж миний оюун санаанд насан туршдаа үлддэг! "Александр Беловын алтан шидэлт" гэсэн хүсэлтийг интернетээс видеог үзээрэй, та харамсахгүй байх болно.
Дараа нь америкчууд ялагдлаа хүлээн зөвшөөрөөгүй бөгөөд мөнгөн медаль авахаас татгалзав. Манай тоглогчдын хийсэн зүйлийг гурван секундын дотор хийх боломжтой юу? Физикийг санацгаая!
Энэ нийтлэлд бид тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг авч үзэж, анхны өгөгдлийн янз бүрийн хослолоор энэ асуудлыг шийдвэрлэх Excel програмыг үүсгэж, дээрх асуултад хариулахыг хичээх болно.
Энэ бол физикийн хувьд нэлээд алдартай асуудал юм. Манайд тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн бие нь сагсан бөмбөг юм. Бид Иван Едешкогийн талбайг бүхэлд нь хөндлөн шидэж, Александр Беловын гарт унасан бөмбөгийн анхны хурд, цаг хугацаа, замналыг тооцоолох болно.
Сагсан бөмбөгийн нислэгийн математик, физик.
Доорх томъёо ба тооцоололexcelАгаарын үрэлтийн нөлөөг харгалзахгүйгээр тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биетүүд болон параболик траекторийн дагуу нисэхтэй холбоотой өргөн хүрээний асуудлуудад түгээмэл байдаг.
Тооцооллын схемийг доорх зурагт үзүүлэв. MS Excel эсвэл OOo Calc програмыг ажиллуулна уу.
Анхны өгөгдөл:
1. Бид дэлхий дээр байгаа бөгөөд дэлхийн таталцлын талбар дахь биетүүдийн хөдөлгөөнийг баллистикийн асуудлыг авч үзэж байгаа тул эхлээд таталцлын талбайн гол шинж чанар болох чөлөөт уналтын хурдатгалыг бичнэ. gм/с 2
D3 нүд рүү: 9,81
2. Сагсан бөмбөгийн талбайн хэмжээ нь 28 метр урт, 15 метр өргөн юм. Бөмбөгийг хөндлөн огтлолын эсрэг талын шугамаас цагираг хүртэл бараг талбай дээгүүр нисэх зай xметрээр бичнэ
D4 нүд рүү: 27,000
3. Хэрэв бид Едешко хоёр метрийн өндрөөс шидэлт хийж, Белов яг л цагирагны түвшинд бөмбөгийг барьж авсан гэж үзвэл сагсан бөмбөгийн цагираг 3.05 метрийн өндөртэй, явах ба ирэх цэгүүдийн хоорондох зай байна. бөмбөг босоо тэнхлэгт 1 метр байх болно. Босоо шилжилтийг бичье yметрээр
D5 нүд рүү: 1,000
4. Видеон дээрх миний хэмжилтээс харахад бөмбөгний хөдлөх өнцөг α 0 Эдешкогийн гараас 20 хэмээс хэтрэхгүй байна. Энэ утгыг оруулна уу
D6 нүд рүү: 20,000
Тооцооллын үр дүн:
Агаарын эсэргүүцлийг харгалзахгүйгээр тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн үндсэн тэгшитгэлүүд:
x =v0* cos α 0 *т
y =v0*нүгэл α 0 *t -g *t 2 /2
5. Цаг хугацааг илэрхийлье тЭхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулж, бөмбөгний анхны хурдыг тооцоол v 0 м/с
D8 нүдэнд: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАН(D6))^2/(D4*ТАН (РАДИАН(D6))-D5))^0.5 =21,418
v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *тгα 0 -y)) 0.5
6. Эдешкогийн гараас Беловын гарт бөмбөг ниссэн цаг тсекундын дотор тооцоолж, одоо мэдэж байгаа v 0 , эхний тэгшитгэлээс
D9 нүдэнд: =D4/D8/COS (РАДИАН(D6)) =1,342
т = x /(v 0 * cosα 0 )
7. Бөмбөгний хурдны чиглэлийн өнцгийг ол α бибидний сонирхож буй цэг дээр. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний хос тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
y =x *тгα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(cosα 0 ) 2)
Энэ бол параболын тэгшитгэл - нислэгийн зам юм.
Бидний сонирхож буй цэг дээр параболын шүргэгчийн налуу өнцгийг олох хэрэгтэй - энэ нь өнцөг байх болно. α би. Үүнийг хийхийн тулд шүргэгчийн налуугийн тангенс болох деривативыг авна.
чи' =тгα 0 -g *x /(v 0 2*(cosα 0 ) 2)
Беловын гарт бөмбөг ирэх өнцгийг тооцоол α биградусаар
D10 нүдэнд: =АТАН (ТАН (РАДИАН(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАН(D6))^2)/PI()*180 =-16,167
α би = arctgy ’ = arctg(тгα 0 — g * x /(v 0 2 *(cosα 0 ) 2))
Зарчмын хувьд excel дээрх тооцоолол дууссан.
Бусад төлбөрийн сонголтууд:
Бичсэн програмыг ашигласнаар та анхны өгөгдлийн бусад хослолуудтай тооцооллыг хурдан бөгөөд хялбар хийх боломжтой.
Байг, хэвтээ өгсөн x = 27 метр , босоо y = 1 метрийн нислэгийн хүрээ ба анхны хурд v 0 = 25 м/с.
Нислэгийн цагийг олох шаардлагатай тболон явах өнцөг α 0 болон ирэх α би
MS Excel-ийн "Параметрийн сонголт" үйлчилгээг ашиглацгаая. Үүнийг хэрхэн ашиглах талаар хэд хэдэн блог нийтлэлд би олон удаа тайлбарласан. Та энэ үйлчилгээг ашиглах талаар дэлгэрэнгүй уншиж болно.
Бид D6 нүдний утгын сонголтыг өөрчилснөөр D8 нүдний утгыг 25,000 болгож тохируулсан. Үр дүн нь доорх зурагт байна.
Excel-ийн тооцооллын энэ хувилбар дахь анхны өгөгдлийг (үнэхээр өмнөх шиг) цэнхэр хүрээгээр тодруулсан бөгөөд үр дүнг улаан тэгш өнцөгт хүрээгээр дугуйлсан болно!
Ширээ засахexcelЦайвар шар өнгийн дүүргэлттэй нүднүүдийн аль нэгнийх нь үнэ цэнийг өөрчилснөөр ямар нэгэн ашиг сонирхлын үнэ цэнийг цайвар оюу дүүргэлттэй нүднүүдийн аль нэгнийх нь хувьд сонгоход ерөнхий тохиолдолд та хөдөлгөөний асуудлыг шийдэх арван өөр сонголтыг авч болно. арван өөр багц эх сурвалжийн өгөгдөл бүхий тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн бие!!!
Асуултын хариулт:
Өгүүллийн эхэнд тавьсан асуултанд хариулъя. Иван Едешкогийн илгээсэн бөмбөг бидний тооцоогоор 1.342 секундэд Белов руу нисчээ. Александр Белов бөмбөгийг барьж аваад газардаж, үсэрч шидэв. Энэ бүхний төлөө түүнд цаг хугацааны "далай" байсан - 1.658 секунд! Энэ бол үнэхээр маржинтай хангалттай хугацаа юм! Видео жаазыг кадр бүрээр нь нарийвчлан үзэх нь дээр дурдсан зүйлийг баталж байна. Манай тоглогчид урд шугамнаас бөмбөгийг өрсөлдөгчийнхөө арын самбар руу хүргэж, цагираг руу шидэж, сагсан бөмбөгийн түүхэнд нэрээ алтаар бичихэд гурван секунд хангалттай байлаа!
би гуйя хүндэтгэж байна зохиолчийн бүтээл файлыг татах захиалгын дараа нийтлэлийн зарлал!
Кинематик бол амархан!
Шидсэний дараа нислэгийн үед таталцал нь биед үйлчилдэг Фтба агаарын эсэргүүцлийн хүч Фс.
Хэрэв биеийн хөдөлгөөн бага хурдтай явагддаг бол агаарын эсэргүүцлийн хүчийг тооцоолохдоо ихэвчлэн тооцдоггүй.
Тэгэхээр, бид зөвхөн таталцал нь биед үйлчилдэг гэж таамаглаж болно, энэ нь шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн гэсэн үг юм. Чөлөөт уналт.
Хэрэв энэ нь чөлөөт уналт бол шидсэн биеийн хурдатгал нь чөлөөт уналтын хурдатгалтай тэнцүү байна. g.
Дэлхийн гадаргуутай харьцангуй бага өндөрт таталцлын хүч Ft бараг өөрчлөгддөггүй тул бие нь тогтмол хурдатгалтайгаар хөдөлдөг.
Тиймээс тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн нь чөлөөт уналтын хувилбар юм, өөрөөр хэлбэл. тогтмол хурдатгал ба муруй шугамтай хөдөлгөөн(хурд ба хурдатгалын векторууд чиглэлийн хувьд давхцдаггүй тул).
Энэ хөдөлгөөний вектор хэлбэрийн томъёо: биеийн замнал нь Fт ба Vo векторуудыг дайран өнгөрөх хавтгайд байрлах парабол юм.
Шидсэн биеийн гарал үүслийн цэгийг ихэвчлэн координатын гарал үүслээр сонгодог.
Цаг хугацааны аль ч мөчид биеийн хурдыг чиглэлд өөрчлөх нь хурдатгалтай давхцдаг.
Замын аль ч цэг дэх биеийн хурдны векторыг 2 бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалж болно: вектор V x ба вектор V y .
Цаг хугацааны аль ч үед биеийн хурдыг эдгээр векторуудын геометрийн нийлбэрээр тодорхойлно.
Зургийн дагуу OX ба OY координатын тэнхлэг дээрх хурдны векторын проекцууд дараах байдалтай байна.
Ямар ч үед биеийн хурдыг тооцоолох:
Биеийн шилжилтийг ямар ч үед тооцоолох:
Биеийн хөдөлгөөний траекторийн цэг бүр нь X ба Y координатуудтай тохирч байна.
Ямар ч үед шидсэн биеийн координатыг тооцоолох томъёо:
Хөдөлгөөний тэгшитгэлээс L нислэгийн хамгийн их хүрээг тооцоолох томъёог гаргаж болно.
ба нислэгийн дээд өндөр H:
P.S.
1. Vo анхны хурдтай тэнцүү бол нислэгийн хүрээ:
- эхний шидэлтийн өнцгийг 0 o-аас 45 o хүртэл нэмэгдүүлбэл нэмэгдэнэ,
- Эхний шидэлтийн өнцгийг 45o-аас 90o хүртэл нэмэгдүүлбэл буурна.
2. Эхний шидэлтийн өнцгүүд тэнцүү байх үед нислэгийн хүрээ L нь анхны Vo хурд нэмэгдэх тусам нэмэгддэг. 
3. Тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөний онцгой тохиолдол хэвтээ байдлаар шидсэн биеийн хөдөлгөөн, эхний шидэлтийн өнцөг тэг байхад.
Чөлөөт уналт гэж юу вэ? Энэ бол агаарын эсэргүүцэл байхгүй үед биетүүд дэлхий рүү унах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, хоосон орон зайд унах. Мэдээжийн хэрэг, агаарын эсэргүүцэл байхгүй нь ердийн нөхцөлд дэлхий дээр олдохгүй вакуум юм. Тиймээс бид агаарын эсэргүүцлийн хүчийг үл тоомсорлож болохуйц маш бага гэж тооцож үзэхгүй.
Таталцлын хурдатгал
Галилео Галилей Пизагийн налуу цамхаг дээр алдартай туршилтаа хийж байхдаа бүх бие нь массаас үл хамааран дэлхий рүү ижилхэн унадаг болохыг олж мэдэв. Өөрөөр хэлбэл, бүх биеийн хувьд чөлөөт уналтын хурдатгал ижил байна. Домогт өгүүлснээр эрдэмтэн дараа нь цамхгаас янз бүрийн масстай бөмбөг шидсэн байна.
Таталцлын хурдатгал
Чөлөөт уналтын хурдатгал - бүх бие дэлхий рүү унах хурдатгал.
Чөлөөт уналтын хурдатгал нь ойролцоогоор 9.81 м с 2 бөгөөд g үсгээр тэмдэглэгдсэн байна. Заримдаа нарийвчлал нь үндсэндээ чухал биш үед таталцлын хурдатгал нь 10 м с 2 хүртэл дугуйрдаг.
Дэлхий бол төгс бөмбөрцөг биш бөгөөд дэлхийн гадаргуугийн өөр өөр цэгүүдэд далайн түвшнээс дээш координат, өндрөөс хамааран g-ийн утга харилцан адилгүй байдаг. Тиймээс чөлөөт уналтын хамгийн том хурдатгал нь туйлуудад (≈ 9, 83 м с 2), хамгийн бага нь экваторт (≈ 9, 78 м с 2) байна.
Чөлөөт уналтын бие
Чөлөөт уналтын энгийн жишээг авч үзье. Зарим биеийг h өндрөөс тэг анхны хурдтайгаар унагаацгаая. Бид төгөлдөр хуураа h өндөрт өргөж, тайван явууллаа гэж бодъё.
Чөлөөт уналт - тогтмол хурдатгалтай шулуун шугаман хөдөлгөөн. Биеийн анхны байрлалын цэгээс координатын тэнхлэгийг дэлхий рүү чиглүүлье. Шулуун шугаман жигд хурдасгасан хөдөлгөөний кинематикийн томъёог ашиглан та бичиж болно.
h = v 0 + g t 2 2 .
Эхний хурд нь тэг тул бид дахин бичнэ:
Эндээс биеийн h өндрөөс унах үеийн илэрхийлэл олддог.
V \u003d g t гэдгийг харгалзан бид унах үеийн биеийн хурдыг, өөрөөр хэлбэл хамгийн дээд хурдыг олдог.
v = 2 h g · g = 2 h g .
Үүний нэгэн адил бид босоо дээшээ шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг тодорхой анхны хурдтайгаар авч үзэж болно. Жишээлбэл, бид бөмбөгийг дээш шиддэг.
Биеийг шидэх цэгээс координатын тэнхлэгийг босоогоор дээш чиглүүлнэ. Энэ удаад бие нь жигд удаан хөдөлж, хурдаа алддаг. Хамгийн өндөр цэг дээр биеийн хурд тэг байна. Кинематик томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
v = 0-ийг орлуулснаар биеийн хамгийн их өндөрт гарах хугацааг олно.
Унах хугацаа нь босох хугацаатай давхцаж, бие нь t = 2 v 0 g-ийн дараа дэлхий рүү буцаж ирнэ.
Босоо тэнхлэгт шидсэн биеийн хамгийн их өндөр:
Доорх зургийг харцгаая. Энэ нь a = - g хурдатгалтай хөдөлгөөний гурван тохиолдлын биеийн хурдны графикийг харуулав. Энэ жишээнд бүх тоо бөөрөнхийлж, чөлөөт уналтын хурдатгалыг 10 м с 2-тэй тэнцүү гэж тодорхойлсны дараа тэдгээрийг тус бүрээр нь авч үзье.
Эхний график нь биеийн тодорхой өндрөөс анхны хурдгүйгээр уналт юм. Уналтын хугацаа t p = 1 сек. Томьёо болон графикаас харахад биеийн унасан өндөр нь h = 5 м-тэй тэнцүү болохыг олж авахад хялбар байдаг.
Хоёр дахь график нь v 0 = 10 м с-ийн анхны хурдтайгаар босоо дээш шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн юм. Өргөх хамгийн дээд өндөр h = 5 м. Өсөх хугацаа ба унах хугацаа t p = 1 сек.
Гурав дахь график нь эхнийхийнхээ үргэлжлэл юм. Унаж буй бие нь гадаргуугаас үсэрч, хурд нь эсрэгээрээ огцом өөрчлөгддөг. Биеийн цаашдын хөдөлгөөнийг хоёр дахь графикийн дагуу авч үзэж болно.
Биеийн чөлөөт уналтын асуудал нь тэнгэрийн хаяанд тодорхой өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөний асуудалтай нягт холбоотой юм. Тиймээс параболик траекторийн дагуух хөдөлгөөнийг босоо болон хэвтээ тэнхлэгүүдийн бие даасан хоёр хөдөлгөөний нийлбэрээр илэрхийлж болно.
O Y тэнхлэгийн дагуу бие нь g хурдатгалтай жигд хурдасч хөдөлдөг бөгөөд энэ хөдөлгөөний анхны хурд нь v 0 y байна. O X тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн жигд, шулуун, анхны хурд нь v 0 x байна.
O X тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөөн хийх нөхцөл:
x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0.
O Y тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөөн хийх нөхцөл:
y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α ; a y = - g .
Бид тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөний томьёог танилцуулж байна.
Биеийн нислэгийн хугацаа:
t = 2 v 0 sin α g .
Биеийн нислэгийн хүрээ:
L \u003d v 0 2 нүгэл 2 α г.
Нислэгийн хамгийн их хүрээг α = 45 ° өнцгөөр хангана.
L m a x = v 0 2 g .
Хамгийн их өргөх өндөр:
h \u003d v 0 2 нүгэл 2 α 2 г.
Бодит нөхцөлд тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн нь агаар, салхины эсэргүүцлээс шалтгаалан параболикээс ялгаатай траекторийг дагаж болно гэдгийг анхаарна уу. Сансарт шидэгдсэн биетүүдийн хөдөлгөөнийг судлах нь тусгай шинжлэх ухаан - баллистик юм.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Хэрэв биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидвэл нислэгийн явцад таталцал, агаарын эсэргүүцэл нөлөөлдөг. Хэрэв эсэргүүцлийн хүчийг үл тоомсорловол таталцлын хүч л үлдэнэ. Тиймээс Ньютоны 2-р хуулийн дагуу бие нь чөлөөт уналтын хурдатгалтай тэнцэх хурдатгалтай хөдөлдөг; координатын тэнхлэгүүд дээрх хурдатгалын проекцууд ax = 0, ay = - g.
Зураг 1. Тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидсэн биеийн кинематик шинж чанар
Материаллаг цэгийн аливаа нарийн төвөгтэй хөдөлгөөнийг координатын тэнхлэгийн дагуу бие даасан хөдөлгөөнийг ногдуулах хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд өөр өөр тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлгөөний төрөл өөр байж болно. Манай тохиолдолд нисдэг биеийн хөдөлгөөнийг хэвтээ тэнхлэгийн дагуух жигд хөдөлгөөн (X тэнхлэг) ба босоо тэнхлэгийн дагуу жигд хурдассан хөдөлгөөн (Y тэнхлэг) гэсэн хоёр бие даасан хөдөлгөөний суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлж болно (Зураг 1). .
Тиймээс биеийн хурдны төсөөлөл цаг хугацааны явцад дараах байдлаар өөрчлөгддөг.
Энд $v_0$ нь анхны хурд, $(\mathbf \alpha )$ нь шидэх өнцөг юм.
Бидний сонголтоор гарал үүслийн эхний координатууд (Зураг 1) $x_0=y_0=0$ байна. Дараа нь бид:
(1)
Томъёо (1)-д дүн шинжилгээ хийцгээе. Шидсэн биеийн хөдөлгөөний цагийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид y координатыг тэгтэй тэнцүү болгосон, учир нь буух үед биеийн өндөр нь тэг байна. Эндээс бид нислэгийн цагийг авна:
Өндөр нь тэгтэй тэнцүү байх хугацааны хоёр дахь утга нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь шидэх мөчтэй тохирч байна, i.e. энэ утга нь бас физик утгатай.
Нислэгийн хүрээг эхний томъёоноос (1) авна. Нислэгийн хүрээ нь нислэгийн төгсгөлд х-координатын утга, өөрөөр хэлбэл. $t_0$-тэй тэнцэх цаг мөчид. (2) утгыг эхний томъёонд (1) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Энэ томъёоноос харахад хамгийн их нислэгийн хүрээ нь 45 градусын шидэлтийн өнцгөөр хүрдэг.
Шидсэн биеийн хамгийн өндөр өргөх өндрийг хоёр дахь томъёоноос (1) авч болно. Үүнийг хийхийн тулд та энэ томьёонд нислэгийн цагийн хагастай тэнцэх хугацааны утгыг (2) орлуулах хэрэгтэй, учир нь Энэ нь траекторийн дунд цэг дээр нислэгийн өндөр хамгийн их байна. Тооцооллыг хийснээр бид олж авдаг
(1) тэгшитгэлээс биеийн траекторийн тэгшитгэлийг олж авч болно, өөрөөр хэлбэл. хөдөлгөөний үед биеийн х ба у координатыг холбосон тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд та эхний тэгшитгэлээс (1) цагийг илэрхийлэх хэрэгтэй:
ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Дараа нь бид:
Энэ тэгшитгэл нь траекторийн тэгшитгэл юм. Энэ нь квадрат гишүүний урд байрлах “-” тэмдгээр тэмдэглэгдсэнээр доош салбарласан параболын тэгшитгэл болохыг харж болно. Энд $\alpha $ шидэлтийн өнцөг ба түүний функцууд нь зөвхөн тогтмол байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. тогтмол тоонууд.
Биеийг тэнгэрийн хаяанд $(\mathbf \alpha )$ өнцгөөр v0 хурдтайгаар шидэв. Нислэгийн хугацаа $t = 2 s$. Биеийн Hmax ямар өндөрт гарах вэ?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
Биеийн хөдөлгөөний хууль нь:
$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(массив) \баруун.$ доллар
Анхны хурдны вектор нь OX тэнхлэгтэй $(\mathbf \alpha )$ өнцгийг үүсгэдэг. Үүний үр дүнд,
\ \ \
Уулын оройноос чулууг тэнгэрийн хаяанд = 30$()^\circ$ өнцгөөр $v_0 = 6 м/с$ анхны хурдтайгаар шидэв. Налуу хавтгайн өнцөг = 30$()^\circ$. Чулуу шидэх цэгээс ямар зайд унах вэ?
$$ \альфа =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Шидэх цэг дээр координатын эхийг байрлуулъя, OX - налуу хавтгайн дагуу доош, OY - налуу хавтгайд перпендикуляр дээш. Хөдөлгөөний кинематик шинж чанарууд:
Хөдөлгөөний хууль:
$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2) \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(массив) \баруун.$$ \
Үүссэн $t_B$ утгыг орлуулахад бид $S$-г олно:
Биеийг тэнгэрийн хаяанд α өнцгөөр хурдтайгаар шиднэ. Өмнөх тохиолдлуудын нэгэн адил бид агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлох болно. Хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд хоёр координатын тэнхлэгийг сонгох шаардлагатай - Ox ба Oy (Зураг 29).
Зураг.29
Гарал үүсэл нь биеийн анхны байрлалтай нийцдэг. Ой ба Үхрийн тэнхлэг дээрх анхны хурдны төсөөлөл: , . Хурдатгалын төсөөлөл: ,
Дараа нь биеийн хөдөлгөөнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.
(8)
(9)
Эдгээр томъёоноос харахад бие нь хэвтээ чиглэлд жигд хөдөлж, босоо чиглэлд жигд хурдасдаг.
Биеийн зам нь парабол болно. Параболын дээд хэсэгт биеийг параболын оройд гарахад шаардагдах хугацааг олж болно.
t 1-ийн утгыг (8) тэгшитгэлд орлуулснаар бид биеийн хамгийн их өндрийг олно.
Хамгийн их өргөх өндөр.
Бид t \u003d t 2 үед координат y 2 \u003d 0 байх нөхцөлөөс биеийн нислэгийн хугацааг олдог. Үүний үр дүнд, 
. Тиймээс, - биеийн нислэгийн цаг. Энэ томьёог (10) томъёотой харьцуулж үзвэл t 2 =2t 1 байна.
Биеийн хамгийн их өндрөөс хөдлөх хугацаа t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . Тиймээс, бие нь хамгийн их өндөрт хэр их цаг хугацаа гарч, энэ өндрөөс хэр их цаг хугацаа унадаг. t 2 хугацааны утгыг x координатын тэгшитгэлд (6) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.
- биеийн хүрээ.
Замын аль ч цэг дэх агшин зуурын хурдыг траектор руу тангенциалаар чиглүүлдэг (29-р зургийг үз), хурдны модулийг томъёогоор тодорхойлно.
Тиймээс, давхрага руу өнцгөөр эсвэл хэвтээ чиглэлд шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг бие даасан хоёр хөдөлгөөний үр дүн гэж үзэж болно - хэвтээ жигд ба босоо жигд хурдассан (анхны хурдгүйгээр чөлөөт уналт эсвэл босоо дээш шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн) ).
Кинематик асуудлын зорилго нь юу байж болохыг авч үзье.
1. Бид кинематик хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлтийг сонирхож магадгүй хөдөлгөөний үйл явц, өөрөөр хэлбэл координат, хурд, хурдатгал, түүнчлэн харгалзах өнцгийн утгын өөрчлөлтийн талаархи мэдээллийг авах.
2. Хэд хэдэн асуудалд, жишээлбэл, биеийг тэнгэрийн хаяанд чиглэсэн өнцгөөр хөдөлгөх асуудалд физик хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг судлах шаардлагатай. тодорхой мужууд: нислэгийн хүрээ, дээд тал нь өгсөх гэх мэт.
3. Бие хэд хэдэн хөдөлгөөнд нэгэн зэрэг оролцох (жишээлбэл, бөмбөг өнхрөх) эсвэл хэд хэдэн биеийн харьцангуй хөдөлгөөнийг авч үзэх тохиолдолд шилжилт, хурд, хурдатгал (шугаман ба өнцгийн) хоорондын хамаарлыг тогтоох шаардлагатай болно. өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг ол кинематик холболт.
Кинематикийн олон янзын асуудлуудыг үл харгалзан тэдгээрийг шийдвэрлэх дараах алгоритмыг санал болгож болно.
1. Биеийн анхны байрлал, тэдгээрийн анхны төлөвийг харуулсан бүдүүвч зураг зурах, i.e. болон .
2. Асуудлын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийсний үндсэн дээр лавлах хүрээг сонгох. Үүнийг хийхийн тулд координатын гарал үүсэл, координатын тэнхлэгийн чиглэл, цаг хугацааны лавлагааны эхлэлийн мөчийг харуулсан координатын системийг сонгох, түүнтэй координатын системийг холбох шаардлагатай. Эерэг чиглэлийг сонгохдоо тэдгээрийг хөдөлгөөний чиглэл (хурд) эсвэл хурдатгалын чиглэлд удирддаг.
3. Хөдөлгөөний хуулиудад үндэслэн бүх биеийн вектор хэлбэрээр, дараа нь скаляр хэлбэрээр эдгээр вектор хөдөлгөөний тэгшитгэлүүдийг координатын тэнхлэгүүд дээр проекцлох тэгшитгэлийн системийг зохио. Эдгээр тэгшитгэлийг бичихдээ тэдгээрт багтсан вектор хэмжигдэхүүний төсөөллийн "+" ба "-" тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
4. Хариултыг аналитик томъёо (ерөнхий нэр томъёо) хэлбэрээр авах ёстой бөгөөд төгсгөлд нь тоон тооцооллыг хийнэ.
Жишээ 4 54 км/цагийн хурдтай явж буй галт тэрэгний цонхны дэргэд сууж буй зорчигч түүний хажуугаар 36 км/цаг хурдтай, 250 м урттай өөдөөс ирж буй галт тэргийг хэр удаан харах вэ?
Шийдэл.Тогтсон жишиг хүрээг Дэлхийтэй, хөдөлж буй хүрээ - зорчигчийн байрлаж буй галт тэрэгтэй холбоно. Хурд нэмэх хуулийн дагуу ирж буй галт тэрэгний хурд эхнийхтэй харьцуулахад хаана байна. Үхрийн тэнхлэг дээрх төсөөлөлд:
Эхнийхтэй харьцуулахад ирж буй галт тэрэгний явсан зам нь галт тэрэгний урттай тэнцүү тул цаг хугацаа
Жишээ 5Уурын усан онгоц Нижний Новгородоос Астрахань хүртэл 5.0 хоног, буцаж 7.0 хоног явдаг. Нижний Новгородоос Астрахань хүртэл сал хэдэн цаг явах вэ? Зогсоол болон замын хөдөлгөөний саатлыг хассан.
Өгөгдсөн: t 1 \u003d 5 хоног, t 2 \u003d 7 хоног.
Шийдэл.Бид суурин хүрээг эрэгтэй, хөдөлж буй хүрээг устай холбоно. Бид усны хурдыг бүхэлд нь ижил, усан онгоцтой харьцуулахад уурын зуухны хурд нь тогтмол бөгөөд устай харьцуулахад уурын зуухны агшин зуурын хурдны модультай тэнцүү байна гэж бид таамаглаж байна.
Сал голын урсгалын хурдаар эрэг рүү харьцангуй хөдөлдөг тул түүний хөдөлгөөний цаг нь , s нь хот хоорондын зай юм. Уурын усан онгоц урсгалын дагуу хөдөлж байх үед хурдыг нэмэх хуулийн дагуу буюу Ox тэнхлэг дээрх төсөөллийн дагуу хурд нь:
эрэгтэй харьцуулахад хөлөг онгоцны хурд хаана байна, голын харьцангуй хурд.
Хөдөлгөөний цагийг мэдсэнээр та хурдыг олох боломжтой.
(1) ба (2) томъёоноос бид:
Уурын усан онгоц нь гүйдлийн эсрэг, эсвэл Үхрийн тэнхлэгт проекцоор хөдөлж байх үед усан онгоцны эрэгтэй харьцуулахад хурд хаана байна.
Нөгөө талаас, . Дараа нь
(3) ба (4) тэгшитгэлийн системийг -тэй холбоотойгоор шийдвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.
Салын хөдөлгөөний цагийг олъё:
Жишээ 6Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөнөөр бие нь эхний хоёр тэнцүү дараалсан хугацааны интервалыг 4.0 секундын турш дамжуулдаг зам тус бүр s 1 \u003d 24 м ба s 2 \u003d 64 м байна. Биеийн анхны хурд ба хурдатгалыг тодорхойлно.
Өгөгдсөн: t 1 \u003d t 2 \u003d 4.0 сек, s 1 \u003d 24 м, s 2 \u003d 64 м.
Шийдэл. s 1 ба (s 1 + s 2) -ын замын тэгшитгэлийг тус тус бичье. Энэ тохиолдолд анхны хурд нь ижил байх тул
t1=t2 учраас
(1)-ээс илэрхийлж, (2)-д орлуулснаар бид дараахийг авна.
Дараа нь анхны хурд 
Жишээ 7 5.0 м/с-ийн анхны хурдтай жигд хурдатгалтай шулуун зам дагуу хөдөлж буй машин эхний секундэд 6.0 м зайг туулсан. Машины хурдатгал, хоёр дахь секундын төгсгөл дэх агшин зуурын хурдыг ол. нүүлгэн шилжүүлэлт 2.0 сек.
Шийдэл.Биеийн эхний секундэд туулсан замыг мэдсэнээр та хурдатгалыг олж болно.
Хоёр дахь секундын төгсгөл дэх хурдыг томъёогоор олно
Жишээ 8 X) нь x \u003d A + Bt + Ct 3 хэлбэртэй, энд A \u003d 4 м, B \u003d 2м / с, C \u003d -0.5 м / с 3 байна.
Хугацааны t 1 =2 c агшинд: 1) цэгийн х 1 цэгийн координатыг тодорхойлно; 2) агшин зуурын хурд v1; 3) агшин зуурын хурдатгал a 1.
Өгөгдсөн: x \u003d A + Bt + Ct 3, A \u003d 4 м, B \u003d 2 м / с, C \u003d -0.5 м / с 3, t 1 \u003d 2 сек.
Олно: x 1; v1; a 1.
Шийдэл. 1. Хөдөлгөөний тэгшитгэлд t-ийн оронд t 1 цагийн өгөгдсөн утгыг орлуулна: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3. Бид энэ илэрхийлэлд A, B, C, t 1 утгуудыг орлуулж, тооцооллыг хийнэ: x 1 \u003d 4 м.
2. Шуурхай хурд: 
Дараа нь t 1 үед агшин зуурын хурд нь v 1 = B + 3Ct 1 2 байна. Энд B, C, t 1 утгуудыг орлуулъя: v 1 = - 4 м / с. Хасах тэмдэг нь t 1 =2 c үед тухайн цэг координатын тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд хөдөлж байгааг харуулж байна.
3. Шуурхай хурдатгал: 
t 1 үеийн агшин зуурын хурдатгал нь 1 = 6Сt 1 байна. C, t 1 утгыг орлуулна уу: a 1 \u003d -6 м / с 2. Хасах тэмдэг нь хурдатгалын векторын чиглэл нь координатын тэнхлэгийн сөрөг чиглэлтэй давхцаж байгааг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь энэ асуудлын нөхцөлд аль ч агшинд тохиолддог.
Жишээ 9Шулуун шугамын дагуух материаллаг цэгийн хөдөлгөөний кинематик тэгшитгэл (тэнхлэг X) нь x \u003d A + Bt + Ct 2 хэлбэртэй, энд A \u003d 5 м, B \u003d 4м / с, C \u003d -1м / с 2 байна. t 1 \u003d 1 c-ээс t 2 \u003d 6 c хүртэлх хугацааны дундаж хурдыг v xsr-ийг тодорхойлно.
Өгөгдсөн: x \u003d A + Bt + Ct 2, A \u003d 5м, B \u003d 4м / с, C \u003d - 1м / с 2, t 1 \u003d 1 c, t 2 \u003d 6 в.
Олно: v xsr -? болон xsr -?
Шийдэл. t 2 -t 1 хугацааны интервалын дундаж хурдыг v cf = (x 2 -x 1) / (t 2 - t 1) илэрхийллээр тодорхойлно.
x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8 м, x 2 \u003d A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7 м.
x 1 , x 2 , t 1 , t 2 утгуудыг орлуулж, тооцооллыг хий: v xsr = -3 м/с.
Жишээ 10Нисдэг тэрэгнээс h = 300 м өндөрт ачаа унасан. Хэдэн цагийн дараа ачаа газарт хүрэх вэ: a) нисдэг тэрэг хөдөлгөөнгүй; б) нисдэг тэрэг v 0 =5 м/с хурдтайгаар буух; 3) нисдэг тэрэг v 0 =5 м/с хурдтайгаар дээшилнэ. s(t), v(t) ба a(t) тэнхлэг дэх ачааны харгалзах хөдөлгөөнийг графикаар дүрсэл.
Шийдэл. a) Хөдөлгөөнгүй нисдэг тэрэгнээс гарсан ачаа чөлөөтэй унадаг, өөрөөр хэлбэл. чөлөөт уналтын хурдатгалтай жигд хөдөлж g. Харьцаанаас бид хөдөлгөөний цагийг олдог 
Зураг дээр объектын хөдөлгөөний графикийг 1 гэж тэмдэглэсэн болно.
б) Тогтмол v 0 \u003d 5 м / с хурдтайгаар бууж буй нисдэг тэрэгнээс гарсан ачааны хөдөлгөөн нь g тогтмол хурдатгалтай жигд хурдассан хөдөлгөөн бөгөөд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.
Тоон утгыг орлуулах нь 9.8t 2 +10t-600=0 тэгшитгэлийг өгнө.
Сөрөг үр дүн нь физик утгагүй тул хөдөлгөөний хугацаа t=7.57 сек байна.
Зураг дээр объектын хөдөлгөөний графикийг 2 гэж тэмдэглэсэн болно.
3) Тогтмол v 0 =5 м/с хурдтай хөөрч буй нисдэг тэрэгнээс гарсан ачааны хөдөлгөөн 2 үе шатаас бүрдэнэ. Эхний үе шатанд ачаалал нь хурдны эсрэг чиглэсэн тогтмол хурдатгалтай g жигд хөдөлж, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.
Замын дээд хэсэгт хурд нь тэг болно, тиймээс
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулснаар бид олж авна
Хоёр дахь шатанд - h 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1.28 \u003d 301.28 м-ийн өндрөөс чөлөөт уналт.
Учир нь
Зураг дээр объектын хөдөлгөөний графикийг 3 гэж тэмдэглэсэн болно.
Жишээ 11.Тогтмол 2 м/с хурдтай бууж буй бөмбөлөгөөс ачааг газартай харьцуулахад 18 м/с хурдтайгаар босоогоор дээш шиднэ. Ачаалал нь түүний өсөлтийн хамгийн өндөр цэгт хүрэх үед бөмбөг ба ачааны хоорондох зайг тодорхойлно. Хэдэн цагийн дараа жин бөмбөгний хажуугаар нисч, доошоо унах болно.
Өгөгдсөн: v 01 = 2 м/с, v 02 =18 м/с
Ол: s-? τ-?
Шийдэл. 0Y тэнхлэгийг босоогоор дээш чиглүүлье, гарал үүсэл нь ачаагаа шидэх үед бөмбөг байсан 0 цэгтэй тохирч байна.
Дараа нь ачаа ба бөмбөлгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл:
Ачааны хөдөлгөөний хурд v 2 =v 02 - gt хуулийн дагуу харилцан адилгүй байна.
Хамгийн өндөр цэгт Ачаа өргөхөд v 2 =0. Дараа нь энэ цэг хүртэл өргөх хугацаа В цэг дээрх ачааны координат
Энэ хугацаанд бөмбөлөг А цэг хүртэл буусан; түүний координат
А ба В цэгүүдийн хоорондох зай:
Цаг хугацааны интервал τ дараа, чулуу бөмбөгийг өнгөрч өнгөрөхөд биетүүдийн координатууд ижил байх болно: y 1C = y 2C;
Жишээ 12.Нислэгийн явцад баруун хойд салхи меридиан руу 30 о өнцгөөр 27 км/цаг хурдтай үлээж байвал онгоц хойд зүгт 300 км замыг 2 цагийн дотор нисэхийн тулд ямар хурдтай, ямар маршрутаар нисэх ёстой вэ?
Өгөгдсөн: t=7.2∙10 3 с; л=3∙10 5 м; α=30° ≈ 0.52 рад; v 2 ≈7.2 м/с.
Олно: v 2 -? φ-?
Шийдэл.Нисэх онгоцны хөдөлгөөнийг дэлхийтэй холбосон жишиг хүрээгээр авч үзье.
OX тэнхлэгийг зүүн тийш, OY тэнхлэгийг хойд зүгт зуръя. Дараа нь сонгосон хүрээн дэх агаарын хөлгийн хурд
хаана v= л/t(2)
Тэнхлэг дээрх проекц дахь тэгшитгэл (1).
OK: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;
OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, эсвэл v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)
Эдгээр тэгшитгэлийг гишүүнээр хуваавал tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),
эсвэл харгалзан үзэх (2)
tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ л/t);
φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ л/т) ≈0.078 рад.
(3) тэгшитгэлийн баруун ба зүүн хэсгийг квадрат болгож, үүссэн тэгшитгэлийг нэмбэл бид олно
v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,
хаанаас, эсвэл харгалзан (2)
Жишээ 13Босоо дээш шидэгдсэн бие t=3 секундын дараа газарт буцаж ирнэ. Биеийн өндөр ба түүний анхны хурдыг ол.
Шийдэл.Биеийн дээш чиглэсэн хөдөлгөөн нь хурдатгалтай адил удаан байдаг - gбөгөөд цаг хугацааны явцад тохиолддог т 1 ба доошоо чиглэсэн хөдөлгөөн нь g хурдатгалтай жигд хурдасч, тухайн хугацааны туршид тохиолддог. т 2. AB ба BA хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг.
v B =0 тул v 0 =gt 1 байна. Системийн эхний тэгшитгэлд v 0-г орлуулснаар бид . Хэрэв бид энэ илэрхийллийг системийн гурав дахь тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл өгсөх хугацаа нь буух хугацаа t 1 =t 2 =t/2=1.5с байна гэж дүгнэж болно. Буух үеийн анхны хурд ба хурд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 м/с байна.
биеийн өндөр
Жишээ 14Хөдөлгөөний сүүлийн секундэд чөлөөтэй унасан бие замын талыг туулсан. Түүнийг шидсэн өндөр, хөдөлгөх цагийг ол.
Шийдэл.Чөлөөт унасан биеийг цаг хугацаанд нь туулсан зайны хамаарал. Бүх замын хагасыг бүрдүүлдэг ВС хэсгийг 1 секундтэй тэнцэх хугацаанд туулсан тул АВ замын эхний хагасыг (t-1) секундээр туулсан. Тэгвэл BC сегмент дээрх хөдөлгөөнийг .
Системийг шийдвэрлэх
бид t 2 -4t+2=0 болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь t 1 \u003d 3.41 с ба t 2 \u003d 0.59 с байна. Хоёрдахь үндэс нь тохиромжгүй, учир нь асуудлын нөхцөл байдлаас шалтгаалан хөдөлгөөний хугацаа нэг секундээс хэтрэх ёстой. Тиймээс цогцос 3.41 секундын турш унасан бөгөөд энэ хугацаанд тэр замыг бүрхсэн байна 
Жишээ 15 25 м өндөр цамхгаас 15 м/с хурдтай чулууг хэвтээ байдлаар шидэж байна.
Ол: 1) чулуу хэр удаан хөдөлж байх вэ, 2) газарт ямар зайд унах, 3) газарт ямар хурдтай унах, 4) чулууны зам нь ямар өнцгөөр унах вэ? газар унах цэгийн давхрага. Агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлодог.
Өгөгдсөн: H=25 м, v o =15 м/с
Ол: t-? s x -? v-? φ-?
Шийдэл.Хэвтээ шидсэн чулууны хөдөлгөөнийг хэвтээ гэж хоёр хувааж болно s xба босоо s y:
t нь хөдөлгөөний цаг.
2) s x \u003d v o t \u003d 33.9 м;
3) v y \u003d gt \u003d 22.1 м / с;
4) sinφ= v y /v=0.827;
Жишээ 16 25 м өндөр цамхгаас v x =10 м/с хурдтай биеийг хэвтээ байдлаар шидэж байна.
Олно: 1) биеийн унах хугацаа t, 2) ямар зайд лцамхагийн ёроолоос унах болно, 3) уналтын төгсгөлд v хурд, 4) биеийн зам мөр нь буух цэг дээр газартай хийх өнцөг.
Шийдэл.Биеийн хөдөлгөөн нь нарийн төвөгтэй байдаг. Энэ нь хэвтээ чиглэлд жигд хөдөлгөөнд оролцож, босоо тэнхлэгийн дагуу g хурдатгалтай жигд хурдасдаг. Тиймээс AB хэсгийг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлно.
А цэгийн хувьд эдгээр тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Дараа нь л\u003d 10 2.26 \u003d 22.6 м, ба v y \u003d 9.8 2.26 \u003d 22.15 м / с.
Учир нь, тэгвэл
Дэлхийтэй хийсэн траекторийн өнцөг нь A цэг дээрх хурдны гурвалжин дахь φ өнцөгтэй тэнцүү бөгөөд тангенс нь 
, тиймээс φ=68.7° байна.
Жишээ 17.Хэвтээ v x \u003d 10 м / с хурдтай шидэгдсэн биеийн хувьд хөдөлгөөн эхэлснээс хойш t \u003d 2 секундын дараа дараахь зүйлийг олоорой: хэвийн, тангенциал ба бүрэн хурдатгал, түүнчлэн траекторийн муруйлтын радиус. энэ цэг.
Шийдэл.Босоо хурдны бүрэлдэхүүн v y =gt=9.8∙2=19.6 м/с
А цэг дэх хурд:
Векторууд нь хурдны гурвалжинг, векторууд нь хурдатгалын гурвалжин үүсгэдэг. Зургаас харахад эдгээр гурвалжин нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээрийн талууд нь пропорциональ байна гэсэн үг юм: .
Хэвийн хурдатгал, тиймээс траекторийн муруйлтын радиус
Жишээ 18.Бөмбөгийг хэвтээ чиглэлд 40 ° өнцгөөр 10 м/с хурдтайгаар шидэв.
Ол: 1) бөмбөг ямар өндөрт гарахыг; 2) бөмбөг шидсэн газраасаа ямар зайд газарт унах, 3) хэр удаан хөдөлгөөнтэй байх.
Өгөгдсөн: v o \u003d 10 м / с, α \u003d 40 орчим.
Олно уу: s y - ? s x -? т-?
Шийдэл. 1) Тэнгэрийн хаяанд α өнцгөөр v o хурдтайгаар шидсэн бие гарах s y max хамгийн их өндрийг олъё. Бидэнд (зураг харна уу):
v y \u003d v o sinα - gt; (нэг)
s y \u003d v o t∙sinα - gt 2/2. (2)
Дээд талд v y = 0 ба (1) -ээс бид v o ∙sin𝛼 = gt 1 , иймээс бөмбөгийг өргөх хугацаа t 1 =v o ∙sinα/g болно. (2) -д t 1-ийг орлуулснаар бид олж авна
s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2г) \u003d 2.1 м.
2) Тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидсэн биеийн s x max нислэгийн хүрээг ол.
Бидэнд: v x \u003d v о cosα , (3)
s x =v x t=v o t∙cosα. (дөрөв)
Бие хэвтээ хавтгай дээр t 2 =2t 1 =2v o sinα/g хугацаанд унах болно.
(4)-д t 2-г орлуулснаар s xmax = v o 2 sin2α/ болно. g= 10.0 м
3) t 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v эсвэл sinα / g \u003d 1.3 сек.
Жишээ 19.Биеийг тэнгэрийн хаяанд α=30° өнцгөөр v 0 =10 м/с 2 хурдтайгаар шидэв. Бие нь ямар өндөрт гарах вэ? Шидсэн газраасаа хэдэн зайд газар цохих вэ? Тэр хэр удаан хөдөлж байх вэ?
Шийдэл.Анхны хурдны хэвтээ ба босоо бүрэлдэхүүн хэсгүүд
OA хэсгийн хөдөлгөөнийг хоёр энгийн хөдөлгөөнд хувааж болно: хэвтээ чиглэлд жигд, босоо чиглэлд жигд удаашрах:
А цэг дээр
Дараа нь 
болон
Хэрэв бие нь хэд хэдэн хөдөлгөөнд нэгэн зэрэг оролцдог бол тэдгээр нь тус бүрт бие биенээсээ хамааралгүйгээр оролцдог тул AB хэсгийн хөдөлгөөний цагийг доошлох хөдөлгөөний цаг - t 2 -аар тодорхойлно. Дээш гарах хугацаа нь доошоо шилжих хугацаатай тэнцүү байна гэсэн үг
Нэг жигд хэвтээ хөдөлгөөнөөр бие нь замын ижил хэсгүүдийг ижил хугацааны интервалаар туулдаг тул
Нислэгийн хүрээ
биеийн өндөр
Жишээ 20.Уг цэг нь x=4(t-2) 2 хуулийн дагуу хавтгай дээр шулуун шулуунаар хөдөлдөг. Анхны хурд v 0 ба цэгийн хурдатгал хэд вэ а? Хөдөлгөөний тав дахь секундын эхэнд v t =5 цэгийн агшин зуурын хурдыг ол.
Шийдэл.
1) Учир нь v=x’, тэгвэл v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16т+16)’=8т-16
t=0 v 0 =-16 м/с үед.
2) Учир нь a= , тэгвэл a=(8t-16)’=8 м/с.
3) t=4 үед, учир нь 5 секунд эхлэхээс өмнө 4 секунд өнгөрчээ.
v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32 м / с.
Хариулт:Анхны цэгийн хурд v 0 =-16 м/с, хурдатгал a=8 м/с, хөдөлгөөний тав дахь секундын эхэнд цэгийн хурд v t =5 =32 м/с.
Жишээ 21.Материаллаг цэгийн хөдөлгөөнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно: a) s=αt 3 ; b) s=αt 2 +βt. Эхний болон эцсийн хурдны дундаж хурд болон арифметик дундажийг харьцуул v cf 0 - t хугацааны интервалд. Энд α ба β нь эерэг тогтмолууд юм.
Шийдэл.Дундаж болон агшин зуурын хурдны тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Хөдөлгөөний тэгшитгэлийг ялгах замаар агшин зуурын хурдны илэрхийлэлийг олж авна.
Дундаж хурдны илэрхийлэл нь муруйн координатын өөрчлөлтийн цаг хугацааны харьцаагаар олддог.
Бид арифметик дундаж хурдны илэрхийлэлийг олж авна.
Асуудлын нөхцөл байдлын асуултад хариулъя. Эндээс харахад "а" тохиолдолд дундаж болон арифметик дундаж хурдууд давхцахгүй, "b" тохиолдолд таарч байна.
Жишээ 22.Материаллаг цэг нь муруй шугамын дагуу жигд хөдөлдөг. Замын аль цэгт хурдатгал хамгийн их байх вэ?
Шийдэл.Муруй зам дагуу хөдөлж байх үед хурдатгал нь тангенциал ба хэвийн нийлбэр юм. Тангенциал хурдатгал нь хурдны утга (модуль) өөрчлөгдөх хурдыг тодорхойлдог. Хэрэв хурд өөрчлөгдөхгүй бол тангенциал хурдатгал тэг болно. Хэвийн хурдатгал нь траекторийн муруйлтын радиусаас хамаарна a n = v 2/Р. Муруйлтын хамгийн бага радиустай цэг дээр хурдатгал хамгийн их байна, i.e. C цэг дээр.
Жишээ 23.Материаллаг цэг нь хуулийн дагуу хөдөлдөг. 
1) Тогтмол хурдатгалтай хөдөлгөөний хуультай харьцуулан анхны координат, анхны хурд, хурдатгалыг тодорхойлно. Хурдны проекцын тэгшитгэлийг бичнэ үү.
Шийдэл.Тогтмол хурдатгалтай хөдөлгөөний хууль хэлбэртэй байна
Энэ тэгшитгэлийг асуудлын нөхцлийн тэгшитгэлтэй харьцуулснаар бид олж авна
x 0 = - 1 м,
v 0 x = 1 м/с,
а x \u003d - 0.25 м / с 2.
Асуулт гарч ирнэ: хасах тэмдэг нь юу гэсэн үг вэ? Векторын проекц хэзээ сөрөг байх вэ? Зөвхөн вектор нь координатын тэнхлэгийн эсрэг чиглэсэн байвал.
Зураг дээр анхны координат, хурд, хурдатгалын векторуудыг дүрсэлцгээе.
Бид хурдны тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
олж авсан өгөгдлийг түүнд орлуулах (анхны нөхцөл)
2) Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолтыг ашиглан хурд ба хурдатгалын цаг хугацааны хамаарлыг ол.
Шийдэл.Бид хурд ба хурдатгалын агшин зуурын утгуудын тодорхойлолтыг ашигладаг.
Ялгарах нь бид олж авдаг v x \u003d 1-0.25т, a x \u003d - 0.25 м / с 2.
Эндээс харахад хурдатгал нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй.
3) v x (t) ба a x (t) графикуудыг байгуул. Графикийн хэсэг бүр дэх хөдөлгөөнийг дүрсэл.
Шийдэл.Хурдны цаг хугацааны хамаарал нь шугаман, график нь шулуун шугам юм.
t \u003d 0 v x \u003d 1 м / с үед. t = 4 үед v x = 0 байна.
Графикаас харахад "а" хэсэгт хурдны төсөөлөл эерэг, түүний утга буурч, өөрөөр хэлбэл. цэг нь х тэнхлэгийн чиглэлд аажмаар хөдөлдөг. "b" хэсэгт хурдны төсөөлөл сөрөг, модуль нь нэмэгддэг. Цэг нь х тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд хурдатгалтайгаар хөдөлдөг. Тиймээс графикийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэг дээр эргэлт гарч, хөдөлгөөний чиглэл өөрчлөгдөнө.
4) Эргэлтийн цэгийн координат ба эргэх замыг тодорхойлно.
Шийдэл.Эргэлтийн үед хурд нь тэг байгааг бид дахин тэмдэглэж байна. Энэ төлөвийн хувьд хөдөлгөөний тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна т pov = 4 сек. (Энэ утгыг олж авахын тулд график байгуулж, дүн шинжилгээ хийх шаардлагагүй гэдгийг харж болно). Энэ утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулна уу: x pov \u003d -1 + 4-4 2/8 \u003d 1 м. Цэг хэрхэн хөдөлснийг дүрсэлцгээе.
Эргэлтийн зам нь зурагнаас харахад координатын өөрчлөлттэй тэнцүү байна: s эргэлт =x эргэлт -x 0 =1-(-1)=2 м.
5) Цаг хугацааны аль үед цэг нь эхийг дайран өнгөрөх вэ?
Шийдэл.Хөдөлгөөний тэгшитгэлд x = 0-ийг оруулах ёстой.Бид 0 \u003d -1 + t-t 2/8 эсвэл t 2 -8t + 8 \u003d 0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: 
. t 1 \u003d 1.17 сек, t 2 \u003d 6.83 сек. Үнэн хэрэгтээ цэг нь эх үүсвэрээр хоёр удаа дамждаг: "тэнд" болон "буцах" үед.
6) Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш 5 секундын дотор тухайн цэгийн туулсан зам, энэ үеийн хөдөлгөөн, мөн замын энэ хэсэгт газрын дундаж хурдыг ол.
Шийдэл.Юуны өмнө 5 секундын хөдөлгөөн хийсний дараа тухайн цэг болсон координатыг олоод зурган дээр тэмдэглэе.
x(5)=-1+5-5 2/8= 0.875 м.
Эргэлтийн дараа цэг нь ийм байдалд байгаа тул туулсан зам нь координатын өөрчлөлттэй (шилжилт) тэнцүү байхаа больсон боловч эргэлт хүрэх зам гэсэн хоёр гишүүнээс бүрдэнэ.
s 1 \u003d x pov - x 0 \u003d 1 - (-1) \u003d 2 м
мөн эргүүлсний дараа
s 2 \u003d x pov - x (5) \u003d 1 - 0.875 \u003d 0.125 м,
s \u003d s 1 + s 2 \u003d 2.125 м.
Цэгийн шилжилт нь
s x \u003d x (5) - x 0 \u003d 0,875 - (-1) \u003d 1,875 м
Газрын дундаж хурдыг томъёогоор тооцоолно
Энэ асуудалд хөдөлгөөний хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг болох тогтмол хурдатгалтай хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн болно. Гэсэн хэдий ч хөдөлгөөний мөн чанарыг шинжлэх ийм хандлага нь бүх нийтийн шинж чанартай байдаг.
Жишээ 24.Тогтмол хурдатгалтай нэг хэмжээст хөдөлгөөнд бөөмийн координат ба хурдны цаг хугацааны хамаарлыг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.
Бөөмийн координат ба хурдны хоорондын хамаарлыг тогтоо.
Шийдэл.Бид эдгээр тэгшитгэлээс t цагийг хассан. Үүнийг хийхийн тулд бид орлуулах аргыг ашигладаг. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид цагийг илэрхийлнэ эхний тэгшитгэлд орлуулна уу:
Хэрэв хөдөлгөөн гарал үүслээс эхэлбэл ( X 0 =0) амралтаас ( v 0 x =0), дараа нь үүссэн хамаарал хэлбэрийг авна
сургуулийн физикийн курсээс сайн мэддэг.
Жишээ 25.Материаллаг цэгийн хөдөлгөөнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно: , энд i ба j нь x ба у тэнхлэгийн орцууд, α ба β нь эерэг тогтмолууд юм. Цагийн анхны агшинд бөөмс x 0 =y 0 =0 цэг дээр байсан. Бөөмийн траекторийн тэгшитгэл y(x)-ийг ол.
Шийдэл.Хөдөлгөөний дүрслэлийн вектор аргыг ашиглан асуудлын нөхцөлийг томъёолсон болно. Координатын арга руу шилжье. Нэгж вектор дээрх коэффициентүүд нь хурдны векторын проекцууд, тухайлбал:
Нэгдүгээрт, нэгдүгээр ангиллын асуудлыг шийдэж x(t) ба y(t) хамаарлыг олж авна.
Жишээ 28.Өндөр цамхагаас hчулууг хурдтай шидэв v 0 нь тэнгэрийн хаяанд α өнцгөөр. Олно:
1) чулуу хэр удаан хөдлөх вэ;
2) ямар зайд газарт унах вэ;
3) газарт ямар хурдтайгаар унах вэ;
4) чулуу унах цэг дээр тэнгэрийн хаяатай ямар өнцөг β байх вэ;
5) энэ цэг дэх чулууны хэвийн ба тангенциал хурдатгал, түүнчлэн траекторийн муруйлтын радиус;
6) чулууны хамгийн өндөр өндөр.
Агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлодог.
Шийдэл.Энэ асуудлыг жишээ болгон ашигласнаар бид тухайн ангийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг хэрхэн ерөнхийд нь гаргаж болохыг харуулах болно.
1. Бодлого нь дэлхийн таталцлын талбар дахь материаллаг цэгийн (чулууны) хөдөлгөөнийг авч үздэг. Тиймээс энэ нь таталцлын хүчний тогтмол хурдатгалтай, босоо доош чиглэсэн хөдөлгөөн юм.
