व्युत्पन्न म्हणजे काय? अंदाजे गणनेमध्ये भिन्नता लागू करणे

व्युत्पन्न म्हणजे काय?

व्युत्पन्न सारणी.

व्युत्पन्न ही उच्च गणिताच्या मुख्य संकल्पनांपैकी एक आहे. या धड्यात आपण ही संकल्पना मांडणार आहोत. चला एकमेकांना जाणून घेऊया, काटेकोर गणिती सूत्रे आणि पुराव्यांशिवाय.

ही ओळख तुम्हाला याची अनुमती देईल:

डेरिव्हेटिव्ह्जसह साध्या कार्यांचे सार समजून घ्या;

ही सर्वात सोपी कार्ये यशस्वीरित्या सोडवा;

डेरिव्हेटिव्ह्जवरील अधिक गंभीर धड्यांसाठी तयार करा.

प्रथम - एक सुखद आश्चर्य.)

डेरिव्हेटिव्हची कठोर व्याख्या मर्यादांच्या सिद्धांतावर आधारित आहे आणि गोष्ट खूपच गुंतागुंतीची आहे. हे अस्वस्थ करणारे आहे. परंतु डेरिव्हेटिव्ह्जच्या व्यावहारिक अनुप्रयोगासाठी, नियम म्हणून, अशा विस्तृत आणि सखोल ज्ञानाची आवश्यकता नाही!

शाळा आणि विद्यापीठातील बहुतेक कार्ये यशस्वीरित्या पूर्ण करण्यासाठी, हे जाणून घेणे पुरेसे आहे फक्त काही अटी- कार्य समजून घेण्यासाठी, आणि फक्त काही नियम- ते सोडवण्यासाठी. इतकंच. यामुळे मला आनंद होतो.

चला ओळख करून घेऊया?)

अटी आणि पदनाम.

प्राथमिक गणितामध्ये अनेक भिन्न गणितीय क्रिया आहेत. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, घातांक, लॉगरिदम इ. तुम्ही या ऑपरेशन्समध्ये आणखी एक ऑपरेशन जोडल्यास, प्राथमिक गणित जास्त होईल. या नवीन ऑपरेशनला म्हणतात भिन्नताया ऑपरेशनची व्याख्या आणि अर्थ स्वतंत्र धड्यांमध्ये चर्चा केली जाईल.

येथे हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की भिन्नता ही फंक्शनवरील गणिती क्रिया आहे. आम्ही कोणतेही कार्य घेतो आणि विशिष्ट नियमांनुसार त्याचे रूपांतर करतो. परिणाम एक नवीन कार्य असेल. या नवीन फंक्शनला म्हणतात: व्युत्पन्न

भेद- फंक्शनवर क्रिया.

व्युत्पन्न- या क्रियेचा परिणाम.

जसे, उदाहरणार्थ, बेरीज- जोडण्याचा परिणाम. किंवा खाजगी- विभाजनाचा परिणाम.

अटी जाणून घेतल्यास, तुम्हाला किमान कार्ये समजू शकतात.) सूत्रे खालीलप्रमाणे आहेत: फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा; व्युत्पन्न घ्या; कार्य वेगळे करा; व्युत्पन्न गणना कराआणि असेच. हे सर्व आहे त्याच.अर्थात, आणखी क्लिष्ट कार्ये देखील आहेत, जिथे व्युत्पन्न (भेद) शोधणे ही समस्या सोडवण्याच्या केवळ एक पायरी असेल.

व्युत्पन्न फंक्शनच्या वरच्या उजव्या बाजूला डॅशद्वारे दर्शविला जातो. याप्रमाणे: y"किंवा f"(x)किंवा S"(t)आणि असेच.

वाचन igrek स्ट्रोक, ef स्ट्रोक वरून x, es स्ट्रोक te,बरं, तुला समजलं...)

प्राइम एखाद्या विशिष्ट फंक्शनचे व्युत्पन्न देखील सूचित करू शकते, उदाहरणार्थ: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"इ. बऱ्याचदा व्युत्पन्न डिफरेंशियल वापरून दर्शविले जातात, परंतु आम्ही या धड्यात अशा नोटेशनचा विचार करणार नाही.

आपण कार्ये समजून घ्यायला शिकलो आहोत असे मानू या. ते कसे सोडवायचे ते शिकणे बाकी आहे.) मी तुम्हाला पुन्हा एकदा आठवण करून देतो: व्युत्पन्न शोधणे म्हणजे ठराविक नियमांनुसार फंक्शनचे परिवर्तन.आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे यापैकी फारच कमी नियम आहेत.

फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी, तुम्हाला फक्त तीन गोष्टी माहित असणे आवश्यक आहे. तीन खांब ज्यावर सर्व भेद उभे आहेत. येथे ते तीन खांब आहेत:

1. डेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी (भिन्न सूत्रे).

3. जटिल कार्याचे व्युत्पन्न.

चला क्रमाने सुरुवात करूया. या धड्यात आपण डेरिव्हेटिव्ह्जचा तक्ता पाहू.

व्युत्पन्न सारणी.

जगात असंख्य कार्ये आहेत. या संचामध्ये अशी कार्ये आहेत जी व्यावहारिक वापरासाठी सर्वात महत्वाची आहेत. ही कार्ये निसर्गाच्या सर्व नियमांमध्ये आढळतात. या फंक्शन्समधून, जसे की विटा, तुम्ही इतर सर्व तयार करू शकता. फंक्शन्सच्या या वर्गाला म्हणतात प्राथमिक कार्ये.ही कार्ये शाळेत शिकली जातात - रेखीय, चतुर्भुज, हायपरबोला इ.

"स्क्रॅचपासून" फंक्शन्सचे भेदभाव, म्हणजे. डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या आणि मर्यादांच्या सिद्धांतावर आधारित, ही एक ऐवजी श्रम-केंद्रित गोष्ट आहे. आणि गणितज्ञ देखील लोक आहेत, होय, होय!) म्हणून त्यांनी त्यांचे (आणि आमचे) जीवन सोपे केले. त्यांनी आमच्यासमोर प्राथमिक कार्यांचे व्युत्पन्न मोजले. परिणाम म्हणजे डेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी, जिथे सर्व काही तयार आहे.)

हे आहे, सर्वात लोकप्रिय कार्यांसाठी ही प्लेट. डावीकडे प्राथमिक कार्य आहे, उजवीकडे त्याचे व्युत्पन्न आहे.

	कार्य y	फंक्शन y चे व्युत्पन्न y"
1	C (स्थिर मूल्य)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - कोणतीही संख्या)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	पाप x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - पाप x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	लॉग a x
	ln x ( a = e)

मी डेरिव्हेटिव्हच्या या सारणीतील फंक्शन्सच्या तिसऱ्या गटाकडे लक्ष देण्याची शिफारस करतो. पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न हे सर्वात सामान्य सूत्रांपैकी एक आहे, जर सर्वात सामान्य नसेल तर! तुम्हाला इशारा मिळतो का?) होय, डेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी मनापासून जाणून घेणे उचित आहे. तसे, हे दिसते तितके कठीण नाही. अधिक उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करा, टेबल स्वतःच लक्षात राहील!)

डेरिव्हेटिव्हचे सारणी मूल्य शोधणे, जसे आपण समजता, सर्वात कठीण काम नाही. म्हणून, बर्याचदा अशा कार्यांमध्ये अतिरिक्त चिप्स असतात. एकतर कार्याच्या शब्दात, किंवा मूळ कार्यामध्ये, जे टेबलमध्ये दिसत नाही ...

चला काही उदाहरणे पाहू:

1. फंक्शन y = x चे व्युत्पन्न शोधा 3

टेबलमध्ये असे कोणतेही कार्य नाही. परंतु सामान्य स्वरूपात (तिसरा गट) पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे. आमच्या बाबतीत n=3. म्हणून आम्ही n ऐवजी तीन बदलतो आणि काळजीपूर्वक निकाल लिहा:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

बस एवढेच.

उत्तर: y" = 3x 2

2. x = 0 या बिंदूवर y = sinx या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मूल्य शोधा.

या कार्याचा अर्थ असा आहे की आपण प्रथम साइनचे व्युत्पन्न शोधणे आवश्यक आहे आणि नंतर मूल्य बदलणे आवश्यक आहे x = 0या समान व्युत्पन्न मध्ये. अगदी त्याच क्रमाने!अन्यथा, असे घडते की ते लगेच मूळ फंक्शनमध्ये शून्याची जागा घेतात... आम्हाला मूळ फंक्शनचे मूल्य नाही तर मूल्य शोधण्यास सांगितले जाते. त्याचे व्युत्पन्न.व्युत्पन्न, मी तुम्हाला आठवण करून देतो, एक नवीन कार्य आहे.

टॅब्लेट वापरून आम्हाला साइन आणि संबंधित व्युत्पन्न सापडते:

y" = (sin x)" = cosx

आम्ही व्युत्पन्न मध्ये शून्य बदलतो:

y"(0) = cos 0 = 1

हे उत्तर असेल.

3. फंक्शन वेगळे करा:

काय, ते प्रेरणा देते?) डेरिव्हेटिव्ह्जच्या टेबलमध्ये असे कोणतेही कार्य नाही.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की फंक्शन वेगळे करणे म्हणजे या फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह शोधणे होय. तुम्ही प्राथमिक त्रिकोणमिती विसरल्यास, आमच्या फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधणे खूप त्रासदायक आहे. टेबल मदत करत नाही ...

पण जर आपण पाहिले की आपले कार्य आहे दुहेरी कोन कोसाइन, मग सर्वकाही लगेच चांगले होईल!

होय होय! लक्षात ठेवा की मूळ कार्य बदलणे भेद करण्यापूर्वीअगदी स्वीकार्य! आणि हे जीवन खूप सोपे बनवते. दुहेरी कोन कोसाइन सूत्र वापरणे:

त्या. आमचे अवघड कार्य यापेक्षा अधिक काही नाही y = cosx. आणि हे टेबल फंक्शन आहे. आम्हाला लगेच मिळते:

उत्तर: y" = - पाप x.

प्रगत पदवीधर आणि विद्यार्थ्यांसाठी उदाहरणः

4. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

डेरिव्हेटिव्ह टेबलमध्ये असे कोणतेही कार्य अर्थातच नाही. पण जर तुम्हाला प्राथमिक गणित, शक्तींसह ऑपरेशन्स आठवत असतील... तर हे कार्य सोपे करणे शक्य आहे. याप्रमाणे:

आणि x ते एक दशांश घात हे आधीच एक सारणी फंक्शन आहे! तिसरा गट, n=1/10. आम्ही सूत्रानुसार थेट लिहितो:

इतकंच. हे उत्तर असेल.

मला आशा आहे की भेदभावाच्या पहिल्या स्तंभासह सर्वकाही स्पष्ट आहे - डेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी. हे दोन उर्वरित व्हेल हाताळण्यासाठी राहते. पुढील पाठात आपण भिन्नतेचे नियम शिकू.

व्युत्पन्न म्हणजे काय?
डेरिव्हेटिव्ह फंक्शनची व्याख्या आणि अर्थ

एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या व्युत्पन्न आणि त्याच्या ऍप्लिकेशन्सवर माझ्या लेखकाच्या कोर्समध्ये या लेखाच्या अनपेक्षित स्थानामुळे अनेकांना आश्चर्य वाटेल. शेवटी, जसे शाळेपासून आहे: मानक पाठ्यपुस्तक सर्व प्रथम व्युत्पन्नाची व्याख्या, त्याचा भौमितिक, यांत्रिक अर्थ देते. पुढे, विद्यार्थ्यांना व्याख्येनुसार फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह सापडतात आणि खरेतर, तेव्हाच ते वेगळेपणाचे तंत्र वापरून परिपूर्ण करतात. व्युत्पन्न सारण्या.

परंतु माझ्या दृष्टिकोनातून, खालील दृष्टीकोन अधिक व्यावहारिक आहे: सर्व प्रथम, चांगले समजून घेणे उचित आहे फंक्शनची मर्यादा, आणि विशेषतः, अमर्याद प्रमाणात. वस्तुस्थिती अशी आहे डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या मर्यादा संकल्पनेवर आधारित आहे, ज्याचा शालेय अभ्यासक्रमात फारसा विचार केला जात नाही. म्हणूनच ज्ञानाच्या ग्रॅनाइटच्या तरुण ग्राहकांचा एक महत्त्वपूर्ण भाग व्युत्पन्नाचे सार समजत नाही. अशाप्रकारे, जर तुम्हाला डिफरेंशियल कॅल्क्युलसची थोडीशी समज असेल किंवा ज्ञानी मेंदूने बर्याच वर्षांपासून या सामानातून यशस्वीरित्या सुटका केली असेल, तर कृपया सुरुवात करा. कार्य मर्यादा. त्याच वेळी, त्यांचे समाधान मास्टर/लक्षात ठेवा.

त्याच व्यावहारिक अर्थाने ते प्रथम फायदेशीर आहे हे ठरवते डेरिव्हेटिव्ह शोधायला शिका, यासह जटिल कार्यांचे व्युत्पन्न. सिद्धांत हा सिद्धांत आहे, परंतु, जसे ते म्हणतात, आपल्याला नेहमी वेगळे करायचे आहे. या संदर्भात, सूचीबद्ध मूलभूत धड्यांद्वारे कार्य करणे चांगले आहे आणि कदाचित भिन्नता मास्टरत्यांच्या कृतींचे सार लक्षात न घेता.

मी लेख वाचल्यानंतर या पृष्ठावरील सामग्रीसह प्रारंभ करण्याची शिफारस करतो. डेरिव्हेटिव्ह्जसह सर्वात सोपी समस्या, जेथे, विशेषतः, फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेची समस्या विचारात घेतली जाते. पण तुम्ही वाट पाहू शकता. वस्तुस्थिती अशी आहे की व्युत्पन्नाच्या बऱ्याच अनुप्रयोगांना ते समजून घेणे आवश्यक नसते आणि हे आश्चर्यकारक नाही की सैद्धांतिक धडा खूप उशीरा दिसू लागला - जेव्हा मला स्पष्टीकरण देण्याची आवश्यकता होती वाढणारी/कमी होणारी मध्यांतरे आणि टोकाचा भाग शोधणेकार्ये शिवाय, तो बराच काळ या विषयावर होता. कार्ये आणि आलेख”, मी शेवटी ते आधी ठेवण्याचा निर्णय घेईपर्यंत.

म्हणून, प्रिय टीपॉट्स, भुकेल्या प्राण्यांप्रमाणे डेरिव्हेटिव्हचे सार आत्मसात करण्यासाठी घाई करू नका, कारण संपृक्तता चवहीन आणि अपूर्ण असेल.

फंक्शनची वाढ, कमी, कमाल, किमान संकल्पना

बऱ्याच पाठ्यपुस्तकांमध्ये काही व्यावहारिक समस्यांच्या मदतीने डेरिव्हेटिव्ह्जची संकल्पना मांडली जाते आणि मी एक मनोरंजक उदाहरण देखील समोर आणले. अशी कल्पना करा की आपण अशा शहरात प्रवास करणार आहोत जिथे वेगवेगळ्या मार्गांनी पोहोचता येते. वक्र वळणाचे मार्ग ताबडतोब टाकून देऊ आणि फक्त सरळ महामार्गांचा विचार करू. तथापि, सरळ रेषेचे दिशानिर्देश देखील भिन्न आहेत: आपण एका गुळगुळीत महामार्गाने शहरात जाऊ शकता. किंवा डोंगराळ महामार्गाच्या बाजूने - वर आणि खाली, वर आणि खाली. दुसरा रस्ता फक्त चढावर जातो आणि दुसरा सर्व वेळ उतारावर जातो. अतिउत्साही खडका आणि खडी चढण असलेल्या घाटातून मार्ग निवडतील.

परंतु तुमची प्राधान्ये काहीही असली तरी, क्षेत्र जाणून घेणे किंवा किमान त्याचा स्थलाकृतिक नकाशा असणे उचित आहे. अशी माहिती गहाळ झाल्यास काय? तथापि, आपण निवडू शकता, उदाहरणार्थ, एक गुळगुळीत मार्ग, परंतु परिणामी, आनंदी फिनसह स्की उतारावर अडखळणे. नेव्हिगेटर किंवा अगदी उपग्रह प्रतिमा विश्वसनीय डेटा प्रदान करेल हे तथ्य नाही. म्हणून, गणिताचा वापर करून मार्गाचे आराम औपचारिक करणे चांगले होईल.

चला काही रस्ता बघूया (बाजूचे दृश्य):

फक्त बाबतीत, मी तुम्हाला एक प्राथमिक वस्तुस्थितीची आठवण करून देतो: प्रवास घडतो डावीकडून उजवीकडे. साधेपणासाठी, आम्ही असे गृहीत धरतो की कार्य सततविचाराधीन क्षेत्रात.

या आलेखाची वैशिष्ट्ये काय आहेत?

अंतराने कार्य वाढते, म्हणजे, त्याचे प्रत्येक पुढील मूल्य अधिकमागील एक ढोबळपणे सांगायचे तर वेळापत्रक सुरू आहे खाली वर(आम्ही टेकडीवर चढतो). आणि इंटरव्हल वर फंक्शन कमी होते- प्रत्येक पुढील मूल्य कमीमागील, आणि आमचे वेळापत्रक चालू आहे वरुन खाली(आम्ही उतार खाली जातो).

चला विशेष मुद्द्यांकडे देखील लक्ष देऊया. ज्या ठिकाणी आपण पोहोचतो जास्तीत जास्त, ते आहे अस्तित्वातमार्गाचा असा विभाग जेथे मूल्य सर्वात मोठे (सर्वोच्च) असेल. त्याच वेळी ते साध्य होते किमान, आणि अस्तित्वातत्याचा शेजार ज्यामध्ये मूल्य सर्वात लहान (सर्वात कमी) आहे.

आम्ही वर्गात अधिक कठोर शब्दावली आणि व्याख्या पाहू. फंक्शनच्या टोकाबद्दल, परंतु आत्ता आपण आणखी एक महत्त्वाच्या वैशिष्ट्याचा अभ्यास करू: मध्यांतरांवर कार्य वाढते, परंतु ते वाढते वेगवेगळ्या वेगाने. आणि पहिली गोष्ट जी तुमचे लक्ष वेधून घेते ती म्हणजे इंटरव्हल दरम्यान आलेख वर चढतो जास्त मस्त, मध्यांतरापेक्षा . गणिती साधनांचा वापर करून रस्त्याची खडी मोजणे शक्य आहे का?

कार्याच्या बदलाचा दर

कल्पना अशी आहे: चला काही मूल्य घेऊया ("डेल्टा एक्स" वाचा), ज्याला आम्ही कॉल करू युक्तिवाद वाढ, आणि आपल्या मार्गावरील विविध बिंदूंवर "ते प्रयत्न करणे" सुरू करूया:

1) चला सर्वात डावीकडे बिंदू पाहू: अंतर पार करून, आपण उतार एका उंचीवर (हिरवी रेषा) चढतो. प्रमाण म्हणतात कार्य वाढ, आणि या प्रकरणात ही वाढ सकारात्मक आहे (अक्षासह मूल्यांमधील फरक शून्यापेक्षा जास्त आहे). चला एक गुणोत्तर तयार करू या जे आपल्या रस्त्याच्या खडीपणाचे मोजमाप असेल. अर्थात, ही एक अतिशय विशिष्ट संख्या आहे, आणि दोन्ही वाढ धनात्मक असल्याने.

लक्ष द्या! पदनाम आहेत एकचिन्ह, म्हणजे, आपण “X” वरून “डेल्टा” “फाडणे” करू शकत नाही आणि या अक्षरांचा स्वतंत्रपणे विचार करू शकत नाही. अर्थात, टिप्पणी फंक्शन वाढीच्या चिन्हाशी देखील संबंधित आहे.

चला परिणामी अपूर्णांकाचे स्वरूप अधिक अर्थपूर्णपणे एक्सप्लोर करूया. आपण सुरुवातीला 20 मीटर उंचीवर राहू या (डाव्या काळ्या बिंदूवर). मीटरचे अंतर (डावीकडील लाल रेषा) पार केल्यावर, आपण स्वतःला 60 मीटर उंचीवर सापडू. मग फंक्शनची वाढ होईल मीटर (ग्रीन लाइन) आणि: . अशा प्रकारे, प्रत्येक मीटरवररस्त्याचा हा भाग उंची वाढते सरासरी 4 मीटरने...तुमची गिर्यारोहण उपकरणे विसरलात? =) दुस-या शब्दात, बांधलेले नाते फंक्शनच्या बदलाचा सरासरी दर (या प्रकरणात, वाढ) दर्शवते.

नोंद : प्रश्नातील उदाहरणाची संख्यात्मक मूल्ये फक्त रेखांकनाच्या प्रमाणाशी संबंधित आहेत.

२) आता सर्वात उजव्या काळ्या बिंदूपासून समान अंतरावर जाऊ या. येथे वाढ अधिक हळूहळू आहे, म्हणून वाढ (किरमिजी रंगाची रेषा) तुलनेने लहान आहे आणि मागील केसच्या तुलनेत गुणोत्तर खूप माफक असेल. तुलनेने, मीटर आणि कार्य वाढ दरआहे . म्हणजेच, मार्गाच्या प्रत्येक मीटरसाठी येथे आहेत सरासरीअर्धा मीटर वाढ.

3) डोंगरावर थोडे साहस. ऑर्डिनेट अक्षावर स्थित वरच्या काळ्या बिंदूकडे पाहू. समजू की हे 50 मीटरचे चिन्ह आहे. आम्ही पुन्हा अंतरावर मात करतो, परिणामी आम्ही स्वतःला कमी शोधतो - 30 मीटरच्या पातळीवर. आंदोलन केले जात असल्याने वरुन खाली(अक्षाच्या "काउंटर" दिशेने), नंतर अंतिम फंक्शनची वाढ (उंची) ऋण असेल: मीटर (रेखाचित्रातील तपकिरी भाग). आणि या प्रकरणात आम्ही आधीच बोलत आहोत घट दरवैशिष्ट्ये: , म्हणजे, या विभागाच्या मार्गाच्या प्रत्येक मीटरसाठी, उंची कमी होते सरासरी 2 मीटरने. पाचव्या टप्प्यावर कपड्यांची काळजी घ्या.

आता आपण स्वतःला प्रश्न विचारूया: “मापन मानक” चे कोणते मूल्य वापरणे चांगले आहे? हे पूर्णपणे समजण्यासारखे आहे, 10 मीटर खूप खडबडीत आहे. चांगले डझन hummocks त्यांच्यावर सहज बसू शकतात. अडथळे काहीही असले तरी, खाली एक खोल दरी असू शकते आणि काही मीटर नंतर तिची दुसरी बाजू आणखी उंच उंच आहे. अशा प्रकारे, दहा-मीटरसह आम्हाला गुणोत्तराद्वारे मार्गाच्या अशा विभागांचे सुगम वर्णन मिळणार नाही.

वरील चर्चेतून पुढील निष्कर्ष निघतो. मूल्य जितके कमी, आम्ही रस्त्याच्या स्थलाकृतिचे अधिक अचूक वर्णन करू. शिवाय, खालील तथ्ये सत्य आहेत:

– कोणासाठीहीउचलण्याचे बिंदू तुम्ही एखादे मूल्य निवडू शकता (अगदी अगदी लहान असले तरीही) जे विशिष्ट वाढीच्या सीमेत बसते. याचा अर्थ असा की संबंधित उंची वाढ सकारात्मक असण्याची हमी दिली जाईल आणि असमानता या मध्यांतरांच्या प्रत्येक बिंदूवर कार्याची वाढ योग्यरित्या दर्शवेल.

- त्याचप्रमाणे, कोणत्याहीउतार बिंदूमध्ये एक मूल्य आहे जे या उतारावर पूर्णपणे फिट होईल. परिणामी, उंचीमधील संबंधित वाढ स्पष्टपणे नकारात्मक आहे, आणि असमानता दिलेल्या मध्यांतराच्या प्रत्येक बिंदूवर फंक्शनमधील घट योग्यरित्या दर्शवेल.

- फंक्शनच्या बदलाचा दर शून्य असतो तेव्हा विशेषतः मनोरंजक केस असते: . प्रथम, शून्य उंची वाढ () हे गुळगुळीत मार्गाचे लक्षण आहे. आणि दुसरे म्हणजे, इतर मनोरंजक परिस्थिती आहेत, ज्याची उदाहरणे आपण आकृतीमध्ये पहा. कल्पना करा की नशिबाने आपल्याला उंच उंच गरुड असलेल्या टेकडीच्या अगदी माथ्यावर किंवा क्रोकिंग बेडूकांसह दरीच्या तळाशी आणले आहे. आपण कोणत्याही दिशेने एक लहान पाऊल उचलल्यास, उंचीमधील बदल नगण्य असेल आणि आपण असे म्हणू शकतो की फंक्शनच्या बदलाचा दर प्रत्यक्षात शून्य आहे. पॉइंट्सवर नेमके हेच चित्र दिसले.

अशा प्रकारे, फंक्शनच्या बदलाचा दर अचूकपणे दर्शविण्याची एक अद्भुत संधी आमच्याकडे आली आहे. शेवटी, गणितीय विश्लेषणामुळे युक्तिवादाची वाढ शून्यावर निर्देशित करणे शक्य होते: , म्हणजे ते बनवणे अमर्याद.

परिणामी, आणखी एक तार्किक प्रश्न उद्भवतो: रस्ता आणि त्याचे वेळापत्रक शोधणे शक्य आहे का दुसरे कार्य, जे आम्हाला कळवूसर्व सपाट विभाग, आरोहण, उतरणे, शिखरे, दऱ्या, तसेच वाटेत प्रत्येक बिंदूवर वाढ/कमी होण्याचा दर?

व्युत्पन्न म्हणजे काय? व्युत्पन्न व्याख्या.
डेरिव्हेटिव्ह आणि डिफरेंशियलचा भौमितीय अर्थ

कृपया काळजीपूर्वक वाचा आणि खूप लवकर नाही - सामग्री सोपी आणि प्रत्येकासाठी प्रवेशयोग्य आहे! काही ठिकाणी काही अगदी स्पष्ट दिसत नसेल तर ठीक आहे, तुम्ही नंतर कधीही लेखावर परत येऊ शकता. मी अधिक सांगेन, सर्व मुद्दे पूर्णपणे समजून घेण्यासाठी सिद्धांताचा अनेक वेळा अभ्यास करणे उपयुक्त आहे (सल्ला विशेषतः "तांत्रिक" विद्यार्थ्यांसाठी संबंधित आहे, ज्यांच्यासाठी शैक्षणिक प्रक्रियेत उच्च गणित महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते).

साहजिकच, डेरिव्हेटिव्हच्या अगदी परिभाषेत एका बिंदूवर आम्ही ते बदलतो:

आम्ही कशासाठी आलो आहोत? आणि आम्ही या निष्कर्षावर आलो की कायद्यानुसार कार्यासाठी नुसार ठेवले आहे इतर कार्य, ज्यास म्हंटले जाते व्युत्पन्न कार्य(किंवा फक्त व्युत्पन्न).

व्युत्पन्न वैशिष्ट्ये बदलण्याचे प्रमाणकार्ये कसे? लेखाच्या सुरुवातीपासूनच कल्पना लाल धाग्यासारखी चालते. चला काही मुद्दे विचारात घेऊया व्याख्या डोमेनकार्ये दिलेल्या बिंदूवर फंक्शन भिन्न असू द्या. मग:

1) जर, बिंदूवर फंक्शन वाढते. आणि अर्थातच आहे मध्यांतर(अगदी अगदी लहान), ज्यामध्ये फंक्शन वाढते आणि त्याचा आलेख “खालून वरून वर” जातो.

२) जर, बिंदूवर फंक्शन कमी होते. आणि एक मध्यांतर आहे ज्यामध्ये एक बिंदू आहे ज्यावर फंक्शन कमी होते (आलेख "वरपासून खालपर्यंत" जातो).

3) जर, तर असीम जवळएका बिंदूजवळ फंक्शन त्याची गती स्थिर ठेवते. हे लक्षात घेतल्याप्रमाणे, स्थिर कार्यासह घडते आणि फंक्शनच्या महत्त्वपूर्ण बिंदूंवर, विशेषतः किमान आणि कमाल बिंदूंवर.

थोडा शब्दार्थ. “भिन्न” या क्रियापदाचा व्यापक अर्थाने काय अर्थ होतो? वेगळे करणे म्हणजे वैशिष्ट्य हायलाइट करणे. फंक्शन वेगळे करून, आम्ही फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्हच्या रूपात त्याच्या बदलाचा दर "पृथक" करतो. तसे, "व्युत्पन्न" या शब्दाचा अर्थ काय आहे? कार्य घडलेकार्य पासून.

व्युत्पन्नाच्या यांत्रिक अर्थाने संज्ञांचा अतिशय यशस्वीपणे अर्थ लावला जातो :
वेळेनुसार शरीराच्या निर्देशांकातील बदलाचा नियम आणि दिलेल्या शरीराच्या हालचालींच्या गतीचे कार्य विचारात घेऊ या. फंक्शन बॉडी कोऑर्डिनेट्सच्या बदलाचा दर दर्शविते, म्हणून ते वेळेच्या संदर्भात फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न आहे: . जर "शरीराची हालचाल" ही संकल्पना निसर्गात अस्तित्वात नसती, तर नाही व्युत्पन्न"शरीर गती" ची संकल्पना.

शरीराचा प्रवेग हा वेग बदलण्याचा दर आहे, म्हणून: . जर "बॉडी मोशन" आणि "बॉडी स्पीड" या प्रारंभिक संकल्पना निसर्गात अस्तित्त्वात नसतील तर अस्तित्वात नसतील व्युत्पन्न"शरीर प्रवेग" ची संकल्पना.

लेखाची सामग्री

व्युत्पन्न- फंक्शनचे व्युत्पन्न y = f(x), ठराविक अंतराने दिले ( a, b) बिंदूवर xया मध्यांतराला फंक्शनच्या वाढीचे गुणोत्तर ज्या मर्यादेकडे झुकते असे म्हणतात fया टप्प्यावर युक्तिवादाच्या संबंधित वाढीशी जेव्हा युक्तिवादाची वाढ शून्य होते.

व्युत्पन्न सहसा खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते:

इतर पदनाम देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात:

झटपट गती.

मुद्दा द्या एमसरळ रेषेत हलते. अंतर sमूव्हिंग पॉइंट, काही प्रारंभिक स्थितीवरून मोजले जाते एम 0 , वेळेवर अवलंबून आहे ट, म्हणजे sवेळेचे कार्य आहे ट: s= f(ट). कधीतरी येऊ द्या टगतिमान बिंदू एमअंतरावर होते sसुरुवातीच्या स्थितीपासून एम 0, आणि पुढच्या काही क्षणी ट+डी टस्वतःला एका स्थितीत सापडले एम 1 - अंतरावर s+डी sप्रारंभिक स्थितीपासून ( चित्र पहा.).

अशा प्रकारे, कालांतराने डी टअंतर sडी रक्कमेने बदलले s. या प्रकरणात ते म्हणतात की मध्यांतर दरम्यान डी टविशालता sडी वेतनवाढ मिळाली s.

सरासरी वेग सर्व प्रकरणांमध्ये बिंदूच्या हालचालीचा वेग अचूकपणे दर्शवू शकत नाही एमवेळेच्या एका टप्प्यावर ट. जर, उदाहरणार्थ, मध्यांतराच्या सुरूवातीस शरीर डी टखूप त्वरीत हलविले, आणि शेवटी अगदी हळू, नंतर सरासरी वेग बिंदूच्या हालचालीची सूचित वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करण्यास सक्षम होणार नाही आणि या क्षणी त्याच्या हालचालीच्या वास्तविक गतीची कल्पना देऊ शकणार नाही. ट. सरासरी वेग वापरून खरा वेग अधिक अचूकपणे व्यक्त करण्यासाठी, तुम्हाला कमी कालावधी घ्यावा लागेल D ट. या क्षणी बिंदूच्या हालचालीची गती सर्वात पूर्णपणे दर्शवते टज्या मर्यादेपर्यंत सरासरी वेग D वर असतो ट® 0. या मर्यादेला वर्तमान गती म्हणतात:

अशाप्रकारे, दिलेल्या क्षणी हालचालीच्या गतीला पथ वाढीव गुणोत्तर D ची मर्यादा म्हणतात sवेळेत वाढ करण्यासाठी डी ट, जेव्हा वेळेची वाढ शून्य होते. कारण

व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका.

स्पर्शरेषा बांधणे ही अशा समस्यांपैकी एक आहे ज्यामुळे विभेदक कॅल्क्युलसचा जन्म झाला. लिबनिझने लिहिलेल्या डिफरेंशियल कॅल्क्युलसशी संबंधित पहिल्या प्रकाशित कामाचे शीर्षक होते मॅक्सिमा आणि मिनिमाची एक नवीन पद्धत, तसेच स्पर्शरेषा, ज्यासाठी अपूर्णांक किंवा अपरिमेय प्रमाण दोन्ही अडथळा नाहीत आणि यासाठी एक विशेष प्रकारचा कॅल्क्युलस.

वक्र हा फंक्शनचा आलेख असू द्या y =f(x) आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये ( सेमी. तांदूळ.)

काही मूल्याने xकार्य महत्त्वाचे y =f(x). ही मूल्ये xआणि yवक्र वर बिंदू अनुरूप एम 0(x, y). वाद तर xदेणे वाढ D x, नंतर युक्तिवादाचे नवीन मूल्य x+डी xनवीन फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे y+डी y = f(x + डी x). वळणाचा संबंधित बिंदू हा बिंदू असेल एम 1(x+डी x,y+डी y). आपण एक secant काढल्यास एम 0एम 1 आणि j ने दर्शविले आहे अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह ट्रान्सव्हर्सलद्वारे तयार केलेला कोन बैल, हे आकृतीवरून लगेच स्पष्ट होते की .

जर आता डी xशून्याकडे झुकते, नंतर बिंदू एम 1 वक्र बाजूने हलते, बिंदू जवळ येत आहे एम 0, आणि कोन j डी सह बदल x. येथे डीएक्स® 0 कोन j एका विशिष्ट मर्यादेकडे झुकतो आणि बिंदूमधून जाणारी सरळ रेषा एम 0 आणि x-अक्षाची सकारात्मक दिशा असलेला घटक, कोन a, इच्छित स्पर्शिका असेल. त्याचा उतार आहे:

त्यामुळे, f´( x) = tga

त्या व्युत्पन्न मूल्य f´( x) दिलेल्या वितर्क मूल्यासाठी xफंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेने तयार केलेल्या कोनाच्या स्पर्शिकेशी बरोबरी करतो f(x) संबंधित बिंदूवर एम 0(x,y) सकारात्मक अक्ष दिशेसह बैल.

फंक्शन्सची भिन्नता.

व्याख्या. फंक्शन असल्यास y = f(x) बिंदूवर एक व्युत्पन्न आहे x = x 0, नंतर फंक्शन या टप्प्यावर भिन्न आहे.

व्युत्पन्न असलेल्या फंक्शनची सातत्य. प्रमेय.

फंक्शन असल्यास y = f(x) काही क्षणी भिन्न आहे x = x 0, नंतर ते या बिंदूवर सतत आहे.

अशाप्रकारे, फंक्शनमध्ये विघटन बिंदूंवर व्युत्पन्न असू शकत नाही. उलट निष्कर्ष चुकीचा आहे, म्हणजे. या वस्तुस्थितीवरून की कधीतरी x = x 0 कार्य y = f(x) सतत आहे याचा अर्थ असा नाही की तो या टप्प्यावर भिन्न आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शन y = |x| प्रत्येकासाठी सतत x(–Ґ x x = 0 ला कोणतेही व्युत्पन्न नाही. या टप्प्यावर आलेखाला स्पर्शिका नाही. उजवी स्पर्शिका आणि डावी स्पर्शिका आहे, परंतु ते एकरूप होत नाहीत.

भिन्न कार्यांवरील काही प्रमेये. डेरिव्हेटिव्हच्या मुळांवर प्रमेय (रोलेचे प्रमेय).फंक्शन असल्यास f(x) विभागावर सतत आहे [a,b], या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर आणि टोकांवर भिन्नता आहे x = aआणि x = bशून्यावर जातो ( f(a) = f(b) = 0), नंतर विभागाच्या आत [ a,b] किमान एक मुद्दा आहे x= सह, a c b, ज्यामध्ये व्युत्पन्न fў( x) शून्यावर जातो, म्हणजे fў( c) = 0.

मर्यादित वाढ प्रमेय (लॅग्रेंजचे प्रमेय).फंक्शन असल्यास f(x) मध्यांतरावर सतत आहे [ a, b] आणि या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर भिन्नता आहे, नंतर विभागाच्या आत [ a, b] किमान एक मुद्दा आहे सह, a c b ते

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

दोन फंक्शन्सच्या वाढीच्या गुणोत्तरावरील प्रमेय (कॉचीचे प्रमेय).तर f(x) आणि g(x) - विभागावर दोन कार्ये सतत [a, b] आणि या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर भिन्नता, आणि gў( x) या विभागाच्या आत कुठेही नाहीसे होत नाही, नंतर विभागाच्या आत [ a, b] असा मुद्दा आहे x = सह, a c b ते

विविध ऑर्डरचे व्युत्पन्न.

कार्य करू द्या y =f(x) काही अंतराने फरक करता येतो [ a, b]. व्युत्पन्न मूल्ये f ў( x), साधारणपणे बोलणे, अवलंबून असते x, म्हणजे व्युत्पन्न f ў( x) चे कार्य देखील आहे x. हे फंक्शन वेगळे करताना, आम्ही फंक्शनचे तथाकथित दुसरे व्युत्पन्न प्राप्त करतो f(x), जे दर्शविले जाते f ўў ( x).

व्युत्पन्न n-कार्याचा क्रम f(x) ला व्युत्पन्नाचा (प्रथम क्रम) व्युत्पन्न म्हणतात n- 1- th आणि चिन्हाने दर्शविले जाते y(n) = (y(n- 1))ў.

विविध ऑर्डर्सची भिन्नता.

कार्य भिन्नता y = f(x), कुठे x- स्वतंत्र व्हेरिएबल, होय dy = f ў( x)dx, पासून काही कार्य x, पण पासून xफक्त पहिला घटक अवलंबून असू शकतो f ў( x), दुसरा घटक ( dx) ही स्वतंत्र व्हेरिएबलची वाढ आहे xआणि या व्हेरिएबलच्या मूल्यावर अवलंबून नाही. कारण dyपासून एक कार्य आहे x, नंतर आपण या फंक्शनचा फरक ठरवू शकतो. फंक्शनच्या डिफरेंशियलच्या डिफरेंशियलला या फंक्शनचा सेकंड डिफरेंशियल किंवा सेकंड-ऑर्डर डिफरेंशियल म्हणतात आणि तो दर्शविला जातो d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

विभेदक n-पहिल्या क्रमाला विभेदक पहिल्या विभेदक म्हणतात n- 1- वा ऑर्डर:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

आंशिक व्युत्पन्न.

जर फंक्शन एकावर नाही तर अनेक वितर्कांवर अवलंबून असेल x i(i 1 ते बदलते n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), नंतर विभेदक कॅल्क्युलसमध्ये आंशिक डेरिव्हेटिव्हची संकल्पना सादर केली जाते, जी अनेक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनच्या बदलाचा दर दर्शवते जेव्हा फक्त एक युक्तिवाद बदलतो, उदाहरणार्थ, x i. संदर्भात 1ली ऑर्डर आंशिक व्युत्पन्न x iएक सामान्य व्युत्पन्न म्हणून परिभाषित केले आहे, आणि असे गृहीत धरले जाते की वगळता सर्व युक्तिवाद x i, स्थिर मूल्ये ठेवा. आंशिक डेरिव्हेटिव्हसाठी, नोटेशन सादर केले आहे

अशा प्रकारे परिभाषित केलेल्या 1ल्या ऑर्डरच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्जमध्ये (समान वितर्कांची फंक्शन्स म्हणून) आंशिक डेरिव्हेटिव्ह देखील असू शकतात, ही दुसरी ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह इ. वेगवेगळ्या युक्तिवादांमधून घेतलेल्या अशा व्युत्पन्नांना मिश्र म्हणतात. समान क्रमाचे सतत मिश्रित व्युत्पन्न भिन्नतेच्या क्रमावर अवलंबून नसतात आणि एकमेकांच्या समान असतात.

अण्णा चुगेनोवा

महत्त्वाच्या नोट्स!
1. तुम्हाला फॉर्म्युलाऐवजी गॉब्लेडीगूक दिसल्यास, तुमची कॅशे साफ करा. तुमच्या ब्राउझरमध्ये हे कसे करायचे ते येथे लिहिले आहे:
2. आपण लेख वाचण्यास प्रारंभ करण्यापूर्वी, सर्वात उपयुक्त संसाधनांसाठी आमच्या नेव्हिगेटरकडे लक्ष द्या

एका डोंगराळ भागातून जाणाऱ्या सरळ रस्त्याची कल्पना करूया. म्हणजेच, ते वर आणि खाली जाते, परंतु उजवीकडे किंवा डावीकडे वळत नाही. जर अक्ष रस्त्याच्या कडेने क्षैतिज दिशेने आणि अनुलंब निर्देशित केला असेल, तर रस्ता रेषा काही सतत कार्याच्या आलेखासारखी असेल:

अक्ष ही शून्य उंचीची एक विशिष्ट पातळी आहे; जीवनात आपण समुद्र पातळीचा वापर करतो.

अशा रस्त्याने पुढे जाताना आपण वर किंवा खालीही जातो. आम्ही असेही म्हणू शकतो: जेव्हा युक्तिवाद बदलतो (ॲब्सिसा अक्षाच्या बाजूने हालचाल), फंक्शनचे मूल्य बदलते (ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूने हालचाल). आता आपण विचार करूया की आपल्या रस्त्याची “खळी” कशी ठरवायची? हे कोणत्या प्रकारचे मूल्य असू शकते? हे अगदी सोपे आहे: विशिष्ट अंतर पुढे गेल्यावर उंची किती बदलेल. खरंच, रस्त्याच्या वेगवेगळ्या भागांवर, (x-अक्षाच्या बाजूने) एक किलोमीटर पुढे जात असताना, आपण समुद्रसपाटीच्या तुलनेत (y-अक्षाच्या बाजूने) भिन्न मीटरने वाढू किंवा कमी करू.

चला प्रगती दर्शवू (“डेल्टा x” वाचा).

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) सामान्यतः गणितामध्ये "बदल" असा उपसर्ग म्हणून वापरला जातो. म्हणजे - हे प्रमाणातील बदल आहे, - एक बदल आहे; मग ते काय आहे? ते बरोबर आहे, परिमाणात बदल.

महत्त्वाचे: अभिव्यक्ती एक संपूर्ण, एक चल असते. “डेल्टा” ला “x” किंवा इतर कोणत्याही अक्षरापासून कधीही वेगळे करू नका! म्हणजेच, उदाहरणार्थ, .

तर, आम्ही पुढे, क्षैतिजरित्या, पुढे सरकलो आहोत. जर आपण रस्त्याच्या रेषेची तुलना फंक्शनच्या आलेखाशी केली, तर आपण उदय कसा दर्शवू? नक्कीच, . म्हणजेच जसजसे आपण पुढे जातो तसतसे आपण उंच वर जातो.

मूल्याची गणना करणे सोपे आहे: जर सुरुवातीला आपण उंचीवर होतो आणि पुढे गेल्यावर आपल्याला उंचीवर आढळले तर. जर शेवटचा बिंदू सुरुवातीच्या बिंदूपेक्षा कमी असेल तर तो नकारात्मक असेल - याचा अर्थ आपण चढत नाही तर उतरत आहोत.

चला "स्टीपनेस" कडे परत जाऊया: हे एक मूल्य आहे जे अंतराचे एक युनिट पुढे जाताना उंची किती (उंचतेने) वाढते हे दर्शवते:

आपण असे गृहीत धरू की रस्त्याच्या काही भागावर, एक किलोमीटरने पुढे गेल्यावर, रस्ता एक किलोमीटरने वर येतो. मग या ठिकाणी उतार समान आहे. आणि रस्ता, मी पुढे जात असताना, किमीने घसरला तर? मग उतार समान आहे.

आता एका टेकडीच्या माथ्यावर पाहू. तुम्ही शिखराच्या अर्धा किलोमीटर आधी विभागाची सुरुवात आणि त्यानंतर अर्धा किलोमीटरचा शेवट घेतल्यास, तुम्ही पाहू शकता की उंची जवळपास सारखीच आहे.

म्हणजेच, आमच्या तर्कानुसार, असे दिसून आले की येथे उतार जवळजवळ शून्याच्या समान आहे, जे स्पष्टपणे सत्य नाही. फक्त किलोमीटर अंतरावर बरेच काही बदलू शकते. स्टेपनेसचे अधिक पुरेसे आणि अचूक मूल्यांकन करण्यासाठी लहान क्षेत्रांचा विचार करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, आपण एक मीटर हलवताना उंचीमधील बदल मोजल्यास, परिणाम अधिक अचूक असेल. परंतु ही अचूकता देखील आपल्यासाठी पुरेशी नसू शकते - शेवटी, जर रस्त्याच्या मधोमध एक खांब असेल तर आपण ते सहजपणे पार करू शकतो. मग आपण कोणते अंतर निवडावे? सेंटीमीटर? मिलिमीटर? कमी चांगले आहे!

वास्तविक जीवनात, जवळच्या मिलिमीटरपर्यंतचे अंतर मोजणे पुरेसे आहे. पण गणितज्ञ नेहमी परिपूर्णतेसाठी प्रयत्नशील असतात. त्यामुळे या संकल्पनेचा शोध लागला अमर्याद, म्हणजे, निरपेक्ष मूल्य हे आपण नाव देऊ शकत असलेल्या कोणत्याही संख्येपेक्षा कमी आहे. उदाहरणार्थ, तुम्ही म्हणता: एक ट्रिलियनवा! किती कमी? आणि तुम्ही या संख्येला - ने विभाजित करा आणि ते आणखी कमी होईल. वगैरे. जर आपल्याला असे लिहायचे असेल की एक परिमाण अमर्याद आहे, तर आपण असे लिहू: (आम्ही वाचतो “x शून्याकडे झुकतो”). समजून घेणं खूप गरजेचं आहे की ही संख्या शून्य नाही!पण त्याच्या अगदी जवळ. याचा अर्थ असा आहे की आपण त्यास विभाजित करू शकता.

infinitesimal च्या विरुद्ध असलेली संकल्पना infinitesimal is infinitely large (). तुम्ही असमानतेवर काम करत असताना तुम्हाला कदाचित हे आधीच कळले असेल: ही संख्या तुम्ही विचार करू शकत असलेल्या कोणत्याही संख्येपेक्षा जास्त आहे. जर तुम्ही सर्वात मोठी संख्या घेऊन आलात, तर फक्त दोनने गुणाकार करा आणि तुम्हाला आणखी मोठी संख्या मिळेल. आणि जे घडते त्याहूनही अनंत आहे. किंबहुना, अमर्याद मोठे आणि अमर्याद लहान हे एकमेकांचे व्युत्क्रम आहेत, म्हणजे at, आणि उलट: at.

आता आपण आपल्या रस्त्यावर परत जाऊया. आदर्शपणे गणना केलेला उतार हा मार्गाच्या अमर्याद विभागासाठी मोजला जाणारा उतार आहे, म्हणजे:

मी लक्षात घेतो की असीम विस्थापनासह, उंचीमधील बदल देखील अपरिमित असेल. पण मी तुम्हाला आठवण करून देतो की अनंताचा अर्थ शून्याच्या बरोबरीचा नाही. जर तुम्ही अनंत संख्यांना एकमेकांद्वारे विभाजित केले तर तुम्हाला पूर्णपणे सामान्य संख्या मिळू शकते, उदाहरणार्थ, . म्हणजेच, एक लहान मूल्य दुसऱ्यापेक्षा कितीतरी पटीने मोठे असू शकते.

हे सर्व कशासाठी? रस्ता, खडी... आम्ही कार रॅलीला जात नाही, तर आम्ही गणित शिकवत आहोत. आणि गणितात सर्व काही अगदी सारखेच असते, फक्त वेगळे म्हटले जाते.

व्युत्पन्न संकल्पना

फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे वितर्काच्या अमर्याद वाढीसाठी फंक्शनच्या वाढीशी वितर्क वाढण्याचे गुणोत्तर.

वाढत्या प्रमाणातगणितात ते बदल म्हणतात. आर्ग्युमेंट () अक्षाच्या बाजूने फिरताना ज्या प्रमाणात बदलते त्याला म्हणतात युक्तिवाद वाढआणि नियुक्त केले आहे. अक्षाच्या बाजूने अंतराने पुढे जाताना फंक्शन (उंची) किती बदलली आहे याला म्हणतात कार्य वाढआणि नियुक्त केले आहे.

तर, फंक्शनचे व्युत्पन्न हे केव्हाचे गुणोत्तर आहे. आम्ही व्युत्पन्न फंक्शनच्या समान अक्षराने दर्शवतो, फक्त वरच्या उजवीकडे प्राइमसह: किंवा फक्त. तर, या नोटेशन्सचा वापर करून व्युत्पन्न सूत्र लिहू:

रस्त्याच्या सादृश्याप्रमाणे, येथे जेव्हा कार्य वाढते तेव्हा व्युत्पन्न सकारात्मक असते आणि जेव्हा ते कमी होते तेव्हा ते नकारात्मक असते.

व्युत्पन्न शून्य बरोबर असू शकते? नक्कीच. उदाहरणार्थ, जर आपण सपाट क्षैतिज रस्त्यावर गाडी चालवत आहोत, तर खडी शून्य आहे. आणि हे खरे आहे, उंची अजिबात बदलत नाही. तर ते डेरिव्हेटिव्हसह आहे: स्थिर फंक्शनचे व्युत्पन्न (स्थिर) शून्याच्या बरोबरीचे आहे:

कारण अशा फंक्शनची वाढ कोणत्याहीसाठी शून्य असते.

टेकडीचे उदाहरण लक्षात ठेवूया. असे दिसून आले की सेगमेंटच्या टोकांना शिरोबिंदूच्या विरुद्ध बाजूंनी अशा प्रकारे व्यवस्था करणे शक्य आहे की टोकांची उंची समान असेल, म्हणजेच, विभाग अक्षाच्या समांतर आहे:

परंतु मोठे विभाग चुकीच्या मोजमापाचे लक्षण आहेत. आपण आपला सेगमेंट स्वतःच्या समांतर वर वाढवू, नंतर त्याची लांबी कमी होईल.

अखेरीस, जेव्हा आपण शीर्षस्थानी असीम जवळ असतो, तेव्हा खंडाची लांबी अमर्याद होईल. परंतु त्याच वेळी, ते अक्षाच्या समांतर राहिले, म्हणजे, त्याच्या टोकावरील उंचीमधील फरक शून्य इतका आहे (त्याकडे कल नाही, परंतु समान आहे). तर व्युत्पन्न

हे अशा प्रकारे समजले जाऊ शकते: जेव्हा आपण अगदी शीर्षस्थानी उभे असतो तेव्हा डावीकडे किंवा उजवीकडे एक लहान शिफ्ट आपली उंची नगण्यपणे बदलते.

एक पूर्णपणे बीजगणितीय स्पष्टीकरण देखील आहे: शिरोबिंदूच्या डावीकडे कार्य वाढते आणि उजवीकडे ते कमी होते. जसे आपण आधी शोधून काढले, जेव्हा फंक्शन वाढते तेव्हा व्युत्पन्न सकारात्मक असते आणि जेव्हा ते कमी होते तेव्हा ते नकारात्मक असते. परंतु ते उडी न घेता सहजतेने बदलते (कारण रस्ता कुठेही त्याचा उतार झपाट्याने बदलत नाही). म्हणून, नकारात्मक आणि सकारात्मक मूल्यांमध्ये असणे आवश्यक आहे. हे असे असेल जेथे फंक्शन वाढणार नाही किंवा कमी होणार नाही - शिरोबिंदूवर.

कुंडसाठीही हेच खरे आहे (ज्या क्षेत्रामध्ये डावीकडील कार्य कमी होते आणि उजवीकडे वाढते):

वाढीव बद्दल थोडे अधिक.

म्हणून आम्ही युक्तिवाद परिमाणात बदलतो. आपण कोणत्या मूल्यातून बदलतो? आता त्याचा (वाद) काय झाला आहे? आम्ही कोणताही बिंदू निवडू शकतो आणि आता आम्ही त्यातून नाचू.

समन्वयासह एक बिंदू विचारात घ्या. त्यातील फंक्शनचे मूल्य समान आहे. मग आम्ही समान वाढ करतो: आम्ही समन्वय वाढवतो. आता वाद काय? खुप सोपे: . आता फंक्शनचे मूल्य काय आहे? जेथे युक्तिवाद जातो, त्याचप्रमाणे कार्य: . फंक्शन वाढीचे काय? काहीही नवीन नाही: ही अजूनही रक्कम आहे ज्याद्वारे फंक्शन बदलले आहे:

वाढ शोधण्याचा सराव करा:

1. जेव्हा वितर्काची वाढ समान असेल तेव्हा फंक्शनची वाढ शोधा.
2. एका बिंदूवरील फंक्शनसाठीही हेच आहे.

उपाय:

समान वितर्क वाढीसह वेगवेगळ्या बिंदूंवर, फंक्शन वाढ भिन्न असेल. याचा अर्थ असा की प्रत्येक बिंदूवरील व्युत्पन्न भिन्न आहे (आम्ही अगदी सुरुवातीलाच याबद्दल चर्चा केली - वेगवेगळ्या बिंदूंवर रस्त्याची तीव्रता वेगळी आहे). म्हणून, जेव्हा आपण व्युत्पन्न लिहितो, तेव्हा आपण कोणत्या बिंदूवर सूचित केले पाहिजे:

पॉवर फंक्शन.

पॉवर फंक्शन हे एक फंक्शन आहे जिथे आर्ग्युमेंट काही प्रमाणात असते (तार्किक, बरोबर?).

शिवाय - कोणत्याही प्रमाणात: .

सर्वात सोपा केस आहे जेव्हा घातांक असतो:

चला एका बिंदूवर त्याचे व्युत्पन्न शोधू. चला व्युत्पन्नाची व्याख्या आठवूया:

त्यामुळे युक्तिवाद वरून बदलतो. फंक्शनची वाढ काय आहे?

वाढ ही आहे. पण कोणत्याही टप्प्यावर फंक्शन त्याच्या वितर्क बरोबरीचे असते. म्हणून:

व्युत्पन्न समान आहे:

चे व्युत्पन्न समान आहे:

b) आता द्विघाती कार्य (): .

आता ते लक्षात ठेवूया. याचा अर्थ असा की वाढीचे मूल्य दुर्लक्षित केले जाऊ शकते, कारण ते अमर्याद आहे, आणि म्हणून इतर पदाच्या पार्श्वभूमीवर नगण्य आहे:

तर, आम्ही आणखी एक नियम घेऊन आलो:

c) आम्ही तार्किक मालिका सुरू ठेवतो: .

ही अभिव्यक्ती वेगवेगळ्या प्रकारे सरलीकृत केली जाऊ शकते: बेरीजच्या घनाच्या संक्षिप्त गुणाकारासाठी सूत्र वापरून पहिला कंस उघडा किंवा घन सूत्राचा फरक वापरून संपूर्ण अभिव्यक्तीचे गुणांक बनवा. सुचविलेल्या कोणत्याही पद्धती वापरून ते स्वतः करण्याचा प्रयत्न करा.

तर, मला खालील गोष्टी मिळाल्या:

आणि पुन्हा ते लक्षात ठेवूया. याचा अर्थ असा आहे की आम्ही समाविष्ट असलेल्या सर्व अटींकडे दुर्लक्ष करू शकतो:

आम्हाला मिळते: .

ड) मोठ्या शक्तींसाठी समान नियम मिळू शकतात:

e) असे दिसून आले की हा नियम एका अनियंत्रित घातांकासह पॉवर फंक्शनसाठी सामान्यीकृत केला जाऊ शकतो, पूर्णांक देखील नाही:

नियम या शब्दात तयार केला जाऊ शकतो: "पदवी गुणांक म्हणून पुढे आणली जाते आणि नंतर कमी केली जाते."

आम्ही हा नियम नंतर सिद्ध करू (जवळजवळ अगदी शेवटी). आता काही उदाहरणे पाहू. फंक्शन्सचे व्युत्पन्न शोधा:

1. (दोन प्रकारे: सूत्राद्वारे आणि व्युत्पन्नाची व्याख्या वापरून - फंक्शनच्या वाढीची गणना करून);

त्रिकोणमितीय कार्ये.

येथे आपण उच्च गणितातील एक तथ्य वापरू:

अभिव्यक्तीसह.

तुम्ही संस्थेच्या पहिल्या वर्षात पुरावा शिकाल (आणि तिथे जाण्यासाठी, तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षा चांगल्या प्रकारे उत्तीर्ण होणे आवश्यक आहे). आता मी ते फक्त ग्राफिक पद्धतीने दाखवतो:

आपण पाहतो की जेव्हा फंक्शन अस्तित्वात नसते - आलेखावरील बिंदू कापला जातो. परंतु मूल्य जितके जवळ असेल तितके कार्य अधिक जवळ येईल. हे "उद्दिष्ट" आहे.

याव्यतिरिक्त, तुम्ही कॅल्क्युलेटर वापरून हा नियम तपासू शकता. होय, होय, लाजू नका, कॅल्क्युलेटर घ्या, आम्ही अद्याप युनिफाइड स्टेट परीक्षेत नाही.

तर, चला प्रयत्न करूया: ;

तुमचा कॅल्क्युलेटर रेडियन मोडवर स्विच करायला विसरू नका!

इ. आपण पाहतो की गुणोत्तराचे मूल्य जितके लहान असेल तितके जवळ.

अ) कार्याचा विचार करा. नेहमीप्रमाणे, त्याची वाढ शोधूया:

सायन्सचा फरक उत्पादनात बदलू. हे करण्यासाठी, आम्ही सूत्र वापरतो (विषय "" लक्षात ठेवा): .

आता व्युत्पन्न:

चला बदलूया: . मग अनंतासाठी ते देखील अनंत आहे: . साठी अभिव्यक्ती फॉर्म घेते:

आणि आता आपल्याला ते अभिव्यक्तीसह आठवते. आणि तसेच, बेरीजमध्ये (म्हणजे, येथे) असीम प्रमाण दुर्लक्षित केले जाऊ शकते तर काय?

तर, आम्हाला खालील नियम मिळतात: साइनचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या बरोबरीचे आहे:

हे मूलभूत ("टेब्युलर") व्युत्पन्न आहेत. येथे ते एका सूचीमध्ये आहेत:

नंतर आम्ही त्यांना आणखी काही जोडू, परंतु हे सर्वात महत्वाचे आहेत, कारण ते बर्याचदा वापरले जातात.

सराव:

1. एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा;
2. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.

उपाय:

घातांक आणि नैसर्गिक लॉगरिदम.

गणितात एक फंक्शन आहे ज्याचे कोणत्याही मूल्याचे व्युत्पन्न एकाच वेळी फंक्शनच्या मूल्यासारखे असते. त्याला "घातांक" म्हणतात, आणि एक घातांकीय कार्य आहे

या फंक्शनचा आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशांश अपूर्णांक आहे, म्हणजे, एक अपरिमेय संख्या (जसे की). त्याला "युलर नंबर" असे म्हणतात, म्हणूनच ते अक्षराने दर्शविले जाते.

तर, नियम:

लक्षात ठेवणे खूप सोपे आहे.

बरं, आता फार दूर जाऊ नका, उलट फंक्शनचा लगेच विचार करूया. कोणते फंक्शन घातांकीय कार्याचा व्यस्त आहे? लॉगरिदम:

आमच्या बाबतीत, आधार संख्या आहे:

अशा लॉगरिथमला (म्हणजे बेससह लॉगरिदम) "नैसर्गिक" म्हणतात आणि आम्ही त्यासाठी एक विशेष नोटेशन वापरतो: आम्ही त्याऐवजी लिहितो.

ते काय समान आहे? अर्थात, .

नैसर्गिक लॉगरिथमचे व्युत्पन्न देखील खूप सोपे आहे:

उदाहरणे:

1. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
2. फंक्शनचे व्युत्पन्न काय आहे?

उत्तरे: घातांक आणि नैसर्गिक लॉगरिदम व्युत्पन्न दृष्टीकोनातून अद्वितीयपणे साधी कार्ये आहेत. इतर कोणत्याही बेससह घातांकीय आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सचे वेगळे डेरिव्हेटिव्ह असेल, ज्याचे विश्लेषण आपण भेदभावाच्या नियमांनंतर करू.

भिन्नतेचे नियम

कशाचे नियम? पुन्हा नवीन पद, पुन्हा?!...

भेदव्युत्पन्न शोधण्याची प्रक्रिया आहे.

इतकंच. या प्रक्रियेला तुम्ही एका शब्दात आणखी काय म्हणू शकता? डेरिव्हेटिव्ह नाही... गणितज्ञ डिफरेंशियलला फंक्शनची समान वाढ म्हणतात. ही संज्ञा लॅटिन भिन्नता - फरक पासून आली आहे. येथे.

हे सर्व नियम काढताना, आम्ही दोन फंक्शन्स वापरू, उदाहरणार्थ, आणि. आम्हाला त्यांच्या वाढीसाठी सूत्रांची देखील आवश्यकता असेल:

एकूण 5 नियम आहेत.

व्युत्पन्न चिन्हातून स्थिरांक काढला जातो.

जर - काही स्थिर संख्या (स्थिर), नंतर.

अर्थात, हा नियम फरकासाठी देखील कार्य करतो: .

चला सिद्ध करूया. ते असू द्या, किंवा सोपे.

उदाहरणे.

फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधा:

1. एका टप्प्यावर;
2. एका टप्प्यावर;
3. एका टप्प्यावर;
4. बिंदूवर

उपाय:

उत्पादनाचे व्युत्पन्न

येथे सर्व काही समान आहे: चला एक नवीन कार्य सादर करू आणि त्याची वाढ शोधू:

व्युत्पन्न:

उदाहरणे:

1. फंक्शन्सचे व्युत्पन्न शोधा आणि;
2. एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.

उपाय:

घातांकीय कार्याचे व्युत्पन्न

आता तुमचे ज्ञान कोणत्याही घातांकीय फंक्शनचे व्युत्पन्न कसे शोधायचे हे शिकण्यासाठी पुरेसे आहे, फक्त घातांकच नाही (ते काय आहे ते तुम्ही विसरला आहात का?).

तर, कुठे काही संख्या आहे.

आम्हाला फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह आधीच माहित आहे, म्हणून आमचे फंक्शन नवीन बेसवर कमी करण्याचा प्रयत्न करूया:

हे करण्यासाठी, आम्ही एक साधा नियम वापरू: . मग:

बरं, काम झालं. आता व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रयत्न करा आणि हे कार्य जटिल आहे हे विसरू नका.

घडले?

येथे, स्वत: ला तपासा:

सूत्र हे घातांकाच्या व्युत्पन्नाशी अगदी सारखेच असल्याचे दिसून आले: जसे ते होते, ते तसेच राहिले, फक्त एक घटक दिसला, जो फक्त एक संख्या आहे, परंतु चल नाही.

उदाहरणे:
फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधा:

उत्तरे:

लॉगरिदमिक फंक्शनचे व्युत्पन्न

हे येथे समान आहे: तुम्हाला नैसर्गिक लॉगरिथमचे व्युत्पन्न आधीच माहित आहे:

म्हणून, भिन्न बेससह अनियंत्रित लॉगरिथम शोधण्यासाठी, उदाहरणार्थ:

आपल्याला हा लॉगरिथम बेसवर कमी करणे आवश्यक आहे. तुम्ही लॉगरिदमचा आधार कसा बदलता? मला आशा आहे की तुम्हाला हे सूत्र आठवत असेल:

फक्त आता आम्ही त्याऐवजी लिहू:

भाजक हा फक्त एक स्थिर आहे (एक स्थिर संख्या, व्हेरिएबलशिवाय). व्युत्पन्न अगदी सोप्या पद्धतीने प्राप्त केले जाते:

घातांक आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सचे व्युत्पन्न युनिफाइड स्टेट परीक्षेत जवळजवळ कधीच आढळत नाहीत, परंतु ते जाणून घेणे अनावश्यक होणार नाही.

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" म्हणजे काय? नाही, हा लॉगरिदम नाही आणि आर्कटँजंट नाही. ही फंक्शन्स समजणे कठीण असू शकते (जरी तुम्हाला लॉगरिदम अवघड वाटत असेल तर, "लोगॅरिथम" हा विषय वाचा आणि तुम्हाला बरे वाटेल), परंतु गणिताच्या दृष्टिकोनातून, "जटिल" या शब्दाचा अर्थ "कठीण" असा होत नाही.

एका लहान कन्व्हेयर बेल्टची कल्पना करा: दोन लोक बसले आहेत आणि काही वस्तूंसह काही क्रिया करत आहेत. उदाहरणार्थ, पहिला रॅपरमध्ये चॉकलेट बार गुंडाळतो आणि दुसरा रिबनने बांधतो. परिणाम एक संमिश्र वस्तू आहे: एक चॉकलेट बार गुंडाळलेला आणि रिबनने बांधलेला. चॉकलेट बार खाण्यासाठी, आपल्याला उलट क्रमाने उलट पायऱ्या करणे आवश्यक आहे.

चला एक समान गणितीय पाइपलाइन तयार करू: प्रथम आपण एका संख्येचा कोसाइन शोधू, आणि नंतर परिणामी संख्येचा वर्ग करू. तर, आम्हाला एक क्रमांक (चॉकलेट) दिला जातो, मला त्याचा कोसाइन (रॅपर) सापडतो आणि मग मला जे मिळाले ते तुम्ही वर्ग करा (ते रिबनने बांधा). काय झालं? कार्य. हे जटिल फंक्शनचे उदाहरण आहे: जेव्हा, त्याचे मूल्य शोधण्यासाठी, आम्ही थेट व्हेरिएबलसह पहिली क्रिया करतो आणि नंतर दुसरी क्रिया पहिल्याच्या परिणामी काय होते.

आम्ही समान पायऱ्या उलट क्रमाने सहजपणे करू शकतो: प्रथम तुम्ही त्याचे वर्गीकरण करा, आणि मी नंतर परिणामी संख्येचा कोसाइन शोधतो: . अंदाज लावणे सोपे आहे की परिणाम जवळजवळ नेहमीच वेगळा असेल. जटिल कार्यांचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य: जेव्हा क्रियांचा क्रम बदलतो तेव्हा कार्य बदलते.

दुसऱ्या शब्दात, कॉम्प्लेक्स फंक्शन हे फंक्शन आहे ज्याचा वितर्क हे दुसरे फंक्शन आहे: .

पहिल्या उदाहरणासाठी, .

दुसरे उदाहरण: (समान गोष्ट). .

आम्ही शेवटची कृती करू असे म्हटले जाईल "बाह्य" कार्य, आणि क्रिया प्रथम केली - त्यानुसार "अंतर्गत" कार्य(ही अनौपचारिक नावे आहेत, मी ती फक्त सोप्या भाषेत सामग्री स्पष्ट करण्यासाठी वापरतो).

कोणते फंक्शन बाह्य आहे आणि कोणते अंतर्गत आहे हे स्वतः ठरवण्याचा प्रयत्न करा:

उत्तरे:आतील आणि बाह्य फंक्शन्स वेगळे करणे हे व्हेरिएबल्स बदलण्यासारखेच आहे: उदाहरणार्थ, फंक्शनमध्ये

आपण व्हेरिएबल्स बदलतो आणि फंक्शन मिळवतो.

बरं, आता आपण आपली चॉकलेट बार काढू आणि डेरिव्हेटिव्ह शोधू. प्रक्रिया नेहमी उलट केली जाते: प्रथम आपण बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न शोधतो, नंतर आतील कार्याच्या व्युत्पन्नाने परिणाम गुणाकार करतो. मूळ उदाहरणाच्या संबंधात, हे असे दिसते:

दुसरे उदाहरण:

तर, शेवटी अधिकृत नियम तयार करूया:

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:

हे सोपे दिसते, बरोबर?

चला उदाहरणांसह तपासूया:

व्युत्पन्न. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

फंक्शनचे व्युत्पन्न- वितर्काच्या अमर्याद वाढीसाठी फंक्शनच्या वाढीशी युक्तिवादाच्या वाढीचे गुणोत्तर:

मूलभूत व्युत्पन्न:

भिन्नतेचे नियम:

स्थिरांक व्युत्पन्न चिन्हातून काढला जातो:

बेरीजचे व्युत्पन्न:

उत्पादनाचे व्युत्पन्न:

भागाचे व्युत्पन्न:

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न:

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:

1. आम्ही "अंतर्गत" फंक्शन परिभाषित करतो आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधतो.
2. आम्ही "बाह्य" फंक्शन परिभाषित करतो आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधतो.
3. आम्ही पहिल्या आणि दुसऱ्या बिंदूंचे परिणाम गुणाकार करतो.

बरं, विषय संपला. जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर याचा अर्थ तुम्ही खूप मस्त आहात.

कारण केवळ 5% लोक स्वत: काहीतरी मास्टर करण्यास सक्षम आहेत. आणि जर तुम्ही शेवटपर्यंत वाचलात तर तुम्ही या 5% मध्ये आहात!

आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.

तुम्हाला या विषयावरील सिद्धांत समजला आहे. आणि, मी पुन्हा सांगतो, हे... हे फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या बहुसंख्य समवयस्कांपेक्षा चांगले आहात.

समस्या अशी आहे की हे पुरेसे नाही...

कशासाठी?

युनिफाइड स्टेट परीक्षा यशस्वीपणे उत्तीर्ण झाल्याबद्दल, बजेटमध्ये कॉलेजमध्ये प्रवेश केल्याबद्दल आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे आयुष्यासाठी.

मी तुम्हाला काहीही पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन...

ज्यांना चांगले शिक्षण मिळाले आहे ते न मिळालेल्या लोकांपेक्षा जास्त कमावतात. ही आकडेवारी आहे.

पण ही मुख्य गोष्ट नाही.

मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते अधिक आनंदी आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर आणखी अनेक संधी उघडल्या जातील आणि जीवन उजळ होईल म्हणून? माहीत नाही...

पण तुम्हीच विचार करा...

युनिफाइड स्टेट परीक्षेत इतरांपेक्षा चांगले होण्यासाठी आणि शेवटी... आनंदी होण्यासाठी काय करावे लागेल?

या विषयावरील समस्या सोडवून तुमचा हात मिळवा.

परीक्षेदरम्यान तुम्हाला सिद्धांत विचारला जाणार नाही.

तुला गरज पडेल वेळेवर समस्या सोडवा.

आणि, जर तुम्ही त्यांचे निराकरण केले नाही (बरेच!), तुम्ही नक्कीच कुठेतरी एक मूर्ख चूक कराल किंवा तुमच्याकडे वेळ नसेल.

हे खेळांसारखे आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी तुम्हाला ते अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा, अपरिहार्यपणे उपायांसह, तपशीलवार विश्लेषणआणि ठरवा, ठरवा, ठरवा!

तुम्ही आमची कार्ये वापरू शकता (पर्यायी) आणि आम्ही अर्थातच त्यांची शिफारस करतो.

आमची कार्ये अधिक चांगल्या प्रकारे वापरण्यासाठी, तुम्ही सध्या वाचत असलेल्या YouClever पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात मदत करणे आवश्यक आहे.

कसे? दोन पर्याय आहेत:

1. या लेखातील सर्व लपविलेले कार्य अनलॉक करा -
2. पाठ्यपुस्तकातील सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - पाठ्यपुस्तक खरेदी करा - 499 RUR

होय, आमच्या पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कामांमध्ये प्रवेश आहे आणि त्यातील लपलेले सर्व मजकूर त्वरित उघडले जाऊ शकतात.

साइटच्या संपूर्ण आयुष्यासाठी सर्व लपविलेल्या कार्यांमध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.

अनुमान मध्ये...

तुम्हाला आमची कामे आवडत नसल्यास, इतरांना शोधा. फक्त सिद्धांतावर थांबू नका.

"समजले" आणि "मी सोडवू शकतो" ही ​​पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोन्हीची गरज आहे.

समस्या शोधा आणि त्यांचे निराकरण करा!

या लेखात आम्ही मूलभूत संकल्पना देऊ ज्यावर एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या व्युत्पन्न विषयावरील पुढील सर्व सिद्धांत आधारित असतील.

पथ x हा f(x) फंक्शनचा वितर्क आहे आणि शून्यापेक्षा वेगळी लहान संख्या आहे.

(“डेल्टा x” वाचा) म्हणतात फंक्शन आर्ग्युमेंट वाढवत आहे. आकृतीमध्ये, लाल रेषा वितर्कातील मूल्य x पासून मूल्यापर्यंतचा बदल दर्शविते (म्हणूनच वितर्काच्या “वाढ” नावाचे सार).

आर्ग्युमेंटच्या मूल्यापासून फंक्शनच्या मूल्यांकडे जाताना त्यानुसार ते वरून बदलते, बशर्ते की मध्यांतरावर फंक्शन मोनोटोनिक असेल. फरक म्हणतात फंक्शनची वाढ f(x), या युक्तिवाद वाढीशी संबंधित. आकृतीमध्ये, फंक्शन वाढ निळ्या रेषेने दर्शविली आहे.

एक विशिष्ट उदाहरण वापरून या संकल्पना पाहू.

उदाहरणार्थ, फंक्शन घेऊ . मुद्दा आणि युक्तिवादाची वाढ निश्चित करू. या प्रकरणात, पासून कडे जाताना फंक्शनची वाढ समान असेल

नकारात्मक वाढ विभागावरील कार्यात घट दर्शवते.

ग्राफिक चित्रण

एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न निश्चित करणे.

फंक्शन f(x) ला मध्यांतर (a; b) वर परिभाषित करू द्या आणि या मध्यांतराचे बिंदू असू द्या. बिंदूवर f(x) फंक्शनचे व्युत्पन्नवरील युक्तिवादाच्या वाढीपर्यंत फंक्शनच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा म्हणतात. नियुक्त केले .

जेव्हा शेवटची मर्यादा विशिष्ट अंतिम मूल्य घेते तेव्हा आपण अस्तित्वाबद्दल बोलतो बिंदूवर मर्यादित व्युत्पन्न. जर मर्यादा अनंत असेल तर ते म्हणतात दिलेल्या बिंदूवर व्युत्पन्न अनंत आहे. जर मर्यादा अस्तित्वात नसेल तर या टप्प्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही.

फंक्शन f(x) म्हणतात बिंदूवर भिन्न, जेव्हा त्यात मर्यादित व्युत्पन्न असते.

जर फंक्शन f(x) ठराविक अंतराल (a; b) च्या प्रत्येक बिंदूवर भिन्न असेल, तर या मध्यांतरावर फंक्शनला भिन्नता असे म्हणतात. अशाप्रकारे, अंतराल (a; b) मधील कोणताही बिंदू x या बिंदूवर फंक्शनच्या व्युत्पन्न मूल्याशी संबंधित असू शकतो, म्हणजेच, आपल्याला नवीन कार्य परिभाषित करण्याची संधी आहे, ज्याला म्हणतात मध्यांतरावरील फंक्शन f(x) चे व्युत्पन्न (a; b).

व्युत्पन्न शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतात भिन्नता.

एका बिंदूवर आणि मध्यांतरावर फंक्शनच्या व्युत्पन्नाच्या संकल्पनांच्या स्वरूपामध्ये फरक करूया: बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न एक संख्या असते आणि मध्यांतरावरील फंक्शनचे व्युत्पन्न एक फंक्शन असते.

चित्र स्पष्ट करण्यासाठी उदाहरणांसह हे पाहू. फरक करताना, आम्ही व्युत्पन्नाची व्याख्या वापरू, म्हणजेच, आम्ही मर्यादा शोधण्यासाठी पुढे जाऊ. अडचणी उद्भवल्यास, आम्ही शिफारस करतो की तुम्ही सिद्धांत विभाग पहा.

उदाहरण.

व्याख्या वापरून बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.

उपाय.

आपण एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधत असल्याने, उत्तरामध्ये संख्या असणे आवश्यक आहे. फंक्शनच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा आणि वितर्क वाढवूया आणि त्रिकोणमिती सूत्रे वापरू: