व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ म्हणजे दिलेल्या बिंदूवर व्युत्पन्न. व्युत्पन्न

नोकरीचा प्रकार: 7

अट

y=3x+2 ही सरळ रेषा y=-12x^2+bx-10 फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका आहे. स्पर्शिका बिंदूचा abscissa शून्यापेक्षा कमी असल्यास b शोधा.

उपाय

x_0 हा y=-12x^2+bx-10 फंक्शनच्या आलेखावरील बिंदूचा abscissa असू द्या ज्यामधून या आलेखाची स्पर्शिका जाते.

x_0 बिंदूवरील व्युत्पन्नाचे मूल्य स्पर्शिकेच्या उताराच्या बरोबरीचे असते, म्हणजेच y"(x_0)=-24x_0+b=3. दुसरीकडे, स्पर्शिकेचा बिंदू एकाच वेळी दोन्ही आलेखाशी संबंधित असतो. फंक्शन आणि स्पर्शिका, म्हणजे -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. आम्हाला समीकरणांची प्रणाली मिळते \begin(केसेस) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(प्रकरणे)

ही प्रणाली सोडवताना, आम्हाला x_0^2=1 मिळेल, ज्याचा अर्थ एकतर x_0=-1 किंवा x_0=1 आहे. abscissa स्थितीनुसार, स्पर्शिका बिंदू शून्यापेक्षा कमी आहेत, म्हणून x_0=-1, नंतर b=3+24x_0=-21.

उत्तर द्या

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

y=-3x+4 ही सरळ रेषा y=-x^2+5x-7 फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेला समांतर आहे. स्पर्शिका बिंदूचा abscissa शोधा.

उपाय

अनियंत्रित बिंदू x_0 वर फंक्शनच्या y=-x^2+5x-7 च्या आलेखाच्या सरळ रेषेचा कोनीय गुणांक y"(x_0) च्या समान आहे. परंतु y"=-2x+5, म्हणजे y" (x_0)=-2x_0+5. कंडिशनमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या y=-3x+4 रेषेचा कोनीय गुणांक -3 च्या बरोबरीचा आहे. समांतर रेषांमध्ये समान उतार गुणांक आहेत. म्हणून, आम्हाला x_0 असे मूल्य आढळते की =- 2x_0 +5=-3.

आम्हाला मिळते: x_0 = 4.

उत्तर द्या

स्त्रोत: "गणित. युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी 2017. प्रोफाइल पातळी." एड. एफ. एफ. लिसेन्को, एस. यू. कुलाबुखोवा.

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

उपाय

आकृतीवरून आपण निर्धारित करतो की स्पर्शिका बिंदू A(-6; 2) आणि B(-1; 1) मधून जाते. आपण C(-6; 1) x=-6 आणि y=1 रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आणि \alpha ने ABC कोन दर्शवू (आपण आकृतीमध्ये पाहू शकता की ते तीव्र आहे). नंतर सरळ रेषा AB हा ऑक्स अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह \pi -\alpha कोन बनवतो, जो स्थूल आहे.

ज्ञात आहे, tg(\pi -\alpha) हे बिंदू x_0 वर f(x) फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मूल्य असेल. त्याची नोंद घ्या tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.येथून, कपात सूत्रे वापरून, आम्हाला मिळते: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

उत्तर द्या

स्त्रोत: "गणित. युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी 2017. प्रोफाइल पातळी." एड. एफ. एफ. लिसेन्को, एस. यू. कुलाबुखोवा.

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

y=-2x-4 ही सरळ रेषा y=16x^2+bx+12 फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका आहे. स्पर्शिका बिंदूचा abscissa शून्य पेक्षा मोठा असल्यास b शोधा.

उपाय

x_0 हा y=16x^2+bx+12 फंक्शनच्या आलेखावरील बिंदूचा abscissa असू द्या ज्याद्वारे

या आलेखाला स्पर्शिका आहे.

x_0 बिंदूवरील व्युत्पन्नाचे मूल्य स्पर्शिकेच्या उताराच्या बरोबरीचे असते, म्हणजेच y"(x_0)=32x_0+b=-2. दुसरीकडे, स्पर्शिकेचा बिंदू एकाच वेळी दोन्ही आलेखाशी संबंधित असतो. फंक्शन आणि स्पर्शिका, म्हणजेच 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 आपल्याला समीकरणांची प्रणाली मिळते \\begin(केसेस) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(प्रकरणे)

प्रणाली सोडवताना, आपल्याला x_0^2=1 मिळेल, ज्याचा अर्थ एकतर x_0=-1 किंवा x_0=1 आहे. abscissa स्थितीनुसार, स्पर्शिका बिंदू शून्यापेक्षा मोठे आहेत, म्हणून x_0=1, नंतर b=-2-32x_0=-34.

उत्तर द्या

स्त्रोत: "गणित. युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी 2017. प्रोफाइल पातळी." एड. एफ. एफ. लिसेन्को, एस. यू. कुलाबुखोवा.

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

आकृती y=f(x) फंक्शनचा आलेख दाखवते, मध्यांतर (-2; 8) वर परिभाषित केले आहे. फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका y=6 या सरळ रेषेच्या समांतर असलेल्या बिंदूंची संख्या निश्चित करा.

उपाय

सरळ रेषा y=6 ऑक्स अक्षाच्या समांतर आहे. म्हणून, आम्हाला असे बिंदू सापडतात ज्यावर फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका ऑक्स अक्षाच्या समांतर आहे. या चार्टवर, असे पॉइंट्स एक्स्ट्रीम पॉइंट्स (कमाल किंवा कमाल पॉइंट्स) आहेत. तुम्ही बघू शकता, 4 एक्स्ट्रीम पॉइंट्स आहेत.

उत्तर द्या

स्त्रोत: "गणित. युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी 2017. प्रोफाइल पातळी." एड. एफ. एफ. लिसेन्को, एस. यू. कुलाबुखोवा.

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

y=4x-6 ही रेषा y=x^2-4x+9 फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेला समांतर आहे. स्पर्शिका बिंदूचा abscissa शोधा.

उपाय

y=x^2-4x+9 या अनियंत्रित बिंदूवर x_0 फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिकेचा उतार y"(x_0) च्या बरोबरीचा आहे. परंतु y"=2x-4, म्हणजे y"(x_0)= 2x_0-4. कंडिशनमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या स्पर्शिकेचा उतार y =4x-7, 4 च्या बरोबरीचा आहे. समांतर रेषांमध्ये समान कोनीय गुणांक आहेत. म्हणून, आपल्याला x_0 चे मूल्य 2x_0-4 = 4 असे आढळते. मिळवा: x_0 = 4.

उत्तर द्या

स्त्रोत: "गणित. युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी 2017. प्रोफाइल पातळी." एड. एफ. एफ. लिसेन्को, एस. यू. कुलाबुखोवा.

नोकरीचा प्रकार: 7
विषय: डेरिव्हेटिव्ह्जचा भौमितिक अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका

अट

आकृती y=f(x) फंक्शनचा आलेख आणि abscissa x_0 सह बिंदूवरील स्पर्शिका दर्शवते. x_0 बिंदूवर f(x) फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मूल्य शोधा.

उपाय

आकृतीवरून आपण निर्धारित करतो की स्पर्शिका बिंदू A(1; 1) आणि B(5; 4) मधून जाते. आपण C(5; 1) x=5 आणि y=1 रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आणि BAC या कोनाचा \alpha द्वारे दर्शवू (आपण आकृतीमध्ये पाहू शकता की ते तीव्र आहे). नंतर सरळ रेषा AB ऑक्स अक्षाच्या धनात्मक दिशेसह कोन \alpha बनवते.

व्युत्पन्नाचे भौमितिक मूल्य शोधण्यासाठी, फंक्शन y = f(x) च्या आलेखाचा विचार करा. चला समन्वय (x, y) आणि त्याच्या जवळचा N बिंदू (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) सह एक अनियंत्रित बिंदू M घेऊ. चला $\overline(M_(1) M)$ आणि $\overline(N_(1) N)$, आणि बिंदू M पासून - OX अक्षाच्या समांतर एक सरळ रेषा काढू.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ हे गुणोत्तर $\alpha $1 या कोनाची स्पर्शिका आहे जी OX अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह सेकंट MN द्वारे तयार केली जाते. $\Delta $x शून्याकडे झुकत असल्याने, बिंदू N M कडे जाईल, आणि MN ची मर्यादा MN बिंदू M वरील वक्र स्पर्शिका MT असेल. अशा प्रकारे, व्युत्पन्न f`(x) स्पर्शिकेच्या समान आहे. बिंदू M (x, y) वर वक्र करण्यासाठी स्पर्शिकेने तयार केलेल्या $\alpha $चा कोन OX अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने - स्पर्शिकेचा उतार (चित्र 1).

आकृती 1. कार्य आलेख

सूत्र (1) वापरून मूल्यांची गणना करताना, चिन्हांमध्ये चुका न करणे महत्वाचे आहे, कारण वाढ देखील नकारात्मक असू शकते.

वक्र वर पडलेला बिंदू N कोणत्याही बाजूने M कडे झुकू शकतो. तर, जर आकृती 1 मध्ये स्पर्शिकाला उलट दिशा दिली असेल, तर कोन $\alpha $ $\pi $ या रकमेने बदलेल, जो कोनाच्या स्पर्शिकेवर आणि त्यानुसार, कोनीय गुणांकावर लक्षणीय परिणाम करेल.

निष्कर्ष

व्युत्पन्नाचे अस्तित्व y = f(x) या वक्र स्पर्शिकेच्या अस्तित्वाशी संबंधित आहे आणि कोनीय गुणांक - tg $\alpha $ = f`(x) मर्यादित आहे. म्हणून, स्पर्शिका OY अक्षाच्या समांतर नसावी, अन्यथा $\alpha $ = $\pi $/2, आणि कोनाची स्पर्शिका अनंत असेल.

काही बिंदूंवर, सतत वक्र स्पर्शिका असू शकत नाही किंवा OY अक्षाच्या समांतर स्पर्शिका असू शकत नाही (चित्र 2). मग या मूल्यांमध्ये फंक्शनचे व्युत्पन्न असू शकत नाही. फंक्शन वक्र वर कितीही समान बिंदू असू शकतात.

आकृती 2. वक्राचे अपवादात्मक बिंदू

आकृती 2 विचारात घ्या. $\Delta $x ला नकारात्मक किंवा सकारात्मक मूल्यांमधून शून्याकडे कल द्या:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

जर या प्रकरणात संबंध (1) ची अंतिम मर्यादा असेल, तर ती खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते:

पहिल्या प्रकरणात, व्युत्पन्न डावीकडे आहे, दुसऱ्यामध्ये, व्युत्पन्न उजवीकडे आहे.

मर्यादेचे अस्तित्व डाव्या आणि उजव्या डेरिव्हेटिव्ह्जची समानता आणि समानता दर्शवते:

जर डावे आणि उजवे डेरिव्हेटिव्ह असमान असतील, तर दिलेल्या बिंदूवर ओवाय (बिंदू M1, चित्र 2) च्या समांतर नसलेल्या स्पर्शिका असतात. M2, M3 संबंधांवर (1) बिंदू अनंताकडे असतात.

M2 च्या डावीकडे असलेल्या N बिंदूंसाठी, $\Delta $x $

$M_2$ च्या उजवीकडे, $\Delta $x $>$ 0, परंतु अभिव्यक्ती देखील f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ आहे

डावीकडील $M_3$ बिंदूसाठी, $\Delta $x $$ 0 आणि f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, म्हणजे. अभिव्यक्ती (1) डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्ही सकारात्मक आहेत आणि $\Delta $x -0 आणि +0 जवळ आल्यावर +$\infty $ दोन्हीकडे कल.

रेषेच्या (x = c) विशिष्ट बिंदूंवर व्युत्पन्नाच्या अनुपस्थितीचे प्रकरण आकृती 3 मध्ये सादर केले आहे.

आकृती 3. कोणतेही डेरिव्हेटिव्ह नाहीत

उदाहरण १

आकृती 4 फंक्शनचा आलेख आणि abscissa बिंदू $x_0$ वर आलेखाची स्पर्शिका दाखवते. abscissa मध्ये फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मूल्य शोधा.

उपाय. एका बिंदूवरील व्युत्पन्न हे फंक्शनच्या वाढीच्या वितर्काच्या वाढीच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे असते. पूर्णांक निर्देशांकांसह स्पर्शिकेवरील दोन बिंदू निवडू या. उदाहरणार्थ, हे गुण F (-3.2) आणि C (-2.4) असू द्या.

समन्वय विमानात xOyफंक्शनचा आलेख विचारात घ्या y=f(x). चला मुद्दा दुरुस्त करूया M(x 0; f (x 0)). चला एक abscissa जोडू x ०वाढ Δх. आम्हाला नवीन abscissa मिळेल x 0 +Δx. हा मुद्दा आहे एन, आणि ordinate समान असेल f (x 0 +Δx). abscissa मधील बदलामुळे ordinate मध्ये बदल झाला. या बदलाला फंक्शन इन्क्रीमेंट म्हणतात आणि दर्शविले जाते Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).ठिपक्यांद्वारे एमआणि एनचला एक सेकंट काढू MN, जो एक कोन बनवतो φ सकारात्मक अक्ष दिशेसह ओह. चला कोनाची स्पर्शिका निश्चित करू φ काटकोन त्रिकोणातून एमपीएन.

द्या Δхशून्याकडे झुकते. मग सेकंट MNस्पर्शिका स्थिती घेण्याकडे कल असेल एमटी, आणि कोन φ एक कोन होईल α . तर, कोनाची स्पर्शिका α कोनाच्या स्पर्शिकेचे मर्यादित मूल्य आहे φ :

फंक्शनच्या वाढीच्या वितर्काच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा, जेव्हा नंतरचे शून्याकडे झुकते, तेव्हा दिलेल्या बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणतात:

व्युत्पन्न चा भौमितिक अर्थ दिलेल्या बिंदूवर फंक्शनची संख्यात्मक व्युत्पत्ती या बिंदूद्वारे दिलेल्या वक्र आणि अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे काढलेल्या स्पर्शिकेने तयार केलेल्या कोनाच्या स्पर्शिकेइतकी असते. ओह:

उदाहरणे.

1. युक्तिवादाची वाढ आणि फंक्शन y= ची वाढ शोधा x 2, जर वितर्काचे प्रारंभिक मूल्य समान असेल 4 , आणि नवीन - 4,01 .

उपाय.

नवीन युक्तिवाद मूल्य x=x 0 +Δx. चला डेटा बदलू: 4.01=4+Δх, त्यामुळे युक्तिवादाची वाढ Δх=४.०१-४=०.०१. फंक्शनची वाढ, व्याख्येनुसार, फंक्शनच्या नवीन आणि मागील मूल्यांमधील फरकाच्या समान आहे, म्हणजे. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). आमच्याकडे एक कार्य असल्याने y=x2, ते Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

उत्तर: युक्तिवाद वाढ Δх=0.01; कार्य वाढ Δу=0,0801.

फंक्शन वाढ वेगळ्या प्रकारे आढळू शकते: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिकेच्या कलतेचा कोन शोधा y=f(x)बिंदूवर x ०, तर f "(x 0) = 1.

उपाय.

स्पर्शिकेच्या बिंदूवर व्युत्पन्नाचे मूल्य x ०आणि हे स्पर्शकोनाच्या स्पर्शिकेचे मूल्य आहे (व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ). आमच्याकडे आहे: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,कारण tg45°=1.

उत्तर: या फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका ऑक्स अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने एक कोन बनवते ४५°.

3. फंक्शनच्या व्युत्पन्नासाठी सूत्र काढा y=x n.

भेदफंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याची क्रिया आहे.

व्युत्पन्न शोधताना, डेरिव्हेटिव्हच्या व्याख्येवर आधारित सूत्रे वापरा, जसे आपण व्युत्पन्न पदवीसाठी सूत्र काढले आहे: (x n)" = nx n-1.

ही सूत्रे आहेत.

व्युत्पन्न सारणीशाब्दिक फॉर्म्युलेशन उच्चारून लक्षात ठेवणे सोपे होईल:

1. स्थिर प्रमाणाचे व्युत्पन्न शून्य आहे.

2. X अविभाज्य एक समान आहे.

3. व्युत्पन्नाच्या चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो.

4. पदवीचे व्युत्पन्न समान पाया असलेल्या अंशाने या अंशाच्या घातांकाच्या गुणाकाराच्या समान असते, परंतु घातांक एक कमी असतो.

5. मूळचे व्युत्पन्न दोन समान मुळांनी भागिले एक समान असते.

6. एक भागिले x चे व्युत्पन्न व्युत्पन्न एक भागिले x वर्गाच्या समान असते.

7. साइनचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या बरोबरीचे आहे.

8. कोसाइनचे व्युत्पन्न वजा साइन सारखे आहे.

9. स्पर्शिकेचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या वर्गाने भागलेल्या एका बरोबरीचे असते.

10. कोटँजेंटचे व्युत्पन्न साइनच्या वर्गाने भागले जाणारे वजा एक इतके असते.

आम्ही शिकवतो भिन्नता नियम.

1. बीजगणितीय बेरीजचे व्युत्पन्न हे पदांच्या व्युत्पन्नांच्या बीजगणितीय बेरजेइतके असते.

2. उत्पादनाचे व्युत्पन्न हे पहिल्या घटकाच्या व्युत्पन्नाच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे असते आणि दुसरे अधिक पहिल्या घटकाचे व्युत्पन्न आणि दुसऱ्याचे व्युत्पन्न असते.

3. “y” ची व्युत्पन्नता “ve” ने भागलेल्या अपूर्णांकाच्या बरोबरीची आहे ज्यामध्ये अंश “y अविभाज्य गुणाकार “ve” वजा “y” ने गुणाकार केलेला ve अविभाज्य आहे, आणि भाजक “ve वर्ग” आहे.

4. सूत्राची एक विशेष बाब 3.

व्युत्पन्न म्हणजे काय?
डेरिव्हेटिव्ह फंक्शनची व्याख्या आणि अर्थ

एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या व्युत्पन्न आणि त्याच्या ऍप्लिकेशन्सवर माझ्या लेखकाच्या कोर्समध्ये या लेखाच्या अनपेक्षित स्थानामुळे अनेकांना आश्चर्य वाटेल. शेवटी, जसे शाळेपासून आहे: मानक पाठ्यपुस्तक सर्व प्रथम व्युत्पन्नाची व्याख्या, त्याचा भौमितिक, यांत्रिक अर्थ देते. पुढे, विद्यार्थ्यांना व्याख्येनुसार फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह सापडतात आणि खरेतर, तेव्हाच ते वेगळेपणाचे तंत्र वापरून परिपूर्ण करतात. व्युत्पन्न सारण्या.

परंतु माझ्या दृष्टिकोनातून, खालील दृष्टीकोन अधिक व्यावहारिक आहे: सर्व प्रथम, चांगले समजून घेणे उचित आहे फंक्शनची मर्यादा, आणि विशेषतः, अमर्याद प्रमाणात. वस्तुस्थिती अशी आहे डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या मर्यादा संकल्पनेवर आधारित आहे, ज्याचा शालेय अभ्यासक्रमात फारसा विचार केला जात नाही. म्हणूनच ज्ञानाच्या ग्रॅनाइटच्या तरुण ग्राहकांचा एक महत्त्वपूर्ण भाग व्युत्पन्नाचे सार समजत नाही. अशाप्रकारे, जर तुम्हाला डिफरेंशियल कॅल्क्युलसची थोडीशी समज असेल किंवा ज्ञानी मेंदूने बर्याच वर्षांपासून या सामानातून यशस्वीरित्या सुटका केली असेल, तर कृपया सुरुवात करा. कार्य मर्यादा. त्याच वेळी, त्यांचे समाधान मास्टर/लक्षात ठेवा.

त्याच व्यावहारिक अर्थाने ते प्रथम फायदेशीर आहे हे ठरवते डेरिव्हेटिव्ह शोधायला शिका, यासह जटिल कार्यांचे व्युत्पन्न. सिद्धांत हा सिद्धांत आहे, परंतु, जसे ते म्हणतात, आपल्याला नेहमी वेगळे करायचे आहे. या संदर्भात, सूचीबद्ध मूलभूत धड्यांद्वारे कार्य करणे चांगले आहे आणि कदाचित भिन्नता मास्टरत्यांच्या कृतींचे सार लक्षात न घेता.

मी लेख वाचल्यानंतर या पृष्ठावरील सामग्रीसह प्रारंभ करण्याची शिफारस करतो. डेरिव्हेटिव्ह्जसह सर्वात सोपी समस्या, जेथे, विशेषतः, फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेची समस्या विचारात घेतली जाते. पण तुम्ही वाट पाहू शकता. वस्तुस्थिती अशी आहे की व्युत्पन्नाच्या बऱ्याच अनुप्रयोगांना ते समजून घेणे आवश्यक नसते आणि हे आश्चर्यकारक नाही की सैद्धांतिक धडा खूप उशीरा दिसू लागला - जेव्हा मला स्पष्टीकरण देण्याची आवश्यकता होती वाढणारी/कमी होणारी मध्यांतरे आणि टोकाचा भाग शोधणेकार्ये शिवाय, तो बराच काळ या विषयावर होता. कार्ये आणि आलेख”, मी शेवटी ते आधी ठेवण्याचा निर्णय घेईपर्यंत.

म्हणून, प्रिय टीपॉट्स, भुकेल्या प्राण्यांप्रमाणे डेरिव्हेटिव्हचे सार आत्मसात करण्यासाठी घाई करू नका, कारण संपृक्तता चवहीन आणि अपूर्ण असेल.

फंक्शनची वाढ, कमी, कमाल, किमान संकल्पना

बऱ्याच पाठ्यपुस्तकांमध्ये काही व्यावहारिक समस्यांच्या मदतीने डेरिव्हेटिव्ह्जची संकल्पना मांडली जाते आणि मी एक मनोरंजक उदाहरण देखील समोर आणले. अशी कल्पना करा की आपण अशा शहरात प्रवास करणार आहोत जिथे वेगवेगळ्या मार्गांनी पोहोचता येते. वक्र वळणाचे मार्ग ताबडतोब टाकून देऊ आणि फक्त सरळ महामार्गांचा विचार करू. तथापि, सरळ रेषेचे दिशानिर्देश देखील भिन्न आहेत: आपण सपाट महामार्गाने शहरात जाऊ शकता. किंवा डोंगराळ महामार्गाच्या बाजूने - वर आणि खाली, वर आणि खाली. दुसरा रस्ता फक्त चढावर जातो आणि दुसरा सर्व वेळ उतारावर जातो. अतिउत्साही खडका आणि खडी चढण असलेल्या घाटातून मार्ग निवडतील.

परंतु तुमची प्राधान्ये काहीही असली तरी, क्षेत्र जाणून घेणे किंवा किमान त्याचा स्थलाकृतिक नकाशा असणे उचित आहे. अशी माहिती गहाळ झाल्यास काय? तथापि, आपण निवडू शकता, उदाहरणार्थ, एक गुळगुळीत मार्ग, परंतु परिणामी, आनंदी फिनसह स्की उतारावर अडखळणे. नेव्हिगेटर किंवा अगदी उपग्रह प्रतिमा विश्वसनीय डेटा प्रदान करेल हे तथ्य नाही. म्हणून, गणिताचा वापर करून मार्गाचे आराम औपचारिक करणे चांगले होईल.

चला काही रस्ता (बाजूचे दृश्य):

फक्त बाबतीत, मी तुम्हाला एक प्राथमिक वस्तुस्थितीची आठवण करून देतो: प्रवास घडतो डावीकडून उजवीकडे. साधेपणासाठी, आम्ही असे गृहीत धरतो की कार्य सततविचाराधीन क्षेत्रात.

या आलेखाची वैशिष्ट्ये काय आहेत?

अंतराने कार्य वाढते, म्हणजे, त्याचे प्रत्येक पुढील मूल्य अधिकमागील एक ढोबळपणे सांगायचे तर वेळापत्रक सुरू आहे खाली वर(आम्ही टेकडीवर चढतो). आणि इंटरव्हल वर फंक्शन कमी होते- प्रत्येक पुढील मूल्य कमीमागील, आणि आमचे वेळापत्रक चालू आहे वरुन खाली(आम्ही उतार खाली जातो).

चला विशेष मुद्द्यांकडे देखील लक्ष देऊया. ज्या ठिकाणी आपण पोहोचतो जास्तीत जास्त, ते आहे अस्तित्वातमार्गाचा असा विभाग जेथे मूल्य सर्वात मोठे (सर्वोच्च) असेल. त्याच क्षणी ते साध्य होते किमान, आणि अस्तित्वातत्याचा शेजार ज्यामध्ये मूल्य सर्वात लहान (सर्वात कमी) आहे.

आम्ही वर्गात अधिक कठोर शब्दावली आणि व्याख्या पाहू. फंक्शनच्या टोकाबद्दल, परंतु आत्ता आपण आणखी एक महत्त्वाच्या वैशिष्ट्याचा अभ्यास करू: मध्यांतरांवर कार्य वाढते, परंतु ते वाढते वेगवेगळ्या वेगाने. आणि पहिली गोष्ट जी तुमचे लक्ष वेधून घेते ती म्हणजे इंटरव्हल दरम्यान आलेख वर चढतो जास्त मस्त, मध्यांतरापेक्षा . गणिती साधनांचा वापर करून रस्त्याची खडी मोजणे शक्य आहे का?

कार्याच्या बदलाचा दर

कल्पना अशी आहे: चला काही मूल्य घेऊया ("डेल्टा एक्स" वाचा), ज्याला आम्ही कॉल करू युक्तिवाद वाढ, आणि आपल्या मार्गावरील विविध बिंदूंवर "ते प्रयत्न करणे" सुरू करूया:

1) चला सर्वात डावीकडे बिंदू पाहू: अंतर पार करून, आपण उतार एका उंचीवर (हिरवी रेषा) चढतो. प्रमाण म्हणतात कार्य वाढ, आणि या प्रकरणात ही वाढ सकारात्मक आहे (अक्षासह मूल्यांमधील फरक शून्यापेक्षा जास्त आहे). चला एक गुणोत्तर तयार करू या जे आपल्या रस्त्याच्या खडीपणाचे मोजमाप असेल. अर्थात, ही एक अतिशय विशिष्ट संख्या आहे, आणि दोन्ही वाढ धनात्मक असल्याने.

लक्ष द्या! पदनाम आहेत एकचिन्ह, म्हणजे, आपण “X” वरून “डेल्टा” “फाडणे” करू शकत नाही आणि या अक्षरांचा स्वतंत्रपणे विचार करू शकत नाही. अर्थात, टिप्पणी फंक्शन वाढीच्या चिन्हाशी देखील संबंधित आहे.

चला परिणामी अपूर्णांकाचे स्वरूप अधिक अर्थपूर्णपणे एक्सप्लोर करूया. आपण सुरुवातीला 20 मीटर उंचीवर राहू या (डाव्या काळ्या बिंदूवर). मीटरचे अंतर (डावीकडील लाल रेषा) पार केल्यावर, आपण स्वतःला 60 मीटर उंचीवर सापडू. मग फंक्शनची वाढ होईल मीटर (ग्रीन लाइन) आणि: . अशा प्रकारे, प्रत्येक मीटरवररस्त्याचा हा भाग उंची वाढते सरासरी 4 मीटरने...तुमची गिर्यारोहण उपकरणे विसरलात? =) दुस-या शब्दात, बांधलेले नाते फंक्शनच्या बदलाचा सरासरी दर (या प्रकरणात, वाढ) दर्शवते.

नोंद : प्रश्नातील उदाहरणाची संख्यात्मक मूल्ये फक्त रेखांकनाच्या प्रमाणाशी संबंधित आहेत.

२) आता सर्वात उजव्या काळ्या बिंदूपासून समान अंतरावर जाऊ या. येथे वाढ अधिक हळूहळू आहे, म्हणून वाढ (किरमिजी रंगाची रेषा) तुलनेने लहान आहे आणि मागील केसच्या तुलनेत गुणोत्तर खूप माफक असेल. तुलनेने, मीटर आणि कार्य वाढ दरआहे . म्हणजेच, मार्गाच्या प्रत्येक मीटरसाठी येथे आहेत सरासरीअर्धा मीटर वाढ.

3) डोंगरावर थोडे साहस. ऑर्डिनेट अक्षावर स्थित वरच्या काळ्या बिंदूकडे पाहू. समजू की हे 50 मीटरचे चिन्ह आहे. आम्ही पुन्हा अंतरावर मात करतो, परिणामी आम्ही स्वतःला कमी शोधतो - 30 मीटरच्या पातळीवर. आंदोलन केले जात असल्याने वरुन खाली(अक्षाच्या "काउंटर" दिशेने), नंतर अंतिम फंक्शनची वाढ (उंची) ऋण असेल: मीटर (रेखाचित्रातील तपकिरी भाग). आणि या प्रकरणात आम्ही आधीच बोलत आहोत घट दरवैशिष्ट्ये: , म्हणजे, या विभागाच्या मार्गाच्या प्रत्येक मीटरसाठी, उंची कमी होते सरासरी 2 मीटरने. पाचव्या टप्प्यावर कपड्यांची काळजी घ्या.

आता आपण स्वतःला प्रश्न विचारूया: “मापन मानक” चे कोणते मूल्य वापरणे चांगले आहे? हे पूर्णपणे समजण्यासारखे आहे, 10 मीटर खूप खडबडीत आहे. चांगले डझन hummocks त्यांच्यावर सहज बसू शकतात. अडथळे काहीही असले तरी, खाली एक खोल दरी असू शकते आणि काही मीटर नंतर तिची दुसरी बाजू आणखी उंच उंच आहे. अशा प्रकारे, दहा-मीटरसह आम्हाला गुणोत्तराद्वारे मार्गाच्या अशा विभागांचे सुगम वर्णन मिळणार नाही.

वरील चर्चेतून पुढील निष्कर्ष निघतो. मूल्य जितके कमी, आम्ही रस्त्याच्या स्थलाकृतिचे अधिक अचूक वर्णन करू. शिवाय, खालील तथ्ये सत्य आहेत:

– कोणासाठीहीउचलण्याचे बिंदू तुम्ही एखादे मूल्य निवडू शकता (अगदी अगदी लहान असले तरीही) जे विशिष्ट वाढीच्या सीमेत बसते. याचा अर्थ असा की संबंधित उंची वाढ सकारात्मक असण्याची हमी दिली जाईल आणि असमानता या मध्यांतरांच्या प्रत्येक बिंदूवर कार्याची वाढ योग्यरित्या दर्शवेल.

- त्याचप्रमाणे, कोणत्याहीउतार बिंदूमध्ये एक मूल्य आहे जे या उतारावर पूर्णपणे फिट होईल. परिणामी, उंचीमधील संबंधित वाढ स्पष्टपणे नकारात्मक आहे, आणि असमानता दिलेल्या मध्यांतराच्या प्रत्येक बिंदूवर फंक्शनमधील घट योग्यरित्या दर्शवेल.

- फंक्शनच्या बदलाचा दर शून्य असतो तेव्हा विशेषतः मनोरंजक केस असते: . प्रथम, शून्य उंची वाढ () हे गुळगुळीत मार्गाचे लक्षण आहे. आणि दुसरे म्हणजे, इतर मनोरंजक परिस्थिती आहेत, ज्याची उदाहरणे आपण आकृतीमध्ये पहा. कल्पना करा की नशिबाने आपल्याला उंच उंच गरुड असलेल्या टेकडीच्या अगदी माथ्यावर किंवा क्रोकिंग बेडूकांसह दरीच्या तळाशी आणले आहे. आपण कोणत्याही दिशेने एक लहान पाऊल उचलल्यास, उंचीमधील बदल नगण्य असेल आणि आपण असे म्हणू शकतो की फंक्शनच्या बदलाचा दर प्रत्यक्षात शून्य आहे. पॉइंट्सवर नेमके हेच चित्र दिसले.

अशा प्रकारे, फंक्शनच्या बदलाचा दर अचूकपणे दर्शविण्याची एक अद्भुत संधी आमच्याकडे आली आहे. शेवटी, गणितीय विश्लेषणामुळे युक्तिवादाची वाढ शून्यावर निर्देशित करणे शक्य होते: , म्हणजे ते बनवणे अमर्याद.

परिणामी, आणखी एक तार्किक प्रश्न उद्भवतो: रस्ता आणि त्याचे वेळापत्रक शोधणे शक्य आहे का दुसरे कार्य, जे आम्हाला कळवूसर्व सपाट विभाग, आरोहण, उतरणे, शिखरे, दऱ्या, तसेच वाटेत प्रत्येक बिंदूवर वाढ/कमी होण्याचा दर?

व्युत्पन्न म्हणजे काय? व्युत्पन्न व्याख्या.
डेरिव्हेटिव्ह आणि डिफरेंशियलचा भौमितीय अर्थ

कृपया काळजीपूर्वक वाचा आणि खूप लवकर नाही - सामग्री सोपी आणि प्रत्येकासाठी प्रवेशयोग्य आहे! काही ठिकाणी काही अगदी स्पष्ट दिसत नसेल तर ठीक आहे, तुम्ही नंतर कधीही लेखावर परत येऊ शकता. मी अधिक सांगेन, सर्व मुद्दे पूर्णपणे समजून घेण्यासाठी सिद्धांताचा अनेक वेळा अभ्यास करणे उपयुक्त आहे (सल्ला विशेषतः "तांत्रिक" विद्यार्थ्यांसाठी संबंधित आहे, ज्यांच्यासाठी शैक्षणिक प्रक्रियेत उच्च गणित महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते).

साहजिकच, डेरिव्हेटिव्हच्या अगदी परिभाषेत एका बिंदूवर आम्ही ते बदलतो:

आम्ही कशासाठी आलो आहोत? आणि आम्ही या निष्कर्षावर आलो की कायद्यानुसार कार्यासाठी नुसार ठेवले आहे इतर कार्य, ज्यास म्हंटले जाते व्युत्पन्न कार्य(किंवा फक्त व्युत्पन्न).

व्युत्पन्न वैशिष्ट्ये बदलण्याचे प्रमाणकार्ये कसे? लेखाच्या सुरुवातीपासूनच कल्पना लाल धाग्यासारखी चालते. चला काही मुद्दे विचारात घेऊया व्याख्या डोमेनकार्ये दिलेल्या बिंदूवर फंक्शन भिन्न असू द्या. मग:

1) जर, बिंदूवर फंक्शन वाढते. आणि अर्थातच आहे मध्यांतर(अगदी अगदी लहान), ज्यामध्ये फंक्शन वाढते आणि त्याचा आलेख “खालून वरून वर” जातो.

२) जर, बिंदूवर फंक्शन कमी होते. आणि एक मध्यांतर आहे ज्यामध्ये एक बिंदू आहे ज्यावर फंक्शन कमी होते (आलेख "वरपासून खालपर्यंत" जातो).

3) जर, तर असीम जवळएका बिंदूजवळ फंक्शन त्याची गती स्थिर ठेवते. हे लक्षात घेतल्याप्रमाणे, स्थिर कार्यासह घडते आणि फंक्शनच्या महत्त्वपूर्ण बिंदूंवर, विशेषतः किमान आणि कमाल बिंदूंवर.

थोडा शब्दार्थ. “भिन्न” या क्रियापदाचा व्यापक अर्थाने काय अर्थ होतो? वेगळे करणे म्हणजे वैशिष्ट्य हायलाइट करणे. फंक्शन वेगळे करून, आम्ही फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्हच्या रूपात त्याच्या बदलाचा दर "पृथक" करतो. तसे, "व्युत्पन्न" या शब्दाचा अर्थ काय आहे? कार्य घडलेकार्य पासून.

व्युत्पन्नाच्या यांत्रिक अर्थाने संज्ञांचा अतिशय यशस्वीपणे अर्थ लावला जातो :
वेळेनुसार शरीराच्या निर्देशांकातील बदलाचा नियम आणि दिलेल्या शरीराच्या हालचालींच्या गतीचे कार्य विचारात घेऊ या. फंक्शन बॉडी कोऑर्डिनेट्सच्या बदलाचा दर दर्शविते, म्हणून ते वेळेच्या संदर्भात फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न आहे: . जर "शरीराची हालचाल" ही संकल्पना निसर्गात अस्तित्वात नसती, तर नाही व्युत्पन्न"शरीर गती" ची संकल्पना.

शरीराचा प्रवेग हा वेग बदलण्याचा दर आहे, म्हणून: . जर "बॉडी मोशन" आणि "बॉडी स्पीड" या प्रारंभिक संकल्पना निसर्गात अस्तित्त्वात नसतील तर अस्तित्वात नसतील व्युत्पन्न"शरीर प्रवेग" ची संकल्पना.

धड्याची उद्दिष्टे:

विद्यार्थ्यांना माहित असावे:

• रेषेचा उतार काय म्हणतात;
• सरळ रेषा आणि ऑक्स अक्ष यांच्यातील कोन;
• डेरिव्हेटिव्हचा भौमितीय अर्थ काय आहे;
• फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेचे समीकरण;
• पॅराबोलाला स्पर्शिका तयार करण्याची पद्धत;
• सैद्धांतिक ज्ञान व्यवहारात लागू करण्यास सक्षम व्हा.

धड्याची उद्दिष्टे:

शैक्षणिक: व्युत्पन्नाच्या यांत्रिक आणि भूमितीय अर्थाच्या संकल्पनांसह ज्ञान, कौशल्ये आणि क्षमतांच्या प्रणालीमध्ये प्रभुत्व मिळविण्यासाठी विद्यार्थ्यांना परिस्थिती निर्माण करा.

शैक्षणिक: विद्यार्थ्यांमध्ये वैज्ञानिक जागतिक दृष्टिकोन तयार करणे.

विकासात्मक: विद्यार्थ्यांची संज्ञानात्मक स्वारस्य, सर्जनशीलता, इच्छाशक्ती, स्मृती, भाषण, लक्ष, कल्पनाशक्ती, धारणा विकसित करणे.

शैक्षणिक आणि संज्ञानात्मक क्रियाकलाप आयोजित करण्याच्या पद्धती:

• दृश्य
• व्यावहारिक
• मानसिक क्रियाकलाप द्वारे: आगमनात्मक;
• सामग्रीच्या एकत्रीकरणानुसार: अंशतः शोध, पुनरुत्पादक;
• स्वातंत्र्याच्या डिग्रीनुसार: प्रयोगशाळेचे काम;
• उत्तेजक: प्रोत्साहन;
• नियंत्रण: तोंडी फ्रंटल सर्वेक्षण.

पाठ योजना

1. तोंडी व्यायाम (व्युत्पन्न शोधा)
2. "गणितीय विश्लेषणाच्या उदयाची कारणे" या विषयावरील विद्यार्थ्याचा संदेश.
3. नवीन साहित्य शिकणे
4. फिज. एक मिनिट थांब.
5. कार्ये सोडवणे.
6. प्रयोगशाळा काम.
7. धड्याचा सारांश.
8. गृहपाठावर भाष्य करणे.

उपकरणे: मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर (सादरीकरण), कार्डे (प्रयोगशाळा कार्य).

"एखादी व्यक्ती फक्त तिथेच काहीतरी साध्य करते जिथे त्याचा स्वतःच्या सामर्थ्यावर विश्वास असतो"

एल. फ्युअरबॅक

संपूर्ण धड्यात वर्गाची व्यवस्था, धड्यासाठी विद्यार्थ्यांची तयारी, क्रम आणि शिस्त.

संपूर्ण धड्यासाठी आणि त्याच्या वैयक्तिक टप्प्यांसाठी, विद्यार्थ्यांसाठी शिकण्याची ध्येये निश्चित करणे.

या विषयात आणि संपूर्ण अभ्यासक्रमात अभ्यासल्या जाणाऱ्या साहित्याचे महत्त्व निश्चित करा.

मौखिक मोजणी

1. व्युत्पन्न शोधा:

" , ()", (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. तर्क चाचणी.

अ) गहाळ अभिव्यक्ती घाला.

विज्ञानाच्या विकासाची सामान्य दिशा शेवटी मानवी क्रियाकलापांच्या अभ्यासाच्या आवश्यकतांद्वारे निर्धारित केली जाते. एक जटिल श्रेणीबद्ध व्यवस्थापन प्रणाली असलेल्या प्राचीन राज्यांचे अस्तित्व अंकगणित आणि बीजगणिताच्या पुरेशा विकासाशिवाय अशक्य झाले असते, कारण कर गोळा करणे, सैन्य पुरवठा आयोजित करणे, राजवाडे आणि पिरॅमिड तयार करणे आणि सिंचन प्रणाली तयार करणे यासाठी जटिल गणना करणे आवश्यक होते. पुनर्जागरण दरम्यान, मध्ययुगीन जगाच्या विविध भागांमधील कनेक्शन विस्तारले, व्यापार आणि हस्तकला विकसित झाली. उत्पादनाच्या तांत्रिक पातळीत झपाट्याने वाढ सुरू होते आणि मानव किंवा प्राण्यांच्या स्नायूंच्या प्रयत्नांशी संबंधित नसलेले उर्जेचे नवीन स्त्रोत औद्योगिकरित्या वापरले जात आहेत. XI-XII शतकांमध्ये, फुलिंग आणि विणकाम मशीन दिसू लागल्या आणि XV च्या मध्यभागी - एक प्रिंटिंग प्रेस. या काळात सामाजिक उत्पादनाच्या जलद विकासाच्या आवश्यकतेमुळे, प्राचीन काळापासून वर्णनात्मक असलेल्या नैसर्गिक विज्ञानांचे सार बदलले. नैसर्गिक विज्ञानाचे ध्येय नैसर्गिक प्रक्रियांचा सखोल अभ्यास करणे आहे, वस्तूंचा नाही. गणित, जे स्थिर प्रमाणांसह कार्य करते, प्राचीन काळाच्या वर्णनात्मक नैसर्गिक विज्ञानाशी संबंधित होते. एक गणितीय उपकरण तयार करणे आवश्यक होते जे प्रक्रियेच्या परिणामाचे नाही तर त्याच्या प्रवाहाचे स्वरूप आणि त्याच्या अंतर्भूत नमुन्यांचे वर्णन करेल. परिणामी, 12 व्या शतकाच्या अखेरीस, इंग्लंडमधील न्यूटन आणि जर्मनीतील लीबनिझ यांनी गणितीय विश्लेषण तयार करण्याचा पहिला टप्पा पूर्ण केला. "गणितीय विश्लेषण" म्हणजे काय? कोणत्याही प्रक्रियेच्या वैशिष्ट्यांचे वर्णन आणि अंदाज कसा लावता येईल? ही वैशिष्ट्ये वापरायची? एखाद्या विशिष्ट घटनेच्या सारात खोलवर जाण्यासाठी?

चला न्यूटन आणि लाइबनिझच्या मार्गाचा अवलंब करूया आणि आपण प्रक्रियेचे विश्लेषण कसे करू शकतो, हे काळाचे कार्य मानून पाहू.

चला अनेक संकल्पना सादर करूया ज्या आम्हाला पुढे मदत करतील.

रेषीय कार्याचा आलेख y=kx+ b ही सरळ रेषा आहे, संख्या k म्हणतात सरळ रेषेचा उतार. k=tg, सरळ रेषेचा कोन कुठे आहे, म्हणजेच या सरळ रेषेतील कोन आणि ऑक्स अक्षाची सकारात्मक दिशा.

चित्र १

y=f(x) फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या. कोणत्याही दोन बिंदूंमधून एक सेकंट काढू, उदाहरणार्थ, सेकंट AM. (चित्र 2)

secant k=tg चा कोनीय गुणांक. काटकोन त्रिकोणात AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

आकृती 2

आकृती 3

"वेग" हा शब्द स्वतःच एका परिमाणातील बदलाचे दुसऱ्या परिमाणातील बदलावरील अवलंबित्व दर्शवितो आणि नंतरची वेळ आवश्यक नसते.

तर, secant च्या झुकाव कोनाची स्पर्शिका tg = .

आम्हाला कमी कालावधीत परिमाणांमधील बदलांच्या अवलंबनात रस आहे. आपण युक्तिवादाची वाढ शून्यावर निर्देशित करूया. नंतर सूत्राची उजवी बाजू बिंदू A वरील फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे (का स्पष्ट करा). जर x -> 0 असेल, तर बिंदू M आलेखाच्या बाजूने A बिंदूकडे सरकतो, याचा अर्थ सरळ रेषा AM काही सरळ रेषा AB जवळ येत आहे, जी आहे बिंदू A येथे फंक्शन y = f(x) च्या आलेखाची स्पर्शिका. (चित्र 3)

सीकंटच्या कलतेचा कोन स्पर्शिकेच्या कलतेच्या कोनाकडे झुकतो.

व्युत्पन्नाचा भौमितिक अर्थ असा आहे की एका बिंदूवरील व्युत्पन्नाचे मूल्य बिंदूवरील फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेच्या उताराइतके असते.

व्युत्पन्न चा यांत्रिक अर्थ.

स्पर्शिका कोनाची स्पर्शिका हे दिलेल्या बिंदूवर फंक्शनच्या बदलाचा तात्कालिक दर दर्शविणारे मूल्य आहे, म्हणजेच अभ्यास केलेल्या प्रक्रियेचे नवीन वैशिष्ट्य. लीबनिझने हे प्रमाण म्हटले व्युत्पन्न, आणि न्यूटन म्हणाले की व्युत्पन्न स्वतःला तात्कालिक म्हणतात गती.

क्रमांक ९१(१) पृष्ठ ९१ – बोर्डवर दाखवा.

x 0 – 1 बिंदूवरील वक्र f(x) = x 3 च्या स्पर्शिकेचे टोकदार गुणांक हे x = 1. f’(1) = 3x 2 वरील या कार्याच्या व्युत्पन्नाचे मूल्य आहे; f’(1) = 3.

क्रमांक ९१ (३.५) – श्रुतलेख.

क्र. 92(1) – हवे असल्यास बोर्डवर.

क्र. 92 (3) – तोंडी चाचणीसह स्वतंत्रपणे.

क्र. ९२ (५) – बोर्डावर.

उत्तरे: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

ध्येय: "व्युत्पन्नाचा यांत्रिक अर्थ" ही संकल्पना विकसित करणे.

मेकॅनिक्ससाठी डेरिव्हेटिव्ह्जचे अनुप्रयोग.

बिंदू x = x(t), t च्या रेक्टलाइनर गतीचा नियम दिलेला आहे.

1. ठराविक कालावधीत हालचालींची सरासरी गती;
2. t 04 वाजता वेग आणि प्रवेग
3. थांबण्याचे क्षण; थांबण्याच्या क्षणानंतरचा बिंदू त्याच दिशेने पुढे सरकत असेल किंवा विरुद्ध दिशेने जाऊ लागला असेल;
4. विनिर्दिष्ट कालावधीत हालचालीचा सर्वोच्च वेग.

काम 12 पर्यायांनुसार केले जाते, कार्ये अडचणीच्या पातळीनुसार भिन्न आहेत (पहिला पर्याय हा सर्वात कमी अडचणीचा स्तर आहे).

काम सुरू करण्यापूर्वी, खालील प्रश्नांवर संभाषण:

1. विस्थापनाच्या व्युत्पन्नाचा भौतिक अर्थ काय आहे? (वेग).
2. गतीचे व्युत्पन्न शोधणे शक्य आहे का? हे प्रमाण भौतिकशास्त्रात वापरले जाते का? त्याला काय म्हणतात? (प्रवेग).
3. तात्कालिक गती शून्य आहे. या क्षणी शरीराच्या हालचालींबद्दल काय म्हणता येईल? (हा थांबण्याचा क्षण आहे).
4. खालील विधानांचा भौतिक अर्थ काय आहे: गतीचे व्युत्पन्न बिंदू t 0 वर शून्य असते; बिंदू t 0 मधून जात असताना व्युत्पन्न बदल चिन्ह आहे का? (शरीर थांबते; हालचालीची दिशा उलट बदलते).

विद्यार्थ्यांच्या कामाचा नमुना.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

आकृती 4

उलट दिशेने.

चला वेगाचा एक योजनाबद्ध आकृती काढू. बिंदूवर सर्वोच्च गती प्राप्त केली जाते

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

आकृती 5

1) व्युत्पन्नाचा भौमितिक अर्थ काय आहे?
2) व्युत्पन्नाचा यांत्रिक अर्थ काय आहे?
3) तुमच्या कामाबद्दल निष्कर्ष काढा.

पृष्ठ 90. क्र. ९१(२,४,६), क्र. ९२(२,४,६,), पृ. ९२ क्र. ११२.

वापरलेली पुस्तके

• पाठ्यपुस्तक बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात.
  लेखक: Yu.M. कोल्यागिन, एम.व्ही. ताकाचेवा, एन.ई. फेडोरोवा, एम.आय. शाबुनीना.
  ए.बी. झिझचेन्को यांनी संपादित केले.
• बीजगणित 11 वी इयत्ता. शे. ए. अलिमोव्ह, यू. एम. कोल्यागिन, यू. व्ही. सिदोरोव यांच्या पाठ्यपुस्तकावर आधारित धडे योजना. भाग 1.
• इंटरनेट संसाधने: